Orbitales Hidrogenoides - Perissionitti, Mendiara (2013) - Mauricio Ortega Cruz

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Orbitales hidrogenoides 
 
 
 
 
 
 
 
Orbitales hidrogenoides 
 
Estructura y visualización 
 
 
Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luis, Perissinotti 
 Orbitales hidrogenoides : estructura y visualización / Perissinotti Luis y Mendiara Sara. - 1a 
ed. - Mar del Plata : EUDEM, 2013. 
 324 p. ; 25x17 cm. 
 
 ISBN 978-987-1921-13-3 
 
 1. Química. 2. Enseñanza Universitaria. I. Sara, Mendiara II. Título 
 CDD 540.711 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queda hecho el depósito que marca la Ley 11.723 de Propiedad Intelectual. 
 
Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio o método, sin 
autorización previa de los autores. 
 
ISBN: 978-987-1921-13-3 
 
 
Este libro fue evaluado por el Dr. Martín Labarca 
 
Fecha de edición: Agosto 2013 
 
© 2013 EUDEM 
Editorial de la Universidad Nacional de Mar del Plata 
EUDEM / Formosa 3485 / Mar del Plata / Argentina 
 
© 2013 Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
 
Diagramación: D.I. Luciano Alem 
 
Impreso en: Imprenta El faro, Dorrego 1401, Mar del Plata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicamos este libro, con mucho amor, 
 
a Laurita y a Pauli 
 
a Ari y a Jorgito 
 
 
5 
PRÓLOGO Y AGRADECIMIENTOS 
 
 
Puede decirse que nuestro interés en los Orbitales nace con nuestro primer 
contacto con la Química, extendiéndose a lo largo de nuestra vida como 
Docentes e Investigadores. 
 
Como Docentes, la enseñanza de este tema, siempre presente en las distintas 
ramas de la Química, nos condujo a una permanente profundización de 
nuestros conocimientos y al replanteo del modo de presentarlos. 
 
A pesar del papel central que juegan los orbitales tanto en Química Orgánica 
como Química Inorgánica, no se los presenta en su verdadera naturaleza y en 
consecuencia no se analizan apropiadamente. Recién, tardíamente, en las 
asignaturas de Fisicoquímica se enfatiza su condición de funciones matemáticas 
y se presentan sus correspondientes expresiones. Con ellas pueden realizarse 
cálculos de densidad de probabilidad, que permiten por primera vez al 
Estudiante la comprensión de su significado. 
 
En el pasado, hubo dificultades en la representación gráfica de las funciones 
Orbitales, no existiendo acuerdo en que propiedad matemática se representaba. 
Esto originó confusas representaciones gráficas lo cual dificultó la 
interpretación de la matemática asociada. 
 
Con la popularización de la computación y el advenimiento de programas de 
asistencia matemática adecuados, estas dificultades fueron desapareciendo. 
Actualmente es posible construir representaciones gráficas más acordes con la 
naturaleza de la función orbital. Nos hemos preocupado por explicar 
detalladamente la aplicación correcta de estos programas para obtener las 
correspondientes figuras y reconocer sus características particulares y su 
simetría. 
 
Hemos cuidado de presentar distintos niveles de entrada a la lectura de nuestro 
libro. Quien solamente desee construir orbitales puede entrar en los Capítulos 
III y IV. Quien necesite los conceptos fundamentales para la representación de 
las funciones necesitará comenzar con el Capítulo II. Quien desee conocer la 
diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica leerá además, 
detalladamente, el Capítulo I. Quien desee profundizar en temas claves de la 
mecánica cuántica se introducirá en el Capítulo V. 
Puede ser que algunos lectores se interesen particularmente en el 
Capítulo VI, que es un desarrollo histórico y filosófico de temas relacionados 
con los orbitales que han tenido y continúan teniendo mucha relevancia. 
Pedimos disculpas a nuestros lectores por los errores, que a pesar de 
nuestros cuidados, se habrán deslizado. 
 
 
6 
Nos sentiríamos muy felices si después de leer, analizar y estudiar lo que, con 
mucha dedicación hemos volcado en esta obra, el lector considerara ampliado y 
enriquecido su conocimiento sobre los orbitales. 
 
Deseamos agradecer en primer lugar, muy especialmente, a la Doctora en 
Ciencias Matemáticas Vera M. W. de Spinadel, Profesora Emérita de la 
Universidad Nacional de Buenos Aires , por haber alentado nuestra 
participación en las Conferencias de Matemática y Diseño, en las cuales 
comenzamos a presentar nuestras ilustraciones de los Orbitales Hidrogenoides 
a partir del año 2004. La extensión y profundización de esta labor culminó en 
diversas publicaciones. 
 
Deseamos también agradecer a la Asociación de Docentes en la Enseñanza de 
la Química de la República Argentina (ADEQRA) por brindarnos la posibilidad 
de dictar Talleres, en sus Reuniones de Educadores en la Química (REQ), sobre 
el tema de Orbitales ( REQ realizados en los años 2006 y 2008 ). 
 
También deseamos destacar que nuestros alumnos, de todos los tiempos, 
fueron los que contribuyeron a nuestro interés por esclarecer los temas que 
hemos desarrollado, sembrando la duda en nuestras explicaciones, 
sorprendiéndonos con sus interesantes preguntas. A todos ellos nuestro muy 
grande agradecimiento y cariño. 
 
Vaya también nuestro agradecimiento a: 
 
El Profesor visitante, Doctor Alvaro Lorenzo Salas Brito de la Universidad 
Nacional de México (UNAM), quien allá por los principios de la década de los 
90, nos proporcionara tan gentilmente el programa MAPLE II, con el cual 
iniciamos nuestro trabajo. 
 
Especialmente al Doctor Martín Labarca, revisor de esta obra, por sus 
sugerencias desde el punto de vista de la Filosofía de la Química y por el aliento 
para la publicación de nuestra obra. 
 
Finalmente al equipo de la editorial EUDEM, por su paciencia en el arduo 
trabajo de corrección y su amabilidad. 
 
Sara y Luis 
Mar del Plata, mayo de 2013 
 
 
 
ÍNDICE GENERAL DE CONTENIDOS 
 
INTRODUCCIÓN 
 
CAPÍTULO I 
INTRODUCCIÓN COMPARATIVA ENTRE LA MECÁNICA 
CLÁSICA Y LA MECÁNICA CUÁNTICA 
 
DESDE EL PRIMER MODELO DEL ÁTOMO HASTA LA MECÁNICA 
CUÁNTICA 
TRAYECTORIAS, ÓRBITAS Y ORBITALES 
Breve repaso de la Mecánica Clásica 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA 
Densidad de probabilidad 
Ejercicio 1.1: Demostrar que el máximo está efectivamente en el radio de 
BOHR para el átomo de hidrógeno. 
¿Cómo se obtiene la función de onda? 
Comentarios sobre la degeneración 
Ejercicio 1.2: ¿Cuántas funciones degeneradas hay para cada “n”? 
Ejercicio 1.3: Es usual la analogía del átomo con el sistema solar. Pero, no 
debe olvidarse que el electrón, a diferencia de los planetas, no tiene trayectoria 
ni órbita y, puede estar con distintas probabilidades en cualquier punto del 
espacio. Resulta interesante llevar esta comparación al campo numérico. 
Ejercicio 1.4: Estimación de la velocidad media del electrón en el orbital 1s. 
REFERENCIAS HISTÓRICAS 
RESUMEN SOBRE EL SIGNIFICADO DE LA FUNCIÓN DE ONDA 
 
 
CAPÍTULO II 
VISUALIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES 
 
INTRODUCCIÓN 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN COORDENADAS CARTESIANAS 
DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 
PARTE A 
A1) Representación de funciones con una variable independiente 
INSTRUCCIONES para el uso del programa 
A2) Representación de funciones con dos variables independientes 
A3) Representación de funciones con dos variables independientes, expresadas 
en forma de función implícita 
PARTE B 
B1) Representaremos las curvas de nivel correspondientes a 
64222 =++ zyx , como una función implícita 
B2) Representaremos las curvas de nivel correspondientes al cono 
PARTE C 
Representación de funciones de onda 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
15 
 
 
17 
18 
18 
20 
20 
 
23 
24 
28 
30 
 
 
 
30 
32 
34 
35 
 
 
 
37 
 
39 
 
40 
42 
42 
43 
45 
 
47 
49 
 
50 
51 
53 
538 
CAPÍTULO III 
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DE ONDA, ORBITALES 
 
INTRODUCCIÓN 
DESCRIPCIÓN DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO 
DISCUSIÓN GENERAL DE LA FORMA MATEMÁTICA DE LOS 
ORBITALES 
ESQUEMA DE TRABAJO PARA ANALIZAR LOS ORBITALES 
ATÓMICOS DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO 
PARTE A) La representación de armónicos esféricos y de la función de onda 
Los Ejemplo 3.A.I. y 3.A.II., permiten apreciar como modifica la función 
radial a la función angular 
PARTE B) La representación de las funciones matemáticas correspondientes 
a los orbitales p, para n=2, 3 y 4 
El Orbital p y el análisis de sus características, Ejemplo 3.B.I. y 3.B.II., para 
n=2 
Los Orbitales p y el número cuántico n. En el Ejemplo 3.B.III., se analiza el 
efecto que se observa al variar el número cuántico principal. 
Ejemplo 3.B.IV. Representación del orbital 3pz 
PARTE C) Análisis de otros tipos de orbitales, por ejemplo, los “d” 
 
CAPÍTULO IV 
LOS NÚMEROS CUÁNTICOS n, ℓ, m y LA FORMA DE UNA DADA 
ISOSUPERFICIE 
 
INTRODUCCIÓN 
ANÁLISIS DE LAS SUPERFICIES NODALES DE LOS ORBITALES 
PARA n = 5 
ANÁLISIS DEL SIGNO Y DE LA SIMETRÍA DE LOS ORBITALES 
EXPRESIONES MATEMÁTICAS DE LAS FUNCIONES ORBITALES 
PARA n = 5 y m = 0 
REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES ORBITALES 
PARA n = 5 y m = 0 
Representación del orbital 5s 
Representación del orbital 5p 
Representación del orbital 5d 
Representación del orbital 5g 
REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES ORBITALES 
PARA n = 5 y m ≠ 0 
Representación del orbital 5f3 
Representación del orbital 5f1 
OPERACIONES DE SIMETRÍA ALREDEDOR DEL EJE “z” 
Y EL NÚMERO CUÁNTICO MAGNÉTICO “m” 
Caso 1. El número cuántico magnético es cero y ψ es real, m = 0 
Caso 2. El número cuántico magnético puede tener diversos valores, distintos 
de cero. 
CONCLUSIONES 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
ARTE ORBITAL 
 
 
59 
 
61 
61 
 
62 
 
66 
66 
 
67 
 
68 
 
71 
 
74 
77 
79 
 
 
 
81 
 
 
83 
 
84 
 
85 
 
86 
86 
88 
88 
89 
 
91 
92 
93 
 
96 
98 
 
99 
102 
104 
111 
 
 
9 
CAPÍTULO V 
BREVE EXPOSICIÓN Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNOS 
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 
 
I) DESDE UNA ONDA MECÁNICA EN UNA CUERDA A LA 
ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 
A) La onda en la física clásica 
B) Ondas y partículas 
C) La ecuación de onda correspondiente a una partícula 
D) Comentario final 
II) LOS PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA (MQ) 
A) El PRIMER AXIOMA se refiere a las propiedades de la Función 
de Onda, más adecuadamente llamada Función de Estado o Vector de Estado. 
B) El SEGUNDO AXIOMA de MQ se refiere a que instrumentos 
matemáticos se requieren para “extraer” la información de Ψ . 
C) En un TERCER AXIOMA nos referiremos a como resulta la 
extracción de información de la función de onda, o sea al resultado de una 
medición. 
D) El CUARTO AXIOMA se refiere a que en MQ observar es 
perturbar. 
E) El QUINTO AXIOMA se refiere a la evolución en el tiempo del 
estado de un sistema al que le corresponde la función de onda ),,,( tzyxΨ =
),,( zyxtΨ . 
F) EL SEXTO AXIOMA, se refiere a sistemas formados por 
partículas idénticas. 
Ejercicios 
III) COMO SE OBTIENEN LOS ORBITALES HIDROGENOIDES 
REALES 
EJEMPLOS 
5.III.1) Un ejemplo de los conceptos introducidos, relacionado con 
los orbitales hidrogenoides. 
5.III.2) Análisis del concepto de degeneración. En los orbitales 
hidrogenoides el electrón tiene el mismo estado energético en todos los 
orbitales correspondientes al mismo número cuántico “n”. ¿Sucede lo mismo 
con los demás observables? 
IV) PROPIEDADES DE LOS CONMUTADORES Y SU EMPLEO 
A) Evaluación de los conmutadores. 
B) Casos de operadores que no conmutan. 
V) EVOLUCIÓN TEMPORAL 
 DEL VALOR MEDIO DE UN OBSERVABLE 
VI) EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 
 TEOREMA DE EHRENFEST 
VII) FUNDAMENTACIÓN DE LA INTERPRETACIÓN 
 PROBABILÍSTICA DE LA FUNCIÓN DE ONDA 
VIII) DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN 
 
 
 
 
 
 
119 
 
 
121 
121 
126 
128 
131 
133 
 
133 
 
135 
 
 
142 
 
144 
 
 
146 
 
 
147 
 
 
159 
 
162 
 
 
 
167 
169 
169 
170 
 
171 
 
173 
 
176 
180 
 
 
 
 
 
10 
CAPÍTULO VI 
TEMAS RELACIONADOS CON LOS ORBITALES 
 
LA TABLA PERIÓDICA 
Desde la Tabla Periódica hasta la configuración electrónica 
Comentarios de algunos autores ordenados cronológicamente 
LA DISCUSIÓN ACERCA DE LOS ORBITALES ATÓMICOS 
¿Qué debería enseñarse a los estudiantes? 
Los Orbitales Atómicos: ¿son reales? 
COMENTARIOS DE LOS AUTORES 
Acerca de la Teoría Atómico-Molecular 
Ejemplos sobre la aplicación exitosa del concepto de orbital 
I) Los átomos poli electrónicos 
II) Orientación espacial de la unión química 
III) Empleo de los Orbitales en Química Orgánica 
IV) Empleo de los Orbitales en cálculos Mecánico Cuánticos Moleculares 
REFLEXIONES SOBRE LAS CRÍTICAS REFERENTES A LA 
EXISTENCIA DEL ORBITAL 
Respuesta a las críticas formuladas por J. Ogilvie 
Respuesta a las críticas formuladas por E. Scerri 
REFLEXIONES FINALES 
 
APÉNDICE I 
ANATOMÍA DE UN ORBITAL HIDROGENOIDE 
INTRODUCCIÓN 
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN BLOQUES 
BLOQUE I 
BLOQUE Ia 
BLOQUE Ib 
BLOQUE II El Polinomio radial 
BLOQUE III Es común a todos los orbitales del mismo número cuántico n 
BLOQUE IV Es el que determina la normalización del Orbital y sus 
unidades 
BLOQUE V Es simplemente un coeficiente numérico 
 
APÉNDICE II 
EXPRESIONES MATEMÁTICAS 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
189 
 
191 
191 
193 
197 
197 
197 
207 
207 
208 
208 
208 
209 
209 
 
210 
210 
212 
217 
 
 
219 
221 
222 
222 
222 
223 
226 
228 
 
232 
233 
 
 
235 
 
305 
 
 
 
11 
INTRODUCCIÓN 
PROPUESTA Y OBJETIVOS 
 
En los libros de texto de Química actuales, cualquiera sea la subdisciplina que 
traten (Química General, Inorgánica, Analítica, Orgánica, Fisicoquímica, 
Química Biológica), es usual encontrar imágenes gráficas de orbitales atómicos, 
orbitales híbridos y orbitales moleculares. Estas imágenes construidas mediante 
programas de computación cada vez más potentes, muestran diferencias 
apreciables con las imágenes clásicas de los textos de 30 o más años de 
antigüedad. Dichas diferencias se deben no solo a la mayor exactitud y calidad 
de las imágenes actuales sino también a que se están representando cosas 
distintas. 
En esta propuesta, de las muchas posibilidades de representación 
gráfica de un orbital, nos limitaremos a la representación de orbitales atómicos 
hidrogenoides, mediante isosuperficies de densidad de probabilidad. Para 
ello emplearemos un programa de asistencia matemática. Nuestro objetivo es la 
enseñanza práctica de dicho programa para lograr las más variadas imágenes de 
cualquiera de los tantos orbitales atómicos hidrogenoides, correspondientes a 
los números cuánticos principales que van desde n = 1 hasta n = 7 inclusive. 
Así, en el Capítulo 2 se trata de familiarizar a los lectores con la representación 
de funciones de complejidad creciente y con la utilización del programa 
MAPLE. 
Sin embargo, el objetivo del Libro no se limita a la simple construcción 
de las imágenes gráficas, sino también a permitir entender como dependen esas 
imágenes de los números cuánticos: n, l y m, del valor de la densidad de 
probabilidad constante elegida y también del número atómico Z. 
Nuestro Libro tiene distintas entradas que pueden abordarse 
independientemente. Quien deseara solamente construir orbitales, entrará por 
ejemplo a los Capítulos 3 y 4. En los Capítulos 5 y 6 se desarrollaron algunos 
conceptos que si bien no son imprescindibles para el objetivo primario de este 
Libro son básicos del tema y pueden satisfacer el mayor interés de algunos 
lectores. 
Para que haya independencia entre los Capítulos, consideramos 
conveniente repetir ciertos conceptos fundamentales en los Capítulos 3 y 4. Lo 
mismo ocurre con los conceptos de Mecánica Cuántica que se introdujeron en 
el Capítulo 1 y que luego se profundizan en el Capítulo 5. 
 Este Libro está dirigido a estudiantes de grado y a Profesores de nivel 
Secundario y Universitario, con el propósitode facilitar el aprendizaje y la 
enseñanza de los temas que se abarcan. Los estudiantes pueden ser de Ciencias, 
Ingeniería, Arquitectura y estudiantes interesados en los diseños y en el arte. 
Solamente se requieren conocimientos básicos universitarios de matemática. En 
el Capítulo 4, en la parte de ARTE ORBITAL, se muestran conjuntos de 
diseños que pueden lograrse según el tipo de funciones introducidas. 
 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
12 
COMENTARIOS GENERALES 
 
Cuando se describen fenómenos naturales empleando herramientas 
matemáticas, es usual que estas sean funciones. Comúnmente se trata de 
funciones de una variable real, a la que se asigna unívocamente otro número 
real. La representación gráfica de dicha función, ya sea en coordenadas 
cartesianas, polares, etc., es un modo de establecer un puente entre la fórmula 
matemática y los conceptos físicos. 
En Química Cuántica las funciones orbitales para los estados 
estacionarios correspondientes a los electrones son, como veremos, de 
particular interés ya que su módulo al cuadrado corresponde a la densidad 
volumétrica de probabilidad para dicha partícula. Aún en el caso que la función 
orbital pertenezca al campo de los números reales estaríamos frente a una 
función de tres variables independientes (x, y, z), que requiere para su 
representación en coordenadas cartesianas de un espacio de cuatro dimensiones 
(x, y, z,ψ). 
Hasta la década de 1980, la solución más común al problema pasaba 
por la mutilación de la función orbital, consistente en quitarle la parte radial y 
representar en tres dimensiones la parte angular en coordenadas esféricas: 
r=r(θ,ϕ). La distancia al origen r en función de la dirección (θ, ϕ) representaba 
el valor de la parte angular de la función orbital. Era mucho lo que se perdía 
procediendo de esa manera, ya que la parte radial marca la influencia del 
número cuántico n en la función orbital. Se creaba así la idea errónea que, por 
ejemplo, los orbitales atómicos 2p, 3p, 4p, etc., eran todos iguales debido a la 
desaparición del efecto de los nodos radiales que es originado precisamente por 
la parte radial. Además, la función radial contribuye significativamente a la 
densidad de probabilidad y produce la dependencia de la densidad de 
probabilidad con r lo cual determina concretamente el tamaño efectivo del 
átomo. 
A partir de la década de 1980, comienza a imponerse en los libros de 
texto la representación de los orbitales mediante superficies de nivel, que son 
aquellas en las cuales la función de onda toma un valor constante (ψ (x, y, 
z)=cte). De este modo puede representarse la función orbital íntegra que 
incluye tanto la parte angular como la radial. El resultado fue en primer lugar un 
cambio de forma apreciable en las imágenes de los orbitales, que dependía del 
valor elegido para la constante. 
La mayoría de los libros de texto representan a los orbitales atómicos 
en su “primera aparición”, es decir: 
 s1 ; p2 ; d3 ; f4 
Lo cual mantiene la ilusión que todos los orbitales del mismo número cuántico 
l pero de distinto n son iguales. 
Algunos textos representan los orbitales 3p (segunda aparición de los 
orbitales p) y allí puede verse el papel que juega la función radial, al modular y 
cerrar las distintas superficies de nivel, apareciendo nuevos nodos. No se 
Introducción 
13 
exponen usualmente las superficies de nivel correspondientes a los orbitales 
atómicos 4p, 5p,…4d, 5d,…5f, 6f,… etc. 
Existen en Internet páginas donde se pueden obtener las imágenes de 
los orbitales atómicos, pero no se brindan las expresiones completas de las 
correspondientes funciones matemáticas, lo cual impide modificarlas e 
interpretarlas para comprender sus propiedades. 
 
Cuando se quiere representar estas funciones se encuentran tres 
dificultades claves: 
 
1) La manera clásica de representar la función ψ (x, y, z)=cte, es despejar una 
de las variables, por ejemplo z en función de x e y, z = f (x, y), obteniéndose 
una superficie en el espacio mediante un programa de asistencia matemática. 
Sin embargo, en general las funciones orbitales ψ (x, y, z) tienen la forma de un 
producto de un polinomio en 222 zyxr ++= por una exponencial del 
tipo 
rn
e 2
ζ
−
, siendo en general imposible despejar z, y o x salvo en casos 
excepcionales. 
),,(.).(),,( 2 zyxFerPolinomiozyx sml
r
nlsmnl
nζ
ψ
−
= 
......)( 32 ++++= rdrcrbarPolinomio nl 
 
2) Aún cuando fuera posible despejar alguna de las variables cartesianas, la 
función obtenida resultaría en general multiforme, no sería función en un 
sentido matemático estricto ya que asignaría a un valor de las variables más de 
un valor de la función. Como resultado se vería representada solamente parte 
de la superficie correspondiente. 
 
3) Una buena comprensión de la superficie de nivel requiere poder observarla 
desde distintas perspectivas y poder efectuar cortes, ya que estas superficies que 
suelen ser cerradas pueden ocultarse parcialmente a sí mismas. 
 
Los programas de asistencia matemática permiten superar las 
dificultades anteriores: 
 
Afortunadamente, estos programas (como el MAPLE) tienen cada vez 
versiones más avanzadas y permiten representar funciones implícitas de tres 
variables del tipo ψ (x, y, z)=cte, mostrando las superficies cerradas completas 
de acuerdo a las condiciones impuestas, aunque respecto a una o a todas las 
variables correspondan funciones multiformes. Además, los programas 
permiten girar la superficie en la pantalla según cualquiera de los ejes de modo 
de poder observarla desde cualquier punto de vista. También se pueden 
efectuar cortes según ciertos planos que podemos seleccionar. Finalmente, es 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
14 
posible generar en poco tiempo superficies de nivel para distintos valores de la 
constante (cte). 
En el caso de trabajar con 2),,( zyxψ , la constante es la densidad de 
probabilidad. De este modo, puede observarse como van cambiando en forma 
y tamaño las superficies de nivel, o isosuperficies, según el valor de dicha 
constante (cte). 
Mediante estas manipulaciones resulta posible establecer el puente 
entre las funciones matemáticas y los conceptos físicos que encierran los 
orbitales. 
En la mayoría de los dibujos de los orbitales, se representaron 
0),,( δψ +=zyx y 0),,( δψ −=zyx ; siempre se utilizaron los siguientes 
colores: azul, verde y amarillo. Dichos colores, en la escala de grises, se 
corresponden con: negro, gris oscuro y gris claro. El amarillo o gris claro 
siempre se usó para representar a las zonas nodales. 
 
 
 
COMENTARIOS FINALES 
 
El objetivo de este libro es volcar no solamente nuestra experiencia adquirida 
en la práctica docente universitaria, al emplear orbitales atómicos en la 
enseñanza de distintos temas de Química Inorgánica, Química Orgánica, 
Fisicoquímica y Cursos de Postgrado (Simetría orbital en Química Orgánica 
y Reacciones por radicales libres en la preparación de compuestos 
orgánicos y en sistemas biológicos), sino también la obtenida en dos 
Talleres sobre Representaciones de Orbitales Atómicos que hemos dirigido 
(Congresos de ADEQRA 2006 y 2008). También hemos presentado trabajos 
sobre el tema en las Conferencias de la Asociación Internacional de 
Matemática y Diseño, que culminaron en publicaciones (Mendiara y 
Perissinotti, 2004, 2005 y 2008). 
Los resultados obtenidos y el interés manifestado por los participantes 
Docentes a los Talleres, tanto del nivel Medio como Universitario, nos han 
alentado a realizar esta contribución al aprendizaje de un Tema que aunque 
clásico en la Enseñanza de la Química, nos parece poco o subexplotado en 
relación con las posibilidades que ofrecen las actuales herramientas 
computacionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO I 
 
INTRODUCCIÓN COMPARATIVA 
ENTRE LA MECÁNICA CLÁSICA 
Y LA MECÁNICA CUÁNTICA17 
DESDE EL PRIMER MODELO DEL ÁTOMO HASTA LA 
MECÁNICA CUÁNTICA 
 
El primer modelo del átomo, con un soporte experimental, fue el de E. 
Rutherford, en 1911. En ese modelo un núcleo cargado positivamente está 
rodeado de electrones negativos que giran a su alrededor, de manera análoga a 
lo que se observa en el sistema solar. Así surgieron las imágenes planetarias de 
los átomos que todavía suelen utilizarse para representar su estructura, es la 
imagen popular del átomo. 
La Teoría que se desarrolló, posteriormente denominada Primera 
Mecánica Cuántica, era una mecánica clásica a la cual se había agregado de manera 
axiomática la cuantización del impulso angular, en múltiplos de )2( π
hh . 
N. Bohr, en 1913, basándose en la hipótesis de Planck y en la noción 
que la luz está formada por fotones, realizó un desarrollo cuantitativo para el 
más sencillo de los átomos, el de hidrógeno, constituido por un protón y un 
electrón. El resultado fue que solamente ciertos valores de energía eran 
posibles para el electrón y, en consecuencia, solo ciertas órbitas circulares 
estaban permitidas. El espectro del átomo de hidrógeno logró atribuirse a 
transiciones del electrón entre dichas órbitas cuantizadas. La Teoría de Bohr 
explicaba exitosamente las series de Balmer y de Paschen del espectro de emisión 
del átomo de hidrógeno y permitió calcular la constante de Rydberg (conocida 
empíricamente desde 1885), a partir de constantes universales, 
32
4
).4.(.
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R
o
e
H = . Además, esta Teoría, también predijo acertadamente 
otras series espectroscópicas para el átomo de hidrógeno: Lyman, Brackett y 
Pfund. La teoría de Bohr también permite calcular correctamente el espectro de 
cualquier átomo o ión hidrogenoide. Los átomos o iones hidrogenoides son 
aquellos que tienen un solo electrón, por ejemplo: H, He+, Li2+, C5+, etc. 
La Teoría de Bohr no resultó exitosa para átomos con más de un 
electrón. Gradualmente se fue tomando conciencia que la Mecánica Clásica 
(MC) no podía explicar la estructura atómica, no bastando con agregarle los 
conceptos de cuantización de la energía y del impulso angular surgidos a 
principios del siglo XX. 
Se imponía la construcción, desde los cimientos, de una nueva 
mecánica que coincidiera en el límite de los objetos macroscópicos con la MC. 
Esto fue logrado entre 1925 y 1926, cuando W. Heisenberg y E. Schrödinger 
(*1) desarrollaron la Mecánica Cuántica (MQ) (Heisenberg, 1925; 
Schrödinger, 1926, 2 publicaciones; Heisenberg, 1927). 
Las dificultades matemáticas de los cálculos mecánico cuánticos eran 
tan grandes que se podían obtener soluciones exactas solamente para sistemas 
atómicos con pocas partículas (Leighton, 1959; Hiller, 1960; Steiner, 1997; 
Chang, 2008). 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
18 
TRAYECTORIAS, ÓRBITAS Y ORBITALES 
 
Realizamos un breve repaso de la Mecánica Clásica 
 
En la MC se resuelve el problema del movimiento de un cuerpo de masa “m” 
en un campo de energía potencial V que origina un campo de fuerzas, como se 
muestra en la ecuación (1), aplicando las leyes de la dinámica de Newton, 
fundamentalmente la ecuación (2). 
 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−=∇−=
z
V
y
V
x
VVF ;;
rr
 (1) 
 amF r
r
.= 
dt
da υ
v
r
= (2) 
El resultado obtenido, en el caso más general son tres funciones del 
tiempo que determinan en cada instante t0 el correspondiente valor de las 
coordenadas (x0, y0, z0): 
)()( txtfx == 
)()( tytgy == 
)()( tzthz == 
Estas tres funciones describen respecto del parámetro t, tiempo, una 
curva plana o alabeada inmersa en el espacio tridimensional. 
En la Figura 1.1 se puede observar una curva en tres dimensiones que se 
denomina trayectoria del cuerpo (partícula) de masa “m”. 
 
 
 
Figura 1.1. Trayectoria de un cuerpo de masa “m” 
 
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
19 
 
 
Si la trayectoria es cerrada se denomina órbita. Las trayectorias pueden variar 
en el tiempo o no. En este último caso se denomina trayectoria estacionaria. 
En este caso la partícula se mueve pero la trayectoria no cambia en el tiempo. 
Un buen ejemplo es la vía del ferrocarril, que determina su trayectoria invariable 
en el tiempo. 
Otro ejemplo son los planetas que recorren respecto del sol órbitas 
estacionarias (o prácticamente estacionarias, en tiempos astronómicamente 
cortos), ver la Figura 1.2. 
 
 
 
Figura 1.2. Trayectorias invariables en el tiempo. 
 
 
Resumiendo, la MC asigna a las partículas objetos matemáticos de una 
dimensión llamados trayectorias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
20 
 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA 
 
En MQ, en cambio, dada una partícula como el electrón, moviéndose en el 
campo eléctrico generado por el núcleo, se le asigna al mismo una función de 
cuatro variables: x, y, z, t, llamada función de onda ),,,( tzyxΨ . Al igual que 
en la MC, pueden tenerse sistemas estacionarios en los cuales la función de 
onda no es función del tiempo ),,( zyxψ . 
En general ψ es una función compleja de variables reales, (no 
confundir con función compleja de variable compleja). 
La MQ no determina trayectorias y por lo tanto, tampoco órbitas, sino 
la probabilidad de encontrar a la partícula (electrón) en una determinada región 
del espacio. Si consideramos en to un punto de coordenadas ),,,( 0000 tzyx en 
una región de volumen V, en toda la región habrá una probabilidad P de 
encontrar a la partícula (electrón) en el instante t0. Podemos definir 
V
P
, como 
la probabilidad media por unidad de volumen. Si se toman volúmenes cada vez 
más pequeños en torno del punto ),,( 000 zyx , el límite de cuando V→0 
será la densidad de probabilidad,δ , en ),,,( 0000 tzyx 
),,,( 00000 tzyxV
Plím
V
δ=
→
 (3) 
 
Para un sistema estacionario, que no evoluciona con el tiempo, será 
),,( 000 zyxδ . 
La densidad de probabilidad se obtiene a partir del cuadrado del 
módulo de la función de onda. 
 
ΨΨ=Ψ= .*2δ (4) 
 
En el caso de un electrón en un átomo, como sería el átomo de hidrógeno, las 
funciones de onda estacionarias se denominan: orbitales. 
Esta interpretación de la función de onda es debida a M. Born y a W. 
Heisenberg (ver en el Capítulo 5). 
 
 
 
 
 
 
 
V
P
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
21 
 
Ilustramos con el siguiente ejemplo: 
 
Consideremos por ejemplo la función orbital 100ψ correspondiente al 
comúnmente llamado orbital 1s, que para el átomo de hidrógeno es: 
 
3100 .
),,(
H
a
r
a
ezyx
H
π
ψ
−
= 222 zyxr ++= 
 r : es la distancia al protón 
 
p
pe
H
e
H m
mm
a
m
aa
)(
.. 00
+
==
μ
 
pe
pe
H mm
mm
+
=
.
μ 
 Hμ : es la masa reducida del átomo de H 
 
pmm
em
a
e
9177208.521029177208.5
.
4 11
2
2
0
0 =⋅==
−hπε 
 
0a : es el radio de Bohr, que correspondería a un átomo hidrogenoide con un 
núcleo de masa infinita. 
pmaH 9465407.52= 
 
Si calculamos para r = 100 pm = 100 x 10-12 m , tenemos: 
 
2
3
14
100 1021522461.2)100(
−
⋅== mpmrparaψ y por lo tanto, 
 
3282
100 1090722009.4)100(
−⋅== mpmrparaψ 
 = 38 )(1090722009.4 −−⋅ pm 
 
pmm 1210 10Å101 ≡= ∴ -1121 (pm)101 −− =m 
-3363 (pm)101 −− =m 
 
Vemos que el valor de 2100
2
100 ψψ = (porque 100ψ es una función real), tiene 
unidades de volumen a la -1 y que su valor depende fuertemente del sistema de 
unidades empleado. La probabilidad, P, en cambio es un número real positivo 
100ψ
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
22 
adimensional que varía entre 0 ≤ P ≤1 y su valor obviamentees absoluto, no 
depende de ningún sistema de unidades. 
En consecuencia 22 ψψ = no es una probabilidad. Las unidades de 2ψ
corroboran lo deducido y que se muestra en las ecuaciones (3) y (4). 
 
O sea, veamos nuevamente, se tiene una densidad de probabilidad 
definida como: 
 
V
Plím
dV
dPzyx V Δ
Δ
== →Δ 0),,(δ 
 
PΔ , es la probabilidad del electrón de hallarse dentro del volumen VΔ . 
Como el límite de 
V
P
Δ
Δ
 es δ un número finito, cuando 0→ΔV se tiene que 
0→ΔP y por lo tanto la probabilidad de un electrón(o partícula) de estar 
exactamente en un punto es siempre cero (esto también ocurre en la MC), salvo 
que esté en reposo. Si es una densidad, es comprensible su dependencia 
con las unidades, por ejemplo, la densidad del agua es 1 g/cm3 o 1000 kg/m3 
Si es lo suficientemente pequeño como para que 
2
ψδ = apenas 
varíe (relativamente), podemos estimar la probabilidad del electrón de estar en 
un dado : 
VzyxP Δ=Δ ).,,( 000δ 
Por ejemplo: 328
2
100 10907.4)100(
−⋅=== mpmrparaψδ 
Y veamos como varía si aumentamos en un 1% la distancia: 
 
3282
100 10725.4)101(
−⋅=== mpmrparaψδ 
 
 
Entonces, ¿cuál es la probabilidad del electrón de estar en un cubito de 1pm de 
lado centrado en cualquier punto situado a 100 pm del protón?: 
 
( ) 8312328 10907.410.110907.4 −−− ⋅=⋅⋅=Δ mmP 
 
 
Como todos los puntos del espacio ubicados a 100 pm del núcleo, tienen en el 
orbital 1s la misma densidad de probabilidad, podemos estimar la probabilidad 
total de que un electrón se halle en un casquete esférico de 100 pm de radio y 1 
pm de espesor: 
 
δ
VΔ
VΔ
 
 
Tabla 1.1.
 
 ( pr
 10 
 aH = 52
 100
*Unidades: 
a) Densidad 
b) Probabilid
c) Probabilid
1pm. 
 
Observam
más proba
 
 
Ejercicio 
BOHR pa
 
Dada ψ
 
δ, es la pro
 
Sabemos q
Capítulo I: Introdu
 
VP .Δ=Δ δ
resulta 
 Densidad de pro
al electrón en l
)pm a) 
)( 2rψ
 1.47 x
2.95 2.90 x
 4.91 x
r en picometros (pm
de probabilidad. 
dad en un cubo de 
dad de encontrar a
mos en la Tabla
able encontrar e
1.1: Demostra
ara el átomo d
100 ),,( zyxψ =
obabilidad por u
que 
Δ
=δ
ucción comparativ
V 10907.4 28⋅=
 ΔP
obabilidad (a) y p
os entornos indic
)( 3−m 
 
ψ
x 1030 
x 1029 
x 1028 
m) y 
2)(rψ en 
1 pm a una distanc
al electrón en un c
a 1.1 que, fijado
el electrón, es aq
ar que el máxim
de hidrógeno.
3. H
a
r
a
e H
π
−
 y 
unidad de volum
V
P
Δ
Δ
 
va entre la mecánica
 
( pm 100438 ⋅− π
10167.6 ⋅=P
probabilidades efe
cados en función
 b) 
( )32 .)( rr Δψ 
1.47 x 10-6 
2.90 x 10-7 
4.91 x 10-8 
metros-3 (m-3). 
cia “r” del centro.
casquete esférico d
o un espesor Δ
quel cuyo radio 
mo está efectiv
 2ψδ = s
men 
 P =Δ
a clásica y la mecán
) pmpm 12 ⋅ 
30− (0.61%) 
ectivas (b y c) de 
n del radio “r”.* 
 c) 
r 2 4.)( πψ
 1.85 x 10
 1.02 x 10
 6.17 x 10
el radio indicado y
rΔ , el casquete 
es el radio de B
vamente en el
2
100
2 ψψ == s 
Vs Δ.
2ψ 
nica cuántica 
23 
encontrar 
rr Δ2.π 
0-3 
0-2 
0-3 
y espesor de 
donde es 
Bohr. 
l radio de 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
24 
Para un orbital s, ψ es independiente de θ y ϕ y es constante en una capa 
delgada. Consideremos: 
 
drrrdrrV 233 .4.
3
4).(.
3
4 πππ =−+=Δ , 
 
En la resolución se despreciaron los términos con dr2 y dr3. 
 
Entonces, tenemos: 
drrP s
22 .4. πψ=Δ 
Se denomina función de distribución radial (Fdr), a: 22 .4. rF sdr πψ= 
 
Reemplazando ψs, 23
.2
.4.
.
r
a
eF
H
a
r
dr
H
π
π
−
= 
Derivando respecto de r, tenemos, 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
−−
HH a
r
a
r
HH
dr erre
aadr
dF .22
.2
3 ..2.
24
 
 
Buscando el máximo, se obtiene de 0=
dr
dFdr , 
0..2.2
.2
2
.2
=+−
−−
HH a
r
a
r
H
erre
a
, y 
 
Finalmente, Har = 
Ha es el radio de Bohr para el átomo de hidrógeno 
 
 
¿Cómo se obtiene la función de onda? 
 
Para obtenerla debe resolverse la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 
(Levine, 2002, p 757): 
 
Ψ=
∂
Ψ∂ H
it
ˆ1
h
 con ),,,( tzyxΨ (5) 
dónde Ĥ se conoce como el OPERADOR HAMILTONIANO(*2), es un 
operador diferencial, 
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
25 
),,,(
2
ˆ
2
2
2
2
2
22
tzyxV
zyxm
H
e
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
h
 
π2
h
=h 
me , es la masa de la partícula (electrón) 
 
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ , OPERADOR LAPLACIANO (*3), 
 nabla al cuadrado 
 
),,,( tzyxV , es la energía potencial de la partícula (electrón) que equivale al 
potencial eléctrico multiplicado por la carga eléctrica. 
 
En los átomos V no depende del tiempo si V es solo originada por el núcleo 
atómico: 
 ),,( zyxV 
∴ 0=
∂
∂
t
V
 0
ˆ
=
∂
∂
t
H
 
 
En este caso, se puede proponer que ),,,( tzyxΨ sea el producto de una 
función ),,( zyxψ que solo depende de las coordenadas espaciales por otra 
función, )(tf , que solo depende del tiempo: 
 
 )(.),,(),,,( tfzyxtzyx ψ=Ψ (6) 
 
 y, por lo tanto ψHtfH ˆ.)(ˆ =Ψ 
 
Diferenciando (6) respecto del tiempo: 
t
f
t ∂
∂
=Ψ
∂
∂ .ψ 
 
 
Entonces la ecuación de Schrödinger queda: 
 
 ψψ Htf
it
f ˆ).(1
h
=
∂
∂
 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
26 
Separando variables: 
ψ
ψH
t
tf
tf
i ˆ)(
)(
=
∂
∂h
 (7) 
 
Ahora realicemos el siguiente razonamiento que es clásico en la resolución de 
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El primer miembro de la 
igualdad (7) solamente puede ser función del tiempo, ∴ 
 
 =
∂
∂
t
tf
tf
i )(
)(
h
a lo sumo es una función del tiempo 
 
El segundo miembro de la igualdad (7), con ),,( zyxψ y , solamente 
es función del espacio: 
 =
ψ
ψĤ
a lo sumo es ),,( zyxg 
 
Para no caer en una contradicción la única solución posible es el caso particular 
que la función del tiempo y sean una función constante: 
 
 cteH
t
tf
tf
i
==
∂
∂
ψ
ψˆ)(
)(
h
 (8) 
 
 
En consecuencia, ψψ .ˆ cteH = 
Esta ecuación no depende del tiempo y es una ecuación de autovalores 
y autofunciones, que para el átomo de hidrógeno, por ejemplo, tiene un 
número infinito, aunque numerable de soluciones: 
 
 ),,(),,(ˆ zyxEzyxH nnn ψψ = 
 
Como Ĥ es el operador correspondiente a la energía, los autovalores 
,...),,( 321 EEEEn son los únicos valores que pueden ser observados para la 
energía de la partícula (electrón). Se dice entonces que la energía está cuantizada 
y el conjunto de los { }nE se denomina Espectro discreto de energías. 
No siempre es así, en la MQ. Por ejemplo, para una partícula libre (no 
sometida a un potencial variable) el espectro de energía es continuo. En los 
átomos, los electrones están sometidos al potencial del núcleo y no son 
partículas libres, por lo cual su espectro de energía es discreto. 
0
ˆ
=
∂
∂
t
H
),,( zyxg
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
27 
Los autovalores de la energía, , se corresponden con una o más 
autofunciones nψ que corresponden al mismo autovalor. Más adelante 
ampliaremos el tema, en el subtítulo: degeneración. 
Obviamente los no dependen del tiempo y volviendo a la 
ecuación de Schrödinger (8) tenemos: 
nE
H
t
tf
tf
i
==
∂
∂
ψ
ψˆ)(
)(
h
 
 
Separando las variables f y t, escribimos: 
 dt
Ei
dt
i
E
f
df nn
hh
.
−== (9)Integrando (9), ∫∫ −= dt
Ei
f
df n
h
.
 
 
Resolviendo, ctet
Ei
f n +−=
h
.
ln 
 
Expresando en f, 
t
Ei
t
Ei
cte
nn
ecteeetf hh
.
'
.
..)(
−−
== 
 
En este caso la dependencia con el tiempo es un factor de fase que debe tener 
módulo unitario, o sea 1)().(* =tftf y se asigna arbitrariamente cte’=+1. 
Reemplazando en (6) 
tiE
nn
n
ezyxtzyx h
−
=Ψ ).,,(),,,( ψ (10) 
 
 
En el caso del átomo de hidrógeno la energía potencial V no cambia con el 
tiempo, luego la ecuación de Schrödinger da soluciones de la forma (10). 
 
tEsenitEe nn
tiEn
hh
h .cos −=
−
 y ),,( zyxnψ , puede ser 
 real o compleja 
 
 
 ),,,( tzyxnΨ Se suele decir que corresponde a un 
 estado estacionario 
{ }nE
{ }nE
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
28 
¿Porqué?, si es función del tiempo. 
Para comprenderlo calculemos la densidad de probabilidad, ),,,( 000 tzyxδ , 
en un punto, P0, para cualquiera sea el tiempo t: 
 
 
tiE
n
tiE
nnn
nn
ezyxezyxzyx hh
−
=ΨΨ= ).,,(.).,,(.),,( **000 ψψδ 
 
Pero, 1. 0 ==
−
eee
tiEtiE nn
hh
 
 
Por lo tanto, 
 ),,().,,(.),,,( **000 zyxzyxtzyx nnnn ψψδ =ΨΨ= 
 
O sea que δ depende de la posición en el espacio pero no del tiempo. En 
consecuencia solo se requiere la parte espacial de la función de onda u orbital 
para hallar la densidad de probabilidad. 
Recordemos lo que se planteó acerca de la trayectoria estacionaria en 
MC (Capítulo 1, página 18). 
En MQ describimos que en estado estacionario el electrón no está 
quieto, la densidad de probabilidad si está quieta. 
Como el electrón tiene una masa <<< que la masa del núcleo, se 
mueve >>> rápido respecto del núcleo, de modo que la densidad de 
probabilidad en promedio no depende del tiempo. Como el electrón se mueve 
tan rápido, si se tomara una foto se vería como una nube. Puede decirse que el 
orbital tiene su sentido debido a este rápido movimiento. 
Las funciones unielectrónicas correspondientes al átomo de hidrógeno 
estarán entonces constituidas por el producto de una función temporal por una 
función espacial ),,( zyxnψ , esta última se denomina orbital atómico. 
 
 
Comentarios sobre la degeneración 
 
Dadas las soluciones de la ecuación de Schrödinger: 
 
 
 nn
n
n Et
iH ψ.ˆ =
∂
Ψ∂
=Ψ h n = 1, 2, 3… ∞ 
 
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
29 
Resulta que a cada solución nψ le corresponde una energía total del electrón 
nE , llamada también: nivel de energía n. 
Hay ∞ soluciones , ∞ , pero el conjunto es discreto, esto 
quiere decir que, por ejemplo entre 3ψ y 4ψ no hay otra función de onda 
intermedia, así como entre 3E y 4E no hay un nivel de energía intermedio. La 
energía se dice que está cuantizada. 
A cada función de onda le corresponde un único nivel de energía, pero 
a veces varias funciones de onda distintas pueden compartir el mismo nivel de 
energía, este fenómeno se llama degeneración y es muy común en el átomo de 
hidrógeno y demás átomos. 
Por razones históricas las soluciones de la ecuación de Schrödinger se 
conocen como funciones de onda. En el caso de electrones en un átomo, las 
funciones se denominan orbitales atómicos. El concepto de orbital atómico 
reemplazó el de órbitas. 
 
 1nψ 
En general, puede suceder nE 
 2nψ 
 
Veamos ahora como es la degeneración en el átomo de hidrógeno. De la 
resolución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: 
 
),,(.),,(ˆ zyxEzyxH ψψ = 
 
Surge que las autofunciones están caracterizadas por tres índices, n, l , y m, 
conocidos como números cuánticos, los detallamos a continuación: 
 
n: número cuántico principal n = 1, 2, 3, … número natural 
 
: número cuántico angular = 0, 1, 2, … n-1 entero positivo 
 
m: número cuántico magnético m = - , … 0 … + número entero 
 
Para un dado n, toma n valores de 0 a n-1 y por cada , m toma 2 +1 
valores de – a + pasando por 0. La energía solamente depende del número 
cuántico principal, entonces tenemos la siguiente ecuación: 
 
mnnmn EH ;;;; .ˆ ll ψψ = 
 
nψ nE
l l
l l
l l l
l l
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
30 
Por ejemplo si n = 2 tendremos 4 funciones de onda para el nivel 2E 
 
 
 0;0;2ψ 1;1;2 −ψ 0;1;2ψ 1;1;2ψ 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1.2: ¿Cuántas funciones degeneradas hay para cada “n”? 
),,(,, zyxmn lψ 
Indique para todos los posibles “n” el número de funciones que tienen la 
misma energía 
 
Debe hacerse una acotación, para caracterizar totalmente un electrón en un 
estado estacionario, además de las coordenadas se requiere especificar su estado 
de espín. La función de onda completa requiere además de los números 
cuánticos n, y m, de un cuarto número sm que solo puede tomar dos valores 
2
1
+ ó 
2
1
− . Como la orientación del espín no afecta a la posición del 
electrón en condiciones normales, ignoraremos esta cuarta variable. 
Sin embargo, gracias a esta cuarta variable habrá en cada orbital dos 
electrones solamente. Esto se comentará en más detalle cuando se trate sobre 
átomos polielectrónicos. 
En los átomos polielectrónicos se rompe la degeneración debida a , 
sin embargo la simetría y la forma de los orbitales se mantiene, entonces, el 
concepto de orbital sigue siendo muy útil. 
Para romper la degeneración debida al número cuántico m se debe 
aplicar un campo magnético. En 1896, P. Zeeman observó que la aplicación de 
un campo magnético externo producía el desdoblamiento de las líneas 
espectrales atómicas, en su honor se conoce su descubrimiento como efecto 
Zeeman (Levine, 2000, p 154). 
 
 
Ejercicio 1.3: Es usual la analogía del átomo con el sistema solar. Pero, 
no debe olvidarse que el electrón, a diferencia de los planetas, no tiene 
trayectoria ni órbita y, puede estar con distintas probabilidades en 
cualquier punto del espacio. Resulta interesante llevar esta comparación 
al campo numérico. 
 
 
2E
l
l
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
31 
Primera comparación: 
a) El radio del sol es 6.9599 x 108 m y la distancia media Tierra-Sol es 1.4959787 
x 1011 m, siendo el radio medio de la Tierra 6371 km. El radio de Neptuno es 
24764 km y su distancia media al Sol es 4.49707 x 1012 m. 
En una escala en la cual el radio del Sol fuera 1 cm. ¿A qué distancia se 
hallarían la Tierra y Neptuno del Sol. 
b) El protón tiene un radio de 0.8768 x 10-15 m y la distancia a la que es más 
probable hallar al electrón es aH = 5.29465 x 10-11 m. 
Si representáramos al protón por una esfera de radio 1 cm. ¿A cuál 
distancia sería más probable hallar al electrón? 
 
Compare los resultados de a) y b). Dados en la misma escala comparativa, ¿Cuál 
es más grande, el sistema solar o el átomo de hidrógeno? 
 
 
Segunda comparación: 
a) En realidad tanto el Sol como los planetas giran en torno al centro de masa 
(CM) del sistema. Si el Sol tuviera como único planeta a la Tierra, ubique el CM 
del sistema teniendo en cuenta que la distancia del mismo al centro del Sol, ρs, 
es: TS
sT
T
s Rmm
m
⋅
+
=ρ 
RTS = 1.4959787 x 1011 m (distancia Tierra-Sol) 
mT = 5.9742 x 1024 kg (masa de la Tierra) 
mS = 1.9891 x 1030 kg (masa del Sol) 
 
¿Dónde se halla el CM, dentro o fuera del Sol? 
 
b) Repita el cálculo anterior para el átomo de hidrógeno, cuando el electrónse 
halla a la distancia más probable, aH. La distancia del centro de masa al centro 
del protón ρP es: H
pe
e
p amm
m
⋅
+
=ρ 
me = 9.10938 x 10-31 kg 
mp = 1.67262 x 10-27 kg 
aH = 5.29465 x 10-11 m 
 
¿Dónde se halla el CM, dentro o fuera del protón? 
 
 
Tercera comparación: 
En el átomo de hidrógeno, el protón y el electrón se atraen además de 
electrostáticamente, gravitatoriamente, lo cual es ignorado al resolver la 
ecuación de Schrödinger. Para comprender porque, compare ambas fuerzas. 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
32 
a) Las fuerzas de atracción (negativas) son respectivamente: 
 
Fuerza gravitatoria 2
.
r
mm
GFg pe⋅−= 
Fuerza electroestática 2
2
04
1
r
eFe ⋅−=
πε
 
 
G = 6.673 x 10-11 m3 s-2 kg-1; 
e = 1.60217646 x 10-19 C; 
ε0 = 8.85418782 x 10-12 C2 s2 kg-1 m-3 
 
Calcule la relación 
Fg
Fe
 
 
b) Una balanza analítica de alta precisión tiene una sensibilidad de: 
0.01 mg ≡ 10-8 kg 
El peso de 0.01 mg corresponde a 9.8 x 10-8 N, y podemos tomarlo como el 
límite inferior de una fuerza macroscópica. 
 
Calcule la fuerza con que se atraen el electrón y el protón en el átomo de 
hidrógeno cuando se encuentran a la distancia más probable aH. Comparar con 
el peso de 0.01 mg. 
 
c) Calcule la fuerza con que se repelen dos protones que se tocan o sea cuya 
distancia entre sus centros es 2 rp. 
 
¿Cuál es la masa cuyo peso es igual a esa fuerza? 
 
 
Ejercicio 1.4: Estimación de la velocidad media del electrón en el orbital 
1s. 
La energía del electrón en el estado fundamental (1s), E, en el átomo de 
hidrógeno, con n=1 es: 
 
E = -2.17868542 x 10-18 J ≡ -13.5982861 eV 
Se calcula a partir de la siguiente ecuación: 2
2
0
2 1.
42
1
n
ZeE Nn ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
hπε
μ 
 
Se trabaja con esta última ecuación en las páginas 168 y 303. 
sJ3410)53(054571628.1 −⋅=h , ( CRC Handbook, 2009) 
 
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
33 
Si < T > y < V > son los valores medios de la energía cinética y de la energía 
potencial del electrón, debe cumplirse: E0 = < T > + < V > 
 
Por otro lado el Teorema del virial, de mecánica clásica (Kittel, 1968, p 296), 
establece que en sistemas que interactúan mediante una fuerza inversamente 
proporcional al cuadrado de la distancia, se cumple: 
 
2 < T > + < V > = 0 
 
Calcule la energía cinética media < T > del electrón, suponiendo que 
2
2
1 υ⋅= emT 
Calcule la velocidad media del electrón en 1s, 2υ 
 y compárela con la velocidad de la luz, c = 2.99792458 x 108 m s-1, 
c
2υ
 
 
¿Se justifica haber empleado la fórmula clásica de la energía cinética en vez de la 
relativista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
34 
REFERENCIAS HISTÓRICAS 
 
(*1) W. Heisenberg y E. Schrödinger 
Heisenberg escribió: Quizá yo ya estaba en ese momento más preparado que 
Bohr para abandonar los modelos y dar un paso más hacia la abstracción matemática. Ese 
paso lo dio en el verano de 1925 cuando descubrió la mecánica de matrices 
(Selleri, 1986, p 110). 
 
Félix Bloch, en un Discurso en la American Physical Society, en 1976, dijo: 
Al final de un coloquio oí decir una vez a Debye algo parecido a esto: 
-Schrödinger, realmente usted no está ahora mismo trabajando en problemas de 
verdadera importancia… ¿porqué no nos expone la tesis de De Broglie que parece haber 
atraído la atención de algún sector? -Así, en un coloquio posterior, Schrödinger dio una 
bellísima explicación de cómo De Broglie asoció una onda con una partícula y cómo obtuvo las 
reglas de cuantización… exigiendo que una órbita estacionaria tuviera un número entero de 
ondas. Cuando Schrödinger hubo terminado, Debye observó que esta manera de hablar era un 
tanto pueril… 
-Para tratar apropiadamente con ondas, debemos tener una ecuación de ondas. 
(French y Taylor, 1982, p 98). 
 
Planck, en una carta fechada el 24 de mayo de 1926, le dice a Schrödinger: 
-Puede imaginar el interés y entusiasmo con los que me sumergí en el estudio de sus 
trabajos, que son de los que hacen época (Selleri, 1986, p 92). 
 
(*2) Hamiltoniano 
La expresión para la energía como una función de las coordenadas y 
momentos se denomina hamiltoniano, H , del sistema. Dicho nombre es 
debido a William Rowan Hamilton (1805-1865), quien formuló la segunda ley 
de Newton en términos de . Para abreviar la escritura se introdujeron los 
operadores, se observa en el texto el operador hamiltoniano (Levine, 2002, p 
774). 
 
(*3) Laplaciano 
Se introduce el operador de Laplace o laplaciano para escribir las 
ecuaciones más compactamente (French y Taylor, 1982, p 180). Pierre Simon 
Marqués de Laplace (1749-1837). 
 
H
Capítulo I: Introducción comparativa entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica 
35 
RESUMEN SOBRE EL SIGNIFICADO DE LA 
FUNCIÓN DE ONDA 
 
Al pasar de la MC a la MQ hemos reemplazado las tres funciones 
)();();( thztgytfx === por una única función ),,,( tzyxΨ de cuatro 
variables. La función Ψ toma valores reales o complejos, de modo que: 
 
:Ψ 3 x  → ℂ 
 
3, es el espacio Euclídeo de tres dimensiones. , esta recta real se identifica 
con el tiempo (Moreschi, 2000). ℂ, es el campo complejo. 
 
 
Es evidente que la MQ me va a dar menos información que la MC. 
Si ahora en un dado punto del espacio ),,( 111 zyx y en un dado 
instante t1 calculamos el cuadrado del módulo del número complejo 
=Ψ ),,,( 1111 tzyx z1 
 
2
1111 ),,,( tzyxΨ = ),,,().,,,( 11111111 tzyxtzyx
∗ΨΨ = z1. z1*= 
=(a+bi).(a-bi) = a2+b2 ≥ 0 
 
Obtendremos siempre un número real positivo (incluyendo el cero). Antes de 
interpretar este resultado veamos que ocurre en el caso de una función de onda 
estacionaria con el cuadrado del módulo: 
 
 Mecánica Clásica Mecánica Cuántica 
t 
f 
g
h
x(t)
y(t)
z(t)
(x;y;z;t) z=a+bi 
ψ
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
36 
t
E
it
E
i nn
ezyxezyx hh
+∗−=Ψ ).,,(.).,,(2 ψψ , ponemos *ψ porque puede 
ocurrir que la función sea compleja. 
 
20*2 ),,().,,().,,( zyxezyxzyx ψψψ ==Ψ 
 
Vemos que en el caso de una función de onda estacionaria el cuadrado del 
módulo es igual al cuadrado del módulo de la función orbital (en el caso de un 
átomo) que solo depende de la posición pero no del tiempo. Por eso se llama a 
este tipo de función de onda, función estacionaria. 
En los inicios de la MQ hubo un gran debate acerca del significado de 
esta magnitud. Schrödinger pensaba que la materia era siempre ondas (que no 
había dualidad onda-partícula) y que al igual que en la óptica física el cuadrado 
del módulo de la función de onda era el cuadrado de la amplitud de dicha onda, 
que en el caso de la luz es proporcional a la intensidad luminosa. Esta 
interpretación mostraba muchas dificultades especialmente en el caso de 
sistemas formados por muchas partículas. 
Finalmente se impuso la interpretación de Born-Heisenberg que 2Ψ
estaba relacionado con la densidad de probabilidad de hallar la partícula en una 
dada posición e instante. En el caso de una función de onda estacionaria esta 
densidad de probabilidad no dependerá del tiempo sino solamente de la 
posición. 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO II 
 
VISUALIZACIÓN DE FUNCIONES 
DE TRES VARIABLES 
 
 
39 
INTRODUCCIÓN 
El módulo cuadrado, ψψψ .*2 = , es siempre un número real positivo, 
aunque las funciones de onda sean en general funciones complejas, :ψ 3→ℂ. 
Posteriormente, desarrollaremos cómo reemplazar las funciones complejas por 
reales y que consecuencia trae esta transformación en el caso de los orbitales 
atómicos. Podemos justificar que el cuadrado del módulo de la función de onda 
es la densidad de probabilidad de hallar la partícula en determinada posición 
(ver en el Capítulo 5). 
 
Existen diferentes formas derepresentar la densidad de probabilidad, δ. La 
dificultad radica en que la función de onda es una función de tres variables: x, y, 
z. La representación usual en coordenadas cartesianas de ),,( zyxψ o 
2),,( zyxψ requeriría cuatro dimensiones y no sería visualizable. Podemos 
forzar la función a ser una constante en el espacio tridimensional y por lo tanto 
representamos superficies de contorno, de nivel o isosuperficies (Larson, 2004; 
Stewart, 2002). 
Recordemos que, cuando los topógrafos o geólogos representan un 
accidente geográfico, generalmente construyen mapas bidimensionales con un 
conjunto de líneas de contorno. Una línea de contorno une los puntos con la 
misma altura, es una curva de nivel. 
Sea la altura una función de coordenadas que representan la latitud y la 
longitud, ),( yxfh = . Entonces para una altura seleccionada, 0h , tenemos 
una función implícita ),(0 yxfh = de la cual se obtiene la curva )(xgy = , en 
dos dimensiones. 
De la misma manera, vamos a asignar un valor a la función de densidad 
de probabilidad, 0δ . La función, 
2
0 ),,( zyxψδ = , es una función implícita de 
la cual se puede obtener la superficie ),( yxfz = , la cual usualmente es 
complicada. En consecuencia, se representa la función implícita con programas 
de computación adecuados. Así, puede lograrse una de las mejores 
visualizaciones de los orbitales atómicos. 
Por ejemplo, si tenemos en cuenta cuatro densidades de probabilidad 
para el mismo orbital, 1δ , 2δ , 3δ y 4δ , resultarán cuatro superficies cerradas de 
la misma forma, pero de diferentes tamaños. Estos gráficos pueden ser 
confusos, así que conviene representar sólo una superficie seleccionada 
correspondiente a un cierto valor de δ. 
 
Pueden encontrarse diversos comentarios sobre otros tipos de representaciones 
orbitales que tienen como objetivo facilitar la visualización (David, 1981 y 
1995; Kikuchi, 1985; Mulder, 1985; Liebl, 1988; Breneman, 1988). 
 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
40 
Existen pocos programas matemáticos que permiten desarrollar 
representaciones de funciones implícitas con una perspectiva tridimensional. 
Un software apropiado es el de MAPLE, (MAPLE, 2008) que permite además 
girar las superficies logradas y apreciar todos sus detalles. En este libro hemos 
utilizado solamente MAPLE. 
Mathcad y el software de Mathematica han sido aplicados por otros 
autores, (Ramachandran, 1995, 2 publicaciones). 
 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN COORDENADAS 
CARTESIANAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 
 
Nuestro objetivo es preparar al lector para que logre representar las funciones 
orbitales y su correspondiente visualización e interpretación. 
En la bibliografía encontramos la siguiente función para el orbital 1s 
del átomo hidrogenoide ( ),,(100 zyxψ ): 
33100 ..
),,(
222
H
a
r
H
a
zyx
a
e
a
ezyx
HH
ππ
ψ
−
++
−
== (1) 
Recordamos a continuación lo que representa la constante Ha , e introducimos 
el parámetro ζ , el cual cómo podemos consultar en el Apéndice ha permitido 
una mejor presentación de las expresiones matemáticas. 
Radio de Bohr ao : pm
me
a
e
o
o 9177208.52
4
2
2
==
hπε
 
Radio de Bohr corregido para un núcleo de masa mN : o
N
Ne
N am
mm
a
+
= 
Radio de Bohr corregido para un núcleo de masa mH : o
H
He
H am
mm
a
+
= 
Parámetro ζn : 
N
n an
Z
.
2
=ζ , para el átomo de hidrógeno 
H
n na
2
=ζ 
n , es el número cuántico principal 
Así, en lugar de la ecuación (1) en el Apéndice encontramos: 
( ) sezyx
r
1
22
,,
22
3
1
100
1
=
⋅
⋅
=
−
π
ζ
ψ
ζ
 (2) 
Podríamos representar 100ψ versus r en vez de versus (x, y, z), tal como se 
muestra en la Figura 2.1. 
 
Podemos 
 
F
 
 
Puede apr
parámetro
matemátic
coincidan 
analizar at
 
Observare
ponerse c
direcciona
 
La represe
observa en
 
Con el ob
adecuado 
recién enc
 
Por lo tan
forma prá
con funci
Avanzarem
funciones 
 
 
 
 
 
observar que la
Figura 2.1. Repres
reciarse, como 
os y distintos
ca. Será usual qu
con las del Ap
tentamente los p
emos que otros
como dependi
ales. 
entación anterio
n los textos. 
jeto de resaltar 
comenzar repa
carar la represen
nto, dedicaremo
áctica, utilizand
iones muy con
mos con ejem
implícitas del ti
Capítul
as ecuaciones (1
sentación de las ecua
se muestra en
s reordenamie
ue las expresion
péndice. Será pa
parámetros y lo
s orbitales, com
iendo solo de
or no nos brind
los problemas 
asando represen
ntación de las fu
os este Capítulo
o el software M
nocidas de un
mplos de com
ipo de los orbit
lo II: Visualización
) y (2) tienen la
aciones (1) y (2), do
n la Figura 2.1 
entos no mo
nes de la bibliog
articularmente i
s reordenamien
mo los del tipo 
e r, ya que 
da la visualizac
y facilitar la com
ntaciones matem
unciones orbital
o al análisis de
MAPLE. En la
na y de dos v
mplejidad crecie
tales. 
n de funciones de tr
a misma represe
nde r es la variable
que, la introdu
dificaron la 
grafía, aparentem
importante, por
ntos realizados. 
p, d, f, etc., n
presentan orie
ión que común
mprensión resu
máticas sencilla
les. 
e las representa
a Parte A, trab
variables indepe
ente hasta lleg
res variables 
41 
entación. 
 
e. 
ucción de 
expresión 
mente, no 
r lo tanto, 
 
no pueden 
entaciones 
nmente se 
ultará muy 
as y luego 
aciones en 
bajaremos 
endientes. 
gar a las 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
42 
PARTE A: 
 
A1) Representación de funciones con una variable independiente 
 
Comencemos con las funciones reales de una variable: 
 y = f(x) 
Por ejemplo, la función y = x2, se representa usualmente en un sistema de 
coordenadas cartesianas en el plano (2), resultando una curva plana. Es una 
parábola, como observamos en la Figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2. Representación de la función y = x2. Es una curva en un plano. 
 
 
También, podríamos hacer una representación alternativa, mucho más pobre, 
en una dimensión, poniendo sobre cada punto de la recta real un cartel, 
indicando cuanto vale f(x) en dicho punto. 
 
 16 9 4 1 0 1 4 9 16 
 
 x 
 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
43 
A1) Práctica: 
El objetivo de esta actividad es la representación de funciones 
matemáticas con una variable independiente, tal como se ejemplifica a 
continuación utilizando el software MAPLE. 
 
 Función )(xfy = 
 
 Por ejemplo 2)( xxf = = G 
 
 )()( xsenxf = = F 
 
 
INSTRUCCIONES 
Se inicia el programa MAPLE. 
Se abre la ventana de trabajo y se pueden seguir nuestras instrucciones o 
consultar la ayuda del software. Si bien el programa brinda una extensa parte de 
ayuda, los guiaremos con el lenguaje para facilitar el aprendizaje. 
En ayuda o “help” se encontrará una forma bien sencilla para representar una 
parábola. Nuestra selección de sentencias tiene como objeto prepararlos para la 
representación de las funciones orbitales y es así que introduciremos aquellas 
más completas, con mayor información. 
En primer lugar se debe escribir la función en la ventana, de la siguiente 
manera: 
 
> with(plots): 
> G:=plot(x^2,x=-5..5,y=-5..5,color=red): 
> display({G}); 
 
 
EXPLICACIÓN DE LAS CONSIGNAS 
 with(plots) informa que se desea representar una función. 
G:=plot(x^2,x=-5..5,y=-5..5,color=red) En este caso se eligió la letra G 
para denominar este tipo de función, y = x2. Se escribe x y luego con “shift” 
presionado se teclea el símbolo de ángulo “^”y se escribe 2. 
x=- 5..5así se indica el intervalo de variación de la variable x, ídem para 
y. 
color=red En el help pueden consultarse los nombres de los colores 
disponibles en el programa. 
display({G}) Sentencia final que mostrará el gráfico en la pantalla. 
 
Observe que al final de cada renglón se escriben dos puntos y luego se presiona 
“enter”. En cambio, al final de la sentencia que ejecuta se escribe punto y coma 
y se presiona “enter”. 
 
O
44
E
W
 
 
A
di
m
 
 
> 
> 
> 
> 
 
 
D
“h
lu
di
 
 
rbitales hidrogenoi
4 
l gráfico obteni
Word o de Powe
Ahora dibujarem
istintos a cada 
manera: 
with(plots): 
G:=plot(x^2,x=
F:=plot(sin(x),
display({G,F});
Debemos ser cui
help” podremo
ugar de “sen” de
Al presi
isplay({G,F}),
 
Figura 2.3.
ides. Estructura y v
ido se puede sel
er Point o se pu
mos las dos fun
una de ellas. L
=-5..5,y=-5..5,co
,x=-5..5,y=-5..5,
; 
idadosos y segu
s consultar com
ebemos escribir
ionar “enter” d
aparece el dibu
Representación de d
visualización / Luis
leccionar y copi
uede exportar. 
nciones propue
La ventana debe
olor=red): 
,color=blue): 
uir el lenguaje r
mo se nombran
r “sin”. 
después del pu
ujo de la Figura 
dos funciones: (xf
s Perissinotti y Sara
iar, por ejemplo
estas juntas, asi
erá quedar escr
requerido por e
n las distintas f
unto y coma, a
2.3. 
2) xx = y (xf
a Mendiara 
o en un archivo
ignaremos colo
rita de la siguie
el programa. En
funciones, aquí 
a continuación 
 
)() xsenx = 
o de 
ores 
nte 
n el 
en 
de 
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
45 
A2) Representación de funciones con dos variables independientes 
 
Ahora vamos a representar una función de dos variables: z = f( x,y) 
La representación cartesiana es ahora una superficie inmersa en el 
espacio tridimensional 3. La superficie en general no será plana. En la Figura 
2.4 se muestra una superficie con ondulaciones. 
 
 
 
Figura 2.4. z0, es un punto de la superficie ondulada. Existen otros puntos de f ( x, y) que tendrán 
igual valor de z. 
 
 
También aquí podríamos intentar una representación de dos dimensiones, 
colocando sobre cada punto (o algunos puntos) x, y del plano un cartel que 
indique el valor de f (x, y) = z en ese punto. 
 
Es preferible que lo ilustremos con las siguientes funciones que corresponden, 
respectivamente, al cono y a la semiesfera: 
 
 Cono 22 yxz += 
 
 Semiesfera yxRz −−= 22 
 
z
x 
y 
x0
y0
z0
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
46 
Ahora, practiquemos nuevamente con el software MAPLE, interpretando y 
entendiendo las representaciones. Paralelamente seguiremos familiarizándonos 
con el lenguaje del software. 
Representaremos una hemiesfera para 0≥z 
 
La ecuación de una esfera con centro en el origen de los ejes coordenados es: 
2222 rzyx =++ 
 
Si tomamos r = 8 
 
 2264),( yxyxf −−+= hemiesfera con 
 
 
Podemos observar que el lenguaje de la sentencia que representa a la 
función ha variado ya que se construirá un gráfico con tres coordenadas. 
 
> with(plots): 
> F:=plot3d(sqrt(64-x^2-y^2),x=-10..10,y=-10..10,color=green): 
> display({F}); 
 
 
Figura 2.5. Representación de la hemiesfera: 2264),( yxyxf −−+= 
 
En la pantalla se observa la Figura 2.5 y procedemos a seleccionarla. Para 
lograrlo situamos el puntero del mouse en la imagen y presionamos la parte 
izquierda del mouse. En la barra superior puede ahora buscar “axes” y ensayar 
lo que realizan cada una de las opciones mostradas. Con la opción “boxed” 
queda la imagen dentro de una caja, como se puede observar en la Figura 2.5. 
 En la barra superior encuentra diversas opciones, además de axes, que 
puede explorar. Puede ubicar el mouse en la imagen y arrastrar para reorientar, 
se deja de presionar el mouse cuando la imagen tenga la orientación deseada. 
64222 =++ zyx
0≥z
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
47 
En la Figura 2.5 se observa que parte de la hemiesfera no aparece bien definida, 
lo cual se debe a que la resolución empleada por la computadora es baja, tiene 
pocos puntos disponibles para el gráfico. 
Usualmente, en los programas de asistencia matemática se logran 
imágenes sin esos defectos empleando ecuaciones paramétricas. En el programa 
MAPLE se puede lograr lo mismo, más fácilmente, utilizando funciones 
implícitas. 
 
A3) Representación de funciones con dos variables independientes, 
expresadas en forma de función implícita. 
 
a) Por ejemplo, en el caso de la hemiesfera: 
 
 
 
 
 
En la Figura 2.6 puede observarse que hemos representado en forma implícita 
la ecuación, tomando para el eje z el intervalo [0,10]. En 2.6b) y 2.6c) se 
muestran distintas perspectivas. 
En la Figura 2.6a se observan las curvas de nivel como circunferencias 
en planos paralelos al plano xy contenidas en el contorno de la esfera. Los 
respectivos orígenes están a intervalos, igualmente espaciados, en el eje z. Se 
dibujó con la opción “style” de la barra superior y dentro de ella con “contour”. 
 
 
64222 =++ zyx
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
48 
 
 
 
Figura 2.6. Representación implícita.b) y c) son hemiesferas. En a) se muestran las líneas de nivel. 
 
 
 
En esta representación se ingresó “grid=[30,30,30]”, los números son enteros 
positivos que especifican que el gráfico será construido en una malla o “grid” 
que en este caso es de 30x30x30 que tendrá puntos igualmente espaciados en 
los rangos asignados a x, y, z respectivamente. Aquí se generarán 
aproximadamente 303 puntos. 
 
 
b) Por ejemplo, en el caso del cono (Nicolini, 1999; Stewart, 2002): 
 
 
 
 
 f(x,y)= 22 yx + 
 z = f(x,y) 
 
z
64 = x2 + y2 + z2
> with(plots):
F:=implicitplot3d(x^2 + y^2 + z^2=64,
x=-10..10,y=-10..10,z=0..10,color=green,grid=[30,30,30]):
> display({F});
esfera
a b
c
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
49 
En la Figura 2.7 puede observarse el empleo de la forma implícita de la 
ecuación, tomando para el eje z el intervalo [0,10]. En b) se muestra la 
superficie en el espacio. 
En la Figura 2.7a se observan las curvas de nivel como circunferencias 
en planos paralelos al plano xy contenidas en la superficie cónica. Los 
respectivos orígenes están a intervalos, igualmente espaciados, en el eje z. 
> with(plots):
F:=implicitplot3d(x^2 + y^2 - z^2=0,x=-10..10,y=-10..10,z=0..10,color=green,grid=[30,30,30]):
> display({F});
x2 + y2 + z2 = 0 
a b
Figura 2.7. Curvas de nivel y superficie cónica. 
 
 
PARTE B: 
 
El objetivo es la representación de curvas de nivel o mapas de contorno 
de imágenes o superficies espaciales. 
 
Observemos las Figuras 2.6 y 2.7. En el plano es posible unir con una curva 
aquellos puntos para los cuales f (x, y) toma el mismo valor. Estas curvas se 
denominan curvas de nivel y equivalen a cortar la superficie z = f (x, y) con planos 
paralelos al plano coordenado x, y. Estos planos quedan definidos por las 
siguientes condiciones: 
 z1 = cte 1 ; z2 = cte 2 ; z3 = cte 3 ; z4 = cte 4 ; ... 
Las curvas de nível, en el plano (x, y), quedan definidas por las funciones 
implícitas: 
 f1 (x, y) = cte 1 ; f2 (x, y) = cte 2 ; f3 (x, y) = cte 3 ; f4 (x, y) = cte 4 ; … 
 
En general se prefiere que los planos sean equidistantes, o sea que: 
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Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
51 
 
Figura 2.9. Curvas de nivel o Mapa de contorno de la hemiesfera. Se observa perfectamente 
que cada curva de nivel une los puntos de igual z de la hemiesfera y está proyectada en el 
plano xy. 
 
 
Sentencias que deben escribirse en el programa MAPLE: 
 
> with(plots): 
> G:=implicitplot(x^2 + y^2 = 64,x=-10..10,y=-10..10,color=red,grid=[20,20]): 
> H:=implicitplot(x^2 + y^2 = 63,x=-10..10,y=-10..10,color=yellow,grid=[20,20]): 
> F:=implicitplot(x^2 + y^2 = 60,x=-10..10,y=-10..10,color=red,grid=[20,20]): 
> M:=implicitplot(x^2 + y^2 = 55,x=-10..10,y=-10..10,color=magenta,grid=[20,20]): 
> L:=implicitplot(x^2 + y^2 = 48,x=-10..10,y=-10..10,color=green,grid=[20,20]): 
> A:=implicitplot(x^2 + y^2 = 39,x=-10..10,y=-10..10,color=brown,grid=[20,20]): 
> B:=implicitplot(x^2 + y^2 = 28,x=-10..10,y=-10..10,color=orange,grid=[20,20]): 
> C:=implicitplot(x^2 + y^2 = 15,x=-10..10,y=-10..10,color=black,grid=[20,20]): 
> E:=implicitplot(x^2 + y^2 = 0,x=-10..10,y=-10..10,color=green,grid=[20,20]): 
> display({G,H,F,M,L,A,B,C,E}); 
 
 
B2) Representaremos las curvas de nivel correspondientes al cono: 
 0222 =−+ zyx como una función implícita 
 
Como en el caso anterior le asignaremos a z valores igualmente espaciados 
desde 0 hasta 7. En este caso, tomamos 22 yxz ++= 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
52 
En la Figura 2.10 se proyectaron todas las curvas de nivel de la Figura 2.7a, en 
este caso circunferencias, en el plano xy. Así, en el mapa de contorno se puede 
apreciar que las curvas están equiespaciadas. 
Obsérvese la diferencia con el caso de la hemiesfera, en el cual las 
curvas se van juntando, revelando la variación de las pendientes en la 
superficie. En el caso del cono las pendientes son constantes. 
 
Sentencias que deben escribirse en el programa MAPLE: 
 
> with(plots): 
> G:=implicitplot(6=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=red,grid=[60,60]): 
> H:=implicitplot(5=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=yellow,grid=[60,60]): 
> F:=implicitplot(7=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=blue,grid=[60,60]): 
> M:=implicitplot(4=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=green,grid=[60,60]): 
> L:=implicitplot(3=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=black,grid=[50,50]): 
> A:=implicitplot(2=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=magenta,grid=[50,50]): 
> B:=implicitplot(1=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=orange,grid=[100,100]): 
> C:=implicitplot(0=(sqrt(x^2 + y^2)),x=-20..20,y=-20..20,color=black,grid=[50,50]): 
> display({G,H,F,M,L,A,B,C}); 
 
 
 
 
22),( yxyxf ++= 
 
Figura 2.10. Curvas de nivel de una superficie cónica. Representación en el plano de la 
función con valores de z = f(x,y) igualmente espaciados. 
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
53 
Podemos imaginar a la hemiesfera y al cono como accidentes geográficos de la 
superficie terrestre. Un ejemplo común de curvas de nivel se presenta en los 
mapas topográficos de las regiones montañosas, como el que se muestra en la 
Figura 2.8. Las curvas de nivel son curvas de elevación constante sobre el nivel 
del mar. Si caminamos a lo largo de una de estas líneas de contorno no subimos 
ni bajamos. 
 
 
PARTE C: 
Representación de funciones de onda 
 
Finalmente pasemos a la función de onda que en general es: 
 
Wtzyx =Ψ ),,,( 
 
Donde W son números complejos. 
 
Para realizar una representación cartesiana necesitaríamos 4 dimensiones para 
representar la posición en el espacio y el tiempo y dos dimensiones más para 
representar el resultado complejo, W. En total serían 6 dimensiones. Pero, si 
solo nos interesan las funciones estacionarias, tenemos: 
 
tEitEi
ewezyxtzyxW
..
.).,,(),,,( hh
−−
==Ψ= ψ 
 
 
Podemos observar que la información de interés está en la función orbital 
estacionaria: 
 
),,( zyxw ψ= ; :ψ 3 → ℂ 
 
De modo que eliminamos el tiempo. En el caso de los orbitales atómicos, w es 
en general un número complejo (no siempre) y requeriremos entonces de 5 
dimensiones. 
Sin embargo, en el caso de los orbitales atómicos, es posible a partir de 
la combinación lineal de dos funciones orbitales complejas obtener dos 
funciones orbitales reales, como desarrollaremos más adelante. Por lo tanto 
siempre es posible lograr que ),,( zyxw ψ= sean números reales. Es decir que 
:ψ 3 → , por lo cual necesitaríamos de un espacio de 4 dimensiones, 
como se muestra en la Figura 2.11. 
Orbitales hidrogenoides. Estructura y visualización / Luis Perissinotti y Sara Mendiara 
54 
 
 
 
Figura 2.11. ¿Cuatro dimensiones? El dibujo es: El grito, de Eduard Munch (1863-1944), 
¿sorpresa o angustia? 
 
 
El eje w debería ser perpendicular a los ejes x, y, z simultáneamente. Como 
esto no puede hacerse recurrimos a una extensión de la idea de las curvas de nivel. 
 
Análogamente, puede rever la descripción de las curvas de nivel, consideramos 
para ),,( zyxψ un valor real constante, cte. 
ctewzyx ==),,(ψ 
 
Observamos y concluimos que esta expresión es la ecuación implícita de una 
superficie en 3; es una superficie de nivel. 
 
ctezyxw == ),,(ψ → análogo a → cteyxfz == ),( , para las 
 curvas de nivel 
 
Por ejemplo, si consideramos el caso de la hiperesfera: 
 
2222 zyxRw −−−±= 
Capítulo II: Visualización de funciones de tres variables 
55 
Si tomamos 1ctew = , tendremos: 
 
22222
1 zyxRcte −−−= 
 
∴ 21
2222 cteRzyx −=++ , observemos que debe ser Rcte ≤1 
 
∴ 2221
2 )( yxcteRz −−−±= 
 
 
Pero, esta es la ecuación de una superficie esférica de radio R1 
 
2
1
2
1 cteRR −= 
 
Entonces la hiperesfera vendrá representada por una serie de superficies 
esféricas concéntricas de radios: 
 
 21
2
1 cteRR −= ; 
2
2
2
2 cteRR −= ; 
2
3
2
3 cteRR −= ; … 
 
Hay que notar que si elegimos, como debe ser, las 1cte , 2cte , 3cte , … 
equiespaciadas, 
 
;;; 321 RRR … no lo estarán. 
 
Si elegimos 0=cte resultará RR =0 , que es la mayor esfera posible. 
 
 
Para el caso de los orbitales atómicos no siempre es posible que, dada: 
 
ctewzyx ==),,(ψ , podamos despejar ),( yxfz = 
 
Sin embargo, se pueden representar funciones implícitas de tres variables. Así 
se generan las superficies de nivel deseadas. 
 
Las superficies de nivel presentan algunos inconvenientes que no presentan las 
curvas de nivel. Uno de ellos es que puede ocurrir que una superficie de nivel 
cubra totalmente a otra y no la haga visible.