Estadística Descriptiva - Letras Nocturnas

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Universidad de Sonora 
 
Probabilidad y estadística 
 
 
 
 
I. Introducción 
• La estadística en la Ingeniería 
El desarrollo de la estadística ha tenido un gran impacto en la ingeniería, la agricultura, la medicina, 
la demografía, la biología, la administración, la economía etc., a tal grado que se ha convertido en una 
herramienta importante para éstas áreas; el conocimiento de la estadística es una verdadera necesidad 
ya que para entender o aplicar gran parte del trabajo realizado en alguno de estos campos, es necesario 
emplear ésta herramienta. 
 
Las técnicas estadísticas existentes pueden ser muy generales, pero el surgimiento de necesidades en 
los diferentes campos propiciaron el desarrollo de técnicas especiales, por ejemplo, en lo que respecta 
a la ingeniería, se pueden mencionar tres áreas que emplean técnicas especiales para la solución de 
problemas, como son: Garantía de Calidad (Control de Calidad), Confiabilidad y Prueba de vida 
de los Productos y finalmente Investigación de Operaciones. 
 
• El científico y el Ingeniero en el mejoramiento de la calidad. 
 Una investigación generalmente inicia con una idea, ésta es obtenida por medio de muchas fuentes, 
pero cualquiera que sea la formulación correcta de un problema a investigar, solo se puede lograr en 
muchos casos, con base en el análisis, a veces simplemente exploratorio de datos referentes al 
problema. La definición de objetivos, la determinación de procedimientos metodológicos, en fin, 
prácticamente todas las etapas de un proceso investigativo requieren para su mejor desarrollo de la 
estadística, en las circunstancias anotadas anteriormente. 
 
Los métodos propios de la estadística están íntimamente relacionados con las características del 
Método Científico. La estadística con sus métodos descriptivos, permite la observación de los hechos 
y con sus métodos inferenciales colabora con el proceso de transcenderlos, de generalizar el 
comportamiento o relación de fenómenos, aportando además formas de medir la confianza y validez 
de tales generalizaciones con base en su soporte probabilístico. 
 
Se puede entonces ubicar a la estadística como un valioso auxiliar del Método Científico, ubicación 
que implica una visualización de esta ciencia en el aspecto de su aplicación práctica, sin considerar su 
ubicación formal, el objeto formal de su conocimiento desde el punto de vista filosófico y por ende 
epistemológico. 
 
La importancia de la estadística en la ingeniería, ha sido encaminada por la participación de la industria 
en el aumento de la calidad. Muchas compañías se han dado cuenta que la baja calidad de un producto, 
tiene un gran efecto en la productividad global de la compañía, en el mercado, la posición competitiva, 
y finalmente, en la rentabilidad de la empresa. Mejorar los aspectos de calidad conlleva al éxito de la 
compañía. La estadística es un elemento decisivo en el incremento de la calidad, ya que las técnicas 
estadísticas pueden emplearse para describir y comprender la variabilidad. 
 
Todos los procesos y sistemas de la vida real exhiben variabilidad. Esta es el resultado de cambios en 
las condiciones bajo las cuales se hacen las observaciones. En el contexto de la manufactura, estos 
cambios pueden ser diferencias en las propiedades de los materiales utilizados, en la forma en que 
trabajan los obreros, en las variables del proceso (tales como la temperatura, la presión o el tiempo de 
ocupación) y en los factores ambientales (como la humedad relativa). La variabilidad se presenta 
también debido al sistema de medición utilizado y al muestreo. 
 
El campo de la estadística y la probabilidad utiliza métodos tanto para describir y modelar la 
variabilidad, así como para tomar decisiones en presencia de ésta. 
 
 
 
 
 
 
 
II. Manejo de Datos 
• Introducción. 
 
Una de las tantas definiciones de la estadística, es concebida como el conjunto sistemático de 
procedimientos para la observación, registro, organización, síntesis, análisis e interpretación de los 
fenómenos y las leyes que los regulan para poder así predecir ó concluir acerca de ellos. 
 
Lo anterior involucra a las dos ramas en la que se divide la estadística que son: 
 
Estadística Descriptiva: “es la parte de la estadística que agrupa las técnicas apropiadas para la 
organización, representación y descripción de un conjunto de datos, con el propósito de resaltar sus 
rasgos más importantes y extraerla información esencial que contiene”. 
 
Estadística Inferencial: “es la parte de la estadística que nos permite hacer estimaciones ó 
inferencias sobre una POBLACIÓN por medio de una MUESTRA, la cual es extraida de ella (con 
ayuda de la Teoría de la probabilidad)”. 
 
• Población y Muestras. 
 
Población: “se define como la totalidad de valores posibles (mediciones ó conteos) de una 
característica particular de un grupo especificado de objetos llamado Universo” 
 
Muestra: “se define como un subconjunto de valores seleccionados de la población”. 
 
Observaciones: 
i. Una población puede ser una muestra. 
ii. La muestra debe de ser seleccionada de tal manera que sea representativa de la población (teoría de 
muestreo). 
 Universo Población Muestra 
 Son Es un 
 Objetos los valores subconjunto 
 Individuos obtenidos de de la 
 Cosas..... los objetos... población 
 
 
Elementos escenciales de un problema estadístico. 
a. Una definición clara del objetivo del experimento y de la población pertinente, es decir, tener bien 
clara la pregunta que se requiere responder y la población a considerar. 
b. Seleccionar el diseño de experimento o procedimiento de muestreo, esto es, ¿cómo debemos 
seleccionar la muestra? 
c. La recopilación y el análisis de datos, es decir, utilizar un método de análisis apropiado para los 
datos muestrales y poder así obtener la información deseada de ellos. 
d. Aplicar el procedimiento adecuado para hacer inferencias acerca de la población, basada en la 
información muestral, en otras palabras, utilizar los datos muestrales para hacer inferencias sobre 
la población. 
e. La proposición de una medida de bondad (confiabilidad o probabilidad) para la inferencia, esto 
es, decir con que confiabilidad tal inferencia es válida. 
 
 
 
VARIABLES 
“Una variable es una función que nos relaciona a dos conjuntos A y B, y se denotan mediante la letras 
mayúsculas X, Y, Z, W, ..... 
 
Además, las variables se clasifican en: 
Variables Cualitativas (categóricas): 
Es cuando lo valores que toma la variable son clasificaciones, etiquetas ó categorías. 
5 + 2 =7 
Variables Cuantitativas (numéricas): 
Es cuando lo valores que toma la variable son números por naturaleza. De acuerdo con su naturaleza 
matemática, estas variables se dividen en Discretas y Continuas, siendo las primeras aquellas en las 
que el conjunto de valores que puede tomar es finito o infinito numerable; no pueden tomar valores 
intermedios entre dos valores dados. Las continuas son aquellas en las que el conjunto de valores que 
pueden tomar es infinito no numerable; pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto. 
 
 
ESCALAS DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES. 
Para clasificar o categorizar variables, se utilizan diferentes tipos de escalas, siendo las más comunes 
las Nominales, las Ordinales, las de Intervalo y las de Proporción o Razón, cuyo uso dependerá 
básicamente de los objetivos de estudio y la naturaleza de la variable. 
 
a. Escala Nominal: Es cuando el nombre, números ó símbolos solo se utilizan con el fin de 
distinguir entre si a las clases ó grupos al que pertenecen varios objetos. Estos nombres, números 
ó símbolos constituyen una escala nominal, también denominada escala clasificatoria. 
 
b. Escala Ordinal: Incluye todas las propiedades deuna escala nominal, con la característica 
adicional de que los valores de las clases guardan cierta relación de orden, existe la relación de 
mayor o menor que entre las categorías de la variable. 
 
c. Escala de Intervalo: Además de cumplir con las propiedades de una escala de ordinal se sabe 
la magnitud de los intervalos entre los valores de las clases. Como observación podemos decir que 
la unidad de medición y el cero son arbitrarios. 
 
d. Escala de Proporción (Razón): Es cuando la escala tiene todas las propiedades de una escala 
de intervalo y además tiene un punto cero real en su origen, en ella la proporción de un punto a 
otro de la escala es independiente de la unidad de medida. 
Conclusión: 
➢ Una variable cualitativa tiene asociadas las escalas de medición Nominal y Ordinal 
➢ Una variable cuantitativa tiene asociadas las escalas de medición de Intervalo y 
Razón o Proporción 
Cuando uno clasifica a una variable y le asigna la escala de medición correspondiente, las 
únicas respuestas factibles son: 
 
➢ La Variable es Cualitativa, con escala Nominal 
➢ La Variable es Cualitativa, con escala Ordinal 
➢ La Variable es Cuantitativa Discreta, con escala Intervalo 
➢ La Variable es Cuantitativa Discreta, con escala Razón o Proporción 
➢ La Variable es Cuantitativa Continua, con escala Intervalo 
➢ La Variable es Cuantitativa Continua, con escala Razón o Proporción 
 
 
 
 
Ejemplos: 
En cada uno de los siguientes casos clasifique el tipo de variable que se le define y establezca su escala 
de medición. 
1. “El número telefónico de una persona” ➔ 6623547801, 6623547802, …. 
Variable Cualitativa con escala de medición Nominal 
 
2. “El color de los ojos de un animal” ➔ Verde, Café,…. 
Variable Cualitativa con escala Nominal 
 
3. “El número obtenido en el juego de la ruleta” ➔8, 31, 19, 6 
Variable Cualitativa con escala de medición Nominal 
 
4. “El grado de fanatismo de una persona” ➔ Muy fanático (3), Fanático (2), Poco Fanático 
(1), Nada Fanático (0) 
Variable Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
5. “El grado asignado en el ejército a una persona” 
Variable Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
6. “El puesto que ocupa una persona en una empresa” 
Variable Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
7. “Medir la temperatura ambiente” ➔ 13° C, 12.1°C, 24.8°C, 42°C, 0°C 
La Variable es Cuantitativa Continua con escala de medición de Intervalo 
 
8. “La vida útil de un televisor” 
Variable Cuantitativa Continua con escala de medición de Proporción ó Razón 
 
9. “El peso de una computadora” 
Variable Cuantitativa Continua con escala de medición de Proporción ó Razón 
 
10. “El tiempo que dura un programa de televisión” 
Variable Cuantitativa Continua con escala de medición de Proporción ó Razón 
 
11. “El lugar que ocupa un equipo de béisbol al finalizar una temporada” 
Variable Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
12. “Determinar el estado civil de un estudiante universitario” 
Variable Cualitativa con escala de medición Nominal 
 
13. “El número de estudiantes que le escriben en un chat a un desconocido” 
Variable Cuantitativa Discreta con escala de medición de Proporción ó Razón 
 
14. “La clasificación de un producto (muy bueno, bueno, regular, malo, muy malo) 
Variable Cualitativa con escala de medición Ordinal 
15. “Medir el coeficiente intelectual (C.I.) de un estudiante de primer ingreso de la UniSon. 
Variable Cuantitativa Discreta con escala de medición de Proporción ó Razón 
Variable Cuantitativa Continua con escala de medición de Proporción ó Razón 
 
16. “Medir peso de un kilo de papas” NO es variable 
MUESTREO 
a. Muestreo Aleatorio: “Método de selección de una muestra en forma tal que todas y cada una 
de las posibles muestras tengan la misma posibilidad de ser seleccionadas”. La muestra resultante 
recibe el nombre de Muestra Aleatoria. 
𝑀1, 𝑀2, 𝑀3, … . , 𝑀𝑘 
b. Muestreo Aleatorio Simple: “Es cuando los elementos de la muestra tienen la misma 
posibilidad de pertenecer a la misma”. Este tipo de muestreo puede ser con sustitución ó sin 
sustitución, y la muestra resultante recibe el nombre de Muestra Aleatoria Simple. 
 
c. Muestreo Estratificado: “Es cuando la población está dividida en grupos, llamados estratos, 
y los elementos de la muestra se eligen de cada uno de estos estratos, mediante un muestreo 
aleatorio simple.” 
 
La División de Ingeniería, tiene una Población estudiantil de licenciatura de tamaño N= 
7311. Requerimos seleccionar una muestra aleatoria (m. a.) de tamaño n=200 
Licenciaturas Número de 
Estudiantes 
Conformación de la 
Muestra 
Ing. Civil 2150 20 
Ing. en Minas 700 20 
Ing. en Mecatrónica 550 20 
Ing. Industrial y de 
Sistemas 
2000 20 
Ing. en Sistemas de 
Información 
900 20 
Ing. Químico 450 20 
Ing. Metalúrgico 279 20 
Ing. en Materiales 100 20 
Ing. en Energías 
Renovables 
95 20 
Lic. en Sustentabilidad 87 20 
 N=7311 n=200 
 
d. Muestreo Proporcional: “Es cuando la población está estratificada y los elementos de la 
muestra se seleccionan proporcionalmente al número de elementos de cada uno de los estratos”. 
 
Universidad tiene una Población de tamaño N= 29, 800, requerimos seleccionar una muestra 
aleatoria de tamaño n=200 
Divisiones URC Num. 
Estudiantes 
Porcentaje 
(%) 
Conformación de 
la Muestra 
Ciencias Sociales 9500 31 31 % de 200 = 62 
Ciencias Económicas 
Administrativas 
4100 14 14 % de 200 = 28 
Ciencias Biológicas y 
de la Salud 
3600 12 12 % de 200 = 24 
Ingeniería 7400 25 25 % de 200 = 50 
Ciencias Exactas y 
Naturales 
3800 13 13 % de 200 = 26 
Humanidades y Bellas 
Artes 
1400 5 05 % de 200 = 10 
e. Muestreo por Conglomerados: “una muestra por conglomerados se obtiene seleccionando 
un subconjunto de estratos de la población y de estos obtenemos los elementos la muestra”. 
 
La División de Ingeniería, tiene una Población estudiantil de licenciatura de tamaño N= 
7311. Requerimos seleccionar una muestra aleatoria (m. a.) de tamaño n=200 
Licenciaturas Número de 
Estudiantes 
Conformación de la 
Muestra 
Ing. Civil 2150 40 
Ing. en Minas 700 
Ing. en Mecatrónica 550 
Ing. Industrial y de 
Sistemas 
2000 40 
Ing. en Sistemas de 
Información 
900 
Ing. Químico 450 40 
Ing. Metalúrgico 279 
Ing. en Materiales 100 40 
Ing. en Energías 
Renovables 
95 
Lic. en Sustentabilidad 87 40 
 N=7311 n=200 
 
f. Muestreo Sistemático: “Para obtener una muestra sistemática, se elige aleatoriamente un 
elemento de entre los primeros K elementos de la población y posteriormente se selecciona en 
forma sucesiva el K-ésimo elemento que sigue al último que se obtuvo”. 
 
43, 67, 65, 36, 49, 84, 79, 56, 44, 82, 38, 82, 43, 78, 37, 48, 63, 72, 68, 51, 40, 43, 
50, 60, 76, 57, 46, 55, 39, 45, 62, 59, 48, 76, 74, 70, 51, 40, 82, 39, 52, 35, 52, 52, 
63, 63, 80, 84, 28, 37, 48, 76, 60, 48, 55, 51, 54, 45, 27, 70, 80, 21, 35, 38, 54, 42, 
61, 45, 33, 61, 37, 92, 74, 36, 45, 53, 64, 37, 43, 89, 52, 48, 52, 56, 62, 65, 55, 75, 
61, 73, 50, 53, 84, 71, 28, 41, 54, 82, 38, 26, 35, 47, 32, 64, 36, 43, 67, 36, 44, 41, 
35, 51, 29, 80, 75, 56, 62, 22, 82, 80, 54, 88, 64, 75, 38, 62, 73, 65, 83, 68, 51, 84, 
 47, 53, 28, 32, 75, 56, 45, 75, 59, 53, 74, 64, 40, 50, 38, 70, 60, 43. 
Seleccionemos una muestra aleatoria de tamaño n=10 
Muestra Aleatoria: {36, 38, 72, 76, 59, 82, 63, 60, 70, 71} = 
{36, 38, 59, 60, 63, 70, 71, 72, 76, 82} 
 
 
• Distribuciones de frecuencia. 
 
Como se mencionó anteriormente, la estadística descriptiva es la parte de la estadística que proporciona 
los métodos que permiten organizar y resumir los resultados de las observaciones de las características 
de interés contenida en una muestra, con el objetivo de hacer estimaciones sobre las características 
principales de la población, así como también los métodos para presentar y describir la información. 
 
El método utilizado en la organización y resumen de los datos sonla Tablas de Distribución de 
Frecuencias (TDF). Los valores observados de las variables se agrupan en clases y se anota el número 
de elementos de cada clase, este número recibe el nombre de frecuencia de clase cuyo símbolo 
representativo será 𝑓𝑖 . 
 
Otras características importantes que se deben de incluir en una TDF de este tipo son: 
 
Frecuencia Relativa de Clase: “Se define como el cociente de la frecuencia de clase y el tamaño 
de la muestra y se denota por 𝑓�̃�”. 
𝑓�̃� = 
𝑓𝑖
𝑛
 
 
𝑓�̃� = 
𝑓𝑖
𝑛
∗ 100% 
 
Frecuencia Acumulada de Clase: La frecuencia acumulada de la i -ésima clase, denotada por iF
, se define como las suma todas las frecuencias de clase anteriores, hasta la i -ésima clase, es decir, 
𝐹𝑖 = ∑ 𝑓𝑘
𝑖
𝑘=1
= 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ . . +𝑓𝑖 
 
𝐹1 = 𝑓1 
𝐹2 = 𝑓1 + 𝑓2 
𝐹3 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 
 
𝐹6 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6 = 𝐹3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6 
𝐹6 = 𝐹5 + 𝑓6 
 
Frecuencia Relativa Acumulada de Clase: La frecuencia relativa acumulada de la i -ésima 
clase, que denotamos 𝐹�̃�, se define como la suma de todas las frecuencias relativas anteriores, hasta la 
i -ésima clase, esto es: 
𝐹�̃� = ∑ 𝑓�̃�
𝑖
𝑘=1
= 𝑓1̃ + 𝑓2 + ⋯ . . +𝑓�̃� 
 
lo anterior es equivalente a el cociente de la frecuencia acumulada de la i -ésima clase y el tamaño de 
la muestra 
𝐹�̃� = 
𝐹𝑖
𝑛
 
 
𝐹�̃� = 
𝐹𝑖
𝑛
∗ 100% 
 
En resumen: 
Tabla Estadística 
Clases Frecuencias Frecuencias 
Relativas (%) 
Frecuencias 
Acumuladas 
Frecuencias 
Relativas 
Acumuladas (%) 
𝐶1 𝑓1 𝑓1̃ 𝐹1 𝐹1̃ 
𝐶2 𝑓2 𝑓2̃ 𝐹2 𝐹2̃ 
𝐶3 𝑓3 𝑓3̃ 𝐹3 𝐹3̃ 
 
𝐶𝑘 𝑓𝑘 𝑓�̃� 𝐹𝑘 𝐹�̃� 
 
 
Tabla de distribución de frecuencias 
Clases Frecuencias 
𝐶1 𝑓1 
𝐶2 𝑓2 
𝐶3 𝑓3 
 
𝐶𝑘 𝑓𝑘 
Tabla de distribución de frecuencias relativas 
Clases Frecuencias 
Relativas (%) 
𝐶1 𝑓1̃ 
𝐶2 𝑓2̃ 
𝐶3 𝑓3̃ 
 
𝐶𝑘 𝑓�̃� 
Tabla de distribución de frecuencias acumuladas? 
Tabla de distribución de frecuencias relativas acumuladas? 
 
 
Ejemplos. (Clase) 
 
3. El primer día de clases del semestre pasado se les preguntó a 50 estudiantes el tiempo que hicieron de 
su casa a la universidad (redondeados a los cinco minutos más próximos). Los resultados de la encuesta 
son: 
20, 25, 25, 15, 25, 05, 20, 25, 30, 25, 30, 15, 40, 20, 20,40, 25, 25, 10, 20, 15, 20, 25, 45, 25, 
25, 10, 25, 05, 45, 25, 15, 20, 30, 35, 25, 35, 25, 30, 35, 40, 10, 25, 30, 30, 25, 35, 30, 20, 15. 
Definimos la variable: X = Medir el tiempo que hace un estudiante de su casa a la 
universidad (redondeados a los cinco minutos más próximos) 
 
La variable es Cuantitativa Discreta con escala de medición de Proporción o Razón 
Tabla Estadística 
Clases 
Frecuencia Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
05 2 0.04 2 0.04 
10 3 0.06 5 0.10 
15 5 0.10 10 0.20 
20 8 0.16 18 0.36 
25 16 0.32 34 0.68 
30 7 0.14 41 0.82 
35 4 0.08 45 0.90 
40 3 0.06 48 0.96 
45 2 0.04 50 1 
Total n=50 1 
 
 
 
 
Tabla Estadística 
Clases 
Frecuencia Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
05 2 4 2 4 
10 3 6 5 10 
15 5 10 10 20 
20 8 16 18 36 
25 16 32 34 68 
30 7 14 41 82 
35 4 8 45 90 
40 3 6 48 96 
45 2 4 50 100 
Total n=50 1 
16 estudiantes hacen 25 minutos de su casa a la Universidad 
El 14 % de los estudiantes hacen 30 minutos de su casa a la Universidad 
18 estudiantes hacen a lo más 20 minutos de su casa a la Universidad 
El 68 % de los estudiantes hacen a lo más 25 minutos de su casa a la Universidad 
 
 
 
Representación Gráfica. 
La información contenida en una tabla de distribución de frecuencias puede representarse gráficamente 
mediante: 
 
1. Gráficas de Barra, también llamadas Histogramas y consiste en la construcción de rectángulos 
para cada clase cuya altura puede ser: 
1.1 La frecuencia de clase ( if ) y se le denomina Histograma de Frecuencia. 
1.2 La frecuencia relativa de clase ( if
~
) y se le denomina Histograma de frecuencias Relativas. 
1.3 La frecuencia acumulada ( iF ) y se les denomina Histograma de Frecuencia Acumulada. 
1.4 La Frecuencia Relativa Acumulada ( iF
~
) y se le denomina Histograma de Frecuencias Relativas 
Acumuladas. 
 
2. Gráficas Circulares, también conocidas como gráficas de pastel, y consiste en dividir una 
circunferencia en sectores, con áreas proporcionales a los porcentajes que se desea representar, es 
decir, cada sector tendrá un ángulo central de tamaño “( if
~
)(360°)” 
3. Gráficas de Línea, llamadas también Polígonos y consiste en unir todos los puntos cuya primer 
componentes es la clase ( ic ) y la segunda componente puede ser: 
3.1. La frecuencia de clase ( if ), en este caso recibe el nombre de Polígono de Frecuencia. 
3.2. La frecuencia relativa de clase ( if
~
), en este caso se le denomina Polígono de frecuencias 
Relativas. 
3.3. La frecuencia acumulada ( iF ) y se le conoce con el nombre de Polígono de Frecuencia 
Acumulada u Ojiva. 
3.4. La Frecuencia Relativa Acumulada ( iF
~
) y se le llama Polígono de Frecuencias Relativas 
Acumuladas u Ojiva Porcentual. 
 
Observaciones: 
i. Si el nivel máximo alcanzado por la variable, es Nominal, entonces es recomendable representar 
la información gráficamente mediante 1.1, 1.2, y 2. 
ii. Si la escala de medición en Ordinal, el tipo de gráficas que se recomienda emplear para representar 
la información es 1 y 2. 
iii. Finalmente, si la escala de medición es de la variable es de Intervalo ó Proporción regularmente 
se emplean las gráficas 1 y 3, sin descartar la posibilidad de 2. 
 
Tarea 2: Completar la información de la tabla estadística 
1. Con el fin de estimar cual es el deporte que se practica con mayor frecuencia entre los empleados de una 
pequeña industria de la localidad, la cual tiene a 500 empleados a su servicio, el jefe de personal selecciona 
una muestra aleatoria de 30 empleados de dicha industria. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente 
tabla: 
 
CLASES Beisbol Futbol Tenis Baloncesto Natación 
EMPLEADOS 10 8 6 4 2 
 
a. Defina la variable, diga de que tipo es y su escala de medición. 
 
X: “Determinar el deporte que practica un empleado de la empresa” 
Variable es Cualitativa con escala de medición Nominal 
 
b. Complete la información de la tabla 
 
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
Béisbol 10 0.3333 10 
Futbol 8 0.2666 18 
Tenis 6 0.2000 24 
Baloncesto 4 0.1333 28 
Natación 2 0.0666 30 
Total n = 30 1 
 
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
Baloncesto 4 0.1333 4 
Natación 2 0.0666 6 
Béisbol 10 0.3333 16 
Tenis 6 0.2000 22 
Futbol 8 0.2666 30 
Total n = 30 1 
 
Con base a las tablas anteriores, concluimos que, lo correcto es: 
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
Baloncesto 4 0.1333 Cuando la variable es 
Cualitativa-Nominal, éstos 
valores no tienen sentido, 
es decir, no deben de ser 
determinados. 
Natación 2 0.0666 
Béisbol 10 0.3333 
Tenis 6 0.2000 
Futbol 8 0.2666 
Total n = 30 1 
 
Baloncesto
13%Natación
7%
Béisbol
33%
Tenis
20%
Futbol
27%
Deporte de Preferencia
Baloncesto
Natación
Béisbol
Tenis
Futbol
0.1333
0.0666
0.3333
0.2
0.2666
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Baloncesto Natación Béisbol Tenis Futbol
Histograma de Frecuencias
Relativas
4
2
10
6
8
0
2
4
6
8
10
12
Baloncesto Natación Béisbol Tenis Futbol
Tí
tu
lo
 d
el
 e
je
Título del eje
Histograma de Frecuencias
2. Un Geólogo recolectó 120 especímenes de piedra caliza de un área particular, estos tienes el tamaño de un 
puño. Se hace una evaluación cualitativa de la textura de cada espécimen clasificándolo como grano fino 
(F), grano medio (M) ó grano grueso (G), obteniéndose los siguientes resultados:TEXTURA F M G 
FRECUENCIA 32 40 48 
 
a. Defina la variable, diga de que tipo es y su escala de medición. 
X: “La textura de una piedra caliza de un área particular” 
La variable es Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
b. Complete la información de la tabla. 
Textura de 
la Piedra 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
F 32 26.66 32 26.66 
M 40 33.33 72 60 
G 48 40.00 120 100 
Total n = 120 100 
 
Ejemplos. (Clase) 
Ejemplo: (Introductorio para agrupaciones) 
 
 
Agrupación de la información contenida en una muestra. 
En algunas situaciones es difícil realizar un análisis de la información contenida en una muestra, 
debido a la existencia de demasiadas “clases” en la misma, esto nos lleva a la necesidad de agrupar, 
en intervalos de clase, dicha información (perdiendo así la información real), para poder realizar el 
análisis correspondiente de los datos muestrales. 
 
Otras cuestiones a los que nos enfrentaremos, son las siguientes: 
¿Cómo realizar dicha agrupación?; 
¿Cuántos intervalos de clase debemos elegir?; 
¿Cuál será la longitud de cada intervalo? 
 
Recomendaciones para efectuar una agrupación: 
Algunas recomendaciones que se dan para realizar una buena agrupación se enlista a continuación: 
a. El número de intervalos de clase a elegir debe de ser impar. 
b. La marca de clase ( im ) debe de ser de la misma característica de los elementos de la muestra. 
c. Todos los intervalos de clase deben tener la misma longitud. 
d. El número de intervalos a considerar en la agrupación debe de andar entre 5 y 20. 
 
Existe otro criterio que regularmente se emplea para determinar el número de intervalos de clase de 
una agrupación y se denomina Regla de Sturges, la cual establece que: “el número de intervalos de 
clase (k) es igual al entero impar más próximo a 1 + (3.3)log(n), donde n es el tamaño de la muestra”. 
En la siguiente tabla se muestran algunos casos: 
 
Tamaño de 
Muestra (n) 
1 + (3.3)log(n) Número de Intervalos k 
50 1 + (3.3)log(50)= 6.60... 7 
60 1 + (3.3)log(60)= 6.86... 7 
100 1 + (3.3)log(100)= 7.60... 7 
180 1 + (3.3)log(180)=8.44 9 
1 000 1 + (3.3)log(1000)= 10.90.. 11 
10 000 1 + (3.3)log(10000)= 14.20.. 15 
100 000 1 + (3.3)log(100000)= 17.50.. 17 
 
Ejemplo: Para cada caso, proponga una agrupación si 
a. Si el tamaño de muestra es 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎, el dato Mayor es 𝑀 = 30 y el menor es 𝑚 = 9, aplique la 
regla de Sturges. 
1° Aplicando la Regla de Sturges, 1 + (3.3)log(100)= 7.60, el número de intervalos a elegir es 
k=7 
 
2° Debemos calcular el Rango= (Dato Mayor) –(Dato menor): R=M-m = 30 - 9 = 21 
 
3° La longitud de cada intervalo se define como 𝒍 =
𝑹
𝒌
=
𝟐𝟏
𝟕
= 𝟑. Iniciamos la construcción de 
los intervalos, en este caso, con el dato menor 
 
Intervalos de 
Clase 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
[9, 12) 10.5 
[12, 15) 13.5 
[15, 18) 16.5 
[18, 21) 19.5 
[21, 24) 22.5 
[24, 27) 25.5 
[27, 30] 28.5 
 
Intervalos de 
Clase 
Marca de 
Clase 
[9, 12] 10.5 
(12, 15] 13.5 
(15, 18] 16.5 
(18, 21] 19.5 
(21, 24] 22.5 
(24, 27] 25.5 
(27, 30] 28.5 
 
b. Si el tamaño de muestra es 𝒏 = 𝟏𝟗𝟎, el dato Mayor es 𝑀 = 57.3 y el menor es 𝑚 = 16.5 , realizar 
la agrupación con k= 8 intervalos 
1° Aplicando la Regla de Sturges, 1 + (3.3)log(100)= 7.60, el número de intervalos a elegir es 
k=8 
 
2° Debemos calcular el Rango= (Dato Mayor) –(Dato menor): R=M-m = 57.3 -16.5 = 40.8 
3° La longitud de cada intervalo se define como 𝒍 =
𝑹
𝒌
=
𝟒𝟎.𝟖
𝟖
= 𝟓. 𝟏. Iniciamos la construcción 
de los intervalos, en este caso, con el dato menor 
 
 
 
 
 
 
Intervalos 
de Clase 
Marca 
de Clase 
[16.5, 21.6] 19.05 
(21.6, 26.7] 24.15 
(26.7, 31.8] 29.25 
(31.8, 36.9] 34.35 
(36.9, 42] 39.45 
(42, 47.1] 44.55 
(47.1, 52.2] 49.65 
(52.2, 57.3] 54.75 
 
Intervalos 
de Clase 
Marca 
de Clase 
[16.5, 21.5] 
[21.6, 26.6] 
[26.7, 31.7] 
[31.8, 36.8] 
[36.9, 41.9] 
[42, 47] 
[47.1, 52.1] 
[42.2, 57.3] 
 
 
• Diagramas de tallo y hojas. 
Un procedimiento semi-gráfico de presentar la información para variables cuantitativas, que es 
especialmente útil cuando el número de datos de la muestra es pequeño, es el Diagrama de Tallo y 
Hojas de Tukey. Los principios para construirlos son: 
a. Redondear los datos a dos o tres cifras significativas, expresándolos en unidades convenientes. 
b. Disponerlos en una tabla con dos columnas separadas por una línea como sigue: 
b.1. Para datos con dos dígitos, escribir a la izquierda de la línea las decenas -que forma el tallo- y a la 
derecha las unidades, que serán las hojas. Por ejemplo, 87 se escribe 8 / 7 
b.2. Para datos con tres dígitos el tallo estará formado por los dígitos de las centenas y las decenas, que 
se escribirán a la izquierda de la línea, separados de las unidades. 
c. Cada tallo define una clase, y se escribe sólo una vez. El número de hojas representa la frecuencia 
de dicha clase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 19. En un experimento que media el porcentaje de encogimiento al secar, 50 especímenes de 
prueba de arcilla plástica produjeron los siguientes resultados: 
 
19.3 15.8 20.7 18.4 14.9 17.3 21.3 16.1 18.6 20.5 20.5 16.9 18.5 
 18.7 12.3 19.5 22.8 18.8 18.3 16.9 17.9 17.1 22.5 18.8 19.4 17.4 
 18.5 17.5 16.5 17.5 17.3 19.5 19.1 17.5 16.8 16.3 19.0 18.2 17.4 
18.2 17.2 22.5 17.9 17.5 19.3 18.8 19.0 17.4 17.4 22.5 
 
Diagrama de Tallo y Hojas: 
 
Tallo Hojas 
12 3 
13 
14 9 
15 8 
16 1 9 9 5 8 3 
17 3 9 1 4 5 5 3 5 4 2 9 5 4 4 
18 4 6 5 7 8 3 8 5 2 2 8 
19 3 5 4 5 1 0 3 0 
20 7 5 5 
21 3 
22 8 5 5 5 
 
a. Agrupe estos datos en una tabla de frecuencias con intervalos del 1% comenzando en 12. 
 
Intervalos 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
[12, 13] 12.5 1 2 1 2 
(13, 14] 13.5 0 0 1 2 
(14, 15] 14.5 1 2 2 4 
(15, 16] 15.5 1 2 3 6 
(16, 17] 16.5 6 12 9 18 
(17, 18] 17.5 14 28 23 46 
(18, 19] 18.8 13 26 36 72 
(19, 20] 19.5 6 12 42 84 
(20, 21] 20.5 3 6 45 90 
(21, 22] 21.5 1 2 46 92 
(22, 23] 22.5 4 8 50 100 
 n = 50 
¿Es recomendable esta agrupación? NO, Son demasiados intervalos (11), además existe un ERROR de 
sobrecubrimiento del RANGO porque deberíamos de iniciar la agrupación en 12.3 y finalizarla en 22.8, 
siempre y cuando sea posible 
 
Buscaremos una mejor agrupación, aplicando el criterio de que el número de intervalos 
depende del tamaño de la muestra cómo se recomienda 
 
 
 
➢ Aplicaremos la regla de Sturges, para lo cual calculamos el valor de 1 + 3.3log (50) = 6.60, por lo tanto, 
el número de intervalos es k = 7 
Calcular el Rango: R = M – m = 22.8-12.3 = 10.5 
Posteriormente determinamos la longitud de cada intervalo, la cual se define como 
 𝒍 = 
𝑹
𝒌
=
𝟏𝟎.𝟓
𝟕
= 𝟏. 𝟓 
 
Iniciamos la construcción de los intervalos con el dato menor 
 
Intervalos 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
 
[12.3, 13.8] 13.05 1 2 1 2 𝑥1 
(13.8, 15.3] 14.55 1 2 2 4 𝑥2 
(15.3, 16.8] 16.05 5 10 7 14 𝑥3, 𝑥4, . . , 𝑥7 
(16.8, 18.3] 17.55 19 38 26 52 𝑥8, 𝑥9, . . , 𝑥26 
(18.3, 19.8] 19.05 16 32 42 84 𝑥27, 𝑥28, . . , 𝑥42 
(19.8, 21.3] 20.55 4 8 46 92 𝑥43, 𝑥44, 𝑥45, 𝑥46 
(21.3, 22.8] 22.05 4 8 50 100 𝑥47, 𝑥48, 𝑥49, 𝑥50 
 n = 50 
 
• MEDIDAS DESCRIPTIVAS 
Media Aritmética 
 
�̅� =
∑ 𝑚𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
(13.05 ∗ 1) + (14.55 ∗ 1) + (16.05 ∗ 5) + (17.55 ∗ 19) + (22.05 ∗ 4)
50
 
�̅� =
916.5
50
= 18.33 ➔ El porcentaje de encogimiento promedio de los 50 especímenes es del 18.33% 
 
Moda 
Primeramente, identificamos el intervalo en el que se encuentra la moda, que es el de mayorfrecuencia: (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (16.8, 18.3], el valor de la moda es: 
 
�̂� = 𝐿𝑚−1 + [
(𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1)
𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1) + 𝑓𝑚 − 𝑓𝑚+1)
] 𝑙𝑚 = 16.8 + [
(19 − 5)
(19 − 5) + (19 − 16)
] (1.5) 
�̂� = 16.8 + [
14
14 + 3
] (1.5) = 16.8 + 1.23 = 18.03 
El porcentaje de encogimiento más común de los 50 especímenes es del 18.03% 
 
Mediana 
Primeramente, debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra la mediana, el cual es 
(𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (16.8, 18.3] , el valor de la mediana es: 
�̃� = 𝐿𝑚−1 + [
𝑛
2 − 𝑭𝒎−𝟏
𝑓𝑚
] 𝑙𝑚 = 16.8 + [
25 − 7
19
] (1.5) = 16.8 + 1.42 = 18.22 
 
El porcentaje de encogimiento central de los 50 especímenes es del 18.22% 
 
 
Medidas de Posición: 
Cuartiles 
Cuartil 1: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 1, es 
decir, el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗1
4
) = 12.5, el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = ( 16.8, 18.3], el 
valor del cuartil es 
𝑄1 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 1
4
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 16.8 + [
12.5 − 7
19
] (1.5) = 16.8 + 0.43 = 17.23 % 
 
Cuartil 2 (es la mediana) 𝑄2 = �̃� = 18.22 % 
Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 2, es decir, el 
intervalo que contiene la posición (
𝑛∗2
4
) = 25 , el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (16.8, 18.3], el valor del 
cuartil es 
 
𝑄2 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛∗2
4
−𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 16.8 + [
25−7
19
] (1.5) = 16.8 + 1.42 = 18.22 % 
 
Cuartil 3: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 3, es 
decir, el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗3
4
) = 37.5, el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (18.3, 19.8], el valor 
del cuartil es 
 
𝑄3 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 3
4
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 18.3 + ⌈
37.5 − 26
16
⌉ (1.5) = 18.3 + 1.07 = 19.37 % 
 
Decil 6: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el decil 6, es decir, 
el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗6
10
) = 30 , el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (18.3, 19.8], el valor del 
decil es 
 
𝐷6 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 6
10
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 18.3 + ⌈
30 − 26
16
⌉ (1.5) = 18.3 + 0.375 = 18.675 % 
 
Rango Intercuartílico: 
𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 = 19.37 − 17.23 = 2.14 % 
 
Varianza: 
 
𝑆2 =
∑ (𝑚𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑘
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
𝑆2 = 
(13.05 − 18.33)2 ∗ 1 + (14.55 − 18.33)2 ∗ 1 + (16.05 − 18.33)2 ∗ 5 + ⋯ + (22.05 − 18.33)2 ∗ 4
49
 
𝑆2 =
163.08
49
= 3.3281 (%)2 
La variación promedio, del encogimiento de los 50 especímenes con respecto al 18.33 %, es de 3.32 (%)2 
 
La Desviación Estándar 
𝑆 = √𝑆2 = √3.3281 = 1.8243 
La variación promedio, del encogimiento de los 50 especímenes con respecto al 18.33%, es de 1.82% 
 
 
Desviación Media: 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑚𝑖 − �̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=𝑖
𝑛
=
|𝑚1 − �̅�|𝑓1 + |𝑚2 − �̅�|𝑓2 + ⋯ . +|𝑚𝑘 − �̅�|𝑓𝑘
𝑛
 
𝐷𝑀
=
|13.05 − 18.33| ∗ 1 + |14.55 − 18.33| ∗ 1 + |16.05 − 18.33| ∗ 5 + |17.55 − 18.33| ∗ 19 + |19.05 − 18.33| ∗ 16 + |20.55 − 18.33| ∗ 4 + |22.05 − 18.33| ∗ 4
50
 
 
𝐷𝑀 =
70.56
50
= 1.411 
 
La variación promedio, en valor absoluto, del encogimiento de los 50 especímenes con respecto al 18.33 %, es de 1.41 % 
 
 
 
➢ Si consideramos k = 6 intervalos de clase, longitud de cada intervalo es: 
 𝒍 = 
𝑹
𝒌
=
𝟏𝟎.𝟓
𝟔
= 𝟏. 𝟕𝟓 , vamos a considerar otro valor para la longitud 𝒍𝑵 = 𝟏. 𝟖 ➔ el 
cubrimiento es 𝑹𝑵 = 𝒍𝑵 ∗ 𝒌 = (𝟏. 𝟖)(𝟔) = 𝟏𝟎. 𝟖 
El error de sobrecubrimiento del rango “𝑬”, y es 𝑬 = 𝑹𝑵 − 𝑹 = 𝟏𝟎. 𝟖 − 𝟏𝟎. 𝟓 = 𝟎. 𝟑 
para iniciar la construcción de los intervalos de clase, repartiremos equitativamente, en los dos 
extremos, el error de sobrecubrimiento 
𝑬
𝟐
= 𝟎. 𝟏𝟓, iniciamos la construcción de los intervalos en 
INICIO: 𝒎 − 
𝑬
𝟐
= 𝟏𝟐. 𝟑 − 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟏𝟐. 𝟏𝟓 
FIN: 𝑴 + 
𝑬
𝟐
= 𝟐𝟐. 𝟖 + 𝟎. 𝟏𝟓 = 𝟐𝟐. 𝟗𝟓 
 
Intervalos Marca de 
Clase 
Frecuencia Frecuencia 
Relativa (%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada (%) 
[12.15, 13.95] 13.05 1 2 1 2 
(13.95, 15.75] 14.85 1 2 2 4 
(15.75, 17.55] 16.65 19 38 21 42 
(17.55, 19.35] 18.45 18 36 39 78 
(19.35, 21.15] 20.25 6 12 45 90 
(21.15, 22.95] 22.05 5 10 50 100 
 
 
 
• Medidas descriptivas. 
En el tratamiento de datos es útil, en ocasiones necesario, resumir las características principales de los 
datos muestrales. Algunas formas acerca de la manera en que se distribuyen han sido planteadas, otros 
pueden ser, 
¿Cuál es el valor promedio de los datos?, 
 ¿Cuál es el valor de mayor frecuencia?, 
 ¿Cuál es el valor central de los valores ordenados de la muestra? o 
¿Qué tan separados se encuentran entre sí los datos? 
Cuestiones como estas pueden tener respuesta a traves de las medidas descriptivas conocidas como: 
 
a. Medidas de Tendencia Central. 
Se define como el valor central de un conjunto de datos ordenados ó no ordenados, algunas de estas 
medidas son: 
a.1. Media Aritmética: 
*Para Datos No-Agrupados. Dado un conjunto de datos },...,,{ 21 nxxx , definimos la media 
aritmética o media, que denotamos X , como: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
 
o bien, si los datos muestrales se encuentran reunidos en una tabla de distribución de frecuencias, se 
calcula como: 
 
�̅� =
∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
𝑐1𝑓1 + 𝑐2𝑓2 + ⋯ . . + 𝑐𝑘𝑓𝑘
𝑛
 
La media aritmética se interpreta como el valor promedio de los datos muestrales. 
 
**Para Datos Agrupados. Cuando la información muestral se encuentra reunida en intervalos de clase, 
entonces: 
�̅� =
∑ 𝑚𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
𝑚1𝑓1 + 𝑚2𝑓2 + ⋯ . . + 𝑚𝑘𝑓𝑘
𝑛
 
 
 
 a.2 Mediana. 
*Para datos No-Agrupados. Sea },...,,{ 21 nxxx un conjunto de datos ordenados, nxxx  ...21
. Definimos a la mediana, que denotamos X
~
, como el valor tal que el 50% de la información es menor 
ó igual y el otro 50% es mayor igual a ella. 
X
~
 
impar
par
es
es
nsix
nsi
xx
n
nn








 +
=
+
+
2
1
1
22
2
 
 
m.a. {21, 21, 22, 24, 25, 27, 30} de tamaño n = 7 es impar ➔ la mediana es igual 24 
 
𝒏+𝟏
𝟐
=
𝟖
𝟐
= 𝟒 ➔ �̃� = 𝒙𝟒 = 𝟐𝟒 
 
m.a. {21, 21, 22, 24, 25, 27, 30, 32} de tamaño n = 8 es par, ➔ La mediana es 24.5 
𝒙𝟒 = 𝟐𝟒 𝒚 𝒙𝟓 = 𝟐𝟓 
�̃� =
𝒙𝟒 + 𝒙𝟓
𝟐
=
𝟐𝟒 + 𝟐𝟓
𝟐
= 𝟐𝟒. 𝟓 
La mediana se interpreta como valor central de los datos muestrales (ordenados). 
 
** Para Datos Agrupados. Cuando la información muestral se encuentra agrupada en intervalos de 
clase, la mediana se puede calcular mediante un proceso de interpolación de la siguiente manera: 
Primeramente determinados el intervalo de clase donde se encuentra la mediana, intervalo mediano, 
( mmm LLI ,1−= y 
 m
m
m
m l
f
F
n
LX












−
+=
−
−
1
1
2~
 
 
Donde: n :“Tamaño de muestra” 
 1−mL : “Límite inferior de la clase mediana” 
 mf : “Frecuencia de la clase mediana” 
 ml : “Longitud de la clase mediana” 
 1−mF : “Frecuencia acumulada del intervalo anterior a la clase mediana” 
 
a.3 Moda. 
*Para Datos No-Agrupados. La moda de un conjunto de datos se define como el valor de mayor 
frecuencia y se denota X̂ , 
La moda se interpreta como el valor más común de los datos muestrales. 
 
**Para Datos Agrupados. El cálculo de la moda para datos agrupados se efectúa mediante un proceso 
de interpolación de la siguiente manera: 
Primeramente determinados el intervalo donde se encuentra la moda, el de mayor frecuencia, 
denominado Intervalo Modal, ( mmm LLI ,1−= y 
 
( )
( ) ( )
 m
mmmm
mm l
ffff
ff
LmX 





−+−
−
+−=
+−
−
11
11ˆ 
Donde: 1−mL :“Límite inferior de la clase modal” 
 ml : “Longitud de la clase modal” 
 mf : “Frecuencia de la clase modal” 
 1−mf : “Frecuencia de clase del intervalo anterior a la clase modal” 
 1+mf : “Frecuencia de clase del intervalo posterior a la clase modal” 
 
b. Medidas de Posición. 
Dado un conjunto de datos ordenados },...,,{ 21 nxxx , el valor medio que divide a este conjunto de 
datos en dos muestrascon el mismo número de elementos es la mediana. Nuestra intención es extender 
ésta noción a otros valores que nos divida a un conjunto de datos ordenados en k partes iguales. A este 
tipo de medidas se les llaman Medidas de Posición: 
 
b.1 Cuartiles. 
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 4 partes iguales y los denotamos por 𝑸𝒌 con 3,2,1=k . 
 
Para determinar el valor de los cuartiles, debemos atender el siguiente procedimiento: 
𝑸𝟏, 𝑸𝟐 𝒚 𝑸𝟑 
• Primeramente determinamos el valor de 
(𝒏)(𝒌)
𝟒
, para identificar la posición del cuartil 
𝑸𝒌, y aplicaremos el siguiente criterio: 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟒
 es un número entero, le sumaremos 0.5 y el valor del cuartil, será el 
promedio de los valores que contengan dicha posición. 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟒
 no es entero, lo aproximamos al ENTERO INMEDIATO SUPERIOR, 
el valor del cuartil es el que se encuentre en dicha posición 
Ejemplo: 
 
m.a. {21, 21,23, 23, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 32} de tamaño n =12 
m.a. {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12} 𝑥8 = 25 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟑, 𝑸𝟐 = 𝟐𝟒. 𝟓 𝒚 𝑸𝟑 = 𝟐𝟔. 𝟓 
 
k (𝒏)(𝒌)
𝟒
 
Posición de 
𝑸𝒌 
Valor de 𝑸𝒌 
1 (𝟏𝟐)(𝟏)
𝟒
= 𝟑 
𝒙𝟑.𝟓 𝑸𝟏 =
𝑥3 + 𝑥4
𝟐
=
𝟐𝟑 + 𝟐𝟑
𝟐
= 𝟐𝟑 
2 (𝟏𝟐)(𝟐)
𝟒
= 𝟔 
𝒙𝟔.𝟓 𝑸𝟐 = 
𝑥6 + 𝑥7
𝟐
=
𝟐𝟒 + 𝟐𝟓
𝟐
= 𝟐𝟒. 𝟓 = �̃� 
3 (𝟏𝟐)(𝟑)
𝟒
= 𝟗 
𝒙𝟗.𝟓 𝑸𝟑 = 
𝑥9+ 𝑥10
𝟐
=
𝟐𝟔+𝟐𝟕
𝟐
= 𝟐𝟔. 𝟓 
 
 
 
.2 Deciles. 
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 10 partes iguales y los denotamos por 𝐷𝑘 con 𝑘 =
1, 2, 3, … . , 9. 
 
Para determinar el valor de los deciles, debemos atender el siguiente procedimiento: 
𝑫𝟏, 𝑫𝟐, … . 𝑫𝟗 
• Primeramente determinamos el valor de 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎
, para identificar la posición del decil 𝑫𝒌, 
y aplicaremos el siguiente criterio: 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎
 es un número entero, le sumaremos 0.5 y el valor del decil, será el 
promedio de los valores que contengan dicha posición. 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎
 no es entero, lo aproximamos al ENTERO INMEDIATO SUPERIOR, 
el valor del decil es el que se encuentre en dicha posición 
 
k (𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎
 
Posición de 
𝑫𝒌 
Valor de 𝑫𝒌 
4 (𝟏𝟐)(𝟒)
𝟏𝟎
= 𝟒. 𝟖 
𝒙𝟓 𝑫𝟒 = 𝒙𝟓 = 𝟐𝟐 
7 (𝟏𝟐)(𝟕)
𝟏𝟎
= 𝟖. 𝟒 
𝒙𝟗 𝑫𝟕 = 𝒙𝟗 = 𝟐𝟔 
5 (𝟏𝟐)(𝟓)
𝟏𝟎
= 𝟔 
𝒙𝟔.𝟓 𝑫𝟓 = 
𝑥6+ 𝑥7
𝟐
=
𝟐𝟒+𝟐𝟓
𝟐
= 𝟐𝟒. 𝟓 = �̃� 
 
b.3 Percentiles. 
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales y los denotamos por 𝑃𝑘 con 𝑘 =
1, 2, 3, … . , 99. 
 
Para determinar el valor de los percentiles, debemos atender el siguiente procedimiento: 
𝑷𝟏, 𝑷𝟐, … . 𝑷𝟗𝟗 
• Primeramente determinamos el valor de 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎𝟎
, para identificar la posición del 
PERCENTIL 𝑷𝒌, y aplicaremos el siguiente criterio: 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎𝟎
 es un número entero, le sumaremos 0.5 y el valor del percentil, será el 
promedio de los valores que contengan dicha posición. 
➢ Si 
(𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎𝟎
 no es entero, lo aproximamos al ENTERO INMEDIATO SUPERIOR, 
el valor del percentil es el que se encuentre en dicha posición 
 
 
𝑷𝟒𝟓 
(𝟏𝟐)(𝟒𝟓)
𝟏𝟎𝟎
= 𝟓. 𝟒 ➔𝑷𝟒𝟓 = 𝒙𝟔 = 𝟐𝟒 
 
 
c. Medidas de Dispersión. 
La separación de los datos entre sí es determinada mediante las medidas de dispersión. Algunas 
constituyen un valor promedio de que tanto se dispersan los datos de la colección. Agregamos, que el 
objeto de las medidas de las medidas de dispersión es el determinar el grado de homogeneidad de los 
datos y la representatividad de una medida de tendencia central. Algunas de éstas medidas son: 
 
c.1 Rango (R). 
Se define como la diferencia entre el dato mayor (M) y el dato menor (m) de la muestra y se denota 
por R. 
R = M-m 
El Rango es la separación (distancia, variación, dispersión) entre el Dato Mayor y el Dato menor 
m.a. {21, 21,23, 23, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 32} de tamaño n =12 
𝑅 = 𝑀 − 𝑚 = 32 − 21 = 11 
 
 
 
c.2. Rango Intercuartílico (RI) 
Se define como la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1) y se denota por RI. 
RI = Q3 - Q1 
RI = Q3 - Q1 = 26.5 – 23= 3.5 
El Rango Intercuartílico es la separación (distancia, variación, dispersión) entre el Tercer Cuartil y el 
Primer Cuartil 
 
 
c.3. Desviación Media (DM). 
*Para Datos No-Agrupados. Sea },...,,{ 21 nxxx un conjunto de datos muestrales, definimos la 
Desviación Media, que denotamos DM, como: 
DM 
n
Xx
n
i
i
=
−
= 1 
𝐷𝑀 =
|𝑥1 − �̅�| + |𝑥2 − �̅�| + ⋯ . +|𝑥𝑛 − �̅�|
𝑛
 
La Desviación Media es la Dispersión (Distancia, separación, variación) promedio, en valor 
absoluto, existente entre los valores de la muestra (xi) y la media Aritmética (�̅�) 
 
o bien, si los datos muestrales se encuentran reunidos en una tabla de distribución de frecuencias, se 
calcula como: 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑐𝑖 − �̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 = 
|𝑐1 − �̅�|𝑓1 + |𝑐2 − �̅�|𝑓2 + ⋯ . +|𝑐𝑘 − �̅�|𝑓𝑘
𝑛
 
**Para Datos Agrupados. Cuando la información muestral se encuentra reunida en intervalos de clase, 
entonces: 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑚𝑖 − �̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 = 
|𝑚1 − �̅�|𝑓1 + |𝑚2 − �̅�|𝑓2 + ⋯ . +|𝑚𝑘 − �̅�|𝑓𝑘
𝑛
 
c.4. Varianza (S2) 
La varianza S2, de un conjunto de datos muestrales },...,,{ 21 nxxx se define como: 
𝑆2 =
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
=
(𝑥1 − �̅�)
2 + (𝑥2 − �̅�)
2 + ⋯ . +(𝑥𝑛 − �̅�)
2
𝑛 − 1
 
Varianza es la Dispersión (Distancia, separación, variación) promedio, en unidades cuadradas, 
existente entre los valores de la muestra (xi) y la media Aritmética (�̅�) 
 
 
o bien, si los datos muestrales se encuentran reunidos en una tabla de distribución de frecuencias, se 
calcula como: 
𝑆2 =
∑ (𝑐𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
**Para Datos Agrupados. Cuando la información muestral se encuentra reunida en intervalos de clase, 
entonces: 
𝑆2 =
∑ (𝑚𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
c.5. Desviación Estándar (S). 
La Desviación Estándar S, de un conjunto de datos muestrales },...,,{ 21 nxxx se define como la raíz 
cuadrada de la varianza, 
𝑆 = √𝑆2 
La Desviación Estándar es la Dispersión (Distancia, separación, variación) promedio, existente entre 
los valores de la muestra (xi) y la media Aritmética (�̅�) 
 
 
d. Medidas de Sesgo. 
El sesgo se define como el grado de asimetría de un polígono de frecuencias (suavizado), éste puede 
ser: 
Sesgo Positivo: Es cuando la curva de frecuencias tiene una cola más alargada a la derecha del valor 
máximo central. 
Sesgo Negativo: Es cuando la curva de frecuencias tiene una cola más alargada a la izquierda del valor 
máximo central. 
Sesgo Nulo: Es cuando la curva es simétrica con respecto al valor máximo central. 
 
 
Por otra parte, existen dos formas de calcular el coeficiente se sesgo que son: 
 
Coeficiente Fórmula Interpretación 
Pearson CP =
( )
S
XX
~
3 −
 
CP<0 implica sesgo negativo 
CP>0 implica sesgo positivo 
CP=0 implica sesgo nulo 
Momentos 
CP = 
( )
3
1
3
nS
Xx
n
i
i
=
−
 
CP<0 implica sesgo negativo 
CP>0 implica sesgo positivo 
CP=0 implica sesgo nulo 
 
e. Medidas de Curtosis. 
La curtosis se define como el grado de apuntamiento de un polígono de frecuencias (suavizado), 
generalmente se toma en relación a la distribución normal y éste puede ser: Platicúrtica (apuntamiento 
bajo), Leptocúrtica (apuntamiento alto) y Mesocúrtica (apuntamiento normal). 
Por otra parte, existen una forma de calcular el coeficiente se curtosis que es: 
g = 
( )
3
4
1
4
−
−
=
nS
Xx
n
i
i
, 
Además, si 
g < 0 entonces se tiene una distribución Platicúrtica 
g > 0 entonces se tiene una distribución Leptocúrtica 
g = 0 entonces se tiene una distribución Mesocúrtica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. El primer día de clases del semestre pasado se les preguntó a 50 estudiantes el tiempo que hicieron de su 
casa a la universidad (redondeados a los cinco minutos más próximos). Los resultados de la encuesta son: 
 
20, 25, 25, 15, 25, 05, 20, 25, 30, 25, 30,15, 40, 20, 20,40, 25, 25, 10, 20, 15, 20, 25, 45, 25, 
25, 10, 25, 05, 45, 25, 15, 20, 30, 35, 25, 35, 25, 30, 35, 40, 10, 25, 30, 30, 25, 35, 30, 20, 15. 
 
Definimos la variable: X = Medir el tiempo que hace un estudiante de su casa a la universidad 
(redondeados a los cinco minutos más próximos) 
La variable es Cuantitativa Discreta con escala de medición de Proporción o Razón 
Tabla Estadística 
Clases 
𝑐𝑖 
Frecuencia 
𝑓𝑖 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
 
05 2 0.04 2 0.04 𝑥1, 𝑥2 
 10 3 0.06 5 0.10 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 
15 5 0.10 10 0.20 𝑥6, 𝑥7, . . , 𝑥10 
20 8 0.16 18 0.36 𝑥11, 𝑥12, . . , 𝑥18 
25 16 0.32 34 0.68 𝑥19, 𝑥20, . . , 𝑥34 
30 7 0.14 41 0.82 𝑥35, 𝑥36, . . , 𝑥41 
35 4 0.08 45 0.90 𝑥42, 𝑥43, . . , 𝑥45 
40 3 0.06 48 0.96 𝑥46, 𝑥47, 𝑥48 
45 2 0.04 50 1 𝑥49, 𝑥50 
Total n=50 1 
 
m.a. {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, … . , 𝑥46, 𝑥47, 𝑥48, 𝑥49, 𝑥50} 
m.a. ={05, 05, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 15, 20, ….20, 25, 25, ….., 25, …….40, 40, 40, 45, 45} 
 
 
✓ Medidas de Tendencia Central: 
MEDIA ARITMÉTICA 
�̅� =
∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
𝑐1𝑓1 + 𝑐2𝑓2 + ⋯ . +𝑐𝑘𝑓𝑘
𝑛
 
�̅� =
(5)(2) + (10)(3) + (15)(5) + (20)(8) + (25)(16) + (30)(7) + (35)(4) + (40)(3) + (45)(2)
50
 
�̅� =
1235
50
 = 24.7 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, es decir, el tiempo promedio que hacen los estudiantes de su casa a la 
Universidad, es de 24.7 minutos. 
 
LA MODA 
�̂� = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, es decir, el tiempo más común que hacen los estudiantes de su casa a la Universidad, 
es de 25 minutos. 
 
LA MEDIANA 
El valor de “n=50”, es par, por lo que, la posición de los valores centrales es 
𝑛
2
=
50
2
= 𝟐𝟓, 
𝑛
2
+ 1 = 𝟐𝟔 
 
�̃� =
𝑥𝑛
2
+𝑥𝑛
2
+1
2
= 
𝑥25+𝑥26
2
= 
25+25
2
= 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, es decir, el tiempo central que hacen los 
estudiantes de su casa a la Universidad, es de 25 minutos. 
 
𝑥46 = 40 
 
 
✓ Medidas posición: 
Cuartíles: 
k (𝒏)(𝒌)
𝟒
 
Posición de 
𝑸𝒌 
Valor de 𝑸𝒌 
1 (𝟓𝟎)(𝟏)
𝟒
= 𝟏𝟐. 𝟓 
𝑸𝟏 = 𝒙𝟏𝟑 𝑸𝟏 = 𝒙𝟏𝟑 = 𝟐𝟎 
2 (𝟓𝟎)(𝟐)
𝟒
= 𝟐𝟓 
𝑸𝟐 = 𝒙𝟐𝟓.𝟓 
𝑸𝟐 = 
𝑥25 + 𝑥26
2
=
25 + 25
2
= 25 = �̃� 
3 (𝟓𝟎)(𝟑)
𝟒
= 𝟑𝟕. 𝟓 
𝑸𝟑 = 𝒙𝟑𝟖 𝑸𝟑 = 𝒙𝟑𝟖 = 𝟑𝟎 
 
Decíles: 
𝑫𝟑 = 𝟐𝟎, 𝑫𝟔 = 𝟐𝟓 𝒚 𝑫𝟖 = 𝟑𝟎 
k (𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎
 
Posición de 
𝑫𝒌 
Valor de 𝑫𝒌 
3 (𝟓𝟎)(𝟑)
𝟏𝟎
= 𝟏𝟓 
𝒙𝟏𝟓.𝟓 𝑫𝟑 =
𝑥15+𝑥16
2
=
20+20
2
= 𝟐𝟎 
6 (𝟓𝟎)(𝟔)
𝟏𝟎
= 𝟑𝟎 
𝒙𝟑𝟎.𝟓 
𝑫𝟔 = 
𝑥30 + 𝑥31
2
=
25 + 25
2
= 25 
8 (𝟓𝟎)(𝟖)
𝟏𝟎
= 𝟒𝟎 
𝒙𝟒𝟎.𝟓 
𝑫𝟖 = 
𝑥40 + 𝑥41
2
=
30 + 30
2
= 30 
 
Percentiles: 
𝑷𝟑𝟓 = 𝟐𝟎, 𝑷𝟔𝟖 = 𝟐𝟕. 𝟓 𝒚 𝑷𝟖𝟕 = 𝟑𝟓 
k (𝒏)(𝒌)
𝟏𝟎𝟎
 
Posición de 
𝑷𝒌 
Valor de 𝑷𝒌 
35 (50)(35)
100
= 17.5 
𝒙𝟏𝟖 𝑷𝟑𝟓 = 𝑥18 = 𝟐𝟎 
68 (50)(68)
100
= 34 
𝒙𝟑𝟒.𝟓 
𝑷𝟔𝟖 = 
𝑥34 + 𝑥35
2
=
25 + 30
2
= 27.5 
87 (50)(87)
100
= 43.5 
𝒙𝟒𝟒 𝑷𝟖𝟕 = 𝑥44 = 35 
 
✓ Medidas de dispersión: 
RANGO: 
 𝑅 = 𝑀 − 𝑚 = 45 – 5 = 40 minutos 
 
RANGO INTERCUARTÍLICO: 
 
𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 = 30 − 20 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
DESVIACIÓN MEDIA: 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑐𝑖 − �̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=𝑖
𝑛
=
|𝑐1 − �̅�|𝑓1 + |𝑐2 − �̅�|𝑓2 + ⋯ . +|𝑐𝑘 − �̅�|𝑓𝑘
𝑛
 
50
)2(7.2445)3(7.2440)4(7.2435.....)8(7.2420)5(7.2415)3(7.2410)2(7.245 −+−+−+−+−+−+−
= 
DM= 784.6
50
2.339
= minutos, es decir, la variación promedio, en valor absoluto, de los 
tiempos que hacen los estudiantes de su casa a la Universidad, con respecto a 24.7 
minutos, es de 6.7 minutos 
 
 
 
 
VARIANZA: 
𝑆2 =
∑ (𝐶𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
=
(𝐶1 − �̅�)
2𝑓1 + (𝐶2 − �̅�)
2𝑓2 + ⋯ + (𝐶𝑘 − �̅�)
2𝑓𝑘
𝑛 − 1
 
S2 =
150
)2()7.2445()3()7.2440()4()7.2435(...)5()7.2415()3()7.2410()2()7.245( 222222
−
−+−+−++−+−+−
 
S2= 13.86
49
5.4220
= (minutos)2, es decir, la variación promedio, de los tiempos que 
hacen los estudiantes de su casa a la Universidad, con respecto a 24.7 minutos, 
es de 86.13 (minutos)2 
 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR: 
S= 13.86 =9.2808 minutos, es decir, la variación promedio, de los tiempos que hacen 
los estudiantes de su casa a la Universidad, con respecto a 24.7 minutos, es de 
9.28 minutos. 
 
3. Con el fin de estimar cual es el deporte que se practica con mayor frecuencia entre los empleados de una 
pequeña industria de la localidad, la cual tiene a 500 empleados a su servicio, el jefe de personal selecciona 
una muestra aleatoria de 30 empleados de dicha industria. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente 
tabla: 
X: “Determinar el deporte que practica un empleado de la empresa” 
Variable es Cualitativa con escala de medición Nominal 
 
 
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
Baloncesto 4 0.1333 Cuando la variable es 
Cualitativa-Nominal, éstos 
valores no tienen sentido, 
es decir, no deben de ser 
determinados. 
Natación 2 0.0666 
Béisbol 10 0.3333 
Tenis 6 0.2000 
Futbol 8 0.2666 
Total n = 30 1 
 
MEDIA ARITMÉTICA 
�̅� =
∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
𝑐1𝑓1 + 𝑐2𝑓2 + ⋯ . +𝑐𝑘𝑓𝑘
𝑛
= 
(𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑡𝑜 ∗ 4) +
 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
La única medida que puede determinarse cuando la variable es CUALITATIVA NOMINAL, 
es la Moda 
�̂� = 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑏𝑜𝑙 
 
4. Un Geólogo recolectó 120 especímenes de piedra caliza de un área particular, estos tienes el tamaño de un 
puño. Se hace una evaluación cualitativa de la textura de cada espécimen clasificándolo como grano fino 
(F), grano medio (M) ó grano grueso (G), obteniéndose los siguientes resultados: 
 
X: “La textura de una piedra caliza de un área particular” 
La variable es Cualitativa con escala de medición Ordinal 
 
 
 
 
 
Textura de 
la Piedra 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
F 32 26.66 32 26.66 
M 40 33.33 72 60 
G 48 40.00 120 100 
Total n = 120 100 
 
Solamente es factible determinar el valor de la Moda 
�̂� = 𝐺𝑟𝑎𝑛𝑜 𝐺𝑟𝑢𝑒𝑠𝑜 
 
�̃� =
𝑥𝑛
2
+ 𝑥𝑛
2
+1
2
=
𝑥60 + 𝑥61
2
=
𝑀 + 𝑀
2
= 𝑀 
 
TAREA: Calcular las medidas descriptivas (Tendencia Central, Cuartiles y de Dispersión) 
 
LUGAR 
QUE 
OCUPA 
TEMP 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
1 4 
2 6 
3 3 
4 0 
5 8 
6 6 
7 3 
Total n = 3 100 
 
 
Problema 28: Una compañía electrónica fabrica fuentes de poder para computadoras personales. Se 
producen varios cientos de fuentes en cada turno, y cada unidad se somete a una prueba de quemado de 12 
horas. El número de unidades que falla durante esta prueba de 12 horas en cada turno resultó ser: 
 
3 4 2 5 6 10 5 4 3 11 9 2 7 8 4 2 6 5 4 3 2 8 10 9 11 
6 7 9 1 14 13 10 9 8 10 3 2 4 6 4 10 8 7 14 13 12 5 4 6 5 
4 8 4 10 14 8 12 4 5 14 2 8 6 10 8 6 4 6 15 4 7 5 3 2 6 
7 2 6 9 10 7 9 16 11 13 3 13 3 7 3 2 9 4 13 3 6 5 10 6 7 
6 1 4 13 12 10 2 5 7 10 4 2 2 6 4 10 8 14 6 4 4 8 7 9 2 
7 8 4 7 3 6 7 8 4 12 6 17 5 10 8 9 11 7 2 8 10 7 4 3 6 
 
a. Definir la variable, clasificarla y asignarle la escala de medición correspondiente: 
X: “El número de unidades que falla durante una prueba de 12 horas en cada turno” 
Variables es cuantitativa discreta con escala de medición de Razón o Proporción 
 
b. Presente la información muestral en una tabla Estadística 
 
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
1 2 0.0133 2 0.0133 
2 14 0.0933 16 0.1067 
3 11 0.0733 27 0.1800 
4 21 0.1400 48 0.3200 
5 10 0.0667 58 0.3867 
6 18 0.1200 76 0.5067 
7 15 0.1000 91 0.6067 
8 14 0.0933 105 0.7000 
9 9 0.0600 114 0.7600 
10 14 0.0933 128 0.8533 
11 4 0.0267 132 0.8800 
12 4 0.0267 136 0.9067 
13 6 0.0400 142 0.9467 
14 5 0.0333 147 0.9800 
15 1 0.0067 148 0.9867 
16 1 0.0067 149 0.9933 
17 1 0.0067 150 1.0000 
 n= 150 
 
 
c. Agrupa la información mediante intervalos de clase 
c.1 Aplique la regla de Sturges 
Regla de Sturges estableceque: el número de intervalos es el entero impar más cercano 
a 1+3.3Log(150)= 8.181101…. ➔ El número de intervalos es 9 
Si consideramos k = 9 intervalos de clase, longitud de cada intervalo es: 
 𝒍 = 
𝑹
𝒌
= 
𝟏𝟔
𝟗
= 𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 , vamos a considerar otro valor para la longitud 𝒍𝑵 = 𝟐 ➔ 
el cubrimiento es 𝑹𝑵 = 𝒍𝑵 ∗ 𝒌 = (𝟐)(𝟗) = 𝟏𝟖 
El error de sobrecubrimiento del rango “𝑬”, y es 𝑬 = 𝑹𝑵 − 𝑹 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟔 = 𝟐 
para iniciar la construcción de los intervalos de clase, repartiremos equitativamente, en los dos 
extremos, el error de sobrecubrimiento 
𝑬
𝟐
= 𝟏, iniciamos la construcción de los intervalos en 
INICIO: 𝒎 − 
𝑬
𝟐
= 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 
FIN: 𝑴 + 
𝑬
𝟐
= 𝟏𝟕 + 𝟏 = 𝟏𝟖 
 
 
 
Intervalos 
Marcas de 
Clase 
Frecuencia Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
[0, 2] 1 16 10.67 16 10.67 
(2, 4] 3 32 21.33 48 32.00 
(4, 6] 5 28 18.67 76 50.67 
(6, 8] 7 29 19.33 105 70.00 
(8, 10] 9 23 15.33 128 85.33 
(10, 12] 11 8 5.33 136 90.67 
(12, 14] 13 11 7.33 147 98.00 
(14, 16] 15 2 1.33 149 99.33 
(16, 18] 17 1 0.67 150 100.00 
 
c.2 Agrupar la información considerando 8 intervalos de clase 
 
Si consideramos k = 8 intervalos de clase, longitud de cada intervalo es: 
 𝒍 = 
𝑹
𝒌
= 
𝟏𝟔
𝟖
= 𝟐 
INICIO: 𝒎 
FIN: 𝑴 
 
Intervalos 
de Clase 
Marcas de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
[1, 3] 2 27 18.00 27 18.00 
(3, 5] 4 31 20.67 58 38.67 
(5, 7] 6 33 22.00 91 60.67 
(7, 9] 8 23 15.33 114 76.00 
(9, 11] 10 18 12.00 132 88.00 
(11, 13] 12 10 6.67 142 94.67 
(13, 15] 14 6 4.00 148 98.67 
(15, 17] 16 2 1.33 150 100.00 
27
31
33
23
18
10
6
2
[1, 3] (3, 5] (5, 7] (7, 9] (9, 11] (11, 13] (13, 15] (15, 17]
Histograma de Frecuencias
27
31
33
23
18
10
6
2
2 4 6 8 10 12 14 16
Fr
e
cu
e
n
ci
a
Marcas de Clase
Histograma de Frecuencias
 
 
• MEDIDAS DESCRIPTIVAS 
Media Aritmética 
 
�̅� =
∑ 𝑚𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
(2 ∗ 27) + (4 ∗ 31) + (6 ∗ 33) + (8 ∗ 23) + (10 ∗ 18) + (12 ∗ 10) + (14 ∗ 6) + (16 ∗ 2)
150
 
�̅� =
976
150
= 6.5 ➔ El número de unidades que fallan en promedio, durante una prueba de 12 horas 
en cada turno es de 6.5 fuentes 
 
 
Moda 
Primeramente, identificamos el intervalo en el que se encuentra la moda, que es el de mayor 
frecuencia: (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (5, 7], el valor de la moda es: 
 
�̂� = 𝐿𝑚−1 + [
(𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1)
𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1) + 𝑓𝑚 − 𝑓𝑚+1)
] 𝑙𝑚 = 5 + [
(33 − 31)
(33 − 31) + (33 − 23)
] (2) 
�̂� = 5 + [
2
2 + 10
] (2) = 5 + 0.33 = 5.33 
El número de unidades más común, que fallan durante una prueba de 12 horas en cada turno es de 
5.3 fuentes 
 
Mediana n= 150 
Primeramente, debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra la mediana (
𝑛
2
= 75), el 
cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (5, 7] , el valor de la mediana es: 
�̃� = 𝐿𝑚−1 + [
𝑛
2
− 𝑭𝒎−𝟏
𝑓𝑚
] 𝑙𝑚 = 5 + [
75 − 58
33
] (2) = 5 + 1.03 = 6.03 
 
El número de unidades central, que fallan durante una prueba de 12 horas en cada turno es de 6.03 
fuentes 
 
18.00
20.67
22.00
15.33
12.00
6.67
4.00
1.33
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
2 4 6 8 10 12 14 16
Histograma de Frecuencias Relativas
(%)
 
Medidas de Posición: 
Cuartiles 
Cuartil 1: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 1, es 
decir, el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗1
4
) = 37.5, el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = ( 3, 5], el valor 
del cuartil es 
𝑄1 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 1
4
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 3 + [
37.5 − 27
31
] (2) = 3 + 0.67 = 3.67 
 
Cuartil 2 (es la mediana) 𝑄2 = �̃� = 6.03 
Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 2, es decir, el 
intervalo que contiene la posición (
𝑛∗2
4
) = 75 , el cual es ((𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (5, 7] , el valor de la 
mediana es: 
 
𝑄2 = �̃� = 𝐿𝑚−1 + [
𝑛
2
− 𝑭𝒎−𝟏
𝑓
𝑚
] 𝑙𝑚 = 5 + [
75 − 58
33
] (2) = 5 + 1.03 = 6.03 
 
 
Cuartil 3: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el cuartil 3, es 
decir, el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗3
4
) = 112.5, el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (7, 9], el valor del 
cuartil es 
 
𝑄3 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 3
4
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 7 + ⌈
112.5 − 91
23
⌉ (2) = 7 + 1.86 = 8.86 
 
Decil 6: Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el decil 6, es decir, 
el intervalo que contiene la posición (
𝑛∗6
10
) = 90 , el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (5, 7], el valor del decil es 
 
𝐷6 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛 ∗ 6
10
− 𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 5 + ⌈
90 − 58
33
⌉ (2) = 5 + 1.93 = 6.93 
 
Rango Intercuartílico: 
𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 = 8.86 − 3.67 = 
 
Varianza: 
 
𝑆2 =
∑ (𝑚𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑘
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
 
𝑆2 = 
(2 − 6.5)2 ∗ 27 + (4 − 6.5)2 ∗ 31 + (6 − 6.5)2 ∗ 33 + ⋯ + (16 − 6.5)2 ∗ 2
149
 
𝑆2 =
1841.5
149
= 12.35 (𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)2 
La variación promedio, del número de fuentes que fallan por turno con respecto a las que fallan en promedio, es 
de 12.35 (𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)2 
 
La Desviación Estándar 
𝑆 = √𝑆2 = √12.35 = 3.51 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
La variación promedio, del número de fuentes que fallan por turno con respecto a las que 
fallan en promedio, es de 3.51 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
 
 
Desviación Media: 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑚𝑖 − �̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=𝑖
𝑛
=
|𝑚1 − �̅�|𝑓1 + |𝑚2 − �̅�|𝑓2 + ⋯ . +|𝑚𝑘 − �̅�|𝑓𝑘
𝑛
 
𝐷𝑀 =
|2 − 6.5| ∗ 27 + |4 − 6.5| ∗ 31 + |6 − 6.5| ∗ 33 + ⋯ + |14 − 6.5| ∗ 6 + |16 − 6.5| ∗ 2
150
 
 
𝐷𝑀 =
432
150
= 2.88 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
La variación promedio, en valor absoluto, del número de fuentes que fallan por turno con 
respecto a las que fallan en promedio, es de 2.88 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
 
TAREA: 
Con el fin de estimar la estatura promedio y la distribución de las estaturas de los adolescentes de una comunidad 
determinada, se elige una muestra aleatoria de 40 adolescentes de dicha comunidad. Los resultados de las 
mediciones, con una aproximación de centésimas de metro, efectuadas en los 40 elementos son: 
1.54, 1.57, 1.64, 1.75, 1.74, 1.63, 1.57, 1.54, 1.72, 1.61, 
1.57, 1.53, 1.53, 1.57, 1.60, 1.71, 1.51, 1.50, 1.48, 1.48, 
1.46, 1.39, 1.56, 1.56, 1.50, 1.59, 1.60, 1.60, 1.54, 1.55, 
1.55, 1.55, 1.59, 1.59, 1.69, 1.65, 1.64, 1.64, 1.64, 1.64. 
a. Defina la variable, clasifíquela y asigne la escala de medición correspondiente. 
𝑋: "𝑀𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑎𝑑𝑜𝑙𝑒𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒; es una variable Cuantitativa Continua con escala de medición 
de Razón o Proporción 
 
b. Elabore una Tabla Estadística para este conjunto de datos empleando 6 intervalos. 
El tamaño de muestra es 𝒏 = 𝟒𝟎, el dato Mayor es 𝑀 = 1.75 y el menor es 𝑚 = 1.39 , 
realizaremos la agrupación con k= 6 intervalos. 
Debemos calcular el Rango= (Dato Mayor) –(Dato menor): R=M-m = 1.75 – 1.39 = 0.36 
La longitud de cada intervalo se define como 𝒍 =
𝑹
𝒌
=
𝟎.𝟑𝟔
𝟔
= 𝟎. 𝟎𝟔 
Iniciamos la construcción de los intervalos, en este caso, con el dato menor 
 
Intervalos 
de Clase 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
[1.39,1.45] 1.42 1 0.025 1 0.025 
(1.45, 1.51] 1.48 6 0.15 7 0.175 
(1.51, 1.57] 1.54 14 0.35 21 0.525 
(1.57, 1.63] 1.6 8 0.2 29 0.725 
(1.63, 1.69] 1.66 7 0.175 36 0.9 
(1.69, 1.75] 1.72 4 0.1 40 1 
¿Qué porcentaje de adolescentes tienen una estatura superior a 1.63 metros? 27.5% 
c. Elabore una Tabla Estadística para este conjunto de datos empleando 7 intervalos. 
Realizaremos la agrupación con k= 7 intervalos. R=M-m = 1.75 – 1.39 = 0.36 
La longitud de cada intervalo se define como 𝒍 =
𝑹
𝒌
=
𝟎.𝟑𝟔
𝟕
= 𝟎. 𝟎𝟓𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 …. 
Se recomienda proponer una NUEVA LONGITUD (𝒍𝑵), ésta es: 𝒍𝑵 = 𝟎. 𝟎𝟔 , con esta nueva 
longitud cubriremos el rango sobradamente, es decir, 
𝑹𝑵 = 𝒍𝑵 ∗ 𝒌 = (𝟎. 𝟎𝟔)(𝟕) = 𝟎. 𝟒𝟐 
Lo anterior nos genera un ERROR al cubrirel rango, este error 
𝜺 = 𝑹𝑵 − 𝑹 = 𝟎. 𝟒𝟐 − 𝟎. 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟔 
Para iniciar con la generación de los intervalos, primeramente, repartiremos el ERROR 
equitativamente en los extremos de la distribución, es decir, INICIAREMOS en 𝒎 −
𝜺
𝟐
=
𝟏. 𝟑𝟗 − 𝟎. 𝟎𝟑 = 𝟏. 𝟑𝟔, FINALIZANDO en 
𝑴 +
𝜺
𝟐
= 𝟏. 𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟑 = 𝟏. 𝟕𝟖 
 
Intervalos de 
Clase 
Marca de 
Clase 
Frecuencia Frecuencia 
Relativa 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
[1.36,1.42] 1.39 1 0.025 1 0.025 
(1.42, 1.48] 1.45 3 0.075 4 0.10 
(1.48, 1.54] 1.51 8 0.20 12 0.30 
(1.54, 1.60] 1.57 15 0.375 27 0.675 
(1.60, 1.66] 1.63 8 020 35 0.875 
(1.66, 1.72] 1.69 3 0.075 38 0.95 
(1.72, 1.78] 1.75 2 0.05 40 1 
¿Qué porcentaje de adolescentes tienen una estatura inferior a 1.61 metros? 67.5% 
¿Cuántos adolescentes tienen una estatura superior a 1.54 metros? 28 
¿Cuántos adolescentes tienen una estatura entre 1.48 y 1.67 metros? 31 
¿Cuántos adolescentes tienen una estatura entre 1.45 y 1.70 metros? Sabe 
d. Para la agrupación que Usted considere más viable, calcule las Medidas Descriptivas, todas.