Espacios de Probabilidad - Letras Nocturnas

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B={1, 5} 
C={1, 6} 
L= {obtener un número impar} = {1, 3, 5}={x / x es número impar} 
.. 
. 
Los eventos elementales son: 
R1= {1}, R2={2}, R3= {3}, R4={4}, R5={5} y R6={6} 
Si realizamos el experimento de lanzar el dado: 
Opbtenemos 
COMO 
RESULTADO 
Entonces diremos que 
1 El evento A no ocurre; El evento C ocurre; 
Ocurre el evento L y el evento C 
2 
3 
4 No ocurre el evento L 
5 
6 
 
 
 
**OCURRENCIA DE UN EVENTO 
Un evento A ocurre, si y solo si, el resultado que se obtiene al realizar el experimento 
aleatorio es una posibilidad asociada al evento. 
 
EVENTOS ESPECIALES: 
 se le llama el evento SEGURO, porque siempre ocurre 
 = { }: se le llama evento IMPOSIBLE, porque nunca ocurre 
 
Definición 
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos no ocurren al mismo tiempo. 
Esto o expresamos de la siguiente manera AB= , es decir, la intersección de A y B 
es el conjunto vacío. 
 
*EVENTOS COMPUESTOS: 
 Sean A y B eventos arbitrarios. Diremos que el evento 
 (Evento A unión B) A B ocurre, si y solo si, ocurre el evento A o ocurre el evento B 
 
Universidad de Sonora 
 
Probabilidad y estadística 
 
ESPACIOS DE PROBABILIDAD 
Como se estudió en la sección anterior, una característica básica del concepto de experimento 
aleatorio es que al realizarlo no podemos afirmar cual será el resultado que se obtendrá, es 
decir, no podemos decir si un evento particular A, ocurrirá ó no ocurrirá. Por esta razón resulta 
muy importante asociar un número p que mida la posibilidad de ocurrencia del evento A. Esto 
nos conduce de alguna manera a la teoría de probabilidad, algunos enfoques son los siguientes. 
 
 
ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD 
 
I. ENFOQUE FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD 
Definición 
Sea ℰ un experimento aleatorio y 𝐴 un evento arbitrario relativo al experimento. 
Supóngase que se efectúan "𝑛" repeticiones del experimento y sea 𝑓𝐴 el número de veces 
que ocurre A en las "𝑛" observaciones del experimento, definimos la Frecuencia Relativa 
de 𝐴, que denotamos 𝑃𝐴 , como: 
𝑃𝐴 = 
𝑓𝐴
𝑛
 (𝑓�̃� 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒) 
Propiedades: 
1. 0 ≤ 𝑃𝐴 ≤ 1 
2. 𝑃𝐴 = 1, si y solo si, 𝐴 siempre ocurre. 
3. 𝑃𝐴 = 0, si y solo si, 𝐴 nunca ocurre. 
4. Si 𝐴 y 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes (o ajenos), entonces 𝑃𝐴∪𝐵 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵. 
5. 𝑃𝐴 basada en "𝑛" repeticiones del experimento y considerada como función de "𝑛", 
“converge” en cierto sentido probabilístico a un número real constante denominado 
Probabilidad de 𝐴, 𝑃(𝐴), cuando 𝑛 → ∞. (Ley de los Grandes Números). 
 
Problema 1 (10 puntos) “Regularidad Estadística” 
Realizar 100 lanzamientos de una moneda y registrar los resultados obtenidos y en cada 
resultado determinar el valor de la Frecuencia Relativa 𝑷𝑨 = 
𝒇𝑨
𝒏
 y realizar el polígono de 
frecuencias relativas correspondiente, donde A= {a} 
Se entregará el miércoles 23 de febrero 
 
 
II. ENFOQUE AXIOMÁTICO DE LA PROBABILIDAD 
Definición 
 Sea 𝓔 un experimento aleatorio y Ω el espacio muestral correspondiente. Con cada evento 𝑨 
asociamos un número real, denotado por 𝑷(𝑨) y llamado Probabilidad de A, el cual satisface las 
siguientes propiedades: 
1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
2. 𝑃(Ω) = 1. 
3. Si 𝐴 y 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes (o ajenos), entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
4. Si nAAA ,....,, 21 ,...... son eventos mutuamente excluyentes dos a dos , entonces 
𝑃(⋃ 𝐴𝑖)
∞
𝑖=1
= ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
∞
𝑖=𝐼
 
Observación: De la propiedad 3, se deduce que para cualquier "𝑛" finito 
𝑃(⋃ 𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
𝑛
𝑖=𝐼
 
 
Del enfoque axiomático se desprenden algunos teoremas importantes que nos permitirán calcular 
probabilidades con respecto a algunos eventos a pesar de no contar aún con una definición formal 
del concepto de probabilidad de un evento. 
 
 
TEOREMAS: 
1. Si  es el conjunto vacío, un evento imposible, entonces 0)( =P 
2. Para todo evento A se tiene que 1)()( =+ CAPAP 
Demostración: 
Sea A un evento arbitrario, observemos que: 
a) AUAC = Ω 
b) A AC = , los eventos A y AC son mutuamente excluyentes 
Del inciso a) concluimos que P(AUAC ) = P(Ω) 
Si aplicamos la Prop, 3 del Enf. Axio.. en el lado izquierdo de la igualdad anterior, 
tenemos 
P(AUAC ) = P(A) +P(AC) = P(Ω) = 1 ➔ P(A) +P(AC) = 1 
 
Ejemplos: 
P(A) = 0.92 ➔ P(AC) =0.08 
P(RC) = 0.80 ➔ P(R) = 0.20 
P(S) = 0.45 ➔ P(SC) = 0.55 
P(M) = 0.37 ➔ P(NC) = Sabe 
 
3. Si A y B son eventos arbitrarios, entonces 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴) - 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 
 𝑆𝑖 𝑃(𝐴) = 0.75 𝑦 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.60, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) = 0.75 − 0.60 = 0.15 
 
4. Si A y B son eventos arbitrarios, entonces 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) - 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) 
 
 
5. Si A, B y C son eventos arbitrarios, entonces 
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP +−−−++= 
 
 
 
 
Ejemplo: Sean A y B eventos arbitrarios, tales que P(A)= 0.33, P(B)= 0.50 y P(AB)= 0.20. Calcular las 
siguientes probabilidades: 
P(A)= 0.33 P(B)= 0.50 P(AB)= 0.20 
 
a. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.33 = 0.67 
 
 
b. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.33 + 0.50 − 0.20 = 0.63 
 
 
c. P(ABC) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐵) = 0.63 − 0.50 = 0.13 
P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0.33 – 0.20 = 0.13 
 
 
d. P(ACBC) = 1 – P(AB) = 1 – 0.63 =0.37 
 
P[(AB)C] = P(ACBC) 
 
e. P(ACBC) = 1 – P(AB) = 1 – 0.20 = 0.80 
 
P[(AB)C] = P(ACBC) 
 
 
 
 
 
f. P(ABC) = P(A) + P(ACBC) = 0.33 + 0.37 = 0.70 
 
 
Otro Ejemplo: Sean A y B eventos arbitrarios, tales que P(AUB)= 0.75, P(A)= 0.50 y P(BC)= 0. 25. Determine 
las probabilidades de los siguientes eventos: 
RECOMENDACIÓN: interpreter las probabilidades mediante un diagram de Venn: 
 P(AUB)= 0.75, P(A)= 0.50 y P(BC)= 0. 25 
 
 
a. P(B) = 1 – P(BC) = 1 – 0.25 = 0.75 
 
 
b. P(AC) = 1 – P(A) = 1 – 0.50 = 0.50 
 
 
c. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.50 + 0.75 – 0.75 = 0.50 
 
P(AB) = P(A) – P(ABC) 
P(AB) = P(B) – P(BAC) 
 
d. P(AC BC) = 1 - P(AB) = 1- 0.75 = 0.25 
 
 
 
 
Otro Ejemplo: Se selecciona al azar una familia que posee dos automóviles. Sea A = {el automóvil más 
viejo es americano}, B = {el automóvil más nuevo es americano}. Si P(A)=0.7, P(B)=0.5 y P(AB)=0.4, 
calcule las probabilidades de que: 
 P(A)=0.7 P(B)=0.5 P(AB)=0.4 
 
 
a. al menos un automóvil sea americano: El auto más viejo o el más nuevo es americano: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.7 + 0.5 − 0.4 = 0.8 
 
 
b. ninguno de los automóviles sea americano: 
El auto más viejo no es americano y El auto más nuevo no es americano: 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 0.8 = 0.2 
 
c. exactamente uno de los dos automóviles sea americano: 
Solamente el auto más viejo es Ame ó Solamente el auto más Nvo es Ame 
El viejo es Ame y el Nvo no es Ame ó El Nvo es Ame y el viejo no es Ame 
 (𝐴 ∩ 𝐵𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝐶) 
𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝐶)] = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − P(AB) = 0.8 − 0.4 = 0.4 
 
𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝐶)] = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶) 
 
 
 
 
ESPACIO DE PROBABILIDAD 
Un espacio de probabilidad es un triplete (Ω, F, P), donde: 
1. Ω es un conjunto no vacío llamado espacio muestral. 
2. F es la familia de todos los subconjuntos de Ω. 
3. P es una medida de probabilidad sobre F, es decir, P: F → [0, 1] 
Falta definir la función P 
 
ESPACIO DE PROBABILIDAD FINITO 
Diremos que (Ω, F, P), es finito si Ω es un conjunto finito. 
 
ESPACIO DE PROBABILIDAD EQUIPROBABLE 
Diremos que el Espacio de Probabilidad Finito (Ω, F, P), es Equiprobable si cada posibilidad 
Ωtiene la misma probabilidad de ocurrir. 
 
Bajo el supuesto anterior, observemos que: 
Si Ω = {x1, x2, ………, xn} #( Ω) = n y definimos a los eventos elementales: 
Ai ={xi} para toda i=1, 2, 3, ….n 
 
A1 ={x1}; A2 ={x2}; …… An ={xn}, diremos que (Ω, F, P) es un espacio de probabilidad 
equiprobable si P(A1) = P(A2) =…….= P(An) = 1/n 
 
Justufucación: 
Ω = A1UA2UA3U……UAn ➔ P(Ω) = P(A1UA2UA3U……UAn)= P(A1)+P(A2)+…+P(An) 
➔ P(Ω) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)= 1 ➔ p + p+ ….. + p = 1 
 np=1, por lo tanto 
 p = 1/n 
 
Con base en lo anterior 
Si tenemos el evento A = {x3, x6, x8, x12} #(A) = 4, entonces 
A = A3UA6UA8UA12, es importante observar que los eventos A3, A6, A8 y A12 son 
mutuamente excluyentes, además 
P(A) = P(A3UA6UA8UA12) = P(A3) +P(A6)+P(A8)+ P(A12) =1/n + 1/n+1/n+ 1/n = 4/n 
 
𝑃(𝐴) = 
4
𝑛
= 
#(𝐴)
#(Ω)
 
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD (Modelo Clásico de Laplace) 
Dado (Ω, F, P), un Espacio de Probabilidad Equiprobable. Para todo evento A arbitrario 
definimos: 
 
 
 
 
Lo cual denotamos: 
𝑃(𝐴) = 
#(𝐴)
#(Ω)
 
Observaciones: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 
#(𝑨∪𝑩)
#(Ω)
 ; 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 
#(𝑨∩𝑩)
#(Ω)
 ; 𝑷(𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪) = 
#(𝑨𝑪∪𝑩𝑪)
#(Ω)
 ……….> 
 
 
➢ Un grupo está compuesto por 20 mujeres y 15 hombres. Si se selecciona una persona, determine la 
probabilidad de que se mujer. 
ℇ: "𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂" 
Ω = {𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, … . , 𝑚20, ℎ1, ℎ2, , … . . , ℎ15} Ω = {h, m} ➔ #(Ω) = 35 
A = {La persona es mujer} ➔ #(A) = 20 
𝑃(𝐴) = 
#(A)
 #(Ω)
= 
20
35
… 
 
 
➢ Un grupo está compuesto por 20 mujeres y 15 hombres. Si se seleccionan tres personas, determine la 
probabilidad de que todas se mujer. 
ℇ: "𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒂 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑼𝑵𝑶 𝑷𝑶𝑹 𝑼𝑵𝑶 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂" 
Ω = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3), ó (𝑚1, 𝑚2, 𝑚4)ó … . (ℎ13, ℎ14, ℎ15)} 
#(Ω) = (35)(34)(33) 
A = {Seleccionar tres mujeres} ➔ #(A) = (20)(19)(18) 
𝑃(𝐴) = 
#(A)
 #(Ω)
= 
(20)(19)(18)
(35)(34)(33)
 
 
OTRA RESPUESTA: 
ℇ: "𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒂 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔" 
Mi, Ju, Se vs Ju, Mi, Se son resultados iguales 
 
Ω = {{𝑝1, 𝑝2, 𝑝3} 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠⁄ } Prueba no ordenada 
 
#(Ω) = 𝐶3
35 
A = {Seleccionar tres mujeres} ➔ #(A) = 𝐶3
20 
𝑃(𝐴) = 
#(A)
 #(Ω)
= 
𝐶3
20
𝐶3
35 
 
B = {Seleccionar dos mujeres} ➔ 2m y 1h #(B) = 𝐶2
20 ∗ 𝐶1
15 
Probabilidad de que ocurra A= 
Número de casos favorables a A 
Número de casos Posibles en Ω 
 
𝑃(𝐵) = 
#(B)
 #(Ω)
= 
𝐶2
20 ∗ 𝐶1
15
𝐶3
35 
➢ Un grupo está compuesto por 20 mujeres y 15 hombres. Si se seleccionan cuatro personas al azar para 
ocupar puestos distintos en una empresa, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo esté compuesto por 
puras mujeres? 
ℇ: "𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓 𝒂 𝑪𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒄𝒖𝒑𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂 
𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 Mi, Ju, Se, Ca 
vs Ju, Mi, Se, Ca son resultados distintos 
 
Prueba Ordenada sin sustitución 
Ω = {(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4) ∕ 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 𝑠𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 ó 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑟á𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜} 
#(Ω) = 𝑂4
35 = (35)(34)(33)(32) 
 
M = {(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4) ∕ 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠} 
#(M) = 𝑂4
20 = (20)(19)(18)(17) 
 
𝑃(𝑀) = 
#(M)
 #(Ω)
= 
𝑂4
20
𝑂4
35 
 
𝑂𝐵𝑆𝐸𝑅𝑉𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 
 m m m m 
𝑃(𝑀) = (
20
35
) (
19
34
) (
18
33
) (
17
32
) 
 
 
¿Cuál es la probabilidad de que en el equipo estén una mujer? 
𝑁 = {(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4) 𝑝1⁄ , 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟} 
1m y 3h: (m, h, h, h) ó (h, m, h, h) ó (h, h, m, h) ó (h, h, h, m) 
#(𝑁) = (4)𝑂1
20𝑂3
15 = 𝐶1
4𝑂1
20𝑂3
15 
𝑃(𝑁) = 
𝐶1
4𝑂1
20𝑂3
15
𝑂4
35 
 
¿Cuál es la probabilidad de que en el equipo estén dos mujeres? 
𝑅 = {(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4) 𝑝1⁄ , 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟} 
2m y 2h: (m, m, h, h), (h, m, m, h), ……., (h, h, m, m) 
 2m y 2h 
#(𝑅) = 𝐶2
4𝑂2
20𝑂2
15 
𝑃(𝑅) = 
𝐶2
4𝑂2
20𝑂2
15
𝑂4
35