Fundamentos del algebra Booleana - Ricardo Hernandez

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Fundamentos del algebra Booleana.
En la sección 3.1 se estudiaron las compuertas lógicas y su funcionamiento, así como las características asociadas a las tecnologías TTL y CMOS. También con el estudio de las puertas lógicas se presento la expresión matemática para cada una de ellas, estas expresiones matemáticas describen la operación de cada una de las compuertas lógicas que se estudian en esta unidad. Estas expresiones matemáticas forman parte del algebra booleana. 
El algebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales, entender los conceptos básicos del algebra de Boole son esenciales para estudiar y analizar los circuitos lógicos. El algebra de Boole o algebra booleana esta compuestas por teoremas o reglas las cuales se estudiaran en esta sección.
Existen tres términos que son importantes, puesto que estos se utilizan en el algebra booleana.
· Variable: Una variable es un símbolo (por lo general una letra mayúscula en cursiva) que se utiliza para representar magnitudes lógicas. Cualquier variable puede tomar el valor de 1 o 0.
· Complemento: Es el inverso de la variable y se indica mediante una barra encima de la misma. Por ejemplo, el complemento de la variable . Si , entonces . Si , entonces . El complemento de la variable se lee como “no ”, “ negada” o “ barra”. En algunos libros se pude encontrar el complemento de una variable indicado por una apostrofe, por ejemplo . En esta antología, solo se utiliza la barra.
· Literal: Es una variable o el complemento de una variable.
A continuación se exponen las primeras 8 reglas del algebra booleana, en este grupo se exponen los teoremas correspondientes a la suma y multiplicación booleana.
Multiplicación Booleana.
En la sección 3.1.1 se presentaron las compuertas lógicas entre ellas se encuentra la compuerta que esta relacionada con la multiplicación booleana. La multiplicación booleana es equivalente a la operación AND. A continuación se muestran sus reglas básicas y su relación con la compuerta AND.
(3-5)
(3-6)
(3-7)
(3-8)
Figura 3.10 Reglas booleanas para la multiplicación.
En el algebra de Boole, un termino producto es un producto de literales. En los circuitos lógicos, un termino producto se obtiene mediante una operación AND, sin que exista ninguna operación OR en la expresión.
Un termino producto es igual a 1 solo si cada una de sus literales del termino es 1. Un termino producto es igual a 0 cuando uno o mas de las literales son iguales a 0.
Ejemplo 3.2 Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el término producto sea igual a 1.
Solución.
Suma Booleana.
En la sección 3.1.1 se presentaron las compuertas lógicas entre ellas se encuentra la compuerta que esta relacionada con la suma booleana. La suma booleana es equivalente a la operación OR. A continuación se muestran sus reglas básicas y su relación con la compuerta OR.
(3-9)
(3-10)
(3-11)
(3-12)
Figura 3.11 Reglas booleana para la suma.
En el algebra de Boole, un termino suma es una suma de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se obtiene mediante una operación OR, sin que exista ninguna operación NAND en la expresión.
Un término suma es igual a 1 cuando una o más de las literales del término es 1. Un término suma es igual a 0 solo si cada uno de las literales es iguale a 0.
Ejemplo 3.3 Determinar los valores de A, B, C y D que hacen que el término suma sea igual a 0.
Solución.
Representación algebraica de circuitos lógicos.
Cualquier circuito lógico, sin importa que tan complejo sea, puede representarse completamente mediante las operaciones, que se definieron anteriormente, ya que los circuitos de las compuertas AND, OR y NOT son los elementos básicos de los sistemas digitales. Por ejemplo, considere el circuito de la figura 3.12
Figura 3.12 Circuito lógico con expresión booleana.
Este circuito tiene tres entradas A, B y C con una sola salida . Al observar el resultado de la operación booleana, puede surgir la confusión con respecto a que operación se efectúa primero (sobre todo si no se tiene un circuito lógico). La expresión se puede interpretar de dos formas:
1. Se realiza el producto y el resultado se opera con una OR a .
2. Se realiza la suma y el resultado se multiplica al valor de .
Para evitar esta confusión se entenderá que si una expresión contiene las operaciones AND y OR, operaciones AND se efectúan primero, a menos que haya paréntesis en la expresión, en cuyo caso, la operación dentro del paréntesis se efectúa primero. Para ilustrar lo anterior observe la figura 3.13.
Figura 3.13 Circuito lógico cuya expresión booleana requiere paréntesis.
Una de las principales ventajas de representar un circuito lógico mediante una expresión algebraica, es que se puede determinar el nivel lógico de la salida para cualquier valor que se presente en las entradas del circuito.