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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 1 ARITMÉTICA SEMANA 10: ANÁLISIS COMBINATORIO. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL CONTEO 01. Guissel, se encuentra en el terminal de Fiori y desea viajar a Chiclayo, tiene a su disposición 5 unidades de la empresa Soyuz, 4 unidades de la empresa Flores y 3 unidades de la empresa Chaperito. ¿De cuántas maneras diferentes puede viajar a Chiclayo? A) 12 B) 60 C) 47 D) 30 E) 3 02. Mechita desea comprar un producto y éste se vende en 3 mercados, en el primer mercado se tienen disponibles 5 tiendas, en el segundo 3 y en el tercero 4 tiendas. ¿De cuantas maneras Mechita puede comprar dicho producto? A) 12 B) 15 C) 20 D) 40 E) 60 03. Si Lizbeth tiene 6 faldas; 4 blusas; 7 pantalones y 5 polos diferentes. ¿De cuantas maneras distintas podrá vestirse? A) 50 B) 62 C) 65 D) 72 E) 117 04. Un viajero decide ir de San José a San Juan, y para ello necesariamente debe hacer trasbordo en San Jacinto. Si para ir de San José a San Jacinto hay 8 líneas de transporte diferentes y para ir de San Jacinto a San Juan hay 6 líneas de combis diferentes. De cuantas maneras puede ir este viajero de San José a San Juan y regresar en líneas diferentes. A) 48 B) 140 C) 1680 D) 3780 E) 2304 05. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay que pasar por las ciudades B y C a través de las carreteras que se indican en la figura Calcular: (i) De cuántas maneras se puede ir de A a D. (ii) De cuántas maneras puede ir de A a D y regresar por una ruta distinta. (iii) De cuántas maneras pude ir de A a D y regresar por caminos diferentes. Dar como respuesta la suma de cada resultado. A) 870 B) 1240 C) 1140 D) 950 D) 1120 06. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de E hacia D, sin ir hacia arriba ni a la izquierda? E D A) 240 B) 120 C) 242 D) 256 E) 550 07. ¿De cuantas maneras diferentes se podrá ir desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho sin retroceder nunca? A) 1400 B) 1421 C) 1407 D) 1420 E) 1412 08. Un medicamento para aliviar la tos es elaborado por 6 diferentes laboratorios, 2 de los cuales tienen las presentaciones de capsula, jarabe y gotas; mientras que los otros 4 solo tienen las presentaciones de capsula y jarabe; además, dicho medicamento tiene dos tipos de concentración. ¿De cuántas maneras un médico puede recetar la medicina a un paciente que tiene tos? A) 96 B) 48 C) 14 D) 28 E) 36 VARIACIÓN Y PERMUTACIÓN LINEAL 09. Cinco alumnos llegan tarde y el profesor Alex3ito decide que solo ingresen 3 para acomodarlos en 3 carpetas individuales en fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede ordenar a los alumnos? A) 6 B) 125 C) 120 D) 60 E) 30 10. Se desea otorgar beca a los 4 primeros puestos de un concurso en el que se presentan 12 participantes ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 4 primeros puestos si no hay empate? A B C D EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 2 A) 11 320 B) 13 200 C) 11 200 D) 11 880 E) 12 400 11. El IMCA (IMCA: instituto de matemática y ciencias afines), es una institución creada por la UNI, colabora también la PUCP y ahora último la UP. Cuenta con 16 matemáticos que integran el cuerpo científico de dicha institución. El órgano máximo del IMCA es su consejo científico internacional conformada por seis miembros. Si se desea formar dicho consejo, de los 16 inte-grantes del mencionado cuerpo científico, ¿De cuantas maneras se puede realizar, sabiendo que cada miembro realizará funciones diferentes como el de presidente, vicepresidente, etc? A) 5 765 760 B) 5 769 742 C) 5 690 420 D) 5 659 650 E) 5 572 460 12. En una carrera de maratón intervienen 5 españoles, 4 italianos, 3 ingleses y 2 franceses. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay franceses. A) 1 348 B) 1 320 C) 1 570 D) 1 675 E) 4 200 13. Se tienen libros de Aritmética, Algebra y Física: la primera obra consta de tres tomos, la segunda de dos tomos y la tercera de cuatro tomos. Se quiere colocarlas en una misma fila de un estante, de tal manera que los libros de la misma obra se coloquen juntos. ¿De cuantas formas pueden ubicarse? A) 1 142 B) 1 728 C) 1 788 D) 1 864 E) 2 432 14. ¿De cuántas formas se pueden disponer en una fila las letras: a, b, c, m1, m2, m3 y m4 de modo que ningún par de “m” queden juntas? A) 144 B) 130 C) 240 D) 396 E) 512 15. ¿De cuántas maneras diferentes pueden distribuirse 8 personas en un automóvil de 5 asientos, si solo 4 de ellos saben manejar? Además 3 personas no irán en dicho automóvil A) 2520 B) 5040 C) 4040 D) 3360 E) 5400 16. Un ingresante a la carrera de INGENIERÍA GEOLÓGICA, en el último examen de admisión de la UNI, se prepara para iniciar una nueva etapa en su vida y empezar su primer ciclo de estudios. Si ya compró 8 libros: 2 de matemática I, 1 de dibujo técnico, 1 de matemática básica I, 1 de metodología del estudio, 2 de física I y 1 de química I, ¿de cuantas maneras diferentes puede ordenarlos en un estante si los libros de matemática I deben ir a los extremos y los libros de física I siempre van juntos? A) 360 B) 624 C) 288 D) 480 E) 420 PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS 17. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra EUREKA? A) 300 B) 380 C) 450 D) 250 E) 360 18. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obtener permutando con tres asteriscos, tres puntos y cuatro líneas verticales? A) 2100 B) 4800 C) 10400 D) 4200 E) 720 19. Un grupo de 7 amigos va al cine y encuentra una fila de 7 asientos vacíos. ¿De cuantas formas diferentes se podrán ubicar, según el género, si hay 4 varones y 3 mujeres? A) 35 B) 105 C) 350 D) 5040 E) 150 20. Calcular el número de permutaciones dife- rentes que se pueden obtener con las letras de la palabra MAZAMORRA tales que las vocales estén siempre juntas. A) 120 B) 240 C) 360 D) 720 E) 1440 21. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar utilizando para ello las letras de la palabra CARRETERA si se debe empezar y terminar en vocal? A) 1 248 B) 1 280 C) 2 100 D) 2 520 E) 2 140 22. Determine el número de ternas ordenadas (x1; x2; x3) de números enteros no negativos tales que: x1 + x2 + x3 = 7 A) 32 B) 36 C) 40 D) 72 E) 84 23. De cuantas maneras de puede representar el número 10 como la suma indicada de 3 su- mandos naturales (incluido el cero) no necesariamente diferentes? A) 60 B) 66 C) 50 D) 48 E) 80 EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 3 24. Si a; b; c pertenecen a los enteros positivos, ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación? a + b + c = 13 A) 105 B) 66 C) 55 D) 100 E) 72 25. Alex3ito es un aficionado al fútbol y tiene 9 pelotas, todas de igual tamaño y color. Si en su habitación de juego dispone de tres cestas, A, B y C, ¿de cuantas maneras diferentes puede guardar sus pelotas si ninguna esta puede quedar vacía? A) 15 B) 24 C) 28 D) 30 E) 42 PERMUTACIÓN CIRCULAR 26. ¿De cuantas maneras diferentes podemos formar una ronda con seis niñas, de modo que dos de ellas, Alexis y Dillion, no estén juntas? A) 81 B) 64 C) 72 D) 76 E) 92 27. ¿De cuantas maneras se pueden sentar tres varones y tres mujeres alrededor de una mesa circular de seis asientos, sino debe haber dos mujeresjuntas ni dos varones juntos? A) 6 B) 12 C) 10 D) 4 E) 16 28. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ordenarse circularmente las letras A; B; C; D; E y F? a) Si las consonantes deben estar juntas. b) Si las vocales no deben estar juntas. c) Si A, B y C deben estar siempre alterna-dos, así como D, E y F. Dar como respuesta la suma de los resultados. A) 156 B) 120 C) 115 D) 145 E) 132 29. Tres parejas de esposos y otros 3 amigos solteros se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuantas maneras lo podrán hacer si cada pareja se sienta junta? A) 820 B) 840 C) 920 D) 960 E) 980 30. ¿De cuantas maneras tres argentinos, 4 perua- nos, 4 chilenos y 2 bolivianos, pueden sentarse, ordenadamente, en una mesa redonda de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A) 3456 B) 6912 C) 20736 D) 41472 E) 165888 (UNI – 2002 II) 31. Arianita tiene 6 diferentes colores de perlas y con ellas desea confeccionar un collar ¿de cuántas maneras podría confeccionarse los collares? A) 72 B) 60 C) 360 D) 120 E) 720 32. La hija del sr. Meltrozo, la srta. Ana Lisa, dispone de 9 llaves y para ordenarlos los coloca en un llavero circular; sin embargo, se percata que 4 de dichas llaves son del trabajo y por ello deben estar siempre juntos. ¿De cuántas maneras podría confeccionarse los llaveros? A) 1 440 B) 8 640 C) 17 280 D) 720 E) 2 880 COMBINACIONES 33. De un grupo de 10 personas, donde son 4 mujeres y 6 varones. Calcular: a) ¿De cuántas maneras se pueden formar una comisión de 6 personas, donde 3 sean mujeres y los otros 3 varones? b) ¿De cuántas maneras se pueden formar una comisión de 3 personas, tal que sean solo mujeres o solo varones? Dar como respuesta la suma de los resultados. A) 96 B) 104 C) 102 D) 111 E) 120 34. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5. ¿Cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27 UNI-2000 II 35. En un grupo de estudiantes hay 6 varones y 6 mujeres, de los cuales la tercera parte de los varones y la mitad de las mujeres dominan el tema de análisis combinatorio. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a 4 personas si estas al menos dos deben dominar el tema de análisis combinatorio? A) 285 B) 320 C) 495 D) 570 E) 450 36. A una empresa han llegado los curriculum vitae de 7 varones y 5 mujeres. Si la empresa solo requiere 3 varones y 3 mujeres, entre los cuales ya se tiene la decisión de que uno de los varones ingresará a la empresa de todas maneras, ¿De cuántas formas diferentes puede el jefe de personal seleccionar a los postulantes? A) 45 B) 150 C) 200 D) 180 E) 350 37. César tiene 11 amigos de confianza. ¿De cuántas maneras diferentes puede invitar a 5 de EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 4 ellos a una cena especial, si dos de ellos no podrán asistir juntos a ninguna reunión? A) 378 B) 388 C) 398 D) 408 E) 418 (CEPRE 2014-I) 38. Con 8 puntos, en los que no hay 3 que sean colineales, ¿cuántos triángulos se pueden dibujar cuyos vértices sean los puntos mencionados? A) 45 B) 48 C) 54 D) 56 E) 60 39. Hay 12 puntos A, B, ….. en un plano dado, no encontrándose, tres de estos sobre la misma recta, en ningún caso. Entonces, el número de rectas que son determinadas por los puntos, y el número de rectas que pasan por el punto A, son respectivamente: A) 11; 16 B) 66; 11 C) 11; 55 D) 55; 11 E) 9; 55 UNI-2001 I 40. En una tienda venden 5 marcas diferentes de cerveza. ¿De cuántas formas se pueden comprar 2 botellas? A) 15 B) 20 C) 18 D) 12 E) 10 41. Millet va a la panadería a comprar 6 panes, para lo cual puede elegir entre francés, yema o ciabatta. Habiendo en la panadería cantidad suficiente de los tres tipos de pan, ¿de cuantas formas podrá elegir los 6 panes? A) 20 B) 28 C) 56 D) 216 E) 160 42. Once personas asisten a un campamento. Si en uno de los juegos se deben distribuir 5, 3 y 3 personas alrededor de tres fogatas diferentes, ¿de cuántas formas pueden acomodarse alrededor de las tres fogatas? A) 336600 B) 277200 C) 887040 D) 908800 E) 916800 (CEPRE 2009-II) 43. Nueve personas ingresan a una cafetería y solo hay una mesa redonda con 5 asientos disponibles. ¿de cuántas formas diferentes se pueden ubicar las personas alrededor de la mesa, si 4 de ellas permanecen de pie? A) 1 024 B) 1 800 C) 3 024 D) 3 600 E) 1 200 NÚMERO COMBINATORIO 44. Calcular el valor de 8 8 9 10 11 123 4 5 6 7 4C C C C C C+ + + + + . A) 792 B) 1043 C) 924 D) 1287 E) 1456 45. Luego de reducir la expresión: 20 26 19 26 10 20 9 6 25 19 25 19 5 9 6 10 M − = + Se obtiene: A) 20 1C B) 20 20C C) 25 24C D) 19 18C E) 26 25C (CEPRE 2014-I) 46. Determine la suma de valores de m + p, en 9 10 11 29 9 9 9 9 m pC C C C C+ + + + = . A) 75 B) 38 C) 69 D) 85 E) 91 47. Calcular: ... 1 3 99 n n n S = + + + Para 100n = A) 982 B) 992 C) 1012 D) 1002 E) 1022 48. Sea n , 3n y 3 3 3 2 26 3 2 1 n k n n n k k k= − − − + + = − − − , hallar el valor de n2 + 14. A) 23 B) 30 C) 50 D) 39 E) 78 49. Si: 2015 5 a = ; 2015 6 b = ; 2015 7 c = Sabiendo que: 1 1 n n n k k k + − = − Calcular: 2018 2017 2010 2009 − A) a+2b+c B) a+b+c C) a – 2b +c D) 2b – a – c E) 2c+a+b (CEPRE 2015-II) 50. Al simplificar la expresión 1 3 5 73 5 7 n n n n n nS C C C C nC= + + + + + . Siendo “n” un número impar se obtiene A) 2n–2 B) n.2n–1 C) n.2n+1 D) (n+1).2n–1 E) n.2n–2 PROF. ALEX GAMARRA “ALEX3ITO”
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