Longitud de arco como parametro de una curva - Cesar Garcia (1)

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LONGITUD DE ARCO COMO PARÁMETRO DE UNA CURVA 
 
EN EL CÁLCULO CON UNA VARIABLE INDEPENDIENTE SE DEDUJO UNA EXPRESIÓN PARA 
CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA PLANA, LA CUAL EN EL PLANO 
" "XY ESTÁ DADA POR: 
( ) 21 '
b
a
S f x= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ dx 
 
PARA UNA CURVA LISA DADA POR LA GRÁFICA DE LA ECUACIÓN EN EL 
INTERVALO [
( )y f x=
],a b . 
 
CONSIDÉRESE UNA CURVA SUAVE , SIN INTERSECCIONES Y DEFINIDA EN EL 
INTERVALO [
" "C
],a b , COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA: 
 
x
z 
1 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1;i i i i i i i ir t x t i 1y t j z t k r t x t i y t j z t k
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
− − − −= + + = + +
∧
 
 
SE TIENE UNA PARTICIÓN DE " "P [ ],a b DADA POR a t0 1 2 nt t t b= < < < < = 
PARA EL SUBINTERVALO i-ESIMO; LA DISTANCIA ENTRE SUS PUNTOS EXTREMOS " "iS∆ 
ESTÁ DADA POR EL MÓDULO DE LA DIFERENCIA DE LOS VECTORES DE POSICIÓN DE 
DICHOS PUNTOS; ESTO ES, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, ,i i i i i i i i ir r t r t x t x t 1y t y t z t z t− − −∆ = − = − − − − 
POR LO QUE 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1ii i i i i iS r x t x t y t y t z t z t− −∆ ≈ ∆ = − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
2
1i− ⎤⎦ 
 
COMO " ES UNA CURVA SUEVE, ENTONCES "C ( ) ( ) ( ), ,x t y t z t SON DERIVABLES Y POR 
LO TANTO, PARA CADA UNA DE ELLAS SE CUMPLE EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL 
CÁLCULO DIFERENCIAL, ES DECIR, QUE EXISTEN NÚMEROS , ,i i iξ ρ η EN EL INTERVALO 
ABIERTO [ ]1,i it t− TALES QUE: 
 
y( )r a 
( )r b 0P 
nP 
1P 
2P 
1iP− 
iP 
( )1ir t − ( )ir t 
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
∧ ∧
= + +
∧
 
iS∆ 
ir∆ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
'
'
'
i i i
i i i
i i i
i
i
i
x t x t x t
y t y t y t
x t z t z t
ξ
ρ
η
−
−
−
− = ∆
− = ∆
− = ∆
 
 
SI SE SUSTITUYEN ESTAS EXPRESIONES EN " iS "∆ SE TIENE QUE: 
 
( ) ( ) ( )2 2 2' ' 'i i i iS x iy z tξ ρ η∆ = + + ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
LUEGO 
( ) ( ) ( )2 2 2
1
' ' '
n
i i i
i
S x iy z tξ ρ η
=
≈ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∆ 
 
Y EN EL LÍMITE, CUANDO LA NORMA DE LA PARTICIÓN TIENDE A CERO, SE LLEGA A LA 
LONGITUD DE ARCO, LA CUAL ES UNA INTEGRAL DEFINIDA. ASÍ 
 
( ) ( ) ( )2 2 2
0 1
lim ' ' '
n
i i i
i
S x iy z tξ ρ η∆ →
=
= + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∆ 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' ' ' '
b b
a a
S x t y t z t dt r t dt∴ = + + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 
 
EJEMPLO. CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA CURVA CUYAS REPRESENTADA POR 
LA FUNCIÓN VESTORIAL 
( ) ( ) ( )1 cosr t a sen i a jθ θ θ
∧ ∧
= + + − 
EN EL INTERVALO [ ]0,2π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
EJEMPLO. CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO E LA CURVA REPRESENTADA POR LA 
FUNCIÓN VECTORIAL 
( ) 2cos 2r i sen j kθ θ θ
∧ ∧
= + +θ
∧
 EN EL INTERVALO [ ]0,5π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LA LONGITUD DE ARCO TAMBIÉN PUEDE SER ESCRITA COMO 
 
( )'
b
a
S r t= ∫ dt 
 
SI EL EXTREMO FINAL DE LA CURVA SE DEJA VARIABLE, ENTONCES EL LÍMITE SUPERIOR DE 
LA INTEGRAL DEPENDE DEL PARÁMETRO " Y SE TIENE QUE LA LONGITUD DE ARCO DE 
UNA CURVA ES UNA FUNCIÓN DE LA VARIABLE ESCALAR . 
"t
" "t
 
( ) ( )'
b
a
S t r t dt= ∫ 
 
ENTONCES DEFINE UN NUEVO PARÁMETRO PARA LA CURVA " AL QUE SE 
DENOMINA 
( )S t "C
“PARÁMETRO DE LONGITUD DE ARCO” 
 
Y DE ACUERDO CON EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
 
dS dr
dt dt
= 
3