ENTEROS 3 - Jair Garcia

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Unidad II. Teoría de Conjuntos y los números enteros Expansión en base B de un número entero 
Una introducción a las matemáticas de la computación 147 
 
4.2.4 Expansión en base B de un número entero 
 
Existen varios sistemas de numeración, cada uno de ellos determina una base para la 
representación de cualquier número entero, inclusive de un número real. Consideremos, entonces, 
algunos sistemas de numeración. 
 
4.2.4.1 Sistemas numéricos 
 
Sistema de numeración decimal 
El sistema de numeración decimal es aquel en el que se combinan de una manera 
sistemática diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para representar las cantidades y ejecutar con 
ellos las operaciones de la aritmética. 
 
En este sistema un número entero se representa como S5 S4 S3 S2 S1 S0, en el que Si es 
uno de los símbolos que usamos en este sistema de numeración, también es posible representar el 
número en términos de la base, en este caso en términos de la base 10. 
 
Ejemplo 4.2.5 
El número 4 679 321 es un número entero. 
Considerando la notación de un número entero se tiene que S0=1, S1=2, S2=3, S3=9, S4=7, 
S5=6 y S6=4 
 
Este número puede representarse como una suma, de la siguiente forma: 
4 679 321=4 000 000+600 000+70 000+9 000+300+20+1 
=4×1 000 000+6×100 000+7×10 000+9×1000+3×100+2×10+1×1 
=4×106+6×105+7×104+9×103+3×102+2×101+1×100 
Esta última es la representación del número entero en base 10. 
 
La representación de un número entero en base 10 es: 
N10=...+S4×104+S3×103+S2×102+S1×101+S0×100. 
 
Donde cada Si es un símbolo cualquiera de los 10 que se consideran en este sistema y 
donde el subíndice de S coincide con el exponente del 10. Esta representación se denomina 
expansión en base 10 de un número entero. 
 
Otros sistemas de numeración son: binario, ternario, cuaternario, etc. Estos se presentan a 
continuación, indicando su base, su nombre y sus símbolos. 
 
BASE NOMBRE SIMBOLOS DE LA BASE 
2 Binario 0, 1 
3 Ternario 0, 1, 2 
4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 
6 Hexal 0, 1, 2, 3, 4, 5 
7 Septal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
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Una introducción a las matemáticas de la computación 148 
8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A 
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B 
13 Tridecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C 
14 Tetradecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D 
15 Pentadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E 
16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
 
De estos sistemas, los más usados son: binario, octal, decimal y hexadecimal. 
 
Sistema de numeración binario 
El sistema de numeración binario es útil en electrónica porque sólo utiliza dos dígitos, 1 y 
0. Estos símbolos se emplean para representar los dos niveles de voltaje usados en electrónica 
digital, ALTO o BAJO. El nivel de voltaje alto está representado por el uno y el nivel de voltaje 
bajo se representa por cero. 
 
Cada posición de un número binario se conoce como bit. La palabra bit es una contracción 
de las palabras en inglés binary digit (dígito binario). El número binario 10101 es un número 
binario de cinco bits. El bit del extremo derecho recibe el nombre de bit menos significativo y el 
bit del extremo izquierdo bit más significativo. 
 Con tres bits se puede contar hasta 111 o 7, en consecuencia se tienen ocho combinaciones 
diferentes contando al 000. En general con N bits se pueden contar 12 −N para un total de 
N2 números distintos. 
 
Sistema de numeración octal 
El octal es un sistema numérico de base ocho. En este sistema hay ocho dígitos diferentes, 
desde cero hasta siete. Para contar en octal se inicia con cero y se cuenta hasta siete, después del 
siete sigue el 10, se tienen dos columnas, la segunda permanece fija y la primera se llena con los 
dígitos del uno al siete, teniendo el 11,12,13,14,15,16,17, después se le suma uno a la segunda 
columna y la primea columna se inicializa en cero, así se tiene el número 20, nuevamente se 
mantiene fija la segunda columna y la primera se llena con los dígitos del uno al siete, teniendo 
21, 22, 23, y así sucesivamente. Cuando las dos columnas están llenas se inicializan a cero y se 
pone uno en la siguiente columna de la izquierda. Así después del 77 sigue el 100 , 101, 102, etc. 
Y después del 777 seguiría el 1000, 1001, 1002, etc. 
 
Ejemplo 4.2.6 Cuente desde el 8555 hasta el 8620 
 555, 556, 557, 560, 561, 562, 563, 564, 565, 566, 567, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 
577, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617,620 
 
Sistema de numeración hexadecimal 
El sistema de numeración hexadecimal tiene base 16, esto significa que cuenta con 16 
dígitos diferentes (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F). Para contar en hexadecimal se inicia con 
cero y se cuenta hasta F, después de F sigue el 10, se tienen dos columnas, la segunda permanece 
 
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Una introducción a las matemáticas de la computación 149 
fija y la primera se llena con los dígitos del uno a F, teniendo el 11,12,13,14,15,16,17, 18, 19 1A, 
1B, 1C, 1D, 1E, 1F, después se le suma uno a la segunda columna y la primea columna se 
inicializa en cero, así se tiene el número 20, nuevamente se mantiene fija la segunda columna y la 
primera se llena con los dígitos del uno a F, teniendo 21, 22, 23, y así sucesivamente. Cuando las 
dos columnas están llenas se inicializan a cero y se pone uno en la siguiente columna de la 
izquierda. Así después del FF sigue el 100, 101, 102, etc. Y después del FFF sigue el 1000, 1001, 
1002, etc. 
 
Ejemplo 4.2.7 Cuente desde el 1654E hasta el 16500 
4E5,4E6,4E7,4E8,4E9,4EA,43B,4EC,4ED,4EE,4EF,4F0,4F1,4F2,4F3,4F4,4F5,4F6,4F7,4F
8,4F9,4FA,4FB,4FC,4FD,4FE,4FF,500. 
 
La forma general, para representar un número entero en cualquier base es: 
 
NB=…+S4×B4+S3×B3+S2×B2+S1×B1+S0×B0 
 
Donde B es la base del sistema y los Si son símbolos del sistema considerado. 
Esta representación de cualquier número entero, se denomina expansión en base B de un 
número entero. 
 
4.2.4.2 Conversiones de base 
 
Conversión del sistema decimal a otro sistema numérico 
El proceso de conversión de un número en sistema decimal a otro sistema de numeración, 
se basa en la realización de divisiones sucesivas. Iniciamos dividiendo el número entero entre la 
base, el residuo es S0; luego, el cociente se divide entre la base, el residuo es S1; así continuamos 
hasta obtener un cociente menor que la base, este cociente es el último Si. El número en base b se 
forma con los residuos y el último cociente, es decir, …S4S3S2S1S0. 
 
Ejemplo 4.2.8 
Representar el número 45 en base 4 
 
2
4 11 (S2) 4510=2314 
 1 3 
 S0 S1 
 
Expresaremos la operación de división de dos números a y b como: 
a=b (q)+r donde q representa al cociente y r al residuo. 
 
Usando esta notación en el ejemplo anterior se tiene: 
45=4(11)+1 S0=1 
11=4(2)+3 S1=3 y como r=3<4, entonces S2=2 
El número en base cuatro es S2S1S0=2314. 
 
 
 
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Ejemplo 4.2.9 
Representar el número 37 en base 2 
 
37=2(18)+1→S0=1 
18=2(9)+0→S1=0 
9=2(4)+1→S2=1 
4=2(2)+0→S3=0 
2=2(1)+0→S4=0 y S5=1 
 
Así, el 37 se representa por S5S4S3S2S1S0, luego 3710=1001012. 
 
Conversión de otro sistema numérico al sistema decimal 
Para realizar la conversión de un número en cualquier base (diferente de 10), a la base 10, 
se representa el número con la expansión en la base B y se simplifica usando la aritmética 
decimal. 
 
Ejemplo 4.2.10 
Convertir el número 45342316 a base decimal. 
Expresamos el número 45342316 en expansión de la base 6. 
4 534 2316=4×66+5×65+3×64+4×63+2×62+3×61+1×60=4×46 656+5×7 776+3×1296+4×216+2×36+3×6+1×1 
=186 624+38880+3888+ 432+72+18+1 
=229 915 
 
Conversión de binario a octal 
Para convertir un número binario a octal primero divida el número en grupos de tres bits, 
empezando por la derecha, en caso de que sea necesario, se añaden ceros a la izquierda en el 
grupo más significativo hasta completar tres bits (cada grupo de tres bits binarios representan 
ocho dígitos octales), después use los factores de ponderación 4, 2 y 1 para hacer la conversión de 
cada grupo a decimal, el número resultante está representado en base ocho. 
 
Ejemplo 4.2.11 
Convertir el número 1011110112 a base octal 
Primero dividimos el número binario en grupos de tres bits, iniciado por el grupo menos 
significativo. 
011= 0(4) + 1(2) +1(3) = 3 
111= 1(4) + 1(2)+1(1) =7 
101 = 1(4) +0(2)+1(1) = 5 
 011 111 110
375
 
 De esta manera se tiene que 573101111011 82 = 
 
 
 
 
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Ejemplo 4.2.12 
Convertir el número 111011112 a base octal 
 111 101 101
753
 
Observe que el grupo más significativo sólo tenía dos bits y se le agregó un cero a su 
izquierda para completar tres bits. 
De esta manera se tiene que 35711101111 82 = 
Conversión de octal a binario 
 
Para convertir un número octal a binario, por cada dígito octal se escriben los tres dígitos binarios 
correspondientes. 
 
 
Ejemplo 4.2.13 
 Convertir el número 3458 a base binario 
 
3= 011 
4=100 
5=101 
Así el número 3458 = 111001012. 
 
Conversión de binario a hexadecimal 
Para convertir un número binario a hexadecimal primero divida el número en grupos de cuatro 
bits, empezando por la derecha, en caso de que sea necesario, se añaden ceros a la izquierda en el 
grupo más significativo hasta completar cuatro bits (cada grupo de cuatro bits binarios 
representan dieciséis dígitos hexadecimales), después use los factores de ponderación 8, 4, 2 y 1 
para hacer la conversión de cada grupo a decimal, el número resultante está representado en base 
dieciséis. 
 
Ejemplo 4.2.14 
Convertir el número 1101111101112 a base hexadecimal 
Primero dividimos el número binario en grupos de tres bits 
0111 = 0(8) +1(4)+1(2)+1(1) = 7 
1111= 1(8)+1(4) + 1(2)+1(1) =F 
1101= 1(8)+1(4) + 0(2) +1(1) = D 
 0111 1111 1101
7FD
 
 De esta manera se tiene que 7111101111101 162 DF= 
 
Ejemplo 4.2.15 
Convertir el número 11111011112 a base octal 
 
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 1111 1110 1001
FE3
 
Observe que el grupo más significativo sólo tenía dos bits y se le agregaron dos ceros a su 
izquierda para completar cuatro bits. 
De esta manera se tiene que 3EF1111101111 162 = 
Conversión de hexadecimal a binario 
 
Para convertir un número hexadecimal a binario, por cada dígito hexadecimal se escriben 
los cuatro dígitos binarios correspondientes. 
 
 
Ejemplo 4.2.16 
Convertir el número D4B716 a base binario 
 
D= 1101 
4 = 0100 
B= 1011 
7 = 0111 
Así el número D4B716 = 11010100101101112 . 
 
Operaciones en diferentes bases 
 
Suma binaria 
En la siguiente tabla se muestran los resultados que pueden presentarse cuando se suman dos bits, 
A y B. Las salidas se denominan suma y acarreo. 
 
Entradas Salidas 
A B Suma Acarreo 
0 0 0 0 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 1 
 Tabla 4.1 Suma binaria 
 
En la siguiente tabla se muestran los resultados que pueden presentarse cuando se suman dos bits 
A y B y se tiene un acarreo de entrada. Las salidas son la suma y un acarreo de salida. 
 
filas Entradas Salidas 
Acarreo 
de 
entrada 
A B Suma Acarreo 
1 0 0 0 0 0 
2 0 0 1 1 0 
 
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3 0 1 0 1 0 
4 0 1 1 0 1 
5 1 0 0 1 0 
6 1 0 1 0 1 
7 1 1 0 0 1 
8 1 1 1 1 1 
 Tabla 4.2: Suma binaria con acarreo de entrada 
 
 
Ejemplo 4.2.17 
Sume los números 111102 y 10102 
 Fila 7 Fila8 Fila7 Fila 4 Fila 1 
Acarreos 1 1 1 0 
A 1 1 1 1 0 
B 1 0 1 0 
SUMA 1 0 1 0 0 0 
 
Comprobación 
 Binario Decimal 
A 11110 30 
B 1010 10 
Suma 101000 40 
 
Ejemplo 4.2.18 
Sume los números 1101102 , 1011112 y 1001102 
 
Acarreos 1 1 
 1 1 1 1 1 0 
A 1 1 0 1 1 0 
B 1 0 1 1 1 1 
C 1 0 0 1 1 0 
SUMA 1 0 0 0 1 0 1 1 
 
Comprobación 
 Binario Decimal 
A 110110 54 
B 101111 47 
C 100110 38 
Suma 10001011 139 
 
Resta binaria 
En la siguiente tabla se muestran los resultados que pueden presentarse cuando se restan dos bits, 
A y B. Las salidas se denominan diferencia y préstamo. 
 
 
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Filas Entradas Salidas 
A B diferencia Préstamo 
1 0 0 0 0 
2 0 1 1 1 
3 1 0 1 0 
4 1 1 0 0 
 Tabla 4.3 Diferencia binaria 
 
La fila dos de la tabla anterior, indica que se va a restar 1 de 0, para ello se debe tomar prestado 
de la columna de la izquierda, esto es, 102 -12 = 2-1 
 
Ejemplo 4.2.19 
Reste 1010112 de 1101102 
 
 Fila 4 Fila 1 Fila 2 Fila 1 Fila 2 Fila 2 
Préstamos 0 1 0 1 1 
A 1 1 0 1 1 0 
B 1 0 1 0 1 1 
Diferencia 0 0-0=0 0-1=1 0-0=0 0-1=1 0-1=1 
 
Observe que los bits marcados de rojo se convierten en cero por los préstamos que se originaron. 
 
Comprobación 
 Binario Decimal 
A 110110 54 
B 101011 43 
Diferencia 1011 11 
 
 
 
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TAREA IV.2 
 
Nombre _____________________________________________ Fecha _____________ 
 
1. Escriba los números binarios del 1111 hasta 100000 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
2. Cuantos números diferentes se pueden representar con cuatro bits? ___________________ 
 
3. Convierta los siguientes números dados en binario a decimal 
a) 210110 = ________________________ 
b) 21000111 = ______________________ 
c) 2101011 = ______________________ 
d) 211001100 = ______________________ 
 
4. Convierta los siguientes números dados en decimal a binario 
a) 1045 = ______________________ 
b) 1099 = ______________________ 
c) 10101 = ______________________ 
d) 10137 = ______________________ 
 
5. Cuente en octal desde 8650 hasta 8720 
 
6. Convierta los siguientes números dados en binario a octal 
a) 210110 = ________________________ 
b) 21000111 = ______________________ 
c) 2101011 = ______________________ 
d) 211001100 = ______________________ 
 
7. Convierta los siguientes números dados en decimal a octal 
a) 1059 = ______________________ 
b) 1076 = ______________________ 
 
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c) 10111 = ______________________ 
d) 10120 = ______________________ 
 
8. Convierta los siguientes números dados en octal a binario 
 
a) 857 = ______________________ 
b) 877 = ______________________ 
c) 8567 = ______________________ 
d) 81764 = ______________________ 
 
9. Cuente en hexadecimal desde 168BD hasta 1600C 
10. Convierta los siguientes números dados en binario a hexadecimal 
a) 2110110 = ________________________ 
b) 210100111 = ______________________ 
c) 211101011 = ______________________ 
d) 2111001100 = ______________________ 
 
11. Convierta los siguientes números dados en decimal a hexadecimal 
a) 1047 = ______________________ 
b) 1067 = ______________________ 
c) 10110 = ______________________ 
d) 10148 = ______________________ 
 
12. Convierta los siguientes númerosdados en hexadecimal a binario 
 
a) 16AA = ______________________ 
b) 161AB = ______________________ 
c) 16EAD = ______________________ 
d) 166AFD = ______________________ 
 
 
 
 
 
 
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13. Cambie a la base indicada 
a) 16EAD = ________________10 . 
b) 8167 = ________________16 . 
c) 4123 =________________6 . 
d) 7656 =________________16 . 
 
14. Sume los binarios 
a) 10012 y 11102 R= ___________________ 
b) 11011102 , 11011112 y 10011102 _1001 R= ___________________ 
____ 
15. Reste los binarios 
a) 11102 de 101012 R= ____________________ 
b) 10100102 de 100101002 R= _______________________ 
___ 
16. Complete la siguiente tabla 
 
EXADECIMAL OCTAL BINARIO DECIMAL 
A9 
 54 
 10010 
 99