MATEMÁTICA-2DO-MEDIO-GUÍA-N3-NUMEROS-REALES-POTENCIAS

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LICEO PABLO NERUDA 
TEMUCO 
PROF.ELENA SALAMANCA HUENCHULLAN 
1 
 
GUÍA N°3 DEL PRIMER SEMESTRE 
NUMEROS REALES – POTENCIAS 
 
OBJETIVOS: 
- Resolver operatoria numérica y 
problemas de aplicación en R. 
- Retroalimentar Potencias y 
sus Propiedades. 
RECORDATORIO: 
 Conjunto de los Números Racionales (Q) 
El conjunto de los números racionales es aquel que contiene a todos los 
números que se pueden escribir como fracción. 
Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de 
ellos mismos por la unidad 𝒂 = 
𝒂
𝟏
 
En una fracción se distinguen siempre el numerador y el denominador. 
Se cumple que: IN  Z, además Z  Q 
 
 Conjunto de los Números Irracionales (Q* o I) 
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no 
pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces 
inexactas, el número  (Pi), e, etc. 
A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos 
números que no pueden transformarse en una fracción. 
Sólo se puede dar una aproximación de su valor real. 
Ejemplo: 1)  = 3,141592… 2) e = 2,7182... 3) √𝟐 =1,4142… 
 
 Conjunto de los Números Reales (IR) 
El conjunto de los números reales son aquellos que poseen una expresión 
decimal e incluyen tanto a los números naturales, enteros, racionales e 
irracionales, que como ya señalamos son aquellos que no se pueden expresar de 
manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. 
Nota que se cumple que: IN  Z, además Z  Q y IR = Q  Q* 
La adición y multiplicación en IR cumplen con la totalidad de las propiedades ya 
vistas para estas operaciones en Z. 
 
 
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POTENCIAS EN LOS REALES 
 
DEFINICIÓN: 
i) Potencia de exponente entero positivo. Se define una potencia como la 
multiplicación de n veces de un número a, por sí mismo, lo cual se escribe 𝒂𝒏= 
b , donde a es la base , n el exponente y b es el resultado de la potencia. 
 
Ejemplos: 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81 
 (
5
6
)
2
= 
5
6
∙
5
6
 = 
25
36
 
 
ii) Potencia de exponente 0, 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎 
 
Ejemplos: (−𝟒)𝟎 = 𝟏 
 (
𝟗
𝟏𝟎
)
𝟎
= 𝟏 
 
iii) Potencia de exponente entero negativo. Se define como: 
 𝒂−𝒏 = 
𝟏
𝒂𝒏
 , 𝒔𝒆 𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒚 𝒆𝒍 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐. (𝒂 ≠ 𝟎) 
 (
𝒂
𝒃
)
−𝒏
= (
𝒃
𝒂
)
𝒏
 , se invierte numerador y denominador y se cambia el signo 
del exponente. (𝒂 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎) 
 
Ejemplos: 𝟐−𝟓 = 
𝟏
𝟐𝟓
= 
𝟏
𝟑𝟐
 
 
 (
𝟑
𝟒
)
−𝟐
= (
𝟒
𝟑
)
𝟐
= 
𝟏𝟔
𝟗
 
 
No olvidar, en cualquier potencia se cumple que: 
a) 𝑎1 = 𝑎 
b) 0𝑛 = 0, si n > 0 
c) 00 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑅, es indeterminado 
 
A) SIGNOS DE UNA POTENCIA 
 Exponente PAR: el signo de una potencia con exponente par es siempre 
POSITIVO, a menos que la base sea 0. 
Ejemplos: 52 = 25 
 (−5)2 = 25 
 (7 − 9)4 = (−2)4 = 16 
 −92 ≠ (−9)2, porque en el primer caso se obtiene - 81 y en el segundo 81 
 
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 Exponente IMPAR: el signo de una potencia con exponente impar es igual 
al signo del número de la base, ya sea con paréntesis o sin paréntesis. 
Ejemplos: 73 = 343 
 (−7)3 = −343 
 (10 − 3 ∙ 4)5 = (10 − 12)5 = (−2)5 = −32 
 −103 = (−10)3, 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 − 1000 
Nota: debemos esmerarnos en utilizar y manejar correctamente los paréntesis, son de 
suma importancia para no equivocarnos al obtener un resultado. 
 
 
B) PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS 
Las propiedades de las potencias son reglas que se cumplen en cualquier potencia, no 
importando el tipo de exponente que tenga. Las propiedades se pueden demostrar y 
dicen cómo se pueden operar las potencias. 
Las propiedades de las potencias hacen referencia a multiplicaciones y divisiones. 
Cuando hay sumas y restas involucradas se debe calcular el valor de las potencias y 
luego operar. 
 
a) Multiplicación de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, 
se conserva la base y se suman los exponentes. 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 
Ejemplos: 1) 35 ∙ 38 = 313 
 2) (
2
3
)
−3
∙ (
2
3
)
5
= (
2
3
)
2
= 
4
9
 
 
b) División de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base, se 
conserva la base y se restan los exponentes. 
 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚   
Ejemplos: 1) 37 ∙ 34 = 33 = 27 
 2) (
2
3
)
−3
: (
2
3
)
5
= (
2
3
)
−8
 (observa que es -3-5 por eso es -8) 
c) Potencia de una potencia. Se conserva la base y se multiplican los exponentes. 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 
Ejemplos: 1) (23)2 = 26 = 64 
 2) (𝑚5𝑛3)4 = 𝑚20𝑛12 
 3) (4𝑎𝑏7)2 = 16𝑎2𝑏14 
 
d) Multiplicación de potencias de igual exponente. Para multiplicar potencias de igual 
exponente, se conserva el exponente y se multiplican las bases. 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 
Ejemplos: 1) 37 ∙ 57 = (3 ∙ 5)7 = 157 
 2) (
2
3
)
−3
∙ (
5
4
)
−3
= (
2
3
 ∙
5
4
)
−3
= (
10
12
)
−3
= (
5
6
)
−3
= (
6
5
)
3
= 
216
125
 
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Nota que esta propiedad también puede ser vista como la potencia de un producto. Si 
en una potencia la base es un producto, entonces será lo mismo que calcular el 
producto de las potencias. 
Ejemplos: 1) (3 ∙ 7)2 = 32 ∙ 72 = 9 ∙ 49 = 441 
 2) (𝑎 ∙ 𝑏)5 = 𝑎5𝑏5 
 3) (𝑎3 ∙ 𝑏2)5 = (𝑎3)5 ∙ (𝑏2)5 = 𝑎15𝑏10 
 
e) División de potencias de igual exponente. Para dividir potencias de igual exponente, 
se conserva el exponente y se dividen las bases. 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = (𝑎: 𝑏)𝑛 
Ejemplos: 1) 244: 84 = (24: 8)4 = (3)4 = 81 
 2) (
1
3
)
5
: (
2
5
)
5
= (
1
3
∶ 
2
5
)
5
= (
5
6
)
5
= 
3125
7776
 
 
 
 
SUMA Y RESTAS DE POTENCIAS: 
Si bien no existen Propiedades para la suma y resta de potencias, es posible aplicar 
Factorización para reducirlas. 
Ejemplos: 813 + 815 = 813 ∙ (1 + 82) = 813 ∙ (1 + 64) = 813 ∙ 65 
 
 1213 + 1211 = 1211 ∙ (122 + 1) = 1211 ∙ (144 + 1) = 1211 ∙ 145 
 
Otro tipo de ejercicios con suma y resta de potencias, son los siguientes: 
1) 23 + 33 − 43 =? En este caso no existe ninguna Propiedad, sólo debemos 
calcular cada potencia y luego sumar y restar. Entonces resulta: 
8 + 27 – 64 = 35 – 64 = - 29 
2) (
4
3
)
2
+ 2−3 = 
16
9
+ 
1
8
=
16∙8 + 1∙9
9∙8
= 
128 + 9
72
= 
137
72
 
Recuerda que:2−3 = 
1
23
=
1
8
 
 
 
¡¡¡Terminamos el repaso de Potencias!!! Fíjate, que son sólo potencias 
con Base Real y Exponente entero……….pero existirán las Potencias 
con Exponente Fracción? Y si existen ¿Cómo se resuelven? 
¿Cuál es tu tarea personal ahora? Por supueeeesto…el Desarrollo de 
la Guía que viene a continuación y recuerda que cualquier duda 
puedes consultarla a mi correo mayaelena_salamanca@gmail.com y 
yo gustosa te responderé, lo más pronto posible OK? 
 
 
mailto:mayaelena_salamanca@gmail.com
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Actividad 1: 
 
I) Aproxima a la centésima: 
 
1) 7, 85616784.............  
2) 28,7  
3) 7,14  
4) 0,7948126.............  
5) 9,29 
 
 
II) Aproxima a la cienmilésima: 
 
1) 10,648925472683.............  
2) 256,5  
3) 89,0  
4) 15,151615161516.....  
5) 9,9  
 
Actividad 2: 
 
I) Indica la propiedad a la que se hace referencia: 
 
1) –2 + (10 + -11) = (-2 + 10) + -11 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
2) 
4
3
 · 0 = 0 · 
4
3
 = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
3) 0,75 · (15 + 1,23) = 0,75 · 15 + 0,75 · 1,23 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
4) 0,75 · 
6
5
 = 
6
5
 · 0,75 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
5) 2 + 3 = 3 + 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
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6) 1 · (-23) = (-23) · 1 = -23 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
7) (-15) · 






15
1
 = 






15
1
 · (-15) = 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
8) 
10
7
 + 
4
5
 = 
4
5
 + 
10
7
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
9) 25,3 + 0 = 0 + 25,3 = 25,3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
10) 1 IR; 2  IR, 1 + 2 = 3  IR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
11) 2,6 · (
4
3
 · 8) = (2,6 · 
4
3
) · 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
12) 0,25  IR; 
8
5
  IR, (0,25 + 
8
5
 ) = 
8
3
  IR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 
 
 
II) Indica si los siguientes números son racionales o irracionales: 
1) 
√3+ √3
2
……………………… 4) 2(1 + √2) ……………………… 
2) 𝜋2 ……………………… 5) 
√5+ 𝜋
√5
 ………………………
 
3) 
7
√144
……………………… 6) 
√196
7
+
1
9
……………………… 
 
 
 
 
 
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I. Verdadero o falso. Justifica las respuestas que son falsa. 
i. ______ El resultado de una potencia de base negativa y exponente par siempre será 
positivo. 
Justifique: 
ii. ______ si la base racional de una potencia esta elevada a un número entero negativo. El 
numerador y denominador no cambia, pero si el signo del exponente. 
Justifique: 
iii. ______ el producto de dos potencias con igual base y diferente exponente, siempre se 
mantendrá la base y se sumaran sus exponentes. 
Justifique: 
iv. ______ toda potencia con exponente igual a cero, el resultado será igual a uno. 
Justifique: 
v. ______ una potencia de base racional, su denominador nunca puede ser cero. 
Justifique: 
vi. ______ la división de dos potencias de diferente base e igual exponente siempre se 
mantendrá el exponente y se dividen las bases. 
Justifique: 
vii. ______la suma de dos potencias de igual base y distinto exponente, se mantiene la base 
y se suman los exponentes. 
Justifique: 
 
 
II.- Encuentra el valor de cada potencia. 
 
a) (-2)6 b) 133 c) (-6)5 d) 54 
e) 122 f) 302 g) 153 h) (-10)4 
 
 
III.- Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor 
posible. 
 
a) 8 b) 36 c) 64 d) 121 e) 125 f) 1.000 g) 2.401 
 
 
 
 
 
 
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IV.- . Indica, en cada caso, qué potencia es mayor. Verifica tus respuestas con la 
calculadora. 
a) 25 ____ 52 b) 46 ____ 64 c) 92 ____ 29 d)103 ___ 310 
 
 
V.- . Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su 
valor. 
a) 2-3 b) 3-2 c) 5-2 d) 2-5 
 
 
 
VI.- Calcula el valor de cada potencia y luego multiplícalas para obtener el valor de cada 
expresión. 
a) 24 · 2-3 b) 3-3 · 31 c) 53 · 5-2 d) 73 · 7-3 
 
 
 
VII.- Escribe cada expresión como una potencia con exponente negativo. 
𝑎) 
1
34
 b) 
1
52
 c) 
1
104
 d) 
1
63
 
 
 
 
VIII.-. Completa con los números que faltan para que la igualdad sea verdadera. 
 
   
 
 
 
 
 
 
16
1
 
_
_
 d) 
8
125
- 
_
_
 c) 
81
16
_
_
 b) 
8
1
 
2
1
 a)
434__




































 
 
 
     
 
 
 
 
81
625
- 
_
_
 h) 
243
32
_
_
 g) 
25
49
 
5
7
 f) 
1.000
27
- 
10
3
 e)
-4-5____

























 
 
 
IX.- Calcula el valor de cada potencia. 
 
a) (1,25)3 b) (-0,25)-4 c) (-0,25)4 d) (-0,01)-3 e) (0,5)-3 f) (1,5)2 
 
 
 
 
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X.- Aplica las propiedades de las potencias con exponentes enteros para simplificar. 
a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = 
 
 
 
c) xa+3b · x5a-4b = d) an+2b3m-5· a5nb86m+10 = 
 
 
 
e) xn+2m · (x3n-m + xn+m – 3x4n+2m) = f) 65x : 63x = 
 
 
 
g) x5a+7b-4c : x4a-4b+2c = h) 

33
34
8
32
yx
yx
 
 
 
 
i) 

 cba
cba
23
264
50
125
 j) 



738
3232 )(
nn
nn
yx
yx
 
 
 
 
 
k) 
 
 



22122
44413
nnn
nnn
cba
cba
 l) 




















ba
b
ab
a
a
ba
x
x
x
x
 
 
 
 
 
ll) 
























qp
qp
qp
qp
qp
qp
x
x
x
x
 m) (3a4b2c3)2·(2a-2b5c)3= 
 
 
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¡¡¡APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS!!! 
¿Ya estás preparado? Pues bien, ahora que has repasado todos los conceptos 
básicos relacionados con las potencias, vamos a ver un ejemplo de cómo se 
resuelven los problemas con potencias. 
 
1) La Hidra de Lerna es un personaje 
mitológico que aparece en algunas historias, 
como la de las 12 pruebas de Hércules. La 
Hidra era un monstruo con 1 cabeza, pero si se 
le cortaba, le nacían 2 cabezas en su lugar. Si 
un héroe intentaba vencerla cortándole todas 
sus cabezas cada día, ¿cuántas cabezas 
tendría la Hidra el tercer día? ¿y al cabo de 
10 días intentando vencerla? 
 
2) Las bacterias son seres vivos minúsculos que se reproducen 
dividiéndose por la mitad cada cierto tiempo. Suponemos una bacteria 
que se divide cada minuto. En ese caso, después de dos minutos 
tendríamos cuatro bacterias, a los tres minutos ocho bacterias y así 
sucesivamente.¿Cuántas bacterias habrá a las dos horas? 
 
 
3) . Las bacterias se reproducen en forma de potencia, es decir, cada media 
hora hay el doble de bacterias. Se considera que un alimento está 
contaminado cuando la cantidad de bacterias es mayor que 100.000 por 
cm3. 
A) ¿Cuánto tiempo puede permanecer un alimento no contaminado si 
inicialmente tiene 10.000 bacterias por cm3? 
B) ¿Qué medidas puedes tomar tú para que esto no suceda?