Sumario de ejercicios de Análisis Combinatorio

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Colección Temas Selectos 
 
Análisis 
combinatorio 
Teoría y práctica 
 
 
NAME E IS
 
. Asociación Fondo de Investigadores y Editores A 
 
 
Análisis 
combinatorio 
twitter.com/calapenshko 
Alex Malpica Manzanilla Lumbreras 
Editones 
 
twitter.com/calapenshko 
Análisis combinatorio 
Autores: Alex Malpica Manzanilla 
GO Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
G Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av, Alfonso Ugarte N.* 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: enero de 2012 
Primera reimpresión: junio de 2015 
Segunda reimpresión: agosto de 2016 
Tercera reimpresión: agosto de 2017 
Cuarta reimpresión: diciembre de 2018 
Tiraje: 800 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-087-8 
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800693 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.” 2018-09902 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.” 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
ventas Y elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores an el mes de diciembre de 2018. 
Calle Las Herramientas N.? 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5889
OA 
 
 
 
 
 
 
 
 
"E PRESENTACIÓN o 7 
A a 9 
e ANÁLISIS COMBINATORIO 
Principios fundamentales de conteo.................acs. ans a 11 
Principio de adición..... z a 11 
Principio de multiplicación 13 
Ta e dc 15 
Md ts 16 
AMM A 16 
Permutación circular 17 
Permutación lineal con elementos repetidos 19 
Combinaciones... Ea 21 
Combinación simple 21 
Combinaciones con repetición mes 24 
o PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
Nivel básico 27 
Nivel Intermedio... cds TT á5 
Nivel avanzado ._— | 
"a PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
 
 
val o ic caco qui ds 101 
Nivel intermedio .............................. === ===== == . 105 
Nivel avanzado A e . 112 
A . 116 
"WE BIBLIOGRAFÍA....... SKY 117 - 
EF PRESENTACIÓN 
OPS arerartaperss Ml 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Análisis 
combinatorio, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se 
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alum- 
nos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus co- 
nocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias na- 
turales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre 
una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico y 
cuidadoso en la relación teoria-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- 
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso 
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- 
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los 
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos 
y problemas resueltos y propuestos por niveles, 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi- 
ficado. esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales 
de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo 
de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso, desea- 
mos reconocer la labor del profesor Alex Malpica Manzanilla, de la plana de 
Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elabo- 
ración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza 
preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
¿INTRODUCCIÓN 
En nuestra vida diaria nos encontramos con diversas situaciones en las que 
quisiéramos saber de cuántas formas puede ocurrir un evento (o aconteci- 
miento), es decir, contar las diversas formas en la que puede ocurrir dicho 
evento. Debido a que muchas veces no siempre es fácil poder determinarlo, 
el estudio del análisis combinatorio nos ayudará a resolver estos problemas. 
Históricamente el análisis combinatorio surge en el siglo xvi, pues la so- 
ciedad de esa época ocupaba parte de su tiempo en juegos de azar en los 
cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Generalmente se jugaba a los 
dados o a las cartas apostando brillantes, prendas valiosas, caballos de raza, 
etcétera. Es por ello que en sus inicios los problemas combinatorios trataban 
sobre juegos de azar, con el fin de calcular de manera simple la totalidad de 
las posibles combinaciones que pueden ocurrir en una jugada o en varias 
jugadas, o los sucesos de un determinado juego sin necesidad de que en 
cada ocasión se deba enumerar, graficar o tabular todas las combinaciones 
resultantes, tarea que puede ser tediosa y difícil cuando el número de com- 
binaciones que se produce es grande. Su estudio teórico fue iniciado con los 
matemáticos franceses Blas Pascal y Pierre Fermat cuando experimentaban 
en las mesas de juego resolviendo de esta manera diversos problemas su- 
geridos por estos juegos; posteriormente, otros matemáticos como Leibniz, 
Bernoulli y Euler continuaron el desarrollo de esta teoría que luego servirá 
como base para el estudio de la teoría de las probabilidades. 
El análisis combinatorio debe entenderse como la técnica, habilidad o 
arte de contar sin enumerar. Es decir, obtendremos aptitudes que nos per- 
mitirán conocer el número de resultados que puede arrojar una experiencia 
aplicando los principios fundamentales del conteo y las técnicas para poder 
agrupar u ordenar elementos u objetos de un conjunto dado. 
Actualmente, el análisis combinatorio nos ayuda a resolver problemas 
de transporte, problemas de elaboración de horarios, planes de producción, 
para confeccionar y descifrar claves así como también para desarrollar la teo- 
ría de la información y resolver ciertos tipos de problemas en los que se exige 
ingeniosidad y una comprensión adecuada del problema.
g
r
 
"
 
E
R
 
A
E
 
A
N
A
 
e]
 
S
a
 
++ ANÁLISIS COMBINATORIO 
twitter.com/calapenshko 
Es la parte de las matemáticas que estudia las formas de contar los diferentes ordenamientos y 
agrupamientos que se pueden realizar con los elementos de un conjunto, los cuales nos permiten 
resolver problemas prácticos. 
En nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuales nos preguntamos de cuántas 
maneras se puede realizar... Como ejemplo, a continuación se muestra un modelo de riego para un 
cultivo de maracuyá. 
 
 
 
 
¿De cuántas maneras se podrá realizar el riego 
del cultivo usando la acequia directamente 
(compuerta 8) o llenando primero el tanque 
usando ta compuerta A y después abrir la 
compuerta C para el riego? 
 
Para desarrollar estas preguntas, haremos uso de los principios fundamentales de conteo y de las 
técnicas de conteo que a continuación presentamos. 
El PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO 
 
Nos permiten, de forma práctica, determinar el número de casos posibles en los que se puede rea- 
lizar un evento. : 
PRINCIPIO DE ADICIÓN 
 
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras dife- 
rentes, y no es posible realizar aribos eventos de forma simultánea o uno seguido del otro 
(eventos mutuamente excluyentes), entonces el evento (4 o B) se podrá realizar de m+n 
maneras diferentes. 
 
11 
 
LUMBRERAS EDITORES 
. tg 
Ejemplos 
1. Si Paola desea viajar de Lima a Piura y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 5 líneasterrestres, 
¿de cuántas maneras diferentes puede realizar su viaje? 
Resolución 
LIMA A 4 líneas 
 
Para que Paola viaje, lo puede hacer por vía: 
Aérea o Terrestre 
4 + 5 = 9 
opciones opciones opciones 
Por lo tanto, Paola tiene 9 maneras diferentes de poder realizar su viaje. 
2, Mariela desea adquirir el libro Análisis combinatorio que es vendido en 3 lugares: en 8 librerías 
diferentes de la Feria Amazonas, en 7 librerías de la UNMSM y en las 6 librerías de Lumbreras 
Editores. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho libro? 
Resolución 
Para adquirir el libro, Mariela puede ir a 
Feria Amazonas o UNMSM o Lumbreras Editores 
8 - 7 + 6 = 21 
librerias librerías librerias librerias 
Por lo tanto, Mariela puede adquirir el libro de 21 maneras diferentes. 
12
_P
 
 
y : ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Nota 
De forma práctica el conectivo “o” nos indica aplicar el principio de adición (+). 
 
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 
 
Si un evento Á ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n ma- 
neras diferentes (pudiendo realizar los eventos de forma simultánea o consecu- 
tiva), entonces los eventos A y B se podrán realizar de mxn maneras diferentes. 
 
Ejemplos 
1. Sise lanza un dado y una moneda simultáneamente, ¿cuántos resultados diferentes se obtienen? 
Resolución 
Se debe lanzar simultáneamente: 
dado moneda 
Ho 
AP y 
1 
2 c 
3 
á 
5 5 
6 _ 
6 - Xx ¿ = 12 
Los resultados que se obtienen son: 
(1; C), (2; C), (3; 0), (4; C), (5; C), (6; C) 
(1,5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (5; 5), (6; 5). 
12 resultados diferentes 
 
Por lo tanto, se obtienen 12 resultados diferentes. 
13
LUMBRERAS EDITORES a 
 
2. Vanesa tiene 3 blusas de diferente color, 3 pantalones diferentes y 2 pares de zapatos diferentes. 
¿De cuántas maneras distintas puede vestirse con estas prendas? 
Resolución 
Para vestirse, Vanesa necesita una blusa, un pantalón y un par de zapatos. Entonces: 
An A 
a 
AN 
3 Xx 3 Xx 2 18 3 
Por lo tanto, Vanesa se puede vestir de 18 maneras diferentes. 
 
Nota 
De forma práctica el conectivo “y” nos indica aplicar el principio de multiplicación (x). 
 
APLICACIÓN 1 
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia B sin retroceder? 
A 
 
 
 
 
B 
Resolución 
Consideremos un ejemplo previo. 
Para ir de M a Ñ se puede realizar de la siguiente forma 
m__—>1 A 
| ( Se llega de 4 
+* maneras 
1 2 4 
14 
l
a
 
c
l
 
e
 
de
 
£
l
 
-'
Ú 
a
l
ANÁLISIS COMBINATORIO 
Ue 
En el ejercicio 
 
 
 
 
A 1. 1 1 1 
1 b kk 
12 17 
1 12 24 B 
41 
Por lo tanto, hay 41 maneras diferentes para ir de A hacia B. 
APLICACIÓN 2 
En una carrera de caballos participan 6 caballos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los 
3 primeros lugares? 
Resolución 
Puede ser ocupado Puede ser ocupado 
Puede ser ocupado por cualquiera de por cualquiera de 
por cualquiera de — los5 caballos los 4 caballos 
los ..a dr isa ca 
1.* lugar | 2.* lugar | 3." lugar 
A 
Total de _ y do 6 xx 5 x 4 <= 120 
 
 
Por lo tanto, hay 120 maneras diferentes de ocupar los tres primeros lugares. 
(ks] TÉCNICAS DE CONTEO 
 
Las técnicas de conteo son procedimientos que se realizan bajo ciertas condiciones para contar de 
forma directa los casos en que puede realizarse un evento. Entre ellas tenemos: 
Permutación lineal 
Permutaciones Permutación circular 
TÉCNICAS Permutación con elementos repetidos 
CONTEO Combinación simple 
Combinaciones 
a con elementos repetidos 
15
LUMBRERAS EDITORES 
a roer 
PERMUTACIONES 
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con parte o todos los elementos de un 
conjunto. 
4 
Permutación lineal 
Son los ordenamientos que se pueden realizar con elementos diferentes en una fila o línea recta. 
Si n objetos diferentes se deben ordenar en fila tomados en grupos de r objetos (r < n), se denotará 
y calculará así: 
 
Ejemplos 
1, 
16 
Indique de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas en una fila con: 
i. 6asientos 
ii. d asientos 
Resolución 
¡. Sean las personas A, B, C, D, E y F que se van a ubicar en los asientos. Empleando el principio 
de la multiplicación, se tendría que: 
 
Le e 1" qe gr E* 
aslento | asiento | asiento | asiento | asiento | asiento 
A y pg Vga 
=6x5x48x3x2x 1=720 
 
Total de 
maneras 
Se ha realizado una permutación de 6 elementos, es decir 
Pe=P.=6x5x4 x3x2x1=6|=720 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 720 maneras diferentes. 
li. Ahora la cantidad de asientos solamente son cuatro. $e permutaran 6 personas tomadas en 
grupos de 4, 
 
 
T T T I 
Totalde_ 56 x 5x4 x 3 = 360 
maneras 
Se ha realizado una permutación de 6 elementos tomados en grupos de 4, es decir: 
5 61__72_ 360 
(6-4) 2 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 360 maneras diferentes. 
 
A ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
2. ¿Cuántas palabras se pueden formar ordenando las letras de la palabra ALIENTO, sin importar 
que tengan sentido o no? 
Resolución 
Para formar palabras (con sentido o no), las 7 letras de la palabra ALIENTO deben permutar. 
[afiu[i efe [r[o] 
Va 
Total de 
formas 
 
o 
= P,= 71 = 5040 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 5040 maneras diferentes. 
APLICACIÓN 3 
Luis ha adquirido 4 libros de fisica diferentes y 3 libros de química también diferentes. Si debe ubi- 
carlos en un estante con espacio para 7 libros, ¿de cuántas maneras diferentes podrá ubicarlos si los 
libros de química deben ir juntos? 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: 
 
 
5e toma como un solo elemento =] 
Como los de quimica forman * =" . 
un solo elemento, entonces (N.* de maneras) = 51 Xx 31 = 720 
habrian 5 elementos (4Fy10) _______ 1 | 
que permutan. Permutan los libros de A 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 720 maneras diferentes. 
Permutación circular 
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con objetos distintas alrededor de 
un círculo. 
Si n objetos diferentes se deben ordenar circularmente, se denotará y calculará así: 
17
LUMBRERAS EDITORES 
a 
Ejemplos 
1, ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa circular con 
espacio para 4 personas? 
Resolución 
Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa. 
 
 
En una permutación circular se toma 
persona fija un elemento fijo [cualquiera de los 
J 4 A elementos) y los demás permutan. 
¿O O O [A] —Fijo 
permutan B, Cy D 
A A A » [6] 05] 
Ss O (Ojo O) 
)- P.(4) = 31 =6 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 6 maneras diferentes, 
2. Maria, Edith y cuatro amigas se sientan alrededor de un círculo para jugar. ¿De cuántas maneras 
pueden ordenarse? 
Resolución 
Ahora son 6 personas que van a permutar circularmente, entonces el número de formas de per- 
mutar sería: 
(N.? de formas)=P, (6)=5!=120 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 120 maneras diferentes. 
APLICACIÓN 4 
Si Cristian, Vicky y sus 4 hijos se sientan alrededor de una mesa circular, ¿de cuántas maneras dife- 
rentes se podrán ubicar si los esposos deben sentarse juntos? 
18
w" A A teca 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: 
Se toma como un solo elemento 
permutan 
Pe E pr Vv 
 
[N.* de formas) = 41 x 21 = 48 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 48 maneras diferentes. 
Permutación lineal con elementos repetidos 
Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no son todos distintos entre sí, es decir, hay elementos 
que se repiten. 
Si se tienen n objetos y se ordenan todos a la vez en donde hay un primer grupo de n, Objetos iguales 
entre sí de un primer tipo, n, objetos iguales entre sí de un segundo tipo, y así sucesivamente hasta UN 
objetos iguales de un k-ésimo tipo; entonces el número de permutaciones se denotará y calculará así: 
 
! A 
Mr tn Xp! 
 
donde A +0 +n,=0 
Ejemplos 
1. De cuántas formas se pueden ordenar en una fila las siguientes figuras: 
000D00uDoo o 
3 veces d veces 2 veces 
 
19
LUMBRERAS EDITORES 
 
ResoluciónSe puede observar que hay figuras que son idénticas y deben ser ordenadas en forma lineal; 
entonces, el número de formas en que se puedan ordenar será: 
91. 4lx5x6x7x8x9 
31x41x21 6x41x2 
 
9 == 
Paaia = 
= 5x7xBx9 =1260 
Por lo tanto, las figuras se pueden ordenar de 1260 maneras diferentes. 
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra PATATA? 
Resolución 
Se observa que en la palabra PATATA hay letras que se repiten, es decir: 
A AATITRPC 
a dl 
veces ¿veces 1wez 
6l _31x4x5x6 
A 
321 3x2 D11.— 31x2X1 
4x5x6 
2 
Por lo tanto, las letras se pueden ordenar de 60 maneras diferentes. 
= 60 
 
APLICACIÓN 5 
¿Cuántas ordenaciones se pueden realizar con las letras de la palabra ARITMÉTICA si en los extremos 
deben ir dos consonantes iguales? 
Resolución 
Si dos consonantes iguales deben ir a los extremos, esa consonante debe ser la “T”. Entonces gráfi- 
camente se tendría: 
E alililmlelc a 
 
 
 
 
20
ae ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
 
El número de maneras se obtendrá realizando una permutación lineal con elementos repetidos. 
a <=. 
ABR paa ol! 
8l 
2121 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 10 080 maneras diferentes. 
=10080 
COMBINACIONES 
Son los diferentes grupos que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto sin 
considerar el orden en que son agrupados. 
Combinación simple 
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto 
(tomando parte o todo a la vez), considerando que en los grupos los elementos son diferentes. 
Si se dispone de n elementos diferentes y se les quiere combinar (agrupar) de r en r, el número de 
combinaciones se denota y se calcula así: : 
o M_ dondeO0<rsn 
(n—r)jixrl 
Ejemplos 
1.. Una señora tiene 5 frutas: papaya, piña, fresa, manzana y plátano. ¿Cuántos sabores diferentes 
de jugo podrá preparar con 2 frutas? 
Resolución 
Se dispone de 5 frutas diferentes y se debe escoger 2 (no importa el orden) de ellas para preparar 
064844 
== liar” 
Amr 
 
 
 
Por lo tanto, se puede preparar 10 sabores diferentes de jugo. 
21 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Tenga en cuenta 
(PERMUTACIÓN) + (COM BINACIÓN) 
+ Enlas permutaciones interesa el orden, se busca los ordenamientos. 
* Enlas combinaciones no interesa el orden, se busca los agrupamientos. 
 
2, De un grupo de 10 personas se desea conformar una comisión de 3 integrantes. ¿De cuántas 
maneras diferentes se puede formar dicha comisión? 
Resolución 
Son 10 personas y se deben formar grupos de 3 (sin Inge el orden en que son seleccionados). 
Entonces: 
10 
 
twitter.com/calapenshko 
XL 
 
Se forman ]= =cu- _TIxBx9x10 
rupos de 3) "? Pa 71x31 
_8x9x10 o 720 
6 6 
= 120 
Por lo tanto, se pueden formar 120 grupos diferentes para conformar dicha comisión. 
Propledades 
A continuación se muestran algunas propiedades que se cumplen con el número com- 
binatorio. 
a. Cp71 
b. cp=1 
c. Ci=n 
d. ar 
e Cocca. +c5=2" 
 
22 |
e ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
3. ¿Cuántos subconjuntos con más de un elemento se pueden obtener con los elementos del con- 
junto A=(1; 2; 3; 4; 5; 6)? 
Resolución 
Tenemos el conjunto A con 6 elementos y debemos formar grupos de 2, de 3, de 4, de 5 y de 6 
elementos. Entonces la cantidad de formas será: 
6,6, r6,r6,/p6 (N.2 de formas)=C HOGHCL+C + Céó 
 
6 6 5, pb _p6_p6 
=C/+ c+ C,+ Ch+ Cg+ có+ a Co C; 
a 6 ¿e 8 = 2 Co C; 
=2%*-1-6=57 
Por lo tanto, se pueden formar 57 grupos diferentes con más de un elemento. 
APLICACIÓN 6 
En una reunión se encuentran 6 varones y 4 mujeres. Si se debe formar un grupo mixto conformado 
por 3 personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá formar dicho grupo? 
Resolución 
Se tiene: 
6 varones 4 mujeres 
 
El grupo mixto debe ser integrado por 3 personas. Puede ser integrada por: 
(2Vy1M) O (1Wy2M) 
o AE | 
(N.? de maneras)= C5 Xx a + c x PON 
 
6! 4! 6! 4l 
= x + x 
4121 311 Six 21x21 
= 15 x 4 +46 x6 = 96 
Por lo tanto, se puede formar el grupo de 96 maneras diferentes. 
23
LUMBRERAS EDITORES 
. "% 
APLICACIÓN 7 
Si un conjunto tiene 56 subconjuntos ternarios, calcule cuántos subconjuntos cuaternarios tiene. 
Resolución 
Sea n el número de elementos del conjunto y se tiene 56 subconjuntos (grupos) de 3 elementos. 
Entonces: 
C3 =56 
n! 
———— = 56 
(N—3)b<31 
(n—3)x(n—2)x(n-1)xn = 
(n—3)1x<31 
56 
(n-2)x(n—1)xn _ 
31 _ 
56 
(n—2)x(n-1) xn=6x56 
(n—2)x(n—1)xn=6x7x8 
n=B 
Nos piden el número de subconjuntos cuaternarios, es decir, debemos formar grupos de 4 elementos. 
(3 _8l__4Ix5x6x7x8 
27 alxal 41x41 
 
_5x6x7xB 1680 
=>—=30 
41 24 
Por lo tanto, se tiene 70 subconjuntos cuaternarios. 
Combinaciones con repetición 
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con una parte o todos los elementos 
de un conjunto, pero considerando que hay elementos que son iguales. 
Si tenemos r elementos diferentes y queremos formar grupos de n elementos, se denotará y calculará así: 
 
4 (r+n-1)! cr =c03 ICAO 
(r-1Jixn! 
 
24
ANÁLISIS COMBINATORIO 
a" 
- Ejemplos 
1. ¿De cuántas formas diferentes se puede comprar 7 pliegos de papel lustre, si los hay de 3 colores 
distintos? 
Resolución 
Se tienen 3 colores diferentes, pero se deben formar grupos de 7. 
3 elementos 
diferentes 
/ 
po 2x7 
se requieren 
grupos de 7 
 
=-. 23 su E 
Por lo tanto, son 36 las formas diferentes en que se puede realizar la compra. 
2. ¿De cuántas formas podemos repartir 8 caramelos iguales entre 3 niñas? 
Resolución 
Cuando se quiera distribuir objetos iguales en grupos distintos también se utilizará una combina- 
ción con repetición. 
En este caso tenemos 8 objetos iguales (caramelos) y hay que repartirlos (distribuirlos) a niñas 
diferentes, entonces, el número de formas de hacerlo será: 
dz 101 
cai - AA 
$9 8 lei 
_8lx9x10 _9x10 
2x8! -2 
=45 
 
Por lo tanto, la distribución se puede hacer de 45 maneras diferentes. 
25
LUMBRERAS EDITORES a] 
 
Otra forma: 
—— —— — 
2caramelos | 3 caramelos 3 caramelos 
separadores 
 
Se puede ver que cada barra vertical separa la cantidad de caramelos que le corresponderá a 
cada niña (pudiendo alguna de ellas no recibir ningún caramelo). Entonces tendríamos un total 
de 10 elementos: 8 caramelos iguales y 2 barras iguales, los cuales van a permutar para determi- - 
nar la cantidad de formas de distribuir los caramelos. Es decir: 
 
na Á “101 , as 
aa” 
a CR 
 
Nota 
Si queremos distribuir n objetos iguales en r espacios diferentes, entonces el nú- 
mero de formas se calculará así: 
= 0 -L. (r+n-1)! 
fas 1)bxn! 
También se puede trabajar como en la segunda forma (separadores), como una 
permutación con elementos repetidos. 
CR; = 
 ., 
APLICACIÓN 8 
¿De cuántas formas puede comprar Gerardo 15 galletas en una tienda que vende galletas de 4 sa- 
bores diferentes? 
Resolución 
Se tienen 4 sabores diferentes de galleta, pero se debe formar grupos de 15. Entonces, 
181 cré se +15- La 
13: 08 153x151 
Por lo tanto, puede comprar las galletas de 816 maneras diferentes. 
26
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? | 
En las elecciones estudiantiles de un colegio se 
desea elegir un presidente por aula. Si el 5, de 
secundaria lo conforman 13 varones y 16 mu- 
jeres, ¿de cuántas maneras puede elegirse al 
presidente? 
A) 3 
B) 13 
C) 16 
D) 29 
E) 208 
Resolución 
Según el enunciado se desea elegir a un presi- 
dente y puede ser 
varón O muler 
13 + 16 =.29 
opciones opciones opciones 
Por lo tanto, el presidente puede ser cualquiera 
de las 29 personas. 
CLAVE áD 
PROBLEMA N.” 2 
En una reunión conformada por 4 economistas, 8 
contadores y 6 abogados se recibió una invitación 
para una capacitación. ¿De cuántas maneras se 
puede enviar un representante a dicho evento? 
A) 32 B) 18 C) 48 
D) 192 E) 96 
Resolución 
Se desea enviar a un representante a la capaci- 
tación y puede sereconomista o contador o abogado 
4 + 8 + 6 = 18 
Por lo tanto, el representante puede ser cual- 
quiera de las 18 personas. 
_Cuave $) 
PROBLEMA N.” 3 
Moisés debe realizar un viaje de Lima a Cusco 
para visitar a su madre por su cumpleaños y tie- 
ne a su disposición 3 líneas aéreas y 4 líneas te- 
rrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede 
realizar su viaje? 
A] 7 
D) 16 
B) 64 Cc) 8 
E) 20 
27
LUMBRERAS EDITORES ha] 
 
Resolución 
Moisés desea viajar a Cusco y lo puede hacer 
por vía: 
aérea o terrestre 
34 4 = 7 
líneas lÍneas lineas 
Por lo tanto, Moisés tiene 7 líneas diferentes 
para viajar. 
_<uve Y 
PROBLEMA N.? 4 
¿Cuántos resultados diferentes se obtendrán en 
el lanzamiento de dos dados y una moneda? 
A) 18 B) 24 C) 36 
D) 38 E) 72 
Resolución 
Se lanzan simultáneamente 2 dados y una mo- 
neda. 
dado1 dado? moneda 
LO, 
o
 
m
u
 
e 
uu 
hn 
| 
m
u
n
 
e 
Lo
 
hu
 A
 
u
n
 
ido. X 
Por lo tanto, se obtienen 72 resultados diferentes. 
CLAVE e 
28 
A) 380 
PROBLEMA N.? 5 
En la siguiente figura, si cada línea es un cami- 
no. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir 
de A hacia B? 
 
A) 32 B) 18 C) 48 
D) 192 E) 96 
Resolución 
Para ir de A hacia B se puede hacer de 2 maneras 
sin pasar por P 
premier? LES, 
ASOSO 4. 
=> 
dd x 3 + 6 = 18 
Por lo tanto, se puede ir de 18 maneras diferentes. 
_cuve 
PROBLEMA N.? 6 
Para ¡ir de Ma N se tiene 5 caminos diferentes 
y para ir de Na P se tiene 4 caminos diferentes. 
Si se quiere ir de M a P y luego regresar a M 
siempre pasando por N, ¿de cuántas maneras 
diferentes se puede realizar, si de regreso no se 
puede ir por un tramo ya recorrido? 
B) 120 Cc) 240 
D) 400 E) 360
E ] ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se quiere ir de M a P y regresar a M sin recorrer 
un mismo camino. » 
ida vuelta 
5 x 4 Xx 3 x . = 240 
Solo quedan Solo quedan 
3 caminos, pues 4 caminos, pues 
un camino se un camino se 
utilizó de ida. utilizó de ida. 
Por lo tanto, existen 240 maneras diferentes, 
CLAVE 3 B 
PROBLEMA N.* 7 
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de 
A hacia B sin retroceder? 
 
A) 115 B) 1230 Cc) 2040 
D) 3034 E) 2214 
Resolución 
17 
 
 
fe
b 
a
j
 
e
 
de
 
qa 18 
3750 
uu 
B 
3034 
74 
Ta 
Por lo tanto, se puede llegar de 3034 maneras 
diferentes. 
Otra forma 
1.9 Determinamos el número de formas de ir de 
A hacia M, 
O 
 
2.2 Determinamos el número de formas de ir de 
M hacia B. 
 
 
 
 
M» 1 1 l 
al 4 5 
5 l6 13 15 
1 Es so pp] 
il 
 
Luego, 
(Y) 74 formas me formas 
(Total): 74x41=3034 
: CLAVE 5 
PROBLEMA N.* 8 
Cristina debe asistir a una reunión de trabajo y 
para vestirse dispone de 4 blusas, 4 pantalones, 
5 vestidos y 3 pares de zapatos, ¿De cuántas 
maneras diferentes puede vestirse para asistir 
a la reunión? 
A) 240 
D) 63 
B) 60 C) 16 
E) 108 
29
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se dispone de: 
Blusas (8) : 4 prendas 
Pantalones (P) : 4 prendas 
Vestidos (V) :5 prendas 
Zapatos (2) :3 pares 
Cristina podría vestirse usando: 
ByPyZ o VyZ 
4x4x3 + 5x3 =63 
Por lo tanto, Cristina se puede vestir de 63 ma- 
neras diferentes. 
cuave 
PROBLEMA N.? 9 
¿Cuántas parejas se pueden formar con 6 hom- 
bres y 9 mujeres, si cierta mujer no se lleva bien 
con 3 varones y no desea formar pareja con ellos? 
A) 54 B) 51 C) 48 
D) 15 E) 40 
Resolución 
5e desea escoger una pareja. 
1% caso 
M : 2? caso 
1 q ——, 
M,) v v; Y 
M5 va mv Y 
Y Y Y 
Va Va x 
M> Vs Vs K 
Ma Vs Vé K 
B x 6 1x3 
30 - 
a es 
= 48 +3 
=51 
Por lo tanto, se pueden formar 51 parejas dife- 
rentes. 
_ CLAVE S 
PROBLEMA N.? 10 
En la etapa final del campeonato de fútbol pe- 
ruano, 5 equipos disputan los tres primeros lu- 
gares (campeón, subcampeón y un cupo a un 
torneo internacional). ¿De cuántas maneras 
diferentes pueden ubicarse en los 3 primeros 
lugares? 
A) 48 Bj) 24 C) 36 
D) 120 E) 60 
Resolución 
Se busca el número de formas en que se pue- 
den ocupar los 3 primeros lugares. 
 
 
| ye lugar 2.2 lugar | 3. lugar] 
5 x 4 x 3 => 60 
) 4 | 
Puede ser Quedan 4 Quedan 3 
ocupado por equipos para — equipos para 
cualquiera de ocupar el ocupar el 
los 5 equipos 2" lugar 3.* lugar 
Por lo tanto, se pueden dar de 60 maneras di- 
ferentes. 
_ciave Y)
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 a" 
PROBLEMA N.* 11 
Tres jóvenes buscan trabajar como ayudantes 
en una panadería que tiene 6 locales. ¿De 
cuántas maneras distintas pueden trabajar en 
la panadería, si se sabe que cada uno de ellos 
debe estar en un local diferente? 
A) 100 B) 120 C) 80 
D) 160 E) 180 
UNMSM 2008-11 
Resolución 
Cada uno de los 3 jóvenes debe escoger 1 local 
diferente de los 6 que hay 
111 
termas) $ % 5x4 = 120 
Srs 
Puede escoger is Le bli La guedan 
de los 6locales S5opciones —4opciones 
Por lo tanto, pueden trabajar de 120 maneras 
diferentes en locales distintos. 
CLAVE d 
PROBLEMA N.* 12 
El testigo de un asalto a un banco declaró ante 
la policía que el auto en que fugaron los ladro- 
nes tenía una placa conformada por 2 vocales 
seguidas por 3 dígitos diferentes. ¿Cuántos au- 
tos deberá investigar la policia? 
A) 4500 
D) 18.000 
B) 3000 C) 12 000 
E) 36 000 
Resolución 
Se desea averiguar cuántas placas diferentes se 
pueden obtener con 2 vocales y 3 digitos diferentes. 
 
 
Vocales Digitos diferentes 
PARA PA 2 2 A 
T T 1 7 T 
5x5 x 10x9x 8 = 18000 
Por lo tanto, la policia deberá investigar 18 000 
autos. 
_cuave $) 
PROBLEMA N.* 13 
Javier, Rogelio y Peter ingresan a una cabina de 
Internet y encuentran 8 máquinas disponibles 
de las 14 que hay. ¿De cuántas formas diferen- 
tes podrán ubicarse en una máquina disponible 
cada uno de ellos? 
A) 336 B) 112 C) 240 
D) 192 Ej) 22 
Resolución 
Quedan 8 lugares disponibles que deben ser 
ubicados por tres personas, 
Javier Rogelio Peter 
114 
mm. x des x E = 336 
asponbls olas deroribles 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 336 formas 
diferentes. 
_cuve Y 
31
LUMBRERAS EDITORES 
 e 
PROBLEMA N.* 14 Resolución 
Un barco envía señales a un muelle mediante Sedeben distribuir dos objetos A y B en tres cajas. 
banderas izadas en un asta en un determinado Caja 1 Caja 2 Caja 3 
orden. 5i se dispone de 6 banderas de colores 
diferentes. ¿Cuántas señales pueden emitirse 
izando cuatro banderas? 
Aj 360 B) 180 C) 720 
D) 420 E) 270 
Resolución 
Se dispone de 6 banderas de colores diferentes 
para emitir señales con 4 de ellas. 
Por el principio de la multiplicación se tiene 
que: 
Total de )> 6x5x4x3=360 
señales 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 15 
" Setienen 3 cajas. ¿De cuántas maneras diferen- 
tes se pueden distribuir dos objetos A y B en di- 
chas cajas, pudiendo ser que ambos queden en 
una misma caja? 
A] 3 
D) 9 
Cc) 1 
Ej 2 
UNI 1997 -1 
B) 6 
32 
“=== Y 
q. 3 <= 9 oopdones 
opciones opciones 
Por lo tanto, se pueden distribuir de 9 formas 
distintas. 
_Cuve ) 
PROBLEMA N.? 16 
Un grupo de 5 amigos llegan de viaje a un pueblo 
y encuentran 3 hoteles disponibles para poder 
alojarse. ¿De cuántas maneras diferentes podrán 
distribuirse en los hoteles para descansar? 
A) 15 B) 125 C) 620 
D) 243 E) 234 
Resolución 
Los 5 amigos deben distribuirse en los tres hote- 
les a disposición. 
Cada uno tiene 3 opciones de elegir un hotel 
ADS E 
3x3x3x3 x3= 243 
Por lo tanto, se pueden distribuirse de 243 formas. 
_cuve Y)
twitter.com/calapenshko 
"" ANÁLISIS COMBINATORIO 
PROBLEMA N.* 17 
En una junta vecinal se desea formar un comité 
compuesto de un presidente, un vicepresidente, 
un secretario y un tesorero, ¿De cuántas mane- 
ras diferentes se podrá formar el comité sl para 
los cargos de presidente y vicepresidente se pre- 
sentaron 6 candidatos, y para los cargos de se- 
cretario y tesorero se presentaron 9 candidatos? 
A) 1440 B) 1680 C) 2304 
D) 2160 E) 720 
Resolución 
Se desea elegir un presidente (P), un vicepresi-dente (V), un secretario (5) y un tesorero (7). 
Hay 6 candidatos Hay 9 candidatos 
 
 
Pp — a, A, 
PIIV 5 |].F 
á | Í V 
6x5 x 9x 8 = 2160 
Por lo tanto, el comité se puede formar de 2160 
maneras diferentes. 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 18 
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas 
y diferentes existen en el sistema decimal? 
A) 6561 8) 9000 C) 4536 
D) 3024 E) 6048 
Resolución 
Se dispone de las cifras. 
(1; 2; 3; 4; 5; 6;7;8; 9) 
Entonces 
aob.cd 
11/44 
9xBx7x6= 3024 
Por lo tanto, existen 3024 números de 4 cifras 
significativas y diferentes. 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 19 
Cuántos numerales existen de la forma: 
Lo Toe 
ela) 
A) 300; 48 
D) 300; 96 
B) 350; 96 C) 350; 48 
E) 280; 96 
Resolución 
l. (a 1) (2b) (a + 1) (b+ 1)c 
a 
 
| 
0
0
d
 
0 
UN
 
Le 
us 
tr
 
—Á 
w
n
 
O
 
A
 5
E
|
w
-
a
w
n
n
o
—
 
il 8 
*]
 
x X Lo 1 A 
_Cuve Y) 
33
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 20 
¿Cuántos números de cuatro cifras del sistema 
heptanario no poseen al 2 ni al 6 en su escritura? 
A) 520 B) 500 C) 440 
D) 360. E) 512 
Resolución 
o be di 
A 
10.00 Los números 
315111 no deben tener 
4 3. 3 3 lasofras2nió 
5444 en su escritura. 
55.5 
4x5x5x5=500 
Por lo tanto, son 500 números que no tienen al 
2 ni al 6 en su escritura. 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.? 21 
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar 
con las letras de la palabra MONICA, sin impor- 
tar si tienen sentido o no? 
A) 144 B) 230 C) 720 
D) 360 E) 480 
Resolución 
Como todas las letras de la palabra MONICA son 
diferentes, entonces el número de permutacio- 
nes será 
MONICA 
a 
PÉ=P¿=6|=720 
_cuave 
34 
ho 
PROBLEMA N.* 22 
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicar- 
se 7 amigos en una fila, si María y Norma van a 
los extremos? 
A) 180 B) 72 C) 360 
D) 450 Ej) 240 
Resolución 
Se busca todos los ordenamientos que se pue- 
den dar como María y Norma a los extremos y 5 
amigos A; B; C; D y E entre ellas. 
ellas 
Apenas utan 
Mas [clol< 
permutan 
MyN 
pa 
)- 51 x 2l =240 
A 
permutan 
A,B,C,DyE 
 
 
Total de 
formas 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.” 23 
Manuel, Diana y 5 amigos van al cine y encuen- 
tran 7 asientos libres en una misma fila. Si Ma- 
nuel y Diana desean sentarse juntos, determine 
de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar. 
A) 600 
D) 2460 
B) 720 C) 1440 
E) 5040
sw" ANÁLISIS COMBINATORIO 
Resolución 
Se deben ubicar con Manuel y Diana juntos 
CL 1solo 
(m Da, (4,14, |A.| As 
L 
 
 
permutan 
¿7 Permutan My D Total de 
=P¿X 21 
formas 
=6lx2 
=720x2 
= 1440 
CLAVE 8 
PROBLEMA N.” 24 
Un palco de 4 asientos es vendido a 2 parejas. 
¿De cuántas maneras diferentes podemos aco- 
modarlos si cada pareja quiere estar junta? 
A) 2 B) 16 Cc) 12 
D) 8 El 4 
UNI 1996 -1 
Resolución 
Son dos parejas (Vi Mi; V, Y M,) que se deben 
ubicar en un palco de 4 asientos. 
Se toma 5e toma 
ei ca AG Vi 
V¡ |[Mij [Vo M»| 
¡€ — 
2 elementos 
 
 
Permuta la pareja 2 
Total de 1 
das J=aixpuxzt= 
Permuta la pareja 1 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.” 25 
Un estudiante universitario de Matemática Pura 
ha adquirido 3 libros de análisis matemático, 2 
libros de matemática básica y 3 libros de cálcu- 
lo diferencial. Si desea ordenarlos en un estan- 
te con 8 espacios, ¿de cuántas maneras podrá 
hacerlo, si los libros de un mismo curso deben 
estar juntos? 
A) 216 B) 432 C) 864 
D) 360 E) 720 
Resolución 
Se tiene 3 libros de análisis matemático (AM), 2 
- de matemática básica (MB) y 3 de cálculo dife- 
rencial (CD). Se ordena de tal manera que los de 
un mismo curso vayan juntos, 
 
 
 
 
1 solo 1 solo 1 solo 
de 1 ! 
demana 
ade ]=31x 31 x 21 x 31=432 
formas lea 
AM MB CD 
_Cuve Y) 
35
LUMBRERAS EDITORES a 
PROBLEMA N.* 26 
Panchito y cinco de sus amigos forman una fila 
en una ventanilla para comprar boletos para los 
juegos mecánicos. De cuántas maneras pueden 
ubicarse en fila si: 
Il. Panchito debe estar en uno de los extremos. 
1. Panchito no debe ir al último. 
Dé como respuesta la suma de los resultados. 
A) 660 B) 840 C) 480 
D) 160 E) 540 
Resolución 
l, o 
51=120 51=120 
(total)=120+120=240 
ia 
S opciones 
para Panchito 
 
“«————— No puede ir Panchito 
(total)=5 x 51=600 
opciones de los 5 restantes 
Panchito permutan 
Piden la suma de resultados 
Suma de |_240+6 
des]? 90 
= 840 
_cuve Y) 
36 
PROBLEMA N.* 27 
Cuatro varones y tres mujeres asisten al teatro 
y encuentran una fila con 7 asientos vacíos. ¿De 
cuántas formas diferentes se podrán ubicar si dos 
personas del mismo sexo no pueden estar juntas? 
A) 184 B) 480 C) 144 
D) 288 E) 72 
Resolución 
Para que dos personas del mismo sexo no estén 
juntas, se deben de ubicar de forma intercalada. 
Es decir 
Entre ellas permutan 
AAA 
V, ¡My | V¿ | M2 | Va [M3 | Va 
Í Í Í 
Entre ellos permutan 
 
 
(Total)=41x3! 
= 24x6 = 144 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 28 
Hilda invita a cenar a 5 de sus amigas. ¿De cuán- 
tas formas podrán ubicarse Hilda y sus amigas 
alrededor de la mesa, si Hilda debe sentarse al 
lado de Nataly? 
A) 24 
B) 48 
C) 720 
D) 360 
E) 72
' 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se deben ubicar en total 6 personas y 2 de ellas 
juntas (Hilda y Nataly). 
5e toma como 1 solo 
B 
PO y N 
(Total)= P (5)x2! 
=41|x 21=48 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 29 
Cuatro parejas de esposos ingresan a un restau- 
rante y se sientan alrededor de una mesa cir- 
cular, ¿De cuántas maneras diferentes podrán 
ubicarse si Julián desea sentarse lo más alejado 
posible de su esposa? 
A) 720 B) 360 C) 1440 
D) 480 E) 560 
Resolución 
Se sientan alrededor de una mesa 4 parejas de 
O ao 
El E 
O o A 
[CT] Esposa de Julián 
Para que Julián esté lo más lejos de su esposa, 
ella debe estar frente a él, y solo permutan las 
otras 6 personas. 
(total)=6!=720 
_ciave QU) 
PROBLEMA N.” 30 
¿Cuántos collares distintos se pueden confec- 
cionar con siete zafiros diferentes? 
A) 480 B) 210 Cc) 720 
D) 360 E) 420 
Resolución 
Se tienen 7 zafiros diferentes. 
 
Observación: 
a 
A 
Son iguales 
(se obtienen al voltearlas) 
 
(total) A == =360 
Se repiten los casos] : 
al voltear el collar. 
_cuave Y) 
37
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.”* 31 
Pepito tiene 10 carritos: 2 de color blanco, 3 de 
color azul y 5 de color rojo. ¿De cuántas formas 
se pueden ordenar en fila según el color de tal 
manera que los carritos blancos estén en los ex- 
tremos? 
A) 56 B) 72 C) 84 
D) 48 E) 96 
Resolución 
Se desean ordenar los 10 carritos según el color, 
silos de color blanco van a los extremos. 
CaaarREarRara 
8 8l 
3531 51 
 
 
 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 56 maneras 
diferentes según el color. 
_cuave Y 
PROBLEMA N.” 32 
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden - 
formar con las letras de la palabra MANZANILLA? 
A) 45 000 8) 48 600 C) 75600 
D) 151 200 E) 302 400 
Resolución 
Debemos ordenar las letras, pero algunas son 
iguales. Se trata de una permutación con ele- 
mentos repetidos. 
38 
Se tiene: 
MANZANILLA 
HU 
A —3 veces 
N — 2 veces 
L — 2 veces 
M — 1 vez 
d — 1ve: 
| — 1vez 
Persia de J= plo, ¿O 
palabras! 32281::1" 212121111111 
10! 
= ———— = 151200 
31 21x21 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 33. 
¿Cuántos números de 6 cifras existen tal que el 
producto de sus cifras sea 157? 
A) 24 B) 120 C) 30 
D) 12 Ej 360 
Resolución 
Para que el producto sea 15, las cifras deben ser 
3,5;1;1;1y1. 
Entonces, 
3511331 — 700-135 
—— 
6l 
A A 
4 al 
Por lo tanto, existen 30 números de 6 cifras cuyo 
producto es 15. 
_cuave
$ === ANÁLISIS COMBINATORIO 
PROBLEMA N.* 34 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 
los elementos del conjunto A=(a; b; e; d; e; f; g) 
en la siguiente figura? 
dE 
A) 840 B) 420 C) 5040 
D) 2520 E) 720 
Resolución 
O O ps una 
O permutan alrededor 0 3 O 
Los demás per- 
matan dlredador 
und =7 xP16) 
formas Se ubica una : 
letra al centro. 
== 7 x 5] 
= B40 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 35 
¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obte- 
ner ordenando en fila 3 puntos, 4 lineas vertica- 
les y 3 asteriscos? 
A) 2100 
D) 7200 
B) 4200 Cc) 5600 
E) 10400 
Resolución 
Piden los diferentes tipos de mensajes que se 
pueden obtener, y estos se obtendrán permu- 
tando los simbolos. 
li o.. 
pu 
10 101 
4: Pp. == 4200 34:37 31 41x31 
Por lo tanto, se obtienen 4200 mensajes dife- 
rentes, 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 36 
¿De cuántas maneras diferentes se pueden or- 
denar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 2 peones 
(todas blancas) en la primera fila del tablero de 
ajedrez? 
A) 2400 B) 1260 C) 4230 
D) 2520 E) 5040 
Resolución 
Se debe ordenar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres 
y 2 peones en la primera fila de un tablero de 
ajedrez. 
 
 
 
 
 
 
ps _ 3 
242 21 212121 
=2520 
_Cuave Y) 
39
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
perlita 
PROBLEMA N.* 37 Resolución 
La liga peruana de fútbol consta de 16 equipos. Un apretón de manos se da entre 2 personas. 
¿Cuántos partidos deben jugarse para comple- Entonteas: 
tar la primera rueda? 
Saludos entre Saludos entre 
A) 60 B) 120 C) 80 varones mujeres 
Número de DN a D) 96 E) 112 | apretones |=CP ¿4 cl 
de mano s z 
Resolución 121 141 
Para jugar un partido debemos seleccionar a 2 “01x21 + 12121 
equipos de los 16 que hay. 
e de), 06 _ JO x11x12 " 121 x13x14 
partidos] “2? 101 x2 qa4x2 
Y _ 1x2 | 13x14 
141x21 2 2 
_ MÍx15X16 = 66 +91 
141x2 
= 157 
_15x16 
2 twitter.com/calapenshko _cuave Y) 
=120 
Por lo tanto, se jugarán 120 partidos. 
_ciave Y) 
PROBLEMA N.* 38 
En un reencuentro de amigos asisten 12 varo- 
nes y 14 mujeres. ¿Cuántos apretones de mano 
habrá entre personas del mismo sexo? 
A) 145 
D) 175 
B) 120 C) 157 
E] 122 
40 
PROBLEMA N.* 39 
De un grupo de 6 mujeres y 5 varones se desea 
formar una comisión de 4 personas. ¿Cuántas 
comisiones distintas se pueden formar, si debe 
haber al menos un varón y una mujer? 
A) 310 
B) 280 
C) 440 
D) 260 
E) 360
e . 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se debe seleccionar a 4 personas donde se en- 
cuentre al menos 1 varón y 1 mujer. Se tendría 
los siguientes casos: 
(1Vy3M) o (2Vy2M) o (3Vy 1M) 
5 Sd 4 ds qá 
5x20 + 10x15 + 10x6 
100 + 150 + 60=310 
Por lo tanto, se puede formar la comisión de 
310 formas. 
_Cuve 
PROBLEMA N.* 40 
Si con n elementos se pueden formar 84 sub- 
conjuntos ternarios, calcule n. 
A) 7 B) 8 Cc) 9 
D) 10 E) 11 
Resolución 
Con n elementos se forman 84 grupos (subcon- 
juntos) de 3 elementos, entonces 
C3=84 
_ nm =YBA 
(n—3)1x31 
(03% x(n-2)x(n-1)x<n il 
0-3 x31 
ln E =P 84 
(n—2)(n-1)n=84x6 
AS xBx9 
n=59 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 41 
En un baile escolar la profesora forma parejas 
extrayendo de una bolsa el nombre de un niño 
y de otra bolsa el nombre de una niña. Si en el 
aula hay 9 niños y 7 niñas, ¿cuántas posibles pa- 
rejas distintas se podrían formar? 
A) 63 B) 5040 C) 45360 
D) 181 440 E) 196 
UNI 1998 -11 
Resolución 
Para formar parejas se debe elegir el nombre de 
un niño y de una niña. 
Entonces: 
Total de po tn 
posibles parejas) ? * ? =83 
Por lo tanto, se pueden formar 63 parejas dis- 
tintas. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 42 
Una prueba consta de 8 enunciados, en los cua- 
les se debe indicar si son verdaderos o falsos. 
¿De cuántas maneras diferentes se podrá con- 
testar dicha prueba? 
A) 16 
B) 64 
C) 128 
D) 256 
E) 512 
41
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Resolución 
Cada pregunta tiene 2 opciones. Entonces, 
 
 PIP [Pz [Ps Pa 
VoWV VW V V 
FORCE F F 
A | 
Total de lL2x2x2x2x..x2 
anera 
= 2? 
= 256 
Por lo tanto, se puede contestar de 256 mane- 
ras diferentes. 
_Cave Y) 
PROBLEMA N.* 43 
El abuelo César tiene 2 chocolates iguales y 3 
caramelos iguales. ¿De cuántas maneras dife- 
- rentes podrá distribuir las 5 golosinas a sus 5 
nietos si cada nieto recibe una golosina? 
A) 6 B) 10 C) 12 
D) 16 E) 20 
Resolución 
Se debe distribuir 2 chocolates y 3 caramelos a 
5 nietos. 
nieto 1 nmetod meto3 nieto4 mietos5 
 
Y 
Permutaremos las cinco golosinas 
42 
 
Total de pios 51 
formas | "327 3121 
_ 120 
6x2 
=10 
Por lo tanto, se puede distribuir de 10 formas 
diferentes. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 44 
¿Cuántos números de 5 cifras significativas del 
sistema nonario existen de tal manera que el 
producto de sus cifras sea un número impar? 
A) 64 B) 128 C) 256 
D) 512 E) 1024 
Resolución 
Para que el producto de cifras sea impar, nece- 
sariamente todas las cifras tienen que ser impa- 
res. Entonces, 
- 
Q
u
 
0
 
=d
 
LA
 
a 
A 
—Á 
=)
 
LA
 
a 
is
 
—
 
sd
 
AN
 
p
k
 
EY
 
=d
 
UN
 
ul 
mn 
—
 En
 
frase de JA xá 
umerale 
= 1024 
Por lo tanto, hay 1024 números que cumplen la 
condición. 
_cuave Y)
e" 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 45 
¿De cuántas formas diferentes se podrá premiar 
a los 3 primeros puestos en la etapa final de un 
concurso de matemáticas con medallas de oro, 
plata y bronce si en esta última etapa clasifica- 
ron 20 estudiantes? 
A) 6840 
B) 3420 
C) 1140 
D) 4520 
E) 2680 
Resolución 
Para premiar a los estudiantes, se tiene que 
puede recibirla puede recibirla puede recibirla 
cualquiera de —Cualquierade cualquiera de los 
los 20 estu- los 19 estudian- 18 os 
Muria salis ais restantes 
medalla medalla 
de oro de plata Dar broeá 
pa )* 200 x 19 x 18 
formas 
Por lo tanto, se puede realizar la premiación de 
6840 maneras diferentes. 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 46 
Un club deportivo tiene 15 miembros y se pre- 
sentan candidaturas de 3 integrantes para elegir 
un presidente, un vicepresidente y un secreta- 
rio. ¿Cuántas candidaturas diferentes pueden 
formarse si cualquier miembro del club puede 
 
ocupar cualquier cargo? 
A) 1260 B) 640 C) 2370 
Dj 2730 E) 2980 
Resolución 
Para formar una candidatura se tiene que: 
puede ocuparla 
cualquiera de los quedan 14 quedan 13 
15 miembros opciones opdlones 
| | | 
Presidente | Vicepresidente | Secretario 
 
 Totalde Y 15 x 14 x 13 candidatos) 
= 2730 
Por lo tanto, se pueden formar 2730 candidatu- 
ras diferentes. 
_cuave Y 
PROBLEMA N.* 47 
Una familia compuesta por papá, mamá, hijo, 
hija y abuelita posan para una foto en 5 sillas 
alineadas. Si la abuelita ocupa la silla central, 
¿de cuántas formas pueden distribuirse las per- 
sonas para la foto? 
A) 25 B) 4 c) 20 
D) 120 E) 24 
UNMSM 2004-11 
43
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
Resolución 
Gráficamente se tendría: 
serárocupados por el papá, 
la mamá, el hijo y la hija, 
además permutan entre ellos 
| | ] 1 
fijo 
Total de L 
formas 4l 
=4x3x2x1 
=24 
Por lo tanto, se pueden ubicar de 24 formas di- 
ferentes. 
_cuave ) 
PROBLEMA N.” 48 
María tiene 3 DVD de películas de terror, 2 de co- 
media y 4 de acción. Si los quiere ordenar en un es- 
tante de tal manera que los de un mismo género va- 
yan juntos, ¿de cuántas formas los podrá ordenar? 
A) 864 B) 1728 C) 720 
D)| 1820 E) 1278 
Resolución 
Gráficamente se tiene que: 
terror comedia acción 
A pu np e, 
TIRITNIC 6 1A, 142 | As | Ay 
| 
i solo i solo 1 solo 
Permutan 
Cc Permutan 
TF 
pitón 5 A yO A 
AV rormas 939% x 2lx 41 
Do Permutan T; Cy A 
Permutan 
= bx6x2x24 
= 1728 
Por lo tanto, se pueden ordenar de 1728 formas 
diferentes. 
_cuave QU) 
PROBLEMA N.* 49 
¿Cuántos partidos deben programarse en un 
campeonato de fútbol de dos ruedas en el que 
intervienen 12 equipos? 
A) 142 B) 124 Cc) 120 
D) 108 E) 132 
UNMSM 2004 - 11 
Resolución 
Para programar un partido se debe seleccionar 
a 2 equipos de los 12 que hay. Entonces: 
Primera rueda — Segunda rueda 
Total de|_ .12 12 
Hino 1 + a 
= zo 
121 
5 XxX 
2 101x M 
AL 1112 
101 
= 132 
Por lo tanto, se deben programar 132 partidos. 
_Cuave E)ANÁLISIS COMBINATORIO 
 e 
PROBLEMA N.? 51 
NIVEL INTERMEDIO 
En el Congreso de la República se desea formar 
PROBLEMA N.* 50 la comisión de ética para 
la investigación de cier- 
En un sistema de ejes coordenados, una hormi- 
ga se encuentra en el punto (-4; —-5) y desea 
desplazarse hasta el punto (2; 3). ¿De cuántas 
formas diferentes podrá llegar a su destino sin 
retroceder ni pasar por el origen del sistema de 
coordenadas? 
A) 1477 B) 1743 C) 1760 
D) 1250 E) 1648 
Resolución 
Gráficamente 
h punto 
1 09 45 d6s |369 783 (e; 3) 
 
1743 
1 8 36 [120 |204 |414 [960 
 
1 7 28 |34 Jas [210 |546 
 
1 6 21 ¡56 126 [336 
 
 
1 a 10 20 35 56 84 
 
 
 
 
Por lo tanto, puede ir de 1743 maneras. 
_cuve Q) 
tos congresistas, para ello se reúnen 10 congre- 
sistas del partido A, 8 congresistas del partido 
B y 6 congresistas del partido C. ¿De cuántas 
maneras diferentes se puede formar dicha co- 
misión si debe estar compuesta por 7 congre- 
sistas donde debe haber al menos dos de cada 
partido? 
A) 56 700 
B) 52600 
C) 423000 
D) 120 600 
E) 113 400 
Resolución 
Hay 
10 congresistas del partido A 
8 congresistas del partido B 
6 congresistas del partido € 
Se debe seleccionar a 7 de ellos, donde debe 
haber al menos 2 de cada partido. 
(3A y 2B y 2C) 0 (2A y 3B y 2C) o (2A y 2B y 3C) 
10 10 
e do + O7xc3x CS + CAGA 
120x28x15 + 45x56x15 + 452820 
 
50 400 + 37800 + 25200 
113 400 
_ CLAVE S 
45 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.* 52 
Para ir de Lima a Trujillo hay 8: líneas de trans- 
porte diferentes y para ir de Trujillo a Huancha- 
co hay 5 líneas de combis diferentes. ¿De cuán- 
tas maneras diferentes puede ir María de Lima a 
Huanchaco y regresar pero en líneas diferentes? 
A) 560 B) 800 C) 1600 
D) 1120 E) 1240 
Resolución 
5e tiene que 
8 lineas 5 líneas 
O) — A — Ga 
Total de . y unta > 
formas 1 x dx 
= 40 x 28 
= 1120 
_cuve (Y) 
PROBLEMA N.”* 53 
Al cumpleaños de Germán asisten 7 amigos y 5 
amigas. 5 al ritmo de la orquesta Germán deci- 
de cantar una canción y sus amigos en la pista 
deciden bailar, ¿de cuántas maneras pueden in- 
tegrarse en parejas para bailar? 
A) 120 
D) 2520 
B) 1260 C) 1890 
E) 5040 
46 
a 
Resolución 
En la pista de baile hay 7 varones y 5 mujeres 
que deben formar parejas de baile. 
Consideremos que las mujeres escojan a su pa- 
reja de baile 
 
 
M, | M, | My | Ma | Ms 
E y 1 
=7x6x5x4x3 
 
Total de 
opciones 
= 2520 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 54 
De un grupo de 10 mujeres y 14 varones, ¿de 
cuántas maneras se puede escoger de entre 
ellos 2 parejas para un baile? 
A) 4095 B) 8240 Cc) 8190 
D)] 7840 E) 7920 
Resolución 
Hay 10 mujeres y 14 varones, de los cuales se de- 
ben seleccionar 2 mujeres y 2 varones para que 
bailen. 
 
 
Sean VW, VW, MI, y MA, 
los seleccionados al bailar 
V, y M, o V, y M, 
VW YM, ) (W,yM, 
 total d ms y Evan e 
| cz xr x2 
=45 x91 x2 
= 8190 
_cuve Y)
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
 Y 
PROBLEMA N.? 55 Resolución 
Jesús debe pintar una bandera que tiene 5 fran- — Dígitos: (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) 
jas horizontales y para ello dispone de cuatro 
¡A o cero 
colores diferentes de pintura: rojo, verde, ama- 
rillo y blanco. Si dos franjas contiguas no pue- 
den pintarse de un mismo color, ¿de cuántas 
maneras distintas se podría pintar la bandera? 
A] 648 B) 1024 C) 256 
Dj) 423 E) 324 
Resolución 
Se tiene 4 colores R, V, A y B. 
—= dl COÑOMES para escoger 
.otn | Solo quedan 3 
— | colores para escoger 
 
Foral de > 4x3x3x3X3=324 
maneras 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 56 
En un asalto al banco, un ladrón quiere abrir la 
bóveda cuya clave consta de 5 dígitos. Solamen- 
te sabe que los dígitos posibles a utilizar son los 
mismos que sé utilizan en el sistema octanario y 
"que el primer y último dígito deben ser impares 
o cero. ¿Cuántos intentos como máximo deberá 
realizar el ladrón para poder abrir la bóveda? 
A) 12800 
D) 6540 
B) 5488 C) 6400 
E) 16807 
 
 
bol 
5x 8x8x8X5= 1280 
CLAVE [ 
 
PROBLEMA N.* 57 
Sean los conjuntos 
V=([A; E; 1; O; U) 
B=(1; 2; 3; 4; 5; 6) 
Se desea elaborar placas (para autos) de la for- 
ma v,v,b,b,b,b, donde v, € V; b,€ B de mane- 
ra que no existan dimbalos repetidos. Entonces 
el número total de placas diferentes será 
A) 7200 B) 1321 C) 480 
D) 32 250 E) 32 400 
UNI 2005 - 11 
Resolución 
Se tienen los conjuntos 
V=(A,E,1,0,U) B=([1; 2; 3; 4; 5; 6) 
Entonces 
E V eEB 
La 4 E . 
 
Vi |V b; ba bz Da 
Í 1 / ¡ Í | 
5x4x6x5x4x3 = 7200 
 
CLAVE 
47
LUMBRERAS EDITORES 
 
PROBLEMA N.? 58 
Leonardo desea llamar por teléfono a su ena- 
morada Lucero pero solo recuerda los 4 prime- 
ros dígitos y que los 3 últimos digitos son iguales 
pero diferentes de cero. Si cada llamada cuesta 
5/.0,40, ¿cuánto debe invertir como máximo, 
para poder llamar a Lucero? 
Aclaración: el número telefónico consta de 9 
dígitos. 
A) 5/.420 B) S/400 C) S/.360 
D) S/.285 E) 5/,340 
Resolución 
Se conocen los 4 primeros dígitos, solo falta 
averiguar los últimos 5 digitos. : 
son iguales 
LAA AÁAAÁáA, 
 
XK XxX |A 
o 
10x10 x 39 
 total de 
(T números 
= 900 
 
Luego, A Ó 
llamada 
Total de > 900 x(S/.0.40) 
invertir 
= 5/.360 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 59 
Una familia compuesta por un padre, una ma- 
dre y 3 hijos (1 varón y 2 mujeres) salen de pa- 
seo al campo. ¿De cuántas formas se pueden 
acomodar en un auto de 5 asientos, si solo los 
varones saben manejar?; además, al lado del pi- 
loto debe ir una mujer. 
A) 32 
D) 36 
B) 18 C) 24 
E) 48 
48 
Ga a 
Resolución 
En el auto abordarán 2 varones y 3 mujeres, 
2 opciones 
 
los 3 que van atrás 
pueden permutar 
Total de 
más J=2xaxa! 
=2x3x6 
= 36 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 60 
¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se 
pueden formar con las cifras 1,3, 4,5,7,8 y 9 si 
estos deben ser mayores que 60007? 
A) 360 B) 420 C) 240 
D) 180 E) 280 
Resolución 
$e tienen 3 casos: 
A 
6x5x4 + 
 
6x5x4 
120 + 120 + 120 
6Bx5x4 + 
> (Total de números)=360 
_cuve Y)
 
 
 
 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO II A A A .. 
PROBLEMA N.* 61 Resolución 
En un matrimonio civil comunitario 5 parejas de Gráficamente se tendría: 
esposos posan en fila para una fotografía, ¿De: 1 solo 
cuántas maneras pueden ubicarse si los miem- Alblicio 
bros de cada pareja deben aparecer juntos? 
i +Permutan J y E 
A) 960 8) 1920 C) 3840 (Total de formas)=61x2! 
D) 5040 E) 7220 
=720x2 
. =1440 
Resolución 
Gráficamente tendríamos: _cuave (Y) 
isolo 1solo isolo 1solo 1solo 
Va [Mi] Va [M,] V3 [Ma] Va [Má] Vs [M5 
: PROBLEMA N.* 63 xi xd x2 x2 xa 
(Total de maneras) = 51x2x2x2x2x2 
= 3840 
_ciave 
PROBLEMA N.?” 62 
Johnny, Eliana y 4 amigos más van al teatro y 
encuentran disponibles 8 asientos vacios en 
una misma fila. ¿De cuántas formas diferentes 
se podrán ubicar si entre Johnny y Eliana debe 
haber un asiento vacio? 
A) 680 
B) 1440 
C) 720 
D) 240 
E) 1260 
Una familia compuesta por papá, mamá y sus 4 
hijos asiste al cine y encuentran una fila con 9 
asientos vacios. ¿De cuántas maneras diferen- 
tes se podrán ubicar, si los padres deben sen- 
tarse juntos? 
A) 4500 
B) 6220 
C) 6720 
D) 13440 
E) 8420 
Resolución 
Sean las personas: P; M; A; Hu H, Y Ha 
Entonces, graficando se tendría 
 
 
 
Astentos vacios 
amenos ns) 
zea 1.4.1 
p m]a H¿|H3|Ha 
LA 1.1117 
B elementos 
49
LUMBRERAS EDITORES 
 
Se tendría una permutación con elementos re- 
petidos. 
Permutan Py M 
Total de Bl 
formas lara 
S _—__——— Ey 
11 111111131 
40320 
6 
=6720x2 
=13 440 
x2 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 64 
Ocho amigos (3 mujeres y 5 varones) se sientan 
en una fila con 8 asientos. ¿De cuántas maneras 
pueden ubicarse si las mujeres deben estar jun- 
tas y Jaime se sienta al lado de Erick?A) 1240 B) 1440 c) 1120 
D) 1280 E) 1410 
Resolución 
Gráficamente se tendría 
AA A 
M,|M¿| M3 |V1 | Va | Vall J | E 
 
 
 
ti NADIA ID 
1 solo 1 solo 
Permutan las mujeres 
id Permutan y E 
Total del 21,1%21 
formas 
=120xb6x2 
=1440 
_cuave Y) 
50 
e e ll 
PROBLEMA N.* 65 
Seis amigos (3 varones y 3 mujeres) van de cam- 
pamento y por la noche hacen una fogata. Indi- 
que de cuántas formas se podrán sentar alrede- 
dor de la fogata en los siguientes casos: 
* > Silas mujeres desean sentarse juntas. 
+ Si Ana y Betty desean sentarse lo más lejos 
posible. 
l 
A) 36; 48 B) 36; 24 C) 72,24 
D) 48; 48 E) 36; 18 
Resolución 
1 solo 
V/ PS 
Va 
Y 
ur las 
Total de mas 
formas Je apa! 
=3 1x3! 
=36 
CH) — fio 
E 67 
E] 17 
(Hey) 
Fijamos a una persona (Ana) y como Betty 
está frente a ella, también se fija a ella. 
Todos permutan, menos 
(Ana y Betty 
Total de 
formas 
=24 
_Cuave
e A ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 66 
Seis hermanas ingresan al cine acompañadas de 
sus enamorados y de sus 3 hermanos menores. 
Si encuentran 15 asientos vacios en una fila, ¿de 
cuántas maneras podrán sentarse de tal manera 
que los hermanos no separen a ninguna pareja? 
A) 121x2? B) 91x2? C) 81x2* 
D) 101x2 E) 121x2* 
Resolución 
Para que los hermanos menores no separen a 
sus hermanas de sus enamorados, necesaria- 
mente las parejas deben estar juntas. 
 
1 solo. 15olo 15olo slo e 1 solo 
Total de |-o x2x2x2x2x2x2 
formas 
=91x 28 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.”" 67 
Un grupo de 4 varones y 3 mujeres se deben 
ubicar en una fila. ¿De cuántas maneras dife- 
rentes se pueden ubicar si las mujeres no deben 
estar juntas por ningún motivo? 
A) 1440 
B) 720 
C) 1280 
D) 672 
E) 848 
Resolución 
Primero fijemos a los varones y después ubica- 
mos a las mujeres de tal manera que no hayan 
2 mujeres juntas. 
5 lugares para ser ocupados por M,; M, y M, 
Y lv Ya 1 Va 
permutan 
tds ce J=alx5xax3 
=1440 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 68 
Lucero, Francesca, Mariela, Karen, John, Leo- 
nardo, Kike y Omar ingresan a la piscina y se 
colocan alrededor de un flotador. ¿De cuántas 
maneras diferentes se podrán ubicar si los varo- 
nes no pueden estar juntos? 
A) 120 B) 72 C) 360 
D) 144 E) 36 
Resolución 
Deben ubicarse de forma intercalada. 
John Leonardo 
Permutan las a 
Permutan varones 
[ta de a " 
al x41 
=6x24 
=144 
_cuave 
51
 
PROBLEMA N.* 69 
_¿De cuántas maneras 3 argentinos, 4 peruanos, 
4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, orde- 
nadamente, en una mesa redonda de modo que 
los de la misma nacionalidad se sienten juntos? 
A) 3456 B) 6912 C) 20736 
D) 41472 E) 165 888 
UNI 2002 - 11 
Resolución 
Los de una misma nacionalidad deben estar juntos. 
 
Total de 
formas 
) =p (A)x3Ix41xaDx2! 
=31x31x41x41x21 
=6x6x24x242 
=41 472 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 70 
Un grupo de seis amigos deciden ir de campa- 
mento y en la noche realizan una fogata, ¿De 
cuántas formas se podrán sentar alrededor de la 
fogata si dos de ellos no pueden sentarse juntos? 
A) 36 
D) 96 
B) 72 C) 78 
E) 112 
52 
recon Y 
Resolución 
Sean A, B, C, D, E y Flos amigos. Consideremos 
que E y F no deben estar juntos. 
1. Ubicamos a los amigos A, B, C y D. 
2. Luego ubicamos a E y F de tal manera que 
no estén juntos. 
a 
S 
Quedan 
á espacios 
para EyF 
[07 
A 
AB,CyDE E 
A, pa pl, 
=P (4)x4x3 
= 3 x4x3 
=)?2 
Total de 
formas 
 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.* 71 
El chef Juan invita a cenar a 5 de sus amigos y 
deben de escoger entre dos platos distintos que 
ha preparado. ¿De cuántas maneras diferentes 
se podrán ubicar alrededor de una mesa circu- 
lar con 6 asientos de colores diferentes numera- 
dos del 1 al 6 y escoger un platillo, si importa el 
color de la silla en que se ubican? 
A) 32560 
B) 29210 
C) 58420 
D) 23040 
E) 46.080
"O 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Como los asientos son de colores diferentes y 
nos importa el color de la silla en que se ubican, 
entonces: 
permutan 6 personas en hay 2 opciones para 
6 asientos de colores escoger un platillo 
diferentes [importa el color) 
Total de 
formas 
 
Lota Ia 2 x2x2 
=7 2064 
=46 080 
_CLave d 
PROBLEMA N.* 72 
Seis amigos van a una pastelería en la que se 
sientan alrededor de una mesa circular y cada 
uno de ellos elige un tipo de pastel de los 6 tipos 
diferentes que hay. ¿De cuántas maneras pue- 
den ubicarse y hacer su pedido si a 3 de ellos solo 
les gusta 3 de los 6 pasteles que hay?; además, 
Emanuel se sienta al lado de su novia Eliana. 
A) 559872 
B) 279936 
C) 139968 
D) 69 984 
E) 23328 
Resolución 
1. Se ubican en la mesa (2 de ellos juntos). 
2.” Escogen su pastel (3 de ellos tienen 6 opcio- 
nes, y los otros 3 tienen 3 opciones). 
 
 
Seubican y escogen pastel 
o ne Ps (5)x21 x 6x6x6x3x3x3 
=41 x2lx 6xbxbx3x3x3 
=48 x 5832 
279936 
| _cuve 
PROBLEMA N.* 73 
Se lanza una moneda 10 veces, ¿de cuántas mane- 
ras diferentes se pueden obtener 5 caras y 5 sellos? 
 
A) 245 B) 252 C) 248 
D) 225 E) 235 
Resolución 
Se tiene que 
rrrrserrro 
TT ECO 
ccc c c 55555 
El número de formas que pueden salir 5 caras y 5 sellos 
será permutando estos elementos 
Número de =p10 
maneras | 55 
101 101 = 252 
Sh<5! 
_cuave GD) 
53
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.* 74 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubi- 
car 3 parejas de esposos en una fila con 8 asien- 
tos, si cada pareja desea estar siempre junta? 
A) 480 B) 240 C) 360 
D) 600 E) 960 
Resolución 
Sean las parejas V My; v,-M, y v," M,. 
Al ubicarlos en una fila con 8 asientos se tendría. 
 
 V, [Mi | V¿|M,| V3 [M3 
4 1 solo 1 solo isolo 2 asientos vacios 
(se considera como 
elementos iguales) 
Total de 5 3 
formas Jan. 1,1; q 
= A 
11x11x11x21 
= 3 
2l 
= 480 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 75 
Con todas las letras de la palabra ALIBABA, 
¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, 
si las vocales deben ir a los extremos? 
A) 180 
D) 60 
B) 150 Cc) 120 
E) 80 
54 
Resolución 
Se tendrian 2 casos: 
Os 
 
 
 
 
 
A|LIBAB|A o AIBABA|/ 
AAA o 
q 5 
Poa1,2 E Pr 292! 
51 51 
c+ 
1x11x11x21 11x21x 21 A 
51. 5 
— + — 
2l 2 
50 +60 
120 
_cuave ) 
PROBLEMA N.* 76 
¿Cuántos números de 8 cifras del sistema octa- 
nario cumplen que el producto de sus cifras es 8? 
A) 56 B) 112 Cc) 120 
D) 48 E) 28 
Resolución 
Se tendría 2 casos 
Permutan las cifraz 
ES 
(/1f111/1f1/2/4/0 (1/1f13f1/1[2/2/2] 
Pe, 151 * es 3 
_2 . BL 
6lx11x 1! 531 
56 + 56 
112 
_ciave $)
e a 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.? 77 
¿Cuántos numerales de 7 cifras del sistema sena- 
rio existen tal que la suma de sus cifras sea 33? 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 25 E) 28 
Resolución 
Se tendrían 2 casos 
Permutan las cifrás 
LAS 
[sIs[sisi5Is[3]0 [sIsi5[5|5[a]a) 
 
 
7 7 
Po.1 + Ps. 
7 71 
—— + 
6lx 1! 5ix 21 
7 + 21 = 28 
_Cuave Y) 
PROBLEMA MN.” 78 
Si (m, n, p, q) < Z¿, determine el número de 
soluciones que tiene la ecuación: 
m+n+p+q=10 
A) 268 B) 286 Cc) 432 
D) 143 E) 232 
Resolución 
Podemos — utilizar separadores como 
m+n+p+g=10, entonces 
TE A A ||| 
A 
10 unidades 3 signos (+) 
Permutando las + y los | se encuentran las 
soluciones. Por ejemplo, una solución sería: 
sae kasado mía 6d 
A» y 
3 + + 2 + 3 = 10 
13 
- (NS de soluciones) =P23., =—— 
10:37 101x31 
_ MÍ 11 12x13 
10Í x6 
 11x12x13 
6 
=286 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.” 79 
Rosita tiene 12 amigas y el fin de semana or- 
ganizará una cena, ¿de cuántas maneras puede 
invitar a 6 de ellas si Karina debe asistir de todas 
maneras? 
A) 720 B) 792 C) 116 
D) 232 E) 462 
Resolución 
Como Karina asiste a la cena, entonces solo falta 
invitar a 5 amigas de las 11 restantes. 
 (N.2 de maneras) =cY = 
6!x 51 
_ BÍx7xBx9x10x11 
_ BÍxs! 
_7x8x9x10x11 
- 120 
= 462 
_ciave 
55
LUMBRERAS EDITORES * 
PROBLEMA N.* 80 
En una circunferencia se ubican9 puntos, 
¿cuántos cuadriláteros convexos con vértices 
en esos puntos se pueden construir? 
A) 3024 
B) 63 
C) 126 
D) 144 
E) 252 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
Para construir un cuadrilátero se necesita unir 
4 puntos. 
- Escogemos 4 puntos de un total de 9. 
Número de g ql 
cuadriláteros) —* 5x4! 
 
_BÍX6X7X8X9 
Six 4! 
_6x7x8x9 
24 
=126 
_cuve Y 
56 
PROBLEMA N.' 81 
Un equipo de fulbito consta de 10 jugadores, si 
solo deben salir 6 a la cancha, ¿de cuántas ma- 
neras se puede seleccionar al equipo si Samuel 
no puede jugar al lado de Cristian?; además, el 
equipo cuenta con 2 arqueros. 
A) 72 B) 28 C) 96 
D) 78 E) 84 
Resolución 
Resolvemos el problema de forma indirecta, 
Para seleccionar a los jugadores que saldrán a la 
cancha debemos escoger 1 arquero y 5 jugadores. 
Casos ( cuando Samuel y 
 
 
totales Cristian juegan juntos 
(1Ara.) y (Siue) (1 Ara) y (2 uel 
xn - 2x € 
8! 6! 
” 2 x 
31x5! 31x31 
112 - 40 
72 
_cuave 
PROBLEMA N.* 82 
Un equipo de béisbol consta de 6 jardineros, 7 
jugadores de cuadra, 5 lanzadores y 2 receptores 
(entre titulares y suplentes). ¿De cuántas formas 
diferentes se puede elegir un equipo de 9 juga- 
dores, sabiendo que deben haber 3 jardineros, 4 
jugadores de cuadra, un lanzador y un receptor? 
A) 7 8) 70 C) 700 
D) 7000 E) 70.000 
UNI 1999 -1
al z 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolución 
Se tiene: 
Jardineros —6 
J, de cuadra => 7 
Lanzadores 5 
Receptores — 2 
Se necesita 
(3 jard.) y (4 cdra.) y (1 lanzador) y (1 receptor) 
-7 -5 CS xo Cc Xx G x d 
20 xx 3-5 x 5 xXx 2 
_cuave 
 
7000 formas diferentes 
PROBLEMA N.* 83 
En un plano existen n puntos, en el que no hay 
más de dos que sean colineales y con los cuales 
se forman segmentos tal que el número de es- 
tos es igual a 5n. Halle el valor de n. 
A) 8 B) 9 Cc) 10 
D) 11 E) 15 
UNMSM Z010-1 
Resolución 
5e tiene un plano P con n puntos 
Para formar un segmento se debe unir 2 puntos 
cualesquiera. 
Nos piden n y como dato tenemos que 
Número de LS 
segmentos | 521 
 
C) =5n 
ni 
—— == 59 
(n-2)1x21 
 
PROBLEMA N.” 84 
Rodrigo tiene 10 amigos, pero 2 de ellos no 
pueden asistir juntos a la misma reunión. ¿De 
cuántas maneras diferentes podrá invitar a 6 de 
sus amigos? 
A) 128 
B) 132 
C) 124 
D) 140 
E) 160 
57
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Resolveremos el problema de forma indirecta, 
es decir, calculamos los casos sin restricciones 
y restamos los casos cuando los 2 amigos van 
juntos. 
E 
 
totales [| vanjuntos 
E .= Como 2 asisten solo 
CH —- CPi— faltainvitara 4 
a de los 8 restantes 
101 _ al 
4álx6! 441 
BÍXTX8Bx9Xx10 _ AÍX5x6x7x8 
ax pÍ Mxa! 
/x8x9x10 5x6x7x8 
24 24 
 
 
210-70=140 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.* 85 
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales 
Manuel debe contestar 8. Si de las 5 primeras 
debe contestar al menos 4, ¿cuántas posibilida- 
des tendrá Manuel para elegir las 8 preguntas? 
A) 200 
8) 210 
Cc) 180 
D) 160 
E) 172 
58 
Resolución 
Se debe contestar 8 preguntas de un total de 
12. Entonces: 
 
 
Ron ORGIAS UNE Td 
A a E 
Preguntas | 1al5 [Gal 12| o | 1al5 ¡Gal 12 
| | | | Total de 
formas |= Ch x q r Ex G 
=5x35 3+ 1 x35 
= 175 + 35 
= 210 
_Cuave ) 
PROBLEMA N.* 86 
En una juguería se dispone de 7 frutas diferentes. 
¿Cuántos jugos surtidos se pueden preparar? 
A) 120 B) 60 Cc) 112 
D) 128 E) 127 
Resolución 
Se tiene un conjunto F de 7 frutas 
F=[a, b, c, d, e, f, g) 
Para preparar jugos surtidos necesitamos al me- 
nos 2 frutas [por ejemplo; ab, abc, edcb, ...) 
 
Entonces: 
mas] 7 7 7 7 7 O 
Ni A E gt E, + EA Eg Cgr gt Eg? E7C, 
2? -1-7 
= 128-—8 
= 120 
_cuave
e 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
PROBLEMA N.* 87 : 
De una baraja de 52 cartas se extraen 6 cartas. 
Indique de cuántas formas diferentes se puede 
obtener: 
* Cuatro diamantes y dos tréboles. 
* Cuatro cartas de un mismo valor y las otras 
de cualquier valor. 
Dé como respuesta la suma de resultados. 
A) 62 420 B) 70.434 C) 45 460 
D) 54 600 E) 72 430 
Resolución 
Se extraen 6 cartas de una baraja de 52 cartas. 
 
13 cartas 
* Se quiere 
Cie) y Ce) 
 
 
 
 
ox cr 
131 G 131 
91x41 11x2I 
715x78 
=55 770 
* Se quiere 
4 cartas de un 2 cartas 
mismo valor | Y | cualesquiera 
AB 
13 Xx c 2 
13 x 481 
46x2! 
13 x 1123 = 14 664 
Piden 
55 770+14 664=70 434 
_cuave 
PROBLEMA N.” 88 
Erika debe repartir 10 regalos entre sus tres so- 
brinos. ¿De cuántas maneras diferentes puede 
repartir los regalos si el mayor debe recibir 4 re- 
galos y los menores 3 regalos cada uno? 
A) 4200 
B) 2100 
C) 3450 
D) 5400 
E) 4800 
Resolución 
Se debe repartir 10 regalos entre 3 sobrinos. 
Escogemos 4 Escogemos 3 Escogemos 3 
regalos de los regalos de los regalos de los 
10 que hay 6 que restan 3 que restan 
$ 1 | 
mayor (4) intermedio (3) menor (3) 
ox ox e 
 
101, 6l 
blx 4! 31x 31 
210 x 20 x 1 
4200 
59
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
PROBLEMA N.* 89 
¿Cuántos paralelogramos se forman al cortarse 
un sistema de 7 rectas paralelas con otro siste- 
ma de 9 rectas paralelas? 
B) 912 A) 756 C) 726 
D) 786 E) 448 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
 
Para formar un paralelogramo se deben inter- 
sectar 2 rectas de un sistema (=) con 2 rectas 
del otro sistema |//). 
(2 rectas =) y (2 rectas //) 
 
 
Total de _ 9 7 
paralelogramos | E a E 
_ A x 71 
7x2! 51x21 
= 36 x 21 
= 756 
A) 2240 
PROBLEMA N.* 90 
Los lados de un cuadrado se han dividido en 4 
partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir 
cuyos vértices sean los puntos de división? 
A) 126 B) 212 C) 216 
D) 248 E) 252 
Resolución 
Gráficamente se tiene 
 
; 
 
Para construir un triángulo se deben unir 3 pun- 
tos no colineales. 
Escogemos 3 puntos 
de un total da 12 Casos donde 
hay 3 puntos 
Total de l Fr colineales 
: Jae db triángulos 3 
y 
91x 3| 
=220 - 4 
= 216 
_Cuave 
PROBLEMA N.* 91 
Entre 7 diccionarios diferentes y 4 obras literarias 
diferentes se seleccionan 3 diccionarios y 2 obras, 
y se colocan en una estantería de forma que las 
obras vayan a los extremos, Halle el número de 
formas en que esto se puede llevar a cabo. 
B) 2520 C) 2340 
D) 2250 E) 2460
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 ds” 
Resolución 
Se tienen 7 diccionarios y 4 obras. 
Ordenamos 2 de 4 
| Ordenamos 3 de 7 | 
A AA 
[ obra | Dicc. | Dicc. | Dicc. | obra | 
T T pa] 
 
4x7x6x5x_3=-2520 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 92 
Un grupo de 8 amigos (5 varones y 3 mujeres) 
desean tomarse una foto, pero debido al espa- 
cio solo pueden ubicarse 5 de ellos. ¿Cuántas 
fotos diferentes se podrán tomar si en la foto 
debe haber al menos una mujer y un varón? 
A) 6600 B) 6200 C) 6060 
DJ) 6560 E) 6006 
Resolución 
Debemos escoger a las 5 personas y luego las 
ordenamos. " 
(ordenamos) 
(escogemas a 5 personas) 
2. IVY BM a rl ir 
pe =(cxci+cixci+cixci)xsi 
H (10x1 + 10x3 + 5x3) x 5! 
= 55 x 120 
_ CLAVE > 
6600 
PROBLEMA N.* 93 
En un club deportivo, con 20 miembros, hay 
que formar un equipo de 4 personas para par- 
ticipar en una carrera de relevos de 500 metros 
(50-100-150-200). ¿De cuántas maneras se 
podrá formar el equipo? 
A) 58140 B) 116280 C) 232560 
D) 77520 E) 112 860 
Resolución 
Seleccionamos a los 4 que participarán en la ca- 
rrera y luego los ordenamos. 
Seleccionamos 
 
 
a 4 de ellos Ordenamos 
Número dej _ 20 
maneras “ € Xx 41 
_ 2a 
161x 41 
= 4845 x 24 
= 116 280 
_cuve 
PROBLEMA N.* 94 
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas 
y diferentes existen que tengan al menos una 
cifra impar en su escritura? 
A) 3024 
B) 3000 
C) 3200 
D) 3420 
E) 2820 
61
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Resolveremos el problema de forma indirecta. 
1.2 Calculamos todos los números de 4 cifras 
significativas y diferentes. 
ob cd 
dd) 
9x8x7x6=3024 
2.2 Calculamos todos los números de 4 cifras 
significativas y diferentes queno contengan 
una cifra impar en su escritura. Es decir, solo 
disponemos de las cifras 2; 4; 6 y 8. 
ob cd 
E 
áx3x2x1=24 
Luego; 
dE |- 3024-24=3000 
úmeros 
_cuave 
PROBLEMA N.” 95 
Miguel ha adquirido 5 libros de análisis mate- 
mático diferentes y 4 libros de física diferentes. 
¿De cuántas maneras puede acomodar 2 libros 
de análisis y 3 de física en un estante con espa- 
cio para cinco libros? 
A) 3600 B) 4800 Cc) 720 
D) 1440 E) 72 
Resolución 
Se tiene 5 libros de análisis matemático (AM) y 
4 de fisica (F). 
62 
Seleccionamos a 2 de AM con 3 de F y luego los 
ordenamos. 
AE EE É cerrara a ii 
 
Total de 5 Y, 
=C 4 formas 2 + G x 5) 
5! dj! 
= — x 
31x21 11x 31 
= 10 x dá x 120 
Ea 4800 
_cuave 
PROBLEMA N.* 96 
En una urna se tienen 20 esferas numeradas del 
1 al 20. Si se eligen 3 esferas al azar, ¿de cuántas 
formas se puede obtener al menos un número 
divisible por 4? 
A) 685 
8) 586 
C) 856 
D) 432 
E) 243 
Resolución 
Del 1 al 20 se tiene 
o 
5 números que son 4 
o 
15 números que no son 4 
Escogemos al azar 3 números tal que al menos 
uno de ellos sea 4,
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Resolviendo de forma indirecta. 
 
 
 
Escogemos a Escogemos 3 
p números in] pines y que ] 
restricciones ninguno sea 4 
Total de NN _ (5 il 
formas] 73 3 
201 151 
217x317 121x3l 
= 1140 - 455 
= 685 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 97 
Se tienen cinco números positivos y seis núme- 
ros negativos (todos diferentes). ¿Cuántas ter- 
nas de números se pueden formar de tal mane- 
ra que el producto de ellos sea positivo? 
A) 75 B) 96 o 72 
D) 85 E) 100 
Resolución 
Se debe escoger 3 números tal que su producto 
sea positivo, si se tiene 5 números positivos y 6 
negativos. 
 
 
 
(3 positivos) O (2 negativos y 1 positivo) 
go +. 4 xd 
51 61, 5 
21x 3! álx2l 4lx1! 
10 + 15 x 5 
85 
Por lo tanto, son 85 ternas de números que su 
producto es positivo. 
_Ccuve 
VERE RRA A FG 1 AB A 
- PROBLEMA N.* 98 
Con los dígitos O, 1, 2, 3, 4,..., 8 y 9, ¿cuántos nú- 
meros de tres cifras podamos formar si 'a suma 
de sus cifras debe ser par? 
A) 455 B) 475 C) 450 
D) 472 E) 520 
Resolución 
Tenemos los siguientes casos: 
PPP JO[P|1 E pp I1jP 
 
 
200 211 110 
4 22 433 z > > 3372 
644 655 545 554 
866 8 77 767 776 
8383 99 989 998 
4x5x5 dx5x5 5x5x5 5x5x5 
Total de 
dormia Juax5x5Hx5x5+5x5X5+5X5X5 
= 100 + 100 + 125+ 125 
= 450 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.” 99 
Javier dispone de nueve fichas numeradas del 
1 al 9. ¿De cuántas maneras diferentes se po- 
drá tomar cuatro de ellas y lograr que su suma 
sea par? 
A) 72 B) 48 C) 56 
D) 66 E) 76 
63
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Se tiene 
eJejelelelolololo 
9 fichas (4 pares y 5 impares) 
 
Escogemos 4 fichas al azar tal que la suma de 
ellas sean par. 
Se tienen los siguientes casos: 
(1 29.) ( .. ( fichas spa] 
pares impares y 2 impares 
A A 
Total d (fermas)o + + a 
=1 +5 + 6x10 
= 1 + 5 + 60 
= 66 
_cuve Y 
PROBLEMA N.* 100 
Se tienen 4 perritos de peluche de color blanco 
y 3 de color negro (todos de diferente tamaño). 
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubi- 
car en una repisa donde solo entran 5 de ellos y 
además deben estar alternados según el color? 
A) 72 B) 144 C) 216 
D) 220 E) 238 
Resolución 
Se pueden ordenar de 2 maneras 
[¡BIN|B¡N/B o|N[B[N[B|N 
(Total de)= 4x3x3x2x2 + 3x4x2x3x1 
formas 
 
144 + 72 
= 216 
_cuve Y 
64 
Aran ean pu . hy 
PROBLEMA N.?* 101 
Una ficha de dominó consiste en dos mitades, 
cada una de ellas conteniendo una cierta canti- 
dad de puntos, entre O y 6. ¿Cuántas fichas dis- 
tintas pueden confeccionarse? 
 
 
 
 
 
 
A) 28 B) 14 C) 56 
D) 42 E) 45 
Resolución 
Las fichas son de la forma 
e 
> $ 
o 
Li 
Los valores van del 0 al 6 
Calculemos el total de fichas. 
dee as TEE 
0 o 
1 
2 
3 $ 7cas0s 
4 
5 
6 a 
1 1 
2 
3 
4 Pp bcasos 
5 
6 ? 
2 2 7 
3 
: ' 5 casos 
PT 6 a 
5 5 
6 Y 2 casos , 1 caso 
Total de 
=74+64+54+4+34+2+1=28 
formas | 
_cuve Q)
ANÁUSsIS COMBINATORIO 
 
coc 
PROBLEMA N.* 102 
De un grupo de 5 varones y 6 mujeres se desea 
escoger 3 personas (2 varones y 1 mujer) o 4 re- 
presentantes (1 varón y 3 mujeres). ¿De cuán- 
tas maneras se puede elegir si una pareja en 
particular siempre debe conformar dicho grupo? 
A) 12 8) 15 C) 14 
D) 8 E) 20 
Resolución 
Los grupos deben ser conformados de la si- 
guiente manera 
Falta un Falta 2 mujeres 
varón de los 4 a o ee 
que resta» 
E m 
Cs 
Total de 5 
formas | a * 
= +10 
= 14 
CLAVE 8 
 
PROBLEMA N.* 103 
Valeria tiene 12 galletas de distintos sabores y 
debe de repartirlas entre sus 3 sobrinas. ¿De 
cuántas maneras las podrá distribuir, si las canti- 
dades deben estar en PLA. y todas deben recibir 
al menos una, pero no la misma cantidad? 
A) 22770 
D) 45 540 
B) 34 155 C) 54 540 
E) 45 400 
Resolución 
El reparto podría realizarse de la siguiente manera. 
Formas - 3 4 5 
[se distri Dar] E a 6 
las galletas 1 4 7 
Se tiene 3 casos. Entonces: 
Total de 5,12. -10 12.11.77 e JC ci cc 
=220x126x1+66x 210x1+12x330x1 
= 27720+ 13860 + 3960 
= 45 540 
_cuve Y) 
PROBLEMA N.* 104 
Anthony, Belén, Carlos y Daniel se sientan en 
una fila de 10 asientos. ¿De cuántas maneras 
pueden ubicarse si no puede haber alumnos 
sentados contiguamente? 
A) 180 
B) 630 
C) 840 
D) 450 
E) 960 
65
LUMBRERAS EDITORES a [* 
Resolución 
Gráficamente tendriamos 
Asientos vacios 
Í Í j | i j 
ALAS 
7 lugares disponibles para ubicar A; B; C; D 
 
 
 
Luego, 
Á BOC D 
1 | | 4 Total de A 
formas 
= 840 
CLAVE $ 
PROBLEMA N.” 105 
¿De cuántas formas diferentes se pueden colo- 
car 8 torres iguales en un tablero de ajedrez de 
modo tal que no puedan comerse una a la otra? 
A) 40320 B) 20160 Cc) 5040 
D) 10080 Ej 25640 
Resolución 
Gráficamente tenemos 
19 qu 3o de go ge 70 go 
X 
X 
B8Bx7x6x5*x4x3x2x*1= 8l 
 
66 
Para que las torres no puedan comerse, neces- 
rlamente debe haber una torre en cada columna. 
Empezaremos a ubicar las torres una a una por 
columnas. 
Total de 
= l= 
voneed di 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.* 106 
Un grupo de 5 varones y 6 mujeres se ordenan 
en una misma fila de tal manera que las per- 
sonas de un mismo género estén juntas. ¿De 
cuántas maneras diferentes se podrán ordenar, 
si Alan y Mario no deben estar juntos, así como 
tampoco Betty y Teresa? 
A) 69120 B) 45630 C) 138 240 
D) 34 560 E) 125 600 
Resolución 
Resolwveremos el problema de forma indirecta, 
Picaedl 00 
Li Miracó 
io a[1)) 
| T 
 
 
 
(5/-41x2) x (6l-5!1x2) x2l 
— — j 
Casos Casos Permutan 
cuando 4 y M cuando ByT varones y 
estan juntos estan juntas — mujeres 
a (51-41x2)x(61-51x2)x21 
= 7 x 480 x2 
= 69 120 
_cuve Y
N" ANÁLISIS COMBINATORIO 
PROBLEMA N.* 107 
Joao, Bryan, Hugo y Miguel se ubican en una fila 
con 7 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes 
pueden quedar distribuidos los asientos vacios? 
A) 24 B) 63 C) 35 
D) 45 E) 72 
Resolución 
Nos interesa como quedan distribuidos los asien- 
tos vacios, si permutan las personas no interesa. 
Aslentos vacios 
las personas (se consideran 
no interesa Iguales) 
Í 4 ] 1 4 1 1 
J¡B|H|M 
NANO 
Se tomará como 
elementos iguales 
51 permutan 
 
 
 
Se presenta un caso de permutación lineal con 
elementos repetidos. 
7 
Ax 31 
_AÍx5x8Bx7 
ES 
=5x7 
=35 
 
7 
Pa;3= 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 108 
En una escuela de fútbol donde asisten 12 de- 
portistas, el profesor los divide en dos grupos 
de 6 para disputar un partido de práctica de fut 
bito. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo si 2 de 
los deportistas son arqueros? 
A) 257 B) 504 C) 426 
D) 245 E) 550 
Resolución 
Será suficiente con seleccionar solo 1 arquero y 
5 jugadores (un solo equipo), pues los restantes 
formaran necesariamente el segundo equipo. 
(1 arquero) y (5 jugadores) 
— 
Total de E a di 10 
aneras 5