Copia de Pre 201-215 Superficie Cilìndrica Semana 17a Resolución - Jared Sánchez

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PRE
UNIVERSITARIO
17a
SUPERFICIE CILÍNDRICA
Problemas del 201 al 215
MATERIAL DE 
ESTUDIO
2
PROBLEMA 201
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si una recta esta contenida en una superficie cilíndrica entonces es
una generatriz.
II. Si una recta esta contenida en el interior de una superficie cilíndrica
cerrada entonces es paralela a las generatrices de la superficie.
III. Alguna intersección de un plano y una superficie cilíndrica son dos
rectas paralelas.
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVF E) VVV
3
RESOLUCIÓN 201
Clave: E 
I. Verdadero:
Es consecuencia de la definición de superficie cilíndrica.
II. Verdadero:
Si no es paralela a las generatrices sería secante a la superficie 
cilíndrica por lo tanto no estaría contenida en el interior de la superficie.
III. Verdadero:
Es consecuencia de la definición de superficie cilíndrica.
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si una recta esta contenida en una superficie cilíndrica entonces
es una generatriz.
II. Si una recta esta contenida en el interior de una superficie
cilíndrica cerrada entonces es paralela a las generatrices de la
superficie.
III. Alguna intersección de un plano y una superficie cilíndrica son
dos rectas paralelas.
4
PROBLEMA 202
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si una superficie cilíndrica es abierta, entonces toda recta secante a
ella la interseca en un solo punto.
II. Si una superficie cilíndrica es cerrada, entonces toda recta secante
a ella la interseca en dos puntos.
III. Alguna intersección de un plano y una superficie cilíndrica es un
rayo.
A) FVF B) FVV C) FFF
D) VVF E) VVV
5
RESOLUCIÓN 202
Clave: C
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si una superficie cilíndrica es abierta, entonces toda recta
secante a ella la interseca en un solo punto.
II. Si una superficie cilíndrica es cerrada, entonces toda recta
secante a ella la interseca en dos puntos.
III. Alguna intersección de un plano y una superficie cilíndrica es un
rayo.
I. Falso:
También la puede intersecar en dos puntos.
II. Falso:
También la puede intersecar en mas de una punto, depende de la 
directriz.
III. Falso:
Pues las generatrices son rectas y no rayos.
6
En un cilindro circular recto AB y DC son dos generatrices diametralmente
opuestas O es el punto medio del diámetro AD , CQ es perpendicular a
OB (Q en OB ). Si m∠OQD = 30 y QD = 6 u, entonces el área lateral (en
u2) del cilindro es
A) 24 3π B) 72 3π C)108π D) 64π E) 76 2 π
PROBLEMA 203
7
RESOLUCIÓN 203
Clave: A
En un cilindro circular recto AB y DC son dos generatrices diametralmente 
opuestas O es el punto medio del diámetro AD , CQ es perpendicular a OB
(Q en OB ). Si m∠OQD = 30 y QD = 6 u, entonces el área lateral (en u2) del 
cilindro es
A
Q
O
D
CB
6
30
60
r
g
• QCDO inscriptible
• AL= 2πrg
• ∆QDC equilátero
→ m ∠COD = m∠QCD= 60
= 2π( 2 3 )(6)
→ g = 6
• ∆ ODC: notable de 30
r 3 = 6→ r = 2 3
AL= 24 3π
8
Las generatrices de tres cilindros circulares rectos de bases
congruentes determinan un triángulo rectángulo. Si los volúmenes de
los sólidos determinados por los dos menores cilindros son V1 y V2,
entonces el volumen del sólido determinado por el tercer cilindro es
A)
V1+V2
2
B)
V1− V2
2
C)
V1V2
V1+V2
D) V1V2 E) V1
2+ V2
2
PROBLEMA 204
9
RESOLUCIÓN 204
Clave: E 
Las generatrices de tres cilindros circulares rectos de bases
congruentes determinan un triángulo rectángulo. Si los volúmenes
de los sólidos determinados por los dos menores cilindros son V1 y
V2, entonces el volumen del sólido determinado por el tercer cilindro
es
C
B
A
b
ac
V1
V2
Vx
R
R
R
• Del enunciado:
π R2= 
V1
c =
V2
a = 
Vx
b
V1
2
c2
= 
V2
2
a2
= 
Vx
2
b2
V1
2+V2
2
c2+a2
= 
Vx
2
b2
Vx= V1
2 + V2
2
10
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si la base de un cilindro es un conjunto convexo, entonces el interior
del cilindro también es un conjunto convexo.
II. Todo plano perpendicular y secante a las generatrices de un cilindro
es secante a las bases del cilindro.
III. Toda recta perpendicular a los planos que contienen a las bases de
un cilindro también interseca a las bases.
PROBLEMA 205
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VFF E) VVV
11
RESOLUCIÓN 205 
Clave: D 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si la base de un cilindro es un conjunto convexo, entonces el
interior del cilindro también es un conjunto convexo.
II. Todo plano perpendicular y secante a las generatrices de un
cilindro es secante a las bases del cilindro.
III. Toda recta perpendicular a los planos que contienen a las bases
de un cilindro también interseca a las bases.
I. Verdadero
Es consecuencia de la definición de cilindro.
II. Falso
En un cilindro recto dicho plano es paralelo a los planos que contienen 
a las bases.
III. Falso
En un cilindro oblicuo existen rectas perpendiculares y secantes a una 
sola base del cilindro.
12
PREGUNTA 206
En cilindro circular recto determina un sólido de volumen V, en él
se encuentra inscrita una pirámide cuadrangular regular cuya
base está inscrita en la circunferencia de la base del cilindro.
Calcule el volumen del sólido piramidal.
A)
V
𝜋
B)
V
2𝜋
C)
2V
3𝜋
D)
3V
2𝜋
E)
4V
𝜋
13
Usando el dato se obtiene:
Un cilindro circular recto determina un sólido de volumen V, en él se
encuentra inscrita una pirámide cuadrangular regular cuya base está
inscrita en la circunferencia de la base del cilindro. Calcule el volumen
del sólido piramidal.
Clave: C
RESOLUCIÓN 206
V = r2h … (1)
Dividiendo (2) entre (1):
r
h
El volumen del sólido piramidal
VP
V
=
2
3
r2h
r2h
=
2
3
VP =
2V
3
VP =
1
3
(r 2)2h =
2
3
r2h …(2)
14
PREGUNTA 207
Al desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución se
obtiene una región cuadrada cuya área es k. Calcule el volumen
del sólido cilíndrico.
A)
k k
2
B)
k k

C)
k k
3
D)
k k
4
E)
k k
7
15
Se muestra en la figura adjunta la región cuadrada de área k que es el
desarrollo del cilindro de revolución.
Al desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución
se obtiene una región cuadrada cuya área es k. Calcule el
volumen del sólido cilíndrico.
Clave: D
RESOLUCIÓN 207
(r: radio de la base, h: altura)
Además: (2  r) 2 = h2 = k
Reemplazando (2) en (1):
h
AB = BC → 2r = h
El volumen será: V = r2h …(1)
V =
k k
4
r2 =
k
42
, h = k… (2)
B
C
A
D
S = k
2r
V = 
k
42
k
16
PREGUNTA 208
De todos los cilindros de revolución de área total igual a 2k2,
calcule el volumen del cilindro de máxima capacidad.
A)
3
12
k3 B)
3
9
k3 C)
2
3
k3
D)
3
3
k3 E)
2 3
9
k3
17
Se desea hallar el volumen máximo en función de k (dato) siendo el área
total ST = 2k
2
De todos los cilindros de revolución de área total igual a 2k2,
calcule el volumen del cilindro de máxima capacidad.
Clave: E
RESOLUCIÓN 208
Si r es la longitud del radio y h la longitud de la altura de este cilindro:
V =  r2h y 2rh + 2r2 = 2k2 rh + r2 = k2
V = r . rh y rh = k2 – r2 V = r (k2 – r2) =  (r2 )1/2 (k2 – r2)
Según teorema, V es máximo si:
r2
1
2
=
k2 − r2
1
r2 =
k2
3
rh = k2 − r2 = k2 −
k2
3
=
2k2
3
V(máx) = 
k
3
.
2k2
3
=
2 3k3
9
18
PREGUNTA 209
En un cilindro oblicuo de base circular, la longitud de la generatriz
es igual al perímetro de la base y determina con dicha base un
ángulo que mide 45. Si la longitud del radio de la base es r,
entonces el volumen del sólido cilíndrico es
A)
2r3
2
B) 2r3 C) 2r3 2
D) 2r3 3 E)2r3 5
19
Dato: g = 2r
En un cilindro oblicuo de base circular, la longitud de la generatriz es
igual al perímetro de la base y determina con dicha base un ángulo
que mide 45. Si la longitud del radio de la base es r, entonces el
volumen del sólido cilíndrico es
Clave: C
RESOLUCIÓN 209
Finalmente, V = r2hhg
Luego, h =
g 2
2
→ h = r 2
V = 2r3 2
2r
45
V = r2 r 2
20
PREGUNTA210
La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular es congruente con el
diámetro de la base. Los puntos M y N son centros de las bases y AB es
un diámetro tal que N  AB. Si AM = 13 u, MB = 9 u y el plano que
contiene al triángulo AMB es perpendicular a las bases, entonces la
longitud (en u) de la altura del cilindro es
A)
10 14
7
B)
11 14
6
C)
12 14
5
D)
13 14
4
E)
15 14
7
21
N
Dato: g= 2 r
La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular es congruente con
el diámetro de la base. Los puntos M y N son centros de las bases y AB
es un diámetro tal que N  AB. Si AM = 13 u, MB = 9 u y el plano que
contiene al triángulo AMB es perpendicular a las bases, entonces la
longitud (en u) de la altura del cilindro es
Clave: C
RESOLUCIÓN 210
r = 5
A
Por teorema: 13 2 + 9 2 = 2(2r) 2 +
(2r)2
2
h =
2
10
16  3  7  6
B
13 9hg
r
g
r
M
Por teorema de Heron:
h =
12 14
5
22
PREGUNTA 211
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, AB = a, halle el volumen del
sólido limitado por el cilindro cuyas bases circulares están inscritas en
los triángulos EBD y FHC.
A)
πa3 3
12
B)
πa3 3
9
C)
π a3 3
18
D)
π a3 2
12
E)
π a3 3
9
23
En el hexaedro
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, AB = a, halle el volumen del
sólido limitado por el cilindro cuyas bases circulares están inscritas en
los triángulos EBD y FHC.
Clave: C
RESOLUCIÓN 211
Además:r
B
V = 
a 6
6
2
a 3
3
3n = a 3 n =
a 3
3
r =
a 6
6
Luego; el volumen del cilindro es:
 V =
 a3 3
18
C
r
n
n
n
A
E H
G
D
F
a
a
24
PREGUNTA 212
Un cilindro circular tiene las bases inscritas en dos caras
opuestas de un hexaedro regular cuyas aristas miden a. Un plano
diagonal del hexaedro interseca al cilindro, determinando una
sección transversal de área
A)
πa2 2
2
B)
πa3 2
3
C)
2πa2 2
3
D)
3
2
π a2 2 E)
πa2 2
4
25
La sección es una región elíptica,
cuya área es:
Un cilindro circular tiene las bases inscritas en dos caras opuestas de
un hexaedro regular cuyas aristas miden a. Un plano diagonal del
hexaedro interseca al cilindro, determinando una sección transversal de
área
Clave: E
RESOLUCIÓN 212
 S =
 a2 2
4
a
S = 
a
2
a 2
2
a
a 2
26
PREGUNTA 213
Halle el volumen del cilindro de revolución inscrito en un octaedro
regular, cuyas aristas miden a, de modo que las bases del cilindro
estén inscritas en dos caras opuestas del octaedro.
A)
a3π
2
B)
a3π
3
C)
a3 3π
3
D)
a3 6π
36
E) a3π 2
27
Halle el volumen del cilindro de revolución inscrito en un octaedro
regular, cuyas aristas miden a, de modo que las bases del cilindro estén
inscritas en dos caras opuestas del octaedro.
Clave: D
RESOLUCIÓN 213
POM:
1
x2
=
2
a2
+
4
a2
V = r2
a 6
3
x =
a 6
6
2x =
a 6
3
Pero: 2r 3 = a r =
a 3
6
Luego el volumen del cilindro de
resolución es:
 V =
a3 6
36
V = r2ถ(2x)
A
a
Q
P
B
r
r
H
C
D
r
r
x
a/2
x
a 2
2
O
28
PREGUNTA 214
En un prisma triangular regular de área lateral A1 se inscribe un
cilindro circular recto de área lateral A2. Halle:
A1
A2
A)
6 3

B)
3 3

C)
4 3

D)
2 6

E)
3 2

29
Por condición del problema:
En un prisma triangular regular de área lateral A1 se inscribe un
cilindro circular recto de área lateral A2. Calcule:
A1
A2
Clave: B
RESOLUCIÓN 214
Pero:
A1 = 3ah ; A2 = 2rh
r
a
r =
a 3
6
aa
Luego:
A2 =
a 3h
3
A1
A2
=
3ah
a 3h
3
∴
A1
A2
=
3 3

h
a
a
a
30
PREGUNTA 215
En un cilindro de revolución, una recta L contiene al punto medio B de
una generatriz y a un punto A de la circunferencia C de una de las
bases. La mediatriz de AB interseca a C en un punto C, tal que la
mACB = 90. Si AB = 10 u, calcule el volumen máximo (en u3) del
sólido que determina el cilindro.
A)
10 3
9
B)
100 3
9
C)
1000 3
9
D)
100 3
3
E)
1000 3
3
31
En un cilindro de revolución, una recta L contiene al punto medio B
de una generatriz y a un punto A de la circunferencia C de una de
las bases. La mediatriz de AB interseca a C en un punto C, tal que
la mACB = 90. Si AB = 10 u, calcule el volumen máximo (en u3)
del sólido que determina el cilindro.
Clave: C
RESOLUCIÓN 215
h
(2) En (1):
r
5
5M
C
V = 2hr2…(1)
BQA: r2 =
100 − h2
4
…(2)
V = 2h
100 − h2
4
V = 50h −
h3
2
V′ = 0
50 −
3
2
h2 = 0 h =
10 3
3
(4) en (3) V =
1000  3
9
B
h
Q
AO
…(3)
…(4)