Modulo4-2

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PARADA TeÓRICA
14 Expresiones algebraicas. Polinomios
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números,
letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciacióny radicación.
3 1 ~ rz: x5 - 4 ~ r: 2 4a) 2x + 34 b) 5x + 6x - - e) i + V 3x d) -- e) V 2 x - - x3 x2 5
Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.
En este capítulo se estudiarán expresiones algebraicas con una sola variable (x).
Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y_::
denominan polinomios.
Los ejemplos e) y d) no son polinomios; sí lo son a), b) ye).
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
• .. 1" (1 5)mcnemio, SI tiene un so o termino "2x ;
binomio, si tiene dos términos (4i + 5);
trinomio, si tiene tres términos (3x - 8 + x3) y
euatrinomio, si tiene cuatro términos (2x5 - 2x + 7 - x2).
Los términos que tienen la misma variabley exponente son semejantes.
L ' ' 42 12 2 'os términos x, -"2x y x son semejantes.
a) S(x) = x + 5x3 - 2x4; coeficiente principal: -2. b) T(x) = x5 - 8x4 + x; coeficiente princip
Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos
un polinomio.
a) p(x) = 7x + 6x2 - x5; grado: 5. b) Q(x) = 4 - x + x3; grado: 3. e) T(x) = 5; grado O.
Se /lama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.
Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1 se lo denomina normalizado.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respect
los exponentes de la variable.
) ()
4 13 12 ) () 12 13 5 2a H x = 3x +"2x -"2x + x - 1 b J x = 4 + x +"2x - 3'x e) Z(x) = x - 2x + 7
Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.
a) R(x) = 6x4 - 5x3 + i - 3x - 1; está completo. b) Q(x) = x4 - t/ - 3; está incompleto.
Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
a) M(x) = x5 + 3x3 - 1 = x5 + Ox4 + 3x3 + O/ + Ox - 1
b) N(x) = 4x4 + 2i = 4x4 + Ox3 + 2/+ Ox + O
e) K(x) = x6 - 3 = x6 + Ox5 + Ox4 + Ox3 + Ox2 + Ox - 3
b) 6 5 + 1 5 + 5 _ lS 5X 2X x - 2X e) x + x + x + x + x = Sx
Adición y sustracción de polinomios
La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es la su~:
de los coeficientes de los monomios dados.
Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Reducir un poJinomio es sumar o restar sus términos semejantes.
a) 2x + 3x4 + X - x4 = 2x4 + 3x b) x5 - lx4 + x4 + x3 - 6x3 = x5 + Ix4 - Sx33 3
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos serne-
jantes y se suman.
a) Dados; {P(X) = -3 + 2i- Sx3+ x4
Q(x) = -9x3 + x2 + X - 1
p(x) + Q(x)
Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraen do.
a) Dados: {M(X) = 2/ + x - 2 b) Dados: {A(X) = -2x + 3x2 - ~x3 - 7
N(x) = / + 1 (x) = 3x - si - x4 + 2
M(x) - N(x) A(x) - (x)
2x2 + x - 2 Ox4 - 1x3 + 3i - 2x - 7
+ -x2 + Ox - 1 2+ x4 - Ox3 + 5i - 3x - 2
i + x - 3
4 1 3 2
X - -x + 8x - Sx - 9
2
Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos.
2/+ Ox - 3
/+ x - 1+
3i + x - 4
b) Dados: {R(X) = / - x + 1
T(x) = -x + 2 - 5/
R(x) + T(x)
+
/ - x + 1
-si - x + 2
-4/ - 2x + 3
Dados: p(x) = 6/ + 2x - 1, Q(x) = / + 3x - 2 Y R(x) = 2x2 + x + 5.
a) p(x) + Q(x) + R(x)
-p(x) = 6/ + 2x - 1
Q(x) = / + 3x - 2
R(x) = 2/ + x + S
p(x) + Q(x) + R(x) = 9x2 + 6x + 2
b) p(x) + Q(x) - R(x)
6/ + 2x - 1
+ / + 3x - 2
p(x) + Q(x) = 7/ + Sx - 3
.+ [-R(x)] -2/ - x - 5
p(x) + Q(x) - R(x) = S/ + 4x - 8
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeter-
minadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.
x".xm = X -
a) (3x)(2x) = 6/
Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la a(b ± e) ::;:;ab ±
propiedad distributivo de la multiplicación respecto de la suma y resta.
-3(X3 + 2/ + tx - 4) = -3x3 + (-3)2/ + (-3)%x - (-3).4 = -3x3 - 6/ - x + 12
Para multiplicar dos polinomios se aplica la
propiedad distributiva, efectuando luego
la multiplicación de monomios.
(a + b)(e + d) = ae + ad + be + bd
Dados: p(x) = 2x2 -;- 5x + 2 Y Q(x) = 3/ - x.
p(x).Q(x) = (2/ - 5x + 2)(3/ - x)
= (2/)(3x2) + 2/(-x) + (-5x)(3x2) + (-5x)(-x) + 2(3/) + 2(-x)
p(x).Q(x) = 6x4 - 17x3 + 11/ - 2x
Producto de la suma de dos términos por su diferencia
El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de :
cuadrados de dichos términos.
(a + b)(a - b) = 02 - ab + ba - b2 = 02 - b2
a) (x + 4)(x - 4) = x2 - 4x + 4x - 16 = x2 - 16
. -,.
(a + b)(a - b) = a2 - b2
) ( 2 )( 2 ) 4 3 3 2 4 2b x + 5x x - 5x = x - 5x + 5x - 25x = x - 25x
) ( 5 1 3)( 5 1 3) 10 2 8 2 8 1 6 10 1 6e 2x + S"x 2x - S"X = 4x - S"X + Sx - EX = 4x - EX
)
(
1 2 )( 1 2 ) 1 4 7 3 7 3 2 1 4 2d -'P + 7x - 2x - 7x = ¡X +'P -'P - 49x = ¡X - 49x
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas entre polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos
propiedades que con números reales.
Dados: p(x) = 5x2 + 6x + 2; Q(x) =2x3 - X + 6 Y R(x) = x2 + l.
P(x).R(x) + Q(x) = (5x2 + 6x + 2)V + 1) + 2x3 - X + 6
= 5x4 + 5/ + 6x3 + 6x + 2x2 + 2 + 2x3 - X + 6
4 3 2 .P(x).R(x) + Q(x) = 5x + 8x + 7x + 5x + 8
Para dividir dos monomios se deben dividir los coeficientes y las indeterminadas
entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.
n m_ n-mx:x - X
PARADA TeÓRICA
17 División de polinomios
e) -6x5:(3/) = (-6:3)(x5j) = -2x3
d) (-10x8):(-2x3) = [-10:(-2)](x8j) = 5x5
Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributivo. (a ± b):e = o:e ± b:e
a) (24x5 - 16x3 + 12/ - 4x):(-4x) = 24:(-4)V:x) -16:(-4)V:x) + 12:(-4)(/:x) + (-4):(-4)(x:x
= -6x4 + 4x2 - 3x + 1
) ( 6 5 3 1 2 ) (1) 5 4 2b 2x + 5x + x +'P + 6x :'p = 4x + 10x + 2x + x + 12
Para dividir dos polinomios:
• El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.
• El p6linomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
• El polinomio divisor debe estar ordenado.
Dividendo
'\J
p(x)
R(x)
7'
Resto
Divisor
¿
~
C(x)
<,
Cociente
p(x) = C(x).Q(x) + R(x)
Dados: p(x) = 2x - 3 + 2x4 y Q(x) = -2x + /.
Hallar p(x):Q(x).
El dividendo debe estar completo y ordenado: p(x) = 2x4 + Ox3 + O/ + 2x - 3.
El divisor debe estar ordenado: Q(x) = / - 2x.
2X4 + Ox3 + O/ + 2x - 3
- 4 32x - 4x
4x3 + Ox2
4x3 - 8/
8x2 + 2x
8x2 - 16x
18x - 3 ~ Resto: R(x)
I / - 2x
2/ + 4x + 8
1-
Cociente: ((x)
C(x) = 2X2 + 4x + 8
R(x) = 18x - 3
PARADA TEÓRICA
18 Regla de Ruffini. Teorema del resto
La Regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio p(x) por otro cuya
forma sea x + a.
b) (%x4 - 3/ + l}(X + 1)
%x4 + Ox3 - 3/ + Ox + 1 ~ Dividendo
El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a, es el valor que resulta de reemplazar la
variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.
a) Dados: p(x) = 2x3 + 5x2 - X - 5 y Q(x) = x + 2. b) Dados: p(x) = / - 2x - 3 y Q(x) = x - 3.
Dados: p(x) = 2x3 + 5/ - x - 5 Y Q(x) = x + 2.
Hallar p(x):Q(x), aplicando la regla de Ruffini.
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.
Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.
El coeficiente principal se "baja" sin ser modificado;
luego se lo multiplica por el opuesto del término indepen-
diente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; y
así sucesivamente hasta llegar al resto.
Los números que se obtienen son los coeficientes del
cociente y el último valor es el resto.
El polinomio cociente es un grado menor que el
polinomio dividendo.-------------------------
a) V - x + 2):(x - 2)
1x3 + Ox2 - lx + 2 ~ Dividendo
o -1 2
2 2 4 6
2 3 81
Cociente ~ x2 + 2x + 3
Resto ~ 8
Teorema del restoEl resto de la división p(x):Q(x), se obtiene:
p( -2) = 2(-2)3 + S( -2)2 - (-2) - S
p( -2) = -16 + 20 + 2 - 5 = 1
El resto de la división es 1.
Dividendo
2 x3 + 5 x2 - 1 x - 5
~~~~1 __ ~-3 1
C(,) = 2,' + 1<-1 R(,) = t
Cociente Resto
1
O -3 O 13
-1 1 1 8 8
3 3 3 3
1 1 8 8 5
3 3 3 3 3
. 13128 8Cociente ~ -x - -x - -x + -3 3 3 3
5Resto ~ -- 3
Divisor
x + 2
El resto de la división p(x):Q(x), es:
P(3) = 32 - 2.3 - 3
P(3) = 9 .- 6 - 3 = O
Si el resto es O (cero): p(x) es divisible por Q(x).
Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributivo
de la potenciación respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia.
(a.bY = a".b"
( ")m _ n.mX - X
PARADA TEÓRICA
19 Potenciación de polinomios
Potencia de un monomio
e) (_2:./)3 = (_2:.)3 (/)3 = __8 il
5 5 . 125
Cuadrado de un binomio
Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = 00 + ab + ba + bb = 02 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
. --v-- -~
Cuadrado de un binomio Trinomio cuadrado perfecto
b
a
b a
a) (x + 3)2 = x2 + 2.3x + 32 = x2 + 6x + 9
b)(~X - 5)2 = (txY + 2· t(-5)X + (-5)2 = ti - 5x + 25
(
3 2)2 (3)2 (3) 2 2 2 9 2 3 4c) -Z"x + x = -Z"x + 2 -Z"x x + (x) = ¡X - 3x + x
d) (-x - 3)2 = (-x)2 + 2(-3)(-x) + (-3)2 = i + 6x + 9
Cubo de un binomio
Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto.
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + bf(a + b) = (02 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = 02.0 + a2.b + 2aba + 2abb + b2.a + b2.b = 03 + a2.b + 2a2.b + 2ab2 + b2.a + b3
b) (2x - 3)3 = (2x)3 + 3(-3)(2x)2 + 3.2x(-3)2 + (_3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27
d) (-x - 2)3 = (_x)3 + 3(-2)(-x)2 + 3(-x)(-2)2 + (_2)3 = _x3 - 6i - 12x - 8