Algunas-propiedades-de-las-integrales-de-Lebesgue-y-Henstock

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Universidad Nacional Autónoma
de México
Facultad de Ciencias
Algunas proiedades de las
integrales de Lebesgue y Henstock
TESIS
QUE PARA OBTENER EL T́ıTULO DE:
MATEMÁTICO
PRESENTA:
PAUL GARCÍA HURTADO
DIRECTOR DEL TRABAJO:
DRA. CARMEN MARTÍNEZ ADAME ISAIS
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2016
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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II
1. Datos del alumno
Garćıa Hurtado Paul
58432139
Universidad Nacional
Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Matemáticas
309134866
2. Datos del tutor
Dra. Carmen
Mart́ınez Adame Isais
3. Datos del sinodal 1
Dra. Maŕıa de los
Ángeles Sandoval
Romero
4. Datos del sinodal 2
Dr. Francisco Javier
Torres Ayala
5. Datos del sinodal 3
Dr. Luis Octavio Silva
Pereyra
6. Datos del sinodal 4
M. en C. Pavel Ramos
Mart́ınez
7. Datos del trabajo
escrito
Algunas propiedades
de las integrales de Le-
besgue y Henstock
108 p
2016
Agradecimientos
A mis padres, quienes han hecho posible la culminación de esta etapa. Particularmente a mi
madre que ha estado presente en cada momento.
A mi hermana, que me ha escuchado más allá de lo académico.
A la familia Hurtado por compartir algunos de sus d́ıas conmigo.
A los amigos que hice durante este trayecto y que añadieron una perspectiva diferente a mi
vida.
Especialmente quiero dar las gracias a la Dra. Carmen Adame por aceptarme como su
estudiante y asesorarme durante el desarrollo de este trabajo.
III
Índice general
Introducción VII
1. Preliminares 1
1.1. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. La integral de Lebesgue 31
3. La integral de Henstock 53
3.1. La integral de McShane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. Un teorema de ĺımites iterados 83
V
Introducción
Hacia finales del siglo XIX algunos inconvenientes en la teoŕıa de integración de Riemann
se haćıan evidentes. Estos detalles surgieron a medida que la colección de funciones integrables
se volv́ıa insuficiente conforme la matemática se desarrollaba. El Teorema Fundamental del
Cálculo es un ejemplo de estos inconvenientes. Se sabe que si una función f es diferenciable en
[a, b] y f ′ es Riemann integrable, entonces
∫ x
a
f ′(t) dt = f(x)− f(a) para cada x ∈ [a, b].
A simple vista, parece que una hipótesis sobra en el teorema anterior puesto que pareceŕıa
deseable que la derivada de una función fuese integrable. No obstante, existen funciones cuya
derivada no es Riemann integrable.
Estos problemas llevaron al desarrollo de otras teoŕıas de integración y la que fue acogida
con gran rapidez por la comunidad cient́ıfica fue la de Henri Lebesgue. Esta integral permite
integrar una colección más amplia de funciones y tomar el ĺımite de integrales con mayor
libertad. Sin embargo, aún persisten algunas dificultades y una de ellas se presenta nuevamente
en el Teorema Fundamental del Cálculo. El siguiente resultado es válido para la integral de
Lebesgue:
Si f es diferenciable en [a, b] y f ′ es acotada en [a, b], entonces f ′ es Lebesgue integrable en
[a, b] y
∫
[a,x]
f ′ dµ = f(x)− f(a). Nuevamente no todas las derivadas son Lebesgue integrables,
pero śı lo son aquellas acotadas.
En la década de 1950, el matemático checo Jaroslav Kurzweil en [9] introdujo una versión
generalizada de la integral de Riemann y durante la década de 1960 el matemático inglés Ralph
Henstock hizo un estudio de esta nueva integral en [10]. Pese a tener un enfoque ligeramente
diferente a la integral de Riemman, esta teoŕıa de integración incluye a la de Lebesgue y
soluciona el problema de esta última con el Teorema Fundamental del Cálculo, es decir todas
las derivadas son Henstock integrables y se cumple que
∫ x
a
f ′ = f(x)−f(a) para cada x ∈ [a, b].
Además como su definición es muy similar a la de Riemann, no hace uso de gran parte de la
teoŕıa de la medida para su desarrollo.
Un objetivo de esta tesis es mostrar las principales diferencias, aśı como semejanzas, entre
las integrales de Lebesgue y Henstock. También se exhibirá la relación que existe entre las dos
integrales.
VII
VIII ÍNDICE GENERAL
Para la construcción de la integral de Lebesgue, es necesario desarrollar la Teoŕıa de la
Medida aśı como el concepto de las Funciones Medibles, es por ello que dedicamos el primer
caṕıtulo de este trabajo al desarrollo de esta integral y sus poderosos teoremas de convergencia.
Vale la pena remarcar que a pesar de que se trabajará con funciones definidas en un intervalo
compacto de números reales y con imagen real en el segundo caṕıtulo, este camino para llegar
a la integral de Lebesgue tiene la ventaja de que se puede extender a espacios más generales.
El caṕıtulo tercero está reservado a la construcción de la integral de Henstock. Se verá que
ésta subsana algunas de la deficiencias de la integral de Lebesgue: el Teorema Fundamental del
Cálculo es válido para toda función derivada y gracias al teorema de Hake, no posee integrales
impropias. Sin embargo, no se trata de una integral absoluta, es decir si f es Henstock integrable,
|f | no necesariamente lo es. Finalmente se darán condiciones para que una función Henstock
integrable también lo sea en el sentido de Lebesgue.
Este caṕıtulo incluye también una sección dedicada a estudiar la relación que existe entre la
integral de Lebesgue y la de Henstock a través de la integral de McShane. A simple vista puede
parecer que es una teoŕıa de integración ajena a la de Lebesgue y una variación en la definición
de la integral de Henstock; pero existe una equivalencia entre la integral de Lebesgue y la de
McShane. Mediante esta equivalencia se probará que la colección de funciones integrables en el
sentido de Lebesgue está incluida en la de las funciones Henstock integrables.
Finalmente y ya que en el caṕıtulo tres no se habla sobre los teoremas de convergencia para
la integral de Henstock, el caṕıtulo cuatro está dedicado exclusivamente a encontrar condiciones
necesarias y suficientes para una teorema de convergencia sobre esta integral. El resultado clave
para ello es un teorema de ĺımites iterados que fue demostrado por R. A. Gordon en [1].
Caṕıtulo 1
Preliminares
1.1. La medida de Lebesgue
En 1901, Henri Lebesgue, en su nota Sur une gènèralization de l’intégrale défine hace notar
que no todas las funciones derivadas son integrables en el sentido de Riemann. Existen ejemplos
de funciones derivables con derivada no acotada y por ello no son Riemann integrables; estos
y otros ejemplos más hacen notar que la teoŕıa de integración de Riemann no soluciona la
búsqueda de primitivas para una función, esto llevó a Lebesgue a la búsqueda de una teoŕıa de
integración que comprendiera a la de Riemann y solucionara el problema de las primitivas.
Para mostrar cómo definió Lebesgue su integral, considere f : [a, b] → R y suponga que
m ≤ f(x) ≤ M para cada x ∈ [a, b], donde −∞ < m y M < ∞. Sean m1, m2, ..., mp números
reales de forma que m = m0 < m1 < ... < mp−1 < mp = M y defina los conjuntos:
E0 = f
−1(m) y para cada i ∈ {1, ..., p}, Ei = f−1((mi−1, mi]).
Considere las sumas:
m0µ0 +
p
∑
i=1
miµi y m0µo +
p
∑
i=1
mi−1µi,
donde µi representa a la “medida”deEi.
Si estas sumas tienden a un mismo ĺımite independiente de los mi elegidos, cuando la
diferencia entre dos mi consecutivos tiende a cero, Lebesgue llamó a f integrable y al ĺımite su
integral.
Esta definición hace evidente la necesidad de medir subconjuntos de [a, b], es por ello que
se introduce la definición de una medida exterior.
Definición 1.1. Dado un conjunto X , una medida exterior λ es una función λ : ℘(X) →
R+ ∪ {0,∞} tal que:
1
2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1. λ(∅) = 0
2. Dados dos conjuntos A y B, si A ⊆ B, entonces λ(A) ≤ λ(B)
3. Si {Ei}i∈N es una sucesión de subconjuntos de X , entonces, λ(∪∞i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 λ(Ei)
Definición 1.2. Sea E un subconjunto de números reales. La medida exterior de Lebesgue de
E, que se denota como µ∗(E), se define como:
ı́nf
{
∞
∑
k=1
l(Ik) : {Ik} es una sucesión de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪∞k=1Ik
}
.
Ya que el conjunto de los números reales puede ser cubierto por una cantidad numerable de
intervalos abiertos, se puede cubrir cualquier subconjunto con una colección a lo más numerable
de intervalos abiertos. Y, puesto que la longitud de un intervalo es al menos cero, la medida
exterior de Lebesgue de un subconjunto E, siempre existe y 0 ≤ µ∗(E) ≤ ∞.
Teorema 1.3. La medida exterior de Lebesgue es una medida exterior
1. Si E1 y E2 son subconjuntos de números reales tales que E1 ⊆ E2, entonces µ∗(E1) ≤
µ∗(E2).
2. La medida exterior del conjunto vaćıo es cero.
3. Dada una sucesión de conjuntos {Ei}i∈N, µ∗(∪∞i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 µ
∗(Ei)
Demostración.
1. Ya que E1 ⊆ E2, se tiene que
{
∞
∑
k=1
l(Ik) : {Ik} es una sucesión de intervalos abiertos tal que E2 ⊆ ∪∞k=1Ik
}
es un subconjunto de
{
∞
∑
k=1
l(Ik) : {Ik} es una sucesión de intervalos abiertos tal que E1 ⊆ ∪∞k=1Ik
}
al tomar el ı́nfimo de ambos conjuntos, µ∗(E1) ≤ µ∗(E2).
2. Sea ε > 0. Considérese la sucesión de intervalos
{(
− ε
2k+1
,
ε
2k+1
)}
k∈N
.
Entonces, ∅ ⊆ ∪∞k=1
(
− ε
2k+1
, ε
2k+1
)
, por lo que µ∗(∅) ≤ ∑∞k=1
ε
2k
. Esto prueba que µ∗(∅) = 0.
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 3
3. Si
∑∞
i=1 µ
∗(Ei) = ∞, entonces µ∗(∪∞i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 µ
∗(Ei).
Suponga que
∑∞
i=1 µ
∗(Ei) es finita. Dada ε > 0, para cada i ∈ N, existe una sucesión {I ik}k∈N
de intervalos abiertos tal que Ei ⊆ ∪∞k=1I ik y
∞
∑
k=1
l(I ik) < µ
∗(Ei) +
ε
2i
.
De este modo, ∪∞i=1Ei ⊆ ∪∞k=1 ∪∞k=1 I ik, además
∞
∑
i=1
∞
∑
k=1
l(I ik) <
∞
∑
i=1
µ∗(Ei) +
ε
2i
y
∞
∑
i=1
µ∗(Ei) +
ε
2i
=
∞
∑
i=1
µ∗(Ei) + ε.
Por ello, µ∗(∪∞i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 µ
∗(Ei) + ε. Como ε fue arbitraria, se sigue que µ
∗(∪∞i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 µ
∗(Ei).
Esto completa la prueba.
Teorema 1.4. La medida exterior de Lebesgue tiene las siguientes propiedades:
1. La medida exterior de Lebesgue de cualquier conjunto numerable es cero.
2. Para cada conjunto E y para cada número real x0, µ
∗(E + x0) = µ
∗(E)
3. Para cualquier intervalo I, µ∗(I) = l(I)
Demostración.
1. Sean E = {xk : k ∈ N} un conjunto numerable y ε > 0. Considérese la sucesión de intervalos
{(
xk −
ε
2k+1
, xk +
ε
2k+1
)}
k∈N
.
Entonces, E ⊆ ⋃∞k=1
(
xk − ε2k+1 , xk + ε2k+1
)
, por lo que µ∗(E) ≤ ∑∞k=1
ε
2k
. Esto prueba que
µ∗(E) = 0.
2. Sean E un conjunto, {Ik}k∈N una sucesión de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪∞k=1Ik y x0 ∈ R,
entonces E + x0 ⊆ ∪∞k=1Ik + x0. Entonces:
µ∗(E + x0) ≤
∞
∑
k=1
l(Ik + x0) =
∞
∑
k=1
l(Ik),
por ello µ∗(E + x0) ≤ µ∗(E).
Por otra parte, µ∗(E) = µ∗((E + x0) − x0) y del mismo modo que en el párrafo anterior,
µ∗((E+x0)−x0) ≤ µ∗(E+x0), aśı µ∗(E) ≤ µ∗(E+x0). Consecuentemente, µ∗(E) = µ∗(E+x0).
4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
3. Suponga que I = [a, b] es un intervalo cerrado y acotado.
Dada ε > 0, considere una sucesión {εk} de números reales positivos tal que
∑∞
k=1
εk
4
.
Entonces [a, b] ⊆ (a, b) ∪ ⋃∞k=1(a − εk, a + εk) ∪
⋃∞
k=1(b − εk, b + εk), por lo que µ∗([a, b]) ≤
b− a+ 2∑∞k=1 2εk, i.e µ∗([a, b]) ≤ b− a + ε. Como ε > 0 fue arbitraria, µ∗([a, b]) ≤ b− a.
Por otra parte, sea {Ik}k∈N una sucesión de intervalos abiertos tal que I ⊆ ∪∞k=1Ik, como I es
compacto, existe una subcolección finita de {Ik}k∈N que cubre a I. Reordenando y eliminando
intervalos, si es necesario, es posible elegir una colección {Ji : 1 ≤ i ≤ n} de intervalos de
{Ik}k∈N tal que a ∈ J1 = (a1, b1), b1 ∈ J2 = (a2, b2), b2 ∈ J3 = (a3, b3),...,bn−1 ∈ Jn = (an, bn),
donde bn−1 < bn. Aśı:
b− a < bn − a1 =
n
∑
i=2
(bi − bi−1) + (b1 − a1) <
n
∑
i=2
(bi − ai) + (b1 − a1) =
n
∑
i=1
l(Ji) ≤
∞
∑
k=1
l(Ik).
En consecuencia, l(I) ≤ µ∗(I). Esto prueba el resultado para intervalos cerrados y acotados.
Suponga que I = (a, b) es un intervalo abierto y acotado, entonces b − a ≥ µ∗((a, b)) (ya
que I es un recubrimiento de śı mismo). Del inciso 1 y del teorema 1.3
l([a, b]) = µ∗([a, b]) ≤ µ∗((a, b)) + µ∗({a}) + µ∗({b}) = µ∗((a, b)).
La prueba para los intervalos acotados semi-abiertos es similar a la anterior.
Finalmente, suponga que I es un intervalo no acotado (l(I) = ∞) y sea M > 0. Entonces,
existe un intervalo acotado J , de modo que J ⊆ I y µ∗(J) = M . Se sigue que µ∗(J) ≤ µ∗(I),
es decir M ≤ µ∗(I). Ya que M > 0 fue tomada arbitraria, µ∗(I) = ∞.
En cada caso l(I) = µ∗(I).
La medida exterior de Lebesgue no es σ-aditiva como se verá en un ejemplo que se tratará en
el teorema 1.14. Para solucionar este problema, se debe centrar la atención en una colección de
conjuntos en particular, los conjuntos medibles. Ésta, tiene las propiedades de una σ-álgebra.
Definición 1.5. Sean X un conjunto y C ⊆ ℘(X), un subconjunto del conjunto potencia de
X . C es una σ-álgebra si:
1. X ∈ C
2. Si cada vez que E ∈ C, entonces Ec ∈ C
3. Si {Ei}i∈N ⊆ C, entonces ∪∞i=1Ei ∈ C
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 5
Es claro que la intersección arbitraria de σ-álgebras es una σ-álgebra, y esto da pie a la
siguiente definición.
Definición 1.6. Sea X un conjunto y τ una topoloǵıa para X . La σ-álgebra de Borel, es la
intersección de todas las σ-álgebras que contienen a todos los conjuntos abiertos y será denotada
por B. Aśı B es la σ-álgebra más pequeña que contiene a los conjuntos abiertos.
Definición 1.7. Dado un conjunto X y C una σ-álgebra de conjuntos de X , una medida µ
para C, es una función µ : C → R ∪ {∞}, tal que:
1. Para cada E ∈ C, µ(E) ≥ 0.
2. µ(∅) = 0.
3. Si {Ei}i∈N es una sucesión de conjuntos de la σ-álgebra, ajenos a pares, entonces µ(∪∞i=1Ei) =
∑∞
i=1 µ(Ei).
Definición 1.8. Un subconjunto de números reales E, es Lebesgue medible si para cada con-
junto A ⊆ R, se satisface que:
µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec).
Se denotará por M a la colección de los conjuntos Lebesgue medibles y sólo serán llamados
medibles.
En esta definición, el conjunto E divide al conjunto A en dos partes ajenas, A∩E y A∩Ec.
E es Lebesgue medible, si divide al conjunto A de tal forma que la medida exterior de Lebesque
del conjunto, es la suma de la medida exterior de Lebesgue de las dos partes.
Observe que para cualesquiera subconjuntos de números reales A y E, la desigualdad
µ∗(A) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) siempre se satisface, por la monotońıa y la subaditividad
de la medidad exterior de Lebesgue. Por ello, para comprobar que un conjunto es medible,
basta verificar que se cumple la desigualdad contraria.
El propósito a continuación es mostrar que la colección de los conjuntos Lebesgue medibles
es una σ-álgebra, para ello se necesita el siguiente lema.
Lema 1.9. Sean n ∈ N y {Ei : 1 ≤ i ≤ n} una colección finita de conjuntos medibles ajenos a
pares y A ⊆ R, entonces se tiene que:
µ∗(∪ni=1(A ∩ Ei)) =
n
∑
i=1
µ∗(A ∩ Ei).
Demostración. Por inducción sobre n.
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Si n = 1, es claro que µ∗(∪ni=1(A ∩ Ei)) =
∑n
i=1 µ
∗(A ∩ Ei).
Suponga que si {Ei : 1 ≤ n} es una colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares,
entonces µ∗(∪ni=1(A ∩ Ei)) =
∑n
i=1 µ
∗(A ∩ Ei).
Sea {Ei : i ≤ n+ 1} una colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares. Como En+1
es medible,
µ∗(A ∩ (∪n+1i=1 Ei)) = µ∗(A ∩ (∪n+1i=1 Ei) ∩ En+1) + µ∗(A ∩ (∪n+1i=1 Ei) ∩ Ecn+1)= µ∗(A ∩ En+1) + µ∗(A ∩ (∪ni=1Ei))
= µ∗(A ∩ En+1) +
n
∑
i=1
µ∗(A ∩ Ei)
=
n+1
∑
i=1
µ∗(A ∩ Ei).
El resultado se sigue del principio de inducción matemática.
Note que, en el caso en que A = R, el lema anterior afirma que si {Ei : i ≤ n} es una
colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares, entonces µ∗(∪ni=1Ei) =
∑n
i=1 µ
∗(Ei).
Teorema 1.10. M es una σ-álgebra y µ∗|M es una medida, que será llamada la medida de
Lebesgue.
Demostración.
1. Se tiene que:
µ∗(A) = µ∗(∅) + µ∗(A) = µ∗(A ∩ ∅) + µ∗(A ∩ ∅c).
De donde, ∅ es medible. Por otra parte,
µ∗(A) = µ∗(A) + µ∗(∅) = µ∗(A ∩ R) + µ∗(A ∩ Rc).
De aqúı que, R es medible.
2. Sea E un conjunto medible. Se cumple que µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec), reescribiendo
esta expresión se deduce que µ∗(A) = µ∗(A ∩ Ec) + µ∗(A ∩ (Ec)c). Consecuentemente, Ec es
medible.
Note que si E1 y E2 son conjuntos medibles, entonces E1 ∪ E2 y E1 ∩ E2 son medibles.
En efecto:
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 7
Observe que:
A ∩ (E1 ∪ E2) = (A ∩ R) ∩ (E1 ∪ E2)
= (A ∩ (E1 ∪ Ec1)) ∩ (E1 ∪ E2)
= ((A ∩ E1) ∪ (A ∩ Ec1)) ∩ (E1 ∪ E2)
= (((A ∩ E1) ∪ (A ∩ Ec1)) ∩ E1) ∪ (((A ∩ E1) ∪ (A ∩ Ec1)) ∩ E2)
= (((A ∩ E1) ∩ E1) ∪ ((A ∩ Ec1) ∩ E1)) ∪ (((A ∩ E1) ∩ E2) ∪
((A ∩ Ec1) ∩ E2))
= (A ∩ E1) ∪ (((A ∩ E1) ∩ E2) ∪ ((A ∩ Ec1) ∩ E2))
= (A ∩ E1) ∪ (((A ∩ E1) ∩ E2) ∪ ((A ∩ Ec1) ∩ E2))
= (A ∩ E1) ∪ ((A ∩ Ec1) ∩ E2).
De esta manera:
µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) + µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)c) = µ∗((A ∩ E1) ∪ (A ∩ Ec1 ∩ E2)) +
µ∗(A ∩ Ec1 ∩ Ec2)
≤ µ∗(A ∩ E1) + µ∗((A ∩ Ec1) ∩ E2) +
µ∗((A ∩ Ec1) ∩ Ec2)
= µ∗(A ∩ E1) + µ∗(A ∩ Ec1)
= µ∗(A).
Por tanto, E1 ∪E2 es medible. Además, puesto que Ec1 y Ec2 son medibles, Ec1 ∪Ec2 es medible,
por lo que E1 ∩ E2 = (Ec1 ∪ Ec2)c, es medible.
3. Sea {Ei}i∈N una sucesión de conjuntos medibles.
Defina H1 = E1 y para cada n ≥ 2 Hn = En − ∪n−1i=1 Ei. Entonces {Hi}i∈N es una sucesión
de conjuntos medibles, ajenos a pares y ∪∞i=1Ei = ∪∞i=1Hi, además (∪∞i=1Ei)c ⊆ (∪ni=1Hi)c pues
para cada n ≥ 1 ∪ni=1Hi ⊆ ∪∞i=1Ei.
Sea A ⊆ R, entonces para cada n ≥ 1:
µ∗(A) = µ∗(A ∩ (∪ni=1Hi)) + µ∗(A ∩ (∪ni=1Hi)c) ≥
n
∑
i=1
µ∗(A ∩Hi) + µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)c).
Se sigue que:
µ∗(A) ≥
∞
∑
i=1
µ∗(A ∩Hi) + µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)c).
Aśı:
µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)) + µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)c) = µ∗(∪∞i=1(A ∩Hi)) + µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)c)
≤
∞
∑
i=1
µ∗(A ∩H1) + µ∗(A ∩ (∪∞i=1Ei)c)
≤ µ∗(A).
8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Por tanto, ∪∞i=1Ei es un conjunto medible.
Por otra parte, ∩∞i=1Ei = (∪∞i=1Eci )c, por lo que el conjunto ∩∞i=1Ei es medible.
4. Por último, sea {Ei}i∈N una sucesión de conjuntos medibles, ajenos a pares.
Del lema 1.9, para cada n ≥ 1 se sigue que:
n
∑
i=1
µ(Ei) = µ(∪ni=1Ei) ≤ µ(∪∞i=1Ei).
Entonces
∑∞
i=1 µ(Ei) ≤ µ(∪∞i=1Ei). Por otro lado, de la subaditividad numerable de la medida
exterior se sigue que µ(∪i=1Ei) ≤
∑∞
i=1 µ(Ei). Entonces
∑∞
i=1 µ(Ei) = µ (
⋃∞
i=1 Ei).
Ahora M es una σ-álgebra y por el inciso 4, µ∗|M es una medida.
Teorema 1.11. La colección de los conjuntos medibles tiene las siguientes propiedades:
1. Si µ∗(E) = 0, entonces E es medible.
2. Si E es un conjunto medible, entonces E + x0 es medible.
Demostración. Sea A ⊆ R
1. Como se dijo anteriormente, basta probar que µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) ≤ µ∗(A).
Puesto que A ∩ Ec ⊆ A, entonces µ∗(A ∩ Ec) ≤ µ∗(A). Además µ∗(A ∩ E) = 0, pues
µ∗(E) = 0, por ello µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) ≤ µ∗(A), aśı E es medible.
2. Sea x0 ∈ R, entonces:
µ∗(A) = µ∗(A− x0)
= µ∗((A− x0) ∩ E) + µ∗((A− x0) ∩ Ec)
= µ∗(((A− x0) ∩ E) + x0) + µ∗(((A− x0) ∩ Ec) + x0)
= µ∗(((A− x0) + x0) ∩ (E + x0)) + µ∗(((A− x0) + x0) ∩ (Ec + x0))
= µ∗(A ∩ (E + x0)) + µ∗(A ∩ (E + x0)c).
Se sigue que E + x0 es medible.
Teorema 1.12. Todo intervalo de números reales es medible.
Demostración. Sea a ∈ R, se probará que el intervalo (a,∞) es un conjunto medible. Sea
A ⊆ R.
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 9
Si µ∗(A) = ∞, es claro que µ∗(A ∩ (a,∞)) + µ∗(A ∩ (−∞, a]) ≤ µ∗(A)
Suponga que µ∗(A) < ∞, sea ε > 0, entonces existe una sucesión de intervalos abiertos
{Ik}k∈N tal que A ⊆ ∪∞k=1Ik y
∑∞
k=1 l(Ik) < µ
∗(A)+ε. Para cada k ∈ N, defina I1k = Ik∩(−∞, a]
e I2k = Ik ∩ (a,∞). De esta forma, A ∩ (−∞, a] ⊆ ∪∞k=1I1k y A ∩ (a,∞) ⊆ ∪∞k=1I2k .
Observe que:
µ∗(I1k) + µ
∗(I2k) = l(I
1
k) + l(I
2
k) = l(Ik).
De esta forma,
µ∗(A ∩ (−∞, a]) + µ∗(A ∩ (a,∞)) ≤ µ∗(∪∞k=1I1k) + µ∗(∪∞k=1I2k)
≤
∞
∑
k=1
µ∗(I1k) +
∞
∑
k=1
µ∗(I2k)
=
∞
∑
k=1
l(Ik)
< µ∗(A) + ε.
Como ε > 0 fue arbitraria, se tiene que, µ∗(A ∩ (a,∞)) + µ∗(A ∩ (a,∞)c) ≤ µ∗(A), de donde
(a,∞) es un conjunto medible.
Sean a y b números reales de forma que a < b, entonces se tiene que (a,∞) y (b,∞)c son
conjuntos medibles, por lo que (a, b] = (a,∞) ∩ (b,∞)c es medible.
Como µ∗({a}) = 0, {a} es medible, aśı [a, b] = (a, b]∪{a} es medible y como {b} es medible,
[a, b) = [a, b] ∩ {b}c también lo es.
Por último, dado que (a,∞) es medible, (−∞, a) = (a,∞)c ∩ {a}c es medible.
Llegado este punto, es natural preguntarse, qué conjuntos son medibles. En el siguiente
teorema, se verá que existe una amplia variedad de estos conjuntos.
Teorema 1.13. Todo conjunto abierto o cerrado es medible.
Demostración. Sea E ⊆ R un subconjunto abierto. Dado x ∈ E, existe ε > 0 tal que
(x−ε, x+ε) ⊆ E. Por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N de forma que 1
n
< ε, por lo que
(
x− 1
n
, x+ 1
n
)
⊆ (x−ε, x+ε). De esta forma, es posible definirmx = mı́n
{
m ∈ N :
(
x− 1
m
, x+ 1
m
)
⊆ E
}
.
Entonces E =
⋃
x∈E∩Q
(
x− 1
mx
, x+ 1
mx
)
.
En efecto, para cada x ∈ E∩Q,
(
x− 1
mx
, x+ 1
mx
)
⊆ E, es claro que⋃x∈E∩Q
(
x− 1
mx
, x+ 1
mx
)
⊆
E.
Por otra parte, si x ∈ E,
(
x− 1
2mx
, x+ 1
2mx
)
⊆ E, como Q es denso en R, existe y ∈
Q ∩
(
x− 1
2mx
, x+ 1
2mx
)
, es decir x − 1
2mx
< y < x + 1
2mx
, de donde y − 1
2mx
< x < y + 1
2mx
,
10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
aśı x ∈
(
y − 1
2mx
, y + 1
2mx
)
. Note que
(
y − 1
2mx
, y + 1
2mx
)
⊆
(
x− 1
mx
, x+ 1
mx
)
, por lo que
my ≤ 2mx. Entonces
(
y − 1
2mx
, y + 1
2mx
)
⊆
(
y − 1
my
, y + 1
my
)
, por ello x ∈
(
y − 1
my
, y + 1
my
)
.
De este modo x ∈ ⋃z∈E∩Q
(
z − 1
mz
, z + 1
mz
)
, consecuentemente E ⊆ ⋃z∈E∩Q
(
z − 1
mz
, z + 1
mz
)
.
De esta manera, el conjunto abierto E puede ser escrito como una unión numerable de
intervalos abiertos, que son conjuntos medibles; y por el teorema 1.10, E es un conjunto medible.
Además, si C es un conjunto cerrado, Cc es un conjunto abierto y, por ello medible. Dado el
teorema 1.10 y que C = (Cc)c es un conjunto medible se concluye la prueba.
Como los conjuntos abiertos y cerrados son medibles y la colección de los conjuntos medibles
es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables, es dif́ıcil imaginar un conjunto que no es
medible; sin embargo, este tipo de conjuntos existen, un ejemplo se presenta a continuación. Es
importante mencionar que el axioma de elección es usado para probar el siguiente resultado.
Teorema 1.14. Existe un conjunto que no es medible.
Demostración. Defina la relación ∼ en R como sigue:
x ∼ y si y sólo si x− y es racional.
Observe que ∼ es una relación de equivalencia.
En efecto:
1. x ∼ x, pues x− x = 0.
2. Si x ∼ y, entonces x− y ∈ Q, por lo que (−1)(x− y) ∈ Q, es decir y − x ∈ Q, aśı y ∼ x
3. Si x ∼ y e y ∼ z, entonces x− y ∈ Q e y− z ∈ Q, por ello (x− y) + (y− z) ∈ Q, es decir
x− z ∈ Q, de esta forma x ∼ z.
Esta relación da lugar a una partición de los números reales en clases de equivalencia. Éstas
son de la forma {x+ r : r ∈ Q}. De cada clase de equivalencia elija un único representante que
se encuentre en el intervalo [0, 1]. Sea E ⊆ [0, 1] el conjunto que consiste de estos representantes.
Ya que [−1, 1]∩Q es un conjunto numerable, es posible escribirlo como sigue, [−1, 1]∩Q =
{ri : i ∈ N}. Considere Ei = E + ri, entonces [0, 1] ⊆ ∪∞i=1Ei ⊆ [−1, 2].
En efecto:
Sea x ∈ [0, 1], entonces existe y ∈ E tal que x− y es racional. Como −1 ≤ x− y ≤ 1 (pues
x ∈ [0, 1] e y ∈ [0, 1]), existe un ı́ndice j ∈ N tal que x− y = rj, de esta forma x = y+ rj ∈ Ej ,
aśı [0, 1] ⊆ ∪∞i=1Ei.
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 11
Nóteseque Ei ∩ Ej = ∅ siempre que i 6= j, de lo contrario existiŕıan y y z, elementos de
E, tales que y + ri = z + rj, lo que implicaŕıa que y ∼ z y, por la definición de E, y = z; aśı
y + ri 6= z + rj, lo que es una contradicción.
Suponga que E es un conjunto medible, entonces para cada i ∈ N, Ei es medible y µ(Ei) =
µ(E), pues cada Ei es una traslación de E (teoremas 1.4 y 1.11). De esta forma se tiene que:
µ([0, 1]) ≤ µ(∪∞i=1Ei) ≤ µ([−1, 2]),
entonces 1 ≤ ∑∞i=1 µ(E) ≤ 3. Como
∑∞
i=1 µ(E) es una serie de términos constantes y es
convergente, se tiene que µ(E) = 0 lo cual es una contradicción a que 1 ≤ ∑∞i=1 µ(E). Por
tanto E no es un conjunto medible.
Lema 1.15. Sean E1 un conjunto medible de medida finita y E2 un conjunto medible, de forma
que E1 ⊆ E2, entonces µ(E2 −E1) = µ(E2)− µ(E1)
Demostración. Note que, E2 = E1 ∪ (E2 −E1) y E1 ∩ (E2 −E1) = ∅, entonces
µ(E2) = µ(E1 ∪ (E2 −E1)) = µ(E1) + µ(E2 −E1).
Como µ(E1) < ∞, µ(E2)− µ(E1) = µ(E2 −E1).
El siguiente teorema proporciona algunas condiciones para combinar una medida y las ope-
raciones de ĺımite. Esto será útil una vez definida la integral de Lebesgue.
Teorema 1.16. Sea {En}n∈N una sucesión de conjuntos medibles.
1. Si para cada n ∈ N, En ⊆ En+1, entonces µ(∪∞n=1En) = ĺım
n→∞
µ(En).
2. Si µ(E1) es finita y para cada n ∈ N, En+1 ⊆ En, entonces µ(∩∞n=1En) = ĺım
n→∞
µ(En).
Demostración.
1. Si existe m ∈ N tal que µ(Em) = ∞, entonces µ(∪∞n=1En) = ∞. Como {En}n∈N es una
sucesión no decreciente, de la subaditividad de la medida de Lebesgue se sigue que para cada
n ≥ m, µ(En) = ∞, por ello ĺım
n→∞
µ(En) = ∞.
Suponga que para cada n ∈ N, µ(En) es finita. Defina H1 = E1 y para cada n ≥ 2, Hn =
En−En−1. Entonces {Hn}n∈N es una sucesión de conjuntos medibles, ajenos a pares y ∪∞n=1Hn =
∪∞n=1En.
En efecto:
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Si existen ı́ndices i y j de forma que Hi ∩ Hj 6= ∅, sin pérdida de generalidad se puede
suponer que i < j. Aśı, existe x ∈ Hi y x ∈ Hj, por lo que x ∈ Ei y x ∈ Ej − Ej−1. No
obstante, i ≤ j − 1 y {En}n∈N es una sucesión no decreciente, por ello x /∈ Ei, lo cual es una
contradicción. Consecuentemente {Hn}n∈N es una sucesión de conjuntos ajenos a pares.
Por otra parte, es claro que para cada n ∈ N, Hn ⊆ En, de modo que ∪∞n=1Hn ⊆ ∪∞n=1En.
Además si x ∈ ∪∞n=1En, existe un ı́ndice m tal que x ∈ Em, de esta manera es posible considerar
k = mı́n{n ∈ N : x ∈ En}, aśı x ∈ H1 (en caso de que m = 1) o x ∈ Hk.Por tanto, x ∈ ∪∞n=1Hn,
entonces ∪∞n=1En ⊆ ∪∞n=1Hn, aśı ∪∞n=1En = ∪∞n=1Hn.
Consecuentemente:
µ(∪∞n=1En) = µ(∪∞n=1Hn)
=
∞
∑
n=1
µ(Hn)
= ĺım
n→∞
n
∑
k=2
(µ(Ek − Ek−1) + µ(E1))
= ĺım
n→∞
n
∑
k=2
(µ(Ek)− µ(Ek−1) + µ(E1))
= ĺım
n→∞
µ(En).
2. Defina F1 = E1 y para cada n ≥ 2, Fn = E1 − En, entonces {Fn}n∈N es una sucesión no
decreciente de conjuntos medibles ajenos a pares. Por el inciso 1. µ(∪∞n=1Fn) = ĺım
n→∞
µ(Fn).
Observe que:
µ(∪∞n=1Fn) = µ(∪∞n=1(E1 − En))
= µ(E1 − ∩∞n=1En)
= µ(E1)− µ(∩∞n=1En).
Por otra parte,
ĺım
n→∞
µ(Fn) = ĺım
n→∞
µ(E1 − En)
= ĺım
n→∞
µ(E1)− µ(En)
= µ(E1)− ĺım
n→∞
µ(En).
Consecuentemente, µ(E1)−µ(∩∞n=1En) = µ(E1)− ĺım
n→∞
µ(En), es decir µ(∩∞n=1En) = ĺım
n→∞
µ(En),
lo que termina la prueba.
La definición de conjunto medible es dif́ıcil de aplicar en la práctica, pero hay formas equiva-
lentes de ésta. Para establecer esta equivalencia, es necesario introducir la siguiente definición.
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 13
Definición 1.17.
1. Un subconjunto de números reales es llamado Gδ si es la intersección numerable de conjuntos
abiertos.
2. Un subconjunto de números reales es llamado Fσ si es la unión numerable de conjuntos
cerrados.
Teorema 1.18. Para cualquier conjunto E ⊆ R, los siguientes enunciados son equivalentes:
1. El conjunto E es medible.
2. Para cada ε > 0, existe un conjunto abierto O tal que E ⊆ O y µ∗(O − E) < ε.
3. Para cada ε > 0, existe un conjunto cerrado K tal que K ⊆ E y µ∗(E −K) < ε.
4. Existe un conjunto Gδ, G tal que E ⊆ G y µ∗(G−E) = 0.
5. Existe un conjunto Fσ, F tal que F ⊆ E y µ∗(E − F ) = 0.
Demostración. Una forma de probar el resultado, es demostrar la cadena de implicaciones
1 ⇒ 2 ⇒ 4 ⇒ 1 ⇒ 3 ⇒ 5 ⇒ 1.
1 ⇒ 2. Suponga que E es un conjunto medible y que µ(E) < ∞. Sea ε > 0, entonces existe una
sucesión de intervalos abiertos {Ik}k∈N tal que E ⊆ ∪∞k=1Ik y
∑∞
k=1 l(Ik) < µ(E) + ε. Considere
O = ∪∞k=1Ik, aśı O es un conjunto abierto que cumple:
µ(O − E) = µ(O)− µ(E)
≤
∞
∑
k=1
l(Ik)− µ(E) < ε.
Suponga ahora que µ(E) = ∞. Sea ε > 0, defina para cada n ∈ N, En = {x ∈ E : n− 1 ≤
|x| < n}. Por la primera parte de la prueba, para cada n ∈ N existe un conjunto abierto
On tal que En ⊆ On y µ(On − En) < ε2n . De este modo, E ⊆ ∪∞n=1En y ∪∞n=1En ⊆ ∪∞n=1On,
consecuentemente, O −E ⊆ ∪∞n=1(On − En), por lo que:
µ(O −E) ≤ µ(∪∞n=1(On − En))
≤
∞
∑
n=1
µ(On − En)
<
∞
∑
n=1
ε
2n
= ε.
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
2 ⇒ 4. Para cada n ∈ N existe un conjunto abierto On, tal que E ⊆ On y µ∗(On − E) < 1n .
Considere G = ∩∞n=1On, entonces G es un conjunto Gδ, E ⊆ G y para cada n ∈ N,
µ∗(G−E) ≤ µ∗(On − E) <
1
n
.
Aśı, µ∗(G− E) = 0.
4 ⇒ 1. Como µ∗(G− E) = 0, el conjunto G− E es medible, entonces G ∩ (G− E)c es medible
y ya que G ∩ (G−E)c = E, entonces E es medible.
1 ⇒ 3. Suponga que E es medible, entonces Ec también lo es. Aśı, dada ε > 0 existe un conjunto
abierto O, tal que Ec ⊆ O y µ(O−Ec) < ε. Considere K = Oc, de este modo K es un conjunto
cerrado de forma que,
µ(E −K) = µ(E ∩Kc) = µ(E ∩O) = µ(O −Ec) < ε.
3 ⇒ 5. Para cada n ∈ N, existe un conjunto cerrado Kn tal que Kn ⊆ E y µ∗(E −Kn) < ε. De
este modo F = ∪∞n=1Kn es un conjunto Fσ, F ⊆ E y para cada n ∈ N,
µ∗(E − F ) ≤ µ∗(E −Kn) <
1
n
.
Aśı µ∗(E − F ) = 0.
5 ⇒ 1. Como µ∗(E − F ) = 0, el conjunto E − F es medible y ya que F es un conjunto Fσ, es
medible, por lo que (E − F ) ∪ F = E también lo es.
Esto concluye la prueba.
Definición 1.19. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define como
A△B = (A− B) ∪ (B − A).
El siguiente teorema establece que un conjunto medible de medida finita es casi la unión
finita de intervalos abiertos.
Teorema 1.20. Sea E un conjunto de forma que µ∗(E) es finita. E es un conjunto medible si
y sólo si para cada ε > 0, existe una colección finita de intervalos abiertos {Ik : 1 ≤ n} tal que
µ∗((∪nk=1Ik)△ E) < ε.
Demostración. Suponga que E es un conjunto medible, sea ε > 0. Por definición, existe una
sucesión {Ik}k∈N de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪∞k=1Ik y
∑∞
k=1 l(Ik) < µ(E)+
ε
2
. Entonces,
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 15
existe un número natural n tal que
∑∞
k=n+1 l(Ik). De esta forma,
µ(E − ∪nk=1Ik) ≤ µ(∪∞k=1Ik − ∪nk=1Ik)
= µ(∪∞k=n+1Ik)
≤
∞
∑
k=n+1
l(Ik) <
ε
2
.
Y µ(∪nk=1Ik − E) ≤ µ(∪∞k=1Ik − E)
= µ(∪∞k=1Ik)− µ(E)
≤
∞
∑
k=1
l(Ik)− µ(E) <
ε
2
.
De aqúı se sigue que µ(E △ (∪nk=1Ik)) < ε.
Rećıprocamente, sean A ⊆ R y ε > 0, entonces existe una colección finita de intervalos
abiertos {Ik : 1 ≤ n}, tal que µ∗((∪∞k=1Ik)△E) < ε2 . Note que:
A ∩ E = ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)c) ∪ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)).
Como ∪nk=1Ik es medible se tiene que:
µ∗(A ∩ E) = µ∗((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)c) + µ∗((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)) y
µ∗(A ∩ Ec) = µ∗((A ∩ Ec) ∩ (∪nk=1Ik)c) + µ∗((A ∩ Ec) ∩ (∪nk=1Ik)).
De esta forma:
µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) = µ∗((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)) + µ∗((A ∩ E) ∩ (∪nk=1Ik)c) +
µ∗((A ∩ Ec) ∩ (∪nk=1Ik)) + µ∗((A ∩ Ec) ∩ (∪nk=1Ik)c)
≤ µ∗(E ∩ (∪nk=1Ik)c) + µ∗((∪nk=1Ik) ∩ Ec) +
µ∗(A ∩ (∪nk=1Ik)) + µ∗(A ∩ (∪nk=1Ik)c)
≤ 2µ∗(E △ (∪nk=1Ik)) + µ∗(A)
< ε+ µ∗(A).
Ya que ε fue arbitraria, se sigue que µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ Ec) ≤ µ∗(A). Consecuentemente,
E es medible.
Teorema 1.21. Si A es un conjunto medible de medida positiva, entonces el conjunto {x− y :
y ∈ A y x ∈ A} contiene un intervalo centrado en cero.
Demostración. Como µ(A) > 0 y A = ∪∞−∞(A∩ [n, n+1]), existe un entero q tal que el conjunto
A ∩ [q, q + 1] tiene medida positiva. Considere C = A ∩ [q, q + 1] − q, entonces C ⊆ [0, 1] y
16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
µ(C) = µ(A∩[q, q+1]). Por el teorema 1.18, Ccontiene un conjunto cerrado de medida positiva.
Por ello, puede suponerse sin pérdida de generalidad que A es un subconjunto cerrado de [0, 1].
Para cada número natural n, sea Un = ∪a∈A(a − 1n , a + 1n). Entonces para cada número
natural n, Un es un conjunto abierto A ⊆ Un y Un+1 ⊆ Un. Además, A = ∩∞n=1Un, ya que A es
un conjunto cerrado. Por tanto, existe un número natural m de forma que µ(Um) es finita. Por
el teorema 1.16, µ(A) = ĺım
n→∞
µ(Un); de esta forma, existe un número natural q de modo que
µ(Uq) <
3
2
µ(A).
Sea δ tal que 0 < δ < 1
q
, entonces (−δ, δ) ⊆ {x− y : y ∈ A y x ∈ A}.
En efecto:
Sean z ∈ (−δ, δ) y B = A− z. Note que B ⊆ Uq y µ(A) = µ(B), entonces:
µ(Uq − (A ∩ B)) ≤ µ(Uq − A) + µ(Uq − B)
= µ(Uq)− µ(A) + µ(Uq)− µ(B)
= 2µ(Uq)− 2µ(A)
< 2µ(Uq)− 2
(
2
3
µ(Uq)
)
=
2
3
µ(Uq).
Se sigue que A ∩B 6= ∅. Sea r ∈ A ∩B, como r ∈ B, existe s ∈ A tal que r = s− z, por lo
que z = s− r ∈ {x− y : y ∈ A y x ∈ A}. Por tanto, (−δ, δ) ⊆ {x− y : y ∈ A y x ∈ A}, lo que
concluye la prueba.
Teorema 1.22. Si A es un conjunto medible de medida positiva, entonces A contiene un
conjunto que no es medible.
Demostración. Nuevamente, se puede suponer sin pérdida de generalidad que A ⊆ [0, 1]. Como
en el teorema 1.14, defina la relación de equivalencia en R como sigue:
x ∼ y si y sólo si x− y es racional.
Recuerde que esta relación establece una colección de clases de equivalencia con la forma {x+
r; r ∈ Q}. Cada clase de equivalencia contiene un representante en el intervalo [0, 1]. Sea
E ⊆ [0, 1] el conjunto que consiste de un punto de cada clase de equivalencia. Considere
[−1, 1] ∩Q = {ri : i ∈ N} y defina Ai = A ∩ (E + ri) para cada i ∈ N. Entonces A = ∪∞i=1Ai y
{Ai}i∈N es una sucesión de conjuntos ajenos a pares.
Es claro que para cada i ∈ N, Ai ⊆ A, por lo que ∪∞i=1Ai ⊆ A. Por otra parte, si x ∈ A,
como A ⊆ [0, 1], existe y ∈ E tal que x− y es racional. Como −1 ≤ x− y ≤ 1, existe un ı́ndice
q de forma que x − y = rq, aśı x = y + rq ∈ Eq, por lo que x ∈ Eq, aśı A ⊆ ∪∞i=1Ai. Además
1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 17
en el teorema 1.16 se vio que si i y j son números naturales distintos, Ei ∩ Ej = ∅, por ello
Ai ∩Aj = ∅.
Suponga que para cada i ∈ N, Ai es un conjunto medible, entonces µ(A) =
∑∞
i=1 µ(Ai) y
como µ(A) > 0, existe un número natural N tal que µ(AN) > 0. Sean x e y puntos distintos
de AN (existen ya que µ(An) > 0). Entonces, existen u ∈ E y v ∈ E de modo que x = u+ rN
y y = v + rN . Aśı x − y = u − v /∈ Q (si u − v ∈ Q, u ∼ v, por lo que perteneceŕıan a
la misma clase de equivalencia y ya que E consiste de un único representante de cada clase,
u = v, por lo que x = y, en contradicción con el supuesto de que x 6= y). Por consiguiente, el
conjunto {x− y : x ∈ AN , y ∈ AN} no contiene números racionales, excepto el cero, lo cual es
una contradicción al teorema anterior. Por tanto, al menos uno de los elementos de la sucesión
{Ai}i∈N es un conjunto que no es medible.
La intuición en matemáticas es importante, pero debe ser guiada por los conceptos apropia-
dos. Para evitar errores por pensar en conjuntos sencillos, es importante construir un inventario
de conjuntos medibles poco usuales, se finaliza este caṕıtulo con la construcción de uno de ellos.
Primero se definirá un tipo de conjuntos, los conjuntos perfectos, y posteriormente se enunciará
un teorema sobre este tipo de conjuntos, cuya demostración puede encontrarse en [8].
Definición 1.23. Sea E un subconjunto de R. El conjunto E es perfecto si es cerrado y cada
punto de E es un punto de acumulación.
Teorema 1.24. Todo conjunto perfecto es no numerable.
A continuación se presenta el conjunto de Cantor. Construya una sucesión {Kn}n∈N de
conjuntos cerrados como sigue:
K1 =
[
0,
1
3
]
∪
[
2
3
, 1
]
K2 =
[
0,
1
9
]
∪
[
2
9
,
3
9
]
∪
[
6
9
,
7
9
]
∪
[
8
9
, 1
]
K3 =
[
0,
1
27
]
∪
[
2
27
,
3
27
]
∪
[
6
27
,
7
27
]
∪
[
8
27
,
9
27
]
∪
[
18
27
,
19
27
]
∪
[
20
27
,
21
27
]
∪
[
24
27
,
25
27
]
∪
[
26
27
, 1
]
Para obtener Kn+1 de Kn, se retira un intervalo abierto que representa el tercio central de
cada uno de los intervalos cerrados que conforman a Kn.
El conjunto Kn es la unión de 2
n intervalos cerrados, ajenos a pares, cada uno de longi-
tud 3−n. Aśı, {Kn}n∈N es una sucesión de conjuntos compactos no vaćıos y para cada n ∈
N, µ(Kn) =
2n
3n
. Sea C = ∩∞n=1Kn, entonces C es un conjunto no vaćıo, cerrado y, en vista del
teorema 1.16, µ(C) = ĺım
n→∞
µ(Kn) = 0.
Teorema 1.25. El conjunto de Cantor es un conjunto no vaćıo, perfecto, no contiene intervalos
y tiene medida de Lebesgue cero.
18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Como µ(C) = 0, C no puede contener intervalos. Para probar que el conjunto
de Cantor es perfecto, se debe mostrar que cada uno de sus puntos, es de acumulación. Sean
x ∈ C y δ > 0. Elija un número natural n, tal que 1
3n
< δ. Como x ∈ Kn, existe un intervalo
cerrado I de longitud 3−n de forma que x ∈ I e I ⊆ Kn. Sea a un extremo del intervalo I
distinto de x. Note que a ∈ C y 0 < |x − a| < 1
3n
< δ. Aśı, x es un punto de acumulación de
C.
1.2. Funciones medibles
La meta que se persigue es definir un proceso de integración que tenga propiedades más
fuertes que la integración de Riemann. Como las funciones son el objeto de una teoŕıa de
integración, es necesario determinar la colección de funciones a considerar. Se busca garantizar
que los conjuntos que se obtengan al trabajar con estas funciones, sean medibles. En esta parte,
se presentarán estas funciones, que reciben el nombre de funciones medibles.
Definición 1.26. Sea E un subconjunto de números reales y f : E → R una función. La
función f es medible si E es un conjunto medible y para cada número real r, el conjunto,
{x ∈ E : f(x) > r}
es medible.
En adelante se supondrá que el dominio de cualquier función en este trabajo es un conjunto
medible, a no ser que se indique lo contrario.
Observe que si E es un subconjunto medible de números reales, y f : E → R es una
función continua, para cada número real r el conjunto {x ∈ E : f(x) > r} es la imagen
inversa del intervalo (r,∞) y como f es continua, dicho conjunto es abierto y, por ello medible.
Consecuentemente, toda función continua es medible.
Definición 1.27. Sea E un conjunto medible de medida positiva y A ⊆ E. La función χA :
E → R, representa la función caracteŕıstica de A y está dada por:
χA(x) =
{
0 si x /∈ A
1 si x ∈ A.
Note que χA es medible si y sólo si A es un conjunto medible, ya que para cada número real
r, el conjunto {x ∈ E : χA(x) > r} es vaćıo o bien A o bien E.
Teorema 1.28. Sean E ⊆ R un conjunto medible y f : E → R una función. Los siguientes
enunciados son equivalentes:
1. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) > r} es medible.
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 19
2. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) ≥ r} es medible.
3. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) < r} es medible.
4. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) ≤ r} es medible.
Demostración.
1 =⇒ 2. Note que para cada r ∈ R,
{x ∈ E : f(x) ≥ r} =
∞
⋂
n=1
{
x ∈ E : f(x) > r − 1
n
}
Como {x ∈ E : f(x) > r − 1
n
} es un conjunto medible para cada número natural n, entonces
⋂∞
n=1{x ∈ E : f(x) > r − 1n} es medible.
2 =⇒ 3. Dado un número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) ≥ r} es medible, por lo que
({x ∈ E : f(x) ≥ r})c = {x ∈ E : f(x) < r} también lo es.
3 =⇒ 4. Dado un número real r, observe que:
∞
⋂
n=1
{
x ∈ E : f(x) < r + 1
n
}
= {x ∈ E : f(x) ≤ r} .
Aśı, para cada número natural n, el conjunto
{
x ∈ E : f(x) < r + 1
n
}
es medible. Por tanto
{x ∈ E : f(x) ≤ r} también lo es.
4 =⇒ 1. Dado un número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) ≤ r} es medible, por ello ({x ∈ E : f(x) ≤ r})c =
{x ∈ E : f(x) > r} también lo es.
Definición 1.29. Se dice que una propiedad es válida casi en todas partes si es se cumple fuera
de un conjunto de medida cero.
Por ejemplo, se dice que las funcionesf : E → R y g : E → R son iguales casi en todas
partes si el conjunto {x ∈ E : f(x) 6= g(x)} tiene medida cero.
Teorema 1.30. Sean f : E → R y g : E → R funciones con f es medible. Si f = g casi en
todas partes de E, entonces g es medible.
Demostración. Sean r un número real, A = {x ∈ E : f(x) > r} y B = {x ∈ E : g(x) > r}.
Entonces A es medible y los conjuntos:
A ∩Bc = {x ∈ E : f(x) > r y g(x) ≤ r} y
B ∩Ac = {X ∈ E : f(x) ≤ r y g(x) > r}
20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
tienen medida cero, por lo que el conjunto B∩A = A∩(A∩Bc)c es medible. Consecuentemente
B = (B ∩ Ac) ∪ (B ∩ A) es medible. Por tanto, g es una función medible.
Teorema 1.31. Sean f : E → R, g : E → R funciones medibles y k un número real, entonces
las funciones:
1. f + g
2. f 2
3. kf
4. fg
5. |f | son medibles. Adicionalmente, la función f
g
es medible, si para cada x ∈ E, g(x) 6= 0.
Demostración. Sea r un número real.
1. Observe que:
{x ∈ E : (f + g)(x) > r} =
⋃
q∈Q
({x ∈ E : f(x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}).
Efectivamente:
Si x ∈ E es tal que (f + g)(x) > r, entonces r − g(x) < f(x), por lo que existe un número
racional q, tal que r − g(x) < q < f(x), aśı r − q < g(x) y q < f(x), por ello
x ∈
⋃
q∈Q
({x ∈ E : f(x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}).
Si x ∈ ⋃q∈Q({x ∈ E : f(x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}), existe un número racional q, de
forma que q < f(x) y r−q < g(x), entonces r−g(x) < q y q < f(x), por lo que r < f(x)+g(x),
aśı
x ∈ {x ∈ E : (f + g)(x) > r}.
Ya que para cada número racional q, los conjuntos {x ∈ E : f(x) > r} y {x ∈ E : g(x) >
r − q} son medibles,
{x ∈ E : f(x) > r} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}
es medible. Por tanto,
⋃
q∈Q
({x ∈ E : f(x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q})
también lo es. Aśı, f + g es una función medible.
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 21
2. Si r ≥ 0, entonces:
{x ∈ E : f 2(x) > r} = {x ∈ E : f(x) > √r} ∪ {x ∈ E : f(x) < −√r}
Como f es una función medible, los conjuntos {x ∈ E : f(x) > √r} y {x ∈ E : f(x) < −√r}
son medibles, por lo que {x ∈ E : f 2(x) > r} es un conjunto con la misma propiedad.
Si r < 0, entonces {x ∈ E : f 2(x) > r} = E, el cual es un conjunto medible.
Consecuentemente f 2 es una función medible.
3. Si k = 0, kf es la función constante cero, por lo que:
{x ∈ E : (kf)(x) > r} =
{
E si r < 0,
∅ si r ≥ 0.
En ambos casos, {x ∈ E : (kf)(x) > r} es un conjunto medible.
Si k < 0, entonces
{x ∈ E : (kf)(x) < r} =
{
x ∈ E : f(x) > r
k
}
y ya que f es una función medible, el conjunto {x ∈ E : f(x) > r
k
} es medible. En vista del
teorema (1.28), kf es una función medible.
Si k > 0, entonces
{x ∈ E : (kf)(x) > r} =
{
f(x) >
r
k
}
ya que f es una función medible, el conjunto
{
x ∈ E : f(x) > r
k
}
es medible, consecuentemente
kf es una función medible.
4. Note que:
(f + g)2 − (f − g)2
4
= fg
En vista de los incisos 1, 2 y 3, fg es una función medible.
5. Si r < 0, entonces {x ∈ E : |f(x)| > r} = E, el cual es un conjunto medible. Si r ≥ 0,
entonces
{x ∈ E : |f(x)| > r} = {x ∈ E : f(x) > r} ∪ {x ∈ E : f(x) < −r}
Como f es una función medible, los conjuntos {x ∈ E : f(x) > r} y {x ∈ E : f(x) < −r} son
medibles, por ello |f | es una función medible.
Teorema 1.32. Sean E ⊆ R un conjunto medible y f : E → R una función. Si f es continua
casi en todas partes, entonces f es medible.
22 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Sea D el conjunto de discontinuidades de f en E. Como µ(D) = 0 y debido a
la monotońıa de la medida de Lebesgue, todos los subconjuntos de D son medibles. Aśı, dado
un número real r, el conjunto {x ∈ D : f(x) > r} es medible. Observe que:
{x ∈ E : f(x) > r} = {x ∈ E −D : f(x) > r} ∪ {x ∈ D : f(x) > r}.
Por ello, basta mostrar que el conjunto {x ∈ E − D : f(x) > r} es medible. Sea C = {x ∈
E −D : f(x) > r}.
Dado x ∈ C, f(x) ∈ (r,∞). Como (r,∞) es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal que
(f(x) − ε, f(x) + ε) ⊆ (r,∞), y como f es continua en C, para ε > 0 existe δx > 0 de forma
que para toda t ∈ E, si |x− t| < δx, entonces |f(x)− f(t)| < ε. Es decir, f(t) > r siempre que
t ∈ {z ∈ E : |z − x| < δx}.
Sea U =
⋃
x∈C{z ∈ E : |z − x| < δx}, lo anterior prueba que C ⊆ U ∩ (E −D). Además U
es un conjunto abierto, y por ello medible.
Por otra parte, si x ∈ U ∩ (E −D), x ∈ U y x ∈ E −D. Como x ∈ U , existe y ∈ C tal que
|y − x| < δx, por lo que f(x) > r, de modo que x ∈ E −D y f(x) > r, es decir x ∈ C. De esta
manera U ∩ (E −D) ⊆ C.
Consecuentemente, C = U ∩ (E −D). Por tanto C es un conjunto medible.
Teorema 1.33. Si {fn}n∈N es una sucesión de funciones medibles definidas en E, entonces
1. g1(x) = sup{fn(x) : n ∈ N}
2. g2(x) = ı́nf{fn(x) : n ∈ N}
3. g3(x) = ĺım sup{fn(x)}
4. g4(x) = ĺım inf{fn(x)} son funciones medibles.
Demostración. Sea r un número real.
1. Observe que:
{x ∈ E : g1(x) > r} =
∞
⋃
n=1
{x ∈ E : fn(x) > r}.
En efecto:
Si x ∈ E es tal que g1(x) > r y para cada n ∈ N, fn(x) < r, entonces sup{fn(x) : n ∈ N} ≤
r, lo cual es una contradicción.
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 23
Si x ∈ E es tal que, existe n ∈ N de modo que fn(x) > r, entonces sup{fn(x) : n ∈ N} ≥
fn(x), por lo que sup{fn(x) : n ∈ N} > r, es decir g1(x) > r.
Ya que para cada n ∈ N, fn es una función medible, para cada n ∈ N, el conjunto {x ∈ E :
fn(x) > r} es medible, por lo que
⋃∞
n=1{x ∈ E : fn(x) > r} es un conjunto medible, aśı g1 es
una función medible.
2. Note que:
{x ∈ E : g2(x) < r} =
∞
⋃
n=1
{x ∈ E : fn(x) < r}.
En efecto:
Si x ∈ E es tal que g2(x) < r y para cada n ∈ N fn(x) > r, entonces r ≤ ı́nf{fn(x) : n ∈ N},
es decir g2(x) ≥ r, lo cual es una contradicción.
Si x ∈ E es tal que existe n ∈ N de modo que fn(x) < r, entonces ı́nf{fn(x) : n ∈ N} ≤
fn(x), por lo que g2(x) < r.
Ya que para cada n ∈ N fn es una función medible, y en vista del teorema 1.28, para
cada n ∈ N el conjunto {x ∈ E : fn(x) < r} es medible; consecuentemente, el conjunto
⋃∞
n=1{x ∈ E : fn(x) < r} también lo es. Aśı g2 es una función medible.
3. Basta notar que g3(x) = ı́nf{sup{fn(x) : k ≥ n}n ∈ N}. El resultado se sigue de los dos
incisos anteriores.
4. El resultado se sigue de observar que g4(x) = sup{́ınf{fn(x) : k ≥ n}n ∈ N} y de los incisos
1 y 2 de este teorema.
Sea {fn}n∈N una sucesión de funciones medibles definidas en un conjunto E y suponga que
{fn}n∈N converge puntualmente a f casi en todas partes. Es deseable concluir que f es una
función medible. No obstante, la función ĺımite f , sólo está definida para aquellos puntos x ∈ E
para los cuales exista ĺım
n→∞
fn(x). En este caso, el conjunto para los cuales la función no está
definida tiene medida cero; por lo que no es de mucha importancia cómo se defina la función en
dichos puntos. Como esta situación ocurrirá frecuentemente, se adoptará la convención de que,
a no ser que se diga otra cosa, tales funciones serán iguales a cero en aquellos puntos donde la
función ĺımite no esté definida.
Como consecuencia del teorema 1.33 y de esta convención, se tiene el siguiente resultado.
Corolario 1.34. Sean {fn}n∈N una sucesión de funciones definidas en E y f : E → R una
función. Si {fn}n∈N converge puntualmente a f casi en todas partes de E, entonces f es medible.
Teorema 1.35. Si f : [a, b] → R es una función derivable casi en todas partes de [a, b], entonces
la función f ′ es medible.
24 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Como f es derivable casi en todas partes de [a, b], f es continua casi en todas
partes de [a, b] y por ello medible.
Extienda f al intervalo [a, b+1) haciendo f(x) = f(b) para cada x ∈ (b, b+1). Sea {εn}n∈N
una sucesión en (0, 1) que converge a cero. Para cada n ∈ N, defina fn : [a, b] → R como:
fn(x) =
f(x+ εn)− f(x)
εn
.
Para cada número natural n, fn es una función medible y la sucesión {fn}n∈N converge pun-
tualmente a f ′ casi en todas partes de [a, b]. Por el corolario 1.34, la función f ′ es medible.
El siguiente teorema, proporciona una caracterización de las funciones medibles. Se debe
recordar que B representa la intersección de todas las σ-álgebras que contienen los intervalosabiertos y que un conjunto de B recibe el nombre de conjunto de Borel o boreliano.
Teorema 1.36. Sea E un conjunto medible y f : E → R una función. f es medible si y sólo
si para cada conjunto de Borel B, f−1(B) es medible.
Demostración. Suponga que f es una función medible. Defina
A = {A ⊆ R : f−1(A) es medible}.
Observe que ∅ ∈ A, ya que f−1(∅) = ∅. Además si A ∈ A,
f(Ac) = f(R−A) = E − f(A)
y E− f(A) es un conjunto medible, por ello Ac ∈ A. Por último, si {An}n∈N es una sucesión de
conjuntos de A, entonces f(⋃∞n=1An) =
⋃∞
n=1 f(An), que es un conjunto medible; por lo que
⋃∞
n=1An ∈ A. Consecuentemente, A es una σ-álgbra.
Dado cualquier intervalo abierto (a, b), note que:
f−1((a, b)) = f−1((a,∞) ∩ (−∞, b)) = f−1((a,∞)) ∩ f−1((−∞, b))
y que f−1((a,∞)) ∩ f−1((−∞, b)) es un conjunto medible.
Esto muestra que A es una σ-álgebra que contiene los intervalos abiertos, por lo que la σ-
álgebra de Borel está contenida en A. Aśı, para cada conjunto de Borel B, f−1(B) es medible.
Rećıprocamente, si para cada conjunto de Borel B, f−1(B) es medible, dado un número
real r, se tiene que {x ∈ E : f(x) > r} = f−1((r,∞)) y (r,∞) es un conjunto de Borel, por lo
que f es medible.
La composición no pertenece a la lista de operaciones algebráicas del teorema 1.31, esto es
porque la colección de las funciones medibles no es cerrada bajo la composición. Para obtener
resultados positivos, considere la siguiente definición.
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 25
Definición 1.37. Una función f : E → R es Borel medible si E es un conjunto de Borel y
para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f(x) > r} es un conjunto de Borel.
Teorema 1.38. Sean f : E → R y g : R → R funciones. Si f es medible y g es Borel medible,
entonces g ◦ f : E → R es medible.
Demostración. Dado un número real r, se tiene que:
{x ∈ E : (g ◦ f)(x) > r} = f−1(g−1((r,∞))).
Este conjunto es medible por el teorema 1.36 ya que g−1((r,∞)) es un conjunto de Borel.
El siguiente teorema tiene numerosas aplicaciones. A grandes rasgos, dice que la convergencia
puntual es casi convergencia uniforme.
Teorema 1.39 (Egoroff). Sean E un conjunto medible de medida finita y {fn}n∈N una sucesión
de funciones medibles definidas en E. Si {fn}n∈N converge puntualmente casi en todas partes a
una función f , entonces para cada η > 0, existe un conjunto medible H ⊆ E tal que µ(E−H) <
η y {fn}n∈N converge uniformemente a f en H .
Demostración. Por el corolario 1.34, la función f es medible. Sea B el conjunto de puntos x ∈ E
para los que {f(x)}n ∈ N converge a f(x). Sea k un número natural fijo, para cada número
natural p se define:
Bpk =
{
x ∈ B : para cada n ≥ p, |fn(x)− f(x)| <
1
k
}
.
Entonces cada conjunto Bpk es medible, B
p
k ⊆ Bp+1k , B =
⋃∞
p=1B
p
k y por el inciso dos del
teorema 1.18 ĺım
p→∞
µ(B − Bpk) = 0.
Elija un número natural pk tal que µ(B − Bpkk ) < η2k . Esto da lugar a una sucesión {B
pk
k }
de subconjuntos de B. Sea H =
⋂∞
k=1B
pk
k .
Como B −H = B − (⋂∞k=1Bpkk ) =
⋃∞
k=1(B −Bpkk ), se sigue que:
µ(E −H) = µ(B −H) ≤
∞
∑
k=1
µ(B − Bpkk ) <
∞
∑
k=1
η
2k
= η.
A continuación se verá que {fn}n∈N converge uniformemente a f en H .
Sea ε > 0, existe un número natural j tal que 1
j
< ε. Suponga que n ≥ pj y x ∈ H . Entonces
x ∈ Bpjj , por lo que |f(x)− f(x)| < 1j < ε.
26 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
El conjunto H , en el teorema de Egoroff usualmente se supone cerrado. Esto se sigue de la
tercera parte del teorema 1.20. Además, la hipótesis de que E tenga medida finita es esencial,
un ejemplo de esto es la sucesión {χ[n,n+1)}n∈N en el conjunto E = [0,∞).
La convergencia definida en la conclusión del teorema de Egoroff es llamada convergencia
casi uniforme. Es importante entender la diferencia entre la convergencia casi uniforme y la
convergencia fuera de un conjunto de medida cero. En otras palabras, el teorema de Egorff
no dice que existe un conjunto de medida cero tal que µ(E − H) = 0 y {fn}n∈N converge
uniformemente en H .
En la teoŕıa de integración de Riemann, las funciones escalonadas tienen un papel impor-
tante. En la integral de Lebesgue, las funciones escalonadas son sustituidas por las funciones
simples, éstas toman una cantidad finita de valores.
Definición 1.40. Sea f : E → R una función, se dice que f es simple, si su imagen es un
conjunto finito.
Observe que si f : E → R es una función simple y su conjunto imagen es {ci : 1 ≤ i ≤ n},
entonces f =
∑n
i=1 ciχf−1({ci}), donde para cada i ∈ {1, ..., n} y j ∈ {1, ..., n}, con i 6= j, ci 6=
cj , f
−1({ci}) 6= f−1({cj}) y E =
⋃n
i=1 f
−1({cj}).
Una función simple puede ser escrita de diferentes formas, la representación mencionada en
la observación anterior será llamada la representación canónica de una función simple. A no ser
que se mencione otra cosa, se supondrá que las funciones simples en este trabajo están escritas
de esta forma.
Definición 1.41. Sea f : E → R una función. Las funciones f+ y f− están definidas por:
f+(x) = máx{f(x), 0} f−(x) = máx{−f(x), 0}.
Estas funciones son medibles siempre que f sea medible, además f = f+−f− y |f | = f++f−.
Teorema 1.42. Sea f : E → R una función medible.
1. Si f es no negativa, entonces existe una sucesión no decreciente de funciones simples que
converge puntualmente a f en E.
2. Existe una sucesión de funciones simples que converge puntualmente a f .
Demostración.
1. Suponga que f es no negativa. Para cada número natural n, sean
An = {x ∈ E : f(x) ≥ n} y
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 27
Bkn = {x ∈ E : (k − 1)2−n ≤ f(x) < k2−n}
para k ∈ {1, 2, ..., n2n}.
Estos conjuntos son medibles para cada n ∈ N, An ∩Bkn = ∅ y An ∪ (
⋃n2n
k=1B
k
n) = E. Defina
Sn =
n2n
∑
k=1
k − 1
2n
χBkn + nχAn.
Entonces {Sn}n∈N es una sucesión de funciones simples tal que:
(a) Para cada n ∈ N, Sn(x) ≤ Sn+1(x)
(b) ĺım
n→∞
Sn(x) = f(x)
En efecto:
(a) Sean x ∈ E y n ∈ N
Caso 1 Si f(x) ≥ n, entonces x ∈ An, por lo que Sn(x) = n.
a) Si x es tal que f(x) ≥ n+ 1, x ∈ An+1, en cuyo caso Sn+1(x) = n + 1.
b) Si n ≤ f(x) < n+1, entonces existe k ∈ {1, 2, ..., (n+1)2n+1}, tal que k−1
2n+1
≤ f(x) <
k
2n+1
. Como n ≤ f(x), entonces n ≤ k−1
2n+1
. De este modo, x ∈ Bkn+1 y n ≤ k−12n+1 , aśı
Sn(x) = n ≤ k−12n+1 = Sn+1(x).
En ambos casos, Sn(x) ≤ Sn+1(x).
Caso 2 Si x ∈ E es tal que f(x) < n, existe k ∈ {1, 2, ..., n2n} de forma que k−1
2n
≤
f(x) < k−1
2n
, por lo que x ∈ Bkn; por ello, Sn(x) = k−12n .
a) Si k−1
2n
≤ f(x) < 2k − 1
2n+1
, entonces x ∈ B2k−1n+1 , por tanto Sn+1(x) = 2(k−1)2n+1 = k−12n .
b) Si 2k−1
2n+1
≤ f(x) < k
2n
, entonces x ∈ B2kn+1, por lo que Sn+1(x) = 2k−12n+1 .
En consecuencia, Sn(x) ≤ Sn+1(x).
(b) Sean x ∈ E y ε > 0. Como 0 ≤ f(x), existe un número natural N1, tal que 0 ≤ f(x) < N1;
aśı, existe k ∈ {1, 2, ..., NN12 } de modo que k−12N1 ≤ f(x) < k2N1 .
Ya que { 1
2n
}n∈N converge a cero, existe un número natural N2 tal que, para cada n ≥
N2,
1
2n
< ε. Considere N = máx{N1, N2}.
Sea n ≥ N , entonces existe k ∈ {1, 2, ..., n2n} tal que k−1
2n
≤ f(x) < k
2n
, por ello
|f(x)− Sn(x)| = f(x)−
k − 1
2n
<
k
2n
− k − 1
2n
=
1
2n
< ε.
De esta forma, ĺım
n→∞
Sn(x) = f(x).
28 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
2. Por el inciso 1, existen sucesiones {S1n}n∈N y {S2n}n∈N de funciones simples que convergen a
f+ y f− respectivamente. Por ello, {(S1 − S2)n}n∈N es una sucesión de funciones simples que
converge a f+ − f− = f .
El siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar en [1], se utilizará en las
siguientes demostraciones.
Teorema 1.43 (Teorema de extensión de Tietze). Sea E ⊆ R un conjunto cerrado. Si f : E →
R es una función continua en E, entonces existe una función continua g : R → R, de forma que
f = g en E.
El último resultado de este caṕıtulo es el teorema de Lusin. Éste dice que una función
medible es casi una función continua. Primero se probará el resultado para funciones simples y
después se extenderá a funciones medibles arbitrarias.
Lema 1.44. Si S : (a, b) → R es una función simple, entoncespara cada ε > 0 existe un
conjunto cerrado E ⊆ (a, b), tal que S|E es continua en E y µ((a, b)− E) < ε.
Demostración. Sean I = (a, b) y S =
∑n
i=1 ciχAi, la representación canónica de S. Por el
teorema 1.20, para cada i ∈ {1, 2, ..., n} existe un conjunto cerrado Ei ⊆ Ai tal que µ(Ai −
Ei) <
ε
2n
. De igual forma, existe un conjunto cerrado En+1 ⊆ I − (
⋃n
i=1 Ai) de manera que
µ((I −⋃ni=1 Ai)− En+1) < ε2 .
Considere el conjunto E =
⋃n+1
i=1 Ei. Este conjunto es cerrado, además:
µ(I −E) = µ(I −
n+1
⋃
i=1
Ei)
= µ((I −
n
⋃
i=1
Ei)− En+1)
≤ µ([(I −
n
⋃
i=1
Ai) ∪ (
n
⋃
i=1
Ai − Ei)]− En+1)
= µ(((I −
n
⋃
i=1
Ai)− En+1) ∪ ((
n
⋃
i=1
Ai −Ei)−En+1))
≤ µ(((I −
n
⋃
i=1
Ai)− En+1) ∪ (
n
⋃
i=1
Ai −Ei))
≤ µ((I −
n
⋃
i=1
Ai)− En+1) + µ(
n
⋃
i=1
Ai − Ei)
<
ε
2
+
n
∑
i=1
µ(Ai − Ei)
=
ε
2
+
nε
2n
= ε.
1.2. FUNCIONES MEDIBLES 29
Por último, sean x ∈ E y ε > 0, entonces existe un ı́ndice j ∈ {1, 2, ..., n+1} tal que x ∈ Ej .
Observe que si l ∈ {1, 2, ..., n+1} y m ∈ {1, 2, ..., n+1} y l 6= m, entonces El ∩Em = ∅, por lo
que Ej ⊆ (
⋃n+1
i=1(i6=j)Ei)
c y (
⋃n+1
i=1(i6=j)Ei)
c es un conjunto abierto. De esta manera, existe δ > 0
tal que (x− δ, x+ δ) ⊆ (⋃n+1i=1(i6=j)Ei)c.
Aśı para cada y ∈ (x − δ, x + δ), S(y) es constante, por ello 0 = |S(x) − S(y)| < ε.
Consecuentemente, S|E es continua en x. Como x ∈ E fue arbitraria, la función S|E es continua
en E.
Lema 1.45. Si f : (a, b) → R es una función medible, entonces para cada ε > 0 existe un
conjunto cerrado K ⊆ (a, b), tal que f |K es continua en K y µ((a, b)−K) < ε.
Demostración. Por el teorema 1.42, existe una sucesión de funciones simples {Sn}n∈N que con-
verge puntualmente a f en (a, b). Sea ε > 0, por el lema anterior, para cada número natural n
existe un conjunto cerrado En ⊆ (a, b) tal que Sn|En es continua en En y µ((a, b)−En) < ε2n+1 .
Sea E =
⋂∞
n=1En y observe que:
µ((a, b)− E) ≤
∞
∑
n=1
µ((a, b)− En) <
∞
∑
n=1
ε
2n+1
=
ε
2
.
Por el teorema de Egoroff (1.39), existe un conjunto cerrado K ⊆ E tal que µ(E −K) < ε
2
y {Sn}n∈N converge uniformemente a f en K. Además:
µ((a, b)−K) ≤ µ((a, b)− E) + µ(E −K) < ε.
Como Sn|k es continua en K y la convergencia es uniforme, la función f |K es continua en
K.
Teorema 1.46 (Lusin). Si f : (a, b) → R es una función medible, entonces para cada ε > 0
existe una función continua g : (a, b) → R tal que µ({x ∈ (a, b) : f(x) 6= g(x)}) < ε.
Demostración. Por el lema 1.45, dada ε > 0 existe un conjunto cerrado K ⊆ (a, b) tal que
f |k es continua en K y µ((a, b) − k) < ε. Por el teorema de extensión de Tietze (1.43), existe
una función continua g : (a, b) → R tal que g|K = f |K . Además {x ∈ (a, b) : f(x) 6= g(x)} =
(a, b)−K, por lo que µ({x ∈ (a, b) : f(x) 6= g(x)}) < ε.
Caṕıtulo 2
La integral de Lebesgue
En su art́ıculo Sur le dévelopement de la notion d’intégrale, Lebesgue compara su proceso de
integración con el de contar cuánto dinero se tiene en un conjunto de monedas de varias deno-
minaciones. En el proceso de Riemann, se suman las denominaciones de las monedas conforme
estas vayan apareciendo, mientras que con el proceso de Lebesgue primero se agrupan y cuentan
las monedas por denominaciones, se multiplica la cantidad de monedas por la denominación y
después se suman las cantidades. Este procedimiento derivó en una integral que generalizaba
a la de Riemann, otorgaba mayor libertad para intercambiar los ĺımites en una sucesión de
integrales y que daba una mejora al Teorema Fundamental del Cálculo, permitiendo que las
derivadas acotadas fueran integrables en el sentido de Lebesgue.
Una vez establecidas las funciones que serán el objeto de esta teoŕıa de integración, pro-
cederemos a definir formalmente la integral de Lebesgue empezando por las funciones más
sencillas.
Definición 2.1. Sea S : [a, b] → R una función simple, medible y S = ∑nk=1 ckχEk la re-
presentación canónica de S. La integral de Lebesgue de S en [a, b] está dada por
∫ b
a
Sdµ =
∑n
k=1 ckµ(Ek). Si A es un subconjunto medible de [a, b], entonces:
∫
A
S dµ =
∫
SχA dµ =
n
∑
k=1
ckµ(Ek ∩ A).
La integral de Lebesgue de una función simple está definida en términos de su representación
canónica; sin embargo, la integral es independiente de la representación de la función simple,
como se verá a continuación.
Lema 2.2. Sean S : [a, b] → R una función simple y medible, S = ∑nk=1 ckχEk su representación
canónica y S =
∑m
j=1 ajχAj , otra representación de S donde los conjuntos Aj son ajenos a pares
y los números aj pudieran no ser distintos entre śı, entonces:
n
∑
k=1
ckµ(Ek) =
m
∑
j=1
ajµ(Aj).
31
32 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
Demostración. Para cada k ∈ {1, 2, ..., n}, sea πk = {j ∈ {1, 2, ..., m} : aj = ck}, entonces
Ek =
⋃
j∈πk
Aj , además:
n
∑
k=1
ckµ(Ek) =
n
∑
k=1
ckµ(
⋃
j∈πk
Aj)
=
n
∑
k=1
ck
∑
j∈πk
µ(Aj)
=
n
∑
k=1
∑
j∈πk
ajµ(Aj)
=
m
∑
j=1
ajµ(Aj).
El resultado general, donde los conjuntos Aj pudieran no ser ajenos a pares, se sigue de la
linealidad de la integral de Lebesgue.
El siguiente teorema es una recopilación de propiedades básicas de la integral de Lebesgue
para funciones simples.
Teorema 2.3. Sean r y s funciones simples, medibles, definidas en [a, b] y A y B subconjuntos
medibles de [a, b]. Entonces:
1. Para cada número real c,
∫
cs dµ = c
∫
s dµ.
2.
∫
(r + s) dµ =
∫
r dµ+
∫
s dµ.
3. Si r ≤ s casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
r dµ ≤
∫
s dµ.
4. Si r = s casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
r dµ =
∫
s dµ.
5. |
∫
s dµ| ≤
∫
|s| dµ.
6. Si A y B son ajenos, entonces
∫
A∪B
s dµ =
∫
A
s dµ+
∫
B
s dµ.
7. Si s es no negativa y A ⊆ B, entonces
∫
A
s dµ ≤
∫
B
s dµ.
Demostración. Sean r =
∑m
j=1 ajχAk y s =
∑n
k=1 bkχBk las representaciones canónicas de r y s
respectivamente.
33
1. Si c = 0, cs : [a, b] → R es la función constante cero cuya representación canónica es cs =
0χ[a,b], por ello
∫
cs dµ = 0µ([a, b]) = 0(
∑n
k=1 bkµ(Bk)) = c
∫
s dµ.
Si c 6= 0, cs : [a, b] → R tiene por representación canónica cs = ∑nk=1 c bkχBk , aśı:
∫
cs dµ =
n
∑
k=1
c bkµ(Bk) = c
n
∑
k=1
bkµ(Bk) = c
∫
s dµ.
2. Para cada par (j, k) ∈ {1, 2, ..., m}×{1, 2, ..., n}, sea Ej k = Aj ∩Bk. Observe que si (j1, k1) ∈
{1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n} y (j2, k2) ∈ {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n} son distintos, entonces Ej1 k1 ∩
Ej2 k2 = ∅. Además, se puede representar r + s como sigue:
r + s =
m
∑
j=1
n
∑
k=1
(aj + bk)χEj k .
Por el lema (2.2), se sigue que:
∫
(r + s) dµ =
m
∑
j=1
n
∑
k=1
(aj + bk)µ(Ej k)
=
m
∑
j=1
aj
n
∑
k=1
µ(Aj ∩ Bk) +
n
∑
k=1
bk
m
∑
j=1
µ(Aj ∩Bk)
=
m
∑
j=1
ajµ(A ∩ (
n
⋃
k=1
Bk)) +
n
∑
k=1
bkµ((
m
⋃
j=1
Aj) ∩ Bk)
=
m
∑
j=1
ajµ(Aj ∩ [a, b]) +
n
∑
k=1
bkµ([a, b] ∩ Bk)
=
m
∑
j=1
ajµ(Aj) +
n
∑
k=1
bkµ(Bk)
=
∫
r dµ+
∫
s dµ.
3. Suponga que r = 0. Como 0 ≤ s casi en todas partes de [a, b], existe un conjunto E de
medida cero tal que, para cada x ∈ E, s(x) < 0. Sea π = {k ∈ {1, 2, ..., n} : bk < 0}, entonces
E =
⋃
k∈π Bk. Por tanto, es posible representar a s como sigue:
s =
∑
k/∈π
bkχBk +
∑
k∈π
bkχBk .
Entonces:
∫
s dµ =
∑
k/∈π
bkµ(Bk) +
∑
k∈π
bkµ(Bk) =
∑
k/∈π
bkµ(Bk) ≥ 0.
Suponga que r 6= 0, entonces 0 ≤ s − r, de modo que 0 ≤
∫
s − r dµ. De la linealidad de la
integral de Lebesgue se sigue que
∫
r dµ ≤
∫
s dµ.
34 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
4. Como r = s casi en todas partes de [a, b], r ≤ s y s ≤ r casi en todas partes de [a, b]. Del
inciso anterior
∫
r dµ ≤
∫
s dµ y
∫
r dµ ≤
∫
r dµ, por ello
∫
r dµ =
∫
s dµ.
5.
|
∫
s dµ| = |
n
∑
k=1
bkµ(Bk)| ≤
n
∑
k=1
|bk|µ(Bk) =
∫
|s| dµ.
6. Como A y B son ajenos, entonces para cada k ∈ {1, 2, ..., n} µ((Bk ∩ A) ∪ (Bk ∩ B)) =
µ(Bk ∩ A) + µ(Bk ∩ B), por lo que:
∫
A∪B
s dµ =
n
∑
k=1
bkµ(Bk ∩ (A ∪B))
=
n
∑
k=1
bkµ((Bk ∩A) ∪ (Bk ∩B))
=
n
∑
k=1
bk(µ(Bk ∩A) + µ(Bk ∩ B))
=
n
∑
k=1
bkµ(Bk ∩A) +
n
∑
k=1
bkµ(Bk ∩B)
=
∫
A
s dµ+
∫
B
s dµ.
7. Como s es no negativa,para cada k ∈ {1, 2, ..., n}, 0 ≤ bk y µ(Bk ∩ A) ≤ µ(Bk ∩ B) pues
A ⊆ B. Entonces, para cada k ∈ {1, 2, ..., n}, bkµ(Bk ∩ A) ≤ bkµ(Bk ∩ B). Aśı:
∫
A
s dµ =
n
∑
k=1
bkµ(Bk ∩A) ≤
n
∑
k=1
bkµ(Bk ∩B) =
∫
B
s dµ.
Definición 2.4. Sea f : [a, b] → R una función acotada, las integrales superior e inferior de
Lebesgue de f están definidas por:
∫
f dµ = ı́nf
{
∫
s dµ : s es una función medible, simple y f ≤ s
}
∫
f dµ = sup
{
∫
r dµ : r es una función medible, simple y r ≤ f
}
.
Si estas dos integrales son iguales, entonces se dice que f es Lebesgue integrable en [a, b] y su
valor común se denota como
∫
f dµ. Adicionalmente, la función f es Lebesgue integrable en
un conjunto medible E ⊆ [a, b] si la función fχE es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
E
f dµ =
∫
fχE dµ.
35
Por el inciso 3 del teorema anterior,
∫
f dµ ≤
∫
f dµ. Entonces basta verificar que se cumple
la desigualdad
∫
f dµ ≤
∫
f dµ, para probar que f es Lebesgue integrable.
Teorema 2.5. Una función f : [a, b] → R es Lebesgue integrable en [a, b] si y sólo si para cada
ε > 0 existen funciones simples r y s tales que r ≤ f ≤ s en [a, b] y
∫
(s− r) dµ < ε.
Demostración. Suponga que f es Lebesgue integrable, dada ε > 0 existe una función simple s
tal que f ≤ s y
∫
s dµ−
∫
f dµ < ε
2
.
De igual forma, existe una función simple r tal que r ≤ f y
∫
f dµ−
∫
r dµ < ε
2
. Entonces:
∫
s dµ−
∫
f dµ+
∫
f dµ−
∫
r dµ < ε.
Como f es Lebesgue integrable
∫
f dµ =
∫
f dµ, por ello
∫
(s− r) < ε dµ.
Rećıprocamente, sea ε > 0, entonces existen funciones simples r y s tales que r ≤ f ≤ s en
[a, b] y
∫
(s− r) dµ < ε. Entonces
∫
f dµ ≤
∫
s dµ y
∫
r dµ ≤
∫
f dµ, por ello:
∫
f dµ−
∫
f dµ ≤
∫
s dµ−
∫
r dµ < ε.
Como ε > 0 fue arbitraria
∫
f dµ−
∫
f dµ = 0.
De acuerdo con la definición, una función acotada es Lebesgue integrable si y sólo si las
integrales inferior y superior de Lebesgue son iguales. El siguiente teorema establece que para
las funciones acotadas esto ocurre cuando la función es medible.
Teorema 2.6. Sea f : [a, b] → R una función acotada. f es Lebesgue integrable si y sólo si f
es una función medible.
Demostración. Suponga que f es una función medible y sea M una cota para f . Para cada
número natural n y para cada k ∈ [−n, n] ∩ Z, defina
Ekn =
{
x ∈ [a, b] : M(k − 1)
n
< f(x) ≤ Mk
n
}
.
Para n ∈ N fija y cada entero k ∈ [−n, n], Ekn es un conjunto medible, si k ∈ [a, b] y l ∈ [a, b]
son enteros distintos, entonces Ekn ∩ Eln = ∅; además [a, b] =
⋃n
k=−nE
k
n. Defina las funciones
simples:
rn =
n
∑
k=−n
M(k − 1)
n
χEkn y sn =
n
∑
k=−n
Mk
n
χEkn.
36 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
Entonces para cada número natural n, rn ≤ f ≤ sn en [a, b] y se tiene que:
∫
(sn − rn) dµ =
n
∑
k=−n
Mk
n
µ(Ekn)−
n
∑
k=−n
M(k − 1)
n
µ(Ekn) =
n
∑
k=−n
M
n
µ(Ekn) =
M
n
(b− a).
Sea ε > 0, por la propiedad arquimediana existe un número natural N , M(b−a)
N
< ε. Aśı sN
y rN son funciones simples, de forma que rN ≤ f ≤ sny
∫
(sN − rN) dµ < ε. Por el teorema 2.4
f es Lebesgue integrable.
Rećıprocamente, suponga que f es una función Lebesgue integrable en [a, b], por ello para
cada número natural n existen funciones simples rn y sn tales que rn ≤ f ≤ sn en [a, b] y
∫
(sn − rn) dµ < 1n . Entonces las funciones:
r(x) = sup{rn(x) : n ∈ N} y s(x) = ı́nf{sn(x) : n ∈ N}
son medibles y r ≤ f ≤ s en [a, b]. Sea D = {x ∈ [a, b] : r(x) < s(x)}. Note que en cada punto
de [a, b]−D, r = f = s. Si D tiene medida cero, f = r casi en todas partes de [a, b], por lo que
f seŕıa medible, por ello basta probar que D tiene medida cero.
Para cada par de números naturales k y n, sea Dkn =
{
x ∈ [a, b] : sn(x)− rn(x) > 1k
}
, en-
tonces D =
⋃∞
k=1(
⋂∞
n=1D
k
n). Además para cada par de números naturales n y k se tiene que:
1
n
>
∫
(sn − rn) dµ >
∫
Dkn
(sn − rn) dµ ≥
1
kµ(Dkn)
.
Aśı si k ∈ N es fija, entonces para cada n ∈ N, µ(⋂∞n=1Dkn) ≤ µ(Dkn) < kn , se sigue
que µ(
⋂∞
n=1D
k
n) = 0. Como esto es válido para cada k ∈ N, µ(D) = 0, lo que completa la
prueba.
Corolario 2.7. Sea f : [a, b] → R una función acotada y Lebesgue integrable en [a, b], entonces
f es Lebesgue integrable en cualquier subconjunto medible de [a, b]. En particular, las funciones
f+ y f− son Lebesgue integrables en [a, b].
Teorema 2.8. Sean f : [a, b] → R y g : [a, b] → R funciones acotadas y Lebesgue integrables
en [a, b] y A y B subconjuntos medibles de [a, b]. Entonces:
1. Para cada número real k, kf es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
kf dµ = k
∫
f dµ.
2. f + g es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
(f + g) dµ =
∫
f dµ+
∫
g dµ.
3. Si f ≤ g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ ≤
∫
g dµ.
4. Si f = g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ =
∫
g dµ.
37
5. |
∫
f dµ| ≤
∫
|f | dµ.
6. Si A y B son ajenos, entonces
∫
A∪B
f dµ =
∫
A
f dµ+
∫
B
f dµ.
7. Si f es no negativa y A ⊆ B,
∫
A
f dµ ≤
∫
B
f dµ.
Demostración.
1. Como f es medible, kf también lo es y, por ello es Lebesgue integrable. Por otra parte, si
k = 0, kf es la función constante cero, aśı
∫
kf dµ = 0 = k
∫
f dµ.
Si 0 < k,
{
∫
s dµ : s es medible, simple y kf ≤ s
}
=
{
∫
ks dµ : s es medible, simple y f ≤ s
}
Entonces:
∫
kf dµ = ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y kf ≤ s
}
= ı́nf
{
∫
ks dµ : s es simple, medible y f ≤ s
}
= k ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y f ≤ s
}
= k
∫
f dµ.
Si k < 0,
{
∫
s dµ : s es simple, medible y kf ≤ s
}
=
{
∫
kr dµ : es simple, medible y r ≤ f
}
.
Aśı:
∫
kf dµ = ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y kf ≤ s
}
= ı́nf
{
∫
kr dµ : es simple, medible y r ≤ f
}
= k sup
{
∫
r dµ : es simple, medible y r ≤ f
}
= k
∫
f dµ.
38 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
2. Ya que f y g son medibles, f + g también lo es, por ello f + g es Lebesgue integrable. Por
otro lado, nótese que si s1 y s2 son funciones simples y medibles que satisfacen f ≤ s1 y g ≤ s2,
entonces s1 + s2 es una función simple tal que f + g ≤ s1 + s2, por ello:
∫
(f + g) dµ = ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y f ≤ s
}
≤
∫
s1 + s2 dµ
=
∫
s1 dµ+
∫
s2 dµ.
Consecuentemente,
∫
(f + g) dµ ≤ ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y f ≤ s
}
+ ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y g ≤ s
}
=
∫
f dµ+
∫
g dµ.
Para demostrar la desigualdad opuesta, observe que si r1 y r2 son funciones simples de forma
que r1 ≤ f y r2 ≤ g, entonces r1 + r2 es una función simple que cumple r1 + r2 ≤ f + g, aśı:
∫
(f + g) dµ = sup
{
∫
r dµ : r es simple, medible y r ≤ f + g
}
≥
∫
(r1 + r2) dµ =
∫
r1 dµ+
∫
r2 dµ.
Por tanto,
∫
(f + g) dµ ≥ sup
{
∫
r dµ : r es simple, medible y r ≤ f
}
+ sup
{
∫
r dµ : r es simple, medible y r ≤ g
}
=
∫
f dµ+
∫
g dµ.
3. Suponga que f = 0. Si s es una función simple tal que g ≤ s, entonces 0 ≤ s casi en todas
partes de [a, b], por lo que 0 ≤
∫
s dµ. De esto último se tiene que:
0 ≤ ı́nf
{
∫
s dµ : s es simple, medible y g ≤ s
}
,
es decir 0 ≤
∫
g dµ.
Si f 6= 0, entonces 0 ≤ g − f casi en todas partes de [a, b], por lo que 0 ≤
∫
(g − f) dµ, aśı
∫
f dµ ≤
∫
g dµ.
4. Como f = g casi en todas partes de [a, b], se tiene que f ≤ g y g ≤ f casi en todas partes de
[a, b], por tanto
∫
f dµ ≤
∫
g dµ y
∫
g dµ ≤
∫
f dµ, aśı
∫
f dµ =
∫
g dµ.
39
5. Como −|f | ≤ f ≤ |f |, se tiene que −
∫
|f | dµ ≤
∫
f dµ ≤ |
∫
f dµ|, aśı
|
∫
f dµ| ≤
∫
|f | dµ.
6. Ya que A y B son ajenos, χA∪B = χA +χB, por ello:
∫
A∪B
f dµ =
∫
(fχA + fχB) dµ =
∫
fχA dµ+
∫
fχB dµ =
∫
A
f dµ+
∫
B
f dµ.
7. Ya que A ⊆ B, χA ≤ χB, aśı fχA ≤ fχB pues f es no negativa, por ello
∫
fχA dµ ≤
∫
fχB dµ, es decir
∫
A
f dµ ≤
∫
B
f dµ.
Es sabido que toda función Riemann integrable es Lebesgue integrable y que el valor de
ambas integrales es el mismo. Esto es útil cuando se trata de evaluar una integral de Lebesgue
pues se pueden usar los teoremas en la teoŕıa de integración de Riemann. Ejemplos simples
como χ
Q
muestran que existen funciones Lebesgue integrables que no loson en el sentido de
Riemann. Adicionalmente a poder integrar más funciones, la integral de Lebesgue soluciona
dos de las mayores inconvenientes de la integral de Riemann.
El primero: si una sucesión de funciones Riemann integrables converge puntualmente a
alguna función, ésta no necesariamente es integrable en le sentido de Riemann. La integral de
Lebesgue soluciona esto.
Teorema 2.9 (Convergencia acotada). Sea {f}n∈N una sucesión uniformemente acotada de
funciones Lebesgue integrables definidas en [a, b]. Si {f}n∈N converge puntualmente a f casi en
todas partes de [a, b], entonces f es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
f dµ = ĺım
n→∞
∫
fn dµ.
Demostración. Recordando la convención tomada antes, en aquellos puntos x ∈ [a, b] donde
ĺım
n→∞
fn(x) no existe, se hará f(x) = 0
Como para cada n ∈ N, fn es Lebesgue integrable, fn es medible y por ello f lo es también
y por tanto es integrable.
Sean M > 0 tal que para cada n ∈ N y para cada x ∈ [a, b], |fn(x)| ≤ M y ε > 0. Por el
teorema de Egoroff (1.39), existe un conjunto medible E ⊆ [a, b] tal que µ([a, b] − E) < ε
4M
y
{fn}n∈N converge uniformemente a f en E. Por ello existe un número natural N de forma que
40 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
para cada n ≥ N ,
|
∫
fn dµ−
∫
f dµ| ≤
∫
|fn − f | dµ
=
∫
E
|fn − f | dµ+
∫
[a,b]−E
|fn − f | dµ
<
εµ(E)
2(b− a) + 2Mµ([a, b]− E)
<
εµ([a, b])
2(b− a) + 2M
ε
4M
= ε.
El segundo inconveniente concierne a las derivadas. Si f ′ existe en cada punto de [a, b] y
f ′ es acotada en [a, b], se esperaŕıa que f ′ fuese integrable en [a, b] y que
∫ b
a
f ′ = f(x) − f(a),
para cada x ∈ [a, b]. Sin embargo, existen funciones cuya derivada existe y es acotada pero no
es Riemann integrable. De igual manera, la integral de Lebesgue da una solución a esto.
Teorema 2.10. [Teorema Fundamental del Cálculo] Sea f : [a, b] → R una función diferenciable
en cada punto de [a, b]. Si f ′ es acotada en [a, b], entonces f ′ es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
[a,x]
f dµ = f(x)− f(a) para cada x ∈ [a, b].
Demostración. La función f es continua en [a, b] ya que ésta es diferenciable en cada punto de
[a, b], y la función f ′ es Lebesgue integrable en [a, b] pues se trata de una función medible y
acotada en [a, b]. Sea M una cota para f ′ y extienda f a [a, b + 1] haciendo f(x) = f ′(b)(x −
b) + f(b) para cada x ∈ (b, b + 1]. Note que la extensión de f es continua y diferenciable en
[a, b+ 1]. Para cada número natural n, defina fn : [a, b] → R por:
fn(x) = n(f(x+
1
n
)− f(x)).
Por el teorema del valor medio, para cada número natural n y cada x ∈ [a, b], existe
zxn ∈ (x, x+ 1n) de forma que
fn(x) =
f
(
x+ 1
n
)
− f(x)
1
n
= f ′(zxn).
Se sigue que |fn(x)| ≤ M para cada n ∈ N y cada x ∈ [a, b]. Como {fn}n∈N converge
puntualmente a f ′ en [a, b], del teorema de la convergencia acotada se tiene que
∫
f ′ dµ = ĺım
n→∞
∫
fn dµ.
41
Dado que f es continua en [a, b+ 1], el teorema fundamental del cálculo para la integral de
Riemann implica que:
ĺım
n→∞
n
∫ a+ 1
n
a
f(t) dt = f(a) y ĺım
n→∞
n
∫ b+ 1
n
b
f(t) dt = f(b).
Ya que se trata con integrales de Riemann, se puede hacer un cambio de variable y obtener:
∫
f ′ dµ = ĺım
n→∞
∫
fn dµ
= ĺım
n→∞
(
n
∫ b
a
f(t+
1
n
) dt− n
∫ b
a
f(t) dt
)
= ĺım
n→∞
n
∫ b+ 1
n
b
f(t) dt− ĺım
n→∞
n
∫ a+ 1
n
a
f(t) dt
= f(b)− f(a).
Un cálculo similar es válido para cada x ∈ (a, b).
La integral de Lebesgue sólo ha sido definida para funciones cuyo dominio es un intervalo
de la forma [a, b] y son acotadas. No obstante, se busca extender esta definición de la integral
de Lebesgue para incluir funciones medibles arbitrarias cuyo dominio sea un intervalo [a, b].
Definición 2.11. Sea f : [a, b] → R una función no negativa y medible. La integral de Lebesgue
de f en [a, b], está definida por:
∫
f dµ = sup
{
∫
u dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ f
}
.
La integral de Lebesgue de f sobre un subconjunto medible E ⊆ [a, b] se define como
∫
E
f dµ =
∫
fχE dµ. Nótese que el valor de la integral puede ser infinito.
Teorema 2.12. Sean f y g funciones no negativas definidas en [a, b], además de A y B sub-
conjuntos medibles de [a, b]. Entonces:
1. Para cada k ≥ 0,
∫
kf dµ = k
∫
f dµ.
2.
∫
(f + g) dµ =
∫
f dµ+
∫
g dµ
3. Si f ≤ g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ ≤
∫
g dµ.
4. Si f = g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ =
∫
g dµ.
5. Si A y B son ajenos, entonces
∫
A∪B
f dµ =
∫
A
f dµ+
∫
B
f dµ.
42 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
6. Si A ⊆ B, entonces
∫
A
f dµ ≤
∫
B
f dµ.
Demostración.
1. Sea k ≥ 0, note que
{
∫
ku dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ f
}
=
{
∫
u dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ kf
}
.
De esta manera,
∫
kf dµ = sup
{
∫
u dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ kf
}
= sup
{
∫
ku dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ f
}
= k sup
{
∫
u dµ : u es una función medible, acotada y 0 ≤ u ≤ f
}
= k
∫
f dµ.
2. Si
∫
f dµ = ∞ o
∫
g dµ = ∞, es claro que
∫
(f+g) dµ =
∫
f dµ+
∫
g dµ, pues f ≤
∫
(f+g) dµ
y g ≤
∫
(f + g) dµ.
Suponga que las integrales
∫
f dµ y
∫
g dµ son finitas, entonces dada ε > 0, existen funciones
medibles y acotadas u y v tales que 0 ≤ u ≤ f , 0 ≤ v ≤ g,
∫
f dµ <
∫
u dµ+
ε
2
y
∫
g dµ <
∫
v dµ+
ε
2
.
Entonces:
∫
(f + g) dµ ≥
∫
(u+ v) dµ >
∫
f dµ− ε
2
+
∫
g dµ− ε
2
=
∫
f dµ+
∫
g dµ− ε.
Por ello
∫
(f + g) dµ ≥
∫
f dµ+
∫
g dµ.
Por otra parte, si u es una función medible y acotada de forma que 0 ≤ u ≤ f + g, se puede
definir u1 = mı́n{f, u} y u2 = u− u1. Entonces u1 y u2 son funciones medibles y acotadas tales
que 0 ≤ u1 ≤ f y 0 ≤ u2 ≤ g, pues u2 = u − u1 = u + máx{−u,−f} = máx{0, u − f} ≤ g.
Además:
∫
u dµ =
∫
u1 dµ+
∫
u2 dµ ≤
∫
f dµ+
∫
g dµ.
Se sigue que
∫
(f + g) ≤
∫
f dµ+
∫
g dµ dµ.
43
3. Sean E = {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ g(x)} y u una función medible, acotada tal que 0 ≤ u ≤ f .
Entonces u = uχE casi en todas partes de [a, b], uχE ≤ g y
∫
u dµ =
∫
uχE dµ ≤
∫
g dµ. Ya
que esto sucede para cada función u, se sigue que
∫
f dµ ≤
∫
g dµ.
4. Puesto que f = g casi en todas partes de [a, b], se tiene que f ≤ g y g ≤ f . Consecuentemente
∫
f dµ ≤
∫
g dµ y
∫
g dµ ≤
∫
f dµ.
5. Dado que A y B son ajenos, χA∪B = χA +χB, por ello:
∫
A∪B
f dµ =
∫
(fχA + fχB) dµ =
∫
fχA dµ+
∫
fχB dµ =
∫
A
f dµ+
∫
B
f dµ.
6. Como A ⊆ B, χA ≤ χB y ya que f es no negativa, fχA ≤ fχB. Aśı,
∫
fχA dµ ≤ fχB, es
decir
∫
A
f dµ ≤
∫
B
f dµ.
Definición 2.13. Una función no negativa y medible f : [a, b] → R, es Lebesgue integrable en
[a, b] si
∫
f dµ es finita. En general, una función medible arbitraria g : [a, b] → R es Lebesgue
integrable en [a, b] si g+ y g− son Lebesgue integrables en [a, b] y
∫
g dµ =
∫
g+ dµ−
∫
g− dµ.
Al igual que en los casos anteriores, la función g es Lebesgue integrable en un conjunto
medible E ⊆ [a, b], si la función fχE es Lebesgue integrable en [a, b] y
∫
E
f dµ =
∫
FχE dµ.
El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la integral de Lebesgue.
Teorema 2.14. Sean f y g funciones Lebesgue integrables definidas en [a, b], A y B subcon-
juntos medibles de [a, b], entonces:
1. Para cada número real k, kf es Lebesgue integrable y
∫
kf dµ = k
∫
f dµ.
2. f + g es Lebesgue integrable y
∫
f + g dµ =
∫
f dµ+
∫
g dµ.
3. Si f ≤ g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ ≤
∫
g dµ.
4. Si f = g casi en todas partes de [a, b], entonces
∫
f dµ =
∫
g dµ.
5. |
∫
f dµ| ≤
∫
|f | dµ.
6. Si A y B son ajenos,
∫
A∪B
f dµ =
∫
A
f dµ+
∫
B
f dµ.
Demostración.
44 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE
1. Si 0 < k, (kf)+ = kf+ y (kf)− = kf−. Como f+ y f− son Lebesgue integrables,
∫
kf+ dµ y
∫
kf− dµ son finitas, por lo que (kf)+ y (kf)− son Lebesgue integrables, además:
∫
kf dµ =
∫
(kf)+ dµ−
∫
(kf−) dµ
=
∫
kf+ dµ−
∫
kf− dµ
= k(
∫
f+ dµ−
∫
f− dµ)
= k
∫
f dµ.
Si k < 0, (kf)+ = −kf− y (kf)− = −kf+. Ya que f+ y