7 Principios básicos de la mecánica cuántica - Jesús Enrique Santiago García

Vista previa del material en texto

Principios básicos de la mecánica cuántica
Dualidad onda-corpúsculo (De Broglie)
De Broglie unifica las dos teorías existentes sobre la luz, la clásica que consideraba a la luz como una onda y la corpuscular de Einstein. “Cada partícula lleva asociada una onda” cuya longitud es:
Así, los electrones, cuya masa es muy pequeña, tienen un onda asociada apreciable de forma que, siendo “r” el radio de su órbita: 2 πr = n λ, sien “n” un número natural, de forma que sólo algunas órbitas concretas estarían permitidas.
Principio de incertidumbre
En el mundo clásico podemos medir con precisión la cantidad de movimiento y la posición de una partícula. Sin embargo, en el mundo cuántico estas magnitudes se ven afectadas por una incertidumbre que impide conocer simultáneamente sus valores. El conocimiento de la posición de la partícula produce un desconocimiento en su cantidad de movimiento o velocidad. Llamando Δx a la incertidumbre en la posición y Δp a la incertidumbre en su cantidad de movimiento, podemos escribir la expresión del principio de incertidumbre como sigue:
Para entender mejor esta idea, imaginemos que estamos interesados en observar el electrón del átomo de hidrógeno. Para ello debemos enviar un fotón, de longitud de onda adecuada, que choque contra el electrón y regrese a nuestros ojos. El problema está en que dicho fotón es tan energético que cambiará el estado en el que se encuentra dicho electrón, llegando incluso a ionizar el átomo. Resumiendo, no podemos observar las partículas cuánticas sin modificarlas. Obviamente los objetos macroscópicos no presentan este problema, bombardear con fotones una pelota de tenis no cambia su estado de movimiento.
En este principio se afirmaba que era imposible establecer con precisión tanto la posición como la energía de un electrón, así como su trayectoria específica.
Ejemplo. ¿Cuál es la incertidumbre en la velocidad de un haz de protones cuya posición se conoce con la incertidumbre de 24 nm?
Función de onda. Ecuación de Schrödinger
Erwin Schrödinger (Físico austriaco 1887-1961), descubridor de la ecuación que lleva su nombre y creador de la mecánica ondulatoria.
Afirmaba que todo sistema mecano cuántico viene representado por una función de onda (). Esta función contiene toda la información disponible sobre el sistema. Se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger.
Significado de la función de onda
El cuadrado del valor de la función de onda () en un punto es la medida de la probabilidad de encontrar a la partícula en ese punto.
El valor de cualquier propiedad definida de un sistema se puede calcular a partir de su función de onda.
Si una propiedad no tiene un valor bien definido en un sistema, la probabilidad de que una medida de la misma nos dé un valor determinado se puede calcular a partir de su función de onda.
El átomo de hidrógeno
Al resolver la ecuación de Schrödinger se obtiene como soluciones una serie de funciones de onda. Cada una de esas funciones de onda se denomina orbital. Cada orbital lleva asociados tres números enteros (números cuánticos) que lo identifican: n, l, m. Por ejemplo:  (2, 1, 1).
El orbital es la zona de espacio donde hay una probabilidad superior al 90% de encontrar al electrón.
Límites de aplicabilidad de la mecánica clásica y origen de la física relativista
Física clásica y Física relativista
A fines del siglo XIX se pensaba que en el campo de la Física se contaba con las leyes suficientes para comprender todos los fenómenos de la naturaleza. Con las teorías desarrolladas hasta entonces, se explicaban los fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos, el comportamiento de los gases, la electricidad, el magnetismo, etc. Sin embargo, se habían observado algunos fenómenos que no se explicaban por completo mediante los principios de la Física Clásica, entre otros: la luz, que se consideraba de origen ondulatorio también presentaba propiedades de partícula. En la mecánica de Newton, los conceptos de longitud, tiempo y masa no siempre eran absolutos. En 1864 Maxwell concentró todos los fenómenos estudiados de la electricidad y el magnetismo en una teoría basada en cuatro ecuaciones. Estas ecuaciones además de explicar la relación entre ambos fenómenos, podían predecir la existencia de las ondas electromagnéticas, así como su velocidad en términos de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio. Para el vacío su velocidad es independiente de la longitud de onda y coincide con la velocidad de la luz. Se concluía entonces, que la luz es una onda electromagnética dentro del espectro visible.
Aunque Einstein conocía los intentos de detectar el éter, lo que llamó su atención fue que las ecuaciones de Maxwell indicaban que las leyes de la electricidad y el magnetismo son las mismas para todos los observadores inerciales. Además, Einstein sospechaba que la electricidad y el magnetismo debían ser manifestaciones de un mismo fenómeno basado en dos experimentos: si se mueve un imán en el interior de una espira se genera una corriente eléctrica y si se deja el imán quieto y se mueve la espira ocurre lo mismo. Para Einstein, la física implicada en ambos experimentos debía ser la misma pues estaba convencido de que lo importante es el movimiento relativo. Esto le inspiró en la teoría de la relatividad especial.
Relatividad Galileana-Newtoniana
La teoría especial de la relatividad de Einstein trata de la forma en que se desarrollan los eventos observados desde diferentes marcos de referencia. Galileo y Newton ya habían estudiado el movimiento utilizando los marcos de referencia inerciales mediante el principio de relatividad donde se cumple la primera ley de Newton.
Este principio afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales y se aplica en diferentes situaciones de la vida, como al caminar en un vagón de tren que se mueve, se puede estudiar el movimiento en dos marcos de referencia uno sobre el vagón en movimiento y otro en Tierra. En ambos casos el movimiento de desarrolla según el marco de referencia donde se encuentre el observador.
En la figura 1 se representa otra situación para este principio. Una persona deja caer una moneda en un automóvil en movimiento. Las imágenes superiores muestran el momento de liberación de la moneda, las inferiores ilustran un momento posterior. a) En el marco de referencia del automóvil, la moneda cae en línea recta hacia abajo (y el árbol se mueve hacia la izquierda). b) En un marco de referencia fijo sobre la Tierra, la moneda tiene una velocidad inicial (igual a la del auto) y sigue una trayectoria curva (parabólica).
Figura 1
La trayectoria que sigue la moneda es diferente según el marco de referencia. Las mismas leyes de gravedad y de movimiento se aplican en ambos marcos de referencia. La aceleración de la moneda es la misma en ambos casos. La diferencia es que, en el marco de referencia de la Tierra, la moneda tiene una velocidad inicial (igual a la del automóvil). Por lo tanto, las leyes de la física predicen que seguirá una trayectoria parabólica como cualquier proyectil. En el marco de referencia del automóvil, no hay velocidad inicial, y las leyes de la física predicen que la moneda caerá en línea recta hacia abajo. Las leyes son las mismas en ambos marcos de referencia, aunque las trayectorias específicas son diferentes.
La relatividad galileana-newtoniana implica ciertas suposiciones, que las longitudes de los objetos son las mismas en un marco de referencia y en otro, y que el tiempo transcurre de igual forma en diferentes marcos de referencia. Entonces, en la mecánica clásica, los intervalos de espacio y tiempo se consideran absolutos: su medición no cambia de un marco de referencia a otro. La masa de un objeto, así como todas las fuerzas, se suponen invariables por un cambio en un marco de referencia inercial.
En la segunda mitad del siglo XIX surgió una complicación. La teoría del electromagnetismo de Maxwell predijo con éxito que la luz era una onda electromagnética. Las ecuaciones de Maxwell establecieron la velocidadde la luz c como 3x108 m/s. Entonces surgió la pregunta: ¿en qué marco de referencia la luz tiene precisamente el valor predicho por la teoría de Maxwell? Se supuso que la luz tendría una rapidez diferente en distintos marcos de referencia. Por ejemplo, si algunos observadores viajaran en una nave espacial con una rapidez de 1x108 m/s alejándose de una fuente de luz, uno esperaría que ellos midieran la rapidez de la luz que los alcanza en (3x108 m/s) – (1x108 m/s) = 2x108 m/s. Pero las ecuaciones de Maxwell no prevén la velocidad relativa. Las ecuaciones predicen que la rapidez de la luz es c = 3x108 m/s, lo que parece implicar que debe haber algún marco de referencia especial donde c tendría este valor.
Los físicos del siglo XIX visualizaron el mundo material en términos de las leyes de la mecánica, de manera que para ellos era natural suponer que la luz también debía viajar en algún medio. A este medio transparente lo llamaron éter y supusieron que permeaba todo el espacio. En consecuencia, se supuso que la velocidad de la luz dada por las ecuaciones de Maxwell debía darse con respecto al éter.
Los científicos se dieron a la tarea de determinar la rapidez de la Tierra en relación con este marco absoluto. Se diseñaron varios experimentos. El más directo lo realizaron A. A. Michelson y E.W. Morley en la década de 1880. Ellos midieron la diferencia en la rapidez de la luz en distintas direcciones con el interferómetro de Michelson. Esperaban encontrar una diferencia que dependiera de la orientación de sus aparatos con respecto al éter. Así, tal como un bote tiene diferentes rapideces relativas con respecto a la Tierra cuando se mueve corriente arriba, corriente abajo o a través de la corriente, del mismo modo se esperaría que la luz tuviera diferentes rapideces dependiendo de la velocidad del éter que pase por la Tierra. Al no detectar diferencia en absoluto fue uno de los grandes enigmas a finales del siglo XIX.
Experimento de Michelson y Morley
El experimento fue diseñado para medir la rapidez del éter con respecto a la Tierra. Se esperaba encontrar un marco de referencia absoluto, uno que pudiera considerarse en reposo. Una de las posibilidades consideradas fue que el éter estaba fijo en relación con el Sol. Si éste fuera el caso, la rapidez de la Tierra en su órbita alrededor del Sol (aproximadamente 3x104 m/s) produciría un cambio de 1 parte en 104 en la rapidez de la luz (3x108 m/s). A.A. Michelson, con la ayuda de E.W. Morley, pudo usar su interferómetro para medir la diferencia en la rapidez de la luz en diferentes direcciones con precisión, (Figura 2).
El inciso a) es un diagrama del interferómetro de Michelson, y se supuso que el “viento de éter” se desplazaba con rapidez v hacia la derecha. (De manera alternativa, se supuso que la Tierra se movía hacia la izquierda con respecto al éter, con rapidez v). La luz proveniente de la fuente se divide en dos haces mediante un espejo semi-plateado MS.
Un haz viaja hacia el espejo M1 y el otro hacia el espejo M2. Los haces se reflejan en M1 y M2 y se unen de nuevo después de pasar a través de MS. Los haces ahora superpuestos interfieren entre sí y observador ve la resultante como un patrón de interferencia.
Si ocurre interferencia constructiva o destructiva en el centro del patrón de interferencia depende de las fases relativas de los dos haces después de que recorren sus trayectorias separadas. Una analogía es un bote viajando de arriba abajo a través de un río cuya corriente se desplaza con rapidez ν, (inciso b). En agua tranquila, el bote puede viajar con rapidez c.
Considerando primero el haz 2 en el inciso (a), que viaja paralelo al “viento de éter”. En su trayecto de MS a M2, la luz viajaría con rapidez c + v, de acuerdo con la física clásica; tal como en el caso de un bote que viaja corriente abajo (inciso b), se agrega la rapidez del agua del río a la rapidez del bote (en relación con el agua) para obtener la rapidez del bote en relación con la orilla. Como el haz recorre una distancia l2, el tiempo que tarda en ir de MS a M2 es t = l2 /(c + v). Para hacer el viaje de regreso de M2 a MS, la luz se desplaza contra el viento de éter (como el bote que va corriente arriba), así se espera que su rapidez relativa sea c – v.
El tiempo para el viaje de regreso sería l2 /(c - v).El tiempo total para que el haz 2 vaya de MS a M2 y de regreso a MS es
Considerando el haz 1, que viaja a través del viento de éter. Aquí la analogía del bote (b) es especialmente útil.
El bote va del embarcadero A al embarcadero B directamente a través de la corriente. Si va directamente, el flujo de la corriente lo arrastrará corriente abajo. Para llegar al embarcadero B, el bote debe dirigirse en un ángulo corriente arriba. El ángulo preciso depende de las magnitudes de c y v. El inciso (c) de la figura indica cómo calcular la velocidad ὑ ́ del bote en relación con la Tierra conforme cruza la corriente.
Como c, v y ὕ forman un triángulo recto, se tiene que. 
 El bote tiene la misma rapidez cuando regresa. Si ahora se aplican estos principios al haz de luz 1 en el inciso (a), se espera que el haz viaje con rapidez para ir de MS a M1 y de regreso. La distancia total recorrida es 2l1, así que el tiempo requerido para que el haz 1haga el viaje redondo sería
Si l1 = l2 = l1 se ve que el haz 2 se retrasará con respecto al haz 1 por una cantidad
Si v = 0, entonces Δt = 0, y los dos haces regresarán en fase, pues inicialmente estaban en fase. Pero si v ≠ 0, entonces Δt ≠ 0 y los dos haces regresarán fuera de fase. Si se pudiera medir este cambio de fase de la condición v = 0 a la de v ≠ 0, entonces se podría determinar v.
Pero la Tierra no se puede detener. No debe suponerse que las longitudes no resultan afectadas por el movimiento y, por consiguiente, que l1 = l2.
Michelson y Morley se dieron cuenta de que podían detectar la diferencia de fase (suponiendo que v ≠ 0) si giraban su aparato 90°, porque entonces el patrón de interferencia entre los dos haces debía cambiar. En la posición girada, el haz 1 ahora se movería paralelo al éter y el haz 2 perpendicular al éter. Por lo tanto, los roles podrían invertirse, y en la posición girada los tiempos (primas) serían:
El retraso de tiempo entre los dos haces en la posición no girada (sin prima) sería
En la posición girada, la diferencia de tiempo sería
Cuando se realiza la rotación, las franjas del patrón de interferencia se correrían una cantidad determinada por la diferencia:
Esta expresión se simplifica considerablemente si se supone que v/c << 1. En este caso se puede usar el desarrollo binomial, de manera que
Suponiendo que v = 3x104 m/s, la rapidez de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. En los experimentos de Michelson y Morley, los brazos l1 y l2 fueron tuvieron aproximadamente 11 m de largo. La diferencia de tiempo sería entonces alrededor de
Para luz visible con longitud de onda λ = 5.5x10-7 m, la frecuencia sería f = c/λ = (3.0x108 m/s) /5.5x10-7m) = 5.5x1014 Hz, lo cual significa que las crestas de onda pasan por un punto cada 1/(5.5x1014 Hz) = 1.8x10-15 s. Por lo tanto, con una diferencia de tiempo de 7.3x10-16 s, Michelson y Morley deberían notar un movimiento en el patrón de interferencia de (7.3x10-16 s) /(1.8x10-15 s) = 0.4 franjas. Ellos podían detectar fácilmente esto, pues su aparato era capaz de observar un corrimiento de franjas tan pequeño como de 0.01 franjas. Pero, no se encontró corrimiento significativo de franjas, colocaron su aparato en varias orientaciones.
Realizaron observaciones día y noche, de manera que tuvieran varias orientaciones con respecto al Sol (por la rotación de la Tierra). Intentaron en diferentes estaciones del año (la Tierra en diferentes posiciones por su órbita alrededor del Sol). Nunca observaron un corrimiento significativo de franjas. La explicación de esto se dio hasta que Einstein propuso la teoría especial de la relatividad.
Postulados de la teoría especial de la relatividad
En su ensayo de 1905, Einstein propuso deshacerse por completo de la idea del étery la suposición acompañante de un marco de referencia en reposo preferido o absoluto. Esta propuesta tomó cuerpo en dos postulados. El primero fue una extensión del principio de relatividad galileano-newtoniano para incluir no sólo las leyes de la mecánica, sino también las del resto de la física, incluidas las de la electricidad y el magnetismo:
Primer postulado (el principio de relatividad): Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales.
Segundo postulado (constancia de la rapidez de la luz): La luz se propaga a través del espacio vacío con una rapidez definida c independiente de la rapidez de la fuente o el observador.
Estos constituyen los fundamentos de la teoría especial de la relatividad de Einstein.
Simultaneidad
Una consecuencia importante de la teoría de la relatividad es que no se puede considerar al tiempo como una cantidad absoluta. El intervalo de tiempo entre dos eventos, e incluso si dos eventos son o no simultáneos, depende del marco de referencia del observador.
Supongamos que un observador, llamado O, se ubica exactamente a la mitad entre los puntos A y B, donde ocurren dos eventos, (figura 3).
Los dos eventos son relámpagos que caen en los puntos A y B. Para eventos breves como los relámpagos, sólo
cortos pulsos de luz viajarán hacia fuera desde A y B, y llegarán a O. El observador O “ve” los eventos cuando
los pulsos de luz llegan al punto O. Si los dos pulsos llegan a O al mismo tiempo, entonces los dos eventos
tuvieron que ser simultáneos. Esto se debe a que los dos pulsos de luz viajaron con la misma rapidez y, puesto
que la distancia OA es igual a OB, el tiempo para que la luz viaje de A a O y de B a O debe ser el mismo.
Entonces el
observador O puede afirmar que los dos eventos ocurrieron simultáneamente. Por otra parte, si O ve la luz de
un evento antes que la del otro, entonces el primer evento ocurrió primero.
Si dos eventos son simultáneos para un observador en un marco de referencia, ¿también son simultáneos para otro observador que se mueve con respecto al primero? Llamemos a los observadores O1 y O2 y supongamos que están fijos en los marcos de referencia 1 y 2 que se mueven con rapidez relativa v uno con respecto al otro.
Estos dos marcos de referencia se pueden considerar como dos trenes (figura 4). O2 dice que O1 se mueve hacia la derecha con rapidez v, como en la figura (a); y O1 dice que O2 se mueve hacia la izquierda con rapidez v, como en la figura (b). Ambos puntos de vista son legítimos de acuerdo con el principio de la relatividad. Ahora supongamos que los observadores O1 y O2 observan y miden dos impactos de relámpagos (Figura 5). Los relámpagos marcan ambos trenes en los puntos adonde llegan: en A1 y B1 en el tren de O1, y en A2 y B2 en el tren de O2, (a). Supongamos que O1 está exactamente a medio camino entre A1 y B1, y que O2 está a medio camino entre A2 y B2. Póngase primero en el marco de referencia de O2, de manera que se observe que O1 se mueve a la derecha con rapidez v. Supongamos también que los dos eventos ocurren simultáneamente en el marco de O2, y justo en el instante cuando O1 y O2 están opuestos uno con respecto al otro, (a). Poco tiempo después, (b), la luz proveniente de A2 y de B2 llega a O2 al mismo tiempo (esto se supuso). Puesto que O2 sabe que las distancias O2A2 y O2B2 son iguales, O2 sabe que los eventos son simultáneos en el marco de referencia O2.
Desde el marco de referencia de O2, se ve que O1 se mueve hacia la derecha durante el tiempo que la luz viaja hacia O1 desde A1 y B1. Desde el marco de referencia O2 se puede ver que la luz proveniente de B1 ya pasó a O1, mientras que la luz proveniente de A1 todavía no llega a O1. Esto es, O1 observa la luz proveniente de B1 antes de observar la luz que viene de A1. Puesto que la luz viaja con la misma rapidez c en cualquier dirección y en cualquier marco de referencia, y la distancia O1A1 es igual a O1B1, entonces el observador O1 sólo puede concluir que el evento en B1 ocurrió antes que el evento en A1. Los dos eventos no son simultáneos para O1, aun cuando lo sean para O2.
Por lo tanto, dos eventos que tienen lugar en diferentes ubicaciones y son simultáneos para un observador, no son simultáneos para un segundo observador que se mueve en relación con el primero. Se puede concluir que la simultaneidad no es un concepto absoluto, sino relativo.
Dilatación del tiempo
El hecho de que dos eventos simultáneos para un observador puedan no ser simultáneos para un segundo observador sugiere que el tiempo en sí no es absoluto. En la teoría de la relatividad de Einstein se predice que el tiempo transcurre de manera diferente en dos marcos de referencia distintos. En la siguiente situación se explica esto.
La figura 6 ilustra una nave espacial que pasa por la Tierra a alta rapidez. El punto de vista de un observador en la nave espacial se muestra en el inciso a), y el de un observador en la Tierra en el inciso b). Ambos observadores tienen relojes precisos. La persona en la nave espacial (inciso a) emite un destello de luz y mide el tiempo que la luz tarda en viajar directamente a través de la nave espacial y regresar después de reflejarse en un espejo. En el marco de referencia de la nave espacial, la luz recorre una distancia 2D con rapidez c; de manera que el tiempo requerido para ir de ida y vuelta, que se denotará como Δt0, es Δt0 = 2D/c.
El observador en la Tierra (inciso b), observa el mismo proceso. Pero, para este observador, la nave espacial está en movimiento. De esta manera, la luz recorre la trayectoria diagonal a través de la nave espacial, se refleja en el espejo y regresa al emisor. Aunque la luz viaja con la misma rapidez para este observador, recorre una mayor distancia. Por lo tanto, el tiempo requerido, según mide el observador en la Tierra, será mayor que el medido por el observador en la nave espacial.
Determinando el intervalo de tiempo Δt medido por el observador en la Tierra entre la emisión y la recepción de la luz. En el tiempo t, la nave espacial recorre una distancia 2 = v t, donde v es la rapidez de la nave espacial (inciso b). La luz recorre una distancia total sobre su trayectoria diagonal (teorema de Pitágoras) de donde l = v Δt/2. En consecuencia,
Elevando al cuadrado ambos lados,
y despejando Δt, se tiene
Al combinar esta ecuación para Δt con la fórmula anterior, Δt0 = 2D/c, se encuentra que:
Puesto que siempre es menor que 1, se ve que Δt > Δt0. Esto es, el intervalo de tiempo entre los dos eventos (el envío de la luz y su recepción en la nave espacial) es mayor para el observador en la Tierra que para el observador en la nave espacial.
Éste es un resultado de la teoría de la relatividad, y se conoce como dilatación del tiempo. En otras palabras, el fenómeno de dilatación del tiempo se refiere a que los relojes en movimiento relativo a un observador corren más lentamente (en comparación con los relojes en reposo relativo a ese observador).
El factor se representa por  , quedando la ecuación como donde
Dilatación del tiempo
Es retardo del tiempo (intervalos de tiempo más largos) como función de la velocidad.
Si una persona viaja a bordo de una nave espacial llevando consigo un reloj, este le indica un intervalo de tiempo Δt0 más corto que el intervalo de tiempo Δt medido en Tierra.
Ejemplo. Suponga que observamos una nave espacial que pasa frente a nosotros a 0.8c (2.4x108m/s). Medimos fuera de la nave el tiempo entre dos eventos consecutivos y registramos 1.67 segundos. ¿Qué tiempo mide una persona dentro de la nave?
Contracción de la longitud
No sólo los intervalos de tiempo son diferentes en distintos marcos de referencia. Los intervalos de espacio (longitudes y distancias) también son diferentes de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y esto se explica con la siguiente situación.
Observadores en la Tierra miran una nave espacial que viaja con rapidez v desde la Tierra hasta Neptuno, figura
7 (a). La distancia entre los planetas, medida por los observadores de la Tierra, esl0. El tiempo requerido para el viaje, medido desde la Tierra, es [observador en la Tierra]
En (b) se ve el punto de vista de los observadores en la nave espacial. En este marco de referencia, la nave espacial está en reposo; la Tierra y Neptuno se mueven con rapidez v. El tiempo entre la partida de la Tierra y la llegada a Neptuno (observada desde la nave espacial) es el “tiempo propio”, pues los dos eventos ocurren en el mismo punto en el espacio (es decir, en la nave espacial). En consecuencia, el intervalo de tiempo es menor para los observadores en la nave especial que para los observadores en la Tierra. Esto es, a causa de la dilatación del tiempo, el tiempo para el viaje, según se ve en la nave espacial, es [Observador en la nave espacial]
Puesto que los observadores en la nave espacial miden la misma rapidez, pero menos tiempo entre estos dos eventos, también miden la distancia como menor. Si se considera que  es la distancia entre los planetas, vista por los observadores de la nave espacial, entonces l = v Δt0, que se puede rescribir como
Por lo tanto, se tiene el importante resultado
Éste es otro resultado de la teoría especial de la relatividad y se aplica a longitudes de objetos, así como a distancia entre objetos. El resultado se puede enunciar de forma más sencilla como: La longitud de un objeto que se mueve en relación con el observador, es más corta a lo largo de su dirección de movimiento que cuando está en reposo.
Contracción de la longitud
Es el acortamiento de la longitud de un objeto en la dirección del movimiento.
Ejemplo. Cuando una nave se encuentra en reposo con respecto a nosotros su longitud es de 100 m, ¿qué longitud mediríamos cuando se moviera con respecto a nosotros con una velocidad de 0.8c?
Ejercicios. Dilatación del tiempo y contracción de la longitud
1. Hay una regla graduada azul de un metro a bordo de la nave A y una regla graduada roja de un metro a bordo de la nave B. Si la nave A rebasa a la B a 0.85c, ¿cuál será la longitud de cada regla a juicio de una persona que viaja en la nave A? Resp. LA = 1.00 m, LR = 52.7 cm
2. Una nave espacial pasa junto a un observador con una rapidez de 0.85c. Una persona que viaja en dicha nave observa que demora 6.0 s en cruzar su cabina de lado a lado. ¿Qué tiempo registraría el observador para el mismo evento? Resp. 11.4 s
Masa relativista
Para que la cantidad de movimiento lineal (ímpetu) se conserve, la masa debe variar en la misma proporción que la longitud y el tiempo.
Ejemplo. La masa en reposo de un electrón es 9.1x10-31kg, ¿cuál es la masa relativista si su velocidad es de 0.8c?
Equivalencia entre la masa y la energía
Einstein encontró una nueva relación entre masa y energía, y la sorprendente idea de que la masa es una forma de energía.
En mecánica clásica, el trabajo realizado por una fuerza no equilibrada que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la misma. En la mecánica relativista, se iguala la fuerza no equilibrada con la variación temporal de la cantidad e movimiento relativista. El trabajo realizado por una fuerza de este tipo puede calcularse e igualarse a la variación de la energía cinética. Como en la mecánica clásica, la energía cinética se define como el trabajo realizado por una fuerza no equilibrada para acelerar una partícula desde el reposo hasta cierta velocidad.
Einstein encontró que el factor de conversión es igual al cuadrado de la velocidad de la luz.
Para una partícula en reposo en un marco de referencia dado, EC es cero en la ecuación, de manera que la energía total es su energía en reposo, expresándose como:
E = mc2
Esta ecuación relaciona matemáticamente los conceptos de energía y masa. El significado físico es que la masa es convertible a otras formas de energía y viceversa.
Esto se ha confirmado experimentalmente en incontables ocasiones en física nuclear y de partículas elementales. Por ejemplo, un electrón y un positrón con frecuencia chocan y desaparecen, lo que produce radiación electromagnética pura. La cantidad de energía electromagnética producida es exactamente igual a la que predice la fórmula de Einstein. El proceso inverso también se observa comúnmente en el laboratorio: en ciertas condiciones, la radiación electromagnética se puede convertir en partículas materiales como los electrones. A mayor escala, la energía producida en las plantas nucleares es resultado de la pérdida de masa del uranio (que sirve como combustible) conforme éste experimenta el proceso llamado fisión.
Incluso la energía radiante que se recibe del Sol es un ejemplo; la masa del Sol continuamente disminuye conforme irradia energía electromagnética hacia el exterior.
Física nuclear
Las partículas que constituyen el átomo están unidas mediante la llamada interacción fuerte. Toda la materia está compuesta por las partículas fundamentales: electrones, protones y neutrones.
Los elementos
Cada elemento que forma parte de la materia se distingue por la cantidad de partículas fundamentales que lo constituyen y le proporcionan sus propiedades. Estos se presentan organizadamente en la Tabla periódica de los elementos de acuerdo con su número atómico y número de masa.
El número atómico (Z) es igual al número de protones.
El número de masa (A) es igual al número de nucleones (protones más neutrones).
Radiactividad
La fuerza que une las partículas en el núcleo es más intensa que la fuerza eléctrica entre los protones. En ocasiones algunas partículas son emitidas a partir del núcleo, se dice que dichos núcleos tienen una propiedad llamada radiactividad.
La radiactividad es un fenómeno por el cual los núcleos de algunos elementos emiten radiaciones.
Todos los elementos que en estado natural tienen número atómico mayor que 83 son radiactivos. Estos decaen o se desintegran hasta que desaparecen. También pueden producirse artificialmente núcleos inestables en los reactores nucleares.
Son tres principales emisiones radiactivas del núcleo:
Partículas Alfa (α). Es igual al núcleo de un átomo de Helio, consta de 2 protones y 2 neutrones. No tienen gran poder de penetración.
Partículas Beta (β). Son 2 clases: Beta positiva (β+) llamada positrón (misma masa que un electrón, pero con carga positiva) y Beta Negativa (β -).
Rayos Gamma (γ). Es una onda electromagnética de alta energía sin carga o masa. Es la radiación más penetrante.
Decaimiento radiactivo
Actividad R
Un material radiactivo continúa emitiendo radiación hasta que todos los átomos inestables del mismo han decaído. El número de núcleos inestables que decaen o se desintegran cada segundo se pueden predecir, para un isótopo determinado, en términos de probabilidad. Este número se conoce como actividad R.
Otra unidad es el Curie (Ci). Un Curie es la actividad de un material radiactivo que decae con una rapidez de 3.7x1010 desintegraciones por segundo.
Isótopos
Es posible que los átomos del mismo elemento tengan un núcleo que contenga diferente número de neutrones. Este tipo de átomo se llama isótopo.
Los isótopos son átomos que tienen el mismo número atómico Z pero diferente número de masa A. Por ejemplo, el carbono existe en diferentes formas
Vida media (T 1⁄2)
La vida media de un isótopo radiactivo es el lapso de tiempo en el que decae la mitad de sus núcleos inestables.
Por ejemplo, la vida media del Radio 226 es de 1620 años. 1 g de este isótopo decaerá a 0.5 g en 1620 años, a 0.25 g en 2x1620 años, a 0.125 g en 3x1620 años.
Se puede utilizar esta definición para determinar cuántos núcleos están presentes en un tiempo t.
Ejemplo. El isótopo radiactivo Plutonio 239 (239 94Pu) tiene una vida media de 24000 años. Si la actividad inicial de una muestra que contiene 1.64x1020 núcleos es 4 mCi. Determinar: ¿Cuántos núcleos quedan después de 73200 años?, b) ¿Cuál será la actividad después de ese tiempo?
Ejercicios. Vida media
1. La vida media del isótopo radiactivo Indio 109 es 4.3 hr. Si la actividad de una muestra es 1mCi al principio, ¿cuánta actividad persistirá después de 12.9 hr? Resp. 0.5 mCi, 0.25 mCi, 0.125mCi
2. La actividad inicial de una muestra constituida por 7.7x1011 núcleos de bismuto 212 es 4 mCi. La vida media de este isótopo es de 60 minutos. ¿Cuántos núcleos quedan después de 30 minutos?, ¿cuál es la actividad al final de este tiempo? Resp. 5.44 x 1011 núcleos, 2.83 mCi
Fusión y fisión nucleares
Reacciones nucleares
Son aquellos procesos donde se altera la composición de los núcleos atómicos liberando enormes cantidades de energía.
Fisión nuclear
Es un proceso de desintegración radiactiva de un núcleo inestable para producir núcleos menos pesados y más estables con la liberación de una enorme cantidad de energía.
Se logra mediante el bombardeo con partículas, generalmente neutrones, aceleradas con aparatos especiales (tales como el ciclotrón, betatrón y sincrotrón), que les proporcionan la energía cinética mínima necesaria como para que, al sufrir colisión con el núcleo, ocurra la ruptura, originando fragmentos atómicos y neutrones capaces de repetir el mismo proceso con otros átomos, produciendo de esta manera una reacción en cadena.
Fusión nuclear
Es una reacción termonuclear en la que dos núcleos livianos (núcleos de átomos de elementos de masa pequeña) se combinan, a temperaturas extremadamente elevadas, para dar origen a nuevos elementos con masas mayores y liberación de enormes cantidades de energía.
En la fisión y fusión nuclear sólo se altera la composición del núcleo; no así, la distribución de los electrones. La enorme cantidad de energía desprendida en el transcurso de estos procesos proviene de la masa de las partículas que intervienen en la reacción; es decir, una parte de la materia fisionable o fusionable se transforma en energía.
Generación de energía nuclear
El principal uso que se le da actualmente a la energía nuclear es el de la generación de energía eléctrica. Las centrales nucleares son las instalaciones encargadas de este proceso.
Prácticamente todas las centrales nucleares en producción utilizan la fisión nuclear ya que la fusión nuclear actualmente es inviable a pesar de estar en proceso de desarrollo.
El funcionamiento de una central nuclear es idéntico al de una central térmica que funcione con carbón, petróleo o gas excepto en la forma de proporcionar energía calorífica (calor) en el agua para convertirla en vapor. En el caso de los reactores nucleares este calor se obtiene mediante las reacciones de fisión nuclear de los átomos del combustible nuclear, mientras que en las otras centrales térmicas se obtiene energía térmica mediante la quema de uno o varios combustibles fósiles.
A nivel mundial el 90% de los reactores nucleares de potencia, es decir, los reactores destinados a la producción de energía eléctrica son reactores de agua ligera (en las versiones de agua a presión o de agua en ebullición). En ingeniería nuclear se denomina agua ligera al agua corriente
Para hacer funcionar una central nuclear se dispone de una gran variedad de tipos de reactores nucleares. Sin embargo, todos los tipos de reactores nucleares tienen un mismo objetivo: utilizar el calor de las reacciones de fisión nuclear para accionar las turbinas que van a generar electricidad.
De todos los tipos de reactores nucleares destacan dos: el reactor nuclear de agua a presión (PWT) y el reactor nuclear de agua en ebullición (BWR). El reactor de agua a presión es el más utilizado en el mundo y el que vamos a explicar simplificadamente a continuación.
Funcionamiento de una central nuclear de agua a presión
El principio básico del funcionamiento de una central nuclear con un reactor de agua a presión se puede simplificar en estos 4 pasos:
Obtención de energía térmica mediante la fisión nuclear del núcleo de los átomos (núcleo atómico) del combustible nuclear.
Generar vapor de agua mediante la energía térmica obtenida anteriormente en el generador de calor.
Accionar un conjunto de turbinas mediante el vapor de agua obtenido.
Aprovechar la energía mecánica de las turbinas para accionar un generador eléctrico. Este generador eléctrico generará electricidad.
Desde un punto de vista físico se observan varios cambios de energía: inicialmente tenemos energía nuclear (la que mantiene los núcleos de los átomos cohesionados), posteriormente, al romperse se convierte en energía térmica. Parte de la energía térmica se convierte en energía interna del agua al convertirse en vapor según los principios de la termodinámica. La energía interna y la energía calorífica del agua se transforman en energía cinética al accionar la turbina. Finalmente, el generador convierte la energía cinética en energía eléctrica.
Núcleo del reactor
El encargado de convertir la energía nuclear en energía térmica es el reactor nuclear. Él es el encargado de provocar y controlar estas fisiones atómicas que generarán una gran cantidad de energía calorífica (calor).
Con este calor se calienta agua para convertirla en vapor a alta presión y temperatura.
Generación de electricidad
El agua transformada en vapor a alta temperatura sale del edificio de contención debido a la otra presión a que está sometido hasta llegar a la turbina y hacerla girar. En este momento parte de la energía calorífica del vapor se transforma en energía cinética. Esta turbina está conectada a un generador eléctrico mediante el cual se transformará la energía cinética en energía eléctrica.
Por otra parte, el vapor de agua que sale de la turbina, aunque ha perdido energía calorífica sigue estando en estado gaseoso y muy caliente, por lo que hay refrigerar antes de volverlo a introducir en el circuito. Al salir de la turbina se dirige a un depósito de condensación donde estará en contacto térmico con unas tuberías de agua fría. El vapor de agua se vuelve líquido, y mediante una bomba se redirige nuevamente al reactor nuclear para volver a repetir el ciclo.
De ahí que las centrales nucleares siempre están instaladas cerca de una fuente abundante de agua fría (mar, río, lago), para aprovechar esta agua en el depósito de condensación. La columna de humo blanco que se puede ver saliendo de determinadas centrales es el vapor de agua que se provoca cuando se está intercambio de calor.