Estadística Inferencial Unidad 1 Tema 4 5 - Luis Miguel Alejandro Ortiz Barrientos

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I. S. C. y M. E. María de los Ángeles Gutiérrez García 
 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE IRAPUATO 
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 ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO 
 
DISTRIBUCIÓN t STUDENT 
 
Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras 
mayores a 30 elementos, la utilización de la 
distribución normal presenta grandes riesgos 
estadísticos. Para ello, la teoría de pequeñas muestras 
presenta como alternativa a la distribución t- student, 
en el entendido de que conforme el tamaño de la 
muestra tienda a 30 elementos, la distribución t-
student tiende a la distribución normal. Por ello, toda 
inferencia estadística que se desee realizar con 
muestras pequeñas tiene más validez si se hace con la 
distribución t-student. 
 
¿Cómo usar las tablas? 
Las tablas de la distribución t de student dan valores acumulados de izquierda a 
derecha. Para valores negativos no olvidar la simetría de esta distribución, tal que el 
valor de probabilidad a la derecha de t, es igual al valor de probabilidad a la izquierda de 
–t. 
Para extraer valores de probabilidad de esta tabla se sigue el siguiente procedimiento: 
1. Calcular los valores de la desviación estándar y el promedio y determinar el valor del 
promedio para el que se desea calcular la probabilidad. 
2. Determinar los grados de libertad (v) tal que v=n-1. 
3. Calcular el valor de t = 
�̅�− 𝜇
𝑆
√𝑛−1
 
4. Localizar en tablas el valor de la probabilidad asociada a los valores de t y de v. 
 
Los valores de t pueden ser negativos o positivos. Contrario a la tabla de la distribución 
normal aquí los valores de t están dentro de la tabla y los valores de probabilidad en la 
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parte superior de la misma. En algunos casos puede ser necesario interpolar para 
encontrar el valor exacto buscado, de lo contrario se escoge el que más se aproxime. 
 
Por ejemplo si t es igual 0.92 con 5 grados de libertad, el valor de la probabilidad es 0.80 
pues se localiza en la dirección vertical en la parte superior tal y como se muestra a 
continuación. 
 
 
La tabla se puede usar también al revés, sea dada una probabilidad se determina el 
valor de t que le corresponde. 
 
USOS IDÓNEOS PARA ESTA DISTRIBUCIÓN 
 
 Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia 
media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30). 
 Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño. 
 Para probar si dos muestras provienen de una misma población. 
 
Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una 
diferencia de medias (independiente y pareada). 
 
Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué 
son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que 
podemos elegir libremente. 
 
 
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN T 
 
 Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. 
 Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal estándar. 
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 A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t correspondiente disminuye. 
 A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal 
estándar 
 
DIFERENCIAS CON OTRAS TABLAS 
 
 La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores de 
t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) 
 Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que 
el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro del intervalo 
de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parámetro no 
caiga dentro del intervalo de confianza 
 Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de 
especificar los grados de libertad con que estamos trabajando. 
 
 
EJEMPLO: 
Una empresa especifica que el peso medio de uno de sus productos debe ser de 2 Kg. 
Sabiendo que la desviación estándar de una muestra de 17 unidades es 0.1. 
 
Cuál es la probabilidad de que la media sea: 
a) ¿menos de 1.9666 kg.? 
b) ¿más de 2.0646 kg.? 
c) ¿entre 1.9935 y 2.053 kg.? 
 
Solución: 

=2 Kg. (S / n 0.1/16 = 0.025 Kg. 
con 16 grados de libertad 
 
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a) P(�̅� 1.9666) = ? 
 
La probabilidad de que la media sea menor a 1.9666 Kg. es 0.1 
 
 
b) P (�̅�  2.0646)=? 
 
La probabilidad de que la media sea mayor a 2.0646 Kg. es 0.01. 
 
 
c) P(1.9935  �̅� 2.053)=? 
 
La probabilidad de que la media esté entre 1.9935 y 2.053 Kg. es 0.575. 
 
 
 
 
 
  01.0584.2
025.0
20646.2
)00646.2( 




 
 TTxP
   
575.04.0975.0)053.29935.1(
26.012.2)053.29935.1(
025.0
29935.1
025.0
2053.2
)053.29935.1(







 





 

xP
TTxP
TTxP