leyes de exponenciacion - Martín Nuñez

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I 
MODULO 4
 
LEYES DE
 
EXPONENCIACION
 
© 1978 
- Edici6n preparada por la Fundaci6n para el Desarrollo del 
Instituto Universitario de Tecnologia del 
Valera. Venezuela. 
Estado de Trujillo. 
- Impreso en Espana - Printed in Spain 
I.S.B.N.: 84-499-2394-8 AUTORES: . 
-
Dep6sito legal: M. 1296-1979 
Imprime Novograph. S. A. 
Ctra. de trurr, Km. 12,450. Madrid-34. 
JORGE E. GUERRERO 
JUAN J. PIZARROW·; 
B. 
if?';· 
" \ " ..~...- ' •• - •.,.... -0;."" 
INDICE OBJETIVOS 
pag. 
EI objetivo general de este M6dulo es que el estudiante conozca y aprenda 
4.1. 
4.2. 
4.3. 
Concepto de potenciaci6n 
Producto de potencias de la misma base 
Cociente de potencias de la misma base 
. 
, 
. 
7 
8 
9 
los conceptos de la potenciaci6n, radicaci6n y exponenciaci6n, para que pueda 
resolver correctamente las operaciones referentes a elias. 
AI terminar de estudiar este M6dulo, estara en condiciones de: 
4.4. 
4.5. 
Potencia de exponente cero y 
Potencia de un producto 
uno . 
. 
9 
10 
1. Comprender la potenciaci6n y radicaci6n de los numeros reales. 
4.6. 
4.7. 
Potencia de una potencia 
Propiedades de los exponentes , '" 
. 
. 
11 
12 
2. Conocer las leyes formales de Ia potenciaci6n. 
4.8. 
4.9. 
Exponentes enteros negativos 
Concepto de radicaci6n 
. 
. 
13 
14 
3. Identificar y aplicar potencias de exponentes cero y uno. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
Propiedades de los radicales de igual Indice 
Reducci6n de radicales 
Introducci6n de cantidades bajo el signo radical 
. 
. 
. 
15 
17 
19 
4. Adquirir la noci6n de radicaci6n como operaci6n inversa de la poten­
ciaci6n. 
4.13. 
4.14. 
Operaciones con radicales 
Potenciaci6n de radicales 
. 
. 
19 
22 5. Identificar la potenciaci6n como operaci6n interna. 
4:15. Radicaci6n de radicales . 23 
4.16. Racionalizaci6n . 24 6. Adquirir habilidades para interpretar y aplicar las propiedades de po­
4.17. Expresiones conjugadas , . 25 tenciaci6n en la resoluci6n de problemas. 
4.18. Exponentes racionales ., , . 27 
APENDICE N.o 1. Ejercicios complementarios . 29 7. Entender el significado de potencias de exponente racional. 
A. Ejercicios de aplicaci6n. 
B. Ejercicios de investigaci6n. 8. Identificar ecuaciones radicales y su resoluci6n. 
APENDICE N.o 2. Auto-Evaluaci6n . 45 
j. 
;,' . 
.,. 
4.1. CONCEPTO DE POTENCIACION 
Potencia 
Potencia de una expresi6n algebraica es la misma expresion 0 et resultado 
al tomarla como factor dos 0 mas veces. 
La primera potencia de una expresi6n es la misma expresi6n. 
EI resultado de potenciar un nurnero se llama polencia. 
EJEMPLO 
La primera potencia de una expresi6n es la misma expresi6n. 
Asi: 
a) (2a)~ "" 2a 
b) (3a2)1 = 3a2 
c) (-5a)1 = -Sa 
EJEMPLO 
Expresio'nes como: 
a)	 1Q2 = 100 
102 es una potencia 
10 se llama la base 
2 se llama exponente 
b)	 34 = 81 
34 es una potencia 
3 se llama base 
4 se llama exponente 
«Es decir, una potencia es un producto de tsctotes iguales.,.} 
c)	 Cuando el exponente es 2 6 3, las potencias se nombrange~trtlente 
de otro modo N::·,' . 
.	 .c,.;:i~~)ii,,:;t~k~}i:J~f~ci.~t~{i$'¥ 
~.J»:«~i~\~~':'r'~\';F"""	 ~ ~': 
f ...·' 
'j'\f •.~, ..	 >~ ,1\" 
~,~~'~.
Asl:	 42 = 4 x 4 
Se lee: cuatro elevado al cuadrado 
53 = 5 x 5 x 5 
Se lee: cinco elevado al cubo 
A) SIGNO DE LAS POTENCIAS 
Cualquier potencia de una cantidad positiva, evidentemente es positiva, 
porque equivale a un producto en que todos los factores son positivos. 
a) 52 = 5 x 5 = 25
 
b) J4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
 
B)	 PO;rENCIAS DE UNA CANTIDAD NEGATIVA 
t 
a) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. 
EJEMPLO 
(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2 
b)	 Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. 
EJEMPLO 
(~2aj3 = (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3 
.~ 4.2. PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE 
Definici6n 
Para multiplicar potenctes de la misma base, se deja la misma base y se 
suman los exponentes. 
EJEMPLO 
a)	 22 x ~ = 2(2+3) = 25
 
2x2x2x2x2=25
 
b)	 32 X J4 = 3(2+4) = 36
 
3x3x3x3x3x3=36
 
c) 53 X 54 = 5(3+4) = 57 
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 57 
Podemos concluir que cuando tengamos una base a con un 
sxponente n y la misma base a con un exponente p. Entonces, por 
definici6n dada anteriormente tendremos: 
an+ pan x 'aP = 
Donde n y p son cualquier nurnero de factores. 
.( , ­
"~ .~ 
.'~:t. 
a) 
b) 
c) 
27 - = 2(7-3) = 24 
23 
2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
=24 
2 x 2 x 2 
35 -
32 
= 3(5-2) = 33. 
' 
3 x 3 x 
3 
3 
x 
x 
3 
3 x 3 
3x3x3=33 
48 -
44 
= 4(8-4)= 44 
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 
= 44 
4x4x4x4 
con 
) 
4.4. POTENC1A DE EXPONENTE CERO Y UNO 
A)	 POTENCIA DE EXPONENTE CERO 
Definimos anteriormente al exponente como el numero de veces que una 
cantidad entra como factor, resulta obvio que el exponente cero no puede 
representar eso. 
Para que se cumpla 10 visto sobre producto y cociente de potencias, necesi­
tamos por ejemplo: 
53 . 50 = 53+0 = 53 
Hay solamente un nurnaro que al ser multiplicado por 53 nos vuetve a dar 
53, que es el numero 1. 
De esto deducimos que 5° es 1.
 
Esto se cumple para cualquier base excepto para una base igual a,cerCl.
 
Definici6n 
xO = 1
 
x es un numero real diferente de O.
 
,.' 
.~ , 
..
COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE 
Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la misma base y se 
restan los exponentes. 
EJEJMPLO 
Podemos concluir que cuando tengamos cociente de potencias 
igual base, restamos los exponentes: 
am
paP = am ­
"-,.-------_........,..­
,.~~ 
B) POTENCIAS RECIPROCAS 
Consideremos ahora el producto 
53 x 5-3 
Tenemos producto de potencias con igual base. 
Debe verificarse que: 
53 X 5- 3 = 53+(-3) = 50 
Como acabamos de definir 5° = 1, tenemos 
53 x 5- 3 = 1 
Por tanto, 5-3 debe ser el reciproco de 53. 
1	 .v-...., .. 
Esto es 5- 3 = 53 aca tam bien la base es CUalqui~rl~,t,ero real excepto 
~ro. ( 
Definicion 
x-a = 
xa 
x es un numero real diferente de cero y a es un entero. 
C) POTENCIA DE EXPONENTE UNO 
Esta potencia no tiene sentido, puesto que no pueden haber productos con 
un solo factor, sin embargo, se utiliza por conveniencia. 
a' = a 
Con a f 0 
Por tanto, una base con un exponente uno es igual a la misma base. 
4.5. ~POTENCIA DE UN PRODUCTO 
A)	 POTENCIA DE UN PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES 
Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada uno de los facto res a 
dicha potencia 
EJEMPLO 
a) (2 x 5)3 = 23 X 53 
b) (4 X 3)4 = 44 X 34
 
c) (8 X 6)2 = 82 X 62
 
En general tendremos que 
(a x b)n = an x bn 
( 
( 
( 
d) 
'I'.";, 
B) POTE~CIA 
Para elevar 
potencia y 
indica la potencia. 
EJEMPLO 
a) 
b) 
c) 
) 
4.6. 
can	 
.~.~; i 
3y2 
"":":":~~f~~~ 
DE UN MONOMIO 
un monomio a una potencia, se eleva su coeficiente a esa 
se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que 
Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es positivo cuenao el 
exponente es par, y es negativo cuando el exponente es impar. 
Desarrol/ar (3ab2)3
 
(3ab2)3 = 33 x a3 x b2x3
 
(3ab2)3 = 27a31J6
 
Desarrol/ar (-3a2b3)2 
(-3a2b2)2	 Base negativa,
 
exponente par y
 
potencia positiva
 
(-3a2b3)2 = 32a2x2b3x2 
(-3a2b3)2 = 9a4b 6 
Desarrol/ar (-5x3y4)3
 
Base netagiva, exponente impar y potencia negativa.
 
(-5x3y4)3 = -53x3x3y4X3
 
(-5x3y4)3 = -125x9y12
 
Desarro/lar (~) 4 
Tenemos el caso cuando el mononio es una treccton. Paraelevarlos a 
una potencia cualquiera, se eleva su numerador y su denominador a 
esa potencie. 
~) 4 Base negativa, 
3y2 exponente par y
 
potencia positiva.
 
24xx4~) 4 
3y2	 34y2x4 
16x4 ~) 4 
3y2 81y8 
POTENCIA DE UNA POTENCIA 
Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se mUltipli~ 
los exponentes. 
P factores ,P sumandos 
(an)P =	 an+ n+ ...+nan x an x '" x an 
Pxn nxp I (an)p = a = a I 
" 
'r,~,~'<'- >~"":-;: ."v, ~ 
~l(~:~~~t;,t"i;!':,,;\j:" 
EJEMPLO 
(32)4a) Desarrollar 
(32)" = SZ x SZ x 32 x 32 
(32)4~2 
(32)4 = 38 
32X 4 (32)4 =
 
(a3)5
b) Desarrollar 
(a3)5 = a3 x a3 x a3 x a3 x a3
 
(a3)5 = a3+3+3+3+3(a3)5 = a3X5 = a15
 
c) Desarrollar (-X2)6 
Nase negativa, exponente par y potencia positiva. 
(_X2)6 = x2 . x2 . x2 . x2 . x2 . x2
 
(-X2)6 = x2+ 2+ 2+ 2+ 2+2
 
( _X2)6 X2x 6
 
(-X2)6 X12
 = 
~ 
4.7. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 
A continuaci6n aparece un cuadro general que resume todas las propleda­
des de los exponentes; tarnbien se incluye un ejemplo de cada propiedad y la 
comprobaci6n de la misma, mediante la multiplicaci6n y definici6n de poten­
cia; X, Y son nurneros reales, y n, m, numeros enteros. 
Producto de (1) 
potencias de X" . x" = X"+m 22x23=2" 
la misma base 
Potencia de 
(2) 
una potencia (X")m = X"m (3")3 = 36 
(3) 
X"-m 53 -=5 
Cocientede X" si n > m 
52 
potencias de 
Xm 1 la misma base --
Xm-" 4
5 1 
--=­
si m > n 47 42 
Potencia de (4) 
un producto (3 x 2)2 = 
(X . Y)" = X" . y" =3"x22= 
= 9 x 4 
Potencia de (5) 
un cociente 
(-~-r = ~ (+)4 14 
Y Y" J4 
22 X 23 = (2 x 2)(2 x 2 x 2) 
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
= 25 
(3")3 = 3" X 32 X 3" 
=3x3x3x3x3x3 
= 36 
53 52 X 5 
= 5 
e52 52 
45 45 1 
47 45 X 42 42 
(3 x 2)2 = 3 x 3 x 2 x 2 
(3 x 2)' = 9 x 4 
1 1 1 1(+)4 =-x-x-x­
3 3 3 3 
1 
= 
3x3x3x3 
1 
34 
(I. 
4.8. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS 
A) DEFINICION 
EI exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base 
cuando el exponente del dividendo (numerador) es menor que el exponente 
del divisor (denominador). 
Asi: 
2a 2-3a) - = a = a" = 3a a
 
x3
 b) - = X3-7 = x-4 = 
x7 x4
 
De 10 anterior podemos establecer la siguiente conclusi6n.
I x-' ~ ~. pam x • 0 I 
AI considerar la n-esirna potencia de X-l.
 
Tenemos:
 
(x- l ) " = «r = 
x" 
Tambien: 
(x- l ) " X(-l)" = x-" 
x" 
Podemos convenir: 
x-" = _1_ para x cualquier real =F 0
x" 
B) ~ INTERPRETACION DEL EXPONENTE NEGATIVO 
Toda cantidad e/evada a un exponente negativo equiva/e a una fracci6ri 
cuyo numerador es 1, y su denominador, la misma cantidad con el exponent-e 
positive. 
EJEMPLOS 
2a) a- = a
2 
3 4 1b) a- / = a:ll 
4 
c) X-3. y-l/2 = 1
 
''''':''::. x3 yl/2 x3y1/2
 
~'":'1~~~J_~' ',:).i::;'Y2~(' 
\;) PROPIEDADES PARA EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS 
En 10 que hace referencia a los exponentes enteros negativos, tenemos que 
se cumplen todas las propiedades vistas para enteros positivos. 
EJEMPLOS
 
a) 23 x 3-2 X 2- 5 ee 23 X 2-5 X 3-
2
 
~-5 X 3-2
 
2- 2 X 3- 2 
1 1 -x­
22 32 
1 1 1 
=,,-x-=" 
4 9 36 
b) (52)-2 =" 5~(-2) =" 5-4 =" ....!.­54 
3-5 
c) -- = 3-5 . 3+2
 
3- 2
 
3 -5+2 =" 3-3
 
1 1 -=­
33 27 -, 
4.9. CONCEPTO DE RADICACION 
A) LA RADICACION ES LA OPERACION INVERSA A LA POTENCIACION 
Es la que halla la raiz n-sstma de un numero real dado, y que consiste en 
buscar el numero real que elevado a la n-asima potencia sea igual al real dado. 
EJEMPLOS' 
a) loCual es la raiz sexta de 64? 
Buscamos entonces el real que elevado a la sexta potencia de 64. 
Encontramos dos sotuciones: 
26 = 64 Y (-2)6 =" 64 
Por tanto, 2 y -2 son raices sextas de 64. 
b) loCual es la raiz cuadrada de 49? 
Buscamos entonces el real que elevado al cuadrado nos de 49. 
Encontramos dos soluciones. 
72 =" 49 Y (- 7)2 =" 49. 
Por tanto, 7 y -7 son raices cuadradas de 49. 
, •.·...:.:···;·M¥IJ, ,~, 
B) ELEMENTOS DE LA RADICACION 
VX 
a) EI signoJ-se llama radical. 
En general es toda raiz indicada de una cantidad. 
. b) X es la cantidad subradical 0 radicando. 
En general es la cantidad a la cual se Ie halla la raiz indicada. 
c) n es el indice de la raiz, tarnblen se conoce como el grado de un ra­
dical. 
La raiz n-eslma de un nurnero puede tener dos, uno, 0 ninqun 
valor real, de acuerdo a si tal ratz es par, impar 0 si el numero real 
dado es par negativo. Cuando una raiz tiene dos vatores, se lIa­
mara reiz principal a la raiz positiva. 
~ 
4.10. PROPIEDADES DE LOS RADICALES DE IGUAL INDICE 
A) RADICALES SEMEJANTES··" 
Son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad ~!'.dICa'l;. 
~ ", 
EJEMPLOS 
a) ~/3+x-
Radicando 0 cantidad subradical: 3 + x; indice de la raiz 0 grade del 
radical: 5. 
b) Vs 
Radicando 0 cantidad subradical: 5; indice de la ralz 0 grado del radi­
cal: 8. 
c) loCual es la raiz cuadrada de -4? 
No existe tal numero real, porque al elevar al cuadrado un numero 
negativo da positivo y al elevar al cuadrado un positivo da tarnblen 
positivo. 
Ademas, ()2 = O. 
d) loCual es la raiz cubica de -8? 
Buscamos un numero que elevado al cubo de -8. 
Encontramos: (-2)3 =" -8. 
Por tanto, -2 es la unica raiz cubica de -8. 
Llamamos radicaci6n a la operaci6n que halla las reices n-esim« de nume­
ros testes de acuerdo con los ejemplos anteriores. 
B) PROPIEDAD 
I ~ a . b . c = vra· Vb· vc I 
""~/r-' :~""_':"':~,-."7,,~.: 
EJEMPLOS 
a) Jr-­4 - . -9-·-1-:-6= )4. ~ j16 
= 2 . 3 . 4' 
,..-.-__­ = 24 
J 4 . 9 . 16 = ) 576 = 24 
b) J36· 49 . 4' = J3tf. J49 . j4 
= 6,7 . 2 
84 
J36 . 49 . 4 = )7.056 = 84 
EJEMPLOS 
a) V52·F V25 = 25/4 
E) PROPIEDAD: RAIZ DE UN PRODUCTO DE VARIOS FACTORES 
Para extraer una raiz a un produeto de varios faetores, se extrae aicne reiz a 
eada uno de los facto res. 
A) REDUCIR UN RADICAL 
La operaci6n de reducci6n de un radical, consiste en cambiar su torme 
pero no su valor numerico, y as! lIevarlo a su mas simple expresi6n. 
4.11. JREDUCCION DE RADICALES 
c) V64 = V43 =(~/5 
b) V81 = V34 = 34/3 
B) SIMPLIFICAR UN RADICAL 
La simplificaci6n de un radical consiste en reducirlo a su mas Sfmp1e 
expresi6n. 
Un radical esta reducido a su mas simple expresi6n cuando la 
subradical es entera y del menor grado posible. 
Debemos tener presente en la simplificaci6n de radlcalea q~ 
una raiz a un producto, se extrae dicha raiz a cada uno de SUS'I . 
deraremos dos casos que se presentan ,en la slmpt)fica(;i6~ 
\ 
I oj"" qmml 
fsilWf~#f?r'~0ii6~J.:~,:~.J;":':", '_,:;­
EJEMPLOS 
a) j2j = V27 = j9 = 3 
fi 3 
J27 = ~ = 3/3 = 3 
)3 )3 fi 
b) J49 = V49 = V7 2 = L 
J81 81 92 9 
J49 =.!.... 
)81 9 
D) PROPIEDAD: RAIZ DE UNA POTENCIA 
Para extraer una retz a una potencie, se divide el exponente de la poteneia 
por el indice de la ralz. 
VX·vY=~ 
Donde X. Y pertenecen a los reales 
EJEMPLOS 
a) 2ft. 5/"3" Y1/2.)3 
Son radicales semejantes. pues grado del radical: 2; cantidad subradi­
cal: 3. 
b) 2/"3. 5V2, 4if8 
No son radicales semejantes. tienen diferentes grados los radicales y 
las cantidades subradicales son diferentes. 
EJEMPLOS 
a) ~/9' 'if27 = ~ = 3V9 
b) J16. J49 = ) 16 . 49 = 28 
C) PROPIEDAD 
~= V~
 
Donde X, Y pertenecen a los reales 
~:f~tjitf~:fS~'r'; }~'?~'~::' ': . 
,~ 
/~ 
4.12. INTRODUCCION DE CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADICAL 
Caao 1 
Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible La introduccion de cantidades bajo la raiz es una operaci6n inversa a la 
por el indice radical. simplificacion de radicales. 
Para introduclr el coeficiente de un radical bajo la raiz, se eleva dicho
EJEMPLOS coeficiente a la potencia que indique el fndice de la ralz,
 
a) Simplificar )9a3
 
EJEMPLOSj9a3 = j32. Jii . Ja 
3a2Va2b3· a· ja a) Hacer entero el radical 
3a2Va2b a2b3aja = V (3a2)3 . 
V27 . a6 • a2 • bb) Simplificar 4V250a3b8 
,....--­ V27a8b4V250a3b8 = 4V2. 125 . a3. b6 . b2 
= 4\12 . 53 . a3 . b6 • b2 b) Hacer entero el radical ~j2 
2=>4'5a.b23~ 
= 20ab2V2b2 +J2 = V(~r· 2 
Caao 2 ,11---:
V"4· 2 = ViCuando los facto res de la cantidad subradical y el in dice tienen un divisor 
comun. 
c) Hacer entero el radical (a+b)	 ,/ __a 
V a + b 
EJEMPLOS (a + bf . a
(a+ b)~ = 
(a + b)a) Simplificar V4a2 
2V4a2 = V22 • a = J (a + b)a 
= if22. # = Ja2 + ab 
d) Hacer entero el radical 4mv2m2 
2214 • ;/-/4 
4mV2m2 = V(4m)3 . 2m2 
= V128 m3 . m2 21/2 a1/2 • 
. = V128 m5 j2.fi. 
e) Hacer entero el radical 5x2yj3 
= fiB. 
5x2yj3 = J(5X2Y)2 . 3 
b) J 25x!'f . 3 
.. 'V27x";' is '3'x'"'' ,""Simpllflcar 1V27x3y6 = v 3 15r::3'"3 1t y_ J75x!' y2 
= 1V33 1~ X V yr 
v4.13. OPERACIONES CON RADICALES 
= 33115 • X3l15 . y3l15 . y3l15 
A) SUMA Y RESTA DE RADICALES 
= 3 V5 • X1/5 . y1l5 . yl/5 
Se simplifican los radicales dados; se reducen losradicatElS 
semejantes y a continuaci6n se escriben los radicales no se~;an­
= V3 . x . y . y 
tes con su propio signo.	 A, 
= V3xy2 
.'.4H.rtlA:h:Yi.,s. 
~~~!:~'~'i"t0~i:")';"'.'; 
EJEMPLOS 
a) Simplificar 2j4"50 + 9J12 - 7)48 - 3)98 
Simplificando tenemos: 
2J4S0 = 2.J2· 32 . S2 = 2· 3'S/2 
9J12 = 9~ = 9 . 2)3 
7J48 = 7J42="3 = 7 . 4;3 
3j98 = 3~ = 3 . 7.[2 
Redueiendo radieales semejantes: 
30/2 - 21/2+ 18j3 - 28/3= 
=9j2 - 10ft 
b) Simplifiear 
jOO - 2) 2S2 + 3j405 - 3J SOO = 
= ~ - 2J22 . 32 . 7 + 3~ - 3}22 . S3 = 
= 4ft - 2 . 2 . 3ft + 3 . 32ft - 3 . 2 . sj5 = 
= 4)5 - 12J7 + 27}5- 30)5 = 
= 4)5 + 27)5 - 30)5- 12J7 = 
= )5 - 12/7 
B) NMULTIPLICACION DE RADICALES 
Para multipliear radicales del mismo indice, se multiplican los coeficientes 
entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto 
bajo el signa radical comun y se simplifica eJ resultado. Para radieales de. 
diferente inaice, se redueen esros al minimo comun indice y se multiplican 
como radieales del mismo indice. 
EJEMPLOS 
a) Multipliear 2.)15 por 3% 
2J15 x 3j1O = 2 . 3 . }1S . 10 
= 6J1S0 
= 6J~2-·-3-·-S-::2 
=6'S~ 
= 30ft 
2 3
b) Multipliear -V4 por-V6
3 4 
2 3 2 3-V4x -V6 = -' -' V4"-=6
3 4 3 4 
~~ 
2 
2J2 
= ~ . V22. 2·3 
4 
=..!.... 2V3 
2' 
=V3 
2Vf=4J6 
2J3 
;-_,,,,,.: c~. -a: 
c) Multipliear ~/12 x V9 
Vt2 x if9 = ~ = V108 
= ~ = 3=tf22 
= 3V4 
b) Dividir: 4ft entre 2J3 
nr=::­ »r: ab Jmx nr=­
aby' mx -+­ by' x = b -x­ = ay' m 
d) Multipliear sj9 por 10% 
S)9 = S 2".; (9)3 = St! (9)3 
10VS = 10 3X,V (8)2 = 10V (8)2 
sj9 x 10va = St! (9)3 . lOV (8)2 = SOt! (9)3(8)2 
sJ9x 10V8 = SOt!729· 64 = SO~ 
s)9 x 10VS = SO . 2 . 3 = 300 
C) ~IVISION DE RADICALES 
1. Para dividir radicales de un mismo indice se dividen los eoefieientes 
entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo cociente 
bajo el signo radical comun y se simplifica el resultado. 
EJEMPLOS 
a) Dividir V4a2 entre V2a 
V4a2 = 4X.v (4a2)4 = lV2S6aB 
V2a = 4X.v (2a)3 = It!8a3 
~ = 'V256a8 = lV2S6aB 
V2a 1V8a3 8a3 
,t!32a5 = lV ~a5 
5 
(2a)12 
1,·,pY'r'\f"~'t r:"
~,<:",,>~1~:r: .'"" ;.;. .':. 
c)	 Dividir +J3xy entre : JX 
1 r:::= 1 
"2'" 3xy = 2 V3xy = .i.J3Y = ~J3Y 
6 3~F ~ x 
4 4 
2.	 Division de radicales de distinto indice. 
Cuando tenemos radicales de distinto indice, reducimos los radicales al 
minima comun indice y se dividen como radicales del mismo indice. 
EJEMPLOS 
a)	 Dividir if2 -;- j2 
V2= 3xW= if4 
12 = 2xV23 = t!8 
V2"_ V4 _~(4_~{1 
j2- va -Va-V"2 
b) -.!... j2i -;- -.!...V16x4 
2 4 
-.!...~=~= -.!...V8x3 ' 
2 2 2 
-.!...j2X
2 2V8X3 = 2 ~ [8;.3 
1 V16x4 V~ "4V16x4 
tfT
2V2X" 
" 4.14. POTENCIACION DE RADICALES 
Esta operecion consiste en elevar un radical a una po tencia, para ello se 
eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad subradical, y se simplifica el 
resultado. 
(ab 1/n)m1 (a.yb)m = = am . bmln = am~ I 
EJEMPLOS 
a)	 Elevar V4x2 al cubo 
(V4X2)3 = V(4x2)3 = V(22)3(X2)3 
= V26 • x5 = 2xV2X 
.t4:-,~~~fM:~¥t'~~:.l~~".'WL 
b) Elevar 5j7 al cuadrado
 
(5fi)2 = 52 . fi2
 
25· J49
 
= 25 . 7 = 175 
c) Elevar 2V4 al cuadrado
 
(2ij4)2 = 22 . V(4)2
 
= 4 . V(22 )2 = 4V24 
=4·2.t/2 
=8t/2 
d) Elevar fi - 13 al cuadrado 
(12 - )3)2 ~ se desarrolla como el cuadrado de un binomio 
(J2 - )3}2 = (j2)2 - 2j2fi + (j3)2 
= fi2 - 2)6 + j32 
2 - 2)6 + 3 
= 5 - 2)6 
e)	 Elevar al cuadrado j5 - j7.
 
(fi - .)7)2 ~ se desarrolla como el cuadrado de un binomio
 
(fi -)7)2 = (J5)2 - 215Ji +(fi)2
 
.j52 - 2)35 + J72 
5 - 2J3'5 + 7 
12 - 2j35 
f) Elevar al cuad rado ~ - Ja-=1 
(~ - ja="1)2 = (;a+l)2 - 2;a+1;a=-1" + (Ja-=1)2 
J(a + 1)2 - 2J(a + 1)(a .: 1)' + J(a -1)2' 
(a + 1) - 2Ja2 - 1 + (a - 1) 
a + 1 + a - 1 - 2Ja2 - l' 
2a-2~ 
/
4.15. RADICACION DE RADICALES 
La ooerecion de redicecion de reaicetes consiste en extraer una raiz a un 
radical, para /levar a cabo esto, se multiplica el indice del radical poret tnatce 
de la raiz y se simplifica el resultado: 
I	 I
m~ "rz': 1hn n m·n;: ­v ~ a = va1/n = a · = va 
.;~~::;1:'f.>~'tE'~""·' 
, i ',~ >, r'~::':~:":~:<~i '. 
EJEMPLOS 
a) Hallar la ralz cuadrada de V4a2
 
VV4a2~x~4a2= t/4a2
 
= t/22a2= t/(2a)2=(2a)Z'6
 
= (2af/3 = V2a 
b)	 Hallar la ralz cubica de 5)5. 
V5J5=V~J=52='=5= VJ125 
~xV125= t!125 
= V53 = 53/6 = 51/2 
=/5 
c) Hallar la ralz quinta de ~.
 
V~ =5 xyx;o = 1VX10
 
= x10/15 = x213 = ~ 
4.i6. RACIONALIZACION 
La operaci6n de racionalizaci6n es referida al denominador de una frac­
ci6n, consiste en convertir una fracci6n cuyo denorninador sea irracional en 
una fracci6n equivalente, cuyo denominador sea racional. 
Cuando se racionaliza el denominador irracional de una frac­
ci6n, desaparece todo signo radical del denominador. 
Tenemos el caso de racionalizar el denominador de una fracci6n cuando 
este es un monomio. 
Procedimiento. 5e multiplican los dos terminos de la fracci6n por el radical, 
del mismo indice que el denominador, que multiplicado por este de como 
producto una cantidad racional. 
EJEMPLOS 
3
a) Racionalizar el denominador de r;;::
 
v' 2x
 
Multiplicamos ambos termlnos de la fracci6n por fiX y tenemos: 
3 3j2X 3j2X 3J2X
fiX = j2XfiX = (J2X)2 (2x1/2)2 
= 3fiX = ~J2X 
2x 2x 
~":":;..> ~,~,. 
b)	 Racionalizar el denominador de __2_ 
V9i 
EI denominador es V32 . a; para que en el denominador quede una 
raiz exacta hay que multipllcar t~ por ~, y pa~ue la 
fracci6n no varie, se multiplica tambien el numarador por V3a2, ten­
dremos: 
2 V3a 2 2V38J--x--=
•V'9B: V3a 2 t!3 3 8 3 
2~ 
3a 
c) Racionalizar el denominador de 5
 
3V2x 2
 
EI denominador es 3 V 2x2; para que en el denominador quede una raiz 
exact a hay que multipficar por V 2 3 . x 2, y para que 18 fracci6n no varie, 
se multiplica tarnbien el numerador por t!2 3 , x2, 
Tendremos: 
5 5 . t!2 3 • x2 5~ 
3t!2x2 3V2x2~2 3~4 
5~	 _ 5 t!23x 2 
.!. - "3 2x
3(2 4x4). 4 
~ . V23x 2 = 2-t!8x2 
6x 6x 
v 
4.17. EXPRESIONES CONJUGADAS 
a)	 Definici6n: se dice que dos expresiones son conjugadas, cuando tene­
mos radicales de segundo grado como J8+ J5 Y F - Jb 6 a + J5 
y a - Jb, que difieren so/amente en el signa que une sus terminos. 
EJEMPLOS 
a) La conjugada de 3J2 - J5 es 3J2+ .j5 
b) La conjugada de 4 - 3.j5 es 4+ 3)5 
c) La conjugada de J8+ J] es J8 - j7 
EI producto de dos expresiones conjugadas es racional. 
Asi: 
(3)2 - ft)(3J2 + ft) =
 
18 - 5 =
 
(3j2) 2 - (ft) 2 = 
13 
por
 
denominador. 2 - sj2,
 
4 - 12 2 - Syt:2 8 - 212 - 20}2+ S . 2 x-_.....:.....­
2+ s}2 2 - Syt:2 4 + 10)2 - 10J2 - 2S . 2 
18 - 22)2 = 18- 22j2 
4 - SO -46 
2(9 - 11 j2) = _ (9 - 11 j2) 
-2 . 23 23 
11}2 - 9 
23 
)5+ 2j7
b)	 Racionalizar el denominador de 
4j5 - 3ft 
Multiplicando ambos terminos de la fracci6n POf la conjugada del 
denominador, 4J5+ 3J?: tenemos: 
/5+ 2ft x 4/5+ 3/7 = 
4/5 - 3ft 4j5+ 3.j7 
4/25 + 8)"35+ 3j35+ 6149 
(4/5)2 - (3J7)2 
4· S+11)35+ 6·7 
16 . S - 9 . 7 
20+ 42+ 11~ 62+ 11)35 
80 - 63 17 
3 - J2c)	 Racionalizar el denominador de 
1 + J2 
b)	 Racionalizar el denominar de una fracci6n cuando el denominar es un Multiplicando ambos terrnlnos de la fracci6n por la conjugada del 
binomio que contiene radicales de segundo grado. denominador, 1 - fi tenemos: 
3 - J2 -,/2 3 - J2 - 3,/2+ j2)2
-----'-,:=_ X 
1 + ./i -)2 (1)2 - (J2)2
Procedimiento: Se multiplican ambos terminos de la fracci6n
 
por la conjugada del denominador V se simplifica el resultado.
 3 - 4./2+ 2 = S - 4/2 
1 - 2 -1 
4./2 - S 
EJEMPLOS 
a) Racionalizar el denominador de 4 - 12 
2+ s12 
v4.18. EXPONENTES RACIONALES Multiplicando ambos terminos de la fracci6n la conjugada del 
a)	 Consideremos X un nurnero real distinto de cero. Deseamos establecer 
el significado de la expresi6n Xl/n donde n es un natural distinto de 
cero. 
Hallemos la n-eslma potencia de Xl/n de acuerdo con las propiedades 
de la potenciaci6n.
 
Pero de acuerdo con la definici6n de radicaci6n:
 
(xVn)n = X (recordemos: V = fi <0> Vn = x)
 
De 10 anterior deducimos:
 
Siendo X un numero real, 
Xu, = ficon la condici6n: n es racional, X debe ser positivo. 
EJEMPLOS 
2a)	 ./i+ 21/
b)	 V;= X1/3 
c)	 15= S1/4 
b)	 Propiedades de la potenciaci6n para exponentes racionales
 
X, Y pertenecen a los reales.
 
P. q pertenecen al conjunto de los nurneros racionales. 
27. 
;~L::~~:t;;,;~,"':ig',ii1lt:·,i~r ¥~4i4/~ifkk 
"'"""'.......
.""~" "./,~~. f 
1"~;,_,t· <", ,~:.;~ 
propledades Ejemplos 
1) XP x xq = XP+ q 3
1/2 X 3-3'2 = 3-2/2 = 3- 1 = ..!... 
3 
2) (XP)q = Xpq (4-3 r 2l3 = 4(-3)(-213) = 42 = 16 
3) ~= Xp ­
q 
~ 
~ = 5-1/2 = _1_ = fi 
53/2 5J5 
4) (X . Y)P = XP . YP 41/3 X = 81/3 = {/8 = 22113 
5) ("'!")P = .z;
Y YP 
~ = (~) 1/2 = (..!...) 1/2 = fi 
61/2 6 2 2 APENDICE 1 
EJERCICIOS
 
COMPLEMENTARIOS
 
A. EJERCICIOS DE APLICACION 
B. EJERCICIOS DE INVESTIGACION 
tf&ixrf\./':Y~~$,~~;L :.;,..-~ , 
A.1. 
Para el producto de numeros naturales = 3 x 3 x 3 x 3 x 3.
 
a) loGuantos factores tiene?
 
b) loPor ser un producto de facto res se puede expresar en forma de
 
potencia? 
c) loGuel es la base de esta potencia? 
d) loY el exponente? 
e) Hallar su valor. 
Soluci6n 
a) Tiene 5 factores iguales (3). 
b) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35. 
c) La base de esta potencia es 3. 
d) EI exponente es 5. 
e) 3 5 = 243. 
8.1. 
Para el producto de nurneros naturales = 7 x 7 x 7 x 7. 
a) loGuantos facto res tiene?
 
b) loSe puede expresar en forma de potencia? loG6mo? _
 
c) loGuel es la base de esta potencia?
 
d) loGual es el exponente?
 
e) Hallar su valor
 
A.2. 
loQue tienen en comun las potencias 102 y 10J'? 
Tienen fa misma base = 10. 
Gompletar: 
102 X 103 = 10-+ - = 10­
102 X 103 = 102+ 3 = 1()5 
lfp+('bi··~'ip¥.:);_ .......:i:>-""'.
 
.-..,'" OJ" i",,~:,~"$\~{?iYJ~~~V F 
~: " '"i".' .': ." . ,:,. . >b~' ~ 
EI resultado de multiplicar dos potencias de la misma base es otra potencia 
que tiene la misma base, y cuyo exponente es la suma de los exponentes de 
las dos potencias que tienen igual base. 
B.2. 
l.Que tienen en cornun las potencias 2 2, 2 3 Y 2?
 
Completar:
 
22 X 23 X 2 2-+-+-= 2­
Calcular:
 
22 X 23 X 2 =
 
A.3. 
Hallar: ~, dividiendo los resultados de las dos potencias.
3 4
 
Soluci6n 
35 3x3x3x3x3 243 = 3
 
3 4	 ­ 3x3x3x3 81
 
Hallar: ~, mediante la regia de dividir potencias de la misma base. 
3 4
 
~ = 35 . 3 -4 = 35-4 = 3
 
3 4
 
Concluimos que los dos resultados son iguales. 
B.3. 
54 8 5 9 7 .
 
Hallar: 52' 83' ""94' mediante:
 
a) Dividiendo el resultado de las dos potencias
 
b) Dividir potencies de la misma base
 
c) Comparar los valores
 
A.4. 
Encontrar el resultado de:
 
a 3b - 2c 5 b 2a -3C-5
 
.~ c.. ~' ~i:';', 
_ 
Solucl6n 
a3b-2c5b2a-3c-5 = (a 3 . a-3)(b - 2 . b2)(c5 . c-5) 
= a3-3 . b -21-2 • C5-5 
a? . b O • CO 
1 . 1 . 1 
1
 
B.4. 
Encontrar el resultado de:
 
X4. Y3 . Z1 . y-3 . X-3 . Z-1
 
A.5. 
1.	 Completar: 
a) (3 x 2)2 = 32 X 22 = 9 x 4 = 36.
 
b) 23 x 33 = 8 x 27 = 216
 
c) 71 x 41 X 2'. == 7 x 4 x 2= 56
 
2.	 Calcularlos siquientes productos: 
a) 23 x 32 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 ~ 8 x 9 = 72
 
b) 52 X 3 x 1()O = 5 x 5 x 3 x 1 = 75
 
c) 31 X 92 X 7° = 3 x 81 x 1 = 243
 
3.	 Expresar en forma de producto de dos factores de modo que uno de 
ellos sea una potencia de 10. 
a) 5.000 = 5 x 10 x 10 x 10 = 5 X 103
 
b) 4.000 = 4 x 1.000 = 4 x 10 x 10 x 10 = 4 x 103
 
c) 2.500 = 2,5 x 1.000 = 2,5 x 10 x 10 x 10 = 2,5 X 103
 
4.	 Expresar como producto de dos factores, uno de ellos de potencia 10,
 
la distancia de la Tierra a la Luna. 
Soluci6n 
Distancia de la Tierra a la Luna = 384.000 km. 
384.000 = 3,84 x 100.000
 
3,84 x 10 x 10 x 10 x
 
3,84 X 105
 
:s/:;;·: 
10 x 10 
B.5. 
1. 
2. 
3. 
4. 
Completar: 
a) (15 x 17)° = 
b) 23 X 33 X 43= _ 
c) (2 x 3 x 4)2 = 
Calcular los siguientes productos: 
a) 55 x 3 X 52 = 
b) 25 X 4 X 6 2 = 
c) 42 X 50 X 6 2 = 
Expresar en forma de producto de dos factores de modo que uno de 
ellos sea una potencia de 10. 
a) 3.800 = 
b j 6.000 x 3.000 = 
) 
30.000 c - ­
600 
Expresar por medio de dos facto res, siendo uno de ellos de potencia 
10, el promedio de las mayo res profundidades marinas. 
Promedio de las mayo res profundidades marinas = 10.000 metros. 
4. 
5. 
B.6. 
1. 
2. 
3. 
4. 
Expresar de dos maneras, como potencia de potencia Ia siguiente po­
tencia simple: 
212= { (23)4 
(26) 2 
Encontrar el valor de n en las siguientes potencias: 
a) (32)m = 36 = n = 3, pues (32)3 = 36 
b) (53)" = 1 = n = 0, pues (53)0 =1 
Completar: 
a) (4-)6= 424 
b) (25)-= 210 
Calcular las siguientes potencias: 
a) (4 3)2= 
b) (52)° = 
Com pletar: 
a) 7 2 + 3 2 + 121 = 
b) 4 2 + 6 2 + 7°= 
Expresar de dos maneras, como potencia de potencia las siguientes 
potencias simples: 
';y~ 
5. 
5 
36 
= {- ­
Encontrar el valor de n en las siguientes potencias: 
a) (5")4= 58 = n = 
b) (4")6= 412 = n=A.6. 
1. Completar: 
a) (32)2= 34= 81
 
b) (102)3 = 106 = 1.000.000
 
1. Expresar con signa radical: 
(23)3 
2. Calcular las siguientes potencias: 
a) X1/3 = VX
 
b) (10°)1 = 100 x 1 = 100 = 1
 
a) = 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 
b) a5/4 b3l2 = vas .jb3 = aja· bjb 
3. Completar: 2. Expresar con exponente fraccionario: 
a) 24 + 35 + 102 = 2 x 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 x 3 x 3 + 10 x 10 = a512a) .;as = '-! = 16 + 243 + 100 = 359
 
8°+32+21=1+3x3+2=12
b) 3aml3b " /3 b) 3uam v'b" 
~f¥e4t*~L;M")~>.U':. 
~,;; 
~ 
Tenemos Que la }es un valor oositivo y esta precedida de un signaB.7. 
menos, por tanto tendremos (~) ralz par de un radicando nega­
tivo, que nos da un resultado imaginario.
 
a) x2l3y1l4Z115 =
 
b) 3X2/7y4/5 =
 
1. Expresar con signo radical: 
B.9. 
2. Expresar con exponente fraccionario: 
a) l.C6mo se llama la expresi6n -vx?
 
a) 2~= _
 
b) 2Vab 3c5 = 
b) l.Por que la siguiente expresi6n no es un numero real? 
tlv=a 
A.S. 
Expresar con exponentes positivos y simplificar: 
2 a 1 (a)2a) a 2b -3 = b3 = b b 
A.10.
 
-1/2 Itt
b) a- 4 • b = -' -- = ­ Hacer las operaciones indicadas: a4 b1 2 . / a4Jb 
a) F8J2 = J8"=2 = j16 = 43x-1y - 1/2 3 3 3 1 
c) = = --= -'--, b) t/27V8 = ~ = t,l2t6 = V63 = 6y3 X . yl/2y 3 xy7/2 X R' 
c) if(),5 = V0,5 = V50 = V2
·V 0,25 0,25 25 
B.S. 
Expresar con exponentes positivos y simplificar: 
B.10. 
2m-5n -7 
a) 
a2m 3n-4 Hacer las operaciones indicadas:
 
3 a) -}3"/27 =
b) x-1y-5
 
b) VXVX2 =
 
a-2/3 . b3 
c) 3./8
a2 •CO • b- 2 c) V- 27 = 
A.11. 
A.9. 
Reducir los siguientes radicales:
 
a) l.C6mo se llama la expresi6n VX? 1. 2t! 243
 
Raiz cuarta de x. 2t1243 = 2t13 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2tf35
 
2 . 35/4b) l.p<;>r que la siguiente expresi6n no es nurnero real? 
2·3· V3
J-J2 6V3 
r- " ;', ';0; :,;ir~"A:~~:~~L~~'1'k'~ 
('tri, 
,·,':~"~ ..:~~,t:.~:~;,;'~ 
/ 
/ 
/ 
/ A.13.2 /25 2·a2·b 
j50a2b = v . 2. b = 5a}2b/. = j52 • a2 •
 
/
 1. Suma y resta de radicales: 
/ j175 + J 243 - J63 - 2J75 =
 
= J2fJ7 + ~ -~ - 2J25="3 =
 
= 5j7 + 32}3 - 3ft - 2 . 5}3 =
 
= 5.)7 - 3.Jf + 9ft - 10ft =
 
Reducir los siguiente radicales
 
8.11. 
= 2ft - .j3 
1. 3j81x3 y4 _ 2. Multiplicacion de radicales: 
2. 2aJ44a3b7c9 _ if12 x V9 
V12 x V9 = V108 = V22 . 33 
= 3V22 = 3V4 
A.12. 3. Division de radicales: 
1
Hacer enteros los siguientes radicales "2fiX 
1. 4mV2m2 
~V16x4
4mV 2m2 = V(4iTi)3 V2rfi2 4 
4 J2X 2· [V2XP-'- ­= V64m3 • 2m2 = V128m5 
2 V16x4 V16x4 
2 . V(2Xp = 2~1 (2x)3 
= V26 • m5 = 26'3 . m5f3 V 16x4 V 16x4 
= 22 . m . m2/3 = 4m~ 3 62V 8x= = 2 ( 1 
16x4 2x 
8.13. 
2. 2at!8ab3 
1. Suma y resta de radicales: 
'I2at!8ab3 = t! (2a)'! t! 8ab3 '''.' 3~ 2r;<r 1 rM;; 1 ­-v 176 - -v 45 + -v 320 + -.)275= t!16a4 tf88b3 4 3 8 5 
= V128a5b3 
8.12. 
2. Multiplicacion de radicales: 
Hacer enteros los radicales: 
~Irx x 6·/21. 5x2yJ3 = 
3 V-YZ Vy­
'I~
2. (x + 1) VX+1 = 
',,38 
3. Divisi6n de radicales: 
4 1 rn:::?
-V4ab -T -y' 2a2 
5 10 
A.14. 
Potenciaci6n de radicales: 
1.	 Desarrollar: 
(2if4)"	 = 22 . (U4)2
 
= 4· V(4)2 = 4V24
 
= 4· 2V2
 
= 8V2
 
2.	 Elevar af cuadrado:
 
(5)7 - 6)2 = (5j7j2 - 2 . 5J7· 6 + (6)2
 
= 25(J7)2 - 60/7 + 36
 
= 25 . 7 - 60ft + 36
 
175 + 36 - 60)7 
= 211 - 60ft8.14. 
Potenciaci6n de radicales: 
1.	 Desarrollar:
 
2b)4
(3V2a	 = ------------------ ­
2. Elevar al cuadrado: 
(Jx + Jx - 1)2 = 
A.15. 
Radicaci6n de radicales: 
1.	 Simplificar: 
2j~ =
3xU4a
= t/ 22a2 = (2a)2,fJ 
= (2a)1/3 = V2a 
2.	 Simplificar: 
VV27a3 =3X~ 
= '\1 (3a)3 = (3a)3/12 
= (3a)1/4 = V3S 
8.15. 
Radicaci6n de radicales: 
1.	 Simplificar: 
VJa4 !)6	 = 
2. Simplificar: 
V3ft= 
A.16. 
Racionalizaci6n: 
5
1. Debemos eliminar la ralz del denominador. 
if4cI2 
_5_= _5_.~ 
V482	 V22 • 8.2 ~ 
5V2a 5% 
~2·a2·a ~3 
5% 
V (2a)3 
5V2a - 2.- . J2S 
~- za 
., 
1 192. 2. Racionalizar el denommaaor ae --,--- ­
5J2 - 4j3'V9X 
1 1 V3 . x2 Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada del enomi­
nador.t!9x - ~ ~ 
19 5j2 + 4ft _ 19(5j2 + 4}3) 
V32 3 . x2 
V3X2 
• . x 5/2 - 4j3 5/2 + 4}3 - (5j2)2 - (4)3)2 
19(5/2 + 4/3 = 19(5/2 + 4}3 
~ V(3X)3 
V3X2 = V3X2 
25(J2)2 - 16(J3)2 25 . 2 - 16 . 3 
19(5j2 + 4/3 = 19(5J2+ 4)3) 
3x 3x 
V3x
2 
= _1_ . t!3x2 
50-48 2 
95/2 + 76/3 
28.16. 
8.17.
Racionalizaci6n: 
3 _ Expresiones conjugadas: 
1. V9a­ __,__~ __ ~_ 3/2
1. Racionalizar el denUlIlIlIClUUI UI:: -----:=-~-
7j2- 6/3' 
6 = 
2.	 if3X
 
5/2 - 613
2. Racionalizar el denominador de 
4/2 - 3/3 
A.17. A.18. 
Exponentes racionales: Expresiones conjugadas: 
1. Expresar con radicales:fi-J51. Racionalizar el denominador de 
3n 3l4 = 3vnaJ2+J5 
2. Expresar en potencia:
 
Multiplicamos numerador y denominador por la conjugada del deno­
 VB = if23 = 24,(3minador. 
3. Resolver: (3X2l3)(X4/3) . 
j2 - ft 12 - J5 _ (12 - jS)2
 
3x2l3 . X4/3 = 3 . X2l3 + 4/3 = 3 . xet3 = 3x2
 j2 + j5 J2 - J5 - (j2)2 - (j5)2 
4. iPor que la expresi6n (-2)-312 no es igual a: 
(J2)2 - 212ft + (ftj2 = 2 - 2J1O + 5 
(_2)-31'2 = 1 = 1 = _1_ ?2 - 5	 -3 
(-2)3(.1 J(-2)3 N
 
7 - 2J16 - (7 - 2)10) 2j1O - 7
 Tenemos en el denominador una ralz par con un radtcando negativo, 
-3 3	 3 esa ralz no tiene valor real. 
42 
8.18. 
Exponentes racionales: 
1.	 Expresar con radicales: 
_7x
1l3 
' y1l2 = ------------------------­
2.	 Expresar en potencias:
 
V-n2 =
 
3. Resolver: 
(x2 .X~/2)1I2. x-213 = 
4. (" Por que la expresi6n V - J=9 no es real? 
,"."-:"'"."," <·;';IF" 
APENDICE 2 
AUTO-EVALUAC10N
 
:;" ,.~', 
1.	 Exprese como producto de facto res iguales. calcule las siguientes po­
tencias; explicando cual es la base y el exponente. 
L.)
a) 2 x 2 x 2 x 2 ::, i .' 
b) 3 x 3 x 3 x 3 ~3""LTI-_-"--'--:,,;,,'-.\------------ ­
c) 4 x 4 x 4 x 4 x 4 _"1.2...-~ _ 
2.	 Calcula el producto de las siguientes potencias: 
. ,	 ~ ~. 
8) 10 2 X 10 3 \.;, \ I! ;
 
b) 3 X 3 2 X 3 3 '3; ;, -,
 
c) 5 X 52 X 5 4 5..<....'_'..,._' _
 
3.	 Expresa como producto de dos factores, en cuatro formas posibles, la 
siguiente potencia: -<:) 7,.~ s,t. y. .~ 
f .- . ~ f 
3'~ I 
-~ 
4.	 Hallar los siguientes cocientes: 
357 ;	 ..e­~",." )
a)	 -- = \ 
.-" -'" 35 5 
/",,""" 
b)	 
11 6 
= I / i I:; 
11' 
24 3	 {;
c)	 ,",(" J 248	 = 
5.	 Encontrar tres cocientes iguales a: 
3 2 
3 2 
_______--= 3 2 
F?riP.f b';~f K'iJ:". t"'¥' 
-''"....	 't>",',,:..'r ,..<;;'/": ; 
6. Escribir en el Del simbolo mayor que (», menor que «) 0 igual (=), 4. Expresar de dos maneras, como potencia de potencia las siguientes 
segun corresponda. potencias simples: 
110 0 a) 1730 = {----- ­10 1	 10 2 0 120 
_1_0 15	 2 b) 5 36 ={--- ­
2°	 (~rD 2­
5.	 Encontrar el valor de n en las siguientes potencias: 
7.	 1. Completar: 
a)	 (n2)3 = 64 
a)	 (10 x 5)3= 
b)	 (62)" = 64 => n = 
b)	 (8 X 3)2= 
9.	 1. Expresar con stqno radical:2.	 Calcular:
 
a) 30 x 7 1 X 10 2 =
 
b) 2° X 61 X 70 X 82 =
 a)	 8mn8/3 = 
b)	 4a3/4 = 
3.	 Expresar en dos factores:
 
a) Distancia de Valera a Caracas:
 _ 
votar: _ 
_	 
2. Expresar con exponente fraccionario: 
b)	 La extension de Venezuela: 
a) J83 ifi)5=	 _ 
c) La poblacion venezolana:
 
d) Numero de habitantes venezolanos que pueden b) 'V8'ifbJ VC4
 
e) Longitud del rio Orinoco: c)' 3jX2 W =
 
f)	 La distancia de la Tierra al Sol: 
8.	 1. Completar: 10. Expresar con exponentes positivos y simplificar: 
a) (53)- = 53 
1	 2a-"2 x-·a)b) (2,-)7= 221 
3a3x2y-1 
2.	 Calcular las siguientes potencias: 3xy2z3
b) x -1 y -2Z
 
b) (900)1 =
 
a)	 (7 3) 0 = 
3.	 Completar: 11. a) l.Como se llama la expreslon -V2? 
82+a) 40+ 78 1 = 
b) loCusl es la raiz cuadrada principal de x? '" 
4 3 + 2 4 + 7 3 = 
tgti£~'f()k(~ii:,_L:~, ~'_-' 
2. Elevar al cuadro: 
c) Explicar por que la siguiente expresi6n no es un nurnero real: 
[2Jax - 1+ ~F	 _
~-if16 
17.	 Radicaci6n de radicales: 
1. Simplicar: 
J3V3 ~	 ~ 
12.	 Hacer las operaciones indicadas: 
2. ~VX10. Simplificar.	 _ 
a) V-8 - V27=
 
V2"V20
b) 8V5 -­
18. Racionalizaci6n:
 
c) V1,25V100=
 x 
1. 
V27x 2 
13.	 Reducir los siguientes radicales: 
1
1. ~V81a4b8= 
2. ~8a43 
2. J9a3 - 36a2 + 36a =	 _ 
19.	 Expresiones conjugadas. 14.	 Hacer enteros los siguientes radicales: 
9J3 - 3ft 
1. Racionalizar et denominador de 1. (x - 1)'~ = 6 - fiVx-=-1 
V(81a 2 -IX - JX=12. 2xy -- = 2. Racionalizar el denominador de 4x3y -IX + JX=1 
15.	 Suma y resta de radicales: 
1. 2jm'2fi" - 9Jm2n+ j16mn 2 - J4mn 2 ---'- _ 
20.	 Exponentes racionales: 
1. Expresar con radicales:2. Multiplicaci6n de radicales: 
- 8x5l3y3l2z2!3 =3j6 x Ji4 x 2j35 
3. Divisi6n de radicales: 2. Expresar en potencias: 
3"±'V 4ab -i- _1_J2i2 ~ -x = ------------------- ­
5 10 
3. Resolver: 
16.	 Potenciaci6n de radlcales,
 
Desarrollo:
 J3x.-2 
J (9X)1121. (~8X3)2 
-: '-'~~:,::1.~Li:Q;~~~~i~J">i'~ 
51 
,r.. 
4. l.Por que la expresi6n [if-=1Jll6 no es real? 
BIBLIOGRAFIA 
DEPARTAMENTO DE INVESTIGACION EDUCATIVA DE VOLUNTAD EDITORES: 
Matematica-Educaci6n Creativa. 1.8 edici6n.Bogota-Colombia. Voluntad Edito­
res, S. A, 1977. 
GEORGE,PAPY:MatematicaModerna. 2.8 edici6n.Argentina.Editorial Universitaria 
de Buenos Aires, 1970. 1, 2, 3 tomos. 
BALDOR, A: Algebra Elemental, 2.8 edici6n. Espana. Editorial Mediterraneo, 
1970. 574 pp. 
MAX PETERS, WILLIAM SCHAAF: Algebra y Trigonometria. 1,8 edici6n. Mexico. 
Editorial Reverte, 1972. 743 pp. 
Texto recomendado: 
CURSO BASICO DE MATEMATICAS. Editorial Schroedel, Madrid, 
1979, Editecnica Suramericana, C. A 
,~ 
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