JS Bell - Lo decible y lo indecible en la mecanica cuantica-Alianza Editorial - Gina Solorzano (2)

Vista previa del material en texto

Lo decible y lo indecible 
en mecánica cuántica 
Lo decible y lo indecible 
en mecánica cuántica 
Recopilación de artículos sobre fiiosofía cuántica 
Alianza 
Editorial 
Título original: Speakable and unspeakable in quantum rnechanics 
@ Cambridge University Press, 1987 
@ Ed cast.: Alianza Editorial, S. A-, Madrid, 1990 
Calle Milán, 38, 28043 Madrid; teléf. 200 00 45 
ISBN: 84-2062661-9 
Depósito legal: M. 45.863-1990 
Fotocomposición: EFCA, S. A. 
Dr. Federico Rubio y Gall, 16. 28039 Madrid 
Impreso en Lavel. Los Llanos, nave 6. Humanes (Madrid) 
Printed in Spain 
Indice 
........................................................................... Introducción 
Lista de artículos sobre filosofía cuántica de J . S . Be11 ................. 
Prólogo ................................................................................... 
...................................................................... Agradecimientos 
Sobre el problema de las variables ocultas en la mecánica . ........................................................................... cuantica 
Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen ................. 
El aspecto moral de la mecánica cuántica ........................... 
Introducción a la cuestión de las variables ocultas .............. 
................................................................ Sujeto y objeto 
Sobre la reducción del paquete de ondas en el modelo de 
............................................................... Coleman-Hepp 
8 Indice 
Teoría de los beables locales ........................................ 89 
........... La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas 104 
................................. Cómo enseñar la relatividad especial 109 
Experimentos Einstein-Podolsky-Rosen .......................... 126 
La teoría de la medida de Everett y la onda piloto de 
........................................................................ de Broglie 141 
Variables libres y causalidad local ..................................... 149 
........... Fotones de cascada atómica y no localidad cuántica 155 
La teoría de de Broglie.Bohm. el experimento de la doble 
........... rendija con elección retardada y la matriz densidad 163 
.................................. Mecánica cuántica para cosmólogos 170 
Los calcetines de Bertlmann y la naturaleza de la realidad .. 197 
Sobre la imposible onda piloto ......................................... 221 
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica .................. 234 
Beables para la teoría cuántica de campos .......................... 238 
.................... . 20 Seis mundos posibles de la mecánica cuántica 249 
21 . Correlaciones EPR y distribuciones EPW ........................ 267 
22 . ¿Hay saltos cuánticos? ..................................................... 274 
A mis padres 
Introducción 
... Y BELL DIO LA CAMPANADA 
Einstein decía que la mecánica cuántica no podía ser una teoría 
completa ya que, de serlo, nos veríamos abocados a creer en la 
* - 
existencia de una «fantasmal acción a distancia», lo cual él pensaba 
haber desterrado para siempre de la física gracias a su formulación del 
principio de relatividad general. Por otro lado, Bohr se esforzaba en 
explicar que la *acción a distanciar que comporta la teoría cuántica no 
es de naturaleza dinámica y, por lo tanto, no viola el principio de 
relatividad. Ahora sabemos que, en esto último, Bohr tenía razón; 
pero sus argumentos ante los ataques de Einstein no eran excesiva- 
mente claros y su idea de la realidad física fluctuaba entre un 
pragmatismo puramente operacionalista y un idealismo un tanto 
vergonzante. 
Pero si la mecánica cuántica no fuera completa, jcómo podría 
 completars se^? (Desde luego, manteniendo tal cual sus aspectos 
estadísticos, en los que su poder predictivo y su «corrección~ son 
indiscutibles.) La idea que primero salta a la vista es la de introducir 
unas variables, «oculrás>> al nivel descriptivo de la mecánica cuántica, 
pero que podrían, en principio, hacerse manifiestas con el concurso de 
una eventual teoría más «básica». La mecánica cuántica tendría enton- 
ces el rango de .aproximación estadística. a una teoría de tipo 
determinista y objetivo. 
12 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Sin embargo esa idea - e l sueño de Einstein- no parecía ser en 
modo alguno realizable: von Neumann, en 1932, había probado un 
teorema que excluía la posibilidad de variables ocultas si se mantenían 
todos los aspectos puramente estadísticos de la mecánica cuántica (jY 
quién iba a poner eso en duda!). Una vez más en la historia de la 
ciencia, el argumento de autoridad se impuso; en esta ocasión de una 
manera ciertamente comprensible, toda vez que el prestigio matemáti- 
co de von Neumann era grande y no lo era menos el éxito <<práctico>> 
de la mecánica cuántica. De modo que cuando, en 1952, David Bohm 
construyó de manera explícita un sencillo modelo de variables ocultas 
que coincidía, en su dominio de aplicación, con la mecánica cuántica 
en todos los aspectos estadísticos de ésta, casi nadie se puso nervioso, 
y el trabajo de Bohm pasó entonces bastante desapercibido. Pero sí 
hubo unos pocos, los eternos nadadores contracorriente, que no 
abandonaron el tema. Entre ellos, algunos años más tarde, se encon- 
traba nuestro héroe, John Bell, que en 1964-65 aclaró -si se me 
permite el fácil juego de palabras- .por quién doblaban las campa- 
nas* : en otras palabras, puso los puntos sobre las íes en lo referente al 
debate teorías de variables ocultas versus mecánica cuántica. 
En esos años Be11 publicó dos trabajos -los primeros del presente 
volumen- que han de considerarse ya como verdaderas obras clásicas 
de la física teórica de nuestra época (aunque el año de publicación del 
primero en 1966, en realidad se envió a la revista en 1964; las razones 
de tal demora en su aparición no vienen al caso). En el primero se 
exponían, con una claridad ciertamente asombrosa, las causas del 
e f d l o ~ del teorema de von Neumann; lo cual al tiempo explicaba 
cómo Bohm había ~ o d i d o saltárselo olímpicamente al construir su 
modelo. Asimismo se ponían en su justo lugar teoremas más sofistica- 
dos, como el de Jauch-Piron y el poderoso, desde el punto de vista 
matemático, de Gleason. En este trabajo se barrunta ya el papel 
fundamental que ha de jugar la no-se~arabilidad para que una teoría 
de variables ocultas sea estadísticamente análoga a la mecánica cuánti- 
ca. Sin embargo, el análisis preciso y detallado de esta cuestión se lleva 
a cabo en el segundo artículo, en el que se deducen las hoy universal- 
mente famosas .desigualdades de Bell*. 
Un conocido físico teórico, Henry P. Stapp, profesor en la 
universidad californiana de Berkeley, ha llegado a afirmar que las 
desigualdades de Be11 constituyen el hallazgo más profundo de la 
historia de la ciencia (supongo que debe referirse a la ciencia pura). 
Ciertamente, esto es bastante exagerado, pero no cabe duda de la 
Introducción 13 
importancia de dichas desigualdades. Hasta su formulación, la cues- 
tión de si existe un mundo subcuántico, con las características de 
determinismo y objetividad ausentes en la teoría cuántica y del cual 
ésta de hecho proporcionaría una descripción puramente estadística, 
solía debatirse a niveles «peligrosamente» próximos a la metafísica. 
Be11 llevó el debate al terreno de la ciencia positiva: sus desigualdades 
son - c o n ciertos «perfeccionamientos» de tipo t é c n i c v suscepti- 
bles de verificación experimental y proporcionan un procedimiento 
para distinguir inequívocamente la mecánica cuántica de cualquier 
teoría de variables ocultas locales (es decir, que cumplan la propiedad 
tan anhelada por Einstein y sus seguidores). 
En el trabajo que se acaba de citar (como ya se ha dicho, el 
segundo de este libro), se consideraba el caso de variables ocultas 
perfectamente deterministas. La necesidad de determinismo estricto 
se elimina en el trabajocuarto del presente volumen, en donde se trata 
con variables ocultas que pueden poseer un carácter estocástico. Lo 
esencial es en definitiva la propiedad de localidad -o, mejor, separa- 
bilidad- de tales variables. En resumen: la característica esencial de la 
mecánica cuántica es la no-separabilidad, el hecho de que esta teoría 
contemple la existencia de *misteriosas>> correlaciones a distancia de 
una naturaleza absolutamente diferente de las correlaciones usuales o 
.clásicas>>. La peculiaridad de las correlaciones cuánticas, el ser instan- 
táneas y, por lo tanto, no trasmitirse de manera *dinámica>> entre los 
sistemas involucrados (y, no obstante, no provenir de propiedades 
comunes previas como es el caso en las correlaciones *clásicas>>) 
supone un auténtico rompecabezas para los interesados en la funda- 
mentación de la teoría cuántica. Si se lee con atención el artículo 
decimosexto de los presentados en este volumen se entenderá bien por 
qué. Es dicho artículo, .Los calcetines de Bertlmann y la naturaleza 
de la realidad., un exponente muy significativo de la agudeza de 
pensamiento y claridad de exposición de John Bell. 
Es indudable -él mismo así lo confiesa- la influencia sobre Be11 
de las ideas de Einstein acerca del carácter objetivo de la realidad 
física. Pero no puede pasar por alto -él menos que nadie- que los 
experimentos parecen confirmar el carácter no-separable de dicha 
realidad. (Cómo formular entonces una teoría análoga a la cuántica en 
el aspecto estadístico, pero que no necesite en su fundamentación del 
subjetivismo inherente a la observación, verdadera piedra angular de 
ésta última? Asegura Be11 en repetidas ocasiones en este libro que la 
base de una teoría tal fue establecida, hace más de sesenta años, por de 
14 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Broglie y posteriormente ampliada hasta cierto punto por Bohm: la 
llamada *interpretación de la onda-piloto>> o, también, .de la doble 
solución>>. Esta interpretación se describe en varios lugares del libro, 
sobre todo en el capítulo (artículo) decimoquinto. En otros dos 
artículos, Be11 expone su propia teoría de lo que él denomina ~ b e a - 
bles>> -en contraposición a observables-, que, aunque en un estadio 
aún primitivo, podría proporcionar una alternativa a la teoría cuántica 
de campos, con idéntico poder predictivo .estadístico* que ésta, pero 
con la ventaja de su formulación precisa. Sin embargo, aparte la 
dificultad de su desarrollo matemático, tal teoría tiene problemas muy 
serios en relación con la relatividad, que el propio Be11 presenta con 
toda crudeza (artículos 7 y 19). 
Querría ahora hacer un breve comentario sobre el título del libro. 
He preferido traducirlo literalmente -Speakable and unspeakabk in 
Quantum Mechanics, en inglés- aunque no sé si la palabra .decible>> 
es muy correcta en español (por boca de un experto me he enterado 
que puede usarse, sobre todo cuando se hace en contraposición a 
*indecible.); en cualquier caso, con ella se expresa de manera clara la 
idea del autor. Idea que se manifiesta a lo largo de toda la obra, pero 
que tal vez esté bien resumida en el siguiente párrafo del artículo que 
da el título al libro (el número 18) «El "Problema" entonces es éste: 
jcómo ha de dividirse el mundo en el aparato decible ... sobre el que 
podemos hablar y el sistema cuántico indecible sobre el que no 
podemos hacerlo? ... B. En casi todos los artículos del libro se plantea 
este problema de una u otra manera; de hecho, la teoría de los beables 
antes mencionada trata de resolverlo en el espíritu de de Broglie y 
Bohm. 
Para no hacer demasiado extensa esta introducción, añadiré sólo 
esto: el lector tiene en sus manos una recopilación de los trabajos 
esenciales de uno de los grandes filósofos cuánticos actuales - e n el 
sentido tradicionalmente dado a la filosofía natural-. Un físico 
teórico que, a la vez que profesional en su método de trabajo, parece 
«amateur* por su entusiasmo y por su valentía al apartarse de los 
senderos trillados y plantearse cuestiones que la mayoría de sus 
colegas creen, erróneamente, ya resueltas por las .autoridades cientí- 
ficas competentes* o, en términos del mismo Bell, por dos padres 
fundadores B. 
Cuando esta introducción ya se hallaba en pruebas, me llegó la 
noticia del inesperado fallecimiento de John Bell, en Ginebra el 
pasado mes de septiembre, a causa de un fulminante ataque cerebral. 
Introducción 15 
Con ocasión de tan triste suceso, resultaría superfluo el insistir en la 
opinión que como científico y como persona me merecía John Bell; 
creo haberla expresado con suficiente claridad en las líneas preceden- 
tes. 
José L. Sánchez Gómez 
Catedrático de Física Teórica 
Universidad Autónoma de Madrid 
J. S. BELL: ARTICULOS SOBRE FILOSOFIA 
CUANTICA 
O n the problem of hidden variables in quantum mechanics. 
Reviews of Modern Physics 38 (1966) 447-52. 
O n the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. Physics 1 (1964) 195- 
200. 
The moral aspect of quantum mechanics (con M. Nauenberg) In 
Preludes in Theoretical Physics, editado por A. De Shalit, H. Fesh- 
bach y L. Van Hove. North Holland, Amsterdam (1966), pp. 279-86. 
Introduction to the hidden-variable question. Foundations of 
Quantum Mechanics. Proceedings of the International School of 
Physics «Enrico Fermi~, course IL, New York, Academic (1971), 
pp. 171-81. 
On the hypothesis that the Schrodinger equation is exact. TH- 
1424-CERN octubre 27, 1971. Contribution to the International 
Colloquium on Issues in Contemporary Physics and Philosophy of 
Science, and their Relevance for our Society, Penn State University, 
September, 1971. Reproducido en Epistemological Letters, julio 1978, 
pp. 1-28, y aquí en forma revisada como 15. Omitido. 
Subject and Object. En The PhysicistJs Conception of Nature 
Dordrecht-Holland, D. Reidel (1973), pp. 687-90. 
Introducción 17 
O n wave packet reduction in the Coleman-Hepp model. Helveti- 
ca Pbysica Acta 48 (1975), 93-8. 
The theory of local beables. TH-2053-CERN, 1975 July 28. 
Presentado en Sixth GIFT Seminar, Jaca, 2-7 junio 1975, y reproduci- 
do en Epistemological Letters, marzo 1976. 
Locality in quantum mechanics: reply to critics. Epistemological 
Letters, Nov. 1975, pp. 2-6. 
How to teach special relativity. Progress in Scientific Culture, Vol. 
1, n." 2, verano 1976. 
Einstein-Podolsky-Rosen experiments. Proceedings of the Sympo- 
sium on Frontier Problems in High Energy Physics, Pisa, junio 1976, 
pp. 33-45. 
The measurement theory of Everett and de Broglie's pilot wave. 
In Quantum Mechanics, Determinism, Causality, and Particles, edita- 
do por M. Flato et al. Dordrecht-Holland, D. Reidel, (1976), pp. 11- 
77. 
Free variables and local causality. Epistemological Letters, febrero 
1977. 
Atomic-cascade photons and quantum-mechanical nonlocality. 
Comments on Atomic and Molecular Physics 9 (1980) pp. 121 -6. 
Charla invitada en Conference of the European Group for Atomic 
spectroscopy, Orsay-París, 10- 13 julio, 1979. 
De Broglie-Bohm, delayed-choice double-slit experiment, and 
density matrix. International Journal of Quantum Chemistry: Quan- 
tum Chemistry Symposium 14 (1980), 155-9. 
Quantum mechanics for cosmologists. In Quantum Grdvity 2, 
editores C. Isham, R. Penrose, y D. Sciama. Oxford, Clarendon Press 
(1981), pp. 611-37. Versión revisada de <<On the hypothesis that the 
Schrodinger equation is exact» (véase más arriba). 
Bertlmann's socks and the nature of reality. Journal de Physique, 
Colloque C2, suppl. al numero 3, tomo 42 (1981), pp. C2 41-61. 
O n the impossible pilot wave. Foundations of Physics 12 (1982)' 
pp. 989-99. 
18 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Comentarios 
introductorios en Naples-Ama& meeting, mayo 7, 1984. 
Quantum field theory without observers. Talk at Naples-Amalfi 
meeting, mayo 11, 1984. (Versión preliminar de aBeables for quan- 
tum field theory*.) Omitido. 
Beablesfor quantum field theory. 1984 agosto 2, CERN-TH. 
4035/84. 
Six possible worlds of quantum mechanics. Proceedings of the 
Nobel Symposium 65: Possible Worlds in Arts and Sciences. Estocol- 
mo, agosto 11-15, 1986. 
EPR correlations and EPW distributions. En New Techniques 
and Ideas in Quantum Measurement Theory (1986). New York 
Academy of Sciences. 
Are there quantum jumps? En Schrodinger. Centenary of a poly- 
math (1 987). Cambridge University Press. 
PROLOGO 
Simon Capelin, de Cambridge University Press, sugirió que le 
enviase mis artículos sobre filosofía cuántica y le permitiese recopilar- 
los en un libro. Así lo he hecho. Dichos artículos, del período 
1964-86, se presentan aquí en el orden en que fueron escritos, al 
menos en lo que puedo recordar. Pero ciertamente ése no es el orden, 
si hay alguno, en el que deberían ser leídos. 
Los artículos 18 y 20, *LO decible y lo indecible en la mecánica 
cuántica,, y .Seis mundos posibles de la mecánica cuántica~, son 
introducciones no-técnicas a la materia. Se ha intentado que sean 
inteligibles para los que no son físicos. Eso mismo ocurre con la 
mayor parte del artículo 16, xLos calcetines de Bertlmann y la 
naturaleza de la realidad>>, que trata del problema de la aparente 
acci6n a distancia. 
Para aquellos que conocen algo el formalismo cuántico, el artículo 
3, .Los aspectos morales de la mecánica cuántica., introduce el 
infame .problema de la medida>>. Agradezco a Michael Nauenberg, 
coautor del artículo, su permiso para incluirlo aquí. Al mismo nivel 
aproximadamente, el artículo 17, .Sobre la imposible onda piloto*, 
comienza la discusión de las «variables ocultas» y de las demostra- 
ciones de *imposibilidad>> relacionadas. 
20 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Discusiones más elaboradas del <<problema de la medidas aparecen 
en el artículo 6, «Sobre la reducción del paquete de ondas en el 
modelo de Coleman-Hepp», y en el 15, «Mecánica cuántica para 
cosmólogos~. Estos artículos muestran mi convicción de que, a pesar 
de las numerosas soluciones del problema «a todos los efectos prácti- 
cos>>, queda en pie un problema de principio. Este es el de colocar con 
~recisión el límite entre lo aue debe describirse mediante estados 
1 I 
ondulatorios cuánticos por un lado y en «términos clásicos» de Bohr 
por otro. La eliminación de este evasivo límite ha constituido siempre 
para mi la máxima atracción de la descripción de la <<onda-piloto*. 
Desde luego, a pesar de las indecibles <<pruebas de imposibilidad^, 
la descripción de la onda-piloto de de Broglie y Bohm existe. Más aún, 
en mi opinión, debería ser expuesta a todos los estudiantes, pues ello 
estimula la flexibilidad y precisión de pensamiento. En particular, 
ilustra muy explícitamente la intuición de Bohr sobre que el resultado 
de una amedidan no revela en general alguna propiedad preexistente 
del «sistema», sino que es un producto a la vez del «sistema» y del 
<<aparato>>. Creo que si esto se hubiera apreciado en su totalidad, la 
mayoría de las apruebas de imposibilidad. y la mayor parte de la 
<<lógica cuántica~ hubieran resultado inútiles. En los artículos 1 y 4, y 
también en el 17, se eliminan las <<pruebas de imposibilidad*. Exposi- 
ciones más constructivas de varios aspectos de la descripción de la 
<<onda-piloto>> se hallan en los artículos 1, 4, 11, 14, 15, 17 y 19. La 
mayor parte de esto es para la mecánica cuántica no relativista, pero el 
último artículo, el 19, <<"Beablesn para la teoría cuántica de camposB 
discute las extensiones relativistas. Mientras que se obtienen los 
resultados usuales para los tests experimentales de la teoría de la 
relatividad, es de lamentar que aparezca involucrado un sistema de 
referencia preferente por detrás de los fenómenos. En conexión con 
esto, se ha incluido un artículo, el 9, «Cómo enseñar la relatividad 
especial», aunque en él no se haga particular referencia a la mecánica 
cuántica. Creo que puede ser de ayuda en lo concerniente, a un nivel 
fundamental, al sistema de referencia preferente del artículo 19. 
Muchos estudiantes no caen jamás en la cuenta, así me lo parece, de que 
esta sencilla actitud, el admitir un sistema especial de referencia que es 
experimentalmente inaccesible, es consistente ... si bien poco refinada. 
Todo estudio de la teoría de la onda-piloto, cuando se considera 
más de una partícula, conduce en seguida a la cuestión de la acción a 
distancia, o uno-localidad>>, y a las correlaciones tipo Einstein- 
Podolsky-Rosen. Esto se trata brevemente en algunos de los artículos 
Prólogo 21 
mencionados y constituye el punto principal de la mayor parte del 
resto. Sobre esta cuestión, sugiero que incluso los expertos en teoría 
cuántica deberían empezar con el 16, «Los calcetines de Bertlmann y 
la naturaleza de la realidad., sin saltarse el material algo más técnico 
del final. Al repasar lo que tengo publicado sobre el asunto de la 
localidad, lamento no haber puesto nunca por escrito la versión del 
teorema de la desigualdad de la localidad que he venido usando en 
conferencias recientemente. Pero el lector puede reconstruirlo con 
facilidad. Empieza haciendo énfasis sobre la necesidad del concepto 
de ~beable local>> según las líneas de la introducción del artículo 7. (Si 
se examina la causalidad local en una teoría dada, ha de decidirse 
cuáles de las muchas entidades matemáticas que aparecen se suponen 
reales y estando aquí y no allá). Después se formula la condición de 
localidad más simple adjuntada al artículo 21 (en lugar de la condición 
más elaborada del 7). Con un argumento construido según el presen- 
tado en el 7, se llega de nuevo a la factorización de la probabilidad. La 
desigualdad de Clauser-Holt-Horne-Shimony se obtiene entonces 
como en el final del 16. 
Mi posición ante la interpretación de alos muchos mundos. de 
Everett-de Witt, bastante negativa, se expone en artículo 11, <<La 
teoría de la medida de Everett y la onda piloto de de Broglie* y en el 
15, <<Mecánica cuántica para cosmólogos~~. También hay algunas 
puntualizaciones en el artículo 20. 
Existe mucho solapamiento entre los artículos. Pero el encariiiado 
autor es capaz de ver algo distintivo en cada uno. Logré persuadirme 
de omitir tan sólo un par que fueron más tarde usados de nuevo con 
ligeras modificaciones. Las últimas versiones se incluyen como artícu- 
los 15 y 29. 
Para su reproducción aquí, se han corregido algunas erratas 
triviales y las referencias a apreprints. se han sustituido por las 
referencias a publicaciones en lo posible. 
En los artículos individuales he agradecido a muchos colegas su 
ayuda. Sin embargo doy aquí nuevamente mis más expresivas gracias 
a Mary Bell. Al hojear otra vez estos artículos, siento en todos ellos su 
presencia. 
J. S. Bell, Ginebra, marzo de 1987 
AGRADECIMIENTOS 
1 On the problem of hidden variables in quantum theory. Rev. 
Mod. Phys. 38 (1966) 447-52. Reproducido con permiso de The 
American Physical Society. 
2 On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. Physics 1 (1964) 195- 
200. Reproducido con permiso de The American Physical Socie- 
tY 
3 The moral aspect of quantum mechanics (with M. Nauenberg). 
En Preludes in Theoretical Physics, editado por A. De Shalit, H. 
Feshbach y L. Van Hove, North Holland, Amsterdam (1966) 
279-86. Reproducido con permiso de North-Holland Physics 
Publishing, Amsterdam. 
4 Introduction to the hidden-variable question. Proceedtngs of the 
International School of Physics "Enrico Fermi", course IL: Foun- 
dutions of Quantum Mechanics. New York, Academic (1971) 
171-81. Reproducido con permiso de Societi Italiana di Fisica. 
5 Subject and Object. En The Physicist's Conception of Nature, 
editado por J . Mehra. D. Reidel, Dordrecht, Holland (1973) 
687-90. Copyright @ 1973 por D. Reidel Publishing Company, 
Dordrecht, Holland. 
6 O n wave packet reduction in the Coleman-Hepp model. Helve- 
tica Physica Acta, 48 (1975) 93-8. Reproducido con permiso de 
Birkhauser Verlag, Basel.The theory of local beables. TH-2053-CERN, 1975 julio 28. 
Presentado en el sixth GIFT seminar, Jaca, 2-7 junio 1975, y 
reproducido en Epistemological Letters, marzo 1976. Reprodu- 
cido con permiso de la Asociación Ferdinand Gonseth. Este 
artículo también apareció en Dialectica 39 (1985) 86. 
Locality in quantum mechanics: reply to critics. Epistemological 
Letters, Nov. 1975,2-6. Reproducido con permiso de la Asocia- 
ción Ferdinand Gonseth. 
How to teach special relativity. Progress in Scientific Culture, 
Vol. 1, n." 2, verano 1976. Reproducido con permiso de Ettore 
Majorana Centre. 
Einstein-Podolsky-Rosen experiments. Proceedings of the sym- 
posimt on Frontier Problems in High Energy Physics. Pisa, junio 
1976, 33-45. Reproducido con permiso de Annali della Schola 
Normale Superiore di Pisa. 
The measurement theory of Everett and de Broglie's pilot wave. 
En Quantum Mechanics, Determinism, Causality, and Particles, 
editado por M . Flato et al. D. Reidel, Dordrecht, Holland, 
(1 976) 1 1-1 7. Copyright @ 1976 por D. Reidel Publishing Com- 
pany, Dordrecht, Holland. 
Free variables and local causality. Epistemological Letters, febre- 
ro 1977. Reproducido con permiso de Association Ferdinand 
Gonseth. Este artículo también apareció en Dialectica 39 (1985) 
103. 
Atomic-cascade photons and quantum-mechanical nonlocality. 
Cornrnents on atomic and Moleculav Physics 9 (1980) 121-26. 
Charla invitada en el Congreso de European Group for Atomic 
spectroscopy, Orsay-París, 10-13 julio, 1979. Reproducido con 
permiso del autor y editores. Copyright @ Gordon and Breach 
Science Publishers, Inc. 
De Broglie-Bohm, Delayed-choice double-slit experiment, and 
density matrix. Znternational Journal of Quantum Chemisty: 
Quantum Chemistry Symposium 14 (1980) 155-59. Copyright 
@ 1980 John Wiley and Sons. Reproducido con permiso de John 
Wiley and Sons, Inc. 
Quantum mechanics for cosmologists. En Quantum Gravity 2, 
editors C. Isham, R. Penrose, and D. Sciama. Clarendon Press, 
Oxford (1981) 611-37. Reproducido con permiso de Oxford 
University Press. 
Bertlmann's socks and the nature of reality. lourna1 de Physiq~e, 
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Colloque C2, suppl. al numero 3, tomo 42 (1981) C2 41-61. 
Reproducido con permiso de Les Editzons de Pbysique. 
17 On the impossible pilot wave. Foundations of Physics 12 (1982) 
989-99. Reproducido con permiso de Plenum Publishing Corpo- 
ration. 
18 Beables for quantum field theory. 1984 agosto 2, CERN-TI1 
4035/84. Reproducido con permiso de Routledge & Kegan Paul. 
19 Six possible worlds of quantum mechanics. Proceedings of tbe 
Nobk Symposilrm 65: Possible Worlds in Arts and Sciences. 
Estocolmo, agosto 11-15, 1986, editado por Sture Allén. Repro- 
ducido con permiso de la Fundación Nobel. 
20 EPR correlations and EPW distributions. In New Tecbniques 
and Ideas in Quanturn Measurement Tbeory (1986). Reproduci- 
do con permiso de New York Academy of Sciences. 
Capítulo 1 
SOBRE EL PROBLEMA DE LAS VARIABLES 
OCULTAS EN LA MECANICA CUANTICA+ 
1. Introducción 
El conocimiento del estado cuántico de un sistema implica, en 
general, sólo restricciones estadísticas sobre los resultados de las 
medidas. Parece interesante preguntar si este elemento estadístico 
debe considerarse que surge, como en la mecánica estadística clásica, 
debido a que los estados en cuestión son promedios sobre estados 
mejor definidos para los que los resultados estarían completamente 
determinados de modo individual. Estos hipotéticos estados <<sin 
dispersión>, vendrían especificados no sólo por el vector estado 
mecanocuántico sino además por <<variables ocultas>> adicionales; 
<<ocultas>> porque si pudieran prepararse estados con valores prescri- 
tos de estas variables, entonces la mecánica cuántica sería inadecuada a 
nivel observacional. 
Ha sido objeto de debate si esta cuestión es verdaderamente 
" Trabajo realizado con la ayuda de la Comisión Estadounidense de Energía 
Atómica, Stanford Linear Accelerator Center, Stanford University, Stanford, Califor- 
nia. 
26 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
interesante1* 2. El presente artículo no contribuye a ese debate. Está 
dirigido a los que encuentran interesante dicha cuestión y más parti- 
cularmente a aquellos de entre ellos que piensan que3 .la cuestión 
concerniente a la existencia de tales variables ocultas recibió una 
temprana y bastante decisiva respuesta en la forma de la prueba de 
von Neumann de la imposibilidad matemática de tales variables en la 
teoría cuántica*. Se intentará clarificar lo que realmente demostraron 
von Neumann y sus continuadores. Esto cubrirá, además del trata- 
miento de von Neumann, la versión reciente del trabajo de Jauch y 
Piron3 y el resultado más potente que es consecuencia del trábajo de 
Gleason4. Se hará hincapié en que esos análisis dejan intacta la 
cuestión real. Se verá, de hecho, que esas demostraciones requieren de 
los hipotéticos estados sin dispersión no sólo que conjuntos apropia- 
dos de ellos han de tener todas las propiedades medibles de los estados 
cuánticos, sino además algunas otras propiedades. Estas exigencias 
adicionales parecen razonables cuando se identifican vagamente resul- 
tados de medidas con propiedades de sistemas aislados. Se ve que no 
lo son cuando se recuerda con Bohr5 .la imposibilidad de cualquier 
distinción neta entre el comportamiento de los objetos atómicos y la 
interacción con los instrumentos de medida que sirven para definir las 
condiciones bajo las cuales aparecen los fenómenos.. 
La conciencia de que la prueba de von Neumann es de relevancia 
limitada ha ido ganando terreno desde el trabajo de Bohm de 1952~. 
Sin embargo se haila lejos de ser universal. Además, quien escribe no 
ha encontrado en la literatura ningún análisis adecuado de qué era 
incorrecto en dicha prueba7. Como todos los autores de artículos de 
revisión no hechos por encargo, él cree poder hacer una nueva 
exposición del tema con una claridad y simplicidad tales que todas las 
discusiones previas quedarán eclipsadas. 
2. Hipótesis y un ejemplo sencillo 
Los autores de las demostraciones que van a revisarse se preocupa- 
ron de hacer las mínimas suposiciones posibles acerca de la mecánica 
cuántica. Esto es de valor para ciertos propósitos, pero no para el 
nuestro. Sólo estamos interesados en la posibilidad de variables 
ocultas en mecánica cuántica y utilizaremos libremente todas las 
notaciones usuales. De este modo las demostraciones se abreviarán 
sustancialmente. 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 27 
Se supone que un «sistema» mecanocuántico tiene «observables» 
representados por operadores hermíticos en un espacio vectorial 
complejo. Toda .medida>> de un observable arroja como resultado 
uno de los autovalores del operador correspondiente. Los observables 
con operadores que conmutan pueden medirse simultáneamente8. Un 
*estado» mecanocuántico se representa mediante un vector en el 
espacio lineal de los estados. Para un vector estado q el valor esperado 
estadístico de un observable con operador O es el producto interno 
(v, OV)W9 
La cuestión a tratar es si los estados mecanocuánticos pueden ser 
considerados como conjuntos de estados que quedan ulteriormente 
especificados mediante variables adicionales, de modo que unos valo- 
res dados de esas variables junto con el vector estado determinen 
precisamente los resultados de medidas individuales. A estos hipotéti- 
cos estados bien especificados se les llama «sin dispersión*. 
En la discusión que sigue será útil tener en mente como un 
ejemplo sencillo un sistema con un espacio de estados bidimensional. 
Para ser específicos, considérese una partícula de espín - f sin 
movimiento traslacional. Un estado cuántico se representa mediante 
un vector estado de dos componentes, o espinor, V. Los observables 
están representados por matrices hermíticas 2 x 2 
donde a es un número real, B un vector real y o tiene las matricesde 
Pauli por componentes; se entiende que a va multiplicando la matriz 
por unidad. La medida de un observable da uno de los autovalores 
con probabilidades relativas que pueden inferirse de los valores 
esperados 
Puede dotarse a este sistema de un esquema de variables ocultas 
como sigue: los estados sin dispersión se especifican mediante un 
número real A, en el intervalo - f 6 A S i, junto con el espinor v. 
Para describir cómo A determina cuál de los autovalores proporciona 
28 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
la medida, notamos que mediante una rotación de coordenadas 
puede llevarse a la forma 
Sean &, By, & las componentes de $ en el nuevo sistema de 
coordenadas. Entonces la medida de a + $ a en el estado especifica- 
do por q~ y A tiene ciertamente por resultado el autovalor 
donde 
El estado mecanocuántico representado por q~ se obtiene mediante 
un promedio uniforme sobre A. Esto da el valor esperado 
como se requería. 
Ha de hacerse énfasis en que al parámetro A no se le atribuye aquí 
ningún significado físico y que no existe pretensión alguna de hacer 
una total reinterpretación de la mecánica cuántica. La única intención 
es mostrar que al nivel considerado por von Neumann tal reinterpre- 
tación no está excluida. Una teoría completa requeriría por ejemplo 
una descripción del comportamiento de las variables ocultas durante 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 29 
el proceso mismo de medida. Con o sin variables ocultas, el análisis 
del proceso de medida presenta dificultades peculiares8 y no entramos 
en él más que lo estrictamente necesario para nuestro muy limitado 
propósito. 
3. von Neumann 
Considérese ahora la demostración de von Neumann de que los 
estados sin dispersión, y así mismo las variables ocultas, son imposi- 
bles. Su hipótesis esenciallo es: toda combinación lineal real de dos 
operadores hermíticos cualesquiera representa un observable y la 
misma combinación lineal de valores esperados es el valor esperado de 
la combinación. Esto es cierto para los estados cuánticos; von Neu- 
mann requiere que lo sea también para los hipotéticos estados sin 
dispersión. En el ejemplo bidimensional de la Sección 2, el valor 
esperado ha de ser entonces una función lineal de a y p. Pero para un 
estado sin dispersión (que no tiene un carácter estadístico) el valor 
esperado de un observable ha de ser igual a uno de sus autovalores. 
Los autovalores (2) son con seguridad no-lineales en p. Por lo tanto, 
los estados sin dispersión son imposibles. Si el espacio tiene más 
dimensiones, siempre podemos considerar un subespacio bidimensio- 
nal; así pues la demostración es completamente general. 
La hipótesis esencial puede criticarse del modo siguiente: a prime- 
ra vista, la requerida aditividad de los valores esperados parece muy 
razonable y es más bien la no-aditividad de los valores permitidos 
(autovalores) la que necesita explicación. Por supuesto la explicación 
es bien conocida. No puede hacerse una medida de dos observables 
que no conmutan combinando trivialmente los resultados de observa- 
ciones separadas sobre los dos términos; requiere un experimento 
completamente distinto. Por ejemplo, la medida de q para una 
partícula magnética podría llevarse a cabo con un imán Stern-Gerlach 
orientado adecuadamente. La medida de a, requeriría una orientación 
diferente y la de (o, + o,) una tercera. Pero esta explicación de la 
no-aditividad de los valores permitidos establecía también la no- 
trivialidad de la aditividad de los valores esperados. Esta última es una 
propiedad muy peculiar de los estados cuánticos, que no debe espe- 
rarse se cumpla a priori. No hay razón alguna para demandarlo 
individualmente de los hipotéticos estados sin dispersión, cuya fun- 
30 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
ción consiste en reproducir las peculiaridades medibles de la mecánica 
cuántica cuando se promedia sobre ellos. 
En el trivial ejemplo de la Sección 2 los estados sin dispersión 
(especificados por A) tienen valores esperados aditivos sólo para 
operadores que conmutan. No obstante, ellos proporcionan predic- 
ciones precisas y lógicamente consistentes de los resultados de todas 
las posibles medidas, que al promediarse sobre A resultan completa- 
mente equivalentes a las predicciones cuánticas. De hecho, para este 
caso trivial, la cuestión de las variables ocultas en la manera informal 
planteada por von Neumann tiene respuesta afirmativa. 
Así pues la demostración formal de von Neumann no justifica su 
conclusión informal12: .No es por lo tanto, como frecuentemente se 
supone, una cuestión de interpretación de la mecánica cuántica; el 
sistema actual de ésta tendría que ser objetivamente falso para que 
fuera posible cualquier descripción de los sistemas elementales distin- 
ta de la estadística.. Las variables ocultas no eran invalidadas por las 
predicciones objetivas y medibles de la mecánica cuántica, sino me- 
diante la hipótesis arbitraria de una relación particular (e imposible) 
entre los resultados de medidas incompatibles cualquiera de las cuales 
podria hacerse en una ocasión dada pero sólo una de ellas puede 
realmente llevarse a cabo. 
4. Jauch y Piron 
Jauch y Piron3 han dado una nueva versión del argumento. De 
modo análogo a von Neumann, ellos están interesados en formas 
generalizadas de la mecánica cuántica y no presuponen la usual 
conexión de los valores esperados cuánticos con vectores estado y 
operadores. Nosotros sí la suponemos y abreviamos el argumento, 
pues aquí sólo nos conciernen las posibles interpretaciones de la 
mecánica cuántica ordinaria. 
Consideremos sólo observables representados por operadores de 
proyección. Los autovalores de estos operadores de proyección son O 
y 1. Sus valores esperados son iguales a las probabilidades de que 1 y 
no O sea el resultado de la medida. Para dos operadores, a y b, 
cualesquiera se define un tercero (a n b) como el operador de proyec- 
ción sobre la intersección de los subespacios correspondientes. Los 
axiomas esenciales de Jauch y Piron son los siguientes: 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 31 
(A) Los valores esperados de operadores de proyección que 
wnmutan son aditivos. 
(B) Si, para algún estado y dos proyectores a y b, 
( a ) = (b) = 1, 
entonces para dicho estado 
Jauch y Piron llegan a este axioma (4.O en su numeración) por 
analogía con el cálculo de proposiciones en la lógica ordinaria. Los 
proyectores son hasta cierto punto análogos a las proposiciones 
lógicas, con el valor permitido 1 correspondiendo a .verdad>> y el O a 
*falsedad>>, y la construcción (a n b) a (a ay* b). En lógica tenemos, 
por supuesto, que si a es cierta y b es cierta, entonces (a y b) es cierta. 
El axioma tiene idéntica estructura. 
Ahora podemos eliminar rápidamente los estados sin dispersión 
considerando un subespacio bidimensional. En éste los operadores de 
proyecciónason el cero, el operador unidad y los de la forma 
donde a es un 
esperado de un 
los proyectores 
vector unitario. En un estado sin dispersión el valor 
operador debe ser uno de sus autovalores, O y 1 para 
. Puesto que de (A) 
tenemos para los estados sin dispersión bien 
(f + + & - u ) = 1 o (+ -+&.a ) = 1. 
Sean a y 6 dos vectores unitarios cualesquiera y 
a = + & * - o , b = + + - $ . o , 
32 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
con los signos escogidos de modo que ( a ) = ( b ) = 1. Entonces (B) 
requiere 
Pero con a y 8 no colineales, se ve en seguida que 
así que 
Por lo tanto no puede haber estados sin dispersión. 
La objeción a esto es análoga a la de antes. En (B) no estamos 
tratando de proposiciones lógicas, sino de medidas que involucran, 
por ejemplo, imanes orientados de forma diferente. El axioma se 
cumple para los estados cuánticos". Sin embargo esto es una propie- 
dad muy peculiar de aquéllos, en modo alguno una necesidad lógica. 
Sólo los promedios cuánticos sobre estadossin dispersión son los que 
necesitan manifestar esta propiedad, como en el ejemplo de la Sección 
2. 
J. Gleason 
El notable trabajo matemático de Gleason no estaba explícitamen- 
te enfocado hacia el problema de las variables ocultas. Se dirigía a 
reducir la base axiomática de la mecánica cuántica. No obstante, como 
aparentemente permite obtener el resultado de von Neumann sin 
hfipótesis objetables sobre operadores no conmutativos, debemos sin 
duda considerarlo aquí. El corolario relevante del trabajo de Gleason 
es que, si la dimensionalidad del espacio de estados es mayor que dos, 
el requerimiento de aditividad para los valores esperados de operado- 
res conmutativos no puede satisfacerse por los estados sin dispersión. 
Primero probaremos esto y después discutiremos su significación. 
Debería señalarse que Gleason, mediante una argumentación más 
extensa, obtuvo más cosas, pero esto es todo lo que nos resulta 
esencial aquí. 
Basta considerar operadores de proyección. Sea P(@) el proyector 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 33 
sobre el espacio de Hilbert de estados @, Le., actuando sobre cual- 
quier vector q 
Si un conjunto @i es completo y ortogonal 
Puesto que los P(#i) conmutan, entonces por hipótesis 
x ( p ( @ i ) ) = 1. 
1 
Como el valor esperado de un proyector es no-negativo (cada 
medida arroja uno de los valores permitidos 3 ó 1) y puesto que dos 
vectores ortogonales cualesquiera pueden considerarse como miem- 
bros de un conjunto completo, tenemos: 
(A) Si con algún vector @, (P(@)) = 1 para un estado dado, 
entonces para ese estado (P(q)) = O para cualquier I/J ortogonal a @. 
Si q1 y % son otra base ortogonal del subespacio generado por 
ciertos vectores @1 y G2, entonces de (4) 
Como I/J, puede ser cualquier combinación de @1 y cP2, tenemos: 
(B) Si para un estado dado 
para algún par de vectores ortogonales, entonces 
para todo a y p. 
Usaremos ahora (A) y (B) repetidamente para establecer el si- 
34 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
guiente resultado: sean @ y v cienos vectores tales que para un 
estado dado 
En ese caso, @ y v no pueden ser arbitrariamente próximos; de 
hecho 
Para ver esto, normalicemos ~ l , y escribamos @ de la forma 
donde '1'' es ortogonal a V/J y normalizado y E es un número real. Sea 
ly' un vector normalizado ortogonal a y y>' (es aquí donde necesi- 
tamos al menos tres dimensiones) y entonces a @. Por (A) y (S), 
UwJ')) = 0, vw")) = 0. 
Así pues, por (B) y (6), 
donde y es un número real cualquiera, y, también por (B), 
Los vectores entre paréntesis en las dos últimas fórmulas son 
ortogonales; podemos pues sumarlos, usando de nuevo (B) 
(P(v + E(Y + Y-~)V) ) = 0. 
Ahora si E es menor que i, existen números reales y tales que 
Por lo tanto 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 
Los vectores f q!J" son ortogonales, sumándolos y usando (B) 
otra vez 
Esto contradice la hipótesis (5). Así pues 
como se anunciaba en (7). 
Considérese ahora la posibilidad de estados sin dispersión. Para 
tales estados cada proyector tiene valor esperado bien O ó bien 1. A 
partir de (4) resulta claro que deben darse ambos valores y, puesto que 
no existen otros posibles, deben existir pares q, # arbitrariamente 
cercanos con diferentes valores esperados O y 1, respectivamente. Pero 
acabamos de ver que tales pares no podían estar arbitrariamente 
cercanos. Consecuentemente los estados sin dispersión no existen. 
El que se deduzca tanto a partir de suposiciones aparentemente 
tan inocentes nos lleva a cuestionar su inocencia. ¿Los requisitos 
impuestos, satisfechos por los estados cuánticos, son razonables para 
los estados sin dispersión? Ciertamente no. Considérese la afirmación 
(B). El operador P(a& + BG2) conmuta con P(&) y P(G2) sólo si a ó 
es cero. Entonces la medida de P(a#, + /?&) requiere en general un 
dispositivo experimental completamente diferente. Podemos pues 
rechazar (B) con los argumentos previamente utilizados: relaciona de 
manera no trivial los resultados de experimentos que no pueden 
realizarse simultáneamente; los estados sin dispersión no precisan 
tener esta propiedad, basta con que la posean los promedios cuánticos 
sobre ellos. ¿Cómo es que (B) surgía como consecuencia de hipótesis 
en las que sólo se mencionaban explícitamente operadores conmutati- 
vos? EI peligro no estaba en las hipótesis explícitas sino en las 
implícitas. Se suponía tácitamente que la medida de un observable 
debe dar lo mismo independientemente de cuáles otras medidas 
puedan llevarse a cabo simultáneamente. Así, a la vez que por ejemplo 
P(@3) podría medirse ora P(+2) ó P(W*), donde @* y q2 son ortogona- 
les a +3, pero no lo son entre sí. Estas diferentes posibilidades 
requieren dispositivos experimentales diferentes; a priori no existe 
36 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
ninguna razón para creer que los resultados de medir P($I~) serían los 
mismos. El resultado de una observación puede depender razonable- 
mente no sólo del estado del sistema (incluyendo las variables ocul- 
tas), sino también de la disposición completa del aparato; véase la cita 
de Bohr al final de la Sección 1 . 
Para ilustrar estas puntualizaciones, hagamos una descomposición 
de variables ocultas muy artificial pero simple. Si consideramos todos 
los observables como función de proyectores que conmutan, bastará 
con tener en cuenta las medidas de estos últimos. Sea P,, P2, ... el 
conjunto de proyectores medidos por un aparato determinado y sean 
Al, A2 - A,, A3 - A*,... sus valores esperados para un estado cuántico 
dado. Como variable oculta tomamos un número real O < A S 1; 
especificamos que la medida en un estado con un A dado arroja el 
valor 1 para P, si A, - < A S A, y cero si no es así. El estado 
cuántico se obtiene mediante un promedio uniforme sobre A. N o 
existe contradicción con el corolario de Gleason, porque el resultado 
para un dado P, depende también de cómo se elija el resto. Por 
supuesto sería una tontería permitir que el resultado fuera afectado 
por una mera permutación de los demás Ps, así que especificamos que 
se toma el mismo orden (como quiera se defina) siempre que los Ps 
estén en el mismo conjunto. Tras una reflexión aumentará la impre- 
sión inicial de artificialidad de esto. Sin embargo, el ejemplo basta 
para mostrar que la suposición implícita en la demostración de 
imposibilidad era esencial para la conclusión de ésta. En la Sección 6, 
llevaremos a cabo una descomposición en variables ocultas más seria. 
6. Localidad y separabilidad 
Hasta ahora nos hemos resistido a formular peticiones arbitrarias 
sobre los hipotéticos estados sin dispersión. N o obstante, además de 
reproducir en promedio la mecánica cuántica, hay características que 
parece razonable desear en un esquema de variables ocultas. Estas 
seguramente deberían tener algún significado espacial y deberían 
evolucionar con el tiempo según leyes prescritas. Estos son prejuicios, 
pero es justamente esta posibilidad de introducir alguna (preferible- 
mente causal) imagen espacio-temporal entre la preparación de los 
estados y la medida sobre ellos lo que hace interesante para los no 
sofisticados la búsqueda de las variables ocultas2. Las ideas de espacio, 
tiempo y causalidad no son prominentes en el tipo de discusión que 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 37 
hemos estado considerando anteriormente. Hasta lo que sabe quien 
escribe, el más fructífero intento en esa línea es el esquema de Bohm 
de 1952 para la mecánica ondulatoria elemental. A modo de conclu- 
sión, lo expondremos en resumen y haremos hincapié en una curiosa 
característica suya. 
Considérese por ejemplo un sistema de dos partículas de espín 
- +. El estado cuántico se representa por una función de ondas, 
donde i y j son índices de espín que suprimiremos. Dicha función se 
rige por la ecuación de Schrodinger 
donde V es el potencial de interacciónentre las partículas. Por 
simplicidad hemos tomado partículas neutras con momentos magné- 
ticos y hemos supuesto que un campo magnético externo H represen- 
ta los imanes analizadores del espín. Las variables ocultas son enton- 
ces los vectores X1 y X2, que dan directamente los resultados de las 
medidas de ~osición. Otras medidas en última instancia se reducen a 
1 
medidas de posición15. Por ejemplo, medir una componente del espín 
significa observar si la partícula emerge con una desviación hacia 
arriba o hacia abajo de un imán Stern-Gerlach. Las variables X1 y X2 
se suponen distribuidas en el espacio de configuración con la densidad 
de probabilidad. 
apropiada para el estado cuántico. Consistentemente con esto, se 
supone que Xl y X2 varían con el tiempo de acuerdo con 
La característica curiosa es que las ecuaciones de las trayectorias 
(9) para las variables ocultas tienen en general un abultado carácter no 
38 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
local Si la función de ondas es factorizable previamente a que los 
campos analizadores se tornen efectivos (estando las partículas muy 
separadas entre sí) 
esta factorización se preservará. La ecuación (9) entonces se reduce a 
La ecuación de Schrodinger (8) también se separa y las trayectorias 
de X1 y X2 quedan determinadas separadamente por ecuaciones que 
involucran H(Xl) y H(Xi), respectivamente. Pero, en general, la 
función de ondas no puede ser factorizada. La trayectoria de 1 
depende entonces de forma complicada de la trayectoria y función de 
ondas de 2 y, por lo tanto, de los campos analizadores que actúan 
sobre 2, no lmporta lo remotos que estén de la partícula 1 . Así pues, 
en esta teoría existe un mecanismo causal explícito por el cual la 
disposición de una pieza del aparato influye sobre los resultados 
obtenidos con una pieza distante. De hecho, la paradoja de Einstein- 
Podolsky-Rosen se resuelve de la forma que habría agradado menos a 
Einstein (Ref. 2, p. 85). 
Con más generalidad, la descripción de un sistema dado suminis- 
trada por las variables ocultas se hace completamente diferente al 
recordar que el mismo ha interactuado indudablemente con otros 
muchos sistemas en el pasado y que la función de ondas total con toda 
seguridad no será factorizable. El mismo efecto complica la formula- 
ción de la teoría de la medida mediante variables ocultas, cuando se 
desea incluir parte del «aparato» en el sistema. 
Por supuesto, Bohm era muy consciente6 16-18 de estos aspectos 
de su esquema y les ha prestado mucha atención. Sin embargo, debe 
puntualizarse que, hasta lo que sabe el presente autor, no existe 
prueba alguna de que cualquier descripción de la mecánica cuántica 
mediante variables ocultas deba tener este extraordinario carácter19. 
Sería interesante, quizá1, el perseguir algunas apruebas de imposibili- 
Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica 39 
dad. ulteriores, sustituyendo los arbitrarios axiomas objetados más 
miba por alguna condición de localidad, o de separabilidad entre 
sistemas distantes. 
Agradecimientos 
Las primeras ideas de este artículo se concibieron en 1952. Agra- 
dezco sinceramente al Dr. F. Mandl las intensas discusiones manteni- 
das en esa época. Desde entonces estoy en deuda con otras muchas 
personas, y últimamente, y muy especialmente, con el Profesor J. M. 
Jauch. 
Notas y referencias 
1 Las siguientes obras contienen discusiones y referencias sobre el problema de las 
variables ocultas: L. de Broglie, Physicien et Penseur. Albin Michel, París 
(1953); W. Heisenberg, en Niels Bohrand the Development of Physics, W . Pauli. 
Ed. McGraw-Hill Book Co., Inc., Nueva York, y Pergamon Press, Ltd., 
Londres (1955); Obseniation and Interpretation, S. Korner, Ed. Academic Press 
Inc., Nueva York y Butterworths Scientific Publ., Ltd., Londres (1957); N. R. 
Hansen. The Concept of Positron. Cambridge University Press, Cambridge, 
Inglaterra (1963). Véanse también los diversos trabajos de D. Bohm citados más 
abajo y Be11 y Nauenberg8. Sobre el punto de vista de que las variables ocultas 
tienen poco interés, véanse especialmente las contribuciones de Rosenfeld a la 
primera y tercera de estas referencias, de Pauli a la primera, el artículo de 
Heisenberg y muchos pasajes en la obra citada de Hansen. 
2 A. Einstein, Philosopher Scientist, P. A. Schilp, Ed. Library of Living Philosop- 
hers, Evanston, 111. (1949). Las obras de Einstein aAutobiographica1 Notes» y 
«Reply to Criticsm sugieren que el problema de las variables ocultas tiene cierto 
interés. 
3 J. M. Jauch y C. Piron, Helv. Phys. Acta 36, 827 (1963). 
4 A. M. Gleason, J. Math. & Mech. 6, 885 (1957). Estoy muy agradecido al 
profesor Jauch por hacerme notar este trabajo. 
5 N . Bohr, en la Ref. 2. 
6 D. Bohm, Phys. Rev. 85, 166, 180 (1952). 
7 En particular al análisis de Bohm6 parece faltarle claridad, o al menos precisión. 
En él se hace énfasis por completo en el papel del dispositivo experimental. Sin 
embargo, parece implicarse (Ref. 6, p. 187) que para «rodear» el teorema se 
requiere la asociación de las variables ocultas con el aparato así como con el 
sistema observado. El. esquema de la Sección 2 es un contraejemplo de esto. 
Además, se verá en la Sección 3 que si la hipótesis esencial de aditividad de von 
Neumann se aceptara, las variables ocultas no serían útiles independientemente 
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
de dónde se localizaran. Las puntualizaciones ulteriores de Bohm en la Ref. 16 
(p. 95) y 17 (p. 358) tampoco son convincentes. Albertson cita obras críticas del 
teorema y rebate algunas de ellas (J. Albertson, Am. J. Phys. 29, 478 (1961)). 
8 Artículos recientes sobre el proceso de la medida en mecánica cuántica, con 
referencias adicionales, son: E. P. Wigner, Am. J. Phys. 31, 6 (1963); A. 
Shimony, Am. J. Phys. 31, 755 (1963); J. M. Jauch, Helv. Phys. Acta 37, 293 
(1964); B. D'Espagnat, Conceptions de la Physique Contemporaine. Hermann & 
Cie., París (1965); J. S. Be11 y M. Nauenberg, en Preludes in Theoretical Physics, 
in Honor of V. Weisskopf. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 
(1966). 
9 J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Julius 
Springer Verlag, Berlín (1932) (versión española: Fundamentos Matemáticos 
de la Mecánica Cuántica. Publicaciones del C.S.I.C., Madrid (1949)). (Traduc- 
ción inglesa: Princeton University Press, Princeton, N. J. (1955)). Todos los 
números de las páginas citadas se refieren a la edición en inglés. El problema se 
formula en el prefacio y en la pág. 209. La demostración formal ocupa esencial- 
mente las págs. 305-24 y es seguida por varias páginas de comentarios. Una 
exposición de la demostración en sí misma ha sido presentada por J. Albertson 
(véase Ref. 7). 
10 Contenida en los siguientes apartados del libro de von Neumann: B' (pág. 31 l), 1 
(pág. 313) y 11 (pág. 314). 
11 Referencia 9, pág. 209. 
12 Referencia 9, pág. 325. 
13 En el caso bidimensional ( a ) = ( b ) = 1 (para algún estado cuántico), es sólo 
posible si los dos proyectores son idénticos (a = 6). Entonces a n b = a = b y 
( a n b ) = ( a ) = ( 6 ) = 1. 
14 El ejemplo más simple para ilustrar la discusión de la Sección 5 sería entonces 
una partícula de espín 1, postulando una variedad suficiente de interacciones con 
campos externos que permita que conjuntos completos arbitrarios de estados de 
espín estén separados espacialmente. 
15 Hay claramente suficientes experimentos para que sea interesante lo que pueda 
realizarse así. N o entraremos en si existen experimentos de otro tipo. 
16 D. Bohm, Causality and Chance in Modern Physics. D. Van Nostrand Co. Inc., 
Princeton N. J. (1957). 
17 D. Bohm, en Quantum Theory, D. R. Bates, Ed. Academic Press Inc. Nueva 
York (1962). 
18 D. Bohm y Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1.070 (1957). 
19 Después de la finalización de este trabajo se ha encontrado tal prueba (J. S. Bell, 
Physics 1, 195 (1965)). 
capítulo 2 
SOBRE LA PARADOJADE EINSTEIN- 
PODOLSKY-ROSEN" 
l . Introducción 
La paradoja de Einstein, Podolsky y os en' se propuso como un 
argumento de que la mecánica cuántica no podía ser una teoria 
completa, sino que debía ser suplida con variables adicionales. Estas 
variables adicionales restaurarían la causalidad y localidad en la 
teoría2. En esta nota se formulará matemáticamente esa idea y se 
mostrará que es incompatible con las predicciones estadísticas de la 
mecánica cuántica. Es el requisito de localidad, o más precisamente el 
que el resultado de una medida sobre un sistema no se vea afectado 
por operaciones sobre un sistema distante con el cual haya interactua- 
do en el pasado, lo que crea la dificultad esencial. Ha habido intentos 
de probar que incluso sin tal requisito de se~arabilidad o localidad no 
es posible ninguna interpretación de wariables ocultas>>'. Se han 
examinado estos intentos en otro lugar y han sido encontrados 
defectuosos4. Más aún, ha sido explícitamente construida una inter- 
pretación de variables ocultas de la teoria cuántica elemental5. Esta 
* Trabajo financiado parcialmente por la Comisión de Energía Atómica de EE.UU. 
Departamento de Física, Universidad de Wisconsin, Madison, Wisconsin. 
42 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
interpretación particular tiene ciertamente una marcada estructura 
no-local. De acuerdo con el resultado que se probará aquí, esto es 
característico de cualquier teoría de ese tipo que reproduzca con 
exactitud las predicciones de la teoría cuántica. 
2. Formulación 
Con el ejemplo propugnado por Bohm y Aharonov6, la argumen- 
tación de EPR es como sigue. Considérese un par de partículas de 
espín 4 creadas de algún modo en el estado singlete de espín y que se 
mueven libremente según direcciones opuestas. Pueden hacerse medi- 
das, por ejemplo mediante imanes Stern-Gerlach, de proyecciones 
escogidas de los espines al y a2. Si midiendo la proyección al a, 
donde a es algún vector unitario, se obtiene el valor +1, entonces, 
según la mecánica cuántica, la medida de 0 2 a debe arrojar el valor 
-1 y viceversa. Ahora hacemos la hipótesis, y ésta parece al menos 
digna de ser considerada, que si se llevan a cabo dos medidas en 
lugares muy distantes entre sí la orientación de un imán no afecta el 
resultado obtenido con el otro. Puesto que podemos predecir el 
resultado de la medida de cualquier componente de q, se sigue que el 
resultado de tal medida ha de estar realmente predeterminado. Como 
la función de ondas cuántica inicial no determina el resultado de una 
medida individual, esta predeterminación implica la posibilidad de 
una especificación del estado más completa. 
Sean A los parámetros que efectúan la mencionada especificación. 
Resulta indiferente para lo que sigue que A denote una sola variable o 
un conjunto, o incluso un conjunto de funciones, y que las variables 
sean discretas o continuas. N o obstante, escribimos A como si fuera 
un solo parámetro continuo. El resultado A de medir al - a viene 
entonces determinado por a y A y el resultado B de medir q b en la 
misma ocasión viene determinado por b y A, y 
La hipótesis esencial2 es que el resultado B para la partícula 2 no 
depende del dispositivo a, del imán para la partícula 1, ni el A del b. 
Si @(A) es la distribución de probabilidad de A, entonces los valores 
esperados del producto de 10s componentes al a y q . b es 
Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen 
r 
Esto debe ser igual al valor esperado cuántico, que para el estado 
singlete es 
(a, -saz. b) = - a o b (3) 
Pero demostraremos que esto no es posible. 
Algunos preferirían una formulación en la cual las variables 
ocultas se agrupen en dos conjuntos, con A dependiente de uno de 
ellos y B del otro; esta posibilidad está contemplada arriba, ya que A 
representa cualquier número de variables y la dependencia de A y B 
con respecto a ellas no está restringida. En una teoría física completa 
del tipo previsto por Einstein, las variables ocultas tendrían significa- 
do físico y leyes de movimiento; en ese caso nuestras A pueden 
imaginarse como los valores iniciales de dichas variables en algún 
instante apropiado. 
3. Ilustración 
La prueba del resultado principal es muy simple. N o obstante, 
antes de re sentarla un conjunto de ilustraciones puede servir para 
ponerla en perspectiva. 
Primeramente, no hay ninguna dificultad en dar cuenta de las 
medidas del espín de una sola partícula. Supóngase una partícula de 
espín un medio en un estado de espín puro con una polarización dada 
por un vector unitario p. Sea la variable oculta (por ejemplo) un 
vector unitario 1 con distribución uniforme de probabilidad sobre la 
semiesfera 1 p > O. Es~ecifíquese que el resultado de la medida de 
una componente a - a es 
sign A a', (4) 
donde a' es un vector unitario que depende de a y p de un modo a 
especificar, y la función signo es + 1 ó -1 según sea el signo de su 
argumento. De hecho esto deja el resultado indeterminado cuando 
A a' = O, pero como la probabilidad de que se dé esto es cero no 
44 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
~rescribiremos nada especial para tal eventualidad. Promediando 
sobre A el valor esperado es 
donde 8' es el ángulo entre a' y p. Supóngase entonces que a' se 
obtiene a partir de a mediante una rotación hacia p hasta 
28' - COS e 
Jt 
donde 8 es el ángulo entre a y p. Entonces obtenemos el resultado 
deseado 
Así pues en este caso simple no hay ninguna dificultad en conside- 
rar que el resultado de cualquier medida viene determinado por el 
valor de una variable extra y que los aspectos característicos de la 
mecánica cuántica surgen porque el valor de dicha variable es desco- 
nocido en los casos individuales. 
En segundo lugar, no hay dificultad en reproducir, en la forma (2), 
las únicas características de (3) empleadas corrientemente en discusio- 
nes verbales acerca de este problema: 
Por ejemplo, sea A ahora el vector unitario A, con distribución de 
probabilidad uniforme en todas las direcciones y tomemos 
A(a, A) = sign a h 
B(a, b) = - sign b A 
Esto da 
Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen 45 
donde 6 es el ángulo entre a y b y la ec. (10) tiene las propiedades de la 
(8). Como comparación, considérese el resultado de una teoría modi- 
ficada en donde el estado puro singlete cambia en el transcurso del 
tiempo a una mezcla isótropa de estados producto; esto proporciona 
la función de correlación 
Probablemente es menos fácil, experimentalmente, distinguir (10) 
de (3) que (11) de (3). 
Al contrario que (3), la función (10) no es estacionaria en el valor 
mínimo -1 (para 6 = O). Se verá que esto es característico de las 
funciones del tipo (2). 
En tercer lugar, finalmente, no hay dificultad en reproducir la 
correlación cuántica (3) si se permite que los resultados A y B 
dependan de b y a respectivamente al tiempo que de a y b. Por ejemplo, 
sustitúyase en (9) a por a', obtenida a partir de a por rotación hacia b 
hasta 
2 1 - - = COS 6, 
n 
donde 6' es el ángulo entre a' y b. Sin embargo, para valores dados de 
las variables, los resultados de las medidas con un imán dependen de 
la disposición del imán distante, que es justo lo que desearíamos 
evitar. 
4. Contradicción 
Probaremos ahora el resultado principal. Puesto que e es una 
distribución de probabilidad normalizada, 
y debido a las propiedades (I), P en (2) no puede ser menor que - 1. 
Puede llegar a -1 para a = b sólo si 
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
excepto en un conjunto de puntos A de probabilidad nula. Aceptando 
esto, (2) puede reescribirse como 
P(a, b) = - dAp(A)A(a, A)A (b, A). I 
usando (I), 
que si c es otro vector unitario 
de donde 
El segundo término de la derecha es P(b, c), por lo que 
Salvo que P sea constante, el miembro de la derecha es en general 
de orden lb - cl para lb - cl pequeño. Entonces P(b, c) no puede ser 
estacionaria en el valor mínimo (- 1 en b = c) y no puede ser igual al 
valorcuántico (3). 
Tampoco la correlación cuántica (3) puede ser aproximada con 
precisión arbitraria por la forma (2). La demostración formal de esto 
puede desarrollarse como sigue. N o nos preocupamos de que la 
aproximación falle en puntos aislados, así que en lugar de (2) y (3) 
consideremos las funciones 
donde la barra denota el promediar independientemente P(af , b') y 
Sobre la paradoja de Einstein-Podoisky-Rosen 47 
-a' b' sobre los vectores a' y b' dentro de ángulos especificados 
pequeños alrededor de a y b. Supóngase que para todo a y b la 
diferencia está acotada por E: 
En dicho caso, se probará que E no puede ser arbitrariamente 
pequeño. 
Supóngase que para cualquier a y b 
Entonces de (16) 
donde 
IA(a,A)Isi y l B ( b , A ) I s l 
De (18) y (19), con a = b 
48 
Entonces usando (20) 
Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Ahora de (19) y (21) 
IP(a, b) - P(a, c)l 1 + P(b, c) + E + 8 
Finalmente, usando (1 8) 
l a - c - a - b l - ~ ( E + O ) S 1 - b . c + 2 ( ~ + 6 ) 
Tómese por ejemplo a c = O, a b = b c = 1/*. Entonces 
Por lo tanto, para 6 pequeño y finito, E no puede ser arbitraria- 
mente pequeño. 
En consecuencia, el valor esperado cuántico no puede ser repre- 
sentado, ni exactamente ni con un grado arbitrario de aproximación, 
en la forma de la ecuación (2). 
. Generalización 
El ejemplo discutido más arriba tiene la ventaja que requiere poca 
imaginación el concebir que las medidas involucradas como llevadas 
realmente a cabo. 
De un modo más formal7, suponiendo que todo operador Hermí- 
tic0 con un conjunto completo de estados es un nobservable~, el 
resultado se extiende fácilmente a otros sistemas. Si los espacios de 
Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen 49 
estados de los dos sistemas son de dimensión mayor que 2, podemos 
considerar siempre subespacios bidimensionales y, en su producto 
directo, definir operadores a, y a2 formalmente análogos a los 
gxeviamente usados y que son cero para los estados fuera del subespa- 
cio producto. Entonces para un estado cuántico al menos, el estado 
esinglete. en los subespacios combinados, las predicciones estadísti- 
cas de la mecánica cuántica resultan incompatibles con una predeter- 
minación separable. 
6. Conclusión 
En una teoría en la que se añaden parámetros a la mecánica 
cuántica para determinar los resultados de medidas individuales, sin 
cambiar las predicciones estadísticas, debe existir un mecanismo por 
el que la colocación de un aparato de medida pueda influir en el 
resultado proporcionado por otro instrumento no importa lo remoto 
que se encuentre. Además, la señal involucrada ha de propagarse 
instantáneamente, de modo que tal teoría no podría ser invariante 
Lorentz. 
Si las predicciones de la mecánica cuántica tienen una validez 
limitada, la situación es por supuesto diferente. Concebiblemente, 
aquéllas podrían ser aplicadas sólo a experimentos en los que los 
dispositivos se montan con la suficiente anticipación como para 
permitir que establezcan una relación mutua por intercambio de 
señales con velocidades menores o iguales que la de la luz. En relación 
con esto, experimentos del tipo propuesto por Bohm y Aharonov6, en 
los que los montajes se cambian estando las partículas en vuelo, 
resultan cruciales. 
Agradecimiento 
Estoy en deuda con los Drs. M. Bander y J. L. Perring por 
discusiones muy útiles sobre este problema. La primera versión de 
este artículo se escribió durante una estancia en la Universidad 
Brandeis; agradezco a mis colegas allí y en la Universidad de Wiscon- 
sin por su interés y hospitalidad. 
50 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Notas y referencias 
1 A. Einstein, N. Rosen y B. Podolsky, Phys. Rev. 47, 777 (1935); véase también 
N. Bohr, Phys. Rev. 48,696 (1935), W. H. Furry, Phys. Rev 49,393 y 476 (1936) 
y D. R. IngIis, Rev. Mod. Phys. 33, 1 (1961). 
2 &Pero, en mi opinión, una suposición ha de mantenerse a toda costa: la situación 
real de hecho del sistema S2 es independiente de lo que se haga con el sistema S,, 
el cual está separado espacialmente del anterior.» A. Einstein en Albert Einstein, 
Philosopher Scientist, editado por P. A. Schilp, p. 85, Library of Living Philoso- 
phers, Evanston, Illinois (1949). 
3 J. von Neumann, Mathematiscbe Grundlagen der Quanten-mecbanik, Verlag 
Julius Springer, Berlin (1932), (Traducción al inglés: Princeton University Press, 
1955; al español: Publicaciones del C.S.I.C., 1949) J. M. Jauch y C. Piron, 
Helv. Phys. Acta 36, 827 (1963). 
4 J. S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966). 
5 D. Bohm, Phys. Rev. 85, 166 y 180 (1952). 
6 D. Bohm y Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1.070 (1957). 
7 P. A. M. Dirac, Tbe Principies of Quantum Mechanics (3." edición), p. 37. The 
Clarendon Press, Oxford (1947) (Edición española: Editorial Ariel, Barcelona, 
1965). 
102 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
Este artículo ha intentado ser bastante explícito y general en la 
cuestión de la localidad, siguiendo líneas sólo esbozadas en previas 
publicaciones (Refs. 2, 4, 10, 19). En lo que se refiere a la literatura 
sobre esta materia, soy particularmente consciente de haberme benefi- 
ciado del artículo de Clauser, Horne y Shimony3, en donde se 
presentó el prototipo de (16), y del de Clauser y Horne16. Junto con 
un análisis general de la materia, este último contiene una valiosa 
discusión de cuán bien puede aplicarse la desigualdad en la práctica; a 
él debo en particular el advertir el hecho de que en las desintegracio- 
nes a dos cuerpos (en comparación con las de a tres) las ineficacias 
geométricas básicas entran en (22) de un modo relativamente inocuo. 
Me he beneficiado también de muchas discusiones sobre el tema con 
el Prof. B. d7Espagnat. 
Referencias 
N. Bohr, en Albert Einstein, Ed. Schilpp, Tudor (1). 
J. S. Bell, Physics 1, 195 (1965). 
J. F. Clauser, R. A. Holt, M. A. Horne y A. Shimony, Phys. Rev. Letters 23,880 
(1969). 
J . S. Bell, en Proceedings of the Int. School of Physics Enrico Fermi, Academic 
Press (1971). 
R. Friedberg (1969, no publicado) citado en M. Jammer". 
E. P. Wigner, Am. J. Phys. 38, 1005 (1970). 
B. d'Espagnat, Conceptual Foundations of Quantum Mechamis, Benjamin 
(1 971). 
K. Popper, en Perspectives in Quantum Theory, Eds. W. Yourgrau y A. van der 
Merwe, M.I.T. Press (1971). 
H. P. Stapp. Phys. Rev. D3, 1303 (1971). 
J. S. Bell, Science 177, 880 (1972). 
P. M. Pearle, Phys. Rev. D2, 1418 (1970). 
J. H. McGuire y E. S. Fry, Phys. Rev. D7, 555 (1972). 
J. Freedman y E. P. Wigner, Foundations of Physics 3, 457 (1973). 
J. Belinfante, A Survey of Hidden Variable Theories, Pergamon (1973). 
V . Capasso, D. Fortunato y F. Selleri, Int. J. Theor. Phys 7, 319 (1973). 
J. F. Clauser y M. A. Horne, Phys. Rev. D 10, 526 (1974). 
M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics, Wiley (1974). Véanse en 
particular las referencias a T. D. Lee (pág. 308) y R. Friedberg (págs. 244, 309, 
324). 
D. Gutkowski y G. Masotto, Nuovo Cimento 22B, 1921 (1974). 
J. S. Bell, en The Physicist's Conception of Nature, Ed. J. Mehra y D. Reidel 
(1973). 
Teoría de los beables locales 1 03 
20 B. dYEspagnat, Phys. Rev. D11, 1424 (1975). 
21 G. Corleo, D. Gutkowski, G. Masotto y M. V. Valdés, Nuovo Cimento B25, 
413 (1975). 
22 H. P. Stapp, Nuovo Cimento B29, 270-6 (1975). 
23 D. Bohm y B. Hiley, Foundations of Physics 5, 93-109 (1975). 
24 A. Baracca, S. Bergia y M. Restignoli, en Conf. on Few Body Problems, Quebec, 
Agto. 1974, 68-9. Quebec. Laval Univ. Press (1975). 
25 A. Baracca, D. J. Bohm, R. J. Hiley y A. E. G. Stuart, Nuovo Cimento 28B, 
453-66 (1 975). 
26 Para un resumen de los experimentos, véase el artículo número 10 del presente 
libro. 
Capítulo 8 
LA LOCALIDAD E N MECANICA CUANTICA: 
REPLICA A CRITICAS 
El editor me ha pedido replique a un artículo, de G. Lochak', que 
refuta un teorema mío sobre variables ocultas. Silo entiendo correcta- 
mente, Lochak encuentra que de alguna manera no logré tener en 
cuenta el efecto del equipo de medida sobre esas variables. Intentaré 
explicar por qué no estoy de acuerdo. Aprovecharé también la 
oportunidad para comentar sobre otra refutación2, por parte de L. de 
la Peña, A. M. Cetto y T. A. Brody, y sobre otra más debida a L. de 
Broglie3. Todavía otra refutación, por J. Bub4, del mismo teorema ha 
sido refutada a su vez por S. Freedman y E. P. Wigner5. 
Recordemos un contexto típico en el cual este teorema es relevan- 
te. Un <<par de partículas de espín +>> se produce en una región 
espacio-temporal 3 y activa unos sistemas de contadores, precedidos 
por imanes Stern-Gerlach, en las regiones espacio-temporales 1 y 2. 
El sistema en 1 es tal que uno de los dos contadores (*hacia arriba» o 
«hacia abajo>>) registra cada vez que se hace el experimento: corres- 
pondientemente denotamos aquí el resultado por A (= + 1 ó - 1). 
Análogamente el sistema en 2 es tal que uno de los dos contadores 
registra cada vez que se hace el experimento, dando B (= + 1 ó - 1 ). 
Estamos interesados en las correlaciones entre las cuentas 1 y 2 y 
definimos una función de correlación 
La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas 1 05 
que es el promedio sobre muchas repeticiones del experimento del 
producto de A y B. 
Cierto que sería mejor dar una descripción puramente operacional 
y en términos tecnológicos macroscópicos del equipo involucrado. 
Esto evitaría completamente el uso de palabras como «espín» y 
 partícula^, anulando así la posibilidad de que alguien se sienta 
obligado a formarse una imagen microscópica de lo que sucede. Pero 
llevaría mucho tiempo el dar tal especificación puramente tecnológica. 
Así, pues, ruego se acepte que las palabras <<partícula* y <espín. se 
usan aquí como parte de una taquigrafía convencional, para invocar 
sin una larga descripción explícita la clase de equipo experimental que 
entra en juego, y sin compromiso de ningún tipo con descripción 
alguna de lo que realmente origina, si lo hay, que los contadores 
entren en operación. 
Supóngase que parte de la especificación del equipo se realiza 
mediante dos vectores 5 y b (e. g. las direcciones de ciertos campos 
magnéticos en 1 y 2). Entonces según la mecánica cuántica ordinaria 
existen situaciones para las que 
con buena precisión. 
Realmente es esta última afirmación la recusada por de Broglie. 
Aunque su artículo tiene por título .Sur la réfutation du théoreme de 
Bell~, no concierne de hecho ningún razonamiento mío. El es de la 
opinión que la función de correlación (1) sencillamente no puede 
darse para separaciones macroscópicas, ni en la naturaleza ni en la 
mecánica cuántica común: «Nous échappons complktement ii cette 
objection puisque, pour nous, les mesures du spin sur des électrons 
éloignés ne sont pas corrélées>>". En lo que se refiere a la mecánica 
cuántica ordinaria, de Broglie no está aquí de acuerdo con la mayoría 
de estudiosos de la materia, y no me siento capaz de entender sus 
razones para ello. Por lo que a la naturaleza se refiere, tampoco parece 
estar de acuerdo con el experimento6. 
Investigamos ahora la hipótesis de que el estado final del sistema, en 
particular A y B, quedarían totalmente determinados por las ecuacio- 
:"«Nos libramos completamente de esta objeción ya que, para nosotros, las 
medidas del espín sobre electrones alejados no están correlacionadas». (N. del T.) 
1 06 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
nes de alguna teoría si se especificaran completamente las condiciones 
iniciales. Entonces, a los parámetros como a y b, sujetos a manipula- 
ción experimental, añadimos una lista de parámetros <<ocultos,, a. 
Podemos considerar que estos últimos son los valores iniciales (diga- 
mos justo después de la acción de la fuente) de algunas correspondien- 
tes variables dinámicas. No nos interesa lo que les suceda a éstas más 
tarde salvo en tanto que entren en los resultados experimentales A y 
B. Pero, en tanto en cuanto así lo hagan, tenemos completamente en 
cuenta el efecto del equipo de medida permitiendo que A y B depen- 
dan no sólo de los valores iniciak A de los parámetros ocultos sino 
también de los parámetros 2 y b, que especifian los dispositivos de 
medida: 
NO tenernos necesidad de inquirir la naturaleza precisa de esta 
dependencia en a y b, ni cómo ella surge, sea por efecto del equipo de 
medida sobre las variables ocultas de las que las A son los valores 
iniciales, o por cualquier otra causa. 
¿Es posible hallar algunas funciones (2) y ciertas distribuciones de 
probabilidad @(A) que reproduzcan la correlación (l)? Sí, muchas, 
pero ahora añadimos la hipótesis de localidad, es decir, que la 
disposición b de un instrumento particular no tiene ningún efecto 
sobre el suceso A en una región remota y, de modo análogo, que ii no 
lo tiene sobre B: 
Con estas formas locales, no es posible hallar unas funciones A y B 
y una distribución de probabilidad que den la correlación (1). Este 
es el teorema. La demostración no se repetirá aquí. 
Lochak ilustra el modo en el que el resultado debido a un solo 
instrumento A depende de su disposición ii, permitido por (3), con la 
teoría de parámetros ocultos de de Broglie. Pienso que esto es muy 
instructivo. Pero para el propósito actual lo es más el caso de dos 
aparatos y dos partículas. Se encuentra entonces que en la teoría de de 
Broglie la dependencia no es del tipo local (3), sino del no-local (2). 
He señalado esto en varias ocasiones, en dos de los tres artículos 
La localidad en mecánica cuántica: réplica a críticas 1 O7 
citados por Lochak y en otros sitios. Quizá Lochak tenga en mente 
alguna extensión de la teoría de de Broglie, a sistemas de más de una 
partícula, distinta a la directa generalización de 3 a 3N dimensiones 
que he considerado. Pero si su extensión es local no estará de acuerdo 
con la mecánica cuántica, y si lo está no será local. Esto es lo que dice 
el teorema. 
La objeción de de la Peña, Cetto y Brody se basa en una 
interpretación errónea de la demostración del teorema. En el trans- 
curso de ésta se hace referencia a 
así como a 
Estos autores dicen: .Claramente, puesto que A, A', B, B' se 
evalúan todas ellas para el mismo A, han de referirse a cuatro medidas 
realizadas sobre el mismo par electrón-positrón. Podemos, por ejem- 
plo, suponer que A' se obtiene tras A y B' tras B*. Pero esto no es así 
de ningún modo. No estamos absolutamente interesados en secuen- 
cias de medidas sobre una partícula dada, o de pares de medidas sobre 
un par de partículas dado. Nos conciernen los experimentos en los 
que para cada par el «espín» de cada partícula sólo se mide una vez. 
Las cantidades 
son simplemente las mismas funciones 
con diferentes argumentos. 
Referencias 
1 G. Lochak, Fundamenta Scientiae (Université de Strasbourg, 1975), n." 38, 
reproducido en Epistemological Letters, pág. 4 1, septiembre 1975. 
1 08 Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica 
2 L. de la Peña, A. M. Cetto y T. A. Brody, Nuovo Cimento Letters 5,177 (1972). 
3 L. de Broglie, C'R Acad. Sci. Paris 278, B721 (1974). 
4 J. Bud, Found. Phys. 3, 29 (1973). 
5 S. Freedman y E. Wigner, Found. Phys. 3, 457 (1973). 
6 S. J. Freedman y J. F. Clauser, Phys. Rev. Lett. 28,938 (1972). Se da un resumen 
en M. Paty, Epistemological Letters, pág. 31, septiembre 1975. 
7 J. S. Bell, O n the Hypothesis that the Schrodinger Equation is Exact, CERN 
Preprint TH. 1424 (1971). 
Capítulo 9 
COMO ENSENAR LA RELATIVIDAD 
ESPECIAL 
Creo desde hace mucho tiempo que, si tuviera la oportunidad de 
enseñar esta materia, resaltaría la continuidad con las ideas anteriores. 
Usualmente se hace hincapié en la discontinuidad, en la radical 
ruptura con las nociones de espacio y tiempo más primitivas. Con 
frecuencia el resultado es la completa destrucción de la confianza del 
estudiante en conceptos perfectamente útiles y bien fundados previa- 
mente adquiridos1.