TPPráctica-ejercicio resuelto_Álgebra - Gil Casas

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JUJUY. FACULTAD DE INGENIERÍA. 
CÁTEDRA: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. 
TRABAJO PRÁCTICO N° 10: S.E.L. EJERCICIO RESUELTO. 
 
4.- Dados los siguientes problemas, expresarlos como sistemas de ecuaciones, analizarlos 
y, en los casos que sea posible, resolverlos. 
c) Una fábrica de automóviles ha lanzado tres nuevos modelos: A, B y C. El precio de venta 
de cada modelo es 480; 640 y 960 mil pesos, respectivamente. El importe total de coches 
vendido durante el mes de lanzamiento asciende a 80 millones de pesos, correspondiente 
a los 140 autos vendidos en ese periodo. Por otra parte, los costos de fabricación para cada 
modelo son 320; 480 y 640 mil pesos (para los modelos A, B y C), con un costo total de 
fabricación de 56 millones. Encontrar el número de coches vendido de cada modelo. 
RESOLUCIÓN 
La idea en estos ejercicios es plantear de acuerdo al enunciado un sistema de ecuaciones, 
analizarlos y resolverlos si es posible. 
Empezamos definiendo nuestras variables del sistema: 
 XA: cantidad o números de coches vendidos del modelo A. 
 XB: cantidad o números de coches vendidos del modelo B. 
 XC: cantidad o números de coches vendidos del modelo C. 
De acuerdo al enunciado, el precio de venta de cada modelo es 480; 640 y 960 mil pesos, 
respectivamente. El importe total de coches vendido durante el mes de lanzamiento 
asciende a 80 millones de pesos. 
Entonces, si realizo la sumatoria del producto del precio de venta por la cantidad de ventas 
de cada modelo, obtendría el importe total de coches de los tres modelos vendidos durante 
ese período, llevando esto a una ecuación, se podría plantear: 
480000 . XA + 640000 . XB + 960000 . XC = 80000000 
…correspondiente a los 140 autos vendidos en ese periodo. 
Las cantidades de los tres modelos vendidos es 140, como ecuación tendríamos: 
XA + XB + XC = 140 
…los costos de fabricación para cada modelo son 320; 480 y 640 mil pesos (para los 
modelos A, B y C), con un costo total de fabricación de 56 millones. 
Si realizo la sumatoria del producto del costo de fabricación por la cantidad de cada modelo, 
obtendría el costo total de fabricación de los tres modelos vendidos durante ese período, 
llevando esto a una ecuación, se podría plantear: 
320000 . XA + 480000 . XB + 640000 . XC = 56000000 
Por lo tanto, nuestro sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, sería el siguiente: 
{
480000 𝑋𝐴 + 640000 𝑋𝐵 + 960000 𝑋𝐶 = 80000000
𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 = 140
320000 𝑋𝐴 + 480000 𝑋𝐵 + 640000 𝑋𝐶 = 56000000
 
Para trabajar con números pequeños (no es necesario, pero si conveniente), podemos 
dividir miembro a miembro la primer y tercer ecuación del sistema por 10000, entonces, el 
sistema anterior nos queda: 
{
48 𝑋𝐴 + 64 𝑋𝐵 + 96 𝑋𝐶 = 8000
𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 = 140
32 𝑋𝐴 + 48 𝑋𝐵 + 64 𝑋𝐶 = 5600
 
Y este es el sistema con el que trabajaremos, es decir, lo analizaremos y si es compatible 
lo resolveremos. 
Análisis del Sistema. 
Para el análisis vamos a calcular el determinante del sistema ∆ formado por los coeficientes 
de las incógnitas, y si este determinante es distinto de cero entonces el sistema es 
compatible determinado y admite una única solución. 
∆ = |
48 64 96
1 1 1
32 48 64
| = (3072 + 2048 + 4608) − (3072 + 2304 + 4096) = 256 
Para calcular el determinante se puede usar cualquier método que se desarrolló en el 
práctico de determinantes, en este caso usé el método de Sarrus. 
Como el valor del determinante ∆ es 256, distinto de cero, el sistema en cuestión es 
compatible determinado y la solución es única. 
Solución del Sistema. 
Para resolver el sistema 
{
48 𝑋𝐴 + 64 𝑋𝐵 + 96 𝑋𝐶 = 8000
𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 = 140
32 𝑋𝐴 + 48 𝑋𝐵 + 64 𝑋𝐶 = 5600
 
 , como tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas, usaremos el método de Crámer, pero se 
podría usar cualquier método que se estudió en este práctico. 
Según Crámer: 𝑋𝐴 = 
∆𝑋𝐴
∆
 ; 𝑋𝐵 = 
∆𝑋𝐵
∆
 ; 𝑋𝐶 = 
∆𝑋𝐶
∆
 , como ya calculamos ∆ = 256 
∆𝑋𝐴 = |
8000 64 96
140 1 1
5600 48 64
| = (512000 + 358400 + 645120) − (537600 + 384000 + 573440) = 20480 
 
∆𝑋𝐵 = |
48 8000 96
1 140 1
32 5600 64
| = (430080 + 256000 + 537600) − (430080 + 268800 + 512000) = 12800 
 
∆𝑋𝐶 = |
48 64 8000
1 1 140
32 48 5600
| = (268800 + 286720 + 384000) − (256000 + 322560 + 358400) = 2560 
 
Por lo tanto, reemplazando por los valores obtenidos: 
𝑋𝐴 = 
∆𝑋𝐴
∆
=
20480
256
= 80 ; 𝑋𝐵 = 
∆𝑋𝐵
∆
=
12800
256
= 50 ; 𝑋𝐶 = 
∆𝑋𝐶
∆
=
2560
256
= 10 
Finalmente, respondiendo a la pregunta del enunciado, el número de coches vendidos 
son, 80 unidades del modelo A; 50 unidades del modelo B; y 10 unidades del modelo C.