Funciones de Transferencia y Diagrama en Bloques - Bruno Caceres

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III-FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 
 
III-FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 
 
1. Introducción 
2. Funciones de transferencia de un sistema SISO (una entrada una salida) 
3. Funciones de transferencia de sistemas MIMO 
4. Diagrama en bloques 
5. Resumen 
1. INTRODUCCIÓN 
La función de transferencia se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida 
(función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación). En la práctica, la 
función de transferencia se obtiene aplicando la transformada al modelo matemático que representa al 
sistema el cual está conformado por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con variables de 
entrada y de salida. 
El uso de la Transformada de Laplace (TL) posibilita disponer de una forma simple y conveniente de 
representar la dinámica de los sistemas. Es simple porque usa sólo ecuaciones algebraicas, no 
diferenciales. Es conveniente porque permite un rápido análisis de la dinámica del proceso y es muy 
valiosa porque provee de una relación entre las entradas (variables manipulables y perturbaciones) y las 
salidas (variables controlables) 
 
2. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA SISO (UNA ENTRADA UNA 
SALIDA) 
 
El comportamiento dinámico del proceso está dado por una ecuación diferencial lineal de orden n 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
Figura 1. a) sistema de simple entrada-simple salida, b) diagrama en bloques 
 
)(011
1
1
.... tbfyadt
dy
adt
ydadt
yda n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
 (1) 
 
Donde f(t) e y(t) son las salidas y entradas del proceso respectivamente . Expresando ambas en 
términos de la variable desviación y asumiendo que el sistema se encuentra inicialmente en estado 
estacionario, se tiene 
 
0....
00
)0( =






=








==
=
tt
n
n
dt
dy
dt
ydy (2) 
 
 
Aplicando la TL 
 
asasasa
bsG
sf
sy
n
n
n
n 01
1
1 ....
)(
)(
)(
++++
= −
−
=−−−
−−
 (3) 
 
 
G(s) se denomina función de transferencia del sistema de la Figura 1-b que relaciona en forma 
algebraica la salida con la entrada del proceso. 
 
3. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS MIMO 
 
1. Si el proceso tiene 2 entradas y una salida como se muestra en la Figura 2 a, se lo denomina sistema 
MISO y su modelo dinámico es: 
 
)()( 2211.... 011
1
1 tfbtfbyadt
dy
adt
ydadt
yda n
n
nn
n
n
+=++++ −
−
−
 (4) 
 
Con las mismas condiciones iniciales que en el caso anterior resulta 
)(
....
)(
....
)(
________
201
1
1
2
101
1
1
1 sf
asasasa
b
sf
asasasa
b
sy
n
n
n
n
n
n
n
n ++++++++
=
−
−
+
−
−
 (5) 
 
O su equivalente 
)()()(
________
2
2
1
1 sfGsfGsy +=
 (6) 
 
Donde 
asasasa
b
sG n
n
n
n 01
1
1
1
1 ....
)(
++++
= −
−
 (7) 
asasasa
b
sG n
n
n
n 01
1
1
2
2 ....
)(
++++
= −
−
 (8) 
 
 
a) b) 
Figura 2. a) sistemas con 2 entradas y 1 salida, b) su diagrama en bloques 
 
G1(s) y G2(s) son 2 funciones de transferencia que relacionan la salida con cada una de las entradas. 
G1(s) relaciona y(s) con f1(s), G2(s) relaciona y(s) con f2(s). Esta relación también puede observarse en 
el diagrama en bloques de la Figura 2-b. 
 
 
 
2. Un procedimiento similar puede aplicarse al sistema con múltiples entradas mostrado en la Figura 3. 
 
 
 
Figura 3: sistema con múltiples entradas y 1 salida 
 
Resumiendo una función de transferencia entre una entrada y una salida resulta: 
 
FT = 
desviación formasu en entrada la de Laplace de 
desviación formasu en salida la de Laplace de )(
daTransforma
daTransformasG = 
 
Puntos de interés: 
 
i) la función de transferencia permite el desarrollo del modelo entrada-salida más sencillo 
ii) describe completamente el comportamiento dinámico de la salida cuando se conocen los 
cambios en la entrada 
 
y(s) = G(s) f(s) (9) 
 
 iii) Aplicando la Transformada inversa de Laplace de G(s) f(s) se obtiene la expresión temporal 
de y(t). 
iii) para encontrar la FT de un sistema no lineal es necesario primero linealizar alrededor de un 
punto de estado estacionario y expresarla en función de las variables desviación. 
3. Matriz de transferencia de un proceso con múltiples entradas y salidas 
Considerar el proceso de la Figura 4 a con 2 entradas f1(s) y f2(s) y 2 salidas y1(s) y2(s) . El modelo 
matemático está dado por las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con las variables en forma 
desviación: 
)()( 212111212111
1
11
tfbtfbyayadt
dy
+++= (10) 
)()( 222121222121
2
11
tfbtfbyayadt
dy
+++= (11) 
Las condiciones iniciales son: y1(0) = y2(0) = 0 
a) b) 
Figura 4: a) proceso con 2-entradas-2 salidas , b) su diagrama en bloque 
Tomando la transformada de Laplace de ambas ecuaciones y resolviendo con respecto a )(1 sy e 
)(2 sy , luego 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 212222212
12
1
1122211211
1
______
____ sf
sP
babasbsf
sP
babasb
sy
−+
+
−+
=
−−− (12) 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 2
2211122122
1
2111112121
2
______
____ sf
sP
babasbsf
sP
babasb
sy
−+
+
−+
=
−−− (13) 
P(s) es el polinomio característico definido por 




 −−



 +−= aaaasaassP 2211211222112)(
 (14) 
Reescribiendo las ecuaciones 12 y 13 
)()()( 2121111
______
____ sfGsfGsy +=
−−− (15) 
)()()( 2221212
______
____ sfGsfGsy +=
−−− (16) 
donde 
)(
)(
)(
)(
)(
)( 12222212
12
12
1122211211
11 sP
babasbsG
sP
babasb
sG
−+
=
−+
= (17) 
)(
)(
)(
)(
)(
)( 22111221
22
22
2111112121
21 sP
babasbsG
sP
babasb
sG
−+
=
−+
= (18) 
El diagrama en bloques del sistema puede verse en la Figura 4b 
Puntos de interés: 
i) las ecuaciones 17 y 18 pueden escribirse con notación matricial 
ii) para un sistema con 2 entradas y 2 salidas se tienen 4 funciones de transferencia. Para un 
proceso general de M entradas y N salidas, se tendrá una matriz de transferencia de N x M 
funciones de transferencia o una matriz con N filas (Nº de salidas) y M columnas (Nº de 
entradas) 
Polos y ceros de una función de transferencia 
Definiendo genéricamente una función de transferencia como el cociente entre 2 polinomios 
P(s)
Q(s) )( =sG (19) 
Para que el sistema sea físicamente realizable el polinomio Q(s) será de menor orden que P(s) . Las 
raíces del polinomio Q(s) son denominadas ceros de la función de transferencia o ceros del sistema. 
Las raíces del polinomio P(s) se denominan polos de la función de transferencia. Los polos y ceros 
de un sistema juegan un rol importantísimo en el análisis dinámico del proceso y en el efectivo 
diseño del controlador. 
Los polos del sistema son los valores de s que hacen que su función de transferencia sea infinita, es 
decir, las raíces del denominador. Los polos permiten determinar la estabilidad del sistema. 
Los ceros del sistema son los valores de s que hacen que su función de transferencia sea cero, es 
decir, las raíces del numerador. 
Los polos y ceros de un sistema se pueden representar en el plano complejo 's'. 
La ecuación característica del sistema se define como: P(s) = 0 
 (20) 
Las raíces de esta ecuación determinan el comportamiento dinámico del sistema, cuyo aspecto 
más importante es la estabilidad. Un sistema lineal dinámico es estable si su respuesta o una 
entrada acotada tiende a un valor estacionario finito después de que la entrada se elimina, esto 
implica que la función complementaria (que corresponde a las condiciones iniciales)debe 
permanecer finita cuando el tiempo tiende a infinito. Por tanto, la condición de estabilidad de un 
sistema continuo es que las raíces de la ecuación característica deben tener todas la parte real 
negativa, es decir, deben estar en el semiplano 's' izquierdo. 
 
Figura 5: región estable en el plano complejo “s” 
Análisis cuantitativo de la respuesta del sistema 
La respuesta dinámica de la salida y resulta 
______
)()( )( sfsGsy = , para una dada f(t) se puede 
encontrar la transformada de Laplace f(s) mientras que G(s) es conocida para un dado sistema, 
luego y(t) puede encontrarse a partir de la antitransformada de y(s). Expresando la entrada como 
una relación entre polinomios 
q(s)
r(s) )(
__
=sf ,
q(s)
r(s) 
P(s)
Q(s) )( 
__
=sy . Para invertir el lado derecho de la 
expresión de y(s) se utiliza el método de fracciones parciales para conocer las raíces del polinomio 
P(s) y q(s). Los términos resultantes de la inversión en fracciones parciales son caracterizados 
únicamente por los polos del sistema y las raíces de q(s). Por lo tanto conociendo dónde están 
localizados los polos del sistema se puede determinar las características cualitativas de la respuesta 
del sistema a una entrada particular. Utilizando la función de transferencia : 
 
 )p -(s )p -(s )p -(s )p -(s )p -(s )p -(s
Q(s) 
P(s)
Q(s) )(
5
*
44321
msG == (21) 
donde p1, p2, p3, p4 p4 * y p5 son las raíces de P(s) y por lo tanto los polos del sistema localizados en 
varios puntos del plano complejo (ver Figura 6). 
 
Figura 6: ubicación de los polos en el plano complejo 
La expansión de G(s) en fracciones parciales resulta: 
 
)p -(s)p -(s)p -(s
 
)p -(s
.....
)p -(s)p -(s
 
)p -(s
 
)p -(s
 
P(s)
Q(s) )(
5
5
*
4
*
4
4
4
1
3m
2
3
32
3
31
2
2
1
CCCCCCCCsG m +++






+++== (22) 
Algunas observaciones de interés: 
i) polos reales y distintos como p1 y p2 se localizan en el eje real . Al invertirlos se obtienen los 
términos exponenciales C1 e p1t C2 e p2t, dado que p1< 0 C1 e p1t decaerá exponencialmente. Dado que 
p2 > 0 C2 e p2t crece exponencialmente a infinito con el tiempo. Por lo tanto los polos con parte real 
negativa producen términos que decaen a cero con el transcurso del tiempo, mientras que los polos 
reales positivos producen que las respuestas del sistema crezcan a infinito a medida que transcurre el 
tiempo. 
 
Figura 7: a) decaimiento exponencial b) crecimiento exponencial 
ii) Múltiples polos reales tales como p3 repetidos m veces producen los siguientes términos temporales 
 a b 
tpe
CCC
3 
)!1 - (m
 t
..... t
1!
1-m
3m3231






++ 
por lo tanto los términos entre llaves crecen infinitamente con el tiempo, el comportamiento del 
término exponencial depende del valor de p3 
si p3 > 0 luego e p3t ∞→∞→ t cuando 
si p3 < 0 luego e p3t ∞→→ t cuando 0 
si p3 = 0 luego e p3t t 1 ∀= 
Por lo tanto un polo real múltiple dará términos que crecen a infinito si son positivos o decaen a cero si 
son negativos. 
iii) Polos complejos conjugados tales como p4 y p4* (recordar que siempre aparecen de a pares 
los polos complejos con su conjugado). Suponiendo p4 =α + j ß y p4* = α - j ß darán origen 
a los términos temporales e α t seno (ß t + φ). La función seno (ß t + φ) es oscilante y 
periódica mientras que e α t depende del valor de la parte real α. 
si α > 0 luego e α t ∞→∞→ t cuando y e α t seno (ß t + φ). Crece a infinito de una forma 
oscilante 
si α < 0 luego e α t ∞→→ t cuando 0 y e α t seno (ß t + φ). decae a cero de una forma oscilante 
con amplitud decreciente. 
si α = 0 luego e α t t 1 ∀= y e α t seno (ß t + φ) = seno (ß t + φ) la cual oscila continuamente amplitud 
constante. 
a) b) c) 
Figura 8 a), oscilaciones decrecientes b) crecientes, c) sostenidas 
Luego un par de polos complejos conjugados produce un comportamiento oscilante, cuya amplitud 
puede crecer continuamente si la parte real del complejo es positiva, decaer a cero si es negativa o 
permanecer oscilando continuamente si la parte real es cero. 
iv) polo en el origen el polo p5 localizado en el origen del plano complejo (p5 = 0 + j 0) tiene su 
correspondiente fracción parcial C5/ s y luego de la inversión da el término constante C5 
Comentarios de interés 
i) Las observaciones hechas previamente son generales y pueden aplicarse a cualquier sistema. 
Lo importante es que conociendo los polos del sistema y los correspondientes ubicaciones 
en el plano complejo es posible determinar las respuestas dinámicas de la salida del sistema 
frente a diferentes entradas. Es decir que posibilita predecir el comportamiento del sistema 
real. 
ii) Los polos con parte real positiva provocan que la señal de salida tienda a infinito con el 
transcurso del tiempo. Tales sistemas que presentan un comportamiento no acotado se 
denominan inestables. Por lo tanto un sistema será estable si posee todos sus polos a la 
izquierda del eje imaginario del plano complejo. 
4. DIAGRAMA EN BLOQUES 
 
Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple manipulación. 
Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema. 
 
Los diagramas de bloques permiten ver la 
similaridad esencial entre distintos tipos de 
sistemas (independizan del dominio físico). 
 
El diagrama en bloques es una representación 
gráfica de las funciones que lleva a cabo cada 
componente y el flujo de señales. Tal 
diagrama muestra las relaciones existentes 
entre los diversos componentes. Un bloque es 
un símbolo para representar la operación 
matemática que sobre la señal de entrada hace 
le bloque para producir la salida. Las 
funciones de transferencia de componentes 
por lo general se introducen en los bloques 
correspondientes, que se conectan mediante 
flechas para indicar la dirección del flujo de 
señales. 
 
 
 
 
 
 
Sea el lazo de la Figura 9, calcular la función de transferencia a lazo cerrado de dicho diagrama. 
 
Figura 9: esquema a lazo cerrado 
 
 
 
(23) 
 
(24) 
 
Reemplazando (24) en (23) se obtiene la 
función transferencia a lazo cerrado dada por 
 
(25) 
 
 
 
Reducción de un diagrama en bloque 
 
Un diagrama en bloque complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica 
mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. 
Algunas de estas reglas importantes aparecen en la Figura 10. 
Una regla extendida para la reducción de cualquier diagrama de bloques fue dada por S.J. Mason quien 
relacionó el gráfico al álgebra matricial de las ecuaciones que representan. 
 
 
Figura 10: Reglas del álgebra de los diagramas de bloques 
 
 Mason definió una trayectoria a través de un diagrama de bloques como una secuencia de 
componentes conectados, pasando la trayectoria desde una variable a otra sin pasar a través de ningún 
componente más de una vez. Definió una ganancia de trayectoria como el producto de las ganancias 
que componen la trayectoria. Una trayectoria que sale de una variable y regresa a la misma variable se 
define como trayectoria de lazo, y la ganancia de la trayectoria asociada se llama ganancia de lazo. La 
regla de Mason para el caso especial donde todas las trayectorias directas y trayectorias de lazo se 
tocan pueden definirse como sigue : 
 
 
Figura 11: Un ejemplo de diagrama de bloques 
 
Ejemplo . Una aplicación de esta regla se puede ilustrar con el diagrama de bloques de la Figura 11. En 
este caso, las trayectorias directas y sus ganancias están dadas por 
 
 
y la ganancia total, o la función transferencia total, está dada por la regla en la forma 
(26) 
La ganancia de un sistema realimentado está dada por la suma de las ganancias de las 
trayectorias directas dividida por 1 menos la suma de las ganancias de lazo.5. RESUMEN 
 Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesario 
disponer de una descripción formal, aunque posiblemente simple, del mismo. Esta 
descripción es el modelo matemático del sistema. 
 Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en 
general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. 
 En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones 
diferenciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse 
alrededor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal 
mucho más tratable 
 Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los sistemas en 
forma algebraica en el dominio de Laplace. 
 Una función transferencia es estable entrada-salida (entrada acotada/salida acotada) si 
todos sus polos tienen parte real negativa. 
 Los diagramas de bloques permiten ver la similaridad esencial entre distintos tipos de 
sistemas (independizan del dominio físico).