Anual Uni Semana 08 - Álgebra - Camila Darien

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual UNI
Docente: Jimmy Astupillo
REFORZAMIENTO 
II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Recordar la teoría de 
polinomios.
➢ Valor numérico
➢ Cambio de variable
𝑃 𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
→ 𝑅 𝑥 = 𝑃 −
𝑏
𝑎
✓ Recordar la división algebraica 
y el teorema del resto.
➢ Método de Horner
➢ Regla de Ruffini
POLINOMIOS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Polinomio cúbico: Es aquel polinomio de grado 3.
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑎 ≠ 0
Polinomio cuadrático: Es aquel polinomio de grado 2.
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 ≠ 0
Polinomio lineal: Es aquel polinomio de grado 1.
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 ≠ 0
𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
POLINOMIO DE UNA VARIABLE Forma:
Coeficiente principal: 𝑎0
Polinomio mónico: 𝑎0 = 1
𝑎0 ≠ 0
VALOR NUMÉRICO (VN)
𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 3
El valor numérico de una expresión es el 
resultado que queda al evaluar dicha expresión
𝑆𝑖 𝑥 = 5 𝑃 5 = 2 5 + 3 = 13
PROPIEDADES:
Si :
𝑃 1 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
𝑃 0 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Su valor numérico no cambia.
Se considera que tiene grado cero.NOTA:
Forma: 𝑃 𝑥 = 𝑘; ∀𝑥
Su valor numérico siempre es cero.
Se considera que no tiene grado.NOTA:
Forma: 𝑃 𝑥 = 0; ∀𝑥
𝑘 ≠ 0
Ejemplo: R 𝑥 = 5; ∀𝑥
Ejemplo: Q 𝑥 = 0𝑥 + 0; ∀𝑥
POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio constante
Polinomio nulo
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios 𝑃 𝑥 ;𝑄 𝑥 son idénticos si tienen el 
mismo grado y los mismos términos.
Si P 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑄 𝑥 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝
Si P 𝑥 = 𝑄 𝑥 ; ∀𝑥 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑖𝑑é𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 ,
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝;
=
=
=
L𝑢𝑒𝑔𝑜
𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛 𝑐 = 𝑝∧ ∧
∀𝑥
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CAMBIO DE VARIABLE
Debido a que la variable en una notación matemática es
“muda”, se puede cambiar una variable por cualquier otra
a) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 𝑡
P 𝑥 = 3𝑥 + 2
P 𝑡 = 3𝑡 + 2
𝑥 <> 𝑡
P 𝑡 = 3𝑡 + 2
b) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 5𝑥 + 7
P 𝑥 = 3𝑥 + 2
P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2
𝑥 <> 5𝑥 +7
P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2
c) Sea 𝑄 𝑥 + 2 = 3𝑥 − 2
𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 + 2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑄 𝑥 + 2𝑥 + 2 = 𝑥 + 23 −8
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 + 2 <> 𝑥
𝑄 𝑥 + 2 = 3 𝑥 + 2 −8
𝑄 𝑥 = 3𝑥 −8
𝑄 𝑥 = 3 𝑥 −8
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜
DIVISIÓN 
ALGEBRAICA
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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: ° 𝐷 𝑥 ≥ ° 𝑑 𝑥 > ° 𝑅 𝑥
; ∀𝑥
Clases de división
I. División exacta 𝑅 𝑥 = 0
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥
II. División inexacta 𝑅 𝑥 ≠ 0
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥
Propiedades
° 𝑞 𝑥 = ° 𝐷 𝑥 − ° 𝑑 𝑥
Grado del cociente
𝑀𝑎𝑥 ° 𝑅 𝑥 = ° 𝑑 𝑥 −1
Máximo grado del residuo 
Criterios y métodos para la división de polinomios
I. Criterio general
Si queremos efectuar la división de dos polinomios por 
cualquier método, el dividendo y el divisor deben estar 
completos y ordenados en forma descendente, donde 
los exponentes de la variable se reduce de 1 en 1; si 
faltan términos en forma práctica se completa con ceros
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Método de William George Horner
Es un método general que permite la división de 
polinomios de cualquier grado.
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐷 𝑥 = 𝑎0𝑥
4 + 𝑎1𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4
d 𝑥 = 𝑏0𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2
Esquema
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4𝑏0
𝑏1
𝑏2
𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑟0 𝑟1
* *
* *
* *
÷,×,+
Coeficientes 
del cociente
Coeficientes 
del residuo
Coeficientes del dividendo 
C
o
ef. D
iviso
r
×
−
1
𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥
2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞2 𝑅 𝑥 = 𝑟1𝑥 + 𝑟2
−
−
Ejemplo:
𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡ú𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛
−23𝑥2 + 4𝑥4 + 16𝑥
5𝑥 + 2𝑥2 − 1
Ordenando y completando, tenemos
4𝑥4 + 0𝑥3 − 23𝑥2 + 16𝑥 + 0
2𝑥2 + 5𝑥 − 1
Aplicamos el método de Horner
4 0 −23 16 02
−5
1
2 -5 2 1 2
-10 2
25 -5
-10 2
-10
4÷
÷
÷
𝑞 𝑥 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 2∧
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Regla de Paolo Ruffini
Se aplica cuando el divisor es un polinomio lineal
Ejemplo:
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐷 𝑥 = 𝑎0𝑥
4 + 𝑎1𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4
d 𝑥 = 𝑀𝑥 + 𝑁
Esquema
𝑀𝑥 + 𝑁 = 0
𝑥 = −
𝑁
𝑀
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
𝑎0 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑅
𝑀 𝑀 𝑀 𝑀
𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑞3
𝑑 𝑥 = 0 Coeficientes del dividendo
Cociente falso
Coef. del cociente
Resto
𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥
3 + 𝑞1𝑥
2 + 𝑞2𝑥 + 𝑞3 R 𝑥 = 𝑅∧
𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡ú𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛
3𝑥5 − 𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 + 9𝑥 + 1
3𝑥 + 2
3𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −
2
3
3 −1 4 9 14
3
−2 2 −4 0 −6
−3 6 0 9 −5
÷ 3
Cociente falso
Coef. del cociente
3 3 3 3 3
1 −1 2 0 3
Entonces:
𝑞 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 +3 R 𝑥 = −5∧
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Teorema del resto Calcula el resto de una 
división sin efectuarla
Teorema
𝐸𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛
𝑃 𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
; 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑅 𝑥 = 𝑃 −
𝑏
𝑎
𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −
𝑏
𝑎
;
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟
Ejemplo:
𝑃 𝑥
2𝑥 − 3
1) 𝑅 𝑥 = P
3
2
Calcule el resto en
C U R S O D E Á L G E B R A
Regla práctica para calcular el resto
I) Se iguala el divisor a cero
II) El resto se calcula reduciendo el dividendo, utilizando 
la condición anterior.
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟Ejemplo:
5𝑥12 + 12𝑥10 + 𝑥6 + 𝑥 + 3
𝑥2 + 1
𝐼) 𝑥2 + 1 = 0 𝑥2 = −1
Aplicando el teorema del resto
𝐷 𝑥 = 5𝑥12 + 12𝑥10 + 𝑥6 + 𝑥 + 3
II) Para reducir el dividendo le damos forma
𝐷 𝑥 = 5 𝑥2 6 + 12 𝑥2 5 + 𝑥2 3 + 𝑥 + 3
−𝟏 −𝟏 −𝟏
= 𝑥 − 5
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e