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PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 
 
 En la actualidad el término programación se asocia casi de manera automática a la 
computación, ámbito en el que la connotación de éste se relaciona con la creación de 
programas. Sin embargo, el origen del término, es anterior a la aparición de la ciencia 
informática, Programación significa planificación para la toma de decisiones. 
La matemática fue una de las ciencias pioneras en la utilización de este término, 
mediante la creación de secuencias de operaciones u órdenes que se deben seguir para el 
logro de un resultado. 
En general, los modelos de programación matemática son los que han conducido a 
los distintos modelos de optimización. 
Entre los modelos de programación matemática más conocidos, se tiene: 
 La programación lineal 
 La programación lineal entera 
 La programación Cuadrática 
 La programación no lineal en general 
 La programación dinámica. 
 
 
FORMULACIÓN DE PROGRAMAS 
 
Uno de los primeros aspectos que se debe considerar para la resolución de un 
problema decisional es su representación a través de un modelo de programación, en este 
contexto uno de los principales aspectos que debe tener presente es que el modelo de 
programación a utilizar corresponde a una situación real y no a un modelo abstracto, en este 
contexto las letras que se utilizan para denominar a las variables son representaciones de 
actividades concretas que realiza una organización, de igual forma, las restricciones no son 
simples relaciones matemáticas, éstas representan las relaciones entre las actividades a 
desarrollar y los recursos que se deben utilizar, en cuanto a los requerimientos de éstos por 
cada unidad de la actividad a realizar y el nivel disponible del recurso o los beneficios 
mínimos que éstas deben producir. 
Los estudiantes y usuarios de los modelos de programación matemática por lo 
general olvidan este aspecto, considerando al modelo como algo estrictamente mecánico. 
Así, si en un modelo de optimización las variables de decisión son X e Y y la 
función objetivo es Z, donde de acuerdo con las condiciones asociadas al problema el 
resultado óptimo es a, b y c respectivamente, entonces no basta con señalar como resultado 
óptimo X = a, Y = b y Z = c, puesto que X e Y representan actividades en particular, como 
por ejemplo, cuantas unidades de cierto producto se deben elaborar, comprar o vender y Z 
representa el beneficio económico que estas actividades producen. 
Lo anterior significa por ejemplo que si un taller de muebles se elaboran mesas, 
sillas y estantes, entonces frente a una situación de los distintos materiales que se utilizan y 
conocidos los resultados económicos que produce cada unidad que se elabora (supongamos 
utilidad), las que en los modelos de optimización corresponden a las variables, que pueden 
ser denotadas por X1, X2 y X3 respectivamente, a la administración de este taller no le 
interesa saber cuanto vale X1, X2 y X3, sino cuantas unidades de cada producto puede 
elaborar y cual es el resultado económico al que este nivel de producción conduce, 
adicionalmente también puede ser de interés conocer el estado de los recursos al aplicar el 
plan de producción logrado, ya sea estableciendo si hay desperdicio o escasez de alguno de 
ellos. 
Por todo lo anterior, para formular un modelo de optimización se deben considerar a 
lo menos los siguientes aspectos: 
 
1º.- Identificación de las actividades: Este es el aspecto básico a considerar, 
puesto que se debe tener claro lo que se desea hacer. 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
3º.- Formular el objetivo: Es decir, establecer que es lo que se debe hacer para 
el logro de cierto resultado. Es evidente entonces que en la formulación del 
objetivo se debe considerar a las actividades y al resultado económico al que 
éstas deben conducir. 
4º.- Definir las variables de decisión: En este paso, se trata simplemente de 
establecer la forma en que las actividades serán representadas en el modelo. 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
Este es el aspecto que cobra importancia para la construcción de las 
restricciones, por lo que es conveniente representar los requerimientos de 
cada recurso por unidad de cada una de las actividades 
6º.- Construcción del programa: Con todo lo anterior, se está en condiciones 
de formular el modelo que representa la situación problemática de interés. 
 
Ejemplo 1: 
Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 
600 millones de u.m. el costo de una casa de tipo A es de 13 millones y de 8 
millones para una casa de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, 
del 40 % del total mientras que las de tipo B, el 20 % del total por lo menos. Si cada 
casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de 
cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 
 
Solución: 
Esta es una situación problemática muy simple, puesto que considera 
sólo dos actividades y tres limitaciones que son consecuencia de relaciones entre las 
actividades y del capital disponible. Por lo tanto, la aplicación de la secuencia 
anteriormente descrita es: 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema se consideran dos actividades, que son: 
• Construir casas tipo A y 
• Construir casas tipo B 
• 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
 Teniendo en cuenta que el beneficio o utilidad está dado por la diferencia entre 
el precio de venta y el precio de costo, se tiene el siguiente beneficio para cada 
tipo de casa: 
Casa Tipo Precio de Venta Costo Beneficio 
A 16 millones 13 millones 3 millones 
B 9 millones 8 millones 1 millón 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el número de casas de cada tipo que se 
deben construir1 para obtener el máximo beneficio2. 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X1 = Número de casas tipo A ha construir 
X2 = Número de casas tipo B ha construir 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
En este caso las limitaciones están dadas por los niveles de cada tipo de 
casas a construir respecto del total de ellas y por el capital disponible 
• El número de casas tipo A debe ser al menos el 40% del total 
(A+B), es decir ( )211 XX4,0X +⋅≥ 
• El número de casas tipo B debe ser al menos el 40% del total 
(A+B), es decir ( )212 XX2,0X +⋅≥ 
• No se puede utilizar más de 600 millones de u.m., sabiendo que 
para construir una casa tipo A se requieren de 13 millones, mientras 
que para construir una casa tipo B se requieren 8 millones. 
 
6º.- Construcción del programa: 
• Función Objetivo: 
 Maximizar 3X1 + X2
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
 0,6X1 – 0,4X2 ≥ 0 
 –0,2X1 + 0,8X2 ≥ 0 
 13X1 + 8X2 ≤ 600 
 
Resulta evidente además, que X1 y X2 no pueden tomar valores 
negativos 
 
Ejemplo 2: 
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo 
ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con 
cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 
barriles de kerosene (K) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras 
que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de K y 
0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 
800000 barriles de K y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y 
pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. 
 
1 Parte del objetivo referido a las actividades 
2 Parte del objetivo referido al resultadoeconómico esperado por la realización de las actividades. 
Solución: 
Esta es una situación problemática muy simple, puesto que considera 
sólo dos actividades y tres limitaciones que son consecuencia de los compromisos 
adquiridos por la empresa para proveer los distintos tipos de combustibles que 
elabora denominados G, K y T respectivamente. Por lo tanto, la aplicación de la 
secuencia anteriormente descrita es 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema se consideran dos actividades, que son: 
• Adquirir barriles de crudo ligero y 
• Adquirir barriles de crudo pesado 
 
 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
 Teniendo en cuenta que el problema dice relación con costos, se tiene que: 
• El costo de un barril de crudo ligero es 35 dólares 
• El costo de un barril de crudo pesado es 30 dólares 
 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el número de barriles de crudo ligero y 
de crudo pesado que se deben adquirir, para satisfacer el suministro 
contratado de combustible G, K y T, obteniendo el mínimo costo total de 
producción.. 
 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X1 = Número de barriles de crudo ligero a adquirir 
X2 = Número de barriles de crudo pesado a adquirir 
 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
En este caso las limitaciones están dadas por los niveles de suministros 
contratados para cada tipo de combustible. 
• Se debe suministrar 900000 barriles de gasolina (G), sabiendo que 
cada barril de crudo ligero permite elaborar 0,3 barriles de gasolina y 
cada barril de crudo pesado, permite elaborar 0,3 barriles de 
gasolina. 
• Se debe suministrar 800000 barriles de Kerosene (K), sabiendo 
que cada barril de crudo ligero permite elaborar 0,2 barriles de 
kerosene y cada barril de crudo pesado, permite elaborar 0,4 barriles 
de kerosene. 
• Se debe suministrar 500000 barriles de Combustible para 
Turbinas (T), sabiendo que cada barril de crudo ligero permite 
elaborar 0,2 barriles de combustible para turbinas y cada barril de 
crudo pesado, permite elaborar 0,3 barriles de combustible para 
turbinas. 
 
6º.- Construcción del programa: 
• Función Objetivo: 
 Minimizar 35X1 + 30X2
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
Respecto del suministro de gasolina 0,3X1 + 0,3X2 ≥ 900000 
Respecto del suministro de kerosene 0,2X1 + 0,4X2 ≥ 800000 
Respecto del suministro de comb. para turbinas 0,3X1 + 0,2X2 ≥ 500000 
Resulta evidente además, que X1 y X2 no pueden tomar valores negativos 
 
Ejemplo 3: 
Una persona recibe un premio de 25 millones de pesos en un juego de 
azar. Dado que éste constituye un ingreso adicional, le aconsejan que capitalice 
invirtiendo en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero 
producen un beneficio del 10 % anual. Las de tipo B son más seguras, pero 
producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como 
máximo 15 millones en la compra de acciones A y por lo menos 5 millones en la 
compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea por lo menos, 
igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 25 millones para que el 
beneficio anual producido sea máximo? 
 
Solución: 
Esta también es una situación problemática, puesto que considera sólo 
dos actividades, sin embargo cuenta con cuatro limitaciones dadas por las cotas de 
inversión en cada tipo de instrumento, la relación entre los montos invertidos y el 
capital disponible. Por lo tanto, la aplicación de la secuencia anteriormente descrita 
es 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema se consideran dos actividades, que son: 
• Invertir en acciones de tipo A y 
• Invertir en acciones de tipo B 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
 El resultado económico de estas actividades está dado por una tasa de beneficio 
anual que son: 
• 10% anual para las acciones tipo A 
• 7% anual para las acciones tipo B 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el monto del capital que se debe invertir 
en cada tipo de acción, para obtener el máximo beneficio anual. 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X1 = Monto a invertir en acciones tipo A (en millones) 
X2 = Monto a Invertir en acciones tipo B (en millones) 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
Tal como se planteó anteriormente, las limitaciones están dadas por cotas de 
inversión en cada tipo de instrumento, por relaciones entre los montos 
invertidos y por el capital disponible, luego, de acuerdo a las condiciones 
estipuladas, se tienen las siguientes limitantes: 
• El capital a invertir en acciones tipo A, se ha establecido un 
máximo de 15 millones para invertir en este tipo de instrumento. 
• El capital a invertir en acciones tipo B, se ha establecido un 
mínimo 5 millones para invertir en este tipo de instrumento. 
• La relación entre los montos invertidos en ambos instrumentos, 
se ha establecido la inversión realizada en A sea a lo menos igual al 
monto invertido en B. 
• El capital disponible, se dispone de un capital de 25 millones. 
 
6º.- Construcción del programa: 
• Función Objetivo: 
 Maximizar 10X1 + 7X2
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
Inversión en acciones tipo A X1 ≤ 15 
Inversión en acciones tipo B X2 ≥ 5 
Respecto de la relación X1 ≥ X2 X1 – X2 ≥ 0 
Respecto del capital disponible X1 + X2 ≤ 25 
Evidentemente es impensable que una inversión pueda considerar un monto 
negativo. 
 
Ejemplo 4: 
Las enfermeras de un hospital trabajan en turnos de 8 horas continuas. 
La administración del hospital ha detectado que los cambios de turnos 
convencionales, es decir, aquellos que se realizan tres veces al día se caracterizan 
por un grave problema de comunicación entre las enfermeras que entregan y las que 
reciben el turno, lo que afecta la continuidad de los tratamientos prescritos por los 
médicos. Por esta razón se ha diseñado un nuevo sistema que consiste en definir 6 
cambios de turnos diarios para disminuir las distracciones y asegurar la continuidad 
del funcionamiento del hospital y en la aplicación de los tratamientos, ya que de 
acuerdo a este diseño sólo se cambiará aquellas enfermeras que hayan completado 
las 8 horas diarias de manera continuada. Para tal efecto, las 24 horas del día se han 
particionado en 6 bloques de 4 horas, estableciéndose para cada uno de ellos el 
mínimo de enfermeras requerido para un buen funcionamiento de los distintos 
servicios del hospital, información que se presenta en el siguiente cuadro: 
Bloque Horario Mínimo de enfermeras requerido 
1 22:00 a 02:00 40 
2 02:00 a 06:00 25 
3 06:00 a 10:00 60 
4 10:00 a 14:00 50 
5 14:00 a 18:00 35 
6 18:00 a 22:00 55 
 
Además, se ha determinado que las enfermeras que comienzan su trabajo 
en los bloques 1, 2 y 6 perciben una remuneración diaria de $50000, mientras que 
las que comienzan su turno en los bloques restantes tendrán una remuneración diaria 
de $40000. ¿Cuántas enfermeras deben comenzar su turno en cada bloque para 
minimizar el costro diario por concepto de remuneración? 
 
 
Solución: 
Esta situación se enmarca en el contexto de planificación de personal. 
Se sabe que una enfermera puede comenzar su turno en cualquiera de los 
bloques, por lo tanto en cada bloque estarán las enfermeras que comenzaron su 
turno en él y las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque anterior. 
 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema de planificación de personal, se consideran las actividades 
están dadas por la asignación de enfermeras a cada bloque horario para lainiciación de su turno de 8 horas diarias. Lo que conduce a : 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 1 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 2 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 3 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 4 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 5 
• Asignar enfermeras para comenzar su turno en el bloque 6 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
 El resultado económico de estas actividades está dado por el ingreso diario que 
perciben las enfermeras de acuerdo al bloque en el que comienzan su turno, que 
son: 
• $50.000 diarios para las que comienzan su turno en los 
bloque 1, 2 y 6 
• $40.000 diarios para las que comienzan su turno en los 
bloque 3, 4 y 5 
• 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el número de enfermeras que debe 
comenzar su turno en cada uno de los bloques, de manera tal que el monto 
total por ingreso diario a cancelar sea mínimo. 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X1 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 1 
X2 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 2 
X3 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 3 
X4 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 4 
X5 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 5 
X6 = Número de enfermeras que comienzan su turno en el bloque 6 
 
 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
Las limitaciones están dadas por la necesidad mínima de personal en cada 
uno de los bloques horarios, cantidad que está dada por la suma entre las 
enfermeras que comienzan su turno en el bloque y las que lo comenzaron en 
el bloque anterior. Así entonces: 
• Para el bloque 1 se requieren al menos 40 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el boque 6 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 40. 
• Para el bloque 2 se requieren al menos 25 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque 1 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 25. 
• Para el bloque 3 se requieren al menos 60 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque 2 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 60. 
• Para el bloque 4 se requieren al menos 50 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque 3 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 50. 
• Para el bloque 5 se requieren al menos 35 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque 4 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 35. 
• Para el bloque 6 se requieren al menos 55 enfermeras, esto 
significa que las enfermeras que comenzaron su turno en el bloque 5 
junto a las que comienzan su turno en este bloque, en total deben ser 
al menos 55. 
 
 
6º.- Construcción del programa: 
7º.- 
• Función Objetivo: 
 Minimizar 50X1 + 50X2 + 40X3 + 40X4 + 40X5 + 50X5 
 
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
Bloque 1 X6 + X1 ≥ 40 
Bloque 2 X1 + X2 ≥ 25 
Bloque 3 X2 + X3 ≥ 60 
Bloque 4 X3 + X4 ≥ 50 
Bloque 5 X4 + X5 ≥ 35 
Bloque 6 X5 + X6 ≥ 55 
Evidentemente es impensable que en un bloque pueda comenzar su turno 
una cantidad negativa de enfermeras. 
 
 
Ejemplo 5: 
Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio 
para 50 ovejas, o 30 cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier 
combinación de éstos (con la relación siguiente: 5 ovejas, 3 cerdos o 2 vacas usan el 
mismo espacio). Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 5, 8, 14 u.m. para 
ovejas, cerdos y vacas respectivamente. De acuerdo a las condiciones geográficas 
para la región, el Departamento que regula la crianza de animales ha dictaminado a 
través de una ordenanza que se debe criar al menos, tantos cerdos como ovejas y 
vacas juntas. Ahora Ud. como candidato a ingeniero debe emitir una recomendación 
fundada mediante el planteamiento del respectivo modelo. 
 
Solución: 
Esta situación se enmarca en el contexto de planificación de producción, 
donde participan tres actividades referidas a los tipos de ganados que se debe criar 
de acuerdo a los espacios disponibles y normativa vigente. En este problema es 
importante tener presente que los espacios que requieren los distintos tipos de 
ganados, deben ser expresados de acuerdo a una unidad común, la que está dada por 
una especie particular. 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema de planificación de personal, se consideran las actividades 
están dadas por la asignación de enfermeras a cada bloque horario para la 
iniciación de su turno de 8 horas diarias. Lo que conduce a : 
• Criar cabezas de ganado ovino 
• Criar cabezas de ganado porcino 
• Criar cabezas de ganado bovino 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
 El resultado económico de estas actividades está dado por el beneficio que 
produce la venta de una cabeza de las distintas especies a criar, las que en este 
caso son: 
• 5 u.m. por cabeza de ganado ovino 
• 8 u.m. por cabeza de ganado porcino 
• 14 u.m. por cabeza de ganado bovino 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el número de cabezas de ganado ovino, 
porcino y bovino que el granjero debe criar, de manera tal que el benefecio 
total que éstas produzcan sea máximo. 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X1 = Número de cabezas de ganado ovino que debe criar 
X2 = Número de cabezas de ganado porcino que debe criar 
X3 = Número de cabezas de ganado bovino que debe criar 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
Las limitaciones están dadas por la capacidad del terreno disponible, la que 
expresado en términos del número de ovejas, del número de cerdos y del 
número de vacas, genera en el programa 3 restriciones y por la normativa 
existente. Así entonces: 
• De acuerdo al espacio disponible expresado en términos de 
ovejas, se tiene que un cerdo equivale a 5/3 ovejas (1,6667), y que 
una vaca equivale a 5/2 ovejas. Además el total de ovejas que pueden 
ser criadas es 50. 
• De acuerdo al espacio disponible expresado en términos de 
cerdos, se tiene que una oveja equivale a 3/5 cerdos (0,6667), y que 
una vaca equivale a 3/2 cerdos. Además el total de cerdos que 
pueden ser criados es 30. 
• De acuerdo al espacio disponible expresado en términos de 
vacas, se tiene que una oveja equivale a 2/5 vacas, y que un cerdo 
equivale a 2/3 vacas. Además el total de vacas que pueden ser 
criadas es 20. 
• De acuerdo a la normativa vigente, se tiene que el número de 
cerdos no puede estar por debajo del total de ovejas y vacas; 
formalmente X2 ≥ X1 + X3 
 
6º.- Construcción del programa: 
• Función Objetivo: 
 Maximizar 5X1 + 8X2 + 14X3 
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
Espacio expresado en Nº de ovejas X1 + 5/3X2 + 5/2 X3 ≤ 50 
Espacio expresado en Nº de cerdos 3/5X1 + X2 + 3/2 X3 ≤ 30 
Espacio expresado en Nº de vacas 2/5X1 + 2/3X2 + 3/2 X3 ≤ 20 
Normativa -X1 + X2 - X3 ≥ 0 
Se verifica también que no se puede considerar un número negativo de 
cabezas de ninguna de las especies. 
 
 
Ejemplo 6: 
Un constructor es un gran contratista que ejecuta trabajos de techumbres. 
Puesto que el precio de las tejas varía con lasestaciones del año, éste trata de 
acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso 
posterior. Frente a un trabajo, el constructor cobra el precio corriente en el mercado 
por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que 
aparece al final refleja lo que el constructor ha proyectado como costo, precio y 
demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se 
compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un 
costo de manejo de $60 por millar de piezas, así como también en un costo de 
almacenamiento de $120 por millar de piezas por cada temporada en la que se 
almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto 
incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. El 
constructor ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro 
temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita al contratista 
maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas. 
 
 Temporada Precio compra Precio mercado Ventas (demanda) 
 ($/pieza) ($/pieza) (millares piezas) 
Temporada 1 21.00 22.00 100 
Temporada 2 22.00 23.25 140 
Temporada 3 26.00 28.50 200 
Temporada 4 24.00 25.50 160 
 
Solución: 
Esta situación se enmarca en el contexto de planificación de producción, 
donde se consideran costos de inventario y de manejo, en el que las limitaciones 
están dadas por las demandas proyectadas para cada período. 
 
1º.- Identificación de las actividades: 
En este problema las actividades dicen relación con la comprar de tejas para 
satisfacer la demanda en cada uno de ellos, teniendo presente que es posible 
almacenar existencias para períodos posteriores 
• Comprar tejas en el período 1 para ser utilizadas en el período 1 
• Comprar tejas en el período 1 para ser utilizadas en el período 2 
• Comprar tejas en el período 1 para ser utilizadas en el período 3 
• Comprar tejas en el período 1 para ser utilizadas en el período 4 
• Comprar tejas en el período 2 para ser utilizadas en el período 2 
• Comprar tejas en el período 2 para ser utilizadas en el período 3 
• Comprar tejas en el período 2 para ser utilizadas en el período 4 
• Comprar tejas en el período 3 para ser utilizadas en el período 3 
• Comprar tejas en el período 3 para ser utilizadas en el período 4 
• Comprar tejas en el período 4 para ser utilizadas en el período 4 
Todas las compras consideradas en miles de unidades. 
 
2º.- Identificar el resultado económico que produce cada actividad realizada 
de manera unitaria. 
Un millar de unidades de tejas para cada período considera un precio de 
venta, un costo total (dado por los costos de adquisición, de manejo y de 
almacenamiento por período), por lo que beneficio se obtiene como la 
diferencia entre estas magnitudes. Lo que se presenta en la siguiente tabla: 
Período 
de 
compra 
Período 
de 
Venta 
Precio 
Venta
Costo 
Adquisición
Costo 
Manejo
Costo 
Inventario 
Costo 
Total Beneficio
1 1 22000 21000 0 0 21000 1000 
1 2 23250 21000 60 120 21180 2070 
1 3 28500 21000 60 240 21300 7200 
1 4 25500 21000 60 360 21420 4080 
2 2 23250 22000 0 0 22000 1250 
2 3 28500 22000 60 120 22180 6320 
2 4 25500 22000 60 240 22300 3200 
3 3 28500 26000 0 0 26000 2500 
3 4 25500 26000 60 120 26180 -680 
4 4 25500 24000 0 0 24000 1500 
 
 
3º.- Formular el objetivo: Determinar el número de tejas (en miles) que se 
adquiere en el período i para ser utilizada en el período j, de manera tal que 
el benefecio total que éstas produzcan en los cuatro períodos sea máximo. 
 
4º.- Definir las variables de decisión: 
X11 = Número de tejas adquiridas en el período 1 para ser utilizadas en el período 1 
X12 = Número de tejas adquiridas en el período 1 para ser utilizadas en el período 2 
X13 = Número de tejas adquiridas en el período 1 para ser utilizadas en el período 3 
X14 = Número de tejas adquiridas en el período 1 para ser utilizadas en el período 4 
X22 = Número de tejas adquiridas en el período 2 para ser utilizadas en el período 2 
X23 = Número de tejas adquiridas en el período 2 para ser utilizadas en el período 3 
X24 = Número de tejas adquiridas en el período 2 para ser utilizadas en el período 4 
X33 = Número de tejas adquiridas en el período 3 para ser utilizadas en el período 3 
X34 = Número de tejas adquiridas en el período 3 para ser utilizadas en el período 4 
X44 = Número de tejas adquiridas en el período 4 para ser utilizadas en el período 4 
 
5º.- Identificar las limitaciones en cuanto a recursos o resultados esperados: 
Las limitaciones por un lado están dadas por la capacidad de 
almacenamiento en cada uno de los períodos que es una magnitud fija, en 
este caso 220 mil unidades, que debe corresponder a la diferencia entre el 
número de unidades disponibles en el período y el número de unidades que 
se instalan en el mismo, situación que genera 4 restricciones y por otro las 
demandas de tejas en cada uno de los períodos. Así entonces: 
• De acuerdo a la capacidad de almacenamiento en el período 1, se 
tiene que el total de tejas adquiridos en dicho período, no puede 
superar las 220 mil unidades, independiente si se utiliza en el mismo 
período o se almacena para períodos sucesivos. 
• De acuerdo a la capacidad de almacenamiento en el período 2, se 
tiene que el total de tejas adquiridos en dicho período, más la que se 
encuentran almacenadas desde el período anterior no puede superar 
las 220 mil unidades, independiente si se utiliza en el mismo período 
o se almacena para períodos sucesivos. 
• De acuerdo a la capacidad de almacenamiento en el período 3, se 
tiene que el total de tejas adquiridos en dicho período, más la que se 
encuentran almacenadas desde los períodos anteriores (1 y 2) no 
puede superar las 220 mil unidades, independiente si se utiliza en el 
mismo período o se almacena para períodos sucesivos. 
• De acuerdo a la venta proyectada para el período 1, todas las 
unidades que se venden en este período deben ser 100 mil unidades. 
• De acuerdo a la venta proyectada para el período 2, todas las 
unidades que se venden en este período deben ser 140 mil unidades. 
• De acuerdo a la venta proyectada para el período 3, todas las 
unidades que se venden en este período deben ser 200 mil unidades. 
• De acuerdo a la venta proyectada para el período 4, todas las 
unidades que se venden en este período deben ser 160 mil unidades. 
 
6º.- Construcción del programa: 
• Función Objetivo: 
 Maximizar 1000X11 + 2070X12 + 7200X13 + 4080X14 + 1250X22 + 
6320X23 + 3200X24 + 2500X33 - 680X34 + 1500X44 
• Restricciones: 
 Sujeto a: 
Almacenamiento P-1 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 220 
Almacenamiento P-2 X12 + X13 + X14 + X22 + X23 + X24 ≤ 220 
Almacenamiento P-3 X13 + X14 + X23 + X24 + X33 + X34 ≤ 220 
Ventas proyectadas P-1 X11 = 100 
Ventas proyectadas P-2 X12 + X22 =140 
Ventas proyectadas P-3 X13 + X23 + X33 = 200 
Ventas proyectadas P-4 X14 + X24 + X34 + X44 = 160 
Se verifica también que no se puede considerar una magnitud negativa para 
el número tejas adquiridas. 
 
PROBLEMA 4 
 
ESCLAVOS S.A. administra un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de 
material de desecho sólido y los somete a tratamiento para finalmente amalgamarlos 
en un producto comercializable. (El tratamiento y el amalgamado son dos procesos 
diferentes.) Se pueden lograr tres grados diferentes de este producto de acuerdo con 
la primera columna de la Tabla A, según la mezcla de materiales que sea usada. 
Aunque existe alguna flexibilidad para esta mezcla en cadagrado, los estándares de 
calidad especifican una cantidad mínima y una máxima para la proporción de los 
materiales permitidos en ese grado. (Dicha proporción es el peso del material 
expresado como un porcentaje del peso total del producto en ese grado.) Para los 
dos grados más altos se específica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Las 
especificaciones en comento se dan en la Tabla A junto con el costo del 
amalgamado y el precio de venta de cada grado. 
 
TABLA A 
 
 
Grado 
 
Especificación 
Amalgamado 
Costo ($) por 
kilogramo 
Precio de venta 
($) por 
kilogramo 
 
A 
 
Material 1: no más del 30% del total 
Material 2: no menos de 40% del total 
Material 3: no más de 50% del total 
Material 4: exactamente 20% del total 
 
 
3000 
 
 
8500 
 
B 
Material 1: no más de 50% del total 
Material 2: no menos de 10% del total 
Material 4: exactamente 20% del total 
 
2500 
 
7000 
C Material 1: no más de 70% del total 2000 5500 
 
El circuito de abastecimiento diseñado por ESCLAVOS S.A., les permite 
mantener una tasa estable de producción para tratar los materiales. En la Tabla B 
se dan las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual 
que el costo del proceso para cada tipo de material. 
 
ESCLAVOS S.A. recibe aportes semanales del Ministerio de Ecología de 
$30000000 los cuales deben utilizarse sólo para cubrir el costo del tratamiento 
completo de los deshechos sólidos. Más aún el Ministerio de Ecología ha 
entregado un memorando específico en el que dispone que el dinero sea dividido 
entre los materiales de manera tal que se recolecte y se trate al menos la mitad de 
la cantidad disponible de cada tipo de material. Dichas restricciones adicionales 
también se incluyen en la Tabla B. 
 
TABLA B 
 
Material 
Kilogramos por 
semana 
disponibles 
Costo del tratamiento 
($) por kilogramo Restricciones adicionales 
1 30000 3000 
2 20000 6000 
3 40000 4000 
1. Para cada material, deben 
recolectarse y tratarse al 
menos la mitad de los kilos 
disponibles por semana. 
4 10000 5000 2. Deben usarse los $30000000 semanales. 
 
Ahora Ud. como empleado de máxima confianza de ESCLAVOS S.A. 
(Gerente General) debe determinar la cantidad que debe producir de cada grado y 
la mezcla exacta de materiales que se deberá usar de cada uno, de manera que se 
maximice la ganancia semanal neta, exclusivo del costo del tratamiento fijo de 
$30000000 semanal, el que será subvencionado por el Ministerio de Ecología. 
 
 
 
 
 
 
	FORMULACIÓN DE PROGRAMAS
	A
	Grado
	Amalgamado
	Material
	Restricciones adicionales