Copia de S15 PRIMOS 2021_2 Final Aplicaciones - Patricia Torres

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NUMEROS PRIMOS
2021-2
15
PREUNIVERSITARIO
2
Descubrimiento de los 
números primos
Los antiguos griegos conocían ya estos
números e incluso Euclides (300 A.C.)
un matemático griego demostró que el
número de primos es infinito,, esto
quiere decir que dada una lista de
números primos finita siempre habrá un
número primo que no este en esa lista.
El libro elementos de Euclides contiene
importantes teoremas sobre los números
primos como la infinitud de los números
primos y el teorema fundamental de la
aritmética.
3
LA TEORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles
ubrige ist menschenwerk. 
Los números enteros lo creó el querido 
Dios, todo lo demás es obra del hombre. 
Leopold Kronecker
Zahl significa número entero en alemán, y 
ésta es la razón por la que usamos Z para 
nombrar al conjunto de los números 
enteros. 
«Los matemáticos han intentado en vano, 
hasta la actualidad, descubrir algún orden 
en la secuencia de números primos, y 
tenemos razones para creer que se trata 
de un misterio que la mente humana 
nunca resolverá.» 
Leonhard Euler
Puentes de Königsberg
Euler: El problema tiene 
solución si el número de 
entradas y salidas en cada 
nodo es par. Por tanto el 
problema no tiene solución.
Modelo matemático
Problema real
4
ESTUDIO DE LOS ENTEROS
Srinivasa Ramanujan: 
matemático autodidacta indú, 
Nació el 22 de Diciembre de 
1887 y murió a los 32 años. 
Descubrió importantes 
resultados de la partición de un 
número,P(n), el número de 
expresiones de un número 
como sumas distintas. Llegó a 
tener un desarrollo asintótico de 
P(n), obtuvo importantes 
resultados sobre números 
primos y fracciones continuas.
Ramanujan trabajó en las 
particiones de los números 
enteros y las q-series, iniciada 
por Euler, Gauss y Jacobi . 
El número de primos menores que x, π(x).
5
Teorema de Fermat 𝒙𝒏 + 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏
Conjetura de Taniyama-Shimura: dice que a 
cada forma modular le corresponde una curva 
elíptica y viceversa. Años después, en 1980, el 
matemático alemán Gerhard Frey planteó que 
el último teorema de Fermat podría 
representarse como una curva elíptica muy 
especial, cuya correspondencia modular no 
podría establecerse. Así, si la curva elíptica que 
describiera el teorema de Fermat existiera, 
habría un contrajemplo para la conjetura 
japonesa y se refutaría. En la década de los 90, 
el inglés Andrew Wiles decidió probar la 
conjetura de Taniyama-Shimura, que 
demostraría automáticamente el teorema de 
Fermat. Su prueba se presentó en una serie de 
conferencias en la Universidad de Cambridge, y 
aunque contenía un error, este se resolvió 
satisfactoriamente con la ayuda de uno de sus 
estudiantes, Richard Taylor.
6
Conjetura de Goldbach
Conjetura débil de Goldbach: 
“todo número mayor que cinco puede escribirse como suma 
de tres números primos”
Conjetura fuerte de Goldbach:
“todo número par mayor que dos puede escribirse como suma 
de dos números primos”
Conjetura de Goldbach: 
Nació en Königsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia) en 
1690. Viajó mucho por Europa y conoció a matemáticos 
como Gottfried W. Leibniz, Leonhard Euler o Daniel Bernoulli. En 
1725 se fue a trabajar de historiador y profesor de matemáticas 
a la recién creada Academia de las Ciencias de San 
Petersburgo, y 3 años más tarde se iría a Moscú para ser tutor 
de Pedro II de Rusia. Allí moriría en 1764.
En una carta de Goldbach a Euler, del 7 de junio de 1742, el 
autor de la misma le plantea una conjetura relacionada con los 
números primos, que podría expresarse como que “todo 
número que se puede representar como suma de dos números 
primos, entonces se puede representar como suma de tres 
números primos.”
Matemático peruano resuelve la conjetura 
débil de Goldbach (Herald Helfgott).
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3357:leibniz-gottfried-wilhelm-1646-1716&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3341:euler-leonhard-1707-1783&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3323:bernoulli-daniel-1700-1782&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67
7
Los números primos y la Criptografía 
Efectivamente los números primos de gran
tamaño pueden emplearse para codificar
cualquier tipo de información de manera segura.
“Si tomamos un par de números primos de gran
tamaño y lo multiplicamos, para poder obtener
los números originales que lo constituyen es
dificilísimo.
En la vida real los números primos tienen
gran uso en la criptografía que consiste en
codificar mensajes o cifrarlos.
Por ejemplo el cifrado en páginas de internet
donde se necesita seguridad al realizar
transferencias bancarias como la página web de
un banco o en el comercio electrónico.
8
Cifrado de un mensaje 
Un ejemplo muy básico de como se cifra un mensaje seria el siguiente: 
A cada letra del abecedario le haremos corresponder un número de dos cifras
A=01 B=02 C=03 D=04 E=05 F=06 G=07 H=08 I=09 J=10 K=11 L=12 M=13 N=14
Ñ=15 0=16 P=17 Q=18 R=19 S=20 T=21 U=22 V=23 W=24 X=25 Y=26 Z=27
El que envía el mensaje usa el siguiente método de cifrado: Si el número que corresponde a la
letra es primo, se deja como está, y si no es primo, le sumamos 5 unidades, obteniendo
A=06 B=02 C=03 D=09 E=05 F=11 G=07 H=13 I=14 J=15 K=11 L=17 M=13 N=19
Ñ=20 0=21 P=17 Q=23 R=19 S=25 T=26 U=27 V=23 W=29 X=30 Y=31 Z=32
La palabra “Alfredo” sería 06171119050921 
Para descifrar un mensaje, agrupamos el número en bloques de dos cifras:
Descifrar 0305171905271914
Separamos bloques de dos cifras 03 05 17 19 05 27 19 14
Ejemplo:
Ejemplo:
C E P R E U N I
9
NUMEROS PRIMOS
10
NÚMERO PRIMO 
En el conjunto ℤ, un entero 𝑝 es primo si admite sólo cuatro divisores
Es decir:
Un entero 𝒑 ≠ 𝟎 es primo si y solo si 𝒑 ≠ ±𝟏, además los únicos 
divisores enteros de 𝒑 son ±𝟏 𝒚 ± 𝒑.
Ejemplo:
Número compuesto 
• Divisores enteros de 41: ±1 𝑦 ± 41
• Divisores enteros de -13: ±1 𝑦 ± 13
Existen infinitos 
números primos 
Es todo entero no nulo que posee 
más de cuatro divisores enteros
Ejemplo:
• Divisores enteros de 25: ±1; ±5 𝑦 ± 25
• Divisores enteros de -14: ±1; ±2; ±7 𝑦 ± 14
Todo número compuesto 
posee al menos dos 
divisores primos 
Si p es primo, -p también es primoNota:
41 y – 13 son primos 
25 y – 14 son compuestos 
11
Teorema de Euclides: Existen infinitos números primos.
• Se ve que 𝒑𝟏>1 y que N >2, y que N no puede ser primo, pues ya
están todos numerados. Entonces N es compuesto y por el lema 2,
existe un primo p que lo divide. Observamos que no se cumple
pues 𝑵 = 𝒑𝒌 + 𝟏, ningún primo que hemos propuesto divide a N,
así que contradice nuestra hipótesis. Por tanto queda demostrado
que hay una infinidad de primos. Es lo que conocemos hasta el
momento.
DemostraciónLema 1: Un
entero n>1, es
compuesto, si y
sólo si, existen
enteros a y b tal
que n=a.b,
1<a<n; 1<b<n.
Lema 2: Sea el
entero positivo
n>1, existe un
primo p tal que
p divide a n.
• Sean los primos entonces: 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, ..., 𝒑𝒏, todos los primos
𝒑𝟏 < 𝒑𝟐 < … < 𝒑𝒏
Definimos el número 𝑵 = 𝒑𝟏. 𝒑𝟐……𝒑𝒏 + 𝟏 y 𝒑𝒌 = 𝒑𝟏. 𝒑𝟐……𝒑𝒏
• Tal como lo demostrara Euclides, en “los Elementos”.
Asumimos por contradicción, que existen finitos primos, y
llegaremos a una contradicción que invalida nuestra
hipótesis, que son una cantidad finita de primos.
°
12
APLICACIÓN 1 
Sea 𝑁 = 9𝑎2 − 𝑏2, un número primo positivo, además 𝑎 𝑦 𝑏 son números
naturales, ¿cuántos valores de dos cifras puede tomar 𝑁, si 𝑎 también es un
número primo?
Resolución:
Observación:
2
Si 𝑷 es un número primo y se puede expresar como el
producto de dos factores enteros, entonces las únicas
opciones son 𝑷 = 𝟏(𝑷) ó 𝑷 = (−𝟏)(−𝑷)
En nuestro caso:
𝑁 = 9𝑎2 − 𝑏2 = (3𝑎 − 𝑏)(3𝑎 + 𝑏)
++ +
𝟏 𝑏 = 3𝑎 − 1
𝑁 = 6𝑎 − 1
primos2 cifras
11
317
529
741
∴ 𝑁 solo toma 4 valores Rpta: 4
13
Números primos entre sí (PESI) 
Dos o más enteros no nulos son PESI (coprimos o primos relativos) 
si sus únicos divisores comunes son el ±𝟏.
Ejemplo:
• ¿10 y 21 son PESI?
±1 ±1
±2 ±3
±5
±10
±7
±21
Divisores 
enteros
Únicos divisores 
comunes
• ¿-6, 33 y 57 son PESI?
±1 ±1 ±1
±2 ±3 ±3
±3
±6
±11
±19
±57
Divisores 
enteros
divisores 
comunes
10 y 21 son PESI -6, 33 y 57 no son PESI
Nota:
Si nos dicen que 𝑵 y 12 son PESI, entonces sus únicos divisores
comunes deben ser ±𝟏 y como el 12 tiene como divisores primos
al 2 y 3, entonces 𝑵 no debe ser múltiplo de 2 ni de 3
14
APLICACIÓN 2 
Determine la cantidad de números capicúas de cuatro cifras que son 
PESI con 175.
Resolución:
Como 𝑎𝑏𝑏𝑎 y 175 son PESI y 175 = 52 × 7, entonces
𝑎𝑏𝑏𝑎
≠ ሶ𝟓
≠ ሶ𝟕
𝒂 ≠ 𝟓
𝟓𝒃 ≠ ሶ𝟕 𝒃 ≠ 𝟎; 𝟕
1
2
3
4
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
8
9
Cantidad de números: 𝟖 × 𝟖 = 𝟔𝟒
Rpta: 64
15
APLICACIÓN 3
Propiedad: Sea 𝑛 ∈ ℕ
tal que (2n+1) es
cuadrado perfecto,
entonces n+1 es suma de
dos cuadrados
consecutivos.
Demostración
Veamos; 
2𝑛 + 1 = (2𝑡 + 1)2
entonces 
𝑛 =
(2𝑡+1)2−1
2
= 2𝑡2 + 2𝑡
 ,
luego :
𝑛 + 1 = (𝑡 + 1)2+𝑡2
Determine los enteros positivos 𝑛 tales que 𝑛4 + 4 es primo.
𝑛4 + 4 = 𝑛4 + 4𝑛2 + 4 − 4𝑛2
Luego 𝑛4 + 4 = (𝑛2 − 2𝑛 + 2)(𝑛2 + 2𝑛 + 2)
Como 𝑛4 + 4 es primo, el menor de los factores debe ser la unidad. 
Entonces 𝑛2 − 2𝑛 + 2 = 1, luego (𝑛 − 1)2= 0 , entonces n=1.
Por tanto 𝒏𝟒 + 𝟒 = 𝟓, es el único número primo que cumple la 
condición.
Como 
Si a y n son enteros positivos, 𝒏 ≥ 𝟐 , a>1 y 𝒂𝒏 − 𝟏 es primo.
Entonces a debe ser 2.
Esto debido a que 𝒂𝒏 − 𝟏 = (𝒂 − 𝟏)(𝟏 + 𝒂 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 +⋯+ 𝒂𝒏−𝟏)
Si 𝒂𝒏 − 𝟏 es primo, a-1 debe ser 1, osea a=2.
Resolución:
16
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ 2 A 2
Tres o más enteros no nulos son PESI 2 a 2 cuando al ser tomados 
de 2 en 2 cada pareja de números resultan ser PESI.
Ejemplo
• ¿12; 25 y 77 son PESI 2 a 2? • ¿10; -39 y 91 son PESI 2 a 2?
Nota: Si un conjunto de números son PESI 2 a 2, entonces son PESI, lo 
contrario no siempre se cumple.
𝟏𝟐 𝒚 𝟐𝟓 son PESI
𝟏𝟐 𝒚 𝟕𝟕 son PESI
𝟐𝟓 𝒚 𝟕𝟕 son PESI
12; 25 y 77 son PESI 2 a 2
−𝟑𝟗 𝒚 𝟗𝟏 no son PESI, porque 
además del ±𝟏, comparten al 
± 𝟏𝟑 como divisores comunes
10; -39 y 91 no son PESI 2 a 2
17
Propiedades
2. Dos o más números consecutivos siempre son PESI. 
3. Tres o más impares consecutivos siempre son PESI.
5. Si A y B son PESI, entonces
1. La unidad es PESI con cualquier número entero.
4. Dado un conjunto de números, si dos de ellos son PESI, entonces 
todo el conjunto de números serán PESI.
• 𝑨 𝒚 𝑨 ± 𝑩 son PESI
• 𝑨𝒏 𝒚 𝑨𝒏 ±𝑩𝒏 son PESI.
• 𝑨 ± 𝑩 𝒚 𝑨 × 𝑩 son PESI
¿Los números 𝑎𝑏24 𝑦 𝑎𝑏49 son PESI?
Como 𝑎𝑏24 y 25 son PESI, entonces 𝑎𝑏24 y (𝑎𝑏24 + 25) son PESI
𝒂𝒃𝟒𝟗
Ejemplo:
Veamos
18
Propiedad de la linealidad 
de los coprimos 
Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí, si y solo si, 
existen dos números enteros m y n tales que m a + n b = 1.
Ejemplo
𝟏𝟐 𝒚 − 𝟑𝟓 son PESI
12 𝟑 + −35 𝟏 = 1
12 −𝟑𝟐 + −35 −𝟏𝟏 = 1
Los enteros m y n 
no son únicos
−𝟐𝟏 𝒚 𝟗𝟏 no son PESI −21 𝒎 + 𝟗𝟏 𝒏 ≠ 1
7
°
7
°
19
En el conjunto de los naturales (ℕ)
Primeros números primos: 𝟐; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑; 𝟏𝟕; 𝟏𝟗; 𝟐𝟑; 𝟐𝟗; ⋯ℕ
• La unidad: Es el único número natural que posee un divisor.
• Números primos: Son aquellos que admiten dos divisores la 
unidad y el mismo número.
• Números compuestos: Son aquellos que tienen más de dos divisores.
Primeros números compuestos: 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟏𝟔; ⋯
Se concluye:
• El único número primo que es par es el 2 todos los demás son impares.
• Los únicos naturales consecutivos y primos a la vez son 2 y 3.
• La única terna de impares consecutivos y primos a la vez son 3, 5 y 7.
• Si 𝒑 > 𝟐 es primo, entonces 𝒑 = 𝟒 ± 𝟏, lo contrario no siempre se cumple.
• Si 𝒑 > 𝟑 es primo, entonces 𝒑 = 𝟔 ± 𝟏, lo contrario no siempre se cumple.
°
°
20
APLICACIÓN 4 
Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 números primos diferentes tales que: 2𝑎 + 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 = 2𝑐3
Determine el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
Resolución:
Dato: 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son primos diferentes
2𝑎 + 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 = 2𝑐3
imparpar impar
imparpar
𝑎 debe ser par y primo a la vez, entonces 𝒂 = 𝟐
Reemplazando tenemos
4 + 3𝑏 = 2𝑐3
…𝟗 𝒃 = ⋯𝟑 y primo
73 2
83 5
NO pues 𝐜 ≠ 𝒂
SI 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟗𝟎 Rpta: 90
21
Determine n, entero positivo, dado que los siguientes números
son primos, 3n-4, 4n-5 y 5n-3.
Sean las raíces 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐 , (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐) por propiedad se tiene: 𝒑 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
y 𝒒 = 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 y siendo q primo solo nos queda que 𝒙𝟏 = 𝟏, teniendo
𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒑 = 𝟑 , 𝒙𝟐 = 𝟐, pues son consecutivos. Luego 𝑝
𝑞 = 32 = 9.
APLICACIÓN 5
Considerando que entre todos, el mayor es 5n-3
Resolución:
Por tanto los primos son: 2, 3 y 7.
entonces n es par y el menor de los tres primos, 3n-4 debe ser par
5n-3 es impar
3n-4 = 2 de donde n = 2
APLICACIÓN 6
Siendo p y q primos, la ecuación 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 tiene dos raíces
naturales, determine 𝑝𝑞.
Resolucion:
El único 
primo que 
es par es 
el 2
Los únicos 
consecutivos 
y primos a la 
vez son el 2 y 
3
22
Criba de Eratóstenes
Es un proceso mediante el cual se puede determinar, la sucesión de los 
número primos.
Ejemplo Para hallar los números primos desde el 1 al 100
• Primero se elimina el 1
• Luego se eliminan los múltiplo 
de 2 a partir de 𝟐𝟐
• Después se eliminan los 
múltiplo de 3 a partir de 𝟑𝟐
Así sucesivamente con todos los 
múltiplos de los números primos 
Los números que queden sin 
eliminar serán primos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Existen 25 números primos 
menores que 100
23
Algoritmo para saber si un número 
es primo
Ejemplo: ¿El número 239 es primo?
Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del número, si es exacta el número no es primo.
𝟐𝟑𝟗 = 𝟏𝟓, 𝟒𝟓…
Paso 2: Se consideran todos los números primos menores iguales que la 
parte entera de la raíz cuadrada.
𝟐; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑 ≤ 𝟏𝟓
Paso 3: Se divide el número entre cada primo obtenido en el paso 2, si todas 
las divisiones son inexactas el número será primo.
• 239 = 2 + 1
• 239 = 3 + 2
• 239 = 5 + 4
• 239 = 7 + 1
• 239 = 11 + 8
• 239 = 13 + 5
Como todas las divisiones son
inexactas, entonces 239 es primo
°
°
°
°
°
°
24
NOTA: No se ha determinado la ley según la cual se forman y 
suceden los números primos.
Euler ha encontrado algunas fórmulas que son válidas hasta 
ciertos límites; para determinar números primos así:
Fermat 22
𝑛
+ 1 da algún número primo
x2 + x + 41 desde x = 0 hasta x = 39
x2 + x + 17 desde x = 0 hasta x = 15
x2 + x + 29 desde x = 0 hasta x = 27
Si n = 0  3
Si n = 1  5
Si n = 2  17
Si n = 3  257
Si n = 4  65 537 no cumple
525, 2 1 641
o
n = + =
25
APLICACIÓN 7 
Para averiguar si un número natural es primo se pensaba realizar siete
divisiones, pero faltando una división se determinó que el número es
compuesto. Calcule la suma de cifras de dicho número.
Resolución:
Sea N el número natural
Como se pensaba realizar 7 divisiones, entonces se debía dividir entre: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17
𝑁
17,…
18,…
17 < < 19 289 < 𝑁 < 361
13 = 13𝑘 ≠ 2, 3, 5, 7, 11
22, . . < 𝑘 < 27,…
÷
𝟐𝟑
𝑁 = 13 × 23 = 299
Suma de cifras = 2 + 9 + 9 = 20
Rpta: 20
Faltando una división se determino
que el número es compuesto
𝑘 ≠ 2, 3, 5, 7, 11° °°°° ° °° ° °°
26
Teorema fundamental de la Aritmética
(Teorema de Gauss)
Ejemplo:
Todo entero positivo no primo y diferente de la unidad, se puede
descomponer como un producto de factores primospositivos elevados a
ciertos exponentes que son enteros positivos de manera única, esta
descomposición es llamada la descomposición canónica (DC) del número.
Es decir 𝑺𝒊 𝑵 = 𝒂
𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸 es la DC de 𝑁 , entonces 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son
números primos diferentes y 𝜶,𝜷 𝒚 𝜸 son enteros positivos.
• 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟒 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟐…(𝑫𝑪)
• 𝟑𝟐𝟎𝟎. . 𝟎𝟎𝟔 𝟑𝟐𝟎𝟎. . 𝟎𝟎𝟔 = 𝟐
𝒏+𝟐 × 𝟑𝒏 × 𝟓…(𝑫𝑪)
n cifras n cifras
• 𝟏𝟖𝒏+𝟐 − 𝟏𝟖𝒏 = 𝟏𝟖𝒏 𝟏𝟖𝟐 − 𝟏 = 𝟐𝒏 × 𝟑𝟐𝒏 × 𝟏𝟕 × 𝟏𝟗… (𝑫𝑪)
= 𝟑𝟐𝟔 × 𝟔
𝒏 = 𝟐𝟎 × 𝟐𝒏 × 𝟑𝒏
27
Estudio de los divisores de un número 
entero positivo
Ejemplo: Elaborar la tabla de divisores de 72 = 23 × 32…(𝐷. 𝐶. )
1 21 22 23
1
31
32
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
Divisores de 𝟐𝟑
Divisores 
de 𝟑𝟐
La cantidad de divisores de un número
se obtiene multiplicando el número de
filas por el número de columnas
1 + 2 + 22 + 23
3(1 + 2 + 22 + 23)
32(1 + 2 + 22 + 23)
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆
𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒅𝒆 𝟕𝟐
= (𝟏 + 𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑)(𝟏 + 𝟑 + 𝟑𝟐)
Tabla de divisores
28
Cantidad de divisores positivos (CD)
Sea 𝑵 un número que descompuesto en su forma canónica es:
𝑪𝑫 𝑵 = (𝜶 + 𝟏)(𝜷 + 𝟏)(𝜸 + 𝟏)
𝑵 = 𝒂𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸…(𝑫. 𝑪. )
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟐
⋮
𝒂𝜶
𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝜷
𝟏
𝒄𝟏
𝒄𝟐
⋮
𝒄𝜸
Divisores positivos
Para obtener un
divisor de 𝑵 se elige
un elemento de cada
columna y los
multiplicamos
Observación:
(Divisores de 18):1; 2; 3; 6; 9; 18
Divisores
primos
Divisores
compuestos
• 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟏 + 𝑪𝑫 𝑵 + 𝑪𝑫(𝑵)
primos compuestos
• 𝑪𝑫 𝑵 = 𝑪𝑫 𝑵 − 𝟏
propios
• También 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟐. 𝑪𝑫 𝑵
enteros
Un número es
cuadrado si y solo
sí tiene una
cantidad impar de
divisores positivos
Nota:
29
Suma de divisores positivos (SD)
Sea 𝑵 un número que descompuesto en su forma canónica es:
𝑵 = 𝒂𝜶 × 𝒃𝜷 × 𝒄𝜸…(𝑫. 𝑪. )
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟐
⋮
𝒂𝜶
𝟏
𝒃𝟏
𝒃𝟐
⋮
𝒃𝜷
𝟏
𝒄𝟏
𝒄𝟐
⋮
𝒄𝜸
Divisores positivos
Para obtener la suma de
divisores sumamos los
valores que hay en cada
columna y los
multiplicamos
Observación:
𝑺𝑫 𝑵 = (𝟏 + 𝒂 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝜶)(𝟏 + 𝒃 + 𝒃𝟐 +⋯+ 𝒃𝜷)(𝟏 + 𝒄 + 𝒄𝟐 +⋯+ 𝒄𝜸)
𝑺𝑫 𝑵 =
𝒂𝜶+𝟏 − 𝟏
𝒂 − 𝟏
𝒃𝜷+𝟏 − 𝟏
𝒃 − 𝟏
𝒄𝜸+𝟏 − 𝟏
𝒄 − 𝟏
También
Si 𝑺𝑫 𝑵 = 𝑵+ 𝟏, entonces 𝑵 es primo.
30
Suma de las inversas
de los divisores positivos (SID)
Ejemplo: Determine la suma de las inversas de los divisores de 18
(Divisores de 18): 1; 2; 3; 6; 9; 18 𝑆𝐼𝐷 18 =
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
6
+
1
9
+
1
18
𝑆𝐼𝐷 18 =
18 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1
18
=
𝑆𝐷(18)
18 En general 𝑺𝑰𝑫 𝑵 =
𝑺𝑫(𝑵)
𝑵
Producto de los divisores positivos (PD)
Ejemplo: Determine el producto de los divisores de 18
𝑃𝐷 18 = 1 × 2 × 3 × 6 × 9 × 18 = 183
𝑪𝑫(𝟏𝟖)
𝟐
En general 𝑷𝑫 𝑵 = 𝑵
𝑪𝑫(𝑵)
𝟐 = 𝑵𝑪𝑫(𝑵)
18
18
18
31
Nota: Con respecto a los divisores positivos de un número 𝑁 se cumple
𝑴𝑨 =
𝑺𝑫(𝑵)
𝑪𝑫(𝑵)
𝑴𝑮 =
𝑪𝑫(𝑵)
𝑷𝑫(𝑵) = 𝑵 𝑴𝑯 =
𝑪𝑫(𝑵)
𝑺𝑰𝑫(𝑵)
=
𝑵. 𝑪𝑫(𝑵)
𝑺𝑫(𝑵)
Media 
aritmética
Media 
geométrica
Media 
armónica
Además se verifica que: 𝑴𝑨×𝑴𝑯 = 𝑴𝑮
𝟐
Propiedad:
Si 𝐴 𝑦 𝐵 son PESI, entonces
CD A × B = CD A . CD(B)
SD A × B = SD A . SD(B)
𝑆𝐼𝐷 𝐴 × 𝐵 = 𝑆𝐼𝐷 𝐴 . 𝑆𝐼𝐷(𝐵)
PD A × B = PD A . PD(B)
𝐶𝐷 𝑁 = 𝐶𝐷
𝑁
𝑎
𝑎
°
𝑆𝐷 𝑁 = 𝑎. 𝑆𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑆𝐼𝐷 𝑁 =
1
𝑎
. 𝑆𝐼𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑃𝐷 𝑁 = 𝑎
𝐶𝐷
𝑁
𝑎 . 𝑃𝐷
𝑁
𝑎
°
𝑎
𝑎
𝑎
Observación: Para divisores múltiplos de 𝑎
32
Primos de Mersenne:
𝑀𝑛 = 2
𝑛 − 1
Primos de Fermat:
𝐹𝑛 = 2
𝑛 + 1
n 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒐 𝒅𝒆𝑴𝒆𝒓𝒔𝒆𝒏𝒏𝒆
𝑴𝒏 = 𝟐
𝒏 − 𝟏
Números Perfectos
𝑷𝒏 = 𝟐
𝒏−𝟏(𝟐𝒏 − 𝟏)
2 3 𝟐𝟐 − 𝟏 𝟐𝟐−𝟏(𝟐𝟐 − 𝟏)=6
3 7 𝟐𝟑 − 𝟏 𝟐𝟑−𝟏(𝟐𝟑 − 𝟏)=28
5 31 𝟐𝟓 − 𝟏 𝟐𝟓−𝟏 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟒𝟗𝟔
7 127 𝟐𝟕 − 𝟏 𝟐𝟕−𝟏(𝟐𝟕 − 𝟏)=8128
13 8091 𝟐𝟏𝟑 − 𝟏 𝟐𝟏𝟑−𝟏 𝟐𝟏𝟑 − 𝟏 = 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟎𝟑𝟑𝟔
Números perfectos
Números con la propiedad: 
la suma de sus divisores 
propios es igual al mismo 
número.
𝑁 = 2𝑛−1. 𝑀𝑛 es perfecto.
𝜎 𝑁 = 𝜎 2𝑛−1 𝜎 𝑀𝑛
= 2𝑛 − 1 . 2𝑛 = 2𝑁
Siempre que se descubre un nuevo número de Mersenne del 
tipo 2𝑛 − 1 , se puede generar un nuevo número perfecto
Nota
33
APLICACIÓN 8 
Si 𝑁 = 25𝑛 × 122𝑛 tiene 633 divisores que son compuestos, ¿cuántos
divisores cuadrados perfectos tiene 𝑁?
Resolución:
𝑁 = 25𝑛 × 122𝑛 = 24𝑛 × 32𝑛 × 52𝑛…(DC) 𝑪𝑫 𝑵 = 𝟏 + 𝑪𝑫 𝑵 + 𝑪𝑫(𝑵)
primos compuestos
3 633
Entonces 𝐶𝐷 𝑁 = 4𝑛 + 1 2𝑛 + 1 2𝑛 + 1 = 637
4𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)2= 13 × 72 𝒏 = 𝟑
Por lo tanto 𝑁 = 212 × 36 × 56…(DC)
Nos piden la 𝐶𝐷 de 𝑁 que son cuadrados perfectos
𝑁 = 212 × 36 × 56…(DC)
1
22
24
26
28
210
212
1
32
34
36
1
52
54
56
𝐶𝐷 𝑁 = 7 × 4 × 4 = 𝟏𝟏𝟐
𝑘2 Rpta: 112
Divisores 
cuadrados 
perfectos
34
Número de formas de escribir un número natural 
como el producto de dos factores naturales
Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se puede escribir 60 y 36 como 
el producto de dos factores enteros positivos?
60 = 𝐴 × 𝐵
1 60
2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
10 6
12 5
15 4
20 3
30 2
60 1
36 = 𝐴 × 𝐵
1 36
2 18
3 12
4 9
6 6
9 4
12 3
18 2
36 1
En general 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔
𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑵 = 𝑨 × 𝑩
=
𝑪𝑫(𝑵)
𝟐
, 𝒔𝒊 𝑪𝑫 𝑵 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
𝑪𝑫 𝑵 + 𝟏
𝟐
, 𝒔𝒊 𝑪𝑫 𝑵 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
Si 𝐴 𝑦 𝐵 son naturales
Nota: Si 𝐴 𝑦 𝐵 son PESI, entonces 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔
𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓 𝑵 = 𝑨 × 𝑩
= 𝟐𝑪𝑫𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔 𝑵 −𝟏
6 
formas
5 
formas
Son las 
mismas 
parejas
Son las 
mismas 
parejas
35
Descomposición canónica de un 
factorial
Ejemplo: 22! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22
22! = 219 × 39 × 54 × 73 × 112 × 13 × 17 × 19 … (𝐷𝐶)
Para conocer el exponente de un divisor primo que esta contenido 𝒏!
se realizan divisiones sucesivas de 𝒏 , entre dicho primo, y el
exponente del número primo es la suma de los cocientes obtenidos
Ejemplo: Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, si 45! = 2𝑎 × 3𝑏 × 5𝑐 ×⋯( 𝐷𝐶)
45 2
22 2
11 2
5 2
22
1𝒂 = 𝟒𝟏
45 3
15 3
5 3
1
45 5
9 5
1
𝒃 = 𝟐𝟏 𝒄 = 𝟏𝟎
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟕𝟐
La cantidad de ceros en que termina
un factorial en base n, estará dado
por la mayor potencia de la base n
que esta contenida en el factorial
Nota
36
APLICACIÓN 9 
Determine la cantidad de cifras ceros en que termina 300! en base 10
Resolución:
300! =. . . 𝑥00…00
El número de ceros queda determinada por la mayor potencia de 10 que divida a 300!
Como en un factorial aparecen más múltiplos de 2 que múltiplos de 5, el número 
de ceros en que termina 300! queda determinada por el exponente del 5 que 
aparece en la DC de 300!
n cifras≠ 𝟎
= 𝐾 × 10𝑛
≠ 𝟏𝟎
300 5
60
512
2
5 El 300! termina en: 𝟔𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕𝟒 ceros en base 10 
Rpta: 74
37
Función de Euler o indicador 
de un número natural ∅(𝑵)
Ejemplo:
Para un número natural 𝑁, el valor de 𝜙 𝑁 , se define como la cantidad de
números naturales 𝒎 menores que 𝑵 y primo relativo con 𝑵, formalmente
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18
𝜙 7 = 6 = 7 − 1
𝜙 11 = 10 = 11 − 1
𝜙 8 = 4 = 23 − 22
𝜙 9 = 6 = 32 − 31
Si 𝑷 es primo entonces
• 𝝓 𝑷 = 𝑷 − 𝟏
• 𝝓 𝑷𝜶 = 𝑷𝜶 − 𝑷𝜶−𝟏
En general
𝝓 𝑵 = 𝑵 𝟏 −
𝟏
𝒂
𝟏 −
𝟏
𝒃
Sea 𝑁 = 𝑎𝛼 × 𝑏𝛽…(𝐷𝐶)
La cual es 
equivalente a 𝝓 𝑵 = 𝒂
𝜶−𝟏(𝒂 − 𝟏)𝒃𝜷−𝟏(𝒃 − 𝟏)
𝝓 𝑵 = 𝒎 ∈ 𝟏; 𝟐;… ;𝑵 :𝒎𝒄𝒅 𝒎;𝑵 = 𝟏 Convención:𝝓 𝟏 = 𝟏
𝜙(28)= 𝜙(22)𝜙(7)=2. 6=12
𝜙(200)= 𝜙(23) 𝜙(52)=22 2 − 1 5 5 − 1 =80
Ejemplo
38
Nota: Si 𝒂 𝑦 𝑵 son PESI, con 1 ≤ 𝑎 < 𝑁, entonces (𝑎 + 𝑁) y 𝑁
también son PESI, donde 𝑁 < 𝑎 + 𝑁 < 2𝑁
1; 2; 3; … ; 𝑁 − 1 ;𝑵: 𝑁 + 1 ;… ; 2𝑁 − 1 ; 𝟐𝑵; 2𝑁 + 1 ;… : 3𝑁 − 1 ; 𝟑𝑵;…
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑁
𝝓 𝑵 𝝓 𝑵 𝝓 𝑵
Propiedades
1.𝝓(𝑵) es par ∀ 𝑵 > 𝟐, el único caso donde sale impar es cuando 𝑵 = 𝟏
2. Si 𝑨 𝒚 𝑩 𝒔𝒐𝒏 𝑷𝑬𝑺𝑰, entonces𝝓 𝑨 × 𝑩 = 𝝓(𝑨) × 𝝓(𝑩)
3. La cantidad de parejas de naturales que son PESI y que sumados dan 
𝑵> 𝟐, es igual a 
𝝓(𝑵)
𝟐
4. Si N > 𝟐, la suma de todos los números naturales menores que N 
y PESI con 𝑵, esta dada por 
𝑵×𝝓(𝑵)
𝟐
.
𝝓 𝑵 también nos dice, la cantidad de números PESI con 𝑵
que existen entre dos múltiplos consecutivos de 𝑵.
39
APLICACIÓN 10 
Del 150 al 420, ¿cuántos números son PESI con 902021?
Resolución:
Como 90 = 2 × 32 × 5 Decir PESI con 902021 , equivale decir que son PESI con 30 = 2 × 3 × 5
Pues tienen los 
mismos divisores 
primos
𝟏𝟓𝟎, 151,… , 179, 𝟏𝟖𝟎, 181, … , 209, 𝟐𝟏𝟎,… , 𝟑𝟗𝟎, 391, … , 419, 𝟒𝟐𝟎
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 30
𝝓 𝟑𝟎 𝝓 𝟑𝟎 𝝓 𝟑𝟎⋯
5(30) 6(30) 7(30) 13(30) 14(30)
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 30
𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑙 150 𝑎𝑙 420
= (𝟏𝟒 − 𝟓) 𝝓 𝟑𝟎 = 𝟗 × 𝟖 = 𝟕𝟐
= 𝝓 𝟐 𝝓 𝟑 𝝓 𝟓 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟒 = 𝟖
Rpta: 72
40
Teoremas importantes 
Pequeño Teorema de 
Fermat
Congruencia de Euler y 
Fermat
Teorema de Wilson
(Test de primalidad)
Si 𝑵 𝒚 𝒑 ∈ ℕ y 𝒑 es un número
primo, entonces 
Sean 𝑵 𝒚 𝒑 ∈ ℕ y son PESI, 
entonces 
𝑵𝒑−𝑵 = 𝒑° 𝑵𝝓(𝒑) = 𝒑 + 𝟏°
𝒑 es un número primo, 
si y solo si 
𝒑 − 𝟏 ! = 𝒑 − 𝟏°
5 es primo y 12 ∈ ℕ,
entonces 125 − 12 = 5
Ejemplo
°
338 y 25 son PESI entonces,
338𝜙(25) = 33820 = 25 + 1
Ejemplo
°
7 es primo, entonces 
7 − 1 ! = 720 = 7 − 1
Ejemplo
°
Corolario Corolario
Si 𝑵 𝒚 𝒑 son PESI y 𝒑 es un 
número primo, entonces
𝑵𝒑−𝟏= 𝒑 + 𝟏°
Si 𝑷 es un número primo, 
entonces
𝒑 − 𝟐 ! = 𝒑 + 𝟏
𝒑 − 𝟑 ! = 𝒑 +
𝒑−𝟏
𝟐
Sea p primo y a>1. 
𝜙 𝑝𝑎 = 𝑝𝑎−1 𝑝 − 1 .
°
°
41
Si expresamos 𝑁 = 202072! + 35! en base 37, ¿en que cifra termina?
Resolucion:
𝑁 = 202072! + 35! = …𝑥37 = 37 + 𝑥
• Como 2020 𝑦 37 son PESI y 37 es primo
Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene 
202036 = 37 + 1
202072! = 202036 𝑘 = 37 + 1 𝑘
𝒙 = 𝟐
Rpta: 2
APLICACIÓN 11 
°
202072! = 37 + 1
• Como 37 es primo, por el corolario del teorema de Wilson 37 − 2 ! = 37 + 1
35! = 37 + 1
𝑁 = (37 + 1) + (37 + 1) = 37 + 2
Por el corolario del 
pequeño teorema 
de Fermat
𝟕𝟐! = 𝟑𝟔 = 𝟑𝟔𝒌
° °
°°
°
°
°
°
°
(1)
(3)
(2)
42
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL AULA 
VIRTUAL 
43
Problema 01
Resolución
Calcule la cantidad de números primos absolutos mayores que 109 y 
menores que 151, cuya suma de cifras sea un número impar.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Usamos la criba de eratostenes:
𝟒 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔
CLAVE B
111 113 117 119
121 123 127 129
131 133 137 139
141 143 147 149
Eliminamos múltiplos de 3, 7, 11,
Los primos que cumplen son:
113, 131, 137, 139, 
44
Problema 02
Si el número 15a x 32 tiene 40 divisores compuestos enteros ¿Cuantos 
divisores naturales múltiplos de 30 tiene dicho número? 
A) 36 B) 8 C) 45 D) 5 E) 54
Resolución
Tendrá 20 divisores naturales compuestos
𝑁 = 3 × 5 𝑎 × 25
𝑁 = 25 × 3𝑎 × 5𝑎
CD(N) = 20 + 3 +1 = 24
6 𝑎 + 1 𝑎 + 1 = 24
𝑎 = 1, 𝑁 = 25 × 3 × 5
𝑁 = 2 × 3 × 5 × 24
𝑪𝑫 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝟑𝟎 = 𝟓
CLAVE D
45
Problema 3
Si N=25 x 37 x 5n tiene 192 divisores múltiplos de 5, determine la suma
de las cifras de la cantidad de divisores múltiplos de 10 que tiene N.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
Resolución: 
𝑁 = 5 × 25 × 37 × 5𝑛−1
6 × 8 × 𝑛 = 192
6 × 8 × 𝑛 = 192
𝑛 = 4
𝑁 = 25 × 37 × 54
𝑁 = 2 × 5 × 24 × 37 × 53
𝐶𝐷 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 10 = 5 × 8 × 4 = 160
𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟕
CLAVE C
46
Problema 4
Si N=34 x 75 x 13n, calcule la suma de las cifras de n sabiendo que la
cantidad de divisores de N que no son múltiplos de 91 es 85.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución 
𝐶𝐷(𝑁) = 5 × 6 × 𝑛 + 1
𝑁 = 13 × 7 × 34 × 74 × 13𝑛−1
𝐶𝐷 ሶ91 = 5 × 5 × 𝑛
𝐶𝐷 𝑛𝑜 ሶ91 = 30 𝑛 + 1 − 25𝑛
30 𝑛 + 1 − 25𝑛 = 85
5𝑛 + 30 = 85
𝑛 = 11
𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟐
CLAVE B
47
Problema 5
¿Cuál es el menor número impar que no es múltiplo de 5, que es primo
relativo con 63 y tiene 16 divisores, de los cuales 4 son primos? Indique la
suma de sus cifras.
A) 8 B) 10 C) 20 D) 24 E) 28
Resolución 
𝑁 = 11 × 13 × 17 × 19
𝑁 = 46189
𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟐𝟖
CLAVE E
N, es impar, no tiene divisor primo 2 ni 5
N, es PESI con 63, no tiene divisor primo 3 ni 7
48
Problema 6
Determine el menor número natural múltiplo de 21 pero no de 5 y que solo
tiene 3 divisores primos; es múltiplo de 8 pero no de 16; es múltiplo de 3
pero no de 9. Además, se sabe que su cantidad de divisores naturales es 32.
Indique como respuesta la suma de las cifras de dicho número.
A) 15 B) 17 C) 18 D) 21 E) 24
Resolución 
𝑁 = 𝑝𝛼 × 𝑞𝛽 × 𝑟𝛾
𝑝 = 3 ∧ 𝛼 = 1
𝑞 = 2 ∧ 𝛽 = 3
r= 7
𝑁 = 3 × 23 × 7𝛾
𝐶𝐷(𝑁) = 2 × 4 × 𝛾 + 1
2 × 4 × 𝛾 + 1 = 32 𝛾 = 3
𝑁 = 3 × 23 × 73 = 8232
𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟏𝟓
CLAVE A
49
Problema 7
N es un número de 4 cifras que tiene 2 factores primos, N es PESI con
200 y tiene una cantidad impar de divisores. Calcule la cantidad de
valores de N.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
Resolución 
𝑁 = 𝑝𝛼 × 𝑞𝛽
𝑝 ≠ 2, 𝑝 ≠ 5
𝑞 ≠ 2, 𝑞 ≠ 5
𝑁 = 32𝑎 × 72𝑏
𝑁 = 34 × 72 = 3969
𝑁 = 34 × 112 = 9821
𝑁 = 32 × 112 = 1089
𝑁 = 72 × 112 = 5929
𝑁 = 32 × 132 = 1521
𝑁 = 32 × 172 = 2601
𝑁 = 32 × 192 = 3249
𝑁 = 32 × 232 = 4761
𝑁 = 32 × 292 = 7569
𝑁 = 32 × 312 = 8649
𝑁 = 72 × 132 = 8291
11 números
CLAVE E
50
Problema 8
Si 32! Tiene n divisores ¿Cuántos divisores tiene 31!?.
A) 27n/32 B) 28n/32 C) 29n/32 D) 30n/32 E) 31n/32
Resolución 
32! = 231 × 3𝑎 × 5𝑏 ×⋯× 29 × 31
31! = 226 × 3𝑎 × 5𝑏 ×⋯× 29 × 31
𝐶𝐷 32! = 32 𝑎 + 1 𝑏 + 1 … 2 = 𝑛
𝐶𝐷 31! = 27 𝑎 + 1 𝑏 + 1 … 2 = 𝑥
𝑛
𝑥
=
32
27
𝒙 =
𝟐𝟕𝒏
𝟑𝟐
CLAVE A
51
Problema 9
¿Cuántos rectángulos de área 27 783 metros cuadrados son tales que sus
lados son una cantidad entera de metros?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
Resolución 
a metros
𝑎, 𝑏 ∈ ℕ
𝑎 × 𝑏 = 27783
27783 𝟑𝟐
3087 𝟑𝟐
343 𝟕𝟑
1
27783 = 34 × 73
#𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 =
𝐶𝐷 27783
2
𝐶𝐷 27783 = 5 × 4
𝐶𝐷 27783 = 20
#𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 =
20
2
#𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔 = 𝟏𝟎
CLAVE B
52
Problema 10
Se construye la tabla de divisores de un número que sólo tiene 2 factores
primos que resulta de 4 × 3 (4 filas, 3 columnas). Determine la suma de
divisores del número sabiendo que el cociente del mayor elemento de la
cuarta fila entre el menor elemento de la tercera fila es 175.
A) 12 400 B) 12 600 C) 12 450 D) 15 200 E) 14 650
Resolución 
1 p 𝒑𝟐
𝒒 𝒑𝒒 𝒑𝟐𝒒
𝒒𝟐 𝒑𝒒𝟐 𝒑𝟐𝒒𝟐
𝒒𝟑 𝒑𝒒𝟑 𝒑𝟐𝒒𝟑
𝒑𝟐𝒒𝟑
𝒒𝟐
= 𝟏𝟕𝟓
𝒑𝟐𝒒 = 𝟏𝟕𝟓 = 𝟓𝟐 × 𝟕
𝒑 = 𝟓 ∧ 𝒒 = 𝟕, 𝑵 = 𝟓𝟐 × 𝟕𝟑
𝑺𝑫(𝑵) = (𝟏 + 𝟓 + 𝟓𝟐) × (𝟏 + 𝟕 + 𝟕𝟐 + 𝟕𝟑)
𝑺𝑫 𝑵 = (𝟑𝟏) × (𝟒𝟎𝟎)
𝑺𝑫 𝑵 = 𝟏𝟐𝟒𝟎𝟎
CLAVE A
53
Problema 11
Resolución 
Si 𝟔𝟗!𝒖𝒏𝒊𝟐𝟎𝟐𝟎 = 𝟕𝟏
𝟎
− 𝒂𝒃, ¿en cuantos ceros termina 𝒂𝒃! al ser expresado
en base 14?
A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 18
Teorema de Wilson:
𝑝 − 1 ! = ሶ𝑝 − 1
𝑝 − 2 ! = ሶ𝑝 + 1
Sea el primo: p=71
71 − 2 ! = ሶ71 + 1
69 ! = ሶ71 + 1
69! 𝑢𝑛𝑖2020 = ሶ71 + 1 = ሶ71 − 70
𝑎𝑏 = 70, 𝑎𝑏! = 70! = 267711… .
En base 14, termina en 11 cifras cero
CLAVE C
54
Problema 12
Resolución
Se sabe que al convertir a 𝟐𝟎𝟏𝟑𝟐𝟗𝟒𝟏 en base 7 nos da el numero
…𝒂𝒃𝒄(𝟕)del 1 al 𝒂𝒃, ¿Cuántos son PESI con 𝒄 − 𝟏 𝒃 ?
A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
20132941 = …𝑎𝑏𝑐7 = 343𝑘 + 𝑎𝑏𝑐7
2013 343
5298
𝜑 343 = 343 1 −
1
7
= 294
298𝜑(343) = ሶ343 + 1
2982940 = ሶ343 + 1
2982941 = ሶ343 + 298, 𝑎𝑏𝑐7 = 298
298 7
42
4
7
60
𝑎𝑏 = 60
𝑐 − 1 𝑏 = 30
Pesi con 30 del 1 al 60
= 2𝜑 30 = 2(30) 1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
5
= 𝟏𝟔 CLAVE C
55
Problema 13
Resolución
Calcule el resto de dividir (2x65!)3 entre 67.
A)1 B)2 C)5 D) 8 E)10
2 × 65! 3 = ሶ67 + 𝑅
𝑝 − 2 ! = ሶ𝑝 + 1
67 − 2 ! = ሶ67 + 1
65! = ሶ67 + 1
2 × 65! 3 = 2 × ሶ67 + 1
3
𝑹 = 𝟖
CLAVE D
2 × 65! 3 = 23 × ሶ67 + 1
3
2 × 65! 3 = 8 × ሶ67 + 1 = ሶ67 + 8
56
Problema 14
Resolución
Sea M= 5x .7y , si M tiene 9 divisores más que M/5 y M tiene 8 divisores
más que M/7. Determine la suma de las cifras de la cantidad de
divisores de M.
A)5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
𝑀
5
= 5𝑥−17𝑦
𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 𝑥 𝑦 + 1 + 9
𝑀
7
= 5𝑥7𝑦−1
𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 𝑥 + 1 𝑦 + 8
𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟗
CLAVE E
𝑦 + 1 = 9
𝑥 + 1 = 8
𝐶𝐷 𝑀 = 𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 8 × 9 = 72
57
Problema 15
Resolución
Si N es un número natural, N2 tiene 63 divisores y N3 tiene 130 divisores,
calcule la suma de las cifras de la cantidad de divisores de N6
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
𝑁 = 𝑎𝛼𝑏𝛽
𝑁2 = 𝑎2𝛼𝑏2𝛽
𝑁3 = 𝑎3𝛼𝑏3𝛽
2𝛼 + 1 2𝛽 + 1 = 63 = 7 × 9 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟏𝟔
CLAVE C
𝛼 = 3 ∧ 𝛽 = 4
𝑁 = 𝑎3𝑏4,
𝐶𝐷 𝑁6 = 18 + 1 24 + 1 = 475
3𝛼 + 1 3𝛽 + 1 = 130 = 10 × 13
𝑁6 = 𝑎18𝑏24,
58
Problema 16
Resolución
Al convertir 87! a base 22, ¿en cuántos ceros termina?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
𝟖𝟕! = 𝟐𝜶 × 𝟑𝜷× 𝟓𝜸 × 𝟕𝜹 × 𝟏𝟏∈ ×⋯× 𝟖𝟑
La cantidad de ceros en la base 
22 = 2(11), es el exponente de 11
𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 = 𝟕
CLAVE C
87 11
7
59
Problema 17
Resolución
Sea el número E= 12 2016 + (9!) 2017 .Calcule el residuo de dividir E entre
11.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 10
𝟏𝟏 − 𝟐 ! = ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝑬 = ሶ𝟏𝟏 + 𝟐
CLAVE B
𝟗! = ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝑬 = ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝟐𝟎𝟏𝟔
+ ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝟐𝟎𝟏𝟕
𝑬 = ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝟐𝟎𝟏𝟔
+ ሶ𝟏𝟏 + 𝟏
𝟐𝟎𝟏𝟕
60
Problema 18
Resolución
De los divisores positivos del número 2𝑎 × 3𝑏 × 5𝑐 , se sabe que 15 son ሶ2
pero no ሶ4, 12 son ሶ3 pero no ሶ9, 20 son ሶ5 pero no ሶ25 , determine el valor de
a+b+c.
A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11
𝑵 = 𝟐 𝟑𝒃 × 𝟓𝒄 𝟐𝒂−𝟏
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟗
CLAVE C
𝟏𝟓 = 𝒃 + 𝟏 × 𝒄 + 𝟏
𝑵 = 𝟑 𝟐𝒂 × 𝟓𝒄 𝟑𝒃−𝟏
𝟏𝟐 = 𝒂 + 𝟏 × 𝒄 + 𝟏
𝑵 = 𝟓 𝟐𝒂 × 𝟑𝒃 𝟓𝒄−𝟏
𝟐𝟎 = 𝒂 + 𝟏 × 𝒃 + 𝟏
𝒂 = 𝟑 ∧ 𝒃 = 𝟒 ∧ 𝒄 = 𝟐
61
Problema 19
Al dividir el número 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 entre un número primo se obtiene un
cuadrado perfecto. Calcule la suma de todos los posibles valores de
𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐.
Resolución
A) 78 B)81 C)82 D) 84 E)90
𝑵 = 𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄 𝑵 = 𝒂𝒃𝒄 𝒙 𝟏𝟎𝟎𝟏 = 𝒂𝒃𝒄 𝒙 𝟕 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟑
Divide entre 7 ቊ
𝟏𝟒𝟑 𝒙 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟑 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟖
𝟏𝟒𝟑 𝒙 𝟐𝟐 = 𝟓𝟕𝟐 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟒
Divide entre 13 ቊ𝟕𝟕 𝒙 𝟐
𝟐 = 𝟑𝟎𝟖 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟏
𝟕𝟕 𝒙 𝟑𝟐 = 𝟔𝟗𝟑 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟖
Divide entre 11 ቊ𝟗𝟏 𝒙 𝟐
𝟐 = 𝟑𝟔𝟒 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟑
𝟗𝟏 𝒙 𝟑𝟐 = 𝟖𝟏𝟗 ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟖
Suma de 
valores 
de: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝟖𝟐
RESPUESTA C
𝒂𝒃𝒄 𝒙 𝟕 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟑
𝑃𝑅𝐼𝑀𝑂
= 𝐾2 VALORES DE 𝒂𝒃𝒄
62
Determine la suma de las cifras de n si M=14.10n tiene 364
divisores
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Problema 20
Resolución
Del número 𝑀 = 14 𝑥 10𝑛
𝑀 = 2 𝑥 7 𝑥 2 𝑥 5 𝑛
𝑴 = 𝟐𝒏+𝟏 𝒙 𝟓𝒏 𝒙 𝟕
𝑪𝑫 𝑴 = 𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 = 𝟑𝟔𝟒
𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 = 𝟏𝟖𝟐
𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 = 𝟏𝟑 𝒙 𝟏𝟒
𝒏 = 𝟏𝟐
𝑴 = 𝟐𝟏𝟑 𝒙 𝟓𝟏𝟐 𝒙 𝟕
Piden la suma de cifras 
de " 𝑛 “ : 3
RESPUESTA C
63
Problema 21
Resolución
N es un número que tiene 2 factores primos, la suma de los divisores de N
es 403. Determine la suma de las cifras de la cantidad de divisores
compuestos de N
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝐍 = 𝐩𝐚 𝐪𝐛
𝐒𝐃(𝐍) = 𝟒𝟎𝟑
𝐒𝐃 𝐍 = 𝟏 + 𝟐𝟏 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 + 𝟐𝟒 𝟏 + 𝟑𝟏 + 𝟑𝟐 = 𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟑
𝐍 = 𝟐𝟒 𝟑𝟐
𝐂𝐃 𝐍 = 𝟓 ∗ 𝟑 = 𝟏 + 𝟐 + 𝐂𝑫𝑪
𝐂𝑫𝑪 = 𝟏𝟐
Rpta: 3
64
Problema 22
Resolución
¿Cuántos números de 2 cifras son PESI con 10?
A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40
𝛗 𝟏𝟎 = 𝛗 𝟐 ∗ 𝟓 = 𝟏 ∗ 𝟒 = 𝟒
𝟏, 𝟑, 𝟕, 𝟗
PESI con 10
𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗
PESI con 10
. . . 𝟗𝟏, 𝟗𝟑, 𝟗𝟕, 𝟗𝟗
PESI con 10
Rpta: 4*9
65
Problema 23
Resolución
Si M tiene dos factores primos y la suma de los divisores de M es 120,
calcule la diferencia de los dos menores números que cumplen con esto.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝐍 = 𝐩𝐚 𝐪𝐛
𝐒𝐃(𝐍) = 𝟏𝟐𝟎
𝐒𝐃 𝐍 = 𝟏 + 𝟐𝟏 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 𝟏 + 𝟕𝟏 = 𝟏𝟓 ∗ 𝟖
𝐍 = 𝟐𝟑 . 𝟕 = 𝟓𝟔
Rpta: 2
𝐒𝐃 𝐍 = 𝟏 + 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟑𝟏 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟑 = 𝟑 ∗ 𝟒𝟎
𝐍 = 𝟐 . 𝟑𝟑 = 𝟓𝟒
66
Problema 24
Resolución
Determine la suma de las cifras de la cantidad de ceros que se debe
agregar a la derecha de 18 para que el número resultante tenga 396
divisores
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝑴 = 𝟏𝟖𝟎𝟎…𝟎𝟎
n ceros
Rpta: 1
𝑴 = 𝟐𝒏+𝟏 𝟑𝟐 𝟓𝒏
𝐂𝐃 𝐌 = 𝐧 + 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝐧 + 𝟏 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟐
𝐧 = 𝟏𝟎
67
Problema 25
Resolución: 
Determine la cantidad de divisores del número 2160 que son divisibles
entre 3 pero no son divisibles entre 2.
A)2 B)4 C) 6 D)8 E)10
ഥ𝟔
𝟐𝟑 = 𝟑𝟎
𝟔 𝟖𝟐𝟒
°°
°
2160 = 24𝑥33𝑥5 = 3( 24𝑥32𝑥5)
CD ሶ3 = 5𝑥3𝑥2 = 30
CD ሶ6 = 4𝑥3𝑥2 = 24
2160 = 2x3( 23𝑥32𝑥5)
Entonces: CD ሶሶ3 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 ሶ2 = 30 − 24 = 6
68
Problema 26
Resolución: 
Convierta 1303505 a la base 6 y dar como respuesta la suma de las cifras
de primer, segundo y tercer orden.
A) 1 B) 2 C) 5 D) 8 E) 11
1303505 = …𝑎𝑏𝑐6 =
ሶ216 + 𝑎𝑏𝑐6
ሶ216 + 7
505
= ሶ216 + 𝑎𝑏𝑐6
7505 = ሶ216 + 𝑎𝑏𝑐6
𝜑 216 = 216 1 −
1
2
1 −
1
3
𝜑 216 = 216
1
2
2
3
= 72
772 = ሶ216 + 1, 7505 = 772 7 × 7
7505 = ሶ216 + 7 = …0116
𝒔𝒖𝒎𝒂 = 𝟐
69
Problema 27
Resolución: 
Sea M la suma de todos los números enteros positivos menores o iguales que 
216 y que no sean PESI con 216. Dar como respuesta la suma de las cifras de 
M
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22
216 = 23𝑥33
Sean los números ∶ 1 , 2 , 3 , 4 ,… , 215 , 216
Suma =
1 + 216
2
𝑥216 = 23436
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑃𝐸𝑆𝐼 ≤ 216 ∶ 𝜙 216 = 216 1 −
1
2
1 −
1
3
= 72
𝑆𝑢𝑚𝑎 =
𝑁𝑥𝜙(216)
2
=
216(72)
2
= 7776
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 216 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑒𝑠
= 23436 − 7776 = 15660
෍𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟏𝟓𝟔𝟔𝟎 = 𝟏𝟖
70
Problema 28
Resolución
Sea N el menor entero positivo tal que la suma de todos los números
menores y PESI con dicho número sea 10 veces N. Dar como respuesta
la suma de las cifras de N.
A) 6 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Suma de todos los números naturales menores que N y PESI con 𝑵𝒎𝒊𝒏 =10*N
Luego =2; a=5; 
Así se tiene N=𝑎𝛼 × 𝑏𝛽…
Luego la suma de cifras de N es: 7 Rpta: D
𝑵×𝝓(𝑵)
𝟐
= 10*N
𝝓(𝑵)=𝑎𝛼−1 𝑎 − 1 𝑏𝛽−1 𝑏 − 1 …=52−1 ×(5-1)
=20
𝝓(𝑵)= 20
N=52 =25 
71
Problema 29
Resolución
El número N tiene solo 2 factores primos, tiene 15 divisores. ¿Cuántos
divisores cuadrados perfectos tiene N?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
Sea N=a*b
CD(N)=(+1)(+1)=15=3*5
+1=3; +1=5
=2; =4
N = a2 × b4…(DC)
1
𝑏2
𝑏4
1
𝑎2
Divisores 
cuadrados 
perfectos
𝐶𝐷 𝑁 = 2 × 3 = 𝟔
𝑘2
Rpta: A
Nos piden la 𝐶𝐷 de 𝑁 que
son cuadrados perfectos
72
Problema 30
Resolución
N=23x 57 x 11n, se sabe que N tiene 124 divisores compuestos. Determine
la suma de las cifras de la cantidad de divisores de N que son múltiplos de
55.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 18
N= 23*57*11n 
Sea N el número
CD(N)= (3+1)(7+1)(n+1)=
1+3+124=128
4*8*(n+1)=128
n=3 
Divisores múltiplos de 55: 
𝑁
55
=23*56*112
Cantidad de Divisores de N que ሶ55
=(3+1)(6+1)(2+1)=84
Suma de cifras de cantidad de divisores 
N que son ሶ55=12 
Rpta: C