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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE ECONOMÍA 
 
 
SOBRE UNA EXTENSIÓN DEL TEOREMA DE EXISTENCIA 
DE EQUILIBRIOS DE NASH EN ESTRATEGIAS MIXTAS CON 
FUNCIONES DE UTILIDAD GENERALIZADA. 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 LICENCIADO EN ECONOMÍA 
 P R E S E N T A : 
 
ADÁN SALAS GUTIÉRREZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DAVID RENÉ MICHEL CANTALÁ 
ENERO 2016 
 
 
Lourdes
Texto escrito a máquina
Ciudad Universitaria, D. F.
 
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Índice general
Dedicatoria I
Agradecimientos I
Introducción III
1. Teoŕıa de la utilidad esperada 1
1.1. Relaciones y preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Loteŕıas y utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Inconsistencia de la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Teoŕıa de juegos 11
2.1. Equilibrio de Nash en estrategias mixtas . . . . . . . . . . . . 14
2.2. El teorema de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Equilibrio de Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. La función de utilidad esperada generalizada 19
3.1. La función ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. La paradoja de San Petersburgo . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2. La paradoja de Allais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Equilibrios de Nash para ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A. Apéndice 29
A.1. Conjuntos compactos y convexos . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.2. Funciones y correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.3. Teoremas del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.3.1. Teorema del punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . 32
A.3.2. Teorema del punto fijo de Kakutani . . . . . . . . . . . 32
1
2 ÍNDICE GENERAL
Dedicatoria
Para:
Abigail, A. Isaac y Anah́ı
i
ii DEDICATORIA
Agradecimientos
A mis padres, Ángela Gutiérrez Pacheco y Pascual Salas Casas,
por haberme educado con amor y cariño y porque en todo momento han
deseado lo mejor para mı́.
A mis padrinos, Fernando Gutiérrez Guzmán, Juan Carlos Linares
Arteaga, Mario Héctor Salazar Mondragón y Herminio Mart́ınez,
por enseñarme las cosas más valiosas de esta vida y porque de ellos recib́ı
toda la motivación y el apoyo para iniciar este proyecto.
A mi amigo Juan Rogelio Ascencio Garćıa, a quien considero mi her-
mano, porque a lo largo de todo este camino ha estado conmigo, brindándome
su apoyo y su amistad genuina e incondicional.
A mi asesor de tesis, el Dr. David René Michel Cantalá, por todo el
conocimiento que me ha transmitido desde el inicio de este proyecto, por sus
valiosas sugerencias y porque desde el d́ıa en que amablemente aceptó dirigir
mi trabajo ha sido muy paciente y comprensivo conmigo.
A mis sinodales, la Mtra. Laura Casillas Valdivia, la Mtra. Andrea
Imaz Escutia, la Lic. Erika Ivonne Pantoja Sandoval y el Mtro. Ma-
nuel Damián Lecumberri Fernández, por sus observaciones y correccio-
nes hechas durante la realización de esta tesis.
i
ii AGRADECIMIENTOS
Debemos, pues, considerar el estado presente del universo como el efecto
de su estado anterior y como la causa del que debe seguirlo. Una inteligen-
cia que, en un instante dado, conociese todas las fuerzas que animan a la
naturaleza y la situación respectiva de los seres que la componen, y que, por
otra parte, fuera suficientemente amplia como para someter estos datos al
análisis, abarcaŕıa en la misma formula los movimientos de los cuerpos más
grandes del universo y de los átomos más ligeros; nada le seŕıa incierto, y
tanto el futuro como el pasado estaŕıan presentes delante de ella.
P. S. Laplace
ii AGRADECIMIENTOS
Introducción
Sea Γ = {N, {Si}i∈N , ui(·)} un juego rectangular finito en donde N repre-
senta el número de jugadores, Si ⊂ Rm es el espacio de estrategias del jugador
i ∈ N el cual es un subconjunto del espacio Euclidiano m- dimensional que
es no vaćıo, compacto y convexo y ui(·) es la función de utilidad esperada
del i-ésimo jugador la cual es continua y cuasicóncava en si. Sabemos por
[12] que existe al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas para este
juego.
En 1974 G. Bernard realizó un análisis sobre diversas funciones de utili-
dad, este análisis incluye el de una función de utilidad esperada generalizada
para explicar diversos problemas que limitan a la función de utilidad espera-
da, en particular, el de la paradoja de Allais.
Aśı, podemos preguntarnos, ¿es posible aplicar esta clase de funciones de
utilidad más extensas al teorema de existencia? En este trabajo analizaremos
esta cuestión.
El objetivo principal de este trabajo es extender el teorema de existencia
de equilibrios de Nash en estrategias mixtas haciendo uso de una función de
utilidad esperada generalizada, como se mencionó anteriormente dicha fun-
ción expresa correctamente situaciones las cuales no son posibles mediante
la función de utilidad esperada.
En el caṕıtulo uno presentamos los fundamentos teóricos sobre el compor-
tamiento de los individuos (jugadores) basados en sus preferencias, y llega-
remos a la conclusión de que bajo ciertas circunstancias, las preferencias de
un individuo racional pueden ser representadas por una función de utilidad
continua.
iii
iv INTRODUCCIÓN
En el caṕıtulo dos se desarrollan los conceptos necesarios para poder ex-
plicar el teorema de existencia de equilibrios de Nash en estrategias mixtas
y demostraremos el teorema siguiendo a [1], como aplicación del teorema de-
mostraremos también que el equilibrio en el modelo de Cournot expuesto en
[2], es un caso especial de equilibrio de Nash.
En el último caṕıtulo discutimos las propiedades de la función de utili-
dad generalizada, algunas de sus aplicaciones y extenderemos el teorema de
existencia, el cual es el resultado principal de este trabajo. Al final se ha in-
cluido un apéndice con el fin de que el lector se familiarice con los conceptos
utilizados.
Caṕıtulo 1
Teoŕıa de la utilidad esperada
1.1. Relaciones y preferencias
La teoŕıa microeconómica proporciona un modelo que describe la conduc-
ta de los agentes (jugadores en este caso) en función de sus preferencias, para
lo cual designaremos por Si al conjunto de todos los resultados a los que el
jugador i tiene acceso, definiremos a continuación algunas propiedades sobre
sus preferencias.
A lo largo de este trabajo designaremos a Si ⊂ Rn como el conjunto de
todos los resultados del jugador i con i ∈ [1, n], el cual será no vaćıo, cerrado,
acotado y convexo.
Definición 1 Sean s1i, s2i ∈ Si dos resultados cualesquiera, si el jugador i
prefiere el resultado s1i al s2i o si le son indiferentes escribiremos s1i ≽ s2i,
si s1i ≽ s2i pero no s2i ≽ s1i diremos que la preferencia por s1i es estricta y
escribiremos s1i ≻ s2i.
Supondremos además que el conjunto de resultados del jugador i satisface
las siguientes propiedades:
Completitud: Para cualesquiera s1i, s2i ∈ Si, s1i ≽ s2i o s2i ≽ s1i.
Transitividad: Para cualesquieras1i, s2i, s3i ∈ Si, si s1i ≽ s2i y s2i ≽ s3i,
entonces s1i ≽ s3i.
1
2 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA
El primer supuesto nos dice que el jugador siempre puede elegir entre
cualesquiera dos resultados del conjunto Si, el segundo supuesto nos asegura
que las preferencias no formaran ciclos, es decir, serán aćıclicas.
Diremos que una relación de preferencia es racional si cumple las dos
propiedades anteriores.
Definidas las propiedades del espacio de resultados de los jugadores y sus
preferencias seŕıa bueno preguntarse si podemos asociar un número real a
cada elección de tal manera que si se prefiere un resultado a otro el número
asociado al primer resultado sea mayor al asociado por el otro .
Una función con estas caracteŕısticas recibe el nombre de función de uti-
lidad, de manera formal:
Definición 2 Una función u : Si → R es una función de utilidad que repre-
senta a la relación de preferencia ≽ si, para cada s1i, s2i ∈ Si.
s1i ≽ s2i ⇐⇒ u(s1i) ≥ u(s2i)
Una función de utilidad es una herramienta muy útil para modelar la
conducta de los jugadores ya que nos proporciona una medida del grado de
satisfacción que el resultado si proporciona sobre él.
Podemos asociar una relación de preferencia con una función de utilidad
mediante la siguiente proposición.
Proposición 1 Una relación de preferencia puede ser representada por una
función de utilidad sólo si ≽ es racional.
Demostración. De acuerdo a [7], sean s1i, s2i y s3i ∈ Si. Puesto que u(·) es
una función definida sobre Si se tiene que u(s1i) ≥ u(s2i) o u(s2i) ≥ u(s1i). Lo
que significa que u(·) es una función que representa la relación de preferencia
≽, lo cual implica que s2i ≽ s1i o s1i ≽ s2i, por lo tanto ≽ es completa. �
Supongamos que s3i ≽ s2i y s2i ≽ s1i, puesto que ≥ es representada por
la función u(·), tenemos que entonces que u(s3i) ≥ u(s2i) y u(s2i) ≥ u(s1i).
De esta manera u(s3i) ≥ u(s1i) lo que implica que s3i ≽ s1i. Por lo tanto ≽
1.2. LOTERÍAS Y UTILIDAD ESPERADA 3
es transitiva.
Recordemos que si una relación de preferencia es completa y transitiva
entonces es racional, aśı, la proposición queda demostrada. �
Lamentablemente existen relaciones de preferencia que no pueden ser re-
presentadas mediante una función con valores reales, un ejemplo muy cono-
cido es la relación de orden lexicográfico. 1
Para poder garantizar entonces la existencia de una función de utilidad
que represente a la relación de preferencia descrita anteriormente es necesario
agregar una hipótesis sobre la relación de preferencias.
Continuidad: Para cualquier s′i ∈ Si, los conjuntos {si ∈ Si|si ≼ s′i} y
{si ∈ Si|s′i ≼ si} son cerrados.
Definida esta última hipótesis podremos garantizar la existencia de una
función de utilidad que represente a la relación ≽ mediante el siguiente re-
sultado:
Proposición 2 Sea ≽ una relación de preferencia completa, transitiva y
continua sobre el espacio de resultados Si ⊂ Rm. Entonces existe una función
de utilidad continua que representa a ≽ sobre Si.
Demostración. La demostración de este resultado se puede consultar en
[7] páginas 56-59. �
1.2. Loteŕıas y utilidad esperada
En la teoŕıa de juegos, sin embargo, tenemos muchas situaciones en las
cuales no es suficiente considerar el conjunto de resultados como se acaba
de desarrollar, para esto necesitaremos extender el espacio de resultados de
los jugadores e introducir una nuevo concepto que incluye distribuciones de
probabilidad entre los resultados, aśı tenemos la siguiente definición.
1La demostración de este hecho se puede consultar en [7], página 72.
4 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA
Definición 3 Una loteŕıa simple L es una lista L = {p1, p2, ..., pn} con pi ≥
0 para todo i ∈ [1, n] tal que
n∑
i=1
pi = 1, en donde pi se puede interpretar
como el peso o la probabilidad de ocurrencia del suceso i.
Denotaremos por L al conjunto de loteŕıas sobre el conjunto de resultados
Si para cada jugador i
Dada esta extensión, debemos también garantizar una función de utili-
dad que la represente, para esto definiremos sobre loteŕıas dos supuestos que
servirán para probar que esta función existe.
Continuidad: La relación ≽ sobre el espacio de loterias L es continua
si para cada L,L′, L′′ ∈ L, los conjuntos
{α ∈ [0, 1] : αL+ (1− α)L′ ≽ L′′} ⊂ [0, 1]
y
{α ∈ [0, 1] : L′′ ≽ αL+ (1− α)L′} ⊂ [0, 1]
son cerrados.
Independencia: La relación de preferencia ≽ sobre el espacio de loterias
L satisface el axioma de independencia si para todo L,L′, L′′ ∈ L, y α ∈ (0, 1)
se tiene
L ≽ L′ ⇐⇒ αL+ (1− α)L′′ ≽ L′′ ≽ αL′ + (1− α)L′′.
Definiremos ahora la función de utilidad sobre el espacio de loteŕıas L y
algunas de sus propiedades.
Definición 4 Una función de utilidad U : L → R tiene una forma de uti-
lidad esperada tipo von Neumann-Morgenstern si existen u1, u2, ..., un ∈ R
tales que para cada loteŕıa L = (p1, p2, ..., pn) ∈ L
U(L) = u1p1 + ...+ unpn.
1.2. LOTERÍAS Y UTILIDAD ESPERADA 5
Proposición 3 Si una función de utilidad U : L → R satisface
U
( K∑
k=1
αkLk
)
=
K∑
k=1
αkU(Lk)
para toda loteŕıa L1, . . . , LK ∈ L y probabilidades α1, . . . , αK ≥ 0 tal que
K∑
k=1
αk = 1, entonces tiene forma de utilidad esperada.
Demostración. Sean L1, . . . , LN tal que L =
N∑
n=1
pnL
n, en donde L =
(p1, ..., pN), entonces tenemos que
U(L) = U
( N∑
n=1
pnL
n
)
=
N∑
n=1
pnU(L
n) =
N∑
n=1
pnun.
Por lo tanto, U(·) tiene forma de utilidad esperada. �
El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para de-
mostrar la existencia de una función de utilidad en el espacio de loteŕıas
haciendo uso de los axiomas de continuidad e independencia.
La idea central de la demostración consiste en construir sobre el espa-
cio de loteŕıas (utilizando los supuestos de continuidad e independencia) una
función de utilidad que sea lineal ya que la proposición anterior nos garantiza
que esta función es de utilidad esperada.
Enunciaremos a continuación tres lemas que serán de gran utilidad para
la demostración del teorema de utilidad esperada.
Lema 1 Sea ≽ una relación de preferencia definida sobre el espacio de lo-
teŕıas L que satisface los axiomas de continuidad e independencia, L,L′ ∈ L
y α ∈ (0, 1). Si L ≻ L′ entonces se cumple que L ≻ αL+ (1− α)L′ ≻ L′.
Demostración. Puesto que L ∼ αL+ (1− α)L, L′ ∼ αL′ + (1− α)L′ y
L ≻ L′, por el axioma de independencia se tiene que
L ∼ αL+ (1− α)L ≻ αL+ (1− α)L′ ≻ αL′ + (1− α)L′ ∼ L′.
6 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA
Luego L ≻ αL+ (1− α)L′ ≻ L′. �
Lema 2 Sean α, β ∈ [0, 1] y L,L ∈ L tal que L ≻ L ≻ L para cualquier
L ∈ L. Entonces βL+ (1− β)L ≻ αL+ (1− α)L⇐⇒ β > α.
Demostración. Si β > α con α ̸= 1 entonces
βL+ (1− β)L ∼
(1− α
1− α
)
βL+
(1− α
1− α
)
(1− β)L+
( α
1− α
)
L−
( α
1− α
)
L
∼
(β − α
1− α
)
L+
(
1− β − α
1− α
)
[αL+ (1− α)L],
haciendo
(β − α
1− α
)
= γ ∈ (0,1] obtenemos
βL+ (1− β)L ∼ γL+ (1− γ)[αL+ (1− α)L)]. (1.1)
Por el lema 1 sabemos que L ≻ αL+ (1− α)L, aplicando nuevamente el
lema 1 obtenemos
γL+ (1− γ)[αL+ (1− α)L)] ≻ αL+ (1− α)L.
Luego, por (1.1) concluimos que
βL+ (1− β)L ≻ αL+ (1− α)L. �
Si β = α es fácil ver que βL + (1 − β)L ∼ αL + (1 − α)L. Si β < α
llegamos a la relación βL+ (1− β)L ≺ αL+ (1− α)L utilizando los mismos
argumentos que usamos para β > α. �
Lema 3 Dada L ∈ L, existe un único αL ∈ [0, 1] tal que αLL+(1−αL)L ∼ L.
Demostración. La existencia de αL se sigue de la continuidad de ≽ y
del lema 1. La unicidad es un resultado inmediato del lema 2. �
1.2. LOTERÍAS Y UTILIDAD ESPERADA 7
Teorema 1 (Teorema de la utilidad esperada) Supongamos que la re-
lación de preferencia ≽ sobre el espacio de loteŕıas L satisface los axiomas
de continuidad e independencia. Entonces ≽ admite una representación de
utilidad esperada tipo (vNM). Esto es, dado ui, para cualesquiera dos loteŕıas
L = {p1, ..., pn} y L′ = {p′1, ..., p′n} se tiene
L ≽ L′ ⇐⇒
n∑
i=1
uipi ≥
n∑
i=1
uip
′
i.
Demostración. Para simplificar supondremosque para cualquier loteŕıa
L ∈ L existen las loteŕıas L,L ∈ L tal que L ≻ L ≻ L, ya que si L ∼ L en-
tonces todas las loteŕıas de L serian indiferentes y bastaŕıa tomar U(L) = c,
con c ∈ R, por lo cual el resultado seŕıa trivial ya que esta función claramente
es lineal.
Sea U : L → R una función tal que para toda L ∈ L, U(L) = αL. Si
L,L′ ∈ L son dos loteŕıas con L ≽ L′, entonces, por el lema 3
αLL+ (1− αL)L ∼ L ≽ L′ ∼ αL′L+ (1− αL′)L.
Por lo tanto,
L ≽ L′ ⇐⇒ αLL+ (1− αL)L ≽ αL′L+ (1− αL′)L.
Pero por el lema 2
L ≽ L′ ⇐⇒ αL ≥ αL′ .
De acuerdo a la definición 2, la función U : L → R es una función de
utilidad que representa a la relación de preferencia ≽ . �
Falta probar que para cualesquiera L,L′ ∈ L y β ∈ [0, 1] se tiene que
U(βL+ (1− β)L) = β(U)L+ (1− β)U(L′).
Por definición tenemos que
L ∼ U(L)L+ [1− U(L)]L
8 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA
y
L′ ∼ U(L′)L+ [1− U(L′)]L.
Aplicando el axioma de independencia
βL+(1− β)L′ ∼ β[U(L)L+(1−U(L))L] + (1− β)[U(L′)L+(1−U(L′))L],
reordenando términos
βL+ (1− β)L′ ∼ [βU(L) + (1− β)U(L′)]L+ [(1− β)U(L)− (1− β)U(L′)]L.
Luego,
U(βL+ (1− β)L′) = βU(L) + (1− β)U(L′).
Aśı, concluimos que U(·) es lineal y por lo tanto tiene forma de utilidad
esperada. �
1.3. Inconsistencia de la utilidad esperada
Aunque el modelo anteriormente descrito es uno de los más usados en la
teoŕıa de la elección del consumidor, presenta algunas dificultades, en primer
lugar, en la mayoŕıa de los casos la elección de los individuos no está sujeta
a estas condiciones puesto que solo se modela una porción muy limitada del
problema global de la conducta de los agentes.
Como ejemplo de la inconsistencia del modelo utilidad esperada de vNM
tenemos el desarrollado por Maurice Allais, en el cual, el supuesto de inde-
pendencia no se cumple.
Supongamos que un jugador participa en una apuesta en la cual se tienen
los siguientes resultados:
A1: Ganancia segura de 1,000,000 de unidades monetarias.
A2: Ganancia de 5,000,000 de unidades monetarias con probabilidad
de 0.1, nada con probabilidad de 0.01 y 1,000,000 con probabilidad de
0.89.
1.3. INCONSISTENCIA DE LA UTILIDAD ESPERADA 9
Por otro lado
B1: Ganancia de 1,000,000 con probabilidad de 0.11 y nada con proba-
bilidad de 0.89
B2: Ganancia de 1,000,000 con probabilidad de 0.1 y nada con proba-
bilidad de 0.9
Muchas personas a las cuales les es propuesta esta apuesta, si prefieren
A1 a A2, prefieren B2 a B1. Este comportamiento claramente es inconsistente
con el criterio de utilidad esperada de vNM, puesto que:
E(A1) = 1, 000, 000
E(A2)= 5,000,000(0. 1)+ 1,000,000( 0.89)=(1.39)1,000,000
E(B1)= (0.11)1,000,000
E(B2)= (0.10)5,000,000
Entonces E(A1) < E(A2) y E(B1) < E(B2).
Este último resultado muestra claramente que el supuesto de independen-
cia no se cumple.
10 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA
Caṕıtulo 2
Teoŕıa de juegos
Intuitivamente podemos definir un juego como una representación abs-
tracta de un conflicto en el cual están involucrados los participantes (juga-
dores), sus posibles decisiones (estrategias) y el pago (función de utilidad)
obtenido después de haber tomado su decisión.
Formalmente, enunciaremos la idea anterior de la siguiente manera:
Definición 5 Un juego Γ es una terna {N, {Si}i∈N , ui(·)} en donde N re-
presenta al conjunto de jugadores, Si al conjunto de estrategias del i -ésimo
jugador y ui(.) :
∏
i∈N
Si → R la función de pago del jugador i.
Denotaremos un perfil de estrategias de los N jugadores por (s1, . . . , sn) =
s̄ ∈ S en donde S =
∏
i∈N
Si.
Dado un perfil de estrategias s̄ denotaremos por s = (si, s−i) al cambio
en la estrategia del jugador i en dicho perfil, mientras los demás continúan
con la misma estrategia, aqúı s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn).
El concepto de equilibrio de Nash es uno de los más importantes dentro de
la teoŕıa de juegos no cooperativos, la idea central del concepto nos dice que
dado un conflicto entre distintos jugadores en el cual cada quien ha elegido
un resultado previamente, se tiene la propiedad de que si alguno de ellos
decide cambiar su elección y los demás la mantienen, el jugador que cambio
de elección no obtendrá un mejor resultado en el juego. En otras palabras:
11
12 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS
Definición 6 Diremos que un perfil de estrategias s = (si, s−i) es un equili-
brio de Nash en el juego Γ = {N, {Si}i∈N , ui(·)}, si para cada s′i ∈ Si
ui(si, s−i) ≥ ui(s′i, s−i). (2.1)
Definición 7 La correspondencia de mejor respuesta bi : S−i → Si del juga-
dor i- ésimo en el juego Γ = {N, {Si}i∈N , ui(·)} es una correspondencia que
asocia a cada s−i ∈ S−i el conjunto
bi(s−i) = {si ∈ Si|ui(si, s−i) ≥ ui(s′i, s−i), ∀ s′i ∈ Si}. (2.2)
Dada la definición anterior decimos que el perfil s = (si, s−i) constituye un
equilibrio de Nash si y sólo si si ∈ bi(s−i).
Diremos que un juego es cooperativo si al menos dos de los jugadores no
compiten entre si, es decir, forman una coalición y por lo tanto el juego se
convierte en una competencia entre coaliciones, cuando los jugadores toman
las decisiones de manera independiente, es decir, no forman coaliciones, dire-
mos que el juego es no cooperativo, en este trabajo nos ocuparemos de este
último tipo de juegos.
Ejemplo 1. Consideremos lo siguiente.
Dos sospechosos son arrestados pues se les ha acusado de cometer un de-
lito, la polićıa no tiene evidencia suficiente para condenar a los sospechosos a
menos de que confiesen haber cometido el crimen. La polićıa encierra a cada
uno de los sospechosos en celdas diferentes y le plantea a cada uno de ellos
las consecuencias de confesar o no confesar el delito.
Si alguno confiesa y el otro no, el que no confeso será encerrado 9 años
y el que confeso será puesto en libertad, si ninguno confiesa, ambos serán
condenados por un delito menor y sentenciados a un año en la cárcel. Pero
si los dos confiesan, serán sentenciados a 6 años en la cárcel.
Podemos representar esta situación como una matriz binaria (forma rec-
tangular) de la siguiente manera (cuadro 2.1):
13
Confesar No confesar
Confesar (-6,-6) ( 0,-9)
No confesar (-9, 0) (-1,-1).
Cuadro 2.1: El dilema del prisionero.
Vemos en este ejemplo que si no existe algún tipo de coalición entre los
sospechosos el juego tiene al menos un equilibrio de Nash, a saber (-6,-6).
Bien conocido es el hecho de que no todo juego en forma normal con
estrategias puras tiene equilibrio de Nash, a continuación presentamos un
ejemplo sencillo que exhibe esta afirmación.
Ejemplo 2. El juego de cara o cruz entre los jugadores A y B consiste
en lo siguiente:
El jugador A lanza una moneda y la cubre con la mano pidiéndole a su
compañero que adivine cual es la posición de la moneda (cara o cruz). Si
el jugador B adivina, el jugador A pierde un punto y el jugador B gana un
punto. Aśı, la representación en forma rectangular del juego es:
Cara Cruz
Cara (-1,1) (1,-1)
Cruz (1,-1) (-1,1).
Cuadro 2.2: El juego del volado.
Este último juego pertenece a una clase de juegos llamada de suma cero.
Un juego es de suma cero si
N∑
i=1
ui(s) = 0 para toda s ∈ S.
No es dif́ıcil ver que este juego no tiene equilibrio de Nash en estrategias
puras. Para resolver el problema anterior se introduce un nuevo concepto en
el espacio de estrategias, este concepto es el de estrategias mixtas, el cual
garantiza la existencia de equilibrios de Nash.
14 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS
2.1. Equilibrio de Nash en estrategias mixtas
Definición 8 Dado el conjunto de estrategias puras Si del jugador i defini-
mos una estrategia mixta de i como una función σi : Si → [1, 0] que asigna a
cada estrategia pura si ∈ Si la probabilidad σi(si) ≥ 0, con
∑
si∈Si
σi(si) = 1.
Al extender el análisis en el juego a estrategias mixtas surgen algunos
cuestionamientos sobre la existencia de equilibrios, uno de ellos es saber que
ocurre cuando introducimos estrategias mixtas en un juego que tiene equili-
brio de Nash en estrategias puras.Afortunadamente este tipo de juegos conservan los puntos de equilibrio
en estrategias puras, es decir, los puntos de equilibrio en estrategias puras
son los mismos en estrategias mixtas, este resultado se enuncia en la siguiente
proposición.
Proposición 4 Sea Γ = {N, {Si}i∈N , ui(·)} un juego finito en forma normal
y s ∈ S un equilibrio de Nash en estrategias puras, entonces s también es un
equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
Demostración. Ver [17] página 216.
Una vez aclarado lo anterior empezaremos con algunas definiciones sobre
el conjunto de estrategias del jugador, la primera de ellas nos ayudara a
asociar al conjunto de estrategias mixtas con puntos en el plano.
Definición 9 Se define el simplex (m − 1) dimensional ∆ sobre el espacio
Rm como
∆ = {p ∈ Rm+ : p1 + ...+ pm = 1}.
Supongamos ahora que el jugador i-ésimo tiene M estrategias puras en
el conjunto Si = {s1i, ..., sMi}. Las posibles estrategias mixtas del jugador i
pueden ser asociadas con los puntos del simplex:
∆(Si) = {(σ1i, ..., σMi) ∈ Rm|σmi ≥ 0 ∀ m = 1, ...,M.
M∑
m=1
σmi = 1}.
2.2. EL TEOREMA DE EXISTENCIA 15
Definición 10 Una función U : ∆(Si) → R tiene forma de utilidad espera-
da o de tipo von Neumann-Morgenstern si hay una asignación de números
(ui, . . . , uN) para los N resultados tal que para cada σi = (σi1, . . . , σiN) ∈
∆(Si) se tiene
Ui(σi) = ui1σi1 + · · ·+ uiNσiN .
Aśı, la función de pago esperado del jugador i en estrategias mixtas en el
perfil σ será
Eσ[ui(s)] =
∑
s∈S
[σ1(s1)σ2(s2)...σN(sN)]ui(s). (2.3)
Para lo cual, abusando de notación, escribiremos ui(σ).
Definición 11 Dado s = (s1, ..., sn) ∈ S, se dice que s−i es una mejor
respuesta mixta del jugador i al perfil s, si:
máx
si∈Si
ui(s, si) = ui(s, s−i). (2.4)
Definición 12 Diremos que la correspondencia de mejores respuestas del
jugador i es un conjunto bi : S−i ( Si, el cual asocia a cada s−i ∈ S−i el
conjunto
bi(s−i) = {si ∈ Si|máx
si∈Si
ui(s, si) = ui(s, s−i)}. (2.5)
2.2. El teorema de existencia
Antes de enunciar el teorema comenzaremos con un par de proposiciones
que nos serán de utilidad para la demostración.
Proposición 5 Si Si es no vaćıo, compacto y convexo, u(·) es continua en
(s1, ..., sn) y cuasicóncava en si, entonces el jugador i tiene una corresponden-
cia de mejor respuesta bi(·) no vaćıa, convexa y superiormente semicontinua.
Demostración. Puesto que la función ui(·, s−i) es continua sobre el con-
junto compacto Si y bi(s−i) es el conjunto de maximizadores de la función ui
entonces es no vaćıa.
16 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS
La convexidad de bi(s−i) se obtiene del hecho de que el conjunto de ma-
ximizadores de una función cuasicóncava sobre un conjunto convexo Si es
convexo.
Recordemos que una correspondencia es superiormente semicontinua si
su gráfica es cerrada, denotemos por b la gráfica de cada uno de los bi(·) y
sea (s1i , . . . , s
n
i ) la sucesión convergente si tal que s
n
i ∈ bi(s−in) para todo n,
entonces si ∈ bi(sn−i) por estar en el conjunto de mejores estrategias mixtas,
aśı tenemos que ui(s
n
i , s
n
−i) ≥ ui(s′i, sn−i) para todo s′i ∈ Si, puesto que ui(·) es
continua tenemos que ĺım
sni →si
ui(s
n
i , s
n
−i) = ui(si, s−i), ya que para toda sucesión
convergente sni de Si se tiene que si ∈ bi(s−i), por lo tanto b(·) es cerrada. �
Proposición 6 Sea Γ = {N, {∆(Si)i∈N}, ui(.)} un juego finito en forma
normal, entonces existe un equilibrio de Nash si para todo i = 1, . . . , N,
1. Si es no vaćıo, convexo y es un subconjunto del espacio Euclidiano Rm.
2. ui(s1, . . . , sN) es continua en (s1, . . . , sN) y cuasicóncava en si.
Demostración. Sea b : S ( S definida por
b(si, ..., sn) =
N∏
1=i
bi(s−i).
Por la proposición anterior esta correspondencia es un conjunto no vaćıo,
compacto y convexo sobre S, aplicando el teorema del punto fijo de Kakutani
observamos que b(·) tiene un punto fijo, el cual a su vez es un equilibrio de
Nash, por lo tanto se obtiene el resultado deseado. �
Teorema 2 (J. Nash) Sea Γ = {N, {∆(Si)i∈N}, ui(.)}1 un juego finito, en-
tonces existe al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
Demostración. El juego Γ Satisface todas las propiedades de la pro-
posición anterior, por lo tanto, existe al menos un equilibrio de Nash en
estrategias mixtas. �
Es importante aclarar que, como su nombre lo indica, es un teorema de
existencia, no de construcción, es decir, el teorema solo demuestra que existen
equilibrios mas no nos proporciona métodos para encontrarlos.
1Recordemos que el conjunto de estrategias mixtas del jugador i puede ser asociado
con los puntos del simplex: ∆(Si) = {(σ1i, ..., σmi) ∈ Rm|σmi ≥ 0 ∀ m = 1, ...,M.}
2.3. EQUILIBRIO DE COURNOT 17
2.3. Equilibrio de Cournot
En 1838, Cournot expuso el concepto de equilibrio que tiempo después J.
Nash llegaŕıa a generalizar. Para verificar la existencia de equilibrio de Nash
en el modelo de Cournot, demostraremos (siguiendo a [11]) que este último
satisface las condiciones de existencia de puntos de equilibrio.
Supongamos que existe un único mercado en el cual hay N empresas
ofertando un solo bien. Cada empresa i produce qi unidades del bien, aśı
Q =
N∑
i=1
qi es la producción total de la industria.
El bien producido se vende a los consumidores cuya función de demanda
inversa viene dada por p = f(Q). Supongamos también que este mercado se
vaćıa, es decir, el total de la producción es el total de las ventas.
Las empresas enfrentan costos para producir dicho bien, estos costos vie-
nen representados por Ci(qi). Sea q = (q1, . . . , qn) un vector de producción,
entonces el beneficio de la empresa i viene dado por
πi = qif(Q)− Ci(qi).
También haremos uso de algunos supuestos técnicos sobre las funciones arriba
mencionadas.
Hipótesis 1 La función de demanda inversa toma valores finitos, es no ne-
gativa, esta definida para todo Q ∈ [0,∞], es continua y de clase C2 de forma
que f(Q) > 0. Además, f(0) > 0, y, si F (Q) > 0, entonces f ′(Q) < 0.
Este supuesto establece que la función de demanda tiene pendiente nega-
tiva.
Hipótesis 2 C1(qi) está definida para todo qi ∈ [0,∞] , es no negativa,
convexa , doble y continuamente diferenciable y C ′i(qi) ≥ ϵ > 0.
Esta condición especifica un coste fijo no negativo (Ci(0) ≥ 0) y un coste
marginal no decreciente (Ci(qi) > 0) lo cual se sigue inmediatamente del
hecho de que Ci sea no negativo, creciente y convexo.
18 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE JUEGOS
Hipótesis 3 Qf(Q) es acotada y es estrictamente cóncava para todo q tal
que f(Q) > 0.
Cournot estableció que existe un vector de producción q∗ = (q∗i , . . . , q
∗
n)
tal que ninguna empresa obtendrá mayores beneficios si hubiera seleccionado
un nivel de producción diferente de q∗i . Definido lo anterior, probaremos la
siguiente proposición.
Proposición 7 Sea Si = [0, qi] el espacio de estrategias de cada empresa,
S =
N∏
1=i
Si, πi(q) la función de pago de la industria i y bi(q−i) = {qi ∈
Si|máx
qi∈Si
πi(q, qi) = πi(q, q−i)}, entonces πi(qc) ≥ πi(qc|qi) para todo qi admi-
sible y todo i ∈ N .
Demostración. Puesto que al menos una empresa tiene algún nivel de
producción Si = [0, qi] es no vaćıo, compacto y convexo. Al ser Qf(Q) la fun-
ción total de la industria (la cual es cóncava), implica que qif(Q) es cóncava.
Por otro lado Ci(qi) es convexa y por lo tanto −Ci(qi) es cóncava, puesto
que la suma de funciones cóncavas es cóncava πi = qif(Q)−Ci(qi) es cóncava.
De esta manera bi(q) es no vaćıo, cerrado y convexo para todo q ∈ S. Por el
teorema anterior, el mercado de Cournot tiene un equilibrio de Nash. �
Caṕıtulo 3
La función de utilidad esperada
generalizada
3.1. La función ψ
La teoŕıa de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern (vNM) es
un caso particular de una estructura de espacio de utilidad más general. El
trabajo de W. Krelle [8] proporciona un enfoque diferente en el cual extiende
el alcance de la utilidad esperada usual el cual exponemos a continuación.
Definición 13 Sea L un espaciode loteŕıas y L ∈ L, definimos la función
de utilidad esperada generalizada ψ : L → R como:
ψ(L) = u1p
c
1 + ...+ unp
c
n =
n∑
i=1
uip
c
i (3.1)
con c ∈ R+.
La función de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern (vNM) es
el caso especial de (3.1) para c = 1.
19
20CAPÍTULO 3. LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADAGENERALIZADA
3.2. Aplicaciones
3.2.1. La paradoja de San Petersburgo
En septiembre de 1713 Nicolás Bernoulli propone originalmente un pro-
blema que en 1738, Daniel Bernoulli, sobrino de Nicolás, discute ampliamente
en las Transacciones de la Academia de San Petersburgo, este problema es
una de las paradojas mas famosas en la teoŕıa de la probabilidad conocida
comunmente como La paradoja de San Petersburgo, la cual se enuncia de la
siguiente manera:
Se lanza al aire una moneda equilibrada repetidas veces hasta que una de
las caras, seleccionada previamente, aparezca por primera vez. Si un jugador
lanza la moneda y requiere de n lanzamientos para que se cumpla la condi-
ción, entonces recibe 2n unidades monetarias.
Es decir, si sale a la primera vez la cara seleccionada la banca paga al
jugador dos unidades monetarias, supongamos pesos. Si sale por primera vez
la cara seleccionada a la segunda tirada la banca paga 4 pesos al jugador. Si
sale por primera vez a la tercera la banca pagara 8 pesos, a la cuarta paga
16 pesos y aśı sucesivamente.
¿Cuál debe ser el pago inicial justo por parte del jugador para iniciar este
de tal manera que ni el jugador ni la banca tengan ventaja de ninguna clase?
Analicemos detalladamente el problema.
La probabilidad de que salga la cara seleccionada al primer lanzamiento
de la moneda es 1
2
y la apuesta es de 2 pesos, luego la esperanza será:
E(L) = 2 · 1
2
= 1.
Si no aparece la cara seleccionada en el primer lanzamiento entonces para
el segundo lanzamiento la esperanza obtenida será
E(L) = 2 · 1
2
+ 4 · 1
2
· 1
2
= 21
(1
2
)1
+ 22
(1
2
)2
= 1 + 1.
Si la cara seleccionada aparece hasta el tercer lanzamiento tenemos
3.2. APLICACIONES 21
E(L) = 2 · 1
2
+4 · 1
2
· 1
2
+8 · 1
2
· 1
2
· 1
2
= 21
(1
2
)1
+22
(1
2
)2
+23
(1
2
)3
= 1+1+1.
Ahora bien, de acuerdo al enunciado del juego seguiremos apostando hasta
que aparezca por primera vez la cara seleccionada, en teoŕıa podemos lanzar
la moneda infinitas veces antes de que aparezca dicha cara, esto es
E(L) =
∞∑
n=1
(2n)
(1
2
)n
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
lo cual es absurdo pues nadie pagaŕıa una cantidad infinita por esa opor-
tunidad de ganar.
Es fácil ver que la esperanza:
E(L) =
∞∑
n=1
(2n)
(1
2
)n
(3.2)
es infinita.
Generalizaremos la formulación de este problema y asumiremos que el
pago no es 2n, sino dn, en donde d es cualquier monto. Aśı, la esperanza es
ahora:
E(L) =
∞∑
n=1
(d
2
)n
.
Si d > 2, E(L) → ∞; para d = 2 obtenemos la histórica paradoja. Utili-
zando la función ψ y la función de utilidad u(d) = da, con a ∈ R+ la utilidad
de la apuesta en la afirmación anterior es
ψ(L) =
∞∑
n=1
dan
(1
2
)cn
=
∞∑
n=1
(da
2c
)n
,
la cual es finita y de acuerdo a la convergencia de esta serie será igual a
22CAPÍTULO 3. LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADAGENERALIZADA
ψ =
1
1− da
2c
si da < 2c.
Si d = 2, la condición anterior resulta en
a− c < 0.
Para c = 1, cuya correspondencia es la de la utilidad esperada, debeŕıamos
tener
a < 1.
El aspecto de la última desigualdad es la reducción usual de la paradoja
de San Petersburgo.
3.2.2. La paradoja de Allais
En el caṕıtulo 1 vimos que la teoŕıa de utilidad esperada no explica ciertos
comportamientos de los individuos pues, viola al menos uno de los supuestos
de dicha teoŕıa. Si ahora consideramos sus respectivas utilidades en vez de
sus ganancias de las apuestas se tiene:
U(A1) = u(r)
U(A2)= 0.1×u(5r)+ 0.89×u(r)
U(B1)= 0.11×u(r)
U(B2)= 0.10×u(5r)
Supongamos que los jugadores muestran una utilidad marginal decrecien-
te de dinero (de sus ganancias) que se denota por el valor de la elasticidad
de utilidad con respecto a la ganancia menor que uno, a < 1 y es constante
en el experimento.
Asi, escribimos:
3.3. EQUILIBRIOS DE NASH PARA ψ 23
U(A1) = r
a
U(A2)=0.1 ×5ara+0.89×ra =(0.89+0.1 ×5a)ra
U(B1) = 0.11×ra
U(B2)= 0.10×5ara
A2 ≻ A1 implica, como podemos ver facilmente, 5a > 1,1 o a > 0,06 lo
cual es cierto para comportamientos racionales.
B2 ≻ B1 implica la misma condición, 5a > 1,1, lo cual también es cierto,
por el criterio de utilidad esperada.
Si una persona mostró A1 ≻ A2, como en el experimento de Allais, su
comportamiento no puede explicarse (o no es racional) por el criterio de la
utilidad esperada, mientras que sigue siendo bastante comprensible, ya que
este comportamiento sólo muestra un grado excesivamente alto de aversión
al riesgo.
3.3. Equilibrios de Nash para ψ
Como podemos ver, la función de utilidad esperada generalizada provee
de soluciones las cuales no son posibles con la utilidad esperada usual.
Dicho lo anterior, introduciremos este tipo de funciones en el teorema de
existencia de equilibrios de Nash y probaremos que esta función cumple con
las caracteŕısticas esenciales para la existencia de dicho equilibrio.
La continuidad se sigue de manera inmediata de los fundamentos para la
representación de una función de utilidad expuestos en el caṕıtulo anterior
pues ψ está definida sobre el espacio de estrategias mixtas el cual es no vacio,
compacto y convexo. Solo unos comentarios acerca del comportamiento de
esta función deberán hacerse en la siguiente proposición.
Proposición 8 Si c ̸= 0 y la primera derivada de la función ψ : L → R es
cero, entonces se alcanza una utilidad máxima para c<1 y una mı́nima para
c>1.
24CAPÍTULO 3. LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADAGENERALIZADA
Demostración. Sea
ψ(L) = u1p
c + u2q
c (3.3)
con u1 > u2 y p+ q = 1.
Vemos claramente que el criterio de utilidad esperada se obtiene tomando
c = 1 en (2.3). Ahora bien, derivemos ψ(L) para p, y notemos que la función
obtenida está bien definida para cada L ∈ L, es decir, la derivada de ψ(L) es
continua en L
dψ
dp
= c(u1p
c−1 − u2qc−1). (3.4)
Si c = 1,
dψ
dp
= u1 − u2 > 0, ∀0 6 p 6 1. (3.5)
Lo cual significa que la utilidad de la apuesta siempre es creciente si la
probabilidad de obtener el máximo pago crece.
Por otro lado,
d2ψ
d2p
= c(c− 1)(u1pc−2 + u2qc−2). (3.6)
Si c < 1, tendremos entonces que dψ/dp = 0 para una probabilidad po
definida por:
u1p
oc−1 − u2qoc−1 = 0;
po
qo
=
(u2
u1
) 1
c−1
. (3.7)
Puesto que
d2ψ
d2p
= c(c− 1)(u1pc−2 + u2qc−2) < 0
para c < 1, y
d2ψ
d2p
= c(c− 1)(u1pc−2 + u2qc−2) > 0
para c > 1, concluimos que ψmin < u2 y ψmax > u1.
3.3. EQUILIBRIOS DE NASH PARA ψ 25
Por último, demostraremos que esta función general cumple con el cri-
terio de cuasicóncavidad, necesario para definir la correspondencia de mejor
respuesta de los jugadores.
En ocasiones es conveniente usar la siguiente caracterización de las fun-
ciones cuasicóncavas.
Definición 14 (Caracterización de cuasiconcavidad) La función f : X →
R es cuasicóncava sobre X, si y sólo si, para todo x, y ∈ X y para todo
λ ∈ [0,1], se tiene:
f(λx+ (1− λ)y) ≥ min{f(x), f(y)}.
Una vez definido lo anterior probaremos la siguiente proposición,
Proposición 9 Para cualesquiera L1, L2 ∈ L y 0 < c < 1,
ψ(Lj) =
n∑
i=1
uip
c
i (3.8)
es cuasicóncava.
Demostración. Sean L1 = (p1, p2, . . . , pn), L2 = (q1, q2, . . . , qn), se tiene
que
ψ(L1) = u1p
c
1 + ...+ unp
c
n =
n∑
i=1
uip
c
i (3.9)
ψ(L2) = u1q
c
1 + ...+ unq
c
n =
n∑
i=1
uiq
c
i (3.10)
y
ψ(αL1 + (1− α)L2) =
n∑
i=1
(αpci + (1− α)qci )ui. (3.11)
Ahora bien, supongamos primero que ψ(L1) > ψ(L2), entonces
ψ(αL1 + (1− α)L2) =
n∑
i=1
(αpci + (1− α)qci )ui =
26CAPÍTULO 3. LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADAGENERALIZADA
α
n∑
i=1
(pci − qci )ui +
n∑
i=1
qciui ≥
n∑
i=1
qciui = min{ψ(L1), ψ(L2)}.
aśı,
ψ(αL1 + (1− α)L2) ≥ min{ψ(L1), ψ(L2)}. (3.12)
Por otro lado, si ψ(L1) < ψ(L2), se tiene que
n∑
i=1
(pci − qci )ui ≤ 0,
y puesto que α ≤ 1,
α
n∑
i=1
(pci − qci )ui ≥n∑
i=1
(pci − qci )ui =
n∑
i=1
pciui −
n∑
i=1
qciui ⇒
α
n∑
i=1
(pci − qci )ui ≥
n∑
i=1
pciui −
n∑
i=1
qciui ⇒
α
n∑
i=1
(pci − qci )ui +
n∑
i=1
qciui ≥
n∑
i=1
pciui = min{ψ(L1), ψ(L2)} ⇒
ψ(αL1 + (1− α)L2) ≥ min{ψ(L1), ψ(L2)}. � (3.13)
De esta manera vemos que esta función también cumple con las condi-
ciones del teorema de existencia, es decir, es continua y cuasicóncava ya que
cada estrategia mixta si puede ser asociada con un punto del simplex y definir
la correspondencia de mejor respuesta bi(·) del jugador, la cual es no vaćıa,
convexa y superiormente semicontinua. Por lo tanto, la siguiente proposición
se cumple.
3.3. EQUILIBRIOS DE NASH PARA ψ 27
Proposición 10 (Teorema extendido) Sea ΓN = {I,∆(Si), ψ(.)} un jue-
go rectangular finito tal que:
1. I = {1, 2, .., N}.
2. ∆(Si) = {(σ1i, . . . , σMi) ∈ Rm : σmi ≥ 0 ∀ m ∈ [1,M ],
M∑
m=1
σmi = 1}.
3. ψ(.) es la función de utilidad esperada generalizada.
Entonces Γ tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
Demostración. Se sigue de lo anterior. �
28CAPÍTULO 3. LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADAGENERALIZADA
Apéndice A
Apéndice
Como se menciono en la introducción, el propósito de este apéndice es el
de proveer la herramienta matemática necesaria para una mejor comprensión
de las definiciones contenidas en el presente trabajo.
Definición 15 Definimos el espacio euclidiano de m dimensiones como
Rm = {(xi, . . . , xm)|xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m}
y su distancia entre x y y por
∥x− y∥ =
[ m∑
i=1
(xi − yi)2
] 1
2
con x = (xi, . . . , xm), y = (yi, . . . , ym) ∈ Rm.
Definición 16 Diremos que el conjunto A es abierto en Rm si para cada
x ∈ A existe un r > 0 tal que todo punto y ∈ Rm que satisface ∥x − y∥ < r
también pertenece a A.
Definición 17 El conjunto B se dice cerrado en Rm cuando su complemento
C(B) = Rm −B es abierto.
Definición 18 Si ai ≤ bi para i = 1, . . . ,m, entonces llamaremos m-celda
al conjunto de de todos los puntos x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm cuyas coordenadas
satisfacen las desigualdades ai ≤ xi ≤ bi.
Un conjunto A de Rm es acotado si está contenido en alguna celda.
29
30 APÉNDICE A. APÉNDICE
A.1. Conjuntos compactos y convexos
En un principio usamos como hipótesis en nuestro conjunto de estrategias
las propiedades de un conjunto compacto y convexo, a continuación defini-
mos estos dos últimos términos.
Definición 19 Sea A ⊆ Rm y sea {Bα}α∈Λ una colección de subconjun-
tos de Rn. Diremos que
∪
α∈Λ
{Bα}α∈Λ es una cubierta abierta de A si A ⊆∪
α∈Λ
{Bα}α∈Λ con Bα abierto para toda α ∈ Λ.
Definición 20 Un conjunto A ⊆ Rm se llama compacto si de cualquier
cubierta abierta de A, se puede extraer una cubierta abierta finita.
Teorema 3 (Heine-Borel) Un conjunto A ⊆ Rm es compacto ⇐⇒ es ce-
rrado y acotado.
Demostración 1 Ver [20] página 97 o [22] página 40. �
Definición 21 Sean x⃗0, y⃗0 ∈ Rm, se define el segmento entre x⃗0 y y⃗0 por
[x⃗0, y⃗0] = {x⃗0 + t(x⃗0 − y⃗0)|t ∈ [0, 1]}
Decimos que A es convexo si [x⃗0, y⃗0] ⊆ A para cualesquiera x⃗0, y⃗0 ∈ A.
A.2. Funciones y correspondencias
Definición 22 Sean A y B dos conjuntos con a ∈ A y b, c ∈ B, decimos que
f es una función de A a B si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f implica b = c.
Definición 23 Dado un conjunto A ⊂ Rm, la correspondencia f : A( Rm
es una regla que asigna un conjunto f(x) ⊂ Rm para cada x ∈ A.
Definición 24 Dados X ⊂ Rm y Y ⊂ Rk, definimos la gráfica de la corres-
pondencia f : X → Y como el conjunto {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ f(x)}.
Definición 25 Una sucesión en Rm es una función f : N → Rm, escribire-
mos xm para denotar a la sucesión.
A.3. TEOREMAS DEL PUNTO FIJO 31
Definición 26 Diremos que la sucesión xm converge y escribiremos xm → x,
si para cualquier ϵ > 0 existe un entero Mϵ > m tal que ∥xm − x∥ < ϵ,
llamaremos al punto x ĺımite de la sucesión.
Definición 27 Sea X ⊂ Rm. La función f : X → R es continua si para
todo x ∈ X y toda suceción xm → x (con xm ∈ X para toda m), se tiene que
f(xm) → f(x).
Definición 28 Dado X ⊂ Rm y el conjunto cerrado Y ⊂ Rk, la corres-
pondencia f : X → Y tiene una gráfica cerrada si para cualesquiera dos
sucesiones xm → x ∈ X, ym → y con xm ∈ X, ym ∈ f(xm) para todo m,
tenemos y ∈ f(x).
Definición 29 (función cóncava) La función f : X → R es cóncava sobre
X si y solo si para todo x, y ∈ X y para todo λ ∈ [0, 1] se cumple
f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1− λ)f(y).
Definición 30 (función cuasicóncava) Una función f : X → R es cua-
sicóncava sobre X si el conjunto (llamado contorno superior) Uf (α) = {x ∈
X|f(x) ≥ α} es convexo.
Definición 31 Dado un conjunto X ⊂ Rm, y el conjunto cerrado Y ∈ Rk,
la correspondencia f : X → Y es superiormente semicontinua si tiene una
gráfica cerrada y las imagenes de conjuntos compactos son acotados, esto es,
para cada conjunto compacto B ⊂ X el conjunto f(B) = {y ∈ Y |y ∈ f(x)}
para algunos x ∈ B es acotado.
A.3. Teoremas del punto fijo
Definición 32 Dada una función f : X → X con X ⊂ Rm, diremos que
x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Definición 33 Sea X ⊂ Rm y f : X → X una función, diremos que f
satisface la condición de Lipschitz si existe λ > 0 tal que
∥f(x)− f(y)∥ ≤ λ∥x− y∥
para toda x, y ∈ X, si λ < 1, llamaremos a f una contracción.
32 APÉNDICE A. APÉNDICE
Enunciaremos a continuación tres de los teoremas de punto fijo más im-
portantes, el primero de ellos es debido a S. Banach.
Teorema 4 Sea X ⊂ Rm y f : X → X una contracción. Entonces existe un
único x tal que f(x)=x.
Aunque el teorema que acabamos de mencionar garantiza la existencia
de un único punto fijo, es muy restrictiva pues exige a la función ser una
contracción. En 1910, L.E.J. Brouwer extendió este resultado el cual enun-
ciaremos a continuación.
A.3.1. Teorema del punto fijo de Brouwer
Teorema 5 Sea X un subconjunto de Rm el cual es compacto y convexo y
f : X → X una función continua. Entonces existe x ∈ X tal que f(x)=x.
La generalización de este teorema para correspondencias fue dada por
Shizuo Kakutani en [21], el cual podemos enunciar de la siguiente manera:
A.3.2. Teorema del punto fijo de Kakutani
Teorema 6 Suponga que X ⊂ Rm es un conjunto no vaćıo, compacto y con-
vexo, y que f : X ( X es una correspondencia superiormente semicontinua
de X en śı misma con la propiedad de que el conjunto f(s) ⊂ X es no vacio
y convexo para todo x ∈ X. Entonces f(·) tiene un punto fijo, esto es, existe
un x ∈ X tal que x ∈ f(x).
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	Portada
	Índice General
	Introducción
	Capítulo 1. Teoría de la Utilidad Esperada
	Capítulo 2. Teoría de Juegos
	Capítulo 3. La Función de Utilidad Esperada Generalizada
	Apéndices
	Bibliografía