ELT2680 Tema3 Algebra de Boole sept2021

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Electrónica Digital I
ELT2680
Juan José Castelo Oporto
jjcastelo@gmail.com
Universidad Técnica de Oruro
Facultad Nacional de Ingeniería
Carrera de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica
Algebra de 
Proposiciones
2.1
Álgebra de 
Proposiciones
Álgebra de proposiciones
• PROPOSICIONES
El álgebra de proposiciones está basado en 
Proposiciones = Oraciones propositivas
También se la conoce como Sentencias o Declaraciones 
(Oraciones declarativas).
 REPRESENTACIÓN
Las proposiciones se pueden representar por letras, como ser p, 
q, r.
 NATURALEZA
La naturaleza de una proposición puede ser:
 Verdadero (Verdadero, V) (True, T) o 
 Falso (Falso, F) (False, F)
Álgebra de proposiciones
VALOR DE UNA PROPOSICIÓN
V y F se llama el valor de la proposición
• PROPOSICIONES - Ejemplos:
• p = "Carlos es bueno " 
• q = " Luis es alto" 
• r = "¿A dónde fuiste ayer?“
(no es sentencia) 
(no propone nada)
Combinación de las proposiciones
• CONECTIVAS
• Las proposiciones se pueden combinar con una 
variedad de palabras de conexión denominadas
• Conectivas o Palabras de conexión.
• Se cuenta con varios tipos de conectivas. Las más 
importantes son:
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Naturaleza de las proposiciones
COMBINACIÓN DE LAS PROPOSICIONES -
Ejemplos
El valor de verdad de un enunciado depende del valor 
de verdad de cada proposición constituyente de la 
sentencia o declaración combinada y también de la 
conectiva empleada.
• "Carlos es bueno y Luis es alto" 
• "Carlos es bueno o Luis es alto" 
NEGACIÓN
• La negación se representa con el símbolo ~
• El negado de la sentencia p será ~ p
– La verdad o falsedad de una sentencia es siempre 
opuesta a la verdad o falsedad de la sentencia original.
~ p = "Luis NO es alto" 
p ~ p
F V
V F
CONJUNCION
• La conjunción se representa por el símbolo 
• La conjunción de dos proposiciones p y q se representa por 
p  q
– Es equivalente a la operación de intersección en el 
álgebra de clases: A  B = {x | x  A  x  B }
• La verdad de la proposición compuesta sólo será verdadera 
(V) si ambas propposiciones p y q son verdaderas
p q p  q
F F F
F V F
V F F
V V V
DISYUNCIÓN
• La disyunción se representa con el símbolo 
• La disyunción de dos proposiciones p y q se representa por
p  q
Equivale a la operación de unión en el álgebra de clases
A  B = {x | x  A  x  B }
• La proposición compuesta es falsa (F) solamente si ambas
proposiciones son falsas.
p q p  q
F F F
F V V
V F V
V V V
CONDICIONAL
• La sentencia Condicional emplea el operador 
• La proposición compuesta condicional se escribe como 
p  q
– Si p entonces q (if p then q)
• La proposición compuesta es siempre cierta (V) a menos 
que p sea verdadera y q falsa
p q p  q
F F V
F V V
V F F
V V V
BICONDICIONAL
• El operador Bicondicional se representa por 
• La composiciòn bicondicional se escribe como p  q
– p si y solo si q (p if and only if q)  p iff q
• La verdad de la sentencia compuesta es cierta (V), sólo 
cuando p y q tienen los mismos valores de verdad o falsedad
p q p  q
F F V
F V F
V F F
V V V
POLINOMIO ALGEBRAICO 
En el álgebra ordinaria, un polinomio es formado usando las operaciones 
de suma, multiplicación y diferencias de las variables. 
Ejemplo, sean las variables x e y, f(x,y) y g(x,y) seran polinomios 
f(x,y)= x x – x  y + y  y  y + x  x = 2 x2 – xy + y3
g(x,y) = (x-y)  (x+y) = x2 - y2
Que pueden se evaluados para un para de valores de x e y 
f(2,3) = 2 2 – 2  3 + 3  3  3 + 2  2 = 4 – 6 + 27 + 4 = 29
g (3,1) = (3-1)  (3+1)=2  4 = 8
• Las operaciones también se pueden realizar entre los polinomios
f(x,y) – g(x,y) = (2 x2 – xy + y3 ) – (x2 - y2)
= x2 – xy + y2 + y3
f(x,y)  g(x,y) = (2 x2 – xy + y3 )  (x2 - y2)
= 2 x4 – 2x2y2– x3y + xy3 + x2y3 – y5
POLINOMIOS BOOLEANOS
• Si las variables son proposiciones, que pueden tener sólo los valores 
VERDADERO o FALSO, haciendo uso de los operadores booleanos, 
se pueden formar polinomios, que se denominan POLINOMIOS 
BOOLEANOS (Boolean polynomial)
• Ejemplo: sean p y q las variables (proposiciones), los siguientes serán
polinomios booleanos:
f(p,q) = ~ p  (p  q)
g(p,q) = (p  ~ q)  q
Y también se pueden componer estos polinomios para conformar
otros polinomios:
f(p,q)  g(p,q) = [~ p  (p  q)] [(p  ~ q)  q]
f(p,q)  g(p,q) = [~ p  (p  q)]  [(p  ~ q)  q]
POLINOMIOS BOOLEANOS (Cont.)
• En una notación más compacta, los polinomios booleanos
dependientes de las variables p,q, …se pueden representar
por:
P(p,q,….), Q(p,q,….), 
P,Q,…. Son los polinomios Booleanos dependientes de las
variables p,q,…. 
Ejemplo: Sean
Q(p,q) = ~ (p  ~q) 
P(p,q,r) = [~ p  (p  q)]  [(p  ~ q)  q] 
TABLAS DE VERDAD 
• Para determinar la verdad o falsedad de una proposición
compuesta puede utilizarse la Tabla de Verdad (Truth Table)
La misma que puede desarrollarse, por conveniencia por
partes, como se muestra a continuación:
– Tabla de verdad del polinomio booleano
F(p,q) = ~ (p  ~q) 
p q ~q p ~q ~ (p  ~q)
F F V F V
F V F F V
V F V V F
V V F F V
• Proceso para determinar la tabla de verdad de ~ (p  ~q) 
Primera etapa
p q ~ (p ^ ~ q)
F F F
F V F
V F V
V V V
• Proceso para determinar la tabla de verdad de ~ (p  ~q) 
Segunda etapa
p q ~ (p ^ ~ q)
F F F F
F V F V
V F V F
V V V V
• Proceso para determinar la tabla de verdad de ~ (p  ~q) 
Tercera etapa
p q ~ (p ^ ~ q)
F F F V F
F V F F V
V F V V F
V V V F V
• Proceso para determinar la tabla de verdad de ~ (p  ~q) 
Cuarta etapa
p q ~ (p ^ ~ q)
F F F F V F
F V F F F V
V F V V V F
V V V F F V
• Proceso para determinar la tabla de verdad de ~ (p  ~q) 
Quinta etapa
p q ~ (p ^ ~ q)
F F V F F V F
F V V F F F V
V F F V V V F
V V V V F F V
TAUTOLÍA Y CONTRADICCIÓN
• Una proposición P(p,q,…) se llama TAUTOLOGÍA, si la 
proposición es siempre cierta para cualquier valor de las 
variables
p ~p p  ~p
F V V
V F V
•Una proposición P(p,q,…) se llama CONTRADICCIÓN, si 
la proposición es siempre falsa para cualquier valor de las 
variables
p ~p p  ~p
F V F
V F F
p q r (p  q)  (q  r)  (p  r)
T T T T T T T T T T T T T T
T T F T T T F T F F T T T F
T F T T F F F F T T T T T T
T F F T F F F F T F T T F F
F T T F T T T T T T T F T T
F T F F T T F T F F T F T F
F F T F T F T F T T T F T T
F F F F T F T F T F T F T F
Etapa 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1
Ejm: Demostrar que (p  q)  (q  r)  (p  r) es una 
tautología
p q p q q  p (pq)(q p) p  q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
• Dos proposiciones P(p,q,…) y Q(p,q,….) se dice que 
lógicamente equivalentes si tienen la misma tabla de verdad 
P(p,q,…) = Q(p,q,…)
LÓGICA EQUIVALENTE
• Sean P(p,q,…) y Q(p,q,….) dos polinomios booleanos.
• Se dice que el polinomio booleano P(p,q,…) implica al 
polinomio booleano Q(p,q,….) si se cumplen las siguientes 
tres condiciones:
IMPLICACIÓN LÓGICA
(1) ~ P(p,q,…)  Q(p,q,…) es una tautología
(2) P(p,q,…)  ~ Q(p,q,…) es una contradicción
(3) P(p,q,…)  Q(p,q,…) es una tautología
Idempotencia P  P  P
Propiedad asociativa (P  Q)  R  P  (Q  R)
Propiedad conmutativa P  Q  Q  P
Propiedad distributiva P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
Elemento identidad P  F  P
Elemento identidad P  T  T
Complemento P  ~ P  T
Doble complemento ~~P P
Leyes de De Morgan ~(P Q)  ~ P  ~ Q
LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
• Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes
EQUIVALENCIA DE PROPOSICIONES
p  p  p p  p  p
(p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r)
p  q  q  p p  q  q  p
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  F  p p  V  p
p  V  V p  F  F
p  ~ p  V p  ~ p  F
~~p  p ~V  F, ~ F  V
~(p  q)  ~ p  ~ q ~(p  q)  ~ p  ~ q
2.2
Álgebra de 
clases
Términos primitivos
La teoría de conjuntos se construye a partirde 
tres conceptos básicos que son:
elemento, conjunto y pertenencia.
Estos conceptos, son llamados términos 
primitivos.
CONJUNTOS Y OPERACIONES
Los conjuntos se representan, en principio, con letras 
mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos con 
minúsculas: a, b, c, ...
Escribimos A = {a, b, c, d} para indicar que los 
elementos de A son a, b, c y d.
Para indicar que el elemento a pertenece al conjunto A,
escribimos
para indicar que e no pertenece al conjunto A,
escribimos 
CONJUNTOS Y OPERACIONES
Representación de conjuntos
Determinación de conjuntos
Un conjunto está determinado si se conocen cuales son 
los elementos que lo forman, es decir, cuales son sus 
elementos.
Para determinar un conjunto hay dos métodos. 
Por extensión, enumerando todos sus elementos. 
Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}, B = {2, 3, 5, 7}.
Por comprensión: dando una propiedad que verifiquen 
todos y cada uno de ellos y sólo ellos. 
Ejemplos:
A = {vocales del alfabeto}, B = {dígitos primos}.
.
Un caso particular de la determinación por comprensión 
es definir el conjunto mediante una ley recurrente. Así, el 
conjunto
A = {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}
está formado por términos que son la suma de los dos 
anteriores. 
Determinación de conjuntos
El conjunto vacío es aquél que carece de elementos, 
se denota por ∅. 
Definimos:
∅ = {x : x ≠ x}.
Un conjunto unitario está formado por un único 
elemento.
Definimos:
{a} = {x : x = a}. 
Conjuntos especiales
Se llama universo o conjunto universal, y se 
representa por U, al conjunto formado por todos los 
elementos que se están considerando.
Se llama cardinal de un conjunto A al número de 
elementos que contiene, y se representa por card(A).
Conjuntos especiales (cont.)
Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A está 
contenido en B, o que A es un subconjunto de B, si 
todo elemento de A pertenece a B.
Se escribe: 
También puede decirse que A está incluído en B.
Subconjuntos
Igualdad
Dos conjuntos son iguales si están formados por 
los mismos elementos, es decir si verifican que
Propiedades de la inclusión
1. Reflexiva: 
2. Antisimétrica:
3. Transitiva:
1. Reflexiva: 
2. Simétrica:
3. Transitiva:
Propiedades de la igualdad
Propiedades del conjunto vacío
1.
2.
Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se 
representa por A B, al conjunto formado por los elementos 
que pertenecen a A o a B. 
Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h}
A B = {a, b, c, d, e, h}
Ejemplo 2. C = {personas rubias}, D = {personas altas}.
Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de ambos, y 
se representa por A B, al conjunto formado por los elementos 
que pertenecen a la vez a A y a B.
Ejemplo 1. A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, h}.
A B = {c, d}.
Intersección de conjuntos
Si dos conjuntos A y B no tienen en común ningún 
elemento, se dice que son disjuntos, y verifican
A B = ∅.
Ejemplo. A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g, h, i, j}.
A B = ∅.
En el caso de conjuntos disjuntos se verifica que
card(A B) = card(A) + card(B).
Complementario de un conjunto
Sea A U, llamamos complementario de A al conjunto de 
todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota 
por y también por y
En símbolos: = {x U : x ∉ A}.
Ejemplo. U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, c, f, g, h}
Propiedades de la unión
1. Idempotencia: 
2. Conmutativa:
3. Asociativa:
4. Elemento neutro:
5. Elemento universal:
Propiedades de la intersección
1. Idempotencia: 
2. Conmutativa:
3. Asociativa:
4. Elemento neutro:
5. Elemento ínfimo:
Propiedades combinadas de la unión e intersección
Absorción: 
Distributivas:
Propiedades del complementario
1. Intersección y unión de complementarios: 
2. Complementarios de vacío y universal:
3. Involución o doble complementación:
4. Inclusión y complementario:
5. Leyes de De Morgan:
Diagramas de Ven de 3 conjuntos
Diagramas de Ven de 4 conjuntos
Diagramas de Ven de 5 conjuntos
Diagramas de Ven de 6 o más conjuntos
2.3 
Circuitos de 
conmutación
Un switch simple
0
1
Dos switches en serie
0.0 = 0
0.1 = 0
1.0 = 0
1.1 = 1
11
11
01
10
10
01
00
00
Dos swtiches en paralelo
0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 1
0
0
0
1
0+0 0+1
1
1
1
0
1+0 1+1
B
A
D
C
f =A (B C + D) = A B C + A D
Circuito mixto
Algebra de 
Boole
2.4
Álgebra de 
Boole
56
2.4.1 DEFINICIÓN
• El álgebra booleana define un conjunto 
de elementos, operadores y cierto 
número de teoremas que se pueden 
utilizar para manipular expresiones 
lógicas.
2.4.2 
Elementos
booleanos
58
2.4.2 Elementos booleanos
• CONSTANTES BOOLEANAS: 
• consisten en "0" y "1". 
• El primero representa el estado falso y el 
segundo el estado verdadero.
• Se representan también por 
F y V 
L y H
59
• VARIABLES BOOLEANAS: 
Son magnitudes que pueden tomar diferentes 
valores en diferentes momentos. Pueden 
representar señales de entrada, de salida o 
intermedias y reciben nombres que de 
ordinario consisten en caracteres alfabéticos 
como "A", "B", "X" o "Y". Las variables sólo 
pueden tomar los valores "0" ó "1".
2.4.2 Elementos booleanos
60
• OPERADORES BOOLEANOS: 
• Cada uno de los operadores booleanos 
elementales está representado dentro 
del álgebra booleana mediante un 
símbolo único. 
2.4.2 Elementos booleanos
61
• OPERADORES BOOLEANOS PRIMARIOS : 
• Se consideran como primarios:
• Negación
• Suma
• Producto
Función Símbolo Ejemplo
AND Punto
OR Más (+)
NOT Barra
  C A B AB  
C A B 
  C A
2.4.2 Elementos booleanos
2.4.2 Elementos booleanos
F estará en alto (1) si el ingreso A está en bajo (0)
Operador COMPLEMENTO (NOT) 
NOT (inverter)
A
F = A'
F
A F=A´
0 1
1 0
2.4.2 Elementos booleanos
Operador PRODUCTO ( AND)
F estará en alto (1) sólo si ambos ingresos A y B están en alto (1)
F
A
B
F = A.B
AND Α Β F=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
2.4.2 Elementos booleanos
Operador SUMA (OR)
F estará en nivel bajo (0) solamente si ambos ingresos A y B están 
en nivel bajo (0). 
Α Β F=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A
B
OR
F = A+B
F
2.4.2 Elementos booleanos
66
• OPERADORES BOOLEANOS 
SECUNDARIOS: 
• Se consideran como secundarios:
• Or Negado (NOR)
• And Negado (NAND)
• Or Exclusivo (XOR)
• Or Exclusivo Negado (XNOR)
2.4.2 Elementos booleanos
Operador PRODUCTO NEGADO (NAND)
Α Β F=(A.B)´
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
F estará en nivel bajo (0) si y solamente si ambos ingresos A y B 
están a nivel alto (1).
F
A
B
NAND
F = (A.B)'
2.4.2 Elementos booleanos
Operador SUMA NEGADA (NOR)
Α Β F=(A+B)´
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
F estará a nivel alto (1) si y solamente si ambos ingresos A y B 
están a nivel bajo (0)
F = (A+B)'
A
B
F
NOR
2.4.2 Elementos booleanos
Operador SUMA EXCLUSIVA (XOR)
Α Β F=A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
F estará a nivel alto (1) si alguno de los ingresos A o B 
está a nivel alto (1)
A
B
XOR
F
F = A B+
XOR: eXclusive OR
+
2.4.2 Elementos booleanos
Operador SUMA EXCLUSIVA NEGADA(XNOR)
XNOR: eXclusive NOR
Α Β F=(A B)´
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
+
F
A
B
XNOR
F = (A B)'+
2.4.2 Elementos booleanos
F estará a nivel bajo (0) si alguno de los ingresos A o B 
está a nivel alto (1)
2.4.3 
Axiomas
postulados y 
teoremas
AXIOMAS
• AXIOMA = POSTULADO
• Los axiomas de un sistema 
matemático son el set mínimo de 
definiciones básicas que asumimos 
que son ciertas, a partir de las 
cuales toda la otra información 
acerca del sistema puede ser 
derivada.
AXIOMAS
(A1) X=0 SI X1
(A1’)X=1 SI X0
AXIOMAS
(A2) SI X=0 ENTONCES X’=1
(A2’) SI X=1 ENTONCES X’=0
AXIOMAS
(A3) 00=0 (A3’) 1+1=1
(A4) 11=1 (A4’) 0+0=0
(A5) 01=10=0 (A5’) 1+0=0+1=1
AXIOMAS
• LOS AXIOMAS A1-A5 Y A1’-A5’ 
DEFINEN COMPLETAMENTE EL 
ALGEBRA DE CONMUTACIÓN.• TODOS LOS RESTANTES HECHOS 
ACERCA DEL SISTEMA PUEDEN SER 
PROBADOS USANDO A1-A5 AND A1’-
A5’ 
TEOREMA
• UNA IDEA ACEPTADA O 
PROPUESTA COMO UNA 
VERDAD DEMOSTRABLE A 
MENUDO COMO PARTE DE 
LA TEORÍA GENERAL
TEOREMAS DE UNICA 
VARIABLE
• INDUCCIÓN PERFECTA
– A1: X=0 O X=1
– PROBAR EL TEOREMA PARA 
AMBOS VALORES X=0 AND X=1
IDENTIDADES
(T1) X+0=X (T1’) X1=X
ELEMENTOS NULOS
(T2) X+1=1 (T2’) X0=0
IDEMPOTENCIA
(T3) X+X=X (T3’) XX=X
INVOLUCIÓN
(T4) (X’)’=X
COMPLEMENTOS
(T5) X+X’=1 (T5’) XX’=0
COMMUTATIVIDAD
(T6) X+Y=Y+X (T6’) XY=YX
ASOCIATIVIDAD
(T7) (X+Y)+Z=X+(Y+Z)
(T7’) (XY)Z=X(YZ)
DISTRIBUTIVIDAD
(T8) X(Y+Z)=XY+XZ
(T8’) (X+Y)(X+Z)=X+YZ
ABSORCIÓN
(T9) X+XY=X (T9’) X(X+Y)=X
• X ABSORVE A Y
COMBINACIÓN
(T10) XY+XY’=X
(T10’) (X+Y)(X+Y’)=X
CONSENSO
(T11) XY+X’Z+YZ=XY+X’Z
(T11’) (X+Y)(X’+Z)(Y+Z)=(X+Y)(X’+Z)
• T11: YZ ES EL TÉRMINO DE 
CONSENSO
• T11’: Y+Z ES EL TÉRMINO DE 
CONSENSO
TEOREMAS DE 
n-VARIABLES
• PRUEBA PARA LA MAYORÍA:
INDUCCION FINITA
• INDUCCION FINITA:
– PASO 1: PROBAR EL TEOREMA PARA 
n=2
– PASO 2: PROBAR QUE SI EL TEOREMA 
ES CIERTO PARA n=i TAMBIÉN SERÁ 
CIERTO PARA n=i+1
IDEMPOTENCIA 
GENERALIZADA
(T12) X+X+…+X=X
(T12’) XX … X=X
2.4.4
Teoremas de 
DeMorgan
TEOREMAS DE DeMORGAN
(T13) (X1X2 … Xn)’=X1’+X2’+…+Xn’
(T13’) (X1+X2+ … +Xn)’=X1’X2’ … Xn’
CIRCUITOS EQUIVALENTES
TEOREMA GENERALIZADO 
DE DeMORGAN
(T14) [F(X1,X2,…Xn,+,)]’=F(X1’,X2’,…,Xn’,,+)
• T13 Y T13’ SON CASOS ESPECIALES DE T14
2.4.5
Principio de 
Dualidad
DUALIDAD
• CUALQUIER TEOREMA O 
IDENTIDAD EN EL ALGEBRA DE 
CONMUTACIÓN PERMANECE 
CIERTO SI SE TROCAN 0 POR 1 Y 
TAMBIEN EL  Y + SON 
INTERCAMBIADOS ENTRE SÍ.
DUAL DE UNA EXPRESIÓN 
LÓGICA
FD(X1,X2,…,Xn,+,,’)= F(X1,X2,…,Xn,,+,’)
TEOREMA GENERALIZADO 
DE DeMORGAN
[F(X1,X2,…Xn,+,)]’=F(X1’,X2’,…,Xn’,,+)
[F(X1,X2,…,Xn)]’= F
D(X1’,X2’,…,Xn’)
2.4.6
Teoremas de 
Shannon
TEOREMAS DE EXPANSIÓN 
DE SHANNON
(T15) F(X1,X2,…,Xn)=X1F(1,X2,…,Xn)+
+X1’F(0,X2,…,Xn)
(T15’) F(X1,X2,…,Xn)=[X1+F(0,X2,…,Xn)]
[X1’+F(1,X2,…,Xn)]
2.4.7
Definiciones
DEFINICIONES
• LITERAL: UNA VARIABLE O SU 
COMPLEMENTADA. 
• EJEMPLOS: Y, Y’
• TÉRMINO PRODUCTO: UN LITERAL, O 
UN PRODUCTO LÓGICO DE LITERALES. 
EJEMPLOS: X, ZY’
• TÉRMINO SUMA: UN LITERAL O LA 
SUMA LÓGICA DE LITERALES. 
EJEMPLOS: Z, X+Y+W’
DEFINICIONES
• PRODUCTO-DE-SUMAS: UN PRODUCTO 
LOGICO DE TÉRMINOS SUMA. 
• EJEMPLO: (X+Y)(Z+W’)
• SUMA-DE-PRODUCTOS: UNA SUMA 
LOGICA DE TÉRMINOS PRODUCTO. 
EJEMPLO: XY+ZW’
• TÉRMINO NORMALIZADO: TÉRMINO 
PRODUCTO O SUMA EN LA CUAL UNA 
VARIABLE NO APARECE MAS DE UNA 
VEZ. EJEMPLO: WXY’. 
• EJEMPLO NO NORMALIZADO: WW’X
MINTERMINO, MAXTERMINO
• MINTÉRMINO DE n-VARIABLES: 
• TÉRMINO PRODUCTO NORMAL CON n 
LITERALES. 
• EJEMPLO DE MINTÉRMINO DE 2-
VARIABLES: WX
• MAXTERMINO DE n-VARIABLES: 
TÉRMINO SUMA NORMAL CON n 
LITERALES. 
• EJEMPLO DE MAXTERMINO DE 2-
VARIABLES: W+X
MINTERMINO, MAXTERMINO
• MINTERMINO: TÉRMINO PRODUCTO 
QUE ES 1 PARA EXACTAMENTE UNA 
FILA DE LA TABLA DE VERDAD.
• MAXTERMINO: TÉRMINO SUMA QUE 
ES 0 PARA EXACTAMENTE UNA FILA 
DE LA TABLA DE VERDAD.
MINTERMINO, MAXTERMINO
FILA X Y F MINTERMINO MAXTERMINO
0 0 0 F(0,0) X’Y’ X+Y
1 0 1 F(0,1) X’Y X+Y’
2 1 0 F(1,0) XY’ X’+Y
3 1 1 F(1,1) XY X’+Y’
2.4.8
Expresiones
canónicas
EXPRESIONES CANÓNICAS
• SUMA CANONICA = LISTA DE 
MINTERMINOS = SET DE UNOS
• PRODUCTO CANONICO = LISTA DE 
MAXTERMINOS = SET DE CEROS 
• LA CONVERSION ES SENCILLA: 
A,B,C(0,1,2,3)=A,B,C(4,5,6,7)
• X,Y,Z,W(0,1,2,3,5,7,11,13)= 
=X,Y,Z,W(4,6,8,9,10,12,14,15)
110
Expresiones Canónicas
SOP
• SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS: 
• Es la representación de la función que 
emplea la suma de mintérminos.
• Ejemplo:
• f= ab’cd + a’bc’d’
111
DAACf 
DACACDAC  CDACDADA 
Ejemplo:
CDADCADACACDf 
111 110 010 000
7 6 2 0
f    
)7,6,2,0(minf 
 )7,6,2,0(),,( DCAf
112
Expresiones Canónicas 
POS
• PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS:
• Es la representación de la función que 
emplea el producto de maxtérminos.
• Ejemplo:
• f= (a + b’ + c + d ) ( a’ + b + c’ + d’)
113
Ejemplo: ),,())(( CBAfCABAf 
))(( CBACBABA  ))(( CBACBACA 
f (A B C) (A B C)(A B C)
max tér min o
      
(000)(001)(011)
0 1 3
f 
)3,1,0máx(),,( CBAf
2.4.9
Representación
de las funciones
booleanas
Representación de funciones lógicas
1. Algebraica 
2. Circuitos de conmutación
3. Esquemas de circuitos digitales
4. Tabla de verdad
5. Suma canónica (SOP)
6. Lista de mintérminos (Notación )
7. Producto canónico (POS)
8. Lista de maxtérminos (Notación )
9. Cubos n
10. Mapas K
11. Diagramas de Venn
116
Ejemplo
Representar en todas las formas posibles la 
función dada por la siguiente expresión 
algebraica:
f(a, b, c) = a . b + b’. c’
Representación de funciones lógicas
a
c
f =a . b + b . c
b
• Representación de funciones lógicas
• 2. Circuito de conmutación
b
AND
AND
OR
a
b 
c
f
• Representación de funciones lógicas
• 3. Esquema de circuitos digitales
f =a . b + b . c
a b c b c a*b b*c (a*b)+(b*c)
1 1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
• Representación de funciones lógicas
• 4. Tabla de verdad
f =a . b + b . c
• Representación de funciones lógicas
• 5. Suma canónica (SOP)
f(a, b, c) = a . b .c + a . b. c’ + a . b’. c’+ a’ . b’. c’
f(a, b, c) = a . b + b’. c’
• Representación de funciones lógicas
• 6. Notación 
f(a, b, c) = (0, 4, 6, 7)
• Representación de funciones lógicas
• 7. Producto canónico (POS)
f(a, b, c) = (a + b + c’) . (a + b’ + c) . (a + b’ + c’) . (a’ + b + c’) 
• Representación de funciones lógicas
• 8. Notación 
f(a, b, c) =(1, 2, 3, 5)
• Representación de funciones lógicas
• 9. Cubos n
f(a, b, c) = a . b + b’. c’
• Representación de funciones lógicas
• 10. Mapa K
f(a, b, c) = a . b + b’. c’
• Representación de funciones lógicas
• 11. Diagramas de Venn
f(a, b, c) = a . b + b’. c’
2.10
Personajes
notables
George John Boole (1815-1864)
• Nacido en Lincoln, Inglaterra, 
• el 2 de noviembre de 1815.
• El trabajo de Boole en la lógica 
• simbólica es colectivamente 
• conocida como “Algebra Booleana" 
• Boole, en 1854 propone un set 
• de cuatro reglas básicas de lógica, 
• las cuales subsecuentemente fueron adaptadas para 
definir circuitos básicos,
• La operación de un circuito es definida por una 
función booleana que especifica la salida para cada 
set de entradas.
Los principios básicos del Algebra Booleana fueron
propuestos como un medio para entender y cuantificar
la forma en que opera el pensamiento humano.
La propuesta de Boole no tuvo mucho efecto en el
estudio de la psicología, pero 80 años después, en 1938
esta álgebra fue retomada por Claude Shannon para
resolver problemas de diseño de circuitos de
conmutación.
Debido a esto es que el Algebra de Boole llega a ser el
fundamento teórico para el diseño y análisis de
circuitos digitales.
130
El libro de Boole
Claude Elwood Shannon
Claude Elwood Shannon
Míchigan, 30 de abril de 1916 – 24 de febrero de 2001
Fue un ingeniero electrónico y matemático 
estadounidense, recordado como 
«el padre de la teoría de la información»
(desarrolló la entropía de la información).
Los primeros años de su vida los pasó en 
Gaylord, donde se graduó de la secundaria en 1932. 
Desde joven, Shannon demostró una inclinación hacia las cosas
mecánicas. Resaltaba respecto a sus compañeros en las asignaturas
de ciencias. Su héroe de la niñez era Edison, con quien luego
descubrió que tenía un parentesco y a cuyas investigaciones se
aproximó bastante.
Claude Elwood Shannon
En 1932 ingresó en la Universidad de Míchigan, donde su
hermana Catherine se doctoró comomatemática. En 1936
obtuvo los títulos de ingeniero electricista y matemático.
Su interés por la matemática y la ingeniería continuó
durante toda su vida.
En 1936 aceptó el puesto de asistente de investigación en
el departamento de ingeniería eléctrica en el Instituto
Tecnológico de Massachusetts (MIT). Su situación le
permitió continuar estudiando mientras trabajaba por horas
para el departamento, donde trabajó en el computador
analógico más avanzado de esa era, el Differential Analyzer
de Vannevar Bush.
Claude Elwood Shannon
En ese momento surgió su interés hacia los circuitos de
relevadores complejos. Intentando simplificar centralitas
telefónicas de relés, se dio cuenta de que estos podían
usarse para hacer cálculos. Sumado esto a su gusto por la
lógica y el álgebra booleana, pudo desarrollar esta idea
durante el verano de 1937, que pasó en los laboratorios
Bell en la ciudad de Nueva York.
En su tesis de maestría en el MIT, demostró cómo el
álgebra booleana se podía utilizar en el análisis y la
síntesis de la conmutación y de los circuitos digitales. La
tesis despertó un interés considerable cuando apareció en
1938 en las publicaciones especializadas.
Claude Elwood Shannon
En 1940 le fue concedido el Premio para ingenieros
norteamericanos del Instituto Norteamericano Alfred Noble de
los Estados Unidos, otorgado cada año a una persona de no más
de treinta años. Un cuarto de siglo más tarde, H. H. Goldstine,
en su libro Las computadoras desde Pascal hasta Von Neumann,
citó su tesis como una de las más importantes de la historia
que ayudó a cambiar el diseño de circuitos digitales.
Durante el verano de 1938 realizó trabajos de investigación en
el MIT y le fue concedida la beca Bolles cuando trabajaba como
ayudante de enseñanza mientras realizaba un doctorado en
matemática. En 1940 estudió un máster en ingeniería eléctrica y
se doctoró en filosofía matemática.
Claude Elwood Shannon
Shannon pasó quince años en los laboratorios Bell, una
asociación muy fructífera con muchos matemáticos y
científicos de primera línea como Harry Nyquist, Walter
Houser Brattain, John Bardeen y William Bradford
Shockley, inventores del transistor; George Stibitz, quien
construyó computadoras basadas en relevadores; Warren
Weaver, quien escribió una extensa y aclaradora
introducción a su obra La teoría matemática de la
comunicación y muchos otros más.
Claude Elwood Shannon
Durante este período Shannon trabajó en muchas áreas, y
lo más notable fue todo lo referente a la teoría de la
información, que se publicó en 1948 con el nombre de
“Una teoría matemática de la comunicación”. En este
trabajo se demostró que todas las fuentes de información
(telégrafo eléctrico, teléfono, radio, la gente que habla, las
cámaras de televisión, etcétera) pueden medirse, y que los
canales de comunicación tienen una unidad de medida
similar, determinando la velocidad máxima de
transferencia o capacidad de canal.
Claude Elwood Shannon
Demostró también que la información se puede transmitir
sobre un canal si y solamente si la magnitud de la fuente no
excede la capacidad de transmisión del canal que la
conduce, y sentó las bases para la corrección de errores,
supresión de ruidos y redundancia.
En el área de las computadoras y de la inteligencia
artificial, publicó en 1950 un trabajo que describía la
programación de una computadora para jugar al ajedrez,
convirtiéndose en la base de posteriores desarrollos.
Richard Wesley Hamming 
1915 - 1998 
Premios Premio Turing en 1968.
Matemático estadounidense que 
trabajó en temas relacionados con 
la informática y las telecomunicaciones. 
Sus principales contribuciones a la ciencia han sido el 
código Hamming, la ventana Hamming y la distancia 
Hamming.
Richard Wesley Hamming 
Nació en Chicago, Illinois, el 11 de febrero de 1915.
Se licenció por la Universidad de Chicago en 1937. 
En 1939 realizaría una mastería en la Universidad de 
Nebraska y finalmente se doctoró por la Universidad 
Urbana-Champaign de Illinois en 1942.
Durante la Segunda Guerra Mundial, fue profesor en la 
Universidad de Louisville, trabajo que abandonaría 
para integrarse en 1945 en el proyecto Manhattan. Allí 
desarrolló su trabajo programando una de las primeras 
calculadoras numéricas electrónicas, para determinar la 
solución a algunas ecuaciones proporcionadas por los 
físicos del proyecto. 
Richard Wesley Hamming 
El objetivo del programa era descubrir si la detonación de una
bomba atómica podría incendiar la atmósfera. El resultado del
cálculo era que la ignición no ocurriría, así que los Estados
Unidos utilizaron la bomba, primero como prueba en Nuevo
México y poco más tarde dos veces contra Japón.
Entre los años 1946-1976, trabajó en los laboratorios Bell, en
donde colaboró con Claude E. Shannon. El 23 de julio de 1976
se trasladó a la Naval Postgraduate School, en donde trabajó
como profesor adjunto hasta 1997, llegando a ser Professor
Emeritus.
Fue fundador y presidente de la Association for Computing
Machinery.
Murió en Monterey, California el 7 de enero de 1998.
Augustus DeMorgan
(Madurai, India; 27 de junio de 1806 –
Londres, 18 de marzo de 1871)
Fue un matemático y lógico británico nacido en la India. 
Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres 
entre 1828 y 1866; primer presidente de la Sociedad de 
Matemáticas de Londres. 
De Morgan se interesó especialmente por el álgebra. 
Fue tutor de Ada Lovelace. 
Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea 
de aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así como 
los primeros resultados de tal aplicación. 
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Fin de la presentación