Introducción a la Geometría Avanzada - Ana Irene Ramírez-Galarza, José Seade Kuri - A Mendo Za

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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
AVANZADA
Ana Irene Ramı́rez-Galarza
José Seade Kuri
Índice general
1. Geometŕıa Euclidiana 5
1.1. Simetŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Transformaciones ŕıgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Invariantes bajo transformaciones ŕıgidas . . . . . . . . . . . . . 36
1.4. Cilindros y toros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5. Subgrupos finitos de E(2) y E(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6. Frisos y mosaicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2. Geometŕıa Af́ın 89
2.1. La recta al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2. Transformaciones afines
y sus invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3. Geometŕıa Proyectiva 107
3.1. El plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2. El Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3. La forma de P 2(
�
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4. Cartas coordenadas para P 2(
�
)
(y para P 1( � )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5. El grupo proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6. Invariancia de la razón cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.7. El espacio de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.8. Propiedades proyectivas
de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.9. Polos y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.10. Geometŕıa Eĺıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
i
ii
4. Geometŕıa Hiperbólica 173
4.1. Los modelos del plano hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2. Transformaciones
del Plano Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3. La red de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.4. La métrica hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5. Primeros resultados
en Geometŕıa Hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.6. Superficies con
estructura hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.7. Mosaicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5. Apéndices 229
5.1. Funciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3. El grupo simétrico
en cuatro śımbolos: S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.4. Postulados euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5. Topoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6. Algunos resultados
sobre la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6. Bibliograf́ıa 243
Introducción
Al escribir este libro hemos tenido el propósito de compartir con el lector el
placer que proporciona la Geometŕıa, aśı como mostrar cuál es su importancia
dentro de las matemáticas y los muy variados caminos que puede recorrer quien
se adentra en este campo.
También queremos hacer una propuesta concreta para introducir al estu-
diante en los conceptos surgidos en el periodo transcurrido del apogeo de la
escuela griega a la fecha. Consideramos, como lo hace Elmer Rees en [Re],
que lo más indicado es trabajar con modelos que admiten coordenadas, pues
ello propicia el uso de resultados algebraicos y anaĺıticos y muestra además la
forma en que se relacionan las tres áreas.
Este libro está dirigido a estudiantes del segundo año de la carrera de
matemáticas y su contenido esencial puede cubrirse en un curso semestral.
Presuponemos que el lector está familiarizado con algunos hechos de la
Geometŕıa Euclidiana plana (sobre todo los relativos al triángulo y la circunfe-
rencia), y también con los elementos de la Geometŕıa Anaĺıtica (intersección de
rectas y planos, las ecuaciones y las principales propiedades de cónicas y cuá-
dricas) y del álgebra Lineal (hasta los conceptos de valor y vector caracteŕıstico
de una transformación lineal del plano o del espacio cartesiano).
Asimismo, supondremos el conocimiento de los conceptos y resultados del
Cálculo Diferencial e Integral para funciones de
�
en
�
, y esperamos que
el estudiante esté siguiendo al menos el primer curso de Cálculo de Varias
Variables. A lo largo del texto mencionamos la bibliograf́ıa relacionada con
cada tema particular.
Con ese bagaje es posible presentar de manera formal, usando el método
anaĺıtico en modelos que admiten coordenadas, las geometŕıas que “siguen”
de la euclidiana: la Geometŕıa Af́ın, la Geometŕıa Proyectiva, la Geometŕıa
Eĺıptica y la Geometŕıa Hiperbólica. En este último caso haremos uso de coor-
denadas complejas, pero lo haremos de forma tal que quede claro cuáles aspec-
1
2
tos de los números complejos están involucrados en el problema concreto.
La presentación de esas geometŕıas permite comprender el papel fundamen-
tal desempeñado en cada una por el grupo de transformaciones permitidas y
muestra de manera concreta cómo se conjugan el álgebra, el Análisis y la Geo-
metŕıa, para obtener una mejor comprensión de un resultado o la resolución
de un problema.
El paso de estas geometŕıas planas a sus extensiones tridimensionales o n-
dimensionales, es sencillo en algunos casos y los incluiremos. Para los incisos
y ejercicios cuyo nivel esté por encima del promedio, daremos siempre una
referencia como apoyo.
La mejor medida del grado de comprensión de los conceptos y resultados
será la proporción de ejercicios resueltos; hay que intentarlos todos.
Para las preguntas que no encuentren respuesta en este libro, incluimos
bibliograf́ıa existente en las libreŕıas o que puede consultarse en las bibliotecas
de nuestras universidades.
Los comentarios y observaciones pueden dirigirse a
Ana Irene Ramı́rez Galarza José Seade Kuri
Cub́ıculo 204, Departamento de Unidad Morelos del Instituto de
Matemáticas, FC, UNAM Matemáticas de la UNAM
Ciudad Universitaria, C.P. 04510 Cuernavaca, Morelos
rgalarza@servidor.unam.mx jseade@math.unam.mx
3
DEDICATORIA
A los integrantes de una generación fundamental
para la Geometŕıa en México:
Francisco González Acuña,
Santiago López de Medrano Sánchez,
Sev́ın Recillas Pishmish,
Alberto Verjovsky Solá.
Agradecimientos
A los compañeros que, en diversas formas, cooperaron a mejorar este libro:
Ricardo Berlanga Zubiaga, León Kushner Schnur, Laura Ortiz Bobadilla, Oscar
Palmas Velasco, Ernesto Rosales González, Alberto Verjovsky Solá.
Al Comité Editorial de Aportaciones Matemáticas de la Sociedad Matemá-
tica Mexicana por hacerse cargo del arbitraje de esta obra.
A los alumnos cuya lectura cuidadosa de las versiones preliminares permitió
eliminar varias erratas: Juan José Alba Fernández, Rolando Gómez, Ernesto
Mayorga, David Mireles.
A Juan Pablo Romero por su excelente labor en los dibujos.
A Guilmer González Fernández por su diseño tipográfico.
Este libro es el tercero del proyecto PAPIME “Textos de Geometŕıa para
el Mejoramiento del Aprendizaje en Matemáticas” a cargo de la primera de los
autores.
4
GLOSARIO DE SIMBOLOGÍA
�
números naturales
�
números enteros
�
números racionales�
números reales
� números complejos� n espacio cartesiano n-dimensional
Sn n-esfera: vectores de norma 1 en
� n+1
Sn grupo simétrico en n śımbolos
Roθ rotación por un ángulo θ en
� 2 en torno al origen
Reφ reflexión en la recta por el origen de pendiente tanφ en
� 2
E(n) grupo de transformaciones ŕıgidas en
� n
GL(n,
�
) grupo lineal de orden n
SL(n,
�
) grupo lineal especial de orden n
O(n,
�
) grupo ortogonal en
� n
SO(n,
�
) grupo de rotaciones en torno al origen en
� n
A2 plano af́ın
A(2) grupo af́ın
P n(
�
) espacio proyectivo n-dimensional sobre
�
P 1( � ) espacio proyectivo 1-dimensional sobre �
Dn vectoresde norma menor que 1 en
� n
∇F (P0) gradiente de F en P0
PGL(n,
�
) proyectivizado del grupo lineal de orden n
PSL(2, � ) grupo de transformaciones de Möbius
∆ modelo del disco para la Geometŕıa Hiperbólica
H+ modelo del semiplano superior para la Geometŕıa Hiperbólica
GC subgrupo de PGL(3,
�
) que fija una cónica
G+∆ subgrupo de PSL(2, � ) que fija ∆
G+H+ PSL(2,
�
), subgrupo de PSL(2, � ) que fija H+
G∆ isometŕıas de ∆
GH+ isometŕıas de H
+
1
Geometŕıa Euclidiana
La rama de las Matemáticas que llamamos Geometŕıa nace formalmente en
Grecia hacia el año 300 a.C., aunque, para nuestra cultura occidental, sus
oŕıgenes se remontan a Mesopotamia y Egipto, alrededor del 3000 a.C.
El tratado clásico de Euclides, Elementos [Eu], reviste una importancia
capital para toda la ciencia, pues no sólo recopila y ordena los conocimientos
geométricos y f́ısicos generados hasta ese momento, sino que propone un modo
de validar los conocimientos teóricos que los vuelve imperecederos; a eso se
debe que siga editándose.
El texto tuvo pequeñas fallas que llevó mucho tiempo enmendar (véase [H]),
pero sorprende constatar que la mayoŕıa de ellas fueron causa de inquietud pa-
ra Euclides, quien en cada ocasión manejó el problema con todo el cuidado
que le permitió la cultura de su tiempo, donde todav́ıa no surǵıan conceptos
fundamentales como el de número real, el de ĺımite y el de grupo de trans-
formaciones, que hoy podemos utilizar merced al lenguaje algebraico de que
disponemos.
No entraremos a la discusión de los postulados euclidianos, pues el trata-
miento anaĺıtico de la Geometŕıa asigna coordenadas a los puntos, ecuaciones
a los lugares geométricos y concibe como funciones a las transformaciones per-
mitidas. Eso significa que nos basaremos en las propiedades del sistema de los
números reales que se estudian en el primer curso de Cálculo (véase [Cou]), y
con ellos es posible demostrar que el plano cartesiano cumple con los postulados
euclidianos.
Según varios autores (véase [Ki]), Euclides se mostraba insatisfecho con
el método de superposición utilizado en sus demostraciones de congruencia
de triángulos, pero el método anaĺıtico clarifica dicho método hasta volverlo
la esencia misma de la Geometŕıa Euclidiana: el estudio de invariantes bajo
transformaciones ŕıgidas.
Este caṕıtulo está dedicado al estudio del grupo de transformaciones ŕıgidas
en
� 2 y en � 3, y a dar un panorama de los resultados que este enfoque permite
obtener. Las referencias son [Cox 1,2,5], [Eu], [Ev], [H], [Mar], [Ra] y [Re].
5
6
1.1. Simetŕıas
El concepto de simetŕıa es fundamental en Geometŕıa y en la naturaleza
misma: el cuerpo humano es exteriormente simétrico con respecto a un plano, y
esa simetŕıa determinó la construcción de objetos que también lo son, como los
jarrones con dos asas o los pares de calzado; la simetŕıa de un disco respecto
a su centro da lugar a múltiples aplicaciones; y un cilindro circular infinito
es simétrico no sólo respecto a muchos planos y muchos puntos, sino también
respecto a muchas rectas, en particular su eje; en este inciso mostraremos cómo
justificar estas últimas afirmaciones a partir de la ecuación del cilindro.
Para precisar qué entendemos por cada tipo de simetŕıa, empezaremos por
recordar cómo determinamos algunas distancias en el espacio tridimensional.
Las fórmulas las recordamos un poco más adelante.
PSfrag replacements
Q(x2, y2, z2) PP
P (x1, y1, z1)
L
ΠH
H Q
Q
(a) (b) (c)
Figura 1.1: Distancias: de un punto P a otro Q; de un punto P a una recta L; de
un punto P a un plano Π.
Definición. La distancia de un punto P a otro punto Q es la longitud
del segmento de recta entre los puntos.
Definición. La distancia de un punto P a una recta L es la longitud
del segmento perpendicular del punto a la recta.
Nóte que, de todos los puntos de la recta, el pie H de la perpendicular del
punto P a la recta L es el que determina un segmento de longitud mı́nima (es
cateto de cualquier triángulo PHQ en la Figura 1.1(b)).
7
Definición. La distancia de un punto P a un plano Π es la longitud
del segmento perpendicular del punto al plano.
También en este caso ocurre que el pie H de la perpendicular de P al plano
Π, es el punto del plano que minimiza la longitud de los posibles segmentos de
P a un punto Q del plano Π, pues PH es cateto de cualquiera de los triángulos
rectángulos PHQ (vea la Figura 1.1(c)).
Los distintos tipos de simetŕıa que puede tener un objeto son:
Definición. Un objeto F es simétrico respecto a un punto O si para
cada punto P en F , también P ′ pertenece a F , donde O es el punto medio del
segmento PP ′ (vea la Figura 1.2). El punto O es un centro de simetŕıa.
PSfrag replacements
sen X
P
P
P
P ′P
′
P ′
π/2
π
1
−1
OO
O
(a)
(b) (c)
X
Figura 1.2: Figuras simétricas respecto a un punto.
8
La gráfica de la función seno es simétrica respecto al origen (Figura 1.2(a));
un cono de revolución es simétrico respecto a su vértice (Figura 1.2(b)); un cubo
es simétrico respecto a su centro (Figura 1.2(c)). La comprobación anaĺıtica
de las dos primeras afirmaciones es muy sencilla, como veremos.
Definición. Un objeto F es simétrico respecto a una recta L, si para
cada punto P en F , también P ′ pertenece a F , donde L corta perpendicular-
mente al segmento PP ′ en su punto medio (vea la Figura 1.3). La recta L es
un eje de simetŕıa.
La gráfica de la función coseno es simétrica respecto al eje Y (Figura 1.3(a)),
pero no respecto al eje X; un pentágono regular es simétrico respecto a cual-
quier recta que pase por un vértice y el punto medio del lado opuesto (Figura
1.3(b)); un cubo es simétrico respecto a cada una de las rectas que unen los
centros de caras opuestas, y a las que unen puntos medios de aristas opuestas,
pero no respepcto a rectas que unen vértices opuestos (Figura 1.3(c)). Al final
del inciso verificaremos estas afirmaciones muy fácilmente.
PSfrag replacements
cos X
P ′
P ′
P ′
P
P
P
X
(a)
(b) (c)
Figura 1.3: Figuras simétricas respecto a una recta.
9
Definición. Un objeto F es simétrico respecto a un plano Π si para
cada punto P en F , también P ′ pertenece a F , donde Π es el plano perpen-
dicular a PP ′ por el punto medio. El plano Π es un plano de simetŕıa.
El cuerpo humano es simétrico, exteriormente, respecto al plano que pasa
por la columna vertebral y la punta de la nariz; un cubo es simétrico respecto
a un plano que contenga diagonales paralelas de caras opuestas, y también
respecto a un plano paralelo a dos caras opuestas y que pase por el centro; un
cilindro circular infinito es simétrico respecto a cualquier plano perpendicular a
su eje, y también respecto a cualquier plano que pase por su eje. Verificaremos
las dos últimas afirmaciones al final del inciso.
PSfrag replacements
P
P
P ′
P ′
(b) (c)(a)
Figura 1.4: Figuras simétricas respecto a un plano.
Hay fórmulas para calcular las distancias involucradas en las definiciones de
simetŕıa. Pero antes de revisarlas, veamos cómo bastan unas consideraciones
algebraicas sencillas para obtener el punto simétrico de un punto P (x, y, z) con
respecto a un plano coordenado, un eje coordenado y al origen.
10
Esto es útil porque, salvo los casos en que el sistema coordenado está dado
de antemano, podremos tomar el sistema de forma que el plano, la recta o
el punto respecto al cual nos interesa examinar la simetŕıa, sea uno de esos
elementos coordenados. Y, además, la inclusión canónica de
� 2 en � 3 nos
permite utilizar esos criterios en el caso del plano. La Figura 1.5 ilustra las
definiciones siguientes.
PSfrag replacements
X
Y
Z
O
P (x, y, z)
PY Z
PZ
PXZ
PX
PO
PXY
PY
Figura 1.5: Los simétricos de un punto respecto a los planos y ejes coordenados, y
al origen.
El punto simétrico de P (x, y, z) respecto al origen de coordenadas
O, es el punto PO(−x,−y,−z), pues P, PO y O son colineales, −P = PO y
||OP || = ||OPO||.El punto simétrico del punto P (x, y, z) respecto al eje X es el punto
PX(x,−y,−z), pues el vector P − PX = (0, 2y, 2z) es perpendicular a (1, 0, 0)
y el punto medio del segmento PPX es (x, 0, 0) ∈ X.
11
Análogamente se demuestra que el simétrico del punto P (x, y, z) res-
pecto al eje Y es el punto PY (−x, y,−z), y que el simétrico del punto
P (x, y, z) respecto al eje Z es el punto PZ(−x,−y, z).
Y también es fácil demostrar que los simétricos respecto a los diversos
planos coordenados de un punto P (x, y, z) son:
PXY (x, y,−z) es simétrico de P (x, y, z) respecto al plano XY ;
PY Z(−x, y, z) es simétrico de P (x, y, z) respecto al plano Y Z;
PZX(x,−y, z) es simétrico de P (x, y, z) respecto al plano ZX.
Con todo lo anterior, el lector no tendrá problema en demostrar la obser-
vación siguiente:
Si una figura es simétrica respecto a los tres planos coordenados, también lo es
respecto a los ejes coordenados y al origen.
Vayamos ahora a las fórmulas y el álgebra necesarias para determinar las
simetŕıas que hemos mencionado.
Para cualesquiera dos vectores de
� 3 definimos su producto escalar,
(x1, y1, z1) · (x2, y2, z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2 = Σ3i=1xiyi.
y mediante él obtenemos la norma de un vector (x, y, z) ∈ � 3:
||(x, y, z)|| =
√
(x, y, z) · (x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2,
que puede interpretarse como la longitud de la diagonal del paraleleṕıpedo
determinado por (0, 0, 0), (x, y, z) y las proyecciones de (x, y, z) en cada uno
de los planos coordenados y cada uno de los ejes coordenados (haga un dibujo).
La norma permite definir la distancia entre dos puntos P (x1, y1, z1) y
Q(x2, y2, z2) como:
d(P,Q) = ||P − Q|| =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2,
y entonces el ángulo entre dos vectores ū = (u1, u2, u3) y v̄ = (v1, v2, v3)
puede definirse aśı:
6 (ū, v̄) = 6 cos
(
ū · v̄
||ū|| ||v̄||
)
,
12
pues la desigualdad de Schwarz asegura (vea el Ejercicio 7)
|ū · v̄| ≤ ||ū|| ||v̄||.
Observación 1. A lo largo de todo el libro, identificamos a
� 2 con la imagen
de la inclusión canónica de
� 2 en � 3 dada por (x, y) 7→ (x, y, 0). Desde
luego, no es la única forma de ver a
� 2 como subespacio vectorial de � 3, pero
śı es la más usada.
Además del producto escalar de dos vectores ū, v̄ ∈ � 3, contamos también
con su producto vectorial:
ū × v̄ = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1) =
∣∣∣∣∣∣∣
ı̂ ̂ k̂
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣
donde ı̂, ̂ y k̂ son los vectores de la base canónica de
� 3: (1, 0, 0), (0, 1, 0) y
(0, 0, 1), respectivamente.
Con la norma del producto vectorial podemos calcular el área de un pa-
ralelogramo, pues si θ = 6 (ū, v̄), es fácil demostrar que
||ū× v̄|| = ||ū|| ||v̄|| |sen θ|.
Y, finalmente, el triple producto escalar de tres vectores ū, v̄, w̄, [ū, v̄, w̄],
sirve para calcular el volumen orientado del paraleleṕıpedo determinado
por 0̄, ū, v̄, w̄, ū + v̄, ū + w̄, v̄ + w̄ y ū + v̄ + w̄ (vea la Figura 1.6).
PSfrag replacements
φ
u
v
w
v × w
Figura 1.6: Interpretación geométrica del triple producto escalar.
13
[ū, v̄, w̄] = ū · v̄ × w̄ = ||ū|| ||v̄ × w̄|| cos φ,
donde φ = 6 (ū, v̄ × w̄), y como v̄ × w̄ es perpendicular a v̄ y w̄, el número
||ū|| cos φ es la altura orientada de P(ū, v̄, w̄) respecto a la base formada por
el paralelogramo determinado por v̄ y w̄ (vea la Figura 1.6), cuya área es
precisamente ||v̄ × w̄||.
Ahora es fácil dar una fórmula para la distancia de un punto Q(a, b, c)
a una recta L ⊂ � 3 que pasa por P0 en la dirección de un vector unitario û:
d(Q,L) = ||(Q− P0) × û|| = ||Q − P0|| |sen θ| (1.1)
pues como ||û|| = 1, la norma de (Q−P0)× û se reduce a ||Q−P0|||sen θ| que
es precisamente la altura del paralelogramo mostrado en la Figura 1.7, y que
está contenido en el plano definido por L y Q, donde θ = 6 (ū, Q − P0) .
Si la recta y el punto se ubican en
� 2, la fórmula de la distancia del
punto Q(x0, y0) a la recta L ⊂
� 2 de ecuación Ax + By + C = 0 es
d(Q,L) = |Ax0 + By0 + C|√
A2 + B2
. (1.2)
PSfrag replacements
X
Y
Z
Q
P0 û
Q − P0
L
Figura 1.7: Cómo calcular la distancia de un punto a una recta en � 3.
El lector deberá justificar esta fórmula en términos del producto escalar, y
con el mismo razonamiento demostrará que la fórmula de la distancia de un
punto Q(x0, y0, z0) a un plano Π de ecuación Ax + By + Cz + D = 0 es:
d(Q,Π) =
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√
A2 + B2 + C2
. (1.3)
14
Como tenemos ya una manera de medir distancias entre puntos, ángulos
entre rectas, áreas y volúmenes, estamos listos para abordar el estudio anaĺıtico
de la Geometŕıa Euclidiana en el plano y en el espacio.
Para empezar, comprobaremos todas las simetŕıas prometidas en los ejem-
plos, eligiendo en cada caso un sistema coordenado conveniente, para
aplicar los criterios que acabamos de recordar. No hay una receta general pa-
ra determinar cómo hacer esa elección; en este caso, como en muchos otros, el
verdadero maestro es la práctica. Lo que śı es general es la necesidad de definir,
mediante ecuaciones o desigualdades, la figura a tratar.
1. La gráfica del seno es simétrica respecto al origen.
En este caso, el sistema coordenado ya está preestablecido, pues la gráfica
de una función y = f(x) hace referencia a las coordenadas (x, y) de un plano
coordenado.
La gráfica del seno consta de los puntos (x, sen x), y como sen x = −sen (−x),
podemos escribir −sen x = sen (−x). Entonces, un punto P (x, sen x) pertene-
ce a la gráfica de la función seno si y sólo si el punto P ′(−x,−sen x) también
pertenece a la gráfica (vea la Figura 1.8).
PSfrag replacements
P
O
P ′
−x
x
1
−1
sen x
Figura 1.8: La gráfica de la función seno es simétrica respecto al origen.
Esta propiedad de la función seno recuerda la propiedad de las funciones
y = xn, donde n es impar, y por eso se dice que la función seno es una función
impar.
2. La gráfica de la función coseno es simétrica respecto al eje Y .
También en este caso el sistema coordenado ya está dado; invitamos al
15
lector a trazar la gráfica y recordar la identidad trigonométrica que implica
que P (x, cos x) pertenece a la gráfica si y sólo si P ′(−x, cos(−x)) también
pertenece a la gráfica.
3. Una circunferencia es simétrica respecto a su centro y a cualquiera de
sus diámetros.
En este caso conviene tomar un sistema coordenado cuyo origen sea el
centro de la circunferencia y cuyo eje X coincida con el diámetro respecto al
cual queremos mostrar la simetŕıa. Entonces, la ecuación de la circunferencia
es
x2 + y2 = r2
y como x2 = (−x)2 y y2 = (−y)2, es claro que P (x, y) satisface la ecuación
de la circunferencia si y sólo si P ′(−x,−y) también la satisface, es decir, la
circunferencia es simétrica respecto a su centro.
Por la misma razón, PX(x,−y) pertenece a la circunferencia si y sólo si
P (x, y) lo hace, lo cual demuestra la simetŕıa de la circunferencia respecto a
cualquiera de sus diámetros (vea la Figura 1.9).
PSfrag replacements
X
Y
P (x, y)
PX(x,−y)P ′(−x,−y)
PY (−x, y)
Figura 1.9: Las simetŕıas de la circunferencia.
4. Un pentágono regular es simétrico respecto a las rectas que pasan por
un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Un pentágono es regular si todos sus lados son congruentes y todos sus
ángulos interiores son congruentes.
En primer lugar, podemos tomar un sistema coordenado de suerte que si
A, B, C, D y E son los vértices del pentágono, A se ubique en el eje Y y los
vértices C y D sean simétricos respecto al eje Y . Entonces el eje es una de las
16
ĺıneas que nos interesan (vea la Figura 1.10).
Los lados BC y ED forman ángulos π − α y α, respectivamente, con la
parte positiva del eje X, por la igualdad de los ángulos interiores en C y en D.
Por tanto, si la pendiente de DE es m, la de BC es −m, y como pasan por
los puntos C y D, respectivamente, las ecuaciones de los lados BC y DE son:
BC : y = −mx− md, DE : y = mx− mdPSfrag replacements
X
Y
A
B
C(−d, 0) D(d, 0)
E
α π − α
Figura 1.10: Simetŕıasdel pentágono.
Con esas ecuaciones es inmediato comprobar que los puntos del lado CB
tienen sus simétricos respecto al eje Y en el lado DE, lo cual dejamos al lector.
Y también corresponde al lector demostrar que los simétricos de los puntos en
el lado BA se encuentran en el lado EA.
5. Un cilindro circular es simétrico respecto a su eje, a cualquier plano que
pase por su eje, a cualquier recta y plano que corten perpendicularmente al eje
y también es simétrico respecto a cualquier punto en el eje.
Un cilindro circular puede pensarse como la superficie de revolución gene-
rada por una recta que rota en torno a una paralela fija, el eje de revolución.
Esta vez ubicamos al cilindro de forma que su eje sea el eje Z, que el plano
por el eje Z respecto al cual queremos probar la simetŕıa sea el plano Y Z, y
que el plano ortogonal al eje del cilindro, y respecto al cual queremos examinar
la simetŕıa, sea el plano XY , y el pretendido centro de simetŕıa será el origen.
Con todas estas especificaciones, la ecuación del cilindro es
x2 + y2 = r2,
y como x y y aparecen con exponente par y z es libre, es claro que hay simetŕıa
17
respecto al origen, a cada uno de los ejes coordenados y a cada uno de los planos
coordenados, en particular respecto al eje Z, al plano Y Z y al plano XY .
PSfrag replacements
X Y
Z
PPZ PY Z
PO
PXY
Figura 1.11: Simetŕıas de un cilindro de revolución.
Tal vez en un principio el lector no creyera que hubiera otros ejes de simetŕıa
distintos del eje de revolución, pero la sencillez del criterio para demostrar la
simetŕıa de una figura respecto a un eje coordenado, nos permitió descubrir
que el cilindro tiene infinitos ejes de simetŕıa: cada una de las rectas que cortan
perpendicularmente al eje de revolución.
ésa es una de las ventajas del estudio de la Geometŕıa utilizando álgebra:
permite descubrir hechos geométricos que uno no se hab́ıa planteado.
6. Un cono de revolución (recuérdese que las generatrices son rectas com-
pletas) es simétrico respecto a su vértice, su eje, cada recta perpendicular al
eje por el vértice, el plano perpendicular al eje por el vértice y cada plano que
contiene al eje. Esta vez encargamos el dibujo correspondiente al lector.
También en este caso conviene tomar como eje de revolución al eje Z, el
vértice como el origen, el plano perpendicular al eje respecto al cual interesa
analizar la simetŕıa como el plano XY , y el plano por el eje de revolución como
el plano Y Z.
El lector deberá hacer el dibujo, establecer la ecuación del cono, y compro-
bar que, al resultar simétrico respecto a todos los elementos coordenados, se
cumplen todas las afirmaciones del enunciado.
7. Un cubo es simétrico respecto a los planos equidistantes de dos caras
paralelas, a los planos que contienen diagonales paralelas de caras paralelas, a
18
las rectas por los centros de caras opuestas y a las rectas por los puntos medios
de aristas opuestas (obtenidas como intersección de caras distintas), y al punto
en que se cortan todos los planos y ejes de simetŕıa.
Consideremos un cubo cuyas aristas midan 2a, y ubiquémoslo de forma que
el origen sea el punto en que se cortan los planos equidistantes de caras opuestas
(vea la Figura 1.12), y elijamos como planos coordenados sean precisamente
esos planos equidistantes.
PSfrag replacements
C(−a, a, a)
T (−a, a,−a)
S(a, a,−a)
B(a, a, a)
R
(a,−a,−a)
A
(a,−a, a)
D
(−a,−a, a)
U
(−a,−a,−a)
X
Y
Z
Figura 1.12: Simetŕıas del cubo.
Las ecuaciones de los planos a que pertenecen las caras son x = a y x = −a;
y = a y y = −a; z = a y z = −a, y si los vértices de la tapa son A, B, C y D
y los de la base son R, S, T y U , las caras quedan definidas aśı:
ABCD = {(x, y, z)| z = a, |x| ≤ a, |y| ≤ a};
RSTU = {(x, y, z)| z = −a, |x| ≤ a, |y| ≤ a};
BSTC = {(x, y, z)| y = a, |x| ≤ a, |z| ≤ a};
ARUD = {(x, y, z)| y = −a, |x| ≤ a, |z| ≤ a};
ARSB = {(x, y, z)|x = a, |y| ≤ a, |z| ≤ a};
DUTC = {(x, y, z)|x = −a, |y| ≤ a, |z| ≤ a}.
19
Las coordenadas de un punto P en la cara ABCD, son (x, y, a), donde
|x| ≤ a y |y| ≤ a, aśı que su simétrico respecto al plano XY es PXY (x, y,−a),
que pertenece a la cara RSTU .
Análogamente se comprueba la simetŕıa respecto a los planos Y Z y ZX, que
son los equidistantes de las caras delantera y posterior, y derecha e izquierda,
respectivamente.
Entonces, de acuerdo a la observación que siguió a la lista de los criterios
de simetŕıas respecto a los elementos coordenados, hemos demostrado también
las simetŕıas respecto a los ejes coordenados y al origen, que en este caso son,
respectivamente, las rectas que unen los centros de caras opuestas y el punto
en que se cortan esas tres rectas (y los tres planos equidistantes), y que se
llama centro del cubo por ser un centro de simetŕıa.
Para demostrar que el cubo es simétrico respecto a los planos determinados
por diagonales paralelas de caras paralelas, bastará caracterizar los puntos
pertenecientes a las caras que están en ambos lados de uno de esos planos de
manera adecuada; entonces el comportamiento de los parámetros facilitará la
comprobación de la simetŕıa.
Tomemos como ejemplo el plano ARTC (véase la Figura 1.12), que clara-
mente tiene a (1, 1, 0) como vector normal y, por pasar por el origen, satisface
la ecuación x + y = 0.
La figura indica que la cara ARUD es simétrica de la cara ARSB respecto
al plano ARTC.
Los puntos del plano ARUD son de la forma P = A + sû + tv̂, donde û
es un vector unitario en la dirección de A − D = (2a, 0, 0) y v̂ es un vector
unitario en la dirección de A − R = (0, 0, 2a), es decir,
(x, y, z) = (a,−a, a) + s(1, 0, 0) + t(0, 0, 1) = (a + s,−a, a + t);
los puntos quedan confinados a la cara ARUD cuando −2a ≤ s ≤ 0 y −2a ≤
t ≤ 0.
Un argumento similar muestra que los puntos P ′ en la cara ARSB son de
la forma
(x, y, z) = (a,−a, a) + σ(0, 1, 0) + τ (0, 0, 1) = (a,−a + σ, a + τ ),
donde 0 ≤ σ ≤ 2a y −2a ≤ τ ≤ 0.
Cuando s = −σ y t = τ, el segmento PP ′ es perpendicular al plano ARTC,
pues P − P ′ = (s, s, 0) es paralelo a (1, 1, 0), y las distancias de P a ARTC y
20
de P ′ a ese mismo plano son, respectivamente, y según la fórmula (1.3),
|a − s − a|√
2
=
|s|√
2
;
|a − a + s|√
2
=
|s|√
2
,
lo cual demuestra la simetŕıa que nos interesaba.
Para el resto de los planos que contienen diagonales paralelas de caras
opuestas, el cálculo es similar.
En la Sección 5 analizaremos las simetŕıas de cada uno de los sólidos pla-
tónicos, el cubo en particular, desde el punto de vista de las transformaciones
ŕıgidas. Ese método, mucho más poderoso que el usado aqúı, permite hacer un
análisis más completo en forma sencilla.
EJERCICIOS
1. Dé ejemplos de figuras con un número infinito de: centros de simetŕıa;
ejes de simetŕıa; planos de simetŕıa.
2. Demuestre que si una figura en el plano cartesiano es simétrica respecto
a ambos ejes, necesariamente tiene un centro de simetŕıa.
3. Dibuje una curva C en el plano y fije un punto O /∈ C. Complete el dibujo
de suerte que la figura resultante sea simétrica respecto a O. Repita el
ejercicio fijando una recta L.
4. Analice las simetŕıas de todas las cónicas, incluidos los casos singulares
(esto es, cuando el plano de corte pasa por el vértice del cono). Analice
también las simetŕıas de las cuádricas.
5. ¿Qué caracteŕıstica tiene la ecuación canónica de una cuádrica que es
simétrica respecto a un plano coordenado? ¿Y para que sea simétrica
respecto a un eje coordenado? ¿Y respecto al origen?
6. Demuestre que si una figura en el espacio cartesiano es simétrica respecto
a cada uno de los planos coordenados, también lo es respecto a los ejes
coordenados y el origen.
7. ¿Cuántos ejes de simetŕıa tiene un triángulo isósceles? ¿Y uno equilátero?
8. Determine en un dibujo las proyecciones de P (x, y, z) en cada eje y plano
coordenados, y dibuje el paraleleṕıpedo que determinan.
9. Demuestre la desigualdad de Schwarz a partir de la desigualdad
||ū+ tv̄||2 ≥ 0.
21
10. Justifique la Fórmula (1.2) para calcular la distancia de un punto a una
recta en � 2, y la Fórmula (1.3) para obtener la distancia de un punto a
un plano en � 3.
11. Demuestre que el producto vectorial de dos vectores ū, v̄, es un vector
ortogonal a ambos.
12. Demuestre que tres vectores son coplanares si y sólo si su triple producto
escalar se anula.
13. Demuestre las identidades siguientes
(ū × v̄) × w̄ = (ū · w̄)v̄ − (v̄ · w̄)ū,
(ū × v̄) × w̄ + (v̄ × w̄) × ū + (w̄ × ū) × v̄ = 0̄.
que implica la no asociatividad del producto vectorial.
14. Dé una fórmula (y justif́ıquela) para encontrar la distancia entre dos
rectas que se cruzan en el espacio (dos rectas se cruzan si no se cortan
ni son paralelas).
15. Demuestre que la gráfica de la función seno no es simétrica respecto a
ninguno de los ejes coordenados.
16. Complete la demostración de las simetŕıas de un cono de revolución y
haga un dibujo donde las exhiba todas.
17. Demuestre que en � 2 se cumplen los axiomas euclidianos:
I. (Es posible) trazar una recta por cualesquiera dos puntos.
II. (Es posible) prolongar indefinidamente una recta finita a una recta.
III. (Es posible) trazar una circunferencia dados un centro y un radio.
IV. Todos los ángulos rectos son iguales entre śı.
V. Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, ángulos
interiores que suman menos de dos ángulos rectos, al prolongar inde-
finidamente las dos rectas, éstas se cortan del lado en que los ángulos
interiores suman menos de dos ángulos rectos.
18. Demuestre que el cubo es simétrico respecto a cada una de las rectas que
unen puntos medios de caras opuestas.
19. Note que en cada vértice del cubo concurren tres aristas; use eso pa-
ra convencerse de que las diagonales mayores del cubo no son ejes de
simetŕıa.
20. Demuestre que las diagonales de un rectángulo no cuadrado no son ejes
de simetŕıa. ¿Hay alguna(s) rectas que sea(n) eje(s) de simetŕıa del rec-
tángulo? ¿Hay algún centro de simetŕıa?
21. ¿Cuántos planos de simetŕıa tiene el cubo? ¿Y cuántos ejes de simetŕıa?
¿Y cuántos centros? Justifique su respuesta.
22. Responda las preguntas anteriores en el caso de una esfera, y justifique
sus respuestas.
22
1.2. Transformaciones ŕıgidas
Dijimos al principio de este caṕıtulo que el concepto matemático que per-
mite validar la superposición utilizada por Euclides para comprobar la con-
gruencia de dos triángulos, es el concepto de grupo de transformaciones.
El concepto de grupo, poderoso y fundamental para muchas ramas de las
matemáticas, fue comprendido y utilizado por primera vez por Evariste Galois
hacia 1830 para decidir sobre la solubilidad por radicales de ecuaciones de grado
arbitrario, y en 1872 Félix Klein dió una plática, conocida como el Programa
de Erlangen (Erlangen es una ciudad bávara, sede de la universidad a la que
se incorporaba Klein), donde planteaba tomar el concepto de grupo como eje
del estudio de la Geometŕıa [Ke]:
Geometŕıa es el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones.
Por ejemplo, la simetŕıa de una figura respecto a un plano puede expresarse
diciendo que la figura permanece invariante bajo una reflexión en ese plano.
Otras figuras permanecen invariantes cuando las rotamos en torno a un punto,
como una circunferencia que gira en torno a su centro, o cuando las trasladamos
una distancia fija, como un cilindro infinito.
El lector juzgará por śı mismo, a lo largo de este libro, sobre el alcance de
la propuesta de Klein y del desarrollo posterior debido a Sophus Lie. A quien
desee conocer la historia de la evolución del concepto de simetŕıa hasta llegar
a la propuesta de Klein y los trabajos de Lie, le recomendamos el muy ameno
libro de Yaglom, [Y].
Las transformaciones permitidas por Euclides son las que preservan la dis-
tancia euclidiana, y por ellas empezaremos. Veremos primero el grupo corres-
pondiente a
� 2 y luego el de � 3.
Definición. Una transformación ŕıgida del plano en el plano es una
función suprayectiva1 T :
� 2 → � 2 que respeta las distancias entre puntos, es
decir,
d(P,Q) = d(T (P ), T (Q)).
A las transformaciones ŕıgidas también se les conoce como isometŕıas por
respetar las medidas.
1No es necesario pedir la suprayectividad, lo hacemos por comodidad
23
Los mejores ejemplos de transformaciones ŕıgidas en el plano son traslacio-
nes, rotaciones y reflexiones, que se definen a partir de la situación intuitiva.
Definición. Una traslación en el plano por un vector fijo ā ∈ � 2 es
la transformación Tā :
� 2 → � 2 que desplaza cada punto una distancia igual
a ||ā||, en la dirección y con el sentido de ā (vea la Figura 1.13):
Tā(P ) = P + ā.
Note que no fue necesario utilizar las coordenadas de P ni las de ā, por
lo que la forma de definir traslación en
� 3 será la misma. Note también la
diferencia en la notación para P y ā; se debe a la diferencia en los papeles de
uno y otro, pues ā es un vector fijo que desplaza a cada P ∈ � 2.
PSfrag replacements
X
Y
P
P + ā
Q
Q + ā
ā
Figura 1.13: Traslación en � 2 por un vector fijo ā.
Una traslación es una transformación ŕıgida, pues
d(Tā(P ), Tā(Q)) = ||P + ā − (Q + ā)|| = ||P − Q|| = d(P,Q).
¿Qué podemos decir del conjunto de traslaciones?
Para empezar, la composición de dos traslaciones, Tb̄◦Tā, es otra traslación,
a saber, Tā+b̄, como es inmediato comprobar si aplicamos la composición a un
punto P arbitrario:
(Tb̄ ◦ Tā) (P ) = Tb̄ (Tā(P )) = Tb̄ (P + ā) = P + ā + b̄ = Tā+b̄(P )
Y como la traslación por el vector 0̄ deja a cada punto en su lugar (es decir, T0̄ es
la transformación identidad), al componer T0̄ con cualquier otra traslación
Tā por cualquiera de los lados, obtenemos nuevamente Tā:
Tā ◦ T0̄ = Tā+0̄ = Tā
24
Por respetar distancias, cualquier transformación ŕıgida es inyectiva, es
decir, lleva puntos distintos en puntos distintos.
Eso asegura la existencia de (Tā)
−1, pero intuitivamente es claro que para
“regresarçada punto a su lugar después de desplazarlos por ā, basta desplazar-
los por −ā. En consecuencia,
(Tā)
−1 = T−ā.
Y como la composición de funciones cualesquiera es asociativa, tenemos
Tc̄ ◦ (Tb̄ ◦ Tā) = (Tc̄ ◦ Tb̄) ◦ Tā.
Todas esas propiedades significan que
Las traslaciones del plano en el plano forman un grupo bajo la composición.
Antes de sacar en limpio la definición de grupo, que será fundamental a lo
largo de todo el libro, nos interesa resaltar el hecho siguiente.
Observación 2. Cada vector de
� 2 determina una traslación y, además,
La suma de vectores determina la traslación asociada a la composición de las
traslaciones definidas por esos vectores.
Ahora bien,
� 2 es un objeto geométrico, donde sabemos medir y, en con-
secuencia, precisar los conceptos de cercańıa mediante vecindades de radio �.
En cambio, de las traslaciones hemos demostrado que son un grupo. ésa es
una caracteŕıstica muy importante de
� 2 (y de cualquier � n), tener tanto una
estructura geométrica como una algebraica. Veremos, a lo largo del libro, que
lo mismo les ocurre a otros objetos geométricos que conocemos bien.
Demos ahora la definición de grupo.
Definición. Un grupo es un conjunto G en el que está definida una
operación, es decir, una función ? : G×G → G con las propiedades siguientes
1a. Cerradura: El resultado de operar dos elementos de G es un elemento de
G; en śımbolos:
g ? h ∈ G para cualesquiera g, h ∈ G.
25
Note que la propiedad de cerradura es consecuencia de que el contrado-
minio de la función ? sea G, pero el hecho es tan importante que conviene
resaltarlo.
2a. Asociatividad: Para cualesquiera tres elementos de G, da lo mismo operar
los dos primeros y al resultado operarlo con el tercero, que operar el
primero con el resultado de operar los dos últimos. Esto es,
(g ? h) ? k = g ? (h ? k) .
3a. Existencia de neutro: Existe un elemento e ∈ G tal que al operarlo con
cualquier otro no afecta a esteúltimo. En śımbolos,
e ? g = g ? e = g.
4a. Existencia de inverso de cada elemento dado: Para cada g ∈ G, existe
otro elemento de G, g−1, tal que al operarlo con g da como resultado el
elemento neutro e. En śımbolos,
g−1 ? g = g ? g−1 = e.
Cuando a estas cuatro propiedades se añade la conmutatividad:
g1 ? g2 = g2 ? g1,
el grupo se llama grupo conmutativo o abeliano, esto último en honor de
Niels Henrik Abel (1802-29).
Varios de los sistemas numéricos familiares para el lector, como los números
enteros, los racionales y los reales, son grupos: los números enteros forman un
grupo, abeliano inclusive, con la operación de suma; los números racionales (y
los reales) son un grupo para la operación de suma, y si omitimos el cero (en
ambos casos), el resto de los números forman también un grupo conmutativo
bajo la operación producto.
Es evidente que las traslaciones del plano en el plano forman un grupo
conmutativo bajo la composición y sabemos que los vectores de
� 2 forman un
grupo conmutativo bajo la suma. La correspondencia es biyectiva y respeta
(o traduce) las operaciones según la Observación 2; esta propiedad es muy
importante y también vale la pena destacarla.
26
Definición. Un isomorfismo de grupos es una correspondencia biuńı-
voca entre dos grupos, φ : G → G′, donde si ? es la operación en G1 y · es la
operación en G′, se cumple
φ(g1) · φ(g2) = φ(g1 ? g2).
Otro ejemplo de grupo, indispensable en Geometŕıa, es el de las matrices
cuadradas de n × n con entradas reales y con determinante distinto de cero,
GL(n,
�
), cuando la operación considerada es la multiplicación matricial. De-
jaremos como ejercicio comprobar esta afirmación tanto para las matrices de
2× 2 como para las matrices de 3× 3, que son las que usaremos. Salvo el caso
n = 1, estos grupos no son conmutativos, como es muy fácil comprobar.
En el plano cartesiano, las definiciones de una rotación en torno al origen,
y de una reflexión respecto a una recta por el origen, puden darse en términos
de matrices de 2 × 2 con entradas reales, pues la rotación de un punto P del
plano en torno al origen por un ángulo θ, puede reducirse a la rotación de
los vectores de una base de
� 2. Y lo análogo puede decirse de una reflexión
respecto a una recta por el origen. Veamos por qué.
Si rotamos el triángulo rectángulo correspondiente a P = x(1, 0) + y(0, 1),
obtenemos (vea la Figura 1.14)
Roθ(P ) = xRoθ(1, 0) + y Roθ(0, 1).
PSfrag replacements
X
Y
P (x, y)
y(0, 1)
x(1, 0)
θ
Roθ(P )
(cos θ, sen θ)
(−sen θ, cos θ)
Figura 1.14: Rotación por un ángulo θ en torno al origen en � 2.
27
Pero la rotación de (1, 0) por un ángulo θ en torno al origen, lo transforma
en (cos θ, sen θ), y a (0, 1) lo lleva en (−sen θ, cos θ). En consecuencia,
Roθ(x, y) = x(cos θ, sen θ)+y(−sen θ, cos θ) = (x cos θ−y sen θ, x sen θ+y cos θ),
lo cual justifica la afirmación siguiente.
Afirmación. La rotación por el ángulo θ en torno al origen en
� 2,
es la función Roθ :
� 2 → � 2 cuyo efecto sobre un punto P (x, y) es
Roθ(x, y) =
(
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
)(
x
y
)
=
(
x cos θ − y sen θ
x sen θ + y cos θ
)
.
Una rotación en torno al origen es una transformación ŕıgida, pues los
triángulos rectángulos de la Figura 1.14 son congruentes y, en consecuencia,
para cualquier P ∈ R2, ||Roθ(P )|| = ||P ||. Entonces, tomando en cuenta la
linealidad de la transformación inducida por una matriz:
d(Roθ(P ), Roθ(Q)) = ||Roθ(P )−Roθ(Q)|| = ||Roθ(P−Q)|| = ||P−Q|| = d(P,Q).
Note que la matriz de una rotación tiene la forma
(
a −b
b a
)
, donde a2 + b2 = 1. (1.4)
Con esta observación es muy sencillo comprobar que, como lo sugiere la
intuición, al aplicarle a un punto P (x, y) primero la rotación por el ángulo θ
y después la rotación por el ángulo φ, el efecto es el mismo que si rotamos
P (x, y) por el ángulo θ + φ.
Utilizaremos la sustitución a = cos θ, b = sen θ, c = cosφ, d = sen φ:
(
c −d
d c
)(
a −b
b a
)
=
(
ca− db −cb − ad
da + cb −db + ca
)
,
y las identidades trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de dos
ángulos, implican que ca − db = cos(θ + φ) y da + cb = sen (θ + φ), lo cual
asegura que la composición de dos rotaciones Roφ ◦ Roθ está definida por la
matriz correspondiente a la rotación por el ángulo θ + φ.
Es decir, hay una correspondencia biuńıvoca entre las rotaciones en torno
al origen por un ángulo θ ∈ [0, 2π), y las matrices de la forma (1.4), y esa
28
correspondencia, además, respeta las operaciones, es decir, la composición
de rotaciones se traduce en el producto de matrices.
Tomando en cuenta esa correspondencia, es fácil demostrar que
Teorema. Las rotaciones en torno al origen forman un grupo conmutativo.
Demostración. Comprobaremos cada una de las condiciones:
Cerradura: La composición de dos rotaciones es otra rotación, como aca-
bamos de comprobar.
Asociatividad: La composición de rotaciones es asociativa, pues eso es cierto
para funciones cualesquiera. Pero además, en este caso, también es consecuen-
cia de que el producto de matrices es asociativo, como lo comprobará el lector
en el Ejercicio 1.
Existencia de neutro: La rotación por el ángulo 0 corresponde a la matriz
(
1 0
0 1
)
,
que es el neutro para el producto de matrices.
Cada rotación tiene una rotación inversa: Al componer la rotación por el
ángulo −θ con la rotación por el ángulo θ, resulta la rotación por el ángulo
0, que es el neutro para la composición de rotaciones, pues si a = cos θ y
b = sen θ,
(
a b
−b a
)(
a −b
b a
)
=
(
a2 + b2 −ab + ab
−ba + ab b2 + a2
)
=
(
1 0
0 1
)
,
Conmutatividad: La composición de dos rotaciones puede efectuarse en
cualquier orden sin afectar el resultado. La comprobación de esta propiedad
queda a cargo del lector.2
Nuestro último ejemplo de transformación ŕıgida en el plano lo constitu-
yen las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen. También esta
vez daremos una definición acorde a la intuición, y eso implicará que estas
reflexiones son lineales.
29
En la Figura 1.15, hemos vuelto a asociar al punto P el triángulo rectángulo
correspondiente a P = x(1, 0) + y(0, 1), y hemos reflejado todo ese triángulo
en la recta Lφ (piénsela como un espejo), que forma un ángulo φ con la parte
positiva del eje X, que denotaremos con X+.
El triángulo reflejado es nuevamente rectángulo, y el vector correspondiente
a Reφ(P ) puede formarse aśı:
Reφ(P ) = xReφ(1, 0) + y Reφ(0, 1).
Como la recta forma el ángulo φ con X+, el reflejado de (1, 0) en la rec-
ta Lφ forma el ángulo 2φ con X+ y, en consecuencia, sus coordenadas son
(cos 2φ, sen 2φ).
El reflejado de (0, 1) no forma un ángulo de π/2 con (cos 2φ, sen 2φ), sino
un ángulo de −π/2, porque una reflexión invierte el sentido de los ángulos.
Entonces, el reflejado de (0, 1) es (sen 2φ,− cos 2φ), y ya podemos construir la
matriz que da la reflexión.PSfrag replacements
X
Y
P ′
Py(0, 1)
x(1, 0)
φ
2φ
Lφ
(cos 2φ, sen 2φ)
(sen 2φ, − cos 2φ)
Figura 1.15: Reflexión respecto a una recta por el origen.
Afirmación. La reflexión en el plano respecto a la recta Lφ que
pasa por el origen y forma un ángulo φ con la parte positiva del eje X, es la
transformación Reφ :
� 2 → � 2 cuyo efecto sobre un punto P (x, y) es
Reφ(x, y) =
(
cos 2φ sen 2φ
sen 2φ − cos 2φ
)(
x
y
)
=
(
x cos 2φ + y sen 2φ
x sen 2φ − y cos 2φ
)
.
La demostración de que una reflexión de este tipo es una transformación
ŕıgida queda a cargo del lector.
30
Esta vez la matriz tiene la forma
(
a b
b −a
)
, donde a2 + b2 = 1. (1.5)
Observe que la matriz de una rotación tiene determinante 1, mientras que
el determinante de la matriz de una reflexión es −1.
Lo anterior implica que la composición de dos reflexiones no puede ser una
reflexión, pues las matrices correspondientes se multiplican y el determinante
de la matriz producto es el producto de los determinantes: 1.
Por tanto, no podemos pensar en demostrar que las reflexiones formanun
grupo, pues no tenemos propiedad de cerradura, ni el neutro de la multiplica-
ción de matrices puede ser una reflexión pues tiene determinante 1.
Pero śı es cierto que la inversa de una reflexión es una reflexión, ella misma,
como lo sugiere la intuición: si P ′ es el reflejado de un punto P respecto a una
recta, y luego reflejamos P ′ respecto a esa misma recta, obtenemos nuevamente
P . Invitamos al lector a demostrarlo formalmente multiplicando por śı misma
la matriz de una reflexión.
Ahora bien, si escribimos la matriz de una rotación en la forma (1.4), y
la de una reflexión en la forma (1.5), podremos demostrar fácilmente que el
producto es una reflexión, aunque la recta en que se refleja depende del orden
de la multiplicación (véase el Ejercicio 5).
Eso sugiere que
Teorema. El conjunto de rotaciones en
� 2 en torno a (0, 0) y reflexiones
respecto a una recta por (0, 0), forman un grupo bajo la composición.
El lector queda encargado de hacer la demostración, sólo deberá recordar
que el inverso de un producto de matrices (o de la composición de transforma-
ciones) es el producto de los inversos tomados en el orden inverso.
Este grupo se llama el grupo ortogonal de orden 2, O(2,
�
), porque las
matrices asociadas tienen como vectores columna los elementos de una base
ortonormal: derecha, para las rotaciones, izquierda para las reflexiones.
Para las matrices cuyos vectores columna constituyen una base ortonormal
de
� 2 (o de � n), es inmediato verificar que su inversa M−1, es igual a su
traspuesta M t, la matriz que tiene como columnas los renglones de la original
(respetando el orden), y se les llama matrices ortogonales.
Las matrices ortogonales cuyo determinante es +1, que es simplemente
nuestro grupo de rotaciones, forman el llamado grupo ortogonal especial,
31
y se le denota por SO(2,
�
)
Antes de entrar a las transformaciones ŕıgidas de
� 3, recordemos que, como
en
� 2 tenemos una forma de medir la distancia entre ā y b̄, el isomorfismo entre
el grupo aditivo
� 2 y el grupo (bajo la composición) de las traslaciones nos
permite hablar de traslaciones cercanas, o de la vecindad de radio � de una
traslación Tā: está formada por todas las traslaciones Tb̄ tales que ||ā− b̄|| < �.
Algo semejante ocurre con el grupo de las rotaciones en torno al origen:
podemos identificar la rotación por el ángulo θ con el punto de la circunferencia
de radio 1 y centro en el origen,
S1 = {(x, y) ∈ � 2|x2 + y2 = 1},
que determina el radio que forma el ángulo θ con la parte positiva del eje X. De
los puntos de la circunferencia podemos decir qué tan cercanos están, porque
sabemos medir distancias en S1. Entonces, en este grupo también tenemos una
estructura geométrica. Más aún, S1 puede verse como el grupo multiplicativo
de los números complejos de norma 1, y la correspondencia con SO(2,
�
) es
un isomorfismo.
El primero en estudiar este tipo de grupos fue Sophus Lie (1842-99), con-
temporáneo y amigo de Klein, y en su honor se les llama grupos de Lie.
Volveremos a ellos más tarde, y en el caso de las rotaciones mostraremos la
conveniencia de utilizar coordenadas complejas.
Para las transformaciones ŕıgidas del espacio euclidiano tridimensional en
śı mismo, el espacio en que vivimos, también podemos dar como ejemplos
traslaciones, rotaciones y reflexiones.
Las primeras se definen exactamente como en el caso del plano, pues la
traslación en
� 3 por el vector fijo ā ∈ � 3, está dada por
Tā :
� 3 → � 3 tal que Tā(P ) = P + ā.
Como la demostración de que las traslaciones en
� 2 constituyen un grupo
no utilizó el hecho de que ā y P fueran elementos de
� 2, ya sabemos que las
traslaciones en
� 3 forman un grupo conmutativo. Y otro tanto ocurre con el
hecho de que estas traslaciones sean también transformaciones ŕıgidas.
Más aún, todo el tratamiento de traslaciones puede generalizarse a
� n,
y entonces cualquier elemento ā ∈ � n puede verse como una transformación
ŕıgida en
� n.
32
Para definir una rotación y una reflexión en
� 3, plantearemos extender las
definiciones correspondientes en
� 2.
Recordemos que la base canónica de
� 3 está formada por los vectores
ê1 = (1, 0, 0), ê2 = (0, 1, 0), y ê3 = (0, 0, 1), todos con norma 1, ortogonales dos
a dos, y que forman una base derecha.
Como ocurrió para una rotación en
� 2, pediremos que esa base derecha
se transforme en otra base derecha; piense el lector en tres varillas soldadas
por uno de sus extremos de forma que permanezcan perpendiculares 2 a 2,
y que pueden moverse con la única restricción de que ese extremo común
permanezca fijo; entonces es posible definir una rotación en
� 3 mediante una
matriz ortogonal de 3 × 3 con determinante 1.
Definición. Una rotación en torno al origen en
� 3 es una función
Ro :
� 3 → � 3 cuyo efecto sobre un punto P (x, y, z) es
Ro(x, y, z) =


u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3




x
y
z

 =


xu1 + yv1 + zw1
xu2 + yv2 + zw2
xu3 + yv3 + zw3

 ,
donde û = (u1, u2, u3), v̂ = (v1, v2, v3), ŵ = (w1, w2, w3) forman una base
ortonormal derecha.
Es claro que bajo una rotación en torno a 0̄ en
� 3, cualquier esfera con ese
centro va en śı misma, en particular la esfera de radio 1,
S2 = {(x, y, z) ∈ � 3|x2 + y2 + z2 = 1}.
Nuestra experiencia al jugar con una pelota nos muestra que si queremos
hacer girar una pelota entre las manos, debemos poner una mano frente a
la otra. Eso corresponde al hecho algebraico de que una rotación en torno al
origen en
� 3 deja fija punto a punto alguna recta por el origen, el eje de la
rotación.
Eso se debe a que el polinomio caracteŕıstico es de tercer grado y debe
tener una ráız real; con ese valor caracteŕıstico (o valor propio o eigen-valor)
determinamos un subespacio invariante de la rotación. En consecuencia, cual-
quier rotación en
� 3 en torno al origen se reduce a una rotación en el plano
perpendicular al eje de la rotación (véase [Ra]).
Para una reflexión, pedimos que la base canónica se transforme en una base
ortonormal izquierda:
33
Definición. Una reflexión en
� 3 es una función Re : � 3 → � 3 cuyo
efecto sobre un punto P (x, y, z) es
Re(x, y, z) =


u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3




x
y
z

 =


xu1 + yv1 + zw1
xu2 + yv2 + zw2
xu3 + yv3 + zw3

 ,
donde û = (u1, u2, u3), v̂ = (v1, v2, v3), ŵ = (w1, w2, w3) forman una base
ortonormal izquierda.
Ejemplos de matrices de reflexión en
� 3 son


−1 0 0
0 a −b
0 b a

 ,


1 0 0
0 a b
0 b −a

 y


−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1

 .
La primera deja invariante al eje X aunque intercambia los semiejes (en
el plano YZ se tiene una rotación), y la segunda fija puntualmente el eje X y
efectúa una reflexión en el plano Y Z. La tercera corresponde a un caso muy
interesante, la aplicación ant́ıpoda , que deja invariantes todas las rectas por
el origen, aunque cada punto se transforma en su simétrico respecto al origen.
Las esferas con centro en el origen se aplican en śı mismas bajo una refle-
xión, y si nos preguntamos por los subespacios invariantes bajo una reflexión,
nuevamente tenemos una recta por el origen invariante bajo una reflexión, pues
el polinomio caracteŕıstico tiene grado 3, aunque esta vez los puntos pueden
no quedar fijos, sino intercambiarse con los de la semirrecta complementaria.
La demostración de que las rotaciones y reflexiones en
� 3 son transfor-
maciones ŕıgidas se basa nuevamente en el hecho de que son transformaciones
lineales, y como en el caso del plano no utilizamos coordenadas, la demostra-
ción es válida en este caso.
Nuevamente ocurre que rotaciones y reflexiones de
� 3 constituyen un grupo
bajo la composición (la composición corresponde a la multiplicación de las
matrices). Esta vez el grupo se denota O(3,
�
) y se llama grupo ortogonal
de orden 3.
Al definir rotaciones y reflexiones en
� 3 como transformaciones lineales,
estamos obligando a que el origen se quede fijo. Pero es claro que podemosefectuar rotaciones y reflexiones respecto a cualquier punto de
� 3 y por ello
34
el tratamiento que hemos hecho puede parecer restrictivo; las consideraciones
siguientes mostrarán que no es aśı.
Proposición. Cualquier transformación ŕıgida es composición de una tras-
lación con una transformación ortogonal.
Demostración. Denotamos por T una transformación ŕıgida de
� 3.
Si T (0̄) = ā, la composición de T−ā con T , U = T−ā ◦ T fija a 0̄.
Ahora bastará demostrar que cualquier transformación U ŕıgida y que fija
a 0̄, es ortogonal. Los detalles queda a cargo del lector.
Un camino posible es comprobar, sucesivamente, lo siguiente:
i) U respeta normas, es decir, ||ā|| = ||U(ā)||.
ii) U respeta el producto escalar. Para ello bastará desarrollar los dos miem-
bros de la igualdad, garantizada porque U es ŕıgida,
||ā− b̄||2 = ||U(ā) − U(b̄)||2,
y tomar en cuenta i).
iii) U es lineal; para ello, compruebe que ||U(λā)−λU(ā)||2 = 0, y también
que ||U(ā + b̄) − U(ā) − U(b̄)||2 = 0. Como 0̄ es el único vector caracterizado
por su norma, eso asegura que U “saca escalares 2se distribuye sobre la suma.
Entonces, la matriz correspondiente a U en una base ortonormal, es orto-
gonal.2
Es sencillo convencerse de que cualquier transformación ŕıgida en el plano
está determinada por 3 puntos no colineales y sus imágenes, y de que cual-
quier transformación ŕıgida en el espacio está determinada por 4 puntos no
coplanares y sus imágenes (y aśı sucesivamente).
Tomando en cuenta eso, uno puede demostrar que cualquier transformación
ŕıgida en el plano es producto de a lo más 3 reflexiones (véanse los ejercicios 7
y 8 siguientes).
El grupo de las transformaciones ŕıgidas del plano en el plano es el grupo
euclidiano de orden 2, E(2), y el correspondiente a
� 3 es el grupo eucli-
diano de orden 3, E(3).
En el inciso siguiente mostraremos que conocemos bastantes ejemplos de
35
invariantes bajo transformaciones ŕıgidas, y además presentaremos un concepto
fundamental en Geometŕıa Diferencial: la curvatura.
EJERCICIOS
1. ¿Es � − {0} grupo respecto al producto?
2. Demuestre que GL(2, � ), el conjunto de las matrices de 2 × 2 con en-
tradas reales y determinante distinto de cero, forman un grupo bajo la
multiplicación llamado grupo general lineal de orden 2. ¿Es conmu-
tativo?
3. Demuestre que el producto de matrices del tipo (1.4) es conmutativo.
4. Demuestre que una reflexión en el plano respecto a una recta por el
origen, es una transformación ŕıgida.
5. Demuestre que la transformación inversa de una reflexión en el plano
respecto a Lφ, es la misma reflexión.
6. Determine la recta de reflexión para la composición de una rotación y una
reflexión, y verifique que la recta depende del orden de la composición.
7. Demuestre que, en el plano, toda rotación en torno al origen es compo-
sición de dos reflexiones en rectas que pasan por el origen.
8. Demuestre que, en el plano, cualquier traslación es composición de dos
reflexiones en rectas paralelas y perpendiculares a la dirección de la tras-
lación.
9. Demuestre que las afirmaciones de los dos ejercicios anteriores pueden
generalizarse aśı:“La composición de dos reflexiones en rectas arbitrarias
es una rotación, salvo el caso en que las rectas sean paralelas, donde se
obtiene una traslación, 2entonces tiene sentido afirmar que una traslación
es ĺımite de rotaciones. ¿Puede justificar esto último?
10. Demuestre que, en el plano, una transformación ŕıgida queda determina-
da cuando se conocen las imágenes A′, B′, C ′ de tres puntos no colineales
A, B, C.
11. Demuestre que cualquier transformación ŕıgida en el plano es composi-
ción de a lo más 3 reflexiones. Para ello, tome 3 puntos A, B y C y sus
imágenes, A′, B′ y C ′, y compruebe que eso ocurre en cada uno de los
casos siguientes, que agotan todos los posibles:
i) A = A′, B = B′ y C = C ′;
ii) A = A′, B = B′ y C 6= C ′;
iii) A = A′, B 6= B′ y C 6= C ′;
iv) A 6= A′, B 6= B′ y C 6= C ′.
36
12. Para � 3 establezca la afirmación análoga a la hecha en el Ejercicio 6, y
demuéstrela.
13. Para � 3, establezca la afirmación análoga a la hecha en el Ejercicio 7, y
demuéstrela.
14. Para � 3, establezca la afirmación análoga a la hecha en el Ejercicio 10,
y demuéstrela.
15. A cada matriz M de 3 × 3 con entradas reales, asóciele un elemento de
� 9 escribiendo los renglones uno a continuación del otro, y rećıproca-
mente. En � 9 defina una distancia mediante el producto escalar, y úsela
para definir una distancia entre las matrices de 3 × 3. Demuestre que
si restringe la distancia entre matrices a los elementos de O(3, � ), para
cualquier M ∈ SO(3, � ) existe � > 0 tal que si d(M, M ′) < �, M ′ no
puede ser reflexión.
16. Demuestre que hay un isomorfismo entre el campo � de los números
complejos x + iy y el conjunto de las matrices con entradas reales de la
forma (
x −y
y x
)
,
provisto de la suma y el producto usuales para matrices. Demuestre tam-
bién que esas matrices son composición de una rotación con una homo-
tecia Hρ : � 2 7→ � 2 que lleva (x, y) en (ρx, ρy) con ρ = ||(x, y)||.
1.3. Invariantes bajo transformaciones
ŕıgidas
Analizaremos ahora cuáles propiedades de los objetos geométricos se con-
servan (es decir, son invariantes) bajo transformaciones ŕıgidas.
Los tipos de triángulos: equiláteros, isósceles y escalenos, son desde luego
caracterizaciones invariantes bajo transformaciones ŕıgidas, pues se definen en
términos de distancias: si un triángulo ABC tiene todos sus lados iguales (en
longitud), lo mismo es cierto para el triángulo A′B ′C ′obtenido al aplicarle al
primero una transformación ŕıgida; más aún, las medidas de los lados se con-
servan y eso obliga a los ángulos a tener también las mismas medidas (¿puede
dar una justificación?). Lo análogo ocurre en los otros dos tipos de triángulo.
Rectas paralelas van en rectas paralelas, puesto que las paralelas son equi-
distantes, y rectas que se cortan en un cierto ángulo se transforman en otras
37
rectas que se cortan en ese mismo ángulo (considere el triángulo formado por
un punto en cada recta y el punto de intersección). Por todo ello, bajo una
transformación ŕıgida, un cuadrado se transforma en otro cuadrado, etc.
También el tipo de cónica es invariante bajo una transformación ŕıgida;
por ejemplo, una elipse es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, es una constante
(que solemos denotar por 2a). Entonces, si las imágenes de los focos bajo una
transformación ŕıgida T son F ′1 y F
′
2, el punto P
′ = T (P ) cumple la condición
definitoria de elipse respecto a F ′1 y F
′
2. Y, desde luego, los semiejes medirán
lo mismo que en la elipse original.
El mismo razonamiento se aplica en los otros dos tipos de cónica.
Para las superficies cuádricas, empecemos por precisar qué entendemos por
una superficie cuádrica y cómo las hemos clasificado.
Una superficie cuádrica es el lugar geométrico de los puntos (x, y, z) que
satisfacen una ecuación de segundo grado en 3 variables:
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
y los distintos tipos de superficies cuádricas, 15 en total (algunas degeneradas),
se obtienen al variar los coeficientes.
La clasificación de los distintos tipos se realiza, primero, con base en la
matriz de la forma cuadrática, que es la matriz simétrica


A D E
D B F
E F C

 .
El lector recordará que una matriz como ésta es siempre diagonalizable, y
las entradas de esa diagonal, los valores caracteŕısticos de la transformación
correspondiente a la matriz, indican cuánto se alargan (o encogen) los vectores
caracteŕısticos, y si conservan su sentido o lo invierten (vea [B-ML] o [Ra]).
El rango de una matriz es la dimensión de su imagen, que en este caso
coincide con el número de su valores caracteŕısticos no cero, y su signatura es
la diferencia entre el númerode sus valores propios positivos menos el número
de los valores propios negativos. El rango y la signatura son invariantes bajo
transformaciones ortogonales porque el polinomio caracteŕıstico lo es.
La demostración de la invariancia de una cuádrica (en tipo y medida) bajo
una transformación ŕıgida, quedará demostrada debido a los hechos siguientes:
38
1o. El grado de un polinomio es invariante bajo transformaciones ŕıgidas,
pues lo es tanto bajo una traslación como bajo una transformación orto-
gonal. En consecuencia, un polinomio cuadrático se transforma en otro
polinomio cuadrático, es decir, toda superficie cuádrica se transforma en
otra superficie cuádrica.
2o. Las únicas formas canónicas de las superficies cuádricas son las siguientes,
porque agotan todos los casos posibles (damos un ejemplo de cada tipo,
y, salvo 1), 3), 7) y 13), los ilustramos en la Figura 1.16):
- Rango 3:
1) el conjunto vaćıo, correspondiente a la ecuación x2 + y2 + z2 = −1;
2) un elipsoide, correspondiente a la ecuación x2 + 2y2 + 3z2 = 1;
3) un punto, dado por la ecuación x2 + 2y2 + 3z2 = 0;
4) un hiperboloide de 2 hojas, dado por la ecuación x2 − 2y2 − 3z2 = 1;
5) un hiperboloide de 1 hoja, cuya ecuación t́ıpica es x2 +2y2 − 3z2 = 1;
6) un cono, cuya ecuación t́ıpica es x2 + 2y2 − 3z2 = 0.
- Rango 2:
*) el conjunto vaćıo, dado por x2 + y2 = −1;
7) una recta, dada por la ecuación x2 + 2y2 = 0;
8) dos planos que se cortan, cuya ecuación es x2 − 2y2 = 0;
9) un cilindro eĺıptico, cuya ecuación t́ıpica es x2 + 2y2 = 1;
10) un cilindro hiperbólico, dado por la ecuación x2 − 2y2 = 1;
11) un paraboloide hiperbólico, de ecuación x2 − 2y2 = z;
12) un paraboloide eĺıptico, con ecuación x2 + 2y2 = z;
- Rango 1:
*) el conjunto vaćıo, dado por x2 = −1;
13) un plano doble, cuya ecuación t́ıpica es x2 = 0;
14) 2 planos paralelos, correspondientes a x2 = 1;
15) un cilindro parabólico, cuya ecuación t́ıpica es x2 = y.
39
PSfrag replacements
cilindro eĺıptico
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
cilindro parabólico
y2 = 4px
cono
x2 + y2 = z2
2 planos que se cortan
y2 = kx2
2 planos paralelos
x2 = k2
elipsoide
x2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1
paraboloide eĺıptico
x2
a2
+ y
2
b2
= z
hiperboloide de 1 manto
x2
a2
− y2
b2
+ z
2
c2
= 1
cilindro hiperbólico
y2
a2
− x2
b2
= 1
paraboloide hiperbólico
−x2
a2
+ y
2
b2
= z
hiperboloide de 2 mantos
−x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1
Figura 1.16: Superficies cuádricas no denegeradas en � 3.
40
3o. Hay superficies distintas con idéntico rango y signatura; la diferencia
se debe a la parte no cuadrática que les asigna caracteŕısticas métricas
distintas, como lo es su dimensión, su extensión: si es acotada (cuando
la superficie está contenida en alguna bola con centro en el origen) o no,
o si está limitada por algún plano (como ocurre con un paraboloide); si es
reglada, es decir, por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente
contenida en la superficie; si consta de una sola pieza, etc.
Esta última parte la dejaremos como ejercicio para el lector, siguiendo el
tipo de razonamientos que damos en el caso de las cuádricas de rango 3:
- Signatura 3: Las dos superficies de rango 3 con signatura 3 son un
elipsoide y un punto, pero el término independiente, que no se afecta por
una transformación ŕıgida, da dos grados de libertad a los puntos que
satisfacen (2) y ningún grado de libertad al único punto que satisface
(3).
- Signatura 1: Las dos superficies de rango 3 con signatura 1 son un
hiperboloide de 1 hoja y un cono, pero el término independiente los dis-
tingue: si en la ecuación (5) dejamos del lado izquierdo una diferencia de
cuadrados, el nuevo lado derecho es también una diferencia de cuadrados
y eso muestra que tenemos una superficie doblemente reglada (por ca-
da punto pasan dos rectas complemente contenidas en el hiperboloide),
mientras que un cono es una superficie simplemente reglada (por cada
punto distinto del vértice, pasa sólo una recta completamente contenida
en el cono: la generatriz a la que pertenece).
- Signatura -1: Sólo tenemos una superfice de rango 3 y signatura −1, el
hiperboloide de 1 hoja, que es una superficie doblemente reglada.
Es claro que no todos los lugares geométricos listados tienen derecho a lla-
marse superficies, como ocurre con el vaćıo (ecuaciones 1), *) y **)), un punto
(3), o una recta (7), que son casos ĺımite de un elipsoide y un cilindro eĺıptico,
respectivamente, y por eso se llaman cuádricas degeneradas. Sin embar-
go, todos son lugares geométricos correspondientes a ecuaciones polinomiales
cuadráticas en 3 variables.
La demostración de la invariancia del rango y la signatura de una matriz
41
bajo una transformación no singular, puede consultarse en [B-ML], y tiene
como consecuencia la invariancia del grado.
Daremos ahora una primera versión del invariante bajo isometŕıas más
importante en Geometŕıa Diferencial, la curvatura de una superficie en
cada uno de sus puntos (como veremos, el valor de la curvatura puede
cambiar de punto a punto). Una referencia para quien desee profundizar en
este tema es [DoC].
Las figuras estudiadas en esa rama de la Geometŕıa deben ser suaves, es
decir, si se trata de curvas requerimos que en cada uno de sus puntos esté bien
definida la recta tangente, y si se trata de superficies, la condición es que en
cada uno de sus puntos tenga bien definido su plano tangente.
El lector recordará que la utilidad de que una curva tenga bien definida
la recta tangente en cada uno de sus puntos, es la posibilidad de aproximar
a la curva por su tangente en una vecindad suficientemente pequeña
del punto. Lo análogo ocurre con una superficie, si en cada punto está bien
definido el plano tangente, habrá muchos problemas donde pueda sustituirse,
localmente, la superficie por su plano tangente (véase la Figura 1.17).
Eso no siempre ocurre, pues en una superficie tan sencilla como un cono
de revolución, no puede definirse el plano tangente en el vértice. Para con-
vencernos, basta considerar que cada una de las generatrices es una recta no
sólo tangente al cono, sino contenida en él, y si existiera un plano tangente al
cono en el vértice, cada generatriz debeŕıa estar contenida en ese plano, lo cual
evidentemente es imposible.
El Cálculo nos da una técnica sencilla para detectar cuáles superficies son
suaves, al menos si se trata de superficies definidas por una función diferencia-
ble F :
� 3 → � , como lo son E(x, y, z) = x2+4y2+9z2, P (x, y, z) = x2+y2−z,
Π(x, y, z) = x + 2y + 3z (para aclarar algunos de los conceptos mencionados
en el resto de esta sección, puede recurrirse al Apéndice 5.1, o a [Cou]).
Un hiperboloide de dos mantos (4), y un cono (6) son superficies de nivel
de la función
F (x, y, z) = x2 − y2 − z2,
cuyo gradiente ∇F es
∇F (x, y, z) = (2x,−2y,−2z),
que sólo se anula en (0, 0, 0).
42
El origen no pertenece al hiperboloide de 2 mantos x2 − y2 − z2 = 1, y aśı
∇F (P ) 6= (0, 0, 0) en cualquier punto P del hiperboloide. Decimos por eso que
1 es un valor regular de F.
En cambio, el origen śı pertenece al cono x2 − y2 − z2 = 0, es su vértice, y
como ∇F (0, 0, 0) = (0, 0, 0), decimos que 0 es un valor cŕıtico de F .
PSfrag replacements
P1
P2
P3
H1
H2
H3
T1
T2
T3
N̂N̂
Figura 1.17: Planos tangentes a distintas superficies en algunos de sus puntos.
Si una superficie S es imagen inversa de un valor regular r (vea el
Apéndice 5.1) de una función diferenciable F :
� 3 → � , es decir, si
S = {(x, y, z) ∈ � 3|F (x, y, z) = r y ∇F (x, y, z) 6= (0, 0, 0)},
es fácil demostrar, usando la Regla de la Cadena, que para cualquier P0 ∈ S,
el gradiente de F en el punto, ∇F (P0), es un vector perpendicular al vector
velocidad α′(t0) de cualquier curva suave α(t) = (x(t), y(t), z(t)) contenida en
S que pase por P0 en el tiempo t0. Veamos, como la curva está contenida en
S,
F (x(t), y(t), z(t)) = r para todo t ∈ Dom(α).
Al derivar respecto a t y valuar en t0, obtenemos,por la Regla de la Cadena,
dF
dt
(t0) = ∇F (P0) · α′(t0) = 0.
Entonces, el plano que pasa por P0 y perpendicular a ∇F (P0) contiene al
vector tangente de cualquier curva suave contenida en S que pase por P0; por
43
eso se le llama el plano tangente a S por P0. Su ecuación es
(P − P0) · ∇F (P0) = 0. (1.6)
La Figura 1.17 ilustra varios planos tangentes a un elipsoide, un paraboloide
hiperbólico y a un toro de revolución.
Para el elipsoide, el plano tangente al elipsoide en un punto corta a la
superficie sólo en ese punto, y deja a la superficie en un solo lado del plano
tangente. Ese tipo de puntos se llaman puntos eĺıpticos.
Para el paraboloide hiperbólico, el plano tangente en un punto corta a
la superficie en 2 rectas, puesto que es una superficie doblemente reglada; hay
puntos de la superficie en ambos lados del plano tangente. ésta es una condición
necesaria para que un punto sea un punto hiperbólico.
Para el toro de revolución, la intersección con el plano tangente depende
de la ubicación del punto. En el toro hay puntos eĺıpticos, puntos hiperbólicos
y puntos parabólicos, para los cuales hay una curva tal que en todos sus
puntos el vector normal es fijo y el plano tangente deja a la superficie en uno
de los dos semiespacios que define.
El lector puede comprobar nuestras afirmaciones si determina la ecuación
del plano tangente con la fórmula (1.6), pues todas las superficies mencionadas
son imágenes inversas de valores regulares de funciones diferenciables de
� 3 en�
(vea el Ejercicio 6 c)).
Los planos que contienen a la recta determinada por P0 y ∇F (P0), cortan a
la superficie en curvas llamadas secciones normales. La Figura 1.18 muestra
secciones normales C1, C2 y C3 en el punto P0, de un cilindro, un elipsoide y un
paraboloide hiperbólico.
Si una curva suave α(s) = (x(s), y(s), z(s)) está parametrizada de for-
ma que su vector tangente α′(s) tenga siempre norma 1, podemos definir
su curvatura k(s0) en el punto α(s0), como la norma del vector α
′′(s0) =
(x′′(s0), y
′′(s0), z
′′(s0)).
Eso se debe a que ||α′(s)|| es constante, y entonces al derivar este vector
sólo medimos la variación respecto a su posición, la rapidez con que la curva
se aleja de la recta tangente en el punto.
El parámetro s que logra ||α′(s)|| = 1 se llama longitud de arco, pues
permite recorrer arcos iguales en tiempos iguales. Cualquier curva suave admite
una parametrización aśı (véase [DoC]).
Para una recta, la curvatura en cualquier punto es cero, pues como la
parametrización de una recta por longitud de arco es α(s) = P0 + sû, con P0
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y û constantes y ||û|| = 1, resulta α′′(s) = 0̄ para todo s.
Para una circunferencia, la curvatura es el inverso del radio, pues si la
parametrización es
α(s) = (r cos(s/r), r sen (s/r)),
entonces el vector velocidad es
α′(s) = (− sen (s/r), cos(s/r)),
que tiene norma 1, y el vector aceleración es
α′′(s) = (−(1/r) cos(s/r),−(1/r) sen (s/r)),
que tiene norma 1/r y, además, apunta en todos los casos hacia la parte cóncava
de la circunferencia.
PSfrag replacements
Π1
Π1
Π1
Π2
Π2
Π2
Π3
Π3
Π3
C1
C1
C1
C2
C2
C2
C3
C3
C3
Figura 1.18: Secciones normales de un cilindro, un elipsoide y un paraboloide
hiperbólico.
La definición de curvatura de una superficie S ⊂ � 3 en uno de sus
puntos, P0, requiere de dar un signo a las curvaturas de las secciones normales.
Para ello, fijamos uno de los dos posibles vectores normales unitarios en el
punto, N̂(P0), y proyectamos en él al vector α
′′(s0); si la proyección tiene el
mismo sentido que N̂(P0), la sección tendrá curvatura positiva, y será negativa
en el caso contrario.
En el caso de un elipsoide, los vectores de aceleración de todas las secciones
normales quedan de un mismo lado del plano tangente, mientras que en el caso
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de un paraboloide hiperbólico, en cada punto hay secciones normales en ambos
lados del plano tangente, como ocurre con las curvas C1 y C3 del paraboloide
hiperbólico de la Figura 1.18.
Hay tantas secciones normales como diámetros en una pequeña circunfe-
rencia centrada en P0 en el plano tangente, es decir, una para cada θ ∈ [0, π].
Por tanto, la curvatura de una sección normal, llamada curvatura seccional,
puede verse como una función del ángulo θ, k(θ).
Un resultado muy importante en Cálculo asegura que una función continua
definida en un intervalo cerrado toma en él su máximo y su mı́nimo; por tanto,
para algunos θ1, θ2 ∈ [0, π], tendremos k1 = k(θ1) la curvatura máxima y
k2 = k(θ2) la curvatura mı́nima de las secciones normales.
La curvatura de una superficie en uno de sus puntos, K(P ), fue
definida por Leonhard Euler (1707-83) como el producto de las curvaturas
máxima y mı́nima de las secciones normales:
K(P ) = k1(P )k2(P ).
Note que el valor de K(P ) no cambia aunque elijamos como vector normal
a −N̂(P0).
Actualmente, K(P ) se denomina la curvatura gaussiana de la superficie
en un punto P en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1865) quien ubicó a este
concepto como uno de los más importantes de la Geometŕıa Diferencial (vea
[DoC]).
Cuando K(P ) es constante, la superfice se llama superficie de curvatura
constante. Una esfera tiene curvatura constante K = 1/r2, donde r es su
radio, y un plano tiene curvatura constante 0.
Como la norma de α′′(s) es invariante bajo transformaciones ŕıgidas, al apli-
car una transformación ŕıgida a una superficie, las curvaturas de las secciones
normales también son invariantes.
En el Ejercicio 5 dejamos al lector la tarea de completar la demostración de
la invariancia de la curvatura K(P ) bajo transformaciones ŕıgidas, y calcular la
curvatura de las superficies propuestas en los ejercicios en los puntos indicados.
Le será útil la fórmula siguiente, que expresa la curvatura k(t) de una curva
α(t) con parámetro arbitrario (vea el Ejercicio 5)
k(t) =
||α′ × α′′||
||α′||3 . (1.7)
Esperamos que recurra a la imagen de la superficie para decidir cuáles son
las secciones de curvatura máxima y mı́nima.
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Antes de finalizar esta sección, definiremos otros dos conceptos que pueden
ser fácilmente entendidos si los analizamos en los ejemplos de superficies que
hemos trabajado.
El primero es el de superficie homogénea. De forma intuitiva, decimos
que una superficie es homogénea si un trozo de superficie que rodee un punto
puede superponerse a la superficie en torno a cualquier otro punto; eso ocurre
con el plano, con la esfera y también con el cilindro, pero no con el toro de
revolución ni con un elipsoide.
De manera formal, podemos decir que una superficie S es homogénea si
para cualesquiera dos puntos P y Q en la superficie, existe una transformación
ŕıgida que lleva una porción de la superficie en torno a P en una porción de la
superficie en torno a Q.
Al segundo concepto lo llamaremos isotroṕıa, y se refiere al hecho de que
en un punto, la superficie muestre el mismo aspecto al mirar en cualquier
dirección. El plano y la esfera son isotrópicos, pero el cilindro no lo es.
Decimos que un punto de una superficie es un punto umb́ılico si todas
las curvaturas seccionales en el punto son iguales. Los puntos de un cilindro
no son umb́ılicos, pero śı lo son los de una esfera y los de un plano.
EJERCICIOS
1. Demuestre que el polinomio caracteŕıstico de una matriz, es invariante
bajo transformaciones ŕıgidas.
2. Para cada una de las cuádricas con un mismo rango y signatura, dé
caracteŕısticas métricas, como las simetŕıas y la extensión, que muestren
la diferencia entre los distintos tipos.
3. Dibuje la superficie definida por la ecuación
3x2 − y2 + 4xz − 10x + 2y − 4z + 3 = 0.
4. Sin hacer ningún cálculo, demuestre cada una de las afirmaciones siguien-
tes.
(a) la curvatura de un plano en cualquiera de sus puntos es 0;
(b) la curvatura de una esfera toma el mismo valor en cada uno sus
puntos (encuéntrela);
(c) la curvatura de un cilindro tiene el mismo valor en cada uno de sus
puntos (encuéntrela);
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(d) la curvatura de un paraboloide