47713_31621_EJERCICIOSPROPUESTOSMAT62100I2009

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:lucho orozcofuenzalida
EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATEMÁTICAS I MAT62100 (OTOÑO 2009)
1.- Establezca la veracidad o la falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada
proposición falsa por una que sea cierta.
 (i) (ii) (iii)+  , œ Ð+  ,Ñ Ð+  ,Ñ œ +  ,  &Ð+  ,Ñ œ  &+  ,$ $ $ # # #
 (iv) (v) (vi) (vii) si es un entero imparÈ+ œ + œ + œ Ð "Ñ œ  " 8# 8+#, +-#, ,-
+
,
2.- Efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados
 (i) (ii) Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑB B B
B B B
+ , -
,
+, -, +-
- +
" #
B# B%
 (iii) (iv) " # # + #+,, + ,B" B $B# B #B" B &B' B B'  ƒ# # # #
# # # #
3.- Factorice las expresiones siguientes por completo
 (i) (ii) $B  (&C 'B  B "&# # #
 (iii) (iv) Ð+  %ÑÐ+  $Ñ  Ð#+  $ÑÐ+  "Ñ Ð:  ;Ñ  $Ð:  ;Ñ  %#
4.- Pruebe que " #
#" $ "È È œ # $È È
5.- Exprese en una sola raíz È È# &&
6.- Idem para È ÈÈ È È È ÈÈ# $ % & ' ( ) *$ & *(% ' )
7.- Establezca la veracidad o la falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. En el caso que
sea falsa dé un contraejemplo.
 (i) Las raíces de una ecuación no se alteran cuando ambos lados se multiplican por una 
 expresión que contiene a la variable
 (ii) Es posible elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación sin alterar sus raíces.
 (iii) Es posible que una ecuación lineal no tenga raíces
 (iv) Es factible que una ecuación cuadrática no tenga raíces reales 
2
8.- Resuelva las siguientes ecuaciones para la variable .B
 (i) (ii) #Ð"  %BÑ  " œ B #Ð#  $BÑ  œ" " ,B + -
 (iii) (iv) ÐB  #ÑÐ#B "Ñ œ " ÐB $ÑÐB  "Ñ #B & œ B "È
 (v) (vi) B $ œ &B "" # œÈ B# B)%
9.- Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables indicadas
 (i) a) para b) para (ii) a) para b) para " " " VB C D "!! œ C D T œ T Ð"  Ñ T V! !
#
10.- El Mercado de Muebles de Occidente recibió 55 mesas, algunos burós y algunas mesas para
café. La factura fue por US$645. Si cada buró cuesta US$9 y cada mesa de café tiene un precio de
US$15, ¿cuántas mesas de cada tipo recibieron? Represente el problema como una ecuación de una
variable.
11.- Un fabricante puede vender unidades de un productoa la semana a un precio de dólaresB :
por unidad, en donde . Cuesta dólares producir unidades a laB œ "'!Ð"!  :Ñ Ð%B %!!Ñ B
semana. ¿Cuántas unidades debería producir y vender para obtener una utilidad semanal de "Þ!!!
dólares? Represente el problema como una ecuación de una variable.
12.- Establezca la veracidad o la falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. En el caso que
sea falsa dé un contraejemplo.
 (i) Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de 
 cero, se mantiene el sentido de la desigualdad.
 (ii)Una desigualdad cuadrática tiene dos soluciones, una solución o ninguna.
 (iii) Si entonces B  C B  C¸ ¸ ¸ ¸
 (iv) Si B  C B  C# # entonces ¸ ¸ ¸ ¸
13.- Resuelva las siguientes inecuaciones
 (i) (ii) (iii)#B "  $ B  #B & &B (   $B "   'B "" $BÐ#  BÑ Ÿ  * 
 (iv) (v) (vi) (vii)#B  $B & Ÿ )  ! " %B Ÿ )  $# $B" #B $B& #(B&B B * $
#
#
¸ ¸ ¸ ¸
14.- Si unidades pueden venderse al precio de $ cada una, en donde , ¿quéB : #:  $B œ #!!
precio por unidad debe fijarse con el propósito de obtener un ingreso de al menos $ ?"Þ'!!
15.- La señora Ruiz quiere invertir $60.000.000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el
gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10%
de interés. ¿Que cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un
ingreso anual de al menos $5.500.000?
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16.- Una empresa alquila automóviles a sus clientes de acuerdo con dos planes. En el primero puede
alquilar un auto a $16.000 a la semana con kilometraje ilimitado, mientras que en el segundo plan
renta el mismo vehículo por $10.000 a la semana mas $25 por cada kilometro recorrido. Encuentre
los valores de kilometraje semanal para los cuales es más barato alquilar un automóvil con el
segundo plan.
17.- Grafique los siguientes puntos:
 EÐ%ß  &Ñà FÐ  (ß )Ñà GÐ(ß %Ñà HÐ  #ß !Ñà IÐ!ß %Ñà JÐ  "ß  %Ñ
y determine en que cuadrantes están situados.
18.- Encuentre la distancia entre todos los pares de puntos del ejercicio anterior.
19.- La distancia del punto al punto es dos veces la distancia al puntoTÐBß #Ñ EÐ*ß  'Ñ
FÐ  "ß &Ñ B. Determine .
20.- Encuentre la ecuación que debe satisfacer las coordenadas del punto que está a unaTÐBß CÑ
distancia de 5 unidades del punto . FÐ#ß  $Ñ
21.- Determine las pendientes de las rectas que unen cada pareja de puntos dada en el ejercicio 1.-
22.- Encuentre la ecuación de las rectas que satisfacen las condiciones de cada uno de los ejercicios
siguientes. Haga una gráfica en cada caso.
 a) Pasa por y tiene pendiente .Ð#ß  $Ñ  &
 b) Pasa por y no tiene pendiente.Ð  %ß )Ñ
 c) Pasa a través de los puntos y .Ð  &ß %Ñ Ð%ß  )Ñ
 d) Tiene pendiente "& y ordenada al origen .(
 e) Pasa por y es paralelal a la recta .Ð$ß  )Ñ $B &C œ )
 f) Pasa por y es perpendicular a la recta .Ð  %ß  &Ñ &B (C  % œ !
23.- Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Si es falsa,
reemplácela por la proposición correcta correspondiente.
 a) Una recta horizontal no tiene pendiente b) Una recta vertical tiene pendiente cero
 c) La ecuación lineal representa una recta para todos los valores de lasEBFCG œ !
 constantes y .Eß Fß G 
 d) La pendiente de la recta que une los puntos y está dada por ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ 7 œ
" " # #
# "
# "
 
C C
B B
 para todos los valores , , e .B B C C
" # " #
24.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
 a) y $B &C œ  % (B %C œ %  œ # œ ? œ @
)B (C œ  ' #B &C œ $
# $
B C
& ) $"
B C '
 œ
 b) c) Haga " "B C
4
 d) e) f) B C œ ")  œ " #:  $; œ #!
B $C œ "$ &:  %; œ #(
B C
( $
B C
& %
 œ  #
 g) h)
$  #B & %C
$ %
 œ #
' #B % #C
& (
 œ !
B $C  %D œ "   œ '
#B (C  $D œ  (
$B "!C  )D œ  $
  œ "
  œ (
i) " " "B C D
$ # %
B C D
# % (
B C D
 j) k)B C  #D œ  " B #C  $D œ %
#B $C  D œ "$ &B 'C  (D œ )
 $B #C  &D œ  ) *B "!#C  ""D œ "#
 
25.- Un almacén de productos químicos tiene dos soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de
ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de cada uno deberá mezclar para obtener
200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido?
26.- En una planta química se fabrican dos productos químicos, y ; la planta puedeE F
operar con dos procesos. El proceso 1 produce 2 toneladas por hora de y 5 toneladasE
por hora de ; El proceso 2 produce 3 toneladas por hora de y 4 toneladas por horaF E
de .La compañía puede vender 260 toneladas a la semana de y 440 toneladas de .F E F
¿Cuántas horas por semana deberá operar la planta en cada uno de los procesos?
27.- El costo de fabricar 100 cámaras a la semana es de 700 dólares y el de 120 cámaras a la
semana es de 800 dólares. Determine la ecuación de costos. suponiendo que es lineal. ¿Cuáles son
los costos fijos y variable por unidad?
28.- Una industria extractiva encuentra que puede producir 7 toneladas de mineral a un costo de
1.500 dólares y 15 toneladas a un costo de 1.800 dólares. Suponiendo un modelo costo-producción
lineal, determine el costo fijo y los costos variables. ¿Cuál será el costo de producir 20 toneladas de
mineral?
29.- Un fabricante de zapatos puede ofrecer 2.000 pares de zapatos al mes a un precio de $15.000
por par de zapatos, mientras que la demanda es de 2.800 pares. A un precio de $17.500 el par,
puede ofrecer 400 pares más. Sin embargo, con este incremento de precio la demanda se reduce en
100 pares.
 a) Suponiendo relaciones lineales, determine las ecuaciones de demanda y oferta.
 b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
 c) Si el gobierno grava con un impuesto de $750cada par de zapatos, determine el nuevo 
 precio y cantidad de equilibrio.
 d) ¿Qué impuesto especial por par deberá fijarse para elevar el precio de equilibrio a $20.000?
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30.- Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son y en#:  ; œ "! : œ )Þ!!!; $(!
donde es el precio por unidad en miles de dólares y es el número de unidades vendidas al mes.: ;
 a) Encuentre el punto de equilibrio.
 b) Determine el ingreso total recibido por el fabricante en el punto de equilibrio.
31.- José Mercado, que compra todo importado, compró un automóvil nuevo por 10.000 dólares.
¿Cuál es el valor del automóvil después de años, suponiendo que se deprecia linealmente cada año>
a una tasa del 12% de su costo original? ¿Cuál es el valor de del automóvil después de 5 años?
32.- Un hombre invierte un total de 40.000 dólares en bonos, papel comercial y depósitos a plazo fijo
que le producen intereses del 8%, 15% y 10% respectivamente. La cantidad invertida en bonos y en
depósitos a plazo fijo es tres veces la cantidad invertida en papel comercial. ¿Cuánto tiene en cada
tipo de inversión si las ganancias anuales por estas inversiones son de 4.260 dólares?
33.- Si y forman una P.A. calcule los valores de  ")ß Bß Cß D % Bß C D .y
34.-Determine una progresión aritmética de seis términos cuyo primer término es y el último es .# ##$ $
35.- Si forman una P.G. calcule los valores de .#ß :ß ; &% : ; y y
36.- Determine una progresión geométrica de seis términos si el tercero es y el último es .# !ß #&
37.- ¿Cuántos términos de la sucesión deben sumarse de tal manera que"#ß  (ß  #ß $ß )ß ÞÞÞÞ
la suma sea ."!&
38.- Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1.800.000 en cierto número de pagos,
cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en $10.000. Si su quinto pago es
de $200.000, ¿cuántos pagos serán necesarios de modo que se salde la deuda?
39.- La suma de una progresión geométrica infinitaW
+  +< +<  +< â# $
está dada por ; siempre que .W œ "  <  "+"< 
Use este resultado para demostrar que .* † * † * †â✠$
" "
$ * #(
"
40.- Una persona desea invertir cierta cantidad de dinero a plazo fijo ganando 10% del interés
(compuesto) anual por un período de 4 años. Al término de este tiempo los intereses provenientes de
la inversión se usarán para pagar una deuda de $10.000 que entonces deberá saldar. ¿Cuánto deberá
invertir de modo que tenga lo suficiente para pagar la deuda?
41.- Evalúe cada suma
! ! ! ! ! ! !
5œ! 5œ"
% 8 & 8 $& $ &
:œ" ;œ" 3œ"" 3œ#
;  #
;
5œ
Ð5  &Ñ Ð#:  "Ñ Ð Ñ Ð5  %ÑÐ5  %Ñ 3 Ð5  &35Ñ
# $ #
#
 ; ; ; ; ; 
1
6
42.- Determine el 25º término en el desarrollo de: .Š ‹$B #
"!$
%
&B
43.- Determine el coeficiente del término (si existe) que contiene a .B"$%
44.- Calcule el valor de
 ! !
5œ"& 5œ"
$! 8"
$Ð5  "$Ñ Ð#5  "Ñ ; 
45.- Determine el número de permutaciones que se pueden formar con las letras de la palabra
TRANSANTIAGO.
46.- ¿De cuántas maneras puede elegir un inversionista cuatro fondos para su cartera de inversiones
de una lista de ocho fondos recomendables?
47.- Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Si es falsa,
 reemplácela por la proposición correcta correspondiente.
 a) El Recorrido de es b) El Dominio de es 0ÐBÑ œ " 0ÐBÑ œBB ˜ ™ BB ‘
 c) Para todos los valores de las constantes y , representa una +ß ,ß - 0ÐBÑ œ +B  ,B - #
 función cuadrática.
 d) Si y son dos funciones, y tienen el mismo dominio.0 1 0  1ß 0  1ß 01ß 01
 e) Si y son dos funciones tales que tanto la composición como están0 1 0 ‰ 1 1 ‰ 0
 definidas, se sigue que .0 ‰ 1 œ 1 ‰ 0
 f) La función tiene una inversa única si y sólo si cualquier recta horizontal corta a la C œ 0ÐBÑ
 gráfica de en a lo más un punto.0ÐBÑ
48. Dé un ejemplo de una función que satisfaga la siguiente propiedad:0
 a) b) c) 0Ð  BÑ œ 0ÐBÑ 0Ð  BÑ œ  0ÐBÑ 0ÐB  CÑ œ 0ÐBÑ  0ÐCÑ
49.- a) Dada , calcule , , y 0ÐBÑ œ & #B 0Ð$Ñ 0Ð  "Ñ 0ÐBÑ 0ÐB  2Ñ
 b) Dada , calcule , y 0ÐBÑ œ $ %B 0Ð+Ñ 0Ð+  "Ñ 0Ð+Ñ  0Ð"Ñ
 c) Dada , calcule , y 0ÐBÑ œ $B  ( 0Ð-Ñ 0Ð-  2Ñ 0Ð-  2Ñ  0Ð-Ñ#
 d) Dada , calcule , , , y 0ÐCÑ œ ) 0Ð Ñ 0ÐC Ñ 0ÐC  $Ñ 0Ð  "!Ñ 0ÐC  2Ñ"C
#
 a) Dada , calcule , , y 0Ð?Ñ œ #?  $? & 0Ð!Ñ 0Ð  Ñ 0ÐB  2Ñ 0ÐB  2Ñ  0ÐBÑ# "B
50.- Dada evalúe y grafique
si 
si 
si 
1ÐBÑ œ
%B $  # Ÿ B  !
" B ! Ÿ B Ÿ #
( B  #
Ú
ÛÜ # 
 , , , , , , , y 1Ð"Ñ 1Ð#Ñ 1Ð  #Ñ 1Ð!Ñ 1Ð  Ñ 1Ð&Ñ 1Ð"Ñ 1Ð#  2Ñ 1Ð#  2Ñ"# 
51.- Si pruebe que .C œ 0ÐBÑ œ B œ 0ÐCÑB"B"
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52.- Evalúe y simplifique 
0ÐB2Ñ0ÐBÑ
2 donde y .0ÐBÑ œ $B  #B % 2 Á !
#
53.- Determine el dominio de cada función:
 0Ð>Ñ œ >  $>  ( HÐ:Ñ œ 0ÐBÑ œ KÐ>Ñ œ $ &> 2Ð>Ñ œ# ; ; ; ; #:$:" B$
B * "
&#>
# È È
54.- Un detallista puede comprar naranjas al mayorista a los siguientes precios: $200 por kilo si
 adquiere 20 kilos o menos; $150 por kilo en el caso de cantidades por encima de 20 kilos y hasta
 de 50 kilos y $120 por kilo para cantidades mayores de 50 kilos. Determine el costo deGÐBÑ
 adquisición de kilos de naranjas.B
55.- La ecuación de demanda del producto de una compañía es , en donde unidades#:  $B œ "' B
 pueden venderse al precio pesos cada una. Si el costo de producir unidades es de: B
 pesos, exprese la utilidad como función de:Ð"!!  #BÑ Y 
 a) La demanda b) El precio B :
56.- Determine el valor mínimo o máximo, según el caso, de las siguientes funciones:
 a) b) 0ÐBÑ œ #B &B 0ÐBÑ œ $B  B "# #
57.- El costo promedio por unidad (en dólares) al producir unidades de cierto artículo esB
 . Qué número de unidades producidas minimizarían el costoGÐBÑ œ #!  !ß !'B !ß !!!#B#
 promedio?
58.- Calcule la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las dos funciones y en cada uno0 1
de los ejercicios siguientes. Determine además los dominios de las funciones resultantes.
 a) 0ÐBÑ œ B  " 1ÐBÑ œ B 0ÐBÑ œ "  B 1ÐBÑ œ# , b) ,È È #B"B#
59.- Complete el siguiente cuadro:
0ÐBÑ B B  % B
1ÐBÑ "  B B " B $ " B  "
0 ‰ 1
0 ‰ 1
1 ‰ 0
# #
#
 
"
B" 
¸ ¸
È È 
Ð
Ð
Ð
Ñ
Ñ
Ñ
Ð  "Ñ
ÐBÑ
Ð>Ñ
60.- Resuelva las siguientes ecuaciones
 a) b) c) 691 ÐB  #Ñ  691 Ð#B (Ñ œ $ Ð!ß )"Ñ œ !ß #% # œ $
$ $
8 B" #$B
8
61.- La ecuación de demanda de cierto artículo está dada por con el número de: œ "!!!/ B
 B#!
 unidades que pueden venderse al precio de $ cada una.:
 Grafique la curva de demanda. ¿Cuántas unidades, a la unidad más próxima, pueden venderse si
 el precio por unidad es de $ ? ¿A qué precio por unidad se venderán 80 unidades?"! :
62.- Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales:
B" $B #B% &B $B#
B % B ) B %B# $ % #
# '
; ; 
# "$B B
B #B " B #B $B *B %% # $ # #; ; 
63.- Use la siguiente tabla
B  "!  "!  "! ! "! "! "!
cb
# $ & % # "
=/8Ð#BÑ
=/8Ð&BÑ
para "adivinar" el valor exacto de . Recuerde usar su calculadora en mode rad.637
BÄ!
=/8Ð#BÑ
=/8Ð&BÑ
64.- Ahora haga lo mismo que en el ejemplo anterior para:
 y .637 637
BÄ" BÄ_
ÈÈB"B" %B (B%!%#B$
#
# 
65.- Calcule (si existe) , para las y indicados:637 0ÐBÑ 0ÐBÑ -
BÄ-
„
„
 a) , b) ,0ÐBÑ œ &B  (B % - œ  # 0ÐBÑ œ - œ &# B $B"!B&
#
 c) , d) ,0ÐBÑ œ - œ % 0ÐBÑ œ - œ $
ÈB#
B% B *
B#
#

 e) 0ÐBÑ œ - œ  "B   "
B  $ B    "
 B "B"
#
si
si
 
 #

 f) 0ÐBÑ œ - œ  "B   "
B  $ B    "
 B "B"
#
si
si
 
 #

 j) , 0ÐBÑ œ - œ _(B &B"!%$B
# "!!!
#
66.- La mayoría de los ejercicios han sido seleccionados del texto "MATEMÁTICAS APLICADAS a la
Administración, Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Tercera Edición, de los autores Jagdish C.
Arya y Robin W. Lardner" por lo que al estudiante entusiasta le sugerimos complementar esta
modesta guíacon los ejercicios propuestos en los libros.