Anual Uni Semana 04- Álgebra - Camila Darien

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual UNI
Reforzamiento I
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Exponentes y 
Productos 
Notables
En esta semana repasamos los 
temas de leyes de exponentes y 
productos notables, necesarios 
para los siguientes temas del 
curso.
𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
LEYES DE EXPONENTES
EXPONENTE NATURAL 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 …𝑎
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
; 𝑛 ∈ ℕ 54 = 5.5.5.5 = 625
EXPONENTE CERO 𝑎0 = 1; 𝑎 ≠ 0 −
2
3
0
= 1
EXPONENTE NEGATIVO 𝑎
−𝑛 =
1
𝑎𝑛
2
5
−3
=
5
2
3
=
53
23
=
125
8
EXPONENTE FRACCIONARIO 𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚
8
2
3 =
3
82 =
3
8
2
= 22
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
TEOREMAS
C U R S O D E Á L G E B R A
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏
𝒂. 𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏
𝒂
𝒃
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏
𝒎 𝒏 𝒂 = 𝒎.𝒏 𝒂
𝒏
𝒂. 𝒃 = 𝒏 𝒂.
𝒏
𝒃
𝒏 𝒂
𝒃
=
𝒏 𝒂
𝒏
𝒃
𝑎7. 𝑎5 = 𝑎7+5 = 𝑎12
𝑎8
𝑎3
= 𝑎8−3 = 𝑎5
𝑎7 4 = 𝑎7.4 = 𝑎28
2𝑥 5 = 25. 𝑥5
2
3
5
=
25
35
=
32
243
3 4 𝑎 = 3.4 𝑎 = 12 𝑎
3
8𝑥 =
3
8. 3 𝑥 = 23 𝑥
3 8
125
=
3
8
3
125
=
2
5
Ejemplos: Ejemplos:TEOREMAS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
TEOREMAS
C U R S O D E Á L G E B R A
5
𝑥3
4
𝑥5
𝒂
𝒙𝒎
𝒃
𝒙𝒏 =
𝒂𝒃
𝒙𝒎𝒃+𝒏
Ejemplo:
RADICALES INFINITOS
𝑴 =
𝒏
𝒂
𝒏
𝒂 𝒏 𝒂…
𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔
Ejemplo: Calcule el valor de T
𝑇 =
3
25
3
25
3
25…
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
=
3
25. 𝑇
𝑇3
𝑇
= 25 𝑇 = 5
=
5.4
𝑥3.4+5 =
20
𝑥17
→ 𝑴 =
𝒏
𝒂.𝑴 → 𝑇
3 = 25𝑇
→ 𝑇2 = 25
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
RADICALES INFINITOS
𝑷 =
𝒏
𝒂 +
𝒏
𝒂 + 𝒏 𝒂 +⋯
𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔
Ejemplo:
Calcule el valor de J
𝐽 = 12 + 12 + 12 +⋯
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
Solución:
𝐽 = 12 + 12 + 12 +⋯
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
= 12 + 𝐽
𝐽2 = 12 + 𝐽
𝐽 − 4 𝐽 + 3 = 0
Como 𝐽 > 0
→ 𝑷 =
𝒏
𝒂 + 𝑷
→ 𝐽 = 12 + 𝐽
→ 𝐽2 − 𝐽 − 12 = 0
→ 𝐽 = 4 ∨ 𝐽 = −3
→ 𝐽 = 4
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PRODUCTOS NOTABLES
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PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝑥 + 5 𝑥 + 8 =
BINOMIO AL CUADRADO
𝒂 + 𝒃 𝟐 =
𝒂 − 𝒃 𝟐 =
3𝑥 + 5𝑦 2 =
= 9𝑥2 + 30𝑥𝑦 + 25𝑦2
6 − 2
2
=
= 6 − 4 6 + 4
Ejemplos:
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙𝒙𝟐 +𝒂𝒃 𝑥2 + 5 + 8 𝑥+5.8 = 𝑥2 + 13𝑥 + 40
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
3𝑥 2 + 2 5𝑦
2
3𝑥 5𝑦 +
6
2
−2 6 2 + 2 2
= 10 − 4 6
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C U R S O D E Á L G E B R A
IDENTIDADES DE LEGENDRE
𝒂 + 𝒃 𝟐 + 𝒂 − 𝒃 𝟐 =
𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝒂 − 𝒃 𝟐 =
6 + 5
2
+ 6 − 5
2
= 2 6 + 25
7 + 3
2
− 7 − 3
2
=
DIFERENCIA DE CUADRADOS
𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 3𝑥 + 2𝑦 3𝑥 − 2𝑦
Ejemplos:
𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝟒𝒂𝒃
= 2 6
2
+ 52
= 2 31 = 62
4 7 3 = 4 21
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 3𝑥 2 = 9𝑥2 − 4𝑦2− 2𝑦 2
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TRINOMIO AL CUADRADO
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 2
BINOMIO AL CUBO
𝒂 + 𝒃 𝟑 𝑥 + 2
3
𝒂 − 𝒃 𝟑 𝑥 − 1 3
IDENTIDADES DE CAUCHY
𝒂 + 𝒃 𝟑 =
𝒂 − 𝒃 𝟑 =
𝑥 + 2 3 =
𝑥 − 1 3 =
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
= 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐+𝟐 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒄𝒂 = 𝑎𝑏 2 + 𝑏𝑐 2 + 𝑎𝑐 2 +2𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
= 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
= 𝑥3 + 3. 𝑥2. 2 + 3. 𝑥. 22 + 23 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
= 𝑥3 − 3. 𝑥2. 1 + 3. 𝑥. 12 − 13 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 − 𝟑𝒂𝒃 𝒂 − 𝒃
𝑥3 + 23 + 3. 𝑥. 2. (𝑥 + 2)
𝑥3 − 13 − 3. 𝑥. 1. 𝑥 − 1
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SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
𝑎3 + 𝑏3 =
𝑎3 − 𝑏3 =
𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 =
𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 =
IGUALDADES CONDICIONALES
Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = −2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
Ejemplos:
Si 𝑎 = 4 − 7; 𝑏 = 7 − 1; 𝑐 = −3
Calcule el valor de
𝑀 =
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
𝑎𝑏
Resolución:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
Entonces, lo que nos piden queda:
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑥3 − 1
𝑥3 + 1
De los datos, se observa que 
→ 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
=
3𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏
= 3𝑐 = 3 −3 = −9
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
IGUALDADES CONDICIONALES
C U R S O D E Á L G E B R A
Si a, b, c son números reales, tales que:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟎
Ejemplo
Si 𝑎, 𝑏 , 𝑐 son números reales y además
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 − 14
Calcule el valor de 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
Resolución
Todo al primer miembro, tenemos:
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎 − 4𝑏 − 6𝑐 + 14 = 0
𝑎2 − 2𝑎 + 𝑏2 − 4𝑏 + 𝑐2 − 6𝑐 + 14 = 0
𝑎2 − 2𝑎
𝑎 − 1 2
𝑎 − 1 = 0 ∧ 𝑏 − 2 = 0 ∧ 𝑐 − 3 = 0
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 2 ∧ 𝑐 = 3
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 + 2 + 3 = 6
↔ 𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 𝟎
+12+𝑏2 − 4𝑏+22+𝑐2 − 6𝑐+32+14 −12 −22−32 = 0
+ 𝑏 − 2 2 + 𝑐 − 3 2 = 0
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IGUALDADES CONDICIONALES
C U R S O D E Á L G E B R A
Si a, b, c son números reales, tales que:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒄𝒂
Ejemplo
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números reales y además
𝑎2 + 𝑏2 + 4 − 𝑎𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 = 0
Calcule el valor de 
𝑎2 + 𝑏2
Resolución
Tenemos:
𝑎2 + 𝑏2 + 4 − 𝑎𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 = 0
𝑎2 + 𝑏2 + 4 = 𝑎𝑏 + 2𝑎 + 2𝑏
𝑎2 + 𝑏2 + 22 = 𝑎𝑏 + 2𝑎 + 2𝑏
𝑎 = 𝑏 = 2
Luego:
𝑎2 + 𝑏2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8∴
↔ 𝒂 = 𝒃 = 𝒄
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e