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541214
ELEMENTOS DE MAQUINAS
GABRIEL BARRIENTOS RIOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
MECANICA
Universidad de Concepción
Concepción, Chile
17 de octubre de 2010
Caṕıtulo 8
Uniones por resortes
8.1. Tipos de resortes
Los resortes son elementos de máquinas comunes que tienen varias uti-
lidades, entre las que destacan:
absorber enerǵıa o cargas de impacto
como elementos motores o fuentes de enerǵıa
para producir una presión o fuerza
para absorber vibraciones
La figura 8.1 [7], muestra un resumen de alguno de los muchos tipos de
resortes que aparecen en la literatura especializada. De entre ellos los más
importantes por su amplia aplicación en máquinas comunes son los resortes
de compresión y tracción helicoidales, los resortes de torsión y los resortes
de ballesta.
La relación f́ısica entre la fuerza F que actúa en un resorte y su desplaza-
miento δ se denomina rigidez k del resorte y en general para la mayoŕıa de
los casoso es una relación constante y lineal. Para un resorte de compresión
(o tracción) dicha relación está dad por: F = kδ. En el caso de resortes de
torsión, la relación análoga está dada por la relación T = Kθ, donde T es el
momento de torsión aplicado, θ es el ángulo de torsión y K es la constante
de rigidez torsional.
Las configuraciones que requieren resortes en su diseño, muchas veces
requieren que ellos sean montados en serie y/o en paralelo, que para efectos
de diseño pueden ser siempre tratados como resortes equivalentes desde el
163
164 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.1: Clasificación de distintos tipos de resortes [7]. a. de tracción
b. compresión, c. compresion de sección rectangular, d. compresión cónico
espira circular, e. compresión cónico de espira rectangular, f.barra de torsión,
g. maciso de torsión, h. torsión ciĺındrico helicoidal, i. torsión de espiral, j.
de discos (belleville), k. flexión (ballesta), l. de anillos, m. compresión de
bloque
8.2. HELICOIDALES DE COMPRESIÓN 165
punto de vista de la relación entre la fuerza y su desplazamiento. La figura
8.2 muestra los dos casos básicos de configuraciones en serie y en paralelo y
su forma de calcular la rigidez equivalente en cada caso.
Figura 8.2: Rigidez equivalente para resortes helicoidales de compresión en
serie y/o en paralelo
Según su forma los resortes se pueden clasificar en resortes helicoidales,
planos, de disco, de anillos o de barras. Según el tipo de solicitaciónse clasi-
fican en resortes de compresión, de tracción, de torsión o de flexión. La
figura 8.3 muestra algunos casos clásicos de formas de resortes usados en la
industria.
8.2. Helicoidales de compresión
8.2.1. De espira redonda
En la práctica es el de más amplio uso. Un resorte helicoidal de com-
presión cuya carga está aplicada centradamente sufre una serie de efectos
(esfuerzos). La figura 8.4 muestra la descomposición de fuerzas en una sec-
ción transversal de la espira del resorte. Un análisis en la sección transversal
de la espira indica la presencia de dos efectos: La fuerza F = V de reac-
ción vertical en la espira y el torque T = FD/2, donde D se denomina el
diámetro del resorte (definido en la ĺınea media de la espira) y d el diámetro
166 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.3: Distintos tipos de resortes [16]
de la espira.
Se usa como parámetro de diseño el factor C = D/d definido como el
ı́ndice del resorte. Estas reacciones en la espira pueden descomponerse en
las direcciones normal n y tangencial t a la sección perpendicular a la espira,
originando los siguientes efectos:
Vt = Fcosα produce esfuerzos de corte por flexión (Jourasky)
Vn = Fsenα produce esfuerzos de compresión
Tn produce esfuerzos de torsión
Tt produce esfuerzos de flexión
De ellos el más significativo (como valor numérico absoluto) es el efecto
de torsión dado por Tn por lo que este tipo de resortes se diseña para que
no falle principalmente por corte por torsión en la espira. Algunos autores
consideran el efecto de corte transversal del tipo (Fza/area) tal que se sume
al efecto de torsión de la siguiente forma:
8.2. HELICOIDALES DE COMPRESIÓN 167
τmax =
Tr
J
+
F
A
=
Td/2
πd4/32
+
F
πd2/4
=
8FD
πd3
+
4F
πd2
(8.1)
Figura 8.4: Reacciones en la espira de un resorte de compresión helicoidal
de espira circular. Se muestran las componentes de las cargas en la sección
transversal a la espira
La fórmula 8.1 tiene varias consideraciones que pueden ser tratadas co-
mo una aproximación a la realidad. No se ha considerado el ángulo α de
inclinación de la hélice de la espira respecto a la horizontal. Lo anterior se
justifica ya que se hace un análisis experimental de la influencia del factor
C respecto al factor de concentración de esfuerzos real presente en la espira
por efectos de curvatura y de corte directo.
Reemplazando en la ecuación 8.1 por el factor C = D/d se obtiene:
τmax =
8FD
πd3
(
1 +
0,5
C
)
= Ks
8FD
πd3
(8.2)
donde Ks = (1 + 0,5/C) se denomina factor de corrección del esfuerzo
cortante. Whal experimentalmente determinó un factor que relaciona la cur-
vatura de la espira con los esfuerzos y obtuvo el denominado factor de Whal
Kw dado por la relación:
Kw =
4C − 1
4C − 4
+
0,615
C
(8.3)
Este factor por ser experimental incluye todos los efectos, por lo que se
acostumbra a separarlos según la relación:
Kw = KsKc (8.4)
donde Kc representa el factor de influencia de la curvatura.
La ecuación 8.2 es general y se aplica tanto a cargas estáticas como dinámi-
cas.
168 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Si el problema es estático, el material al fluir eliminará el factor de con-
centración de esfuerzos por curvatura y podrá diseñarse el resorte usando
la ecuación 8.2 es decir, sólo estaŕıamos considerando los efectos de corte
directo.
El gráfico de la figura 8.5 muestra la dependencia del esfuerzo (concen-
trador de tensión) con respecto al ı́ndice del resorte (curvatura y corte).
En él se puede apreciar que para valores de C < 5 el factor K aumenta
aceleradamente, tomándose este valor como la cota inferior respecto de C
en el diseño de estos resortes. La cota superior la entrega la estabilidad del
resorte, la cual en la práctica es del orden de 12, por lo tanto se usa como
criterio:
5 ≤ C ≤ 12 (8.5)
Figura 8.5: Coeficiente de corrección de esfuerzos según Whal. C = D/d
[10]. Faires [10] usa K como Ks
Las ecuaciones dadas son válidas para espiras muy juntas (paso pequeño)
por lo que se debe verificar que el valor del ángulo α = arctg(p/πD) ≤ 12o,
lo que es considerado aceptable sin atentar contra la estabilidad.
Estos apuntes consideran (al igual que el Shiley) en el cálculo el valor de
τ = KW (8FD)/(πd3) para calcular el esfuerzo cortante máximo.
8.2. HELICOIDALES DE COMPRESIÓN 169
8.2.2. Espiras activas
La figura 8.6 muestra distintos tipos de extremos de los resortes de com-
presión. Este efecto influye en los cálculos a través del número de espiras
activas Na. Los cuatro tipos indicados en la figura representan:
(a) un resortes con extremos simples para lo cual se cumple Na = Nf ,
(b) resorte de extremos simples rectificado con Na = Nf − 1,
(c) resorte de extremos cuadrados con Na = Nf − 2 y
(d) resorte de extremos cuadrados y rectificados con Na = Nf − 2.
Nf es el número total de espiras.
Figura 8.6: Distintos tipos de forma de terminación en el extremo del resorte.
de izquierda a redecha: a, b, c y d respectivamente
8.2.3. Deflexión
La deflexión de un resorte helicoidal de compresión se obtiene utilizando
el teorema de castigliano para barras circulares sometidas a corte por flexión
y corte por fuerza tangencial. El valor de la enerǵıa potencial elástica en este
caso está dada por la relación:
U =
T 2L
2GJ
+
F 2L
2AG
(8.6)
Para un resorte se demuestra que:T = FD2 , L = πDNa, J =
πd4
32 y
A = πd
2
4 y reemplazando en la ecuación de la enerǵıa se obtiene:
U =
4F 2D3Na
d4G
+
F 2DNa
d2G
170 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTESLuego aplicando el teorema de Castigliano se puede obtener la deflexión δ.
δ =
∂U
∂F
=
8FD3Na
d4G
(
1 +
1
2C2
)
≈ 8FD
3Na
d4G
como se cumple para un resorte lineal k = F/δ, se tiene para la rigidez k:
k =
d4G
8D3Na
(8.7)
8.2.4. Estabilidad
Los resortes de compresión pueden sufrir efectos de inestabilidad según
las condiciones de apoyos en sus extremos y según la relación C = D/d. La
figura 8.7 muestra la relación deflexión versus longitud libre Lf y las zonas
de inestabilidad (pandeo) que deberán evitarse en el diseño.
Figura 8.7: Curva de estabilidad en resortes de compresión
8.2.5. Frecuencia natural
Una compresión repentina del extremo de un resorte helicoidal puede
generar una onda de compresión que viaja a lo largo del resorte hasta que
se refleja en su otro extremo. La ecuación de la onda que representa el
comportamiento de un resorte montado entre dos placas planas está dada
por:
∂2u
∂y2
=
W
kgl2
∂2u
∂t2
(8.8)
8.2. HELICOIDALES DE COMPRESIÓN 171
donde k es la constante de rigidez del resorte, g = 9,8m/s2 es la aceleración
de gravedad, W = ALρ = (π2d2Naρ)/4 es el peso del resorte por unidad
de longitud, y es la coordenada medida a lo largo del resorte y u es el
movimiento de una part́ıcula a la distancia y. La solución de esta ecuación se
resuelve por métodos clásicos e interesan las frecuencias naturales expresadas
en radianes por segundo, dadas por la relación:
ω = mπ
√
kg
W
(8.9)
dondem = 1 corresponde a la primera frecuencia natural. Si se reemplaza
ω = 2πf se tiene la primera frecuencia f en ciclos por segundo (Hz):
f =
1
2
√
kg
W
(8.10)
Se recomienda que la primera frecuencia natural del resorte sea entre 15
a 20 veces como mı́nimo la de la fuerza que actúa sobre el resorte. Si eso no
se cumple, deberá variarse k y/o W .
8.2.6. Espira rectangular
En este caso el ı́ndice de resorte C = D/c donde c es el lado de la espira
en el sentido radial del resorte. Los esfuerzos en la sección de la espira se
obtienen de la teoŕıa de torsión para secciones rectangulares. Los máximos
esfuerzos se encuentran en el punto medio de los lados de la sección, que en
la figura 8.8 se indican con las letras A1 y A2, cuyas expresiones se indican
en las ecuaciones 8.11 y 8.12.
τ =
PR
α1bc21
; para el punto A1 (8.11)
τ =
PR
α2bc21
; para el punto A2 (8.12)
A estos esfuerzos deberá sumarse algebraicamente el esfuerzo de corte por
flexión para una sección rectangular dado por 1,5P/A en el punto A1 para
este caso.
Para obtener la ecuación de la deflexión se utiliza la fórmula del ángulo de
torsión para ejes de sección rectangular por unidad de longitud dado por la
relación 8.13
172 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.8: Resorte helicoidal con espira de sección rectangular
θ =
T
βGbc31
(8.13)
Reemplazando en 8.13 los valores de: θ = δRL (relación geométrica aproxi-
mada entre θ y δ), y L = 2πRNa se obtiene:
δ =
2πPR3Na
βGbc31
(8.14)
Los valores de las constantes α1, α2 y β se muestran en la Tabla 8.1 para
diversas relaciones entre los lados a y b.
b/c 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5
α1 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258
α2 0.208 0.235 0.269 0.291 0.309 0.336
β 0.1406 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249
b/c 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α1 0.267 0.282 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333
α2 0.355 0.378 0.392 0.402 0.414 0.421 –
β 0.263 0.281 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333
Tabla 8.1: Constante de torsión en barras rectangulares
8.3. HELICOIDALES DE TRACCIÓN 173
8.2.7. Otros casos
La figura 8.9.a muestra el aspecto f́ısico de un resorte de compresión
cónico de espiras rectangulares y la figura 8.9.b muestra el comportamiento
entre la carga y su deflexión. Se trata en este caso de una relación elástica
no lineal y se comporta levemente diferente entre la carga y la descarga.
Figura 8.9: (a) Resorte helicoidal de compresión de sección rectangular. (b)
Curva fuerza deformación para un resorte de espira rectangular cónico
8.3. Helicoidales de tracción
Estos resortes son análogos a los resortes helicoidales de compresión con
la salvedad que son construidos con una pretensión que siempre producirán
esfuerzos de menor magnitud que los esfuerzos necesarios para separar las
espiras (precarga). La figura 8.10 muestra algunos tipos de ganchos que
deben ser usados para producir la tracción externa. Independiente del tra-
bajo en las espiras de la helicoide del resorte, también deberán calcularse los
esfuerzos producidos en los ganchos. La figura 8.11 muestra algunos resortes
comerciales usados en la industria con una amplia variedad en la forma de
los ganchos.
174 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.10: Algunos extremos de resortes de tracción con ganchos de difer-
entes formas
Figura 8.11: Algunos ejemplos de resortes de tracción comerciales
8.3. HELICOIDALES DE TRACCIÓN 175
8.3.1. Espiras activas
Se distinguen dos zonas en este tipo de resortes. El gancho de sujeción
en ambos extremos y el cuerpo del resorte. Todas las espiras que pertenecen
al cuerpo del resorte son consideradas como espiras activas.
8.3.2. Esfuerzos en los ganchos
La forma de operación de los resortes de tracción necesariamente obliga a
diseñar ganchos para poder traccionarlos. Dichos extremos sufren esfuerzos
que deberán ser calculados para evitar su posibilidad de falla (ver figura
8.12). En la sección AA existe flexión en viga curva y en la sección BB
torsión. Notar la relación entre los radios de curvatura y los coeficientes K
de concentracion de tensiones en cada caso.
Figura 8.12: Esfuerzos calculados en los ganchos según Juvinal [13]
σAA =
My
I
= K
16FD
πd3
=
(
r1
r2
)
16FD
πd3
τBB =
Tr
J
=
8FD
πd3
= K
8FD
πd3
=
(
r4
r3
)
FD
πd3
8.3.3. Precarga
La figura 8.13 muestra el efecto de la precarga que debe necesariamente
darse a los resortes de tracción. Estos deben vencer una cierta resistencia
176 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
hasta que las espiras comiencen a separarse y los esfuerzos vuelvan a eval-
uarse de la misma forma que en el caso de los resortes de compresión. Este
nivel de precarga Fi se debe obtener durante el proceso de manufactura.
La figura 8.14 muestra rangos de precarga deseados en función del ı́ndice
del resorte. Valores fuera de estos rangos son dif́ıciles de obtener. Las fun-
ciones cúbicas indicadas generan valores de τi en psi y el promedio de los
dos valores calculados representa un buen valor para el inicio del diseño.
Figura 8.13: Relación entre fuerza, fuerza inicial necesaria para separar las
espiras y el estiramiento del resorte
8.4. Resortes de torsión
Algunos tipos de resortes denominados de torsión se muestran en las
figuras 8.15 y 8.16.
La espira está expuesta a esfuerzos de flexión, por lo que el problema
de diseño se basa en la teoŕıa de flexión en vigas curvas. En la práctica se
usa la teoŕıa de vigas rectas pero corregida por factores de concentración de
esfuerzos debido a la curvatura. Wahl dedujo factores para estos resortes en
las fibras exteriores e interiores. Dichos coeficientes son de la forma:
Kbi =
4C2 − C − 1
4C(C − 1)
(8.15)
8.4. RESORTES DE TORSIÓN 177
Figura 8.14: Gráfico que relaciona los esfuerzos torsionales debido a la pre-
carga en resortes de compresión, en función del ı́ndice del resorte
Figura 8.15: Distintos tipos de resortes de torsión usados
178 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.16: Aplicaciones de un resortes de torsión
Kbo =
4C2 + C − 1
4C(C + 1)
(8.16)
donde el sub ı́ndice i representa la fibra interior y el sub ı́ndice o la fibra
exterior. Por ejemplo, el esfuerzo máximo a la flexión en la fibra interior
para una espira redonda está dado por la relación:
σimax = Kbi
Mmaxc
I
= Kbi
32Mmax
πd3
(8.17)
8.5. Resortes de Ballesta
La figura 8.17 representa una viga de sección prismática variable simétri-
ca cargada con una fuerza F en su extremo libre. El otro extremo está em-
potrado. El esfuerzo a una distancia x del extremo libre está dado por la
relación σ = Mc/I En este casode acuerdo a la geometŕıa de la figura, el
esfuerzo máximo en la fibra exterior está dado por:
σ =
Mc
I
=
Fxt/2
wt3/12
=
6Fx
wt2
(8.18)
La ecuación de esfuerzo máximo debido a los efectos de flexión se de-
termina según la ecuación 8.18. La condición que permite establecer que el
esfuerzo dado por 8.18 se mantenga constante, se puede obtener bajo dos
premisas:
(a) considerando que el espesor es constante h, lo que genera un perfil
triangular de la viga 8.17b, y
8.5. RESORTES DE BALLESTA 179
Figura 8.17: (a) Caso general de viga en flexión, (b) Condición de viga con
espesor constante t = h = constante, (c) Condición de viga con ancho
constante w = b = constante
(b) considerando que el ancho sea constante w, lo que implica una viga
cuyo perfil sea cuadrático. Ver figura 8.17c.
La opción de la viga con perfil triangular y de espesor constante es más
fácil de construir y a su vez se puede subdividir adecuadamente por razones
de espacio.
La figura 8.18 muestra la forma en que el resorte de forma triangular
es dividida para formar el denominado resorte de ballesta ya que se puede
visualizar fácilmente la simetŕıa correspondiente que dá origen al resorte
completo. Esta redistribución de la viga permite mantener la condición de
esfuerzo constante a lo largo del resorte. La viga triangular se divide en
láminas de ancho constante las cuales se ubican una sobre la otra según lo
mostrado en la figura 8.19. La figura 8.20 muestra el resorte de Ballesta ya
constrúıdo.
La teoŕıa desprecia los efectos de curvatura inicial de las láminas que
conforman el resorte y del roce entre ellas al flectarse. La comba o con-
traflecha suele tener el valor tal que permita que la hoja principal sea casi
recta bajo carga. (ver figura 8.21)
La figura 8.22 muestra una aplicación a veh́ıculos de carga (camioneta).
La figura 8.23 constituye una aproximación a los resortes semieĺıpticos
reales, obteniéndose para ellos:
δ =
K1FL
3(1− ν2)
3EI
=
K1WL
3(1− ν2)
6EI
(8.19)
donde W = 2F es la carga en la sección media de la viga simple de
longitud L, b = N1b
′
, donde b
′
es la anchura de la hoja y N1 es el número
de hojas. ν es el coeficiente de Poisson. La figura 8.23 muestra el factor de
180 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.18: Forma triangular que permite esfuerzos constante a lo largo de
la viga
corrección aplicable a la ecuación 8.19.
8.6. Resortes Belleville
Los resortes de discos son comunmente denominados como Resortes
Belleville. La teoŕıa que se puede desarrollar en este tipo de elemento mecánico
es bastante compleja y un acabado análisis de ella se puede encontrar en la
bibliograf́ıa [23]. El desarrollo de dicha teoŕıa escapa a los alcances de este
libro por lo que se deja como inquietud a los alumnos que deseen o tengan
que investigar más al respecto. Estos discos cónicos truncados se muestran
en la figura 8.24 donde aparecen las distintas combinaciones de montaje de
dichos resortes. En el caso a) se muestran discos ubicados en serie, en el caso
b) en paralelo y en el caso c) una combinación de ambos.
Una buena ventaja de estos resortes es el poco espacio que necesita en
relación a la capacidad de carga. La relación entre la carga y la deflexión
es elástica nolineal Tal como se muestra en la figura 8.25 dicha relación es
altamente dependiente de los parámetros geométricos de los discos. La curva
a) mostrada en la bibliograf́ıa [16] y la curva b) obtenida de la bibliograf́ıa
[7] representan un ejemplos de estas relaciones entre fuerza y deflexión para
8.6. RESORTES BELLEVILLE 181
Figura 8.19: Forma en que la viga triangular es dividida para formar el
resorte de ballesta
Figura 8.20: Apariencia de un resorte de Ballesta ya constrúıdo
182 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.21: Hojas para la formación del resorte de Ballesta. Notar su cur-
vatura inicial diferente (pre pinzado)
Figura 8.22: Paquete de resortes (ballesta) montado en un veh́ıculo de carga
8.6. RESORTES BELLEVILLE 183
Figura 8.23: Factor de corrección K1 para el desplazamiento en resortes de
Ballesta
Figura 8.24: Disposiciones en la fabricación de resortes tipo Belleville. a) en
série, b) en paralelo y c) como una combinacion de ambos: serie y paralelo
184 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
parámetros definidos.
Por ejemplo considerando la relación h/t igual a 2,83 o mayor, se presen-
ta una curva con forma de S usado en mecanismo de rápido accionamiento.
Valores entre 1,41 y 2,1 genera una curva con su parte central horizontal,
es decir permite mantener una carga constante con diferentes niveles de
deflexión. Cada disco reacciona según estas cargas, por lo que para consid-
eraciones de mayor carga deberán aunarse los efectos de todos los discos.
Como se dijo, la teoŕıa es compleja, pero la literatura clásica de elementos
de máquinas propone formas más simples para evaluar los esfuerzos en los
discos. Por ejemplo el Spotts [22] entrega 2 formas de evaluar los esfuerzos
máximos en el resorte:
a) De acuerdo a la Tabla 8.2 y
ro/ri K1
roσt√
F
1.25 -8.83 -22090
1.5 -6.29 -19430
1.75 -5.63 -19050
2.0 -5.44 -19350
2.5 -5.54 -20650
Tabla 8.2: Constante para el resorte Belleville de acero con h/t = δ/t = 1,5
donde ri es el radio interior del disco, ro es el radio exterior del disco, t
el espesor del disco y F la fuerza axial total aplicada.
b) la fórmula 8.20 dada por la relación:
σt = K1
Et2
r20
(8.20)
Este caso sólo permite evaluar el esfuerzo máximo para un resorte con
las dimensiones geométricas del disco dadas. El libro [7] en cambio permite
determinar esfuerzos máximos en función gráfico de la figura 8.27
F =
4Eδ
(1− ν2)Md2o
[(h− δ)(h− δ
2
)t+ t3] (8.21)
donde ν es el coeficiente de Poisson del material y M la constante dada
en el gráfico de la figura 8.27
Los máximos esfuerzos ocurren en las esquinas de los discos y se pueden
calcular según:
σmax−i =
4Eδ
(1− ν2)Md2o
[C1(h−
δ
2
) + C2t] (8.22)
8.6. RESORTES BELLEVILLE 185
Figura 8.25: Curvas de diseño en función de las dimensiones geométricas de
los discos del resorte Belleville
186 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.26: Constantes M , C1 y C2 usadas en la evaluación de esfuerzos
según fórmulas dadas
8.7. CÁLCULO DINÁMICO: FATIGA 187
en la esquina interna del disco y,
σmax−o =
4Eδ
(1− ν2)Md2o
[C1(h−
δ
2
)− C2t] (8.23)
donde los coeficientes Ci se estiman de la figura 8.24.
En la actualidad se cuenta con la poderosa herramienta computacional
de los elementos finitos. Teniendo disponibilidad de algún software se puede
modelar distintas condiciones de este resorte. La figura 8.27 muestra un
ejemplo de simulación desarrollado por un alumno en su memoria de Tit-
ulación [4]. Se ha modelado con simetŕıa axisimétrica, usando elementos
planos y considerando los efectos del roce.
Figura 8.27: Simulación por elementos finitos en un resorte tipo Belleville. Se
ha aprovechado la simetŕıa axisimétrica usando elementos planos. a) discos
en serie b) discos en paralelo
8.7. Cálculo dinámico: Fatiga
La condición clásica de diseño a la fatiga se usa en base a las siguientes
cálculos:
Fm =
Fmax + Fmin
2
(8.24)
Fa =
Fmax − Fmin
2
(8.25)
Los esfuerzos medios y alternos se determinan con estas fuerzas medias
y alternas, según sea el esfuerzo a considerar. Con estos valores se aplica
alguno de los inumerables criterios de falla por fatiga disponibles: Goodman,
Soderberg, Gerber, ....
188 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
8.8. Materiales [19]
La Tabla 8.3 entrega distintos tipos de materiales usados para resortes.
La resistencia de un resorte depende del diámetro del resorte y de su
forma de fabricación. En el proceso de fabricación se generamn esfuerzos
residuales y concentradores de esfuerzos que hacen muy dif́ıcil preestablecer
valores de resistencia de resortes como en otros elementos de máquinas.
Valores experimentales se han plasmado en gráficos que pueden ser llevados
a la ecuación 8.26
Sr =
A
dm
(8.26)donde A y m son valores que se entregan en la Tabla 8.4.
8.9. Algunas tablas de concentradores para resortes
La literatura especializada en diseño de resortes presenta una serie de
gráficos que permiten determinar los coeficientes Ki que cuantifican el fat-
por de concentración de las tensiones en un resorte debido a los diversos
parámetros que lo influencian: curvatura, corte, flexión, etc. Algunos de esos
gráficos se muestran en las figuras 8.28 y 8.29.
8.10. Aplicaciones
1. Para el resorte cónico de lámina en espiral, de sección rectangular
mostrado en la figura 8.30:
(a). Analice todos los tipos de esfuerzos que se presentan en la sección
de la espira.
(b). Explique como determinaŕıa el número de espiras necesario si
conoce el espacio f́ısico disponible.
2. Los resortes de la figura 8.31 representan el sistema restaurador del
mecanismo de cierre-apertura de la válvula de un motor de avión.
Determine el coeficiente de seguridad con que se diseñan ambos re-
sortes. Establezca claramente las hipótesis necesarias para este cálculo.
Considere conocido: La carga de pre-compresión F , la carga total P
máxima sobre los resortes, el material de ambos resortes (incluida la
resistencia a la fatiga del material), el número de espiras activas Na,
el ángulo de la hélice.
8.10. APLICACIONES 189
NOMBRE DEL ESPECIFICA- DESCRIPCION
MATERIAL CIONES
SIMILARES
Alambre para AISI 1085 Es el mejor material,el más tenaz y el más
cuerda musical ASTM A228-51 utilizado para resortes pequeños. Tiene la
0.80 a 0.95 %C mayor resistencia a la tensión y puede soportar
mayores esfuerzos bajo cargas repetidas que
cualquier otro tipo de material para resorte.
Disponible en diámetros de 0.12 a 3 mm. No usar
a temperaturas mayores a 120◦C (250◦F) o a
temperatura bajo cero
Alambre UNS G10650 Para resortes de uso general más económico que el
templado en AISI 1065 cuerda de piano y para tamaños mayores.
aceite ASTM 22941 No adecuado para cargas de impacto.
0.6 a 0.7 %C Disponible en diámetros de 3 a 12 mm.
No usar a más de 180◦C (350◦F) ni bajo cero
alambre UNS G10660 Es de uso general ´de menor costo y deberá usarse
estirado AISI 1066 sólo cuando la duración, exactitud y deformación
duro ASTM A227-47 no son importantes. Disponibles para diámetros
0.6 a 0.7 %C de 0.8 a 12 mm. No emplear a más de 120◦C ni
bajo cero
Cromo- UNS G61500 Es el acero aleado más empleado con esfuerzos
Molibdeno AISI 6150 elevados sobre todo a la fatiga y de alta
ASTM 231-41 durabilidad. También se usa en cargas de choque
o impacto. Es usado en válvulas de aviones para
altas temperaturas de hasta 220◦. Se usan con
recocido y prerevenido.
Al Cromo UNG92540 Aleación excelente para resortes altamente
Silicio AISI 9254 esforzados que requieren larga vida y trabajan
sometidos a cargas de choque. Usualmente su
dureza Rockwell está entre 50 y 53 y el material
puede emplearse con temperaturas hasta 250◦C
(475◦F). Se fabrican de diámetros entre 0.8 y 12 mm
Tabla 8.3: Aceros de alto carbono y aleados para resortes
190 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
Figura 8.28: Factor de concentración de esfuerzos en resortes de compresión
8.10. APLICACIONES 191
Figura 8.29: Factor de concentración de esfuerzos en resortes de torsión
192 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
MATERIAL ASTM m A Costo
MPa relativo
alambre para cuerda musical A228 0.145 2211 2.6
alambre revenido en aceite A229 0.187 1855 1.3
alambre estirado duro A227 0.190 1783 1.0
Al cromo vanadio A232 0.168 2005 3.1
Al cromo silicio A401 0.108 1974 4.0
Tabla 8.4: Materiales para resortes
Figura 8.30: Figura Resorte de compresión helicoidal cónico de sección rect-
angular
8.10. APLICACIONES 193
Figura 8.31: Sistema de resortes helicoidales de compresión de espira redonda
que acciona una válvula de motor de avión
3. Para el resorte de la figura 8.32 que soporta la acción del momento
estático M , tal como se indica en la figura, determine el diámetro de
la espira considerando la resistencia del material. Deje todo en función
de las letras que representan los distintos parámetros del resorte.
Figura 8.32: Resorte helicoidal sometido a la acción de una carga de mo-
mento arbitraria
4. La figura 8.33a, muestra un harnero vibratorio usado en la clasificación
de mineral en la industria. El mineral entra por la parte superior y este
harnero tiene dos mallas de clasificación. Las mallas permiten que sólo
el mineral de cierta granulometŕıa pase por ella a la segunda etapa, la
cual corresponde a otra malla más fina que produce el mismo efecto.
Está apoyado en 4 puntos cada uno de los cuales está formado por tres
194 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
resortes helicoidales de compresión tal cual se visualiza en la figura
8.33b. El harnero es excitado por un motor que hace girar un eje que
en sus dos extremos tiene dos excéntricas como las que se muestran en
la figura 8.34a.
Figura 8.33: a. Harnero vibratorio usado en la mineŕıa para clasificar min-
eral Se pueden ver 2 de los cuatro apoyos con resortes. En la parte central
está la transmisión por correas desde el motor de accionamiento. b. Modelo
simplificado de uno de los cuatro apoyos del harnero.
Estas excéntricas al girar producen un movimiento oscilatorio que hace
que el harnero vibre apoyado en los resortes y permite que el material
(mineral) atraviese (o no) la malla correspondiente. La transmisión de
la potencia se realiza por correas y poleas en un solo lado del harnero.
La figura 8.34b muestra el detalle de la polea montada en el eje del
harnero. También se puede ver una de las excéntricas montadas en el
eje.
La figura 8.35a, muestra un modelo dibujado con sistema CAD de
toda la estructura del harnero. El modelo usado para el movimiento
del harnero se muestra simplificado en la figura 8.35b. En ella se ven
los tres grados de libertad del sistema (x, y, φ) que permiten que el
harnero vibre y produzca la clasificación del mineral.
Se debe tener presente que en este caso los resortes actúan elástica-
mente en las dos direcciones. En la literatura especializada es posible
encontrar la relación entre la rigidez normal del resorte y la rigidez lat-
eral del mismo. En este caso se trabaja con una rigidez lateral de un
60 % de la rigidez normal (sentido longitudinal), es decir: Si Ky = k,
kx = 0,6k. La figura 8.36a, muestra las dos etapas de clasificación
del harnero (dos mallas) que deben considerar el peso del mineral. En
8.10. APLICACIONES 195
Figura 8.34: a. Una de las dos excéntrica montada en el eje del harnero que
produce el movimiento vibratorio b. Detalle del montaje de las poleas que
están conectadas al motor. Se ve la excéntrica que produce la vibración.
Figura 8.35: a. Modelo del harnero dibujado con programa CAD b.Modelo
de movimiento del harnero.
196 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
general se considera para el diseño valores promedio de carga en el
harnero. Aśı sólo se considera el peso de la estructura y de la carga
actuando en G. La posición de G se indica en la figura 8.36. Cualquier
otra cota deberá ser considera proporcional a las dadas en la figura
8.36b considerando el dibujo de la figura 8.34 que está a escala.
Figura 8.36: a. Distribución de la carga real estimada sobre las mallas del
harnero. Para efectos de diseño supondremos carga constante, b. Cotas de
posición generales del harnero. Posición de G (centro de masa)
Con los datos dados a continuación estime el diámetro mı́nimo de la
espira de cada resorte si el diámetro D de cada resorte es 150mm.
Estime todos los parámetros necesarios para un diseño adecuado y los
datos de materiales que aparecen en la literatura para resortes. Veri-
fique su diseño. El movimiento en cualquier punto y cualquier dirección
del harnero debe ser menor a 40mm
DATOS: Fuerzas y cupla de inercia:
Fuerza centŕıfuga por cada excéntrica: Fce = mω2r = 181,050N(ωeje =
83rad/s)
Fuerzas en las poleas de transmisión de potencia: F1 = 950N y F2 =
270 N
Pesoestructural harnero: 15,000kg
Peso del mineral ubicado en el centro de masas G: 5000kg.
5. La leva de la figura 8.37 gira a 10Hz e imparte un movimiento armónico
(senoidal) oscilatorio al seguidor. La carrera del seguidor es de 20mm
8.10. APLICACIONES 197
y todo el sistema alternativo unido al seguidor pesa 10kg. La función
del resorte es mantener siempre en contacto al seguidor con la leva.
El diámetro externo máximo disponible para el resorte es de 50mm y
el mı́nimo de 25mm. Determine una combinación satisfactoria entre
D (diámetro del resorte), d (diámetro de la espira), N (número de
espiras) y L (longitud libre). Verifique todas las condiciones de diseño
necesarias que se deban cumplir para un funcionamiento adecuado.
Figura 8.37: Resorte de leva
6. Un motor de automóvil requiere diseñar un resorte para controlar el
movimiento de una válvula expuesta a las aceleraciones mostradas
en la figura 8.38. Se requiere el resorte para permitir que el seguidor
esté en contacto con la leva durante la aceleración negativa. El punto
cŕıtico para el resorte es el acceleration reversal point, correspondi-
ente al caso cuando la válvula está abierta 0,201in. Una mayor fuerza
del resorte se requiere en el punto de máxima abertura de la válvula
198 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES
(0,384in). El problema es dar al resorte una frecuencia natural bas-
tante alta sin hacerlo muy ŕıgido y evitar que la fuerza del resorte
en la válvula completamente abierta cause altos esfuerzos de contacto
perjudiciales cuando el motor está funcionando a baja velocidad. El
resorte de válvula debe satisfacer las siguientes especificaciones:
Figura 8.38: Gráfico de aceleraciones en las válvulas de un motor
1. La longitud del resorte cuando la válvula está cerrada debe ser
menor a 1,5in por limitaciones de espacio.
2. Fuerza del resorte cuando la válvula está cerrada debe ser menor a
45lb.
3. La fuerza del resorte cuando la válvula está abierta en 0,201in (re-
versal point) debe ser menor a 70lb.
4. La fuerza en el resorte con máxima abertura de 0,384in debe ser
inferior a 90 lb. (para prevenir el excesivo esfuerzo de contacto con el
eje de levas).
5. Diámetro externo del resorte debe ser menor a 1,65in por limita-
ciones de espacio.
6. Primera frecuencia natural menor a 390Hz.
Se debe usar un material de alta calidad. Considerar extremos del
resorte planos y fijos. Determine una adecuada combinación de d,D, ne
y Lf (ver gráfica). Las figuras 8.39 ayudan a entender como funcionan
este tipo de resortes de válvulas.
8.10. APLICACIONES 199
Figura 8.39: Resorte de leva
200 CAPÍTULO 8. UNIONES POR RESORTES