Copia de SEMANA 9 COMBINATORIO PRE_2021-2 - Patricia Torres

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1
TEMA
ANÁLISIS COMBINATORIO
2021-2
9
PREUNIVERSITARIO
2
Extendió las ideas de Pascal, en 1671,
creó un “Staffelwalze”, un dispositivo
que ejecutaba operaciones aritméticas
básicas y raíces cuadradas; estos
dispositivos fueron los antepasados de
las computadoras actuales.
El origen de los problemas de
conteo o “teoría combinatoria”
se relaciona con los juegos de
azar, más concretamente, con
los juegos de cartas y dados
(Pascal y Fermat).
GOTTFRIED LEIBNIZ
Historia del Análisis Combinatorio
3
CUADRADOS MÁGICOS
El cuadrado mágico
pertenece a un grabado en
cobre titulado “Melancolía”
del artista alemán Alberto
Durero, en el que existen
diferentes combinaciones
de cuatro números cuya
suma es 34 y muchas
combinaciones mágicas.
Un cuadrado mágico de
orden 𝒏 , es un tablero
cuadrado de 𝒏 columnas
y 𝒏 filas,, de modo que
sea constante la suma de
los números de cualquier
fila, cualquier columna y
cualquiera de las
diagonales.
4
4
ANÁLISIS COMBINATORIO 
EN LA ACTUALIDAD
El Análisis combinatorio está presente en el
estudio de moléculas orgánicas, así como
en el estudio de epidemias y diseño de
experimentos; en economía está presente
en problemas de transporte, asignación de
tareas, almacenamiento y distribución, etc.
El sistema de transporte en el Perú, al pasar
los años, el parque automotor se incrementa y
por ello se crea nuevas placas, aumentando
dígitos o letras.
5
ANÁLISIS COMBINATORIO
Es una parte de las matemáticas que estudia las diversas maneras de
realizar ordenamientos o agrupaciones con todos o parte de los elementos
(números, letras u objetos) de un conjunto dado; los cuales se diferencian
entre sí, por el orden de ubicación de los elementos.
6
Principios Fundamentales
1. Principio de la Multiplicación
Si el evento A se realiza de p formas diferentes y para cada una de estas
formas existe un segundo evento B que se puede realizar de q formas
diferentes, entonces la realización del evento A y B esto es, ocurren
simultáneamente o uno a continuación de otro, se podrá hacer de: p . q
formas.
EJEMPLO 1:
Edwin tiene dos sacos diferentes
y tres corbatas diferentes. ¿De
cuántas maneras distintas se
puede vestir con estas prendas?
RESOLUCIÓN:
Edwin se puede vestir de 6 maneras distintas
1° FORMA: 
Por el diagrama
del árbol
7
2° FORMA: 
N° DE SACOS N° DE CORBATAS
𝟐 𝟑N° DE MANERAS = X = 𝟔
EJEMPLO 2:
¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de
dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras
del alfabeto)
RESOLUCIÓN: Letras Dígitos
x x x x = 𝟒𝟔𝟖 𝟎𝟎𝟎# PLACAS = 𝟖𝟗𝟏𝟎𝟐𝟓𝟐𝟔
Por el principio de la multiplicación:
8
Si un evento A se puede realizar de p formas diferentes y un segundo evento
B se puede realizar de q formas diferentes, además no es posible realizar los
dos eventos a la vez (𝑨 ∩ 𝑩 = ∅), entonces la realización del evento A o B
(ocurre solo uno de los eventos) se podrá hacer de: p + q formas.
2. Principio de la Adición
EJEMPLO 3:
Un parabrisas delantero de automóvil HONDA se vende en 9 tiendas de San Borja
y en 7 tiendas de Surco. ¿De cuántas maneras se puede adquirir dicho
parabrisas? RESOLUCIÓN:
Por el principio de la adición: San Borja o Surco
N° DE MANERAS = 𝟗 𝟕+ = 𝟏𝟔
Se puede adquirir de 𝟏𝟔 maneras 
9
APLICACIÓN 1
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de 𝐴 hacía 𝐶?
1) No pasando por 𝐵
2
Número de formas diferentes de viajar de 𝐴 hacía 𝐶 : 
Respuesta: 22
Analicemos dos casos:
2) Pasando por 𝐵
4 × 5
22
10
APLICACIÓN 2
RESOLUCIÓN
# Maneras 
diferentes 
Número de 
maneras diferentes 
de cambiar la clave Respuesta: 255
Miguel desea abrir una cuenta sueldo en el banco ABC, para completar su
pedido debe cambiar la clave de 4 dígitos otorgada por el banco, ¿de cuántas
maneras diferentes podrá cambiar su clave?. Considere que las claves se
generan de los dígitos 0,1,2,3.
1° 𝑫í𝒈𝒊𝒕𝒐 2° 𝑫í𝒈𝒊𝒕𝒐 3° 𝑫í𝒈𝒊𝒕𝒐 4° 𝑫í𝒈𝒊𝒕𝒐
𝟒 𝟒 𝟒 𝟒x x x
= 𝟐𝟓𝟔
=
= 𝟐𝟓𝟓
11
Factorial de un número
Sea n un número entero positivo, se define el factorial de n, como el
producto de todos los números enteros consecutivos desde 1 hasta n,
este producto se denota por n!.
EJEMPLO 4:
𝒏! = 1 × 2 × 3 × ⋯× 𝒏 , 𝒏 ∈ ℤ+
Convencionalmente: 𝟎! = 𝟏
entonces: 𝒏! = (𝒏 − 𝟏)! × 𝒏
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
𝟒!
𝟓! = 𝟒! × 𝟓
Observación: 𝟏! = 𝟏Además: 𝟖! = 𝟕! × 𝟖
𝟖! = 𝟔! × 𝟕 × 𝟖
𝟖! = 𝟓! × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖
12
MÉTODOS DE AGRUPACIÓN
PERMUTACIÓN
Forma grupos
ordenados, es
decir, interesa el
orden de los
elementos
COMBINACIÓN
Forma grupos
donde NO
interesa el orden
de los elementos
.
PERMUTACIÓN 
CIRCULAR
(Los elementos 
son diferentes)
PERMUTACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
REPETIDOS
COMBINACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
DIFERENTES
COMBINACIÓN 
LINEAL CON 
REPETICIÓN DE 
ELEMENTOS
PERMUTACIÓN 
LINEAL CON 
ELEMENTOS 
DIFERENTES
13
1. Permutación lineal con elementos diferentes
Sea el conjunto: {a, b, c }Método 1: . Los arreglos pueden ser: ab, ba, ac, ca, bc, cb
Método 2: (principio de multiplicación)
# Arreglos = 3 x 2 = 6
Método 3: Por fórmula
Determine los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con
las letras: a, b y c , tomadas de dos en dos.
EJEMPLO:
RESOLUCIÓN:
También se le conoce como variación. El número de permutaciones de
𝒏 objetos diferentes tomados en grupos de 𝒌 elementos, donde: 𝒌 ≤ 𝒏,
está dado por:
𝑃
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒏 − 𝒌 ! donde: 𝒏 ; 𝒌 ∈ ℕ
Número de arreglos = 6
𝑃𝟐 =
𝟑!
𝟑 − 𝟐 !
= 𝟔
𝟑
se lee: permutación de n elementos tomados de k en k
𝑃(𝒏, 𝒌)=
14
APLICACIÓN 3
¿De cuántas maneras diferentes 5 personas pueden viajar en un
automóvil con 5 asientos, si solo dos de ellos pueden conducir?
RESOLUCIÓN
Empezamos con la posición más
restringida que es el asiento del
conductor ya que solo 2 personas
pueden ocupar el asiento del
conductor:
N° de maneras
diferentes de viajar:
𝟐 x 
Respuesta: 48
𝟏° 2°
Asiento del conductor
𝟑° 𝟒° 𝟓°
𝑃4
4
= 2 ×
𝟒!
𝟒 − 𝟒 !
= 𝟒𝟖
15
OBSERVACIÓN:
Si consideramos 𝒌 = 𝒏, es decir, la permutación de los 𝒏 elementos, (tomados
todos a la vez) es:
EJEMPLO 5:
𝑷(𝒏) = 𝒏!
Un padre tiene 3 hijos: Hugo, Luis y Saúl ¿De cuántas maneras distintas,
temprano en las mañanas puede llamar a sus hijos nombrándolos uno por uno
para que se despierten?
RESOLUCIÓN:
Las permutaciones son:HLS, HSL, LSH, LHS, SHL, SLH 6 maneras
También: 𝑷(𝟑) = 𝟑! = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 = 𝟔
Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por el orden de sus elementos.
𝑃
𝒏
𝒏
=
16
APLICACIÓN 4
Se tiene 3 libros de Aritmética, 2 de Álgebra y 2 de Geometría, todos
diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse en un
estante, si los libros de Aritmética siempre deben estar juntos?.
RESOLUCIÓN
Si los 3 libros de Arimética deben están juntas, tenemos 5 elementos en permutación 
lineal.
𝟐𝟏 𝟑 𝟓𝟒
Además del grupo de libros de Arimética que deben estar juntos, tenemos 3
elementos en permutación lineal.
(permutación 
lineal de 5) 
(permutación 
lineal de 3) N°de
maneras = 𝑷(𝟓) x 𝑷(𝟑) = 𝟓! x 𝟑! = 𝟏𝟐𝟎 x 𝟔
Respuesta: 720
y
A A A
17
Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de
una permutación con repetición:
2. Permutación lineal con elementos repetidos
El número de permutaciones distintas de n elementos (tomando todos) en donde
hay n1 objetos iguales entre si de un tipo; otros n2 objetos iguales entre si de un
segundo tipo y así sucesivamente; está dado por la siguiente relación:
𝑃𝑅
𝒏
𝒏𝟏, 𝒏𝟐, 𝒏𝟑, … , 𝒏𝒌
=
𝒏!
𝒏𝟏! × 𝒏𝟐 ! × …× 𝒏𝒌!
donde:
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + 𝒏𝟑 +⋯+ 𝒏𝒌 = 𝒏
EJEMPLO 8: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
RESOLUCIÓN:
𝟑, 𝟐, 𝟏, 𝟏
𝑃𝑅𝟕 =
𝟕!
𝟑! × 𝟐! × 𝟏! × 𝟏!
=
𝟑! × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕
𝟑! × 𝟐 × 𝟏 × 𝟏
= 𝟒𝟐𝟎
1° FORMA: 
18
2° FORMA: Veamos la deducciónde la fórmula, considerando: 
𝟐𝟏 𝟐 𝟑𝟏
Con las marcas son figuras diferentes, se tiene una permutación lineal: 𝟕! = 𝟓𝟎𝟒𝟎
Veamos las doce permutaciones siguientes:
𝟐𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐𝟏 𝟑 𝟐 𝟏
𝟐𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐𝟐 𝟑 𝟏 𝟏
𝟐𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝟑 𝟐 𝟏 𝟏
𝟏𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟏 𝟑 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 𝟏 𝟐
𝟏𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏 𝟐
Si retiramos
las marcas, se
tiene el mismo
ordenamiento.
𝟏𝟐 = 𝟑! × 𝟐!
#maneras
de ordenar
los círculos
#maneras de
ordenar los
cuadrados
Esto es cierto para cada una de las otras
posiciones posibles de dichas figuras
#maneras =
𝟕!
𝟑! × 𝟐!
=
𝟓𝟎𝟒𝟎
𝟏𝟐
= 𝟒𝟐𝟎
19
APLICACIÓN 5
Si un test psicológico consta de 10 preguntas que deben ser respondidas
con V o F. ¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar con 3V y
5F?. Sabiendo que sólo dos preguntas no fueron contestadas.
RESOLUCIÓN:
Como dos preguntas no fueron contestadas se puede identificar por la letra N dichas
preguntas. Por ejemplo:
Significa que el test fue contestado con V las primeras 3 preguntas, luego las preguntas 
desde 4 hasta la 8 fueron contestadas con F y las 2 últimas no fueron contestadas
= = 𝟐 𝟓𝟐𝟎
Número de maneras
diferentes de responder
con dichas condiciones
Por tanto, se debe permutar 10 elementos, de los cuales hay 3 V, 5 F y 2 N
𝟑, 𝟓, 𝟐
𝑃𝑅𝟏𝟎 = 𝟏𝟎!
𝟑! × 𝟓! × 𝟐!
V V V F F F F F N N
Respuesta: 2 520
20
3. Permutación circular
Son agrupaciones o arreglos formando una línea cerrada, donde no hay 
primer ni último elemento. Dos permutaciones circulares son diferentes 
entre sí cuando uno de ellos no resulta de una rotación del otro.
Estos elementos
se ordenarán
respecto al
elemento fijo.
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse 5 personas alrededor de
una mesa circular?
Ordenar 4 elementos: 
𝑷𝑪𝒏El número de permutaciones circulares diferentes de n elementos es: = 𝒏 − 1 !
EJEMPLO 8:
RESOLUCIÓN:
Tomamos este
elemento como
referencial
(posición fija).
𝑷(𝟒) = 𝟒! = 𝟐𝟒
Método 2:Método 1:
Utilizando la fórmula:
= 𝟓 − 𝟏 ! = 𝟒! = 𝟐𝟒𝑷𝑪𝟓
21
APLICACIÓN 6
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 9 personas alrededor 
de una fogata, si 3 de ellos desean estar juntos?
Permutació
n circular de
7 elementos
Permutación de las
personas que desean
estar juntas
# Maneras diferentes de 
ubicarse las 9 personas 
con dichas condiciones 
x 3!𝑷𝑪𝟕
RESOLUCIÓN
:
= 𝟔! × 𝟑!
= 𝟒𝟑𝟐𝟎
Fogata
Consideramos a las 3 personas que desean estar juntas
como si fuese un solo elemento
Se tiene 7 elementos que deben permutar
alrededor de la fogata y las 3 personas que están
juntas que también pueden permutar entre ellas
Respuesta: 4 320
=
22
COMBINACIÓN
Son los diferentes arreglos de k elementos que se pueden formar con los n
elementos de un conjunto determinado, se debe tener en cuenta que al formar los
arreglos no interesa el orden de ubicación de los elementos.
NOTACIÓN:
𝒏
𝒌
o 𝐶𝒌
𝒏
se lee: combinación de n elementos tomados de k en k
𝐶
𝒌
𝒏El número de combinaciones de 𝒏 objetos diferentes
tomados en grupos de 𝒌 elementos, donde: 𝒌 ≤ 𝒏, está
dado por:
=
𝒏!
𝒌! × 𝒏 − 𝒌 !
Una señora tiene 3 frutas : fresa, piña y manzana. ¿Cuántos sabores diferentes
de jugo podrá preparar con estas frutas ?
Empleando combinaciones
pues no interesa el orden
de la elección de la fruta
# de jugos =
diferentes 
Jugo de 
una fruta
Jugo de 
dos frutas
Jugo de 
tres frutas
ó ó
EJEMPLO 9:
RESOLUCIÓN:
𝐶
𝟑
𝟏
𝐶
𝟑
𝟑
𝐶
𝟑
𝟐
= 𝟕++ =
𝟑!
𝟏!×𝟐!
+ 
𝟑!
𝟐!×𝟏!
+ 
𝟑!
𝟑!×𝟎!
𝐶(𝒏, 𝒌) =
23
APLICACIÓN 7
Con 8 puntos no colineales.
a) ¿Cuántos segmentos diferentes se pueden formar?.
b) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar?.
RESOLUCIÓN:
a) Número de 
segmentos diferentes:
𝐶
2
𝟖
=
𝟖!
𝟔! × 𝟐!
Como un segmento se genera al unir dos vértices
y un triángulo al unir tres vértices, por ejemplo:
Luego:
= 𝟐𝟖
b) Número de 
triángulos diferentes: 𝐶 3
𝟖
=
𝟖!
𝟓! × 𝟑!
= 𝟓𝟔
Respuesta: 28 y 56
24
Combinación con repetición de elementos
. Se consideran “n” elementos diferentes.
. Se formará grupos de “k” elementos donde no interesa el orden de ellos.
. En el grupo se puede repetir un mismo elemento; es decir, en un determinado grupo,
un elemento puede aparecer varias veces.
En dichas condiciones, el número 
de combinaciones está dada por:
𝒏 + 𝒌 − 𝟏𝐶
𝒌
𝒏𝐶𝑅
𝒌
=
Entonces decimos que cada grupo es una combinación con repetición de estos 4 elementos 
formando grupos de 3.
(a,a,a); (a,a,b); (a,a,c); (a,a,d); (a,b,b); (a,b,c); (a,b,d); (a,c,c); (a,c,d); (a,d,d);
(b,b,b); (b,b,c); (b,b,d); (b,c,c); (b,c,d); (b,d,d); (c,c,c); (c,c,d); (c,d,d); (d,d,d)
Utilizando la fórmula:
EJEMPLO 10:
𝟒 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
𝟒
𝐶𝑅
𝟑
=
𝟔
𝐶 𝟑= =
𝟔!
𝟑! × 𝟑!
= 𝟐𝟎
𝟐𝟎
combinaciones
donde: 𝒌 < 𝒏 ; 𝒌 = 𝒏
ó 𝒌 > 𝒏
Si tenemos 4 objetos {a, b, c, d}, podemos formar grupos de 3 de ellos, donde se pueden 
repetir los elementos de un mismo grupo, como por ejemplo: (a, a, b); (a, a, a); …
25
Una heladería prepara copas de helados con 3 bolas de helado elegidas de entre 8
sabores diferentes. ¿Cuántas copas distintas pueden preparar si las 3 bolas
pueden tener sabores repetidos?
APLICACIÓN 8
RESOLUCIÓN:
APLICACIÓN 9
RESOLUCIÓN:
𝟖 + 𝟑 − 𝟏
𝐶
𝟑
𝟖
𝐶𝑅
𝟑
=
𝟏𝟎
𝐶 𝟑= =
𝟏𝟎!
𝟑! × 𝟕!
Entramos en una pastelería a comprar 5 pasteles y vemos que tienen pasteles de
4 tipos. ¿De cuántas formas diferentes se podría hacer la compra?
=
𝟕! × 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎
𝟔 × 𝟕!
= 𝟏𝟐𝟎
𝟒 + 𝟓 − 𝟏
𝐶
𝟓
𝟒
𝐶𝑅
𝟓
=
𝟖
𝐶 𝟓= =
𝟖!
𝟓! × 𝟑!
=
𝟓! × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖
𝟓! × 𝟔
= 𝟓𝟔
26
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
Sean: 𝒏 ∈ ℤ+, 𝒌 ∈ ℤ+ ∪ {𝟎}, 𝒏 ≥ 𝒌
1. Igualdad de números combinatorios
Si: =
𝒏
𝐶
𝒌
𝒎
𝐶 𝒓 𝑖 𝒎 = 𝒏 ∧ 𝒌 = 𝒓 𝑖𝑖 𝒎 = 𝒏 = 𝒌 + 𝒓ó
2. Combinatorios complementarios
Ejemplo:
Ejemplo:
=
𝒏
𝐶
𝒌
𝒏
𝐶𝒏 − 𝒌 =
12
𝐶5
12
𝐶12 − 5
12
𝐶 7=
3. Suma de combinatorios
𝒏
𝐶 𝒌
𝒏
𝐶𝒌 + 𝟏
𝒏 + 𝟏
𝐶 𝒌 + 𝟏
9
𝐶 2
9
𝐶
3
10
𝐶
3
=+ =+
OBSERVACIÓN:
𝒏
𝐶 𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌 − 𝟏
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌+=
9
𝐶 5
8
𝐶
4
8
𝐶
5
+=Ejemplo:
27
Disminución de ambos índices:
Ejemplo:
4. Disminución de índices
𝒏
𝐶𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌 − 𝟏=
𝒏
𝒌
8
𝐶5 =
8
5
7
𝐶4
Ejemplo:
Disminución de índice superior:
Disminución de índice inferior:
Ejemplo:
𝒏
𝐶𝒌
𝒏 − 𝟏
𝐶𝒌=
𝒏
𝒏 − 𝒌
17
𝐶6
17 − 1
𝐶6
16
𝐶6=
17
17 − 6
=
17
11
𝒏
𝐶𝒌
𝒏
𝐶𝒌 − 𝟏=
𝒏 − 𝒌 + 𝟏
𝒌
10
𝐶4
10
𝐶4 − 1
10
𝐶3=
10 − 4 + 1
4
=
7
4
Resultados Notables:
𝒏
𝐶𝟎
𝒏
𝐶𝒏= = 𝟏
𝒏
𝐶𝟏
𝒏
𝐶𝒏 − 𝟏= = 𝒏
𝒏
𝐶𝟐
𝒏
𝐶𝒏 − 𝟐= =
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
28
5. Binomio de Newton
Ejemplo:
𝒂 + 𝒃 𝒏 = ෍
𝒌=𝟎
𝒏
𝒂𝒌𝒃𝒏−𝒌
𝒏
𝒌
𝒏 ∈ ℤ+, 𝒌 ∈ ℤ+ ∪ {𝟎}, 𝒏 ≥ 𝒌
𝒏
𝟎
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
𝒏
𝟑
𝒏
𝒏
𝒏
𝒌
𝒏
𝒌
+⋯+ 𝒏
+⋯+ (−𝟏)𝒏 = 𝟎
+
=
+ +⋯++ = ෍
𝑘=0
𝑛
1𝑘1𝑛−𝑘 == ෍
𝑘=0
𝑛
𝟏 + 𝟏 𝒏 = 𝟐𝒏
PROPIEDADES
෍
𝒌=𝟎
𝒏
𝒏
𝟑
𝒏
𝒌
𝒏
𝟎
𝒏
𝟏
𝒏
𝟐
𝒏
𝟑
𝒏
𝒏
+ + +⋯++ = 𝟐𝒏
෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝒌
𝒏
𝒌
+ 𝟑+ 𝟐=
𝒏
𝟐
𝒏
𝒏
𝒏
𝟏 = 𝒏 . 𝟐
𝒏−𝟏
𝒏
𝒏
෍
𝒌=𝟎
𝒏
(−𝟏)𝒌
𝒏
𝒌
𝒏
𝟑
−+−
𝒏
𝟐
𝒏
𝟏
=
𝒏
𝟎
29
APLICACIÓN 10
RESOLUCIÓN:
Para buscar una vacuna contra el COVID-19 se encuentran 4 neumólogos, 3
infectólogos y 6 microbiólogos. ¿Cuántas comisiones de profesionales pueden
formarse si cada una debe tener al menos uno de cada especialidad?
POR LO MENOS UNO POR LO MENOS UNO POR LO MENOS UNO
𝑪𝟏
𝟑 + 𝑪𝟐
𝟑 + 𝑪𝟑
𝟑
= 𝟐𝟑 − 𝑪𝟎
𝟑 = 𝟕
𝑪𝟏
𝟒 + 𝑪𝟐
𝟒 +⋯+ 𝑪𝟒
𝟒
= 𝟐𝟒 − 𝑪𝟎
𝟒 = 𝟏𝟓
𝑪𝟏
𝟔 + 𝑪𝟐
𝟔 +⋯+ 𝑪𝟔
𝟔
= 𝟐𝟔 − 𝑪𝟎
𝟔 = 𝟔𝟑
LUEGO: N = (15)(7)(63) = 6615
Respuesta: 6 615
A
30
PROBLEMAS DE
ANÁLISIS COMBINATORIO
2021-2
9
PREUNIVERSITARIO
31
Problema 1
RESOLUCIÓN:
Una empresa desea distribuir 15 mascarillas KN95 a 3 familias de bajos
recursos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo de modo que
cada familia tenga al menos dos mascarillas?
A) 50 B) 55 C) 60 D) 64 E) 76
De las 15 MascarillasKN - 95, primero repartimos 2 a cada familia.
Los que quedan se puede repartir de cualquier manera a las familias:
Por ejemplo: 
11 elementos de donde 9 son Mascarillas y 
2 son separadores que generan 3 grupos 
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 𝑃9; 2
11 =
11!
9! 𝑥 2!
=
11 𝑥 10
2
= 𝟓𝟓
Clave B
32
Problema 2
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dos torres de distinto 
color en un tablero de ajedrez, de modo que estas no se ataquen?
A) 512 B) 1024 C) 2048 D) 3136 E) 4032 
Clave D
# 𝐶𝑎𝑠𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟𝑜𝑠 = 8 𝑥 8 = 64
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 =
1° 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒 y 2° 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑒
64 𝑥 (64 − 15)
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 𝟑 𝟏𝟑𝟔
33
Problema 3
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes 5 personas: A; B; C; D y E pueden hacer
cola para ingresar al banco, si C debe estar antes que E?
A) 48 B) 60 C) 80 D) 120 E) 160
C 4 𝑥 𝑃3
3 = 24
𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒: 𝐸 y El resto
C 3 𝑥 𝑃3
3 = 18
C 2 𝑥 𝑃3
3 = 12
C 1 𝑥 𝑃3
3 = 6
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 𝟔𝟎
Clave B
34
Problema 4
RESOLUCIÓN:
Una empresa de informática diseña un test psicológico de 10
preguntas para sus trabajadores con alternativas: Siempre,
Algunas veces, Nunca. ¿De cuántas maneras diferentes se
puede contestar sólo 8 preguntas?
# 𝑃𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 = 10
# 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 = 3
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 𝐶8
10
𝐸𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟 8
𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠
y 𝑂𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎
𝑥 (3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 )
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 45 𝑥 38 = 𝟐𝟗𝟓 𝟐𝟒𝟓 Clave A
A) 295 245 B) 286 635 C) 257 224 D) 232 545 E) 204 192
35
Problema 5
RESOLUCIÓN:
Un grupo formado por 8 personas se presta a iniciar un juego de mesa, con
la condición de que dos personas siempre estén juntas ya que una de ellas
recién está aprendiendo a jugar; y otras dos no pueden estar juntas porque
pueden hacer trampa. ¿de cuántas maneras diferentes se podrán acomodar
en forma circular para empezar el juego?
A) 320 B) 420 C) 650 D) 960 E) 1 435
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 6! 𝑥 2
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 =
[ 𝑃7
𝐶 𝑥 2]
= 𝟗𝟔𝟎
Clave D
Condición: ubicación circular
2 juntos y 6 
restantes
2 grupos de 2 juntos 
y 4 restantes
−
# 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = − [ 𝑃6
𝐶 𝑥 2 𝑥 2]
− 5! 𝑥 2 𝑥 2
A
B
C
D
E
F
G
H
36
Problema 6
¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir 15 bolillas idénticas
en 3 cajas de modo que cada caja tenga al menos dos bolillas?
A) 45 B) 55 C) 65 D) 72 E) 84
RESOLUCIÓN:
Primero colocamos 2 bolillas en cada caja
Quedan 9 bolillas para distribuir en 3 cajas
Cada distribución diferente es una 
permutación de 9 bolas iguales y 2 
flechas iguales 
Número de maneras diferentes: N
𝑁 = 𝑃9,2
11 =
11!
9! 2!
𝑁 =
9! 10 11
9! 2!
𝑵 = 𝟓𝟓
CLAVE B
37
Problema 7
RESOLUCIÓN:
¿Cuántas ternas diferentes (𝑥, 𝑦, 𝑧) cumplen con la condición:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12, tal que 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ ∩ 0,9
A) 70 B) 72 C) 73 D) 80 E) 81
Son ternas ordenadas: (x ; y ; z)
Suman 12 unidades:
X = 3 Y = 4 Z = 5
Cada terna diferente es una 
permutación de 12unidades iguales 
y 2 signos (+) iguales. 
𝑁 = 𝑃12,2
14 =
14!
12! 2!
= 91=
14 × 13
2
ningún valor debe ser mayor que 9
12, 0, 0
11, 1, 0
10, 1, 1 
10, 2, 0 
3 ternas
6 ternas
3 ternas
6 ternas
18 ternas 
excluidas
Son: (91 – 18) ternas = 73 ternas
CLAVE C
38
Problema 8
De un grupo de 8 varones y 6 mujeres se requiere formar un comité mixto de
5 personas, con al menos 2 mujeres, Calcule la cantidad de maneras en que
se puede formar el comité.
A) 1 526 B) 1 520 C) 3 040 D) 56 E) 9 120
RESOLUCIÓN:
Sean los grupos
2 damas de 63 varones de 8
3 damas de 62 varones de 8
4 damas de 61 varón de 8
La cantidad de grupos mixtos: N
𝑁 = 𝐶3
8𝐶2
6 + 𝐶2
8𝐶3
6 + 𝐶1
8𝐶4
6
𝐶3
8𝐶2
6 =
8 × 7 × 6
6
6 × 5
2
= 840
𝐶2
8𝐶3
6 =
8 × 7
2
6 × 5 × 4
6
= 560
𝐶1
8𝐶4
6 = 8
6 × 5 × 4 × 3
24
= 120
𝑁 = 840 + 560 + 120= 1520
CLAVE B
39
Problema 9
En una heladería se venden helados de 4 sabores; 5 hermanos compran
uno cada uno, y luego se ubican alrededor de una mesa circular donde el
menor y el mayor siempre están juntos, ¿de cuántas maneras pueden
sentarse?
A) 12 288 B) 24 576 C) 36 930 D) 38 282 E) 42 828
RESOLUCIÓN: c/u escoge un sabor 
H1 H2 H3 H4 H5 
N1 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 
Y a continuación se sientan
N2 = (4 -1)!(2!) 
N2 = 3! (2)=12
eventos uno a 
continuación 
de otro
N= 1024(12)
N= 12 288
CLAVE A
40
40
Problema 11
Resolución
Si colocamos 8 esferas en 5 urnas. 
A)¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar, si las esferas son del mismo 
color?
B)¿Y si cada esfera es de un color diferente?
C)¿Y si las esferas son del mismo color, con la condición de que ninguna urna quede 
vacía?
Dar como respuesta la suma de cifras del total de los resultados obtenidos en las 
partes A; B y C
A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 28
, 
CLAVE D
𝐀) 𝐄𝟏 𝐄𝟐 … 𝐄𝟕 𝐄𝟖
𝐔𝟏 𝐔𝟏 … 𝐔𝟏 𝐔𝟏
𝐔𝟐 𝐔𝟐 … 𝐔𝟐 𝐔𝟐
. . .
𝐔𝟓 𝐔𝟓 … 𝐔𝟓 𝐔𝟓
𝟓 ∗ 𝟓 . . . 𝟓 ∗ 𝟓 = 𝟓𝟖
𝐁) 𝟓𝟖
𝐂) 𝟓𝟖 − 𝟓 − 𝟒 − 𝟑 − 𝟐 − 𝟏
Respuesta: 1171860
41
IDA VUELTA # maneras
Problema 12
RESOLUCIÓN:
¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de 𝐴 hacía 𝐶 ida y
vuelta si al volver, no se debe usar los caminos que se usó en la ida?
A) 136 B) 150 C) 178 D) 240 E) 322
Total: 322DIRECTO (D)
D E 2 * 5*4
D D 2 * 1
E E 4*5 * 4*3
E D 4*5 * 2 
CLAVE E
Pasando por B 
Con escala (E)
40
2
240
40
42
42
Problema 13
Resolución
Sea el conjunto:
A={x ∈ Z / 𝒙𝟐 < 26}. Si elegimos 5 elementos del conjunto A , ¿de cuántas formas el 
producto resulta ser negativo?
A) 126 B) 180 C) 210 D) 250 E) 462
, 
CLAVE A𝑪𝟏
𝟓𝑪𝟒
𝟓 + 𝑪𝟑
𝟓𝑪𝟐
𝟓 + 𝑪𝟓
𝟓 = 𝟓 ∗ 𝟓 + 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎 + 𝟏 = 126
-5, -4. -3. -2. -1, 1, 2, 3, 4, 5 
𝟏 𝟒
𝟑 𝟐
𝟓 𝟎
43
43
Problema 14
Resolución
Una persona para obtener un ingreso adicional, alquila las 7 habitaciones de su casa: 
4 en el primer piso y 3 en el segundo piso. Llegan 5 huéspedes: A, B, C, D, y E. A no 
acepta alojarse en una habitación del segundo piso; B, C no aceptan ir a una 
habitación del primer piso; D, E no tienen preferencias. ¿De cuántas maneras 
diferentes los 5 huéspedes pueden ser distribuidos en las 7 habitaciones del hotel?
A) 288 B) 336 C) 504 D) 1 008 E) 2 520
, 
CLAVE A 
HABITACIONES
21 22 23
11 12 13 14
Ubicamos al huésped A 𝑪𝟏
𝟒
Ubicamos a B y C 𝑪𝟐
𝟑 ∗ 𝟐
Ubicamos a D y E 𝑪𝟐
𝟒 ∗ 𝟐
Respuesta: 4 * 6 * 12 = 288
44
44
Sabiendo que:
Problema 15
Determine el valor de (𝑨. 𝑩)
𝟏
𝒏
RESOLUCIÓN:
A) 48 B) 50 C) 54
D) 63 E) 72
𝑨 = 𝟔 + 𝟏 𝒏 = 𝟕 𝒏
B= 𝟖 + 𝟏 𝒏 = 𝟗 𝒏
𝑨𝑩
𝟏
𝒏 =
𝒏
𝟕 × 𝟗 𝒏 = 𝟔𝟑
CLAVE D
45
45
¿De cuántas maneras diferentes se puede distribuir 10
monedas de diferente valor en dos bolsas diferentes, de
manera que haya por lo menos una moneda en cada bolsa?
A) 126 B) 256 C) 510 D) 1 022 E) 1056
RESOLUCIÓN: Debe haber por lo menos
una moneda en cada bolsa
Cada moneda tiene 2 
posibilidades 
ൣ 𝟐 𝟐 … ]𝟐 − 𝟐
= 𝟐𝟏𝟎 − 𝟐 = 𝟏𝟎𝟐𝟐
Problema 16
Respuesta: 1 022
46
46
¿Cuántas ternas (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) de números enteros cumplen:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 17,
con 𝑥1 ≥ −2, 𝑥2 ≥ 3, 𝑥3 ≥ 0
A) 144 B) 153 C) 170 D) 210 E) 285
RESOLUCIÓN:
Problema 17
Para 𝒙𝟐 = 𝟑 → 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟒 ; 𝒙𝟏 = −𝟐 ;−𝟏 ; 𝟎;… ; 𝟏𝟒
Para 𝒙𝟐 = 𝟒 → 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 = 𝟏𝟑 ; 𝒙𝟏 = −𝟐 ;−𝟏 ; 𝟎;… ; 𝟏𝟑
17 VALORES
18 VALORES
Para 𝒙𝟐 = 𝟏𝟓 → 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 = 𝟐 ; 𝒙𝟏 = −𝟐 ;−𝟏 ; 𝟎, 𝟏, 𝟐 5 VALORES
Para 𝒙𝟐 = 𝟏𝟗 → 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 = −𝟐 ; 𝒙𝟏 = −𝟐
1 VALOR
… …
… …
TOTAL : 153
𝟏𝟕 . 𝟏𝟖
𝟐
Respuesta: 153
47
47
Problema 18
Veinte escolares asisten al centro recreacional Huampaní, los cuales llevan
celular, cámara o ambos. Se sabe que 5 escolares llevan ambos accesorios y
la proporción de escolares con solo cámara es a los escolares con solo
celulares como 1 es a 2. Se forman grupos de 5 estudiantes para competir en
diversos juegos. ¿De cuántas maneras se pueden formar los grupos que
tengan un accesoriosolamente del mismo tipo?
RESOLUCIÓN:
A) 250 B) 251 C) 252 D) 253 E) 254
5
cámara celular
k 2k
𝒌 + 𝟓 + 𝟐𝒌 = 𝟐𝟎
𝒌 = 𝟓
𝑪𝟓
𝟓 + 𝑪𝟓
𝟏𝟎 = 𝟏 + 𝟐𝟓𝟐
Total = 253
20 escolares
Respuesta: 253
48
CLAVE: D
Problema 19 
Resolución 
Se tiene 10 vacunas, de las cuales 3 se encuentran en mal estado. Si
se prueba una a continuación de otra y en la séptima prueba se logro
determinar la tercera vacuna en mal estado, ¿De cuantas formas se
pudieron haber hecho las pruebas?
A) 26 B) 18 C) 20 D) 15 E) 30
MM MB B B B
3ra en mal 
estado
Se deben permutar
PR 6
4;2
=
6!
4! × 2!
= 15
49
CLAVE: C
Problema 20 
Resolución 
De una promoción conformada por 56 estudiantes se reencuentran en
una reunión social la séptima parte de ellos. ¿Cuantos saludos de
mano se intercambian, si cada amigo estrecha la mano de todos los
demás solo una vez?
A) 21 B) 10 C) 28 D) 36 E) 20
Se reencuentran =
1
7
56 = 8 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜𝑠
Total de saludos de mano =
8
𝐶2 =
8!
2! × 6!
= 28
50CLAVE: D
Problema 21 
Resolución 
Tres clubes de Europa están interesados en los once jugadores del
equipo titular de la selección peruana de futbol participante en la última
copa américa, cada club debe tener en cuenta al menos un jugador de
la selección ¿De cuántas maneras podrán ser distribuidos los once
jugadores en los equipos europeos?
A) 336 B) 1 329 C) 5 940 D) 171 006 E) 40 320
Total de casos
Que vayan a 2 clubes 2
11 − 2 × 3
3 x 3 x 3 x … x 3
J1 J2 J3 … J11
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
…
…
…
C1
C2
C3
= 311
J1 J2 J3 … J11
C1
C2
C1
C2
C1
C2
…
…
C1
C2
2 x 2 x 2 x … x 2 - 2
C1C2, C1C3, C2C3
Que vayan a 1 club:3
# casos = 171 006
1
7
7
 1
4
7
6138
=177147 – 6138 - 3
51
CLAVE: D
Problema 22 
Resolución 
Se tiene 7 pares de guantes utilizables de 7 marcas diferentes. ¿De cuántas
maneras diferentes se puede seleccionar un par de guantes utilizables de
tal manera que los 2 guantes sean de marcas distintas?
A) 42 B) 49 C) 56 D) 84 E) 98
14 unidades
7 derechos
7 izquierdos
Nro. de maneras diferentes =
Elegimos cualquiera 
de las 14 unidades
14
Elegimos su par que no 
sea de la misma marca
6x = 84
52
En una empresa trabajan 3 economistas, 4 arquitectos y 5 ingenieros. ¿De
cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de profesionales si debe
haber por lo menos uno de cada especialidad?
A) 2825 B) 3125 C)3255 D) 4520 E)4096
Problema 23
RESOLUCIÓN:
3 Economistas 4 Arquitectos 5 Ingenieros
CLAVE C
Al menos un economista
3
1
+
3
2
+
3
3
4
1
+
4
2
+
4
3
+
4
4
Al menos un arquitecto
5
1
+
5
2
+
5
3
+
5
4
+
5
5
Al menos un ingeniero
𝟐𝟑 − 𝟏 = 𝟕 𝟐𝟒 − 𝟏 = 𝟏𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟑𝟏
Número de maneras diferentes = (7)(15)(31) = 3255
53
Problema 24
RESOLUCIÓN:
Se tiene un polígono regular de 30 lados, ¿cuántos triángulos podemos 
obtener uniendo tres vértices del polígono, si ningún lado del polígono 
debe ser un lado del triángulo?
A) 3200 B) 3250 C) 3280 D) 4030 E) 4060
El total de triángulos que se forman con 30 
vértices es: 𝐶3
30.
La cantidad de triángulos que se forman 
usando un lado ó dos lados del polígono de 
30 lados es: 30(27).
Luego: N = C3
30 − 30 27 = 3250
CLAVE B
CLAVE B
54
Problema 25
RESOLUCIÓN:
José es un compulsivo apostador en “Metegolazo.com” (sitio web de
apuestas deportivas). Para la fecha 12 del campeonato de la “LIGA UNO” de
los 10 partidos que se van a programar él decide apostar al azar en el
resultado final de cuatro partidos (gana local, gana visita o hay empates)
solo puede hacer una apuesta por cada partido seleccionado. Además, en
cada uno de estos partidos seleccionados, siempre apuesta por un equipo
ganador ¿Cuántas apuestas diferentes puede hacer José?
A) 3 200 B) 3 350 C) 3 360 D) 3 630 E) 3 800
Escoge 4 partidos de 10
Partido 1 Partido 2 Partido 3
GL
GV
GL
GV
GL
GV
𝑁 = 𝐶4
10 × 2 × 2 × 2 × 2
2 2 2
= 210 ×16 = 𝟑𝟑𝟔𝟎
Partido 4
GL
GV
2
CLAVE C 
55
Una bandera está formada por siete franjas las cuales deben ser
coloreadas con los colores azul, verde y rojo. Si cada franja debe tener un
solo color y no puede usar colores iguales a las franjas adyacentes. ¿De
cuántos modos se puede colorear la bandera?
A) 64 B) 96 C)128 D)140 E)192
Problema 26
RESOLUCIÓN:
Consideremos las posibles banderas de 7 franjas que se pueden formar:
FRANJAS:
3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Número de formas diferentes de colorear la bandera es: 𝟑(𝟔𝟒)= 192
1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°
CLAVE E
1.Cada franja toma 
uno de los 3 colores.
2. El color tomado
debe diferir del
adyacente.
3. Si la primera franja
toma un color, la franja
siguiente no puede
tomar el color del
anterior.
56
PROBLEMA N° 27
SOLUCIÓN
A) 60 B) 120 C) 180 D) 210 E) 240
Clave D
De cuantas maneras diferentes se puede ir de A hacia B, siempre 
avanzando y pasando por C
C
A
B
Camino de A a C: 
Se recorre 7 aristas: 5 horizontales y 2 verticales 𝑃2,5
7 =
7!
2!𝑥5!
= 21
Camino de C a B:
Se recorre 5 aristas: 3 horizontales y 2 verticales 𝑃2,3
5 =
5!
2!𝑥3!
= 10
# Formas = 21 x 10 = 210
57
Problema 28
RESOLUCIÓN:
Respuesta: 75
¿Cuántas matrices diferentes de orden 2 × 2 con elementos enteros no
negativos menores que 10 y determinante 40 existen?
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑏 = 40
5 8 0 0
6 7 2 1
7 7 3 3
7 8 8 2
6 8 4 2
6 8 8 1
𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑏 = 40
8 8 8 3
8 8 4 6
8 9 4 8
7 7 9 1
7 8 4 4
6 9 2 7
5 9 1 5
2
4
1
4
2
2
4
2
2
4
2
4
4
5 8 0 k 36
58
Problema 29 
RESOLUCIÓN:
Respuesta: 240
Cuatro amigos Raúl, Felipe, Pedro y Víctor visitan el Cuzco y encuentran 5
hoteles (A; B; C; D y E), para poder hospedarse, ¿de cuántas formas pueden
escoger sus hoteles, si Raúl no desea hospedarse en el hotel “E”, Víctor solo
prefiere los hoteles A; B y C y Pedro en un hotel distinto al de Víctor?
A) 108 B) 120 C) 240 D) 300 E) 360
Cada uno de los amigos elige un hotel:
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
E
𝟓 𝟒𝟒 𝟑x x xN° de maneras = = 𝟐𝟒𝟎 Clave C
59
Problema 30
RESOLUCIÓN:
Calcule la suma de cifras de: 𝑆 = ෍
𝑚=1
36
෍
𝑛=1
25
෍
𝑝=1
𝑛
𝑝2
Respuesta: 𝟐𝟕
𝑆 = ෍
𝑚=1
36
෍
𝑛=1
25
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
= ෍
𝑚=1
36
𝟏
𝟔
෍
𝑛=1
25
(𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏)
=
𝟏
𝟔
෍
𝑚=1
36
𝟐෍
𝑛=1
25
𝒏𝟑 + 𝟑෍
𝑛=1
25
𝒏𝟐 +෍
𝑛=1
25
𝒏
=
𝟏
𝟔
෍
𝑚=1
36
𝟐
𝟐𝟓 × 𝟐𝟔
𝟐
2
+ 𝟑
𝟐𝟓 × 𝟐𝟔 × 𝟓𝟏
𝟔
+
𝟐𝟓 × 𝟐𝟔
𝟐
=
𝟏
𝟔
෍
𝑚=1
36
𝟐𝟐𝟖 𝟏𝟓𝟎 =
𝟏
𝟔
× 𝟐𝟐𝟖 𝟏𝟓𝟎 × 𝟑𝟔
𝑺 = 𝟏 𝟑𝟔𝟖 𝟗𝟎𝟎
Suma de cifras: 27
A) 27 B) 30 C) 32 D) 38 E) 45
Clave A