Calculo-de-la-corriente-de-tuneleo-en-una-compuerta-mos-por-el-metodo-de-la-matriz-de-transferencia

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
Cálculo de la corriente de tuneleo en una
compuerta MOS por el método de la matriz de
transferencia.
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
Fı́sico
PRESENTA:
Uriel Alberto Diaz Reynoso
TUTOR
Dr. Edmundo Antonio Gutiérrez Domı́nguez
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2016
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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1. Datos del alumno.
Diaz
Reynoso
Uriel Alberto
222 167 3950
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Física
407021738
2. Datos del tutor
Dr
Edmundo Antonio
Gutiérrez
Domínguez
3. Datos del sinodal 1
Dr
Chumin
Wang
Chen
4. Datos del sinodal 2
Dra
Vicenta
Sánchez
Morales
5. Datos del sinodal 3
Dr
Raúl Patricio
Esquivel
Sirvent
6. Datos del sinodal 4
Dr
Reydezel
Torres
Torres
7. Datos del trabajo escrito.
Cálculo de la corriente de tuneleo en un capacitor
mos por el método de la matriz de transferencia.
66 p.
2016
Cálculo de la corriente de tuneleo en una
compuerta MOS por el método de la matriz de
transferencia
Uriel Alberto Díaz Reynoso
Director de Tesis: Dr. Edmundo A. Gutiérrez Domínguez
25 de noviembre de 2016
Agradecimientos
Agradezco a mis padres por ser mi apoyo durante toda mi vida. Espero que sientan
que sus esfuerzos han valido la pena.
Agradezco el apoyo del Dr. Edmundo Antonio Gutiérrez Domínguez y a mis si-
nodales. Agradezco el apoyo de los profesorado de la UNAM y del INAOE, por su
orientación y su tiempo.
Agradezco al gobierno mexicano por la creación de la UNAM, así como el uso de
sus instalaciones.
2
Resumen
En esta tesis se analiza el fenómeno de la corriente de tuneleo en dipositivos semi-
conductores MOS de película delgada. Para éste fin, se hace un estudio sobre la matriz
de transferencia como el método que permite conocer los valores de las coeficientes de
transmisión. Se analiza detalladamente las propiedades numéricas de un par de matri-
ces de transferencia y su eficiencia numérica. Adicionalmente se explora la capacidad
de matriz de transferencia para resolver problemas de valores propios. Finalmente, se
exponen algunas de las propiedades importantes sobre los materiales semiconductores
que permiten el cálculo de la corriente de tuneleo, se calcula la corriente de tuneleo
para una compuerta MOS y se discuten los resultados de cómo afecta la corriente de
tuneleo al adelgazar el grosor de la capa de aislante.
3
Índice general
Introducción 7
1. Tuneleo electrónico 9
Ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Electrón contra barrera de potencial Unidimensional. . . . . . . . . . 10
1.2. Electrón en barrera de potencial Multidimensional. . . . . . . . . . . 13
1.3. Barreras de potencial no uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Matriz de transferencia 19
2.1. Método del matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Matriz de transferencia no simétrica . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Masa efectiva independiente de la posición . . . . . . . . . . 25
2.3. Estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Sistema cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Condiciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Paralelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1. Paralelización en un equipo real . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Corriente de Tuneleo 33
3.1. Densidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Número de ocupación ( distribución de Fermi ) . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1. Relación entre E y k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Compuerta de un dispostivo semiconductor . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. Aislantes de la compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
ÍNDICE GENERAL 5
3.4. Resultados de los cálculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1. Otras consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Paralelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1. MPI y OpenMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Conclusiones 45
Apéndice 47
Implementación de los métodos explicados . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Cabeceras y librerías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
OpenMP y MPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
OpenCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Error de discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aproximación del potencial constante por partes . . . . . . . . . . . . 63
Índice de figuras
1.1. Ecuación de Schrödinger estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Onda material se enfrenta a barrera de potencial . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Coefiente de transmisión vs Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Esquema gráfico de compuertas de 1,2 y 3 dimensiones . . . . . . . . 14
1.5. Esquema de un potencial tipo rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Convergencia del método usado para barreras no Uniformes . . . . . 17
1.7. Comparación de soluciones según No de pasos . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Tres esquemas para la matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Potencial exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Error relativo para Kd fijo y distinto número de pasos . . . . . . . . . 26
2.4. Error relativo para matriz simétrica y no simétrica sin ajuste . . . . . 27
2.5. Error relativo para N = 1000 y Kd variable . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Esquema de un transistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Contribución en la transmisión según el nivel de energía . . . . . . . 40
3.3. Relación entre coef. transmisión para potencial de barrera y rampa . . 41
3.4. Tiempo de proceso vs número de procesos en un SMP de 8 núcleos . 44
6
Introducción
El protocolo de escalamiento en la dimensión de los dispositivos semiconductores
CMOS se ha descrito en el ITRS (International Technology Roadmap for Semiconduc-
tors) [1], donde se indica que se debe reducir el espesor de la compuerta conforme se
reduce el ancho del canal. Se sabía que dentro de los problemas que limitarían la conti-
nua reducción de los dispositivos semiconductores sería el efecto del ruido, del tuneleo
y de la misma escala atómica, entre otros.
Presenta serios inconvenientes la corriente de tuneleo, puesto que en la escala nano-
métrica (de algunos nanómetros) puede representar hasta el 50% de la corriente total.
Entonces cabe preguntar, ¿qué ventajas tiene reducir el ancho del compuerta?. Las ven-
tajas que se han descubierto, entre otras, son las siguientes:
Mayor capacidad de integración
Mayor transconductancia
Menor disipación de calor
Mejor confiabilidadcontra electrones calientes.
Es evidente que entre menor sea la dimensión de la compuerta, más dispositivos puede
ser empacados en una misma oblea, sobre todo cuando son apilados. No obstante, una
de las mayores ventajas de la delgadez de la película de aislante u óxido, es el aumen-
to considerable en su capacidad eléctrica. Puesto la capacidad aumenta inversamente
proporcional al espesor del óxido (aproximadamente), entonces hay más electrones
disponibles en el canal aumentando considerablemente la trasconductancia como ha
sido demostrado en la reducción de 3nm a 1.5nm [2] del óxido en la compuerta. La
disipación del calor también se reduce conforme se reduce el grosor de la película de
la compuerta, puesto que la carga de un capacitor es CV = Q2/C, esto nos asegura que
con una pelicula más delgada los dispostivos disiparán menos calor, hiciéndolos más
7
8 ÍNDICE DE FIGURAS
efecientes. También Hisayo demostró [2], un aumento en la confiabilidad del dispositi-
vo en cuanto al degradamiento por electrones calientes, quizá sea resultado de los bajos
voltajes a los que se pueden utilizar éstos dispositivos.
Todas estos elementos, son pues, razón suficiente para que sea benéfico y prove-
choso el estudio de dispositivos con películas tan delgadas, siendo un reto a superar,
el controlar la corriente debido al tuneleo cuántico, aunque para lograrlo debemos co-
menzar a estudiar los mecanismos por el cuál se da este fenómeno.
Una amplia cantidad de trabajos son los que han investigado la corriente tuneleo y
varios resultados son los que dichas investigaciones han dado, puesto se ha encontrado
mejoros propiedades en la utilizacíon de dieléctricos de alta constante dieléctrica (high-
k dielectrics) [3] e incluso se han encontrado métodos para caracterizar los dispositivos
semiconductores (cargas superficiales y de volumen) a través de mediciones y modelos
de la corriente de tuneleo [4]. Así pues, estos elementos son motivo de estudio de la
corriente de tuneleo en este trabajo.
La tesis se encuentra divida en tres capítulos. En el primer capítulo se habla de los
fundamentos físicos que permiten el fenómeno del tuneleo electrónico. En el segundo
capítulo se explica el método de la matriz de transferencia, que es el método usado para
calcular el coeficiente de transmisión en ésta tesis. En el tercer capítulo se realiza un
estudio básico de algunas propiedades macroscópicas y estadísticas para cálculo de la
corriente de tuneleo en compuertas de óxido en dispositivos MOS. Finalmente se hacen
unas reflexiones conclusivas sobre el trabajo realizado.
Los fenónemos se desarrollan téoricamente indicando las aproximaciones usadas (
desarrolladas en los apéndices ), se muestran algunos resultados numéricos simulados
en computador (incluyendo el código en C), y en el último capítulo se destacan los
resultados más relevantes encontrados.
Al final se proponen que métodos nos pueden llevar a un entendimiento y modelado
más preciso y de mayor valor para dispositivos de escalas incluso por debajo de los
1.5nm.
Capítulo 1
Tuneleo electrónico
La ecuación de Schrödinger es el modelo matemático que permite describir el com-
portamiento de los procesos de transporte de carga en dispositivos semiconductores.
Ésto incluye la cuantización de la energía y el confinamiento cuántico de las partículas.
Vea la ecuación 1.1 La función de onda ψ , es la representación del electrón en sí donde
el cuadrado de la norma es la probabilidad de encontrarlo, m∗ es su masa efectiva, V es
el potencial al que está confinado y E su la energía.
(
− h̄
2
2m∗
∇2 +V
)
ψ = Eψ (1.1)
Figura 1.1: Ecuación de Schrödinger estacionaria
En mecánica clásica, los objetos son restringidos a posiciones donde su energía
cinética siempre sea mayor a cero, limitando así las posibles trayectorias a zonas del
espacio fase donde nunca suceda lo contrario. Sin embargo, en las ecuaciones de la
mecánica cuántica es posible encontrar a la partícula en lugares donde su energía ciné-
tica es aún menor, alcanzando así lugares que no serían posibles con el planteamiento
newtoniano de la mecánica clásica, a este fenómeno se le llama tuneleo cuántico. En
esta sección se describirá cómo es posible este y algunos otros fenómenos propios de la
mecánica cuántica. Esto ayudará a comprender el fenómeno de la corriente de tuneleo
a través del óxido de la compuerta de un transistor de efecto de campo.
9
10 CAPÍ́TULO 1. TUNELEO ELECTRÓNICO
1
x
E
ψI(x)
ψII(x)
ψIII(x)
a0
V
a
Figura 1.2: Esquema de la onda material que se enfrenta a una barrera de potencial.
1.1. Electrón contra barrera de potencial Unidimensio-
nal.
Para comenzar, se resolverá la ecuacion de Schrödinger en una dimensión, donde
la partícula se enfrenta a un potencial que esté constante por partes llamado ”barrera”
de potencial.
Debido a que existen tres zonas con distinto potencial, se puede plantear la ecuación
de Schrodinger como sigue:
− h̄
2
2m∗
ψ ′′ = Eψ (x < 0) (1.2)
− h̄
2
2m∗
ψ ′′+V0ψ = Eψ (0 < x ≤ a) (1.3)
− h̄
2
2m∗
ψ ′′ = Eψ (a < x) (1.4)
Debido a que el potencial es constante, se sabe que la solución de éstas ecuaciones
tienen forma de exponenciales (complejas o reales) hacia la izquierda y a la derecha.
Donde el término m∗ es la masa efectiva. Se puede resolver ésta ecuación de manera
general con soluciones de la forma:
A1 exp ik1x+B1 exp−ik1x = ψ(x) (x < 0) (1.5)
A2 exp ik2x+B2 exp−ik2x = ψ(x) (0 < x ≤ a) (1.6)
A3 exp ik3x = ψ(x) (a < x) (1.7)
1.1. ELECTRÓN CONTRA BARRERA DE POTENCIAL UNIDIMENSIONAL. 11
Donde
k1 =
√
2m∗|E|
h̄2
(1.8)
k2 =
√
2m∗|E −V |
h̄2
(1.9)
k3 = k1 =
√
2m∗|E|
h̄2
(1.10)
La función de onda debe ser continua y también su derivada.
Lo que lleva al sistema de ecuaciones:
A1 +B1 = A2 +B2 (1.11)
k1(A1 −B1) = k2(A2 −B2) (1.12)
A2 exp(k2a)+A3 exp(−k2a) = A3 (1.13)
k2(A2 exp(k2a)−A3 exp(−k2a)) = k1A3 (1.14)
A1 =
1
4
(
1+
k1
k2
)(
1+
k2
k1
)
A3
exp(k2a)
+
1
4
(
1− k1
k2
)(
1− k2
k1
)
A3exp(k2a) (1.15)
Note que en la ecuación 1.7 no existe el coeficiente B3 de la onda reflejada, puesto que
se supone que no se puede reflejar de ninguna manera.
Al obtener los coeficientes para cada ecuación se obtiene que
T =
∣
∣
∣
∣
A3
A1
∣
∣
∣
∣
2
=
1
(
cos2 k2a+ 14
(
k21+k
2
2
k1k2
)2
sin2 k2a
) (0 < E −V ) (1.16)
T =
∣
∣
∣
∣
A3
A1
∣
∣
∣
∣
2
=
1
(
cosh2 k2a+ 14
(
k21−k22
k1k2
)2
sinh2 k2a
) (E −V < 0) (1.17)
12 CAPÍ́TULO 1. TUNELEO ELECTRÓNICO
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2
T
E/V
Coeficiente de Transmisión
√
2mV a/h̄ = 1√
2mV a/h̄ =
√
8√
2mV a/h̄ =
√
30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2
T
E/V
√
2mV a/h̄ =
√
6/5√
2mV a/h̄ =
√
1/10√
2mV a/h̄ = 20
Figura 1.3: Coeficiente de transmisión respecto a la Energía sobre el potencial de la
barrera (E/V) para distintos coeficentes de
√
2mV a/h̄. Es similar a la resonancia1 en el
coeficiente de transmisión para ciertos valores del tamaño de la barrea de potencial.
T =
∥
∥
∥
∥
A3
A1
∥
∥
∥
∥
2
=
1
1+ V
2 sin2(k2a)
4E(E−V )
(0 < E −V ) (1.18)
T =
∥
∥
∥
∥
A3
A1
∥
∥
∥
∥
2
=
1
1+ V
2 sinh2(k2a)
4E(V−E)
(E −V < 0) (1.19)
El coeficiente de transmisión para un electrón en una barrera de potencial es función
de varios parámetros, como la altura y la forma de la barrera, la energía del electrón, la
masa efectiva de éste.
Obviamente, si la energía del electrón es alta, la transmisión también lo será, y de
manera análoga, la transmisión será baja para partículas con energía baja. Esto es lo
que la intuición y la mecánica clásica dice. Sin emabargo, observe que el coeficiente
de transmisión puede ser mas complejo como los muestra la gráfica 1.3
1.2. ELECTRÓN EN BARRERA DE POTENCIAL MULTIDIMENSIONAL. 13
1.2. Electrón en barrera de potencial Multidimensio-
nal.
Ahora sigue por resolver la situación de un electrón (ó partícula) en donde el po-
tencial es constante por partes y la partícula se mueve en tres dimensiones. Suponemos
que el potencial esde tipo barrera y que sólo varia en un eje (e.j. z).
En esta situación su puede representar el potencial dentro de la región de interés
como una suma de tres funciones que dependen solamente de z,x y y respectivamente
V =V (z,x,y) =Vz(z)+Vx(x)+Vy(y) (1.20)
Dada la forma de un dispositivo con compuerta rectangular su puede suponer que
los ejes de los planos son x y y , mientras moviéndose en la dirección del eje z se
encuentran los distintos materiales semiconductor, óxido (aislante) y metal. Con esta
simetría su puede deducir que no habrá cambios en el potencial en el eje x y y por lo
que Vx(x) y Vy(y) son constantes y Vz(z) dice la forma del potencial de la barrera que
corresponde al material aislante.
Es razonable que con esta simetría , supóngase que la función de onda que resuel-
ve la ecuación de Schrodinger del sistema se pueda expresar como un producto de
funciones:
ψ = ψ(z,x,y) = ψz(z)ψx(x)ψy(y) (1.21)
Ahora resuélvase la ecuación de Schrodinger para una barrera multidimensional:
− h̄
2
2m∗i
∇2ψ +V (z,x,y)ψ = Eψ (1.22)
− h̄
2
2m∗i
(
1
ψz
∂ 2ψz(z)
∂ z2
+
1
ψx
∂ 2ψx(x)
∂x2
+
1
ψy
∂ 2ψy(y)
∂y2
+
)
+V (z) = E (1.23)
Ahora note que estos términos pueden agruparse dependiendo de la variable de la
cual dependen.
− h̄
2
2m∗i
1
ψz
∂ 2ψz(z)
∂ z2
+V (z) = E −
(
1
ψx
∂ 2ψx(x)
∂x2
+
1
ψy
∂ 2ψy(y)
∂y2
+
)
(1.24)
Vea también que al despejar un término por ejemplo de z un lado de la ecuación
depende de z, sin embargo el otro no, pues depende de x y y esto implica que éstos
14 CAPÍ́TULO 1. TUNELEO ELECTRÓNICO
zSilicio Aislante Metal
x
z
Silicio
Aislante
Metal
x y
z
Silicio
Aislante
Metal
Figura 1.4: Esquema de compuertas de 1,2 y 3 dimensiones , de arriba a abajo, respecti-
vamente. Al los tres se les aplicará (o no) una diferencia de potencial (campo eléctrico)
entre los extremos metal y sicilio.
términos en realidad son constantes.
1.2. ELECTRÓN EN BARRERA DE POTENCIAL MULTIDIMENSIONAL. 15
− h̄
2
2m∗
1
ψz
∂ 2ψz(z)
∂ z2
+V (z) = Ez (1.25)
− h̄
2
2m∗
1
ψx
∂ 2ψx(x)
∂x2
= Ex (1.26)
− h̄
2
2m∗
1
ψy
∂ 2ψy(y)
∂y2
= Ey (1.27)
(1.28)
Ahora, note que estas ecuaciones son idénticas que las ecuaciones de la partícula
unidimensional, con la única diferencia que en las direcciones x y y el electrón se
comporta como una partícula libre.
Éstos razonamientos son independientes del número de dimensiones.
Llámese ψ> a la onda que se desplaza a la derecha y ψ< la que se desplaza a la
izquierda. Ambas partes son resultado de multiplicar las partes de ψz que se desplaza
a la derecha ψz> y la que se desplaza a la izquierda ψz< por las funciones ψx y ψy.
Entonces se puede resolver las ecuaciones de la función de onda y encontrar que
la transmitancia, o sea la probabilidad de encontrar la partícula en la región z > a es
la función de onda al cuadrado en esta función normalizada por la onda incidente, que
son los electrones que se encuentran del otro lado en la región z < a
T =
∣
∣
∣
∣
ψ>
ψI
∣
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣
∣
ψz>ψxIII ψyIII
ψzI ψxI ψyI
∣
∣
∣
∣
2
(1.29)
Sin embargo, los valores de la norma de las funciones de onda que dependen de x y y no
cambian porque son de la partícula libre, queda que la transmitancia es simplemente:
T =
∣
∣
∣
∣
ψIII
ψI
∣
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣
∣
ψzIII
ψzI
∣
∣
∣
∣
2
(1.30)
Entonces en esta situación de alta simetría, que es de esperarse en un dispositivo
ideal, ya sea bidimensional o tridimensional, la transmisión de electrones queda deter-
minada por la barrera de potencial en la dirección z, y las demás dimensiones no juegan
un papel directo en la transmisión de cada electrón.
Pero se verá que mas adelante en la estadística del dispositivo, las otras dimensiones
si jugan un papel en la transmisión total.
16 CAPÍ́TULO 1. TUNELEO ELECTRÓNICO
1.3. Barreras de potencial no uniformes.
Para resolver barreras de potencial no uniformes se usará un método que consiste
en aproximar el potencial de la barrera através de pequeños escalones planos similares
a la barrera de potencial y de esta forma se puede aplicar las ecuaciones de la barrera
de potencial uniforme tantas veces como se desea aproximar, para calcular la función
de onda como función de la ecuación de la barrera undimensional en cada pedazo
que se haya dividido. Los dos coeficientes A y B calculados da respectivamente los
coeficientes de los valores de la amplitud de la función de onda que se propaga a la
derecha y a la izquierda.
E
ψentrante(x)
ψsaliente(x)
a0 ∆Eg
∆Eg
a
Figura 1.5: Esquema de una rampa de potencial para una onda que se propaga a través
de una compuerta MOS.
Para poder considerar un caso más general, donde la masa efectiva puede variar a
lo largo de la estructura, se tiene que utilizar la ecuación de la masa efectiva donde
aparece el hamiltoniano de BenDaniel-Duke:
[
− h̄
2
2
∂z
1
m∗(z)
∂z +V (z)−E
]
ψ(z) = 0 (1.31)
La solución para una sección donde la masa efectiva se considera constante correspon-
de con la solución de la ecuación de Schrödinger:
ψ(z) = A j exp [ik j(z− z j)]+B j exp [−ik j(z− z j)]
pero debe cumplir en todo punto con las condiciones de:
ψ(z+) = ψ(z−) (1.32)
[∂zψ(z
+)]/m∗(z+) = [∂zψ(z
−)]/m∗(z−) (1.33)
1.3. BARRERAS DE POTENCIAL NO UNIFORMES. 17
donde z+ y z− son los límites por la derecha e izquierda respectivamente. El cociente
de la masa efectiva aparece debido a que se debe conservar la corriente [5].
(
A j+1
B j+1
)
=


β j+1+β j
2β j+1
eik j∆ j
β j+1−β j
2β j+1
e−ik j∆ j
β j+1−β j
2β j+1
eik j∆ j
β j+1+β j
2β j+1
e−ik j∆ j


(
A j
B j
)
(1.34)
Donde el término β j = k j/m∗j y ∆ j = z j+1− z j el tamaño del segmento. El error de este
método es de O(h2) [6]
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
ψ(x)2
x(nm)
E/Vmax = 1
210
26
25
24
27
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
ψ(x)2
x(nm)
E/Vmax = .4
26
24
27
25
Figura 1.6: Convergencia de las soluciones por el método planteado para distintos nú-
mero de pasos. Arriba para un dispositivo con E/Vmax = 1, abajo E/Vmax = .4
Ahora observe en la figura 1.6 como la función de onda converge conforme se
aumenta el numero de pasos o de escalones con los que se aproxima la solución.
En esta tesis se trabajará con potencial de barrera y potencial tipo rampa como se
muestra en la figura 1.5.
De la figura 1.7, vea que los valores calculados de los coeficientes de transmisión
son prácticamente idénticos en el rango de interés que servirá para tener una buena
aproximación de algunos fenómenos cualitativos más adelante.
Note que los errores son menores al 2%(que es lo que resuelve la figura), entonces
el número de pasos puede ser 28 y no tendremos demasiado al calcular la integral. Es de
tal interés el estudio de la matriz de transferencia que se dedicará un capítulo completo
18 CAPÍ́TULO 1. TUNELEO ELECTRÓNICO
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
T
E(eV)
26
28
210
212
Figura 1.7: En ésta gráfica se muestran los valores de los coeficientes de transmisión
para diferentes valores de energía de la onda y distintos números de pasos.
en ver alguna de sus propiedades más importantes.
Capítulo 2
Matriz de transferencia
Hablaremos de las propiedades más importantes de la matriz de transferencia si-
guiendo un procedimiento muy parecido a [6].
Primero veamos que la matriz de transferencia es una herramienta que nos permitirá
calcular de manera sencilla funciones de onda unidimensionales. Es sencilla porque una
matriz de 2x2 es la que relaciona los coeficientes de las ondas que se desplazan hacia
la izquierda y derecha en cada pedazo de la partición.
Las matrices de transferencia puede ser de muchos tipos, dependiendo de qué apro-
ximación se haga para calcularse. Por ejemplo, la matriz de transferencia puede ser
resultado de resolver la ecuación de Schrödinger por un potencial constante, que sea
constante por partes o sea debido a un potencial triangular. Sibien puede existir mu-
chos tipos de matriz de transferencia, no siempre es fácil calcularla o puede ser que sea
muy costosa computacionalmente lo cual no es atractivo.
Veamos en la figura 2.1, como se puede segmentar un potencial para aplicarle la ma-
triz de transferencia. También la matriz de transferencia no tiene porqué ser de tamaño
fijo, pero la manera más fácil de implementar sí debe ser así. La facilidad de implemen-
tarse sin grandes conocimientos de métodos numéricos es lo que la hace también una
herramienta atractiva. Quizá su desventaja es que por el momento se usa para potencia-
les unidimensionales, pero como veremos puede ser suficiente para ciertos dispositivos
y geometrías.
Ahora hablaremos de más a detalle sobre algunas propiedades de la matriz de trans-
ferencia.
La matriz de transferencia es una herramienta muy importante para investigar pro-
19
20 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
piedades de materiales y en especial de estructuras de VLSI1, donde los efectos cuán-
tiso se vuelven muy importantes.
La matriz de transferencia es muy útil para resolver sobre todo la ecuación de
Schrödinger o la ecuación de masa efectiva para obtener las energías de los estados
discretos permitidos en pozos cuánticos, heteroestructuras y compuertas metal-óxido-
semiconductor. También es importante para obtener los coeficientes de transmisión
para barreras de potencial [7–10], que es lo que se enfocará este trabajo.
Se pueden encuentrar expresiones analíticas para las matrices de transferencia sólo
en algunos casos, como cuando se suponen potenciales constantes, lineales y exponen-
ciales2. [9].
Potenciales de forma arbitraria pueden ser tratados aproximándolos, por ejemplo,
por potenciales constantes por partes o segmentos lineales, para los cuales la matriz
de transferencia existe. Para potenciales que son constantes por partes, las matrices
están basadas en exponenciales complejas (senos y coseno) [7, 8] mientras que para
potenciales lineales, la matrices requieren la evaluación de funciones de Airy [8].
Existen muchas aplicaciones para este método, desde conocer los valores de las co-
rrientes de tuneleo para los circuitos integrados que se vuelven considerables conforme
se hace más delgada el ancho de la compuerta, hasta aplicaciones avanzadas como la
simulación de láseres de cascada donde varia el grosor de las capas es de algunos pocos
A◦. [11].
Además de que la matriz de transferencia es relativamente fácil de implementar,
ésta nos gustaría que sea numéricamente eficiente, especialmente en los casos donde
la ecuación de Schröndinger tiene que ser resuelta repetidamente. Por ejemplo, para
encontrar los estados ligados por mapeo de energía, o en simuladores que usan la ecua-
ción de Schrödinger-Poission de una manera iterativa. [10]. En este trabajo además se
presentará dos implementaciones que hacen uso del cómputo en paralelo que hacen
este método aún más ventajoso utilizando las nuevas tecnologías.
2.1. Método del matriz de transferencia
En la aproximación de una banda, que es la aproximación que desprecia las posi-
bles bandas de energía en otras direcciones, la función de onda ψ de un electrón con
energía E en una estructura unidimensional puede ser descrita por la ecuación de la
1Very large Scale integration
2Difícilmente se encuentran soluciones analíticas a la ecuación de masa efectiva
2.1. MÉTODO DEL MATRIZ DE TRANSFERENCIA 21
j j+1j-1 j+2 j+3 j+4
j+1j-1 j+2 j+3 j+4j- j+
j+1j-1 j+2 j+3 j+4j- j+
(a)
(c)
(b)
Figura 2.1: Tres esquemas para la matriz de transferencia. Se muestra el potencial exac-
to (linea sólida) y el potencial aproximada (linea punteada) para (a) potencial constante
por pasos, (b) potencial lineal por partes y (c) potencial constante por partes pero simé-
trico.
masa efectiva, que utiliza el hamiltoniano de MacDaniel/Duke.
[
− h̄
2
2
∂z
1
m∗ (z)
∂z +V (z)−E
]
ψ(z) = 0. (2.1)
Donde, la masa efectiva m∗ y el potencial V generalmente dependen de la posición z
a lo largo de la estructura. El utilizar una dependencia en la maza efectiva nos per-
mite extender el resultado a través de heteroestructuras o lugares donde cambia las
propiedades del material (como la orientación). Para aplicar la matriz de transferencia,
primero se divide la estructura en segmentos, vea la figrua 2.1, los cuales pueden variar
en longitud ( o no ). Las discontinuidades en el potencial y la masa efectiva pueden ser
tratadas de manera exacta seleccionando adecuadamente los segmentos de la partición,
de tal forma que las discontinuidades introducidas por la interfaces entre heterostruc-
turas no caigan dentro de un segmento y más bien queden alineadas en los bordes de
dos segmentos contiguos.
2.1.1. Matriz de transferencia no simétrica
Para el potencial constante por partes (Fig. 2.1(a)), el potencial y la masa efectiva
en cada segmento j, es aproximado por un valor constante, Vj = V (z j), m∗j = m
∗ (z j)
para z j ≤ z < z j +∆ j = z j+1, y un salto en el potencial y la masa efectiva Vj → Vj+1,
m∗j → m∗j+1 al final de cada segmento: [8]. La solución de la ecuación de masa efectiva
22 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
(2.1) para z j ≤ z < z j+1 en estas condiciones está dada por:
ψ (z) = A j exp [ik j (z− z j)]+B j exp [−ik j (z− z j)] , (2.2)
donde k j =
√
2m∗j (E −Vj)/h̄ es el número de onda para E <Vj, obtenemos k j = iκ j =
i
√
2m∗j (Vj −E)/h̄) [8].
Los condiciones de frontera para la función de onda en el escalón de potencial son:
ψ (z0+) = ψ (z0−) ,
[∂zψ (z0+)]/m
∗ (z0+) = [∂zψ (z0−)]/m∗ (z0−) , (2.3)
donde z0+ y z0− denotan los límites por la derecha y la izquierda del escalón de po-
tencial localizado a z0 = z j+1 Entonces, las amplitudes A j+1 y B j+1 están relacionadas
con A j y B j por:
(
A j+1
B j+1
)
= Tj, j+1
(
A j
B j
)
, (2.4)
con la matriz de transferencia:
Tj, j+1 = Tj→ j+1Tj (∆ j)
=


β j+1+β j
2β j+1
eik j∆ j
β j+1−β j
2β j+1
e−ik j∆ j
β j+1−β j
2β j+1
eik j∆ j
β j+1+β j
2β j+1
e−ik j∆ j

 . (2.5)
La ecuación (2.5) es el producto de una matriz de transferencia para un potencial plano:
Tj (∆ j) =
(
eik j∆ j 0
0 e−ik j∆ j
)
, (2.6)
que se obtiene de resolver la ecuación de masa efectiva, para potencial y masa efectiva
constante (2.2), y matriz debida al salto de potencial y masa efectiva.
Tj→ j+1 =
1
2β j+1
(
β j+1 +β j β j+1 −β j
β j+1 −β j β j+1 +β j
)
(2.7)
donde β j = k j/m∗j , son derivadas de 2.3 La relación entre las amplitudes a la izquierda
2.1. MÉTODO DEL MATRIZ DE TRANSFERENCIA 23
y la derecha de las fronteras de la estructura, A0,B0 y AN ,BN , pueden ser obtenidas de:
(
AN
BN
)
= TN−1,NTN−2,N−1 . . .T0,1
(
A0
B0
)
=
(
T11 T12
T21 T22
)(
A0
B0
)
, (2.8)
donde N es el número total de segmentos. Para estados ligados, ésta ecuación debe ser
complementada por una condiciones de frontera adecuadas. Una posibilidad es usar
condiciones de frontera evanescentes, o sea A0 = BN = 0 que corresponden a T22 = 0
en (2.8), las cuales se satisfacen sólamente para valores específicos de energía E, co-
rrespondientes a las energías propias de los estados ligados [12]. También veremos más
adelante otros dos casos más donde la estructura de la matriz nos revela información
sobre qué tipo de estado es el que corresponde a dada energía.
Una masa efectiva que dependa de la posición es tratada asignando un valor cons-
tante a cada segmento j por ejemplo m∗ (z j) o preferiblemente
[
m∗ (z j)+m∗
(
z j+1
)]
/2
(vea el apéndice) y usando las condiciones de frontera (2.3) entre los dos segmentos
adyacentes [12].
2.1.2. Matriz simétrica
Las amplitudes de AN y BN están relacionados con los valores A0 y B0 (al utilizar
reiteradamente la matriz de transferencia). Debido a que el potencial es segmentado se
introduce un error de discretización local (LDE) que se propaga en cada paso, desde la
posición z j hasta z j+1. Este error es definido como la diferencia entre la solución exacta
y la calculada dada una posición de lafunción z j+1 obtenido a partir de una función de
onda dada z j considerada exacta.
En el apéndice se muestra como el error local de discretización para las amplitudes
A j y B j para la matriz de transferencia(2.5) se calcula del orden de O
(
∆2j
)
. No obs-
tante, puede ser mejorado hasta O
(
∆3j
)
haciendo la propagación de forma simétrica3,
, esto es, que se obtiene el inverso de la matriz de transferencia empezando por la iz-
quierda y avanzando hacia la derecha que empezando por la derecha y avanzando hacia
la izquierda, poniendo el salto de potencial a la mitad del segmento (vea figura 1(c)).
Esta matriz de transferencia es el producto de dos matrices de transferencia no simétri-
cas calculadas partiendo el segmento en dos de la misma longitud y teniendo un valor
3por lo que la matriz resultante se le llamará simétrica a pesar de que la matriz no cumple con la simetría
desde el punto de vista matemático
24 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
V
(e
V
)
x/d
Potencial de la barrera
exp(Kz)
Figura 2.2: Modelo exponencial con d = 1nmnm y K = 1/d usados para evaluar la
exactitud de los 2 modelos.
de longitud de onda k±j =
(
k j ± k j+1
)
/2 y ∆ j = z j+1 − z j la longitud del segmento j:
Tj, j+1 = Tj+1
(
∆ j
2
)
Tj→ j+1Tj
(
∆ j
2
)
=


β j+1+β j
2β j+1
e
ik+j ∆ j β j+1−β j
2β j+1
e
−ik−j ∆ j
β j+1−β j
2β j+1
e
ik−j ∆ j β j+1+β j
2β j+1
e
−ik+j ∆ j

 , (2.9)
donde de nuevo, k j =
√
2m∗j (E −Vj)/h̄. También es recomendable para mejorar la
exactitud del método, situar las discontinuidades de tal forma que queden alineadas
con los segmentos de la partición.
La ecuación 2.9 matriz de transferencia simétrica, puede ser evaluada con un costo
computacional comparable con la matriz no simétrica (2.5), pero exhibe una exactitud
mayor. Como se mostrará en el apéndice, el error local de discretización de las amplitu-
des A j y B j es mejorado de O
(
∆2j
)
hasta O
(
∆3j
)
para potenciales y masas arbitrarias,
alcanzando una exactitud similar al de resolver a través de potenciales lineales de ram-
pa, que requieren calcular la función de Airy y por lo tanto un esfuerzo computacional
mucho mayor.
2.2. SIMULACIÓN 25
2.2. Simulación
En lo siguiente, se comparará la exactitud de los diferentes modelos respecto a
un potencial que se le conozca su solución exacta. Aquí no podemos usar modelos
polinomiales para una discusión general porque sus derivadas pueden ser idénticas a
0 y el método puede llevar a obtener mejores resultados para estos casos en especial,
haciendo creer que el método es más eficiente de lo que en realidad es.
Sea un potencial exponencial:
V (z) =V0(z)+V1 exp(Kz) , (2.10)
donde V0(z) es un potencial escalón. 0 ≤ z ≤ d vea figura 2.2. Note que se puede
aproximar como una función lineal cuando K → 0. Este potencial puede servir, por
ejemplo, de modelo para potencial efectivo de un perfil en presencia de cargas espacia-
les. [13, 14].
2.2.1. Masa efectiva independiente de la posición
Por ahora, se asumirá una masa efectiva constante m∗. Por lo que la ecuación de
Schrödinger tiene soluciones analíticas de la forma:
ψ = c1Jµ (a)+ c2Yµ (a) (2.11)
para el potencial dado por la expresión 2.10, con constantes c1 y c2 que se pueden
calcular con las condiciones de frontera. Aquí, Jµ y Yµ son funciones de Bessel del
primer y segundo tipo, y los parámetros usados están dados por:
µ = 2
√
2m∗ (V0 −E)
h̄K
,
a(z) = 2
√
−2m∗V1
h̄K
exp
(
1
2
Kz
)
. (2.12)
Para comparar los coeficientes de trasmisión compararemos los coeficientes obte-
nidos por el método de la matriz de transferencia con los coeficientes que se obtienen
por la expresión:
A(z j) =ψ(z j)−
i
k
dψ
dz
∣
∣
z j
(2.13)
B(z j) =ψ(z j)+
i
k
dψ
dz
∣
∣
z j
(2.14)
26 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
10−11
10−10
10−9
10−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
102 103 104 105
E
rr
or
re
la
tiv
o
Número de pasos
Error vs número de pasos
matriz simétrica
+
+
+
+
+
+
+ + + +
+
c/x*x
matriz no-simétrica
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗
c/x
Figura 2.3: Error relativo εT = |1−Tnum/T | del coeficiente de trasmisión obtenido
numéricamente como función del número de segmentos N. La correspondiente barrera
se muestra en la figura2.2, la masa efectiva se considera constante.
estos coeficientes representan las componentes de ondas que se trasmiten para la
derecha y izquierda, respectivamente.
Para las simulaciones, evaluaremos las dos matrices de transferencia discutidas en
la sección 2.1, hasta encontrar la matriz total que es el resultado de sucecivos pro-
ductos como se muestra en 2.8, y através de ésta calcularemos las amplitudes corres-
pondientes. Primero, se investigará la estructura de la barrera mostrada en la figura
2.2(a), la cual puede ser caracterizada en términos de un coeficiente de trasmisión T ,
dando la probabilidad de tuneleo de un electrón. Son evaluados los métodos para la
matriz no simétrica y simétrica, basadas en las expresiones 2.5 y 2.9, respectivamente.
Asumiremos que el electrón tendrá energía de E = 0 y una masa efectiva constante
de m∗ = 0.06me correspondiente para el arsenuro de galio, donde me es la masa del
electrón. La figura 2.3 muestra el error relativo εT (N) = |1−Tnum (N)/T | como una
función de N ∝ ∆−1. Aquí Tnum (N) es el resultado numérico para el coeficiente de tras-
misión, obtenido por los difirentes métodos para una subdivisión en N segmentos de
igual longitud ∆ = d/N ∝ N−1. Como se puede ver de la figura 2.3, el error escala con
N−1 ∝ ∆ para la matriz no simétrica y como N−2 ∝ ∆2 para la matriz simétrica.
Esto se debe a la forma del error local de discretización, el cual es O
(
∆3
)
para la
2.2. SIMULACIÓN 27
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
102 103 104 105
E
rr
or
re
la
tiv
o
Número de pasos
Matriz no-simétrica
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Matriz simétrica×
×
×
× ×
×
×
×
×
×
×
Figura 2.4: Error relativo para matriz simétrica y no simétrica sin ajustar las discon-
tinuidades vs el número de pasos. Como vemos obtenemos el mismo resultado con
ambas matrices.
matriz simétrica y O
(
∆2
)
para la matriz no simétrica, como se discute en el apéndice.
Cuando la matriz de transferencia total para toda la estructura es calculada usando 2.8,
la acumulación los errores locales debidos a cada uno de los N segmentos resulta en un
error total de NO
(
∆2
)
= O (∆) para la matriz no simétrica y NO
(
∆3
)
= O
(
∆2
)
para
el método usando la matriz simétrica.
Como podemos ver es ventajoso usar la matriz simétrica para el cálculo del coe-
ficiente de trasmisión, puesto que se requieren el mismo orden de operaciones que la
matriz no simétrica, pero el error es mejorado por un orden de magnitud.
Otra observación que es pertinente hacer es que se debe cuidar que las discontinui-
dades caigan perfectamente en el lugar que corresponde al utilizar la matriz simétrica.
De no hacerlo el error introducido en este pedazo es del mismo order que para la ma-
triz no simétrica, perdiendo así cualquier ventaja sobre dicho método. Para esto vea la
figura 2.4
La figura. (2.5) muestra de nuevo el error relativo εT , pero ahora para un número
fijo de segmentos N = 1000, sólo que ahora variamos el valor de K (para cambiar el
potencial) en 2.10, y ademas se adapta V0 y V1 de tal forma que V (z) se mantiene cons-
tante en z = 0 y z = d y sólo cambia la curvatura del potencial. La matriz simétrica
28 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
10−10
10−9
10−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
E
rr
or
re
la
tiv
o
K
Matriz no-simétrica
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+
++
+
++
++
+++
+
++
++
+++
+
++
+
+
+
+
++
+++++
++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+++
++
+
+
+
++
+
+
++
+
+++++
+++
++++++++
+++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++
++
++++
++
++
+++
+
++
++
+++
+
++
++
++
+
+++
+
+
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+
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++++
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+
+
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++++++
++++++++++
++++++++
++++++++
++++++++
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+++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++ ++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
Matriz simétrica
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
××××××××
×××
×
××
××
××
×
×××
××
××××××
××
×
××
×
×
×
××
××
×
×××
×××
×
×××
×××××
××××××××
×××××××××××××××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
××
××
×××
×
××
××
××
×
×××
×
×
××
×
×××
××
×××××
×
××××××
×
×
××
×
×
×
×
×
×
×
×
××
×
×
×
××
×
××
××××
×
×××××
×××
×
××××××××××
××××××××
××××××××××
××××××××××××××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××× ×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
×
Figura 2.5: Error relativo del coeficiente de trasmisión ( εT |1−Tnum/T | ) calculado
numéricamente como función de Kd Se ha usado N = 1000 segmentos. La barrera de
potencial usado es la correspondiente de la figura 2.2, la masa efectiva se considera
constante.
muestra una exactitud superior especialmente para valores pequeños de K, correspon-
dientes a una curvatura casi plana en el potencial. Mientras que el error de la matriz no
simétrica no muestra una notable dependecia con K. Curiosamente, la matriz simétrica
muestra un error muy pequeño εT para un valor específico de K en Kd ≈−.35.
En vista de la eficiencia del método de la matriz no simétrica, usaremos ésta para
los cálculos a lo largo de las siguientes secciones.
2.3. Estados ligados
Vamos ahora ver cómo nos puede ayudar la matriz de transferencia para encontar
los estados ligados de la ecuación de schrödinger. Primero definiremos la matriz de
transferencia total que es el producto de las matrices en cada paso.
2.3. ESTADOS LIGADOS 29
n Enumericon /E0 Error(%)
1 1.001 0.0618
2 4.001 0.1046
3 9.001 0.1284
4 16.003 0.2758
5 25.004 0.4042
6 36.006 0.6087
7 49.008 0.8418
8 64.003 0.3424
9 81.004 0.3947
10 100.001 0.0951
Tabla 2.1: Tabla con energías propias para partícula en pozo infinito
2.3.1. Sistema cerrado
En un sistema cerrado la función de onda se anula en las fronteras, esto implica:
A0 +B0 =0 (2.15)
AN +BN =0 (2.16)
pero ésta supoción lleva a que la matriz de transferencia Ttotal =
(
a b
c d
)
tiene coefi-
cientes de modo que:
a−b =−c+d (2.17)
Electrón en pozo infinito
Un sistema sencillo que cumple con ser cerrado es el pozo infinito de potencial.
Veamos qué resultados nos arroja la matriz de transferencia para este caso. Las energías
calculadas se muestran la tabla 2.1 Puede demostrarse incluso que, usando la matriz de
transferencia, los energías que se obtienen son exactamente las mismas que resolviendo
la ecuación de Schrödinger.
2.3.2. Oscilador armónico
Veamos ahora qué resultados se obtienen al utilizar la matriz de transferencia para
resolver estados ligados en potenciales no triviales, como ejemplo pondremos el osci-
lador armónico. Como método numérico, estamos forzados a poner condiciones finitas
de frontera. Electrón no se puede desplazar arbitrariamente lejos. Para esto pondremos
30 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
una sección de parábola el cual el punto más alto tiene energía Emax = 22.5eV en un
rango de 1.5nm, este será nuestro 100%. de energía. Vamos a calcular los valores de
las energías para estados con un porcentaje menor y mayor y vamos a compararla con
el resultado de la solución exacta. En la tabla 2.2 veamos los resultados. Como pode-
mos ver, cuando las energías del estado están por debajo del 100%, los autovalores de
las energías se calculan de manera muy satisfactoria. Sin embargo cuando están por
encima del 100% del Emax, comienza a crecer el error mucho. Esto se debe a principal-
mente a que estamos suponiendo que el valor de la función de onda en los extremos es
precisamente 0. Cuando E < Emax, esto es una buena aproximación, puesto que la fun-
ción de onda decae exponencialmente (como e
√
V−E ) pero cuando se acerca al 100%
de Emax, esto deja de ser cierto.
2.3.3. Condiciones periódicas
Para las condiciones de frontera periódicas tenemos que la matriz de transferencia
(total) debe cumplir con ser con:
A0 =AN (2.18)
B0 =BN (2.19)
Esto nos lleva a que la matriz de transferencia es la identidad. 4
2.4. Paralelización
Podemos paralelizar el cálculo de los coeficientes de trasmisión con el método de
la matriz de transeferencia. Un método que es típico, es aprovechar la asociatividad
de las matrices, puesto que no importa el órden de los paréntesis. Por ejemplo: el pro-
ducto A*(B*(C*D)) se puede reordenar de la siguente manera para cualquier operador
binario (∗) que sea asociativo:
(A∗B)∗ (C ∗D)
y los productos A∗B y C ∗D se pueden hacer simultáneamente en distintos procesado-
res para finalmente multiplicar los resultados y obtener el producto final. De manera re-
cursiva se puede hacer para 2N elementos que se van a ”multiplicar” usando el operador
binario. Llamemos a An,m al elemento de la multiplicación de tal forma que An,0 = An
4También podríamos imponer otras condiciones como que sea la identidad más una fase, ésto sería pare-
cido a encontrar el electrón de bloch en una malla periódica
2.4. PARALELIZACIÓN 31
E/Emax (%) Ennum/E0 Error(%)
2.5 1.001 0.14
7.5 3.001 0.02
12.6 5.000 0.00
17.6 6.999 0.01
22.6 8.999 0.02
27.6 10.998 0.02
32.7 13.004 0.03
37.7 15.004 0.02
42.7 17.003 0.02
47.7 19.002 0.01
52.8 21.001 0.01
57.8 23.001 0.00
62.8 25.007 0.03
67.8 27.006 0.02
72.9 29.016 0.06
78.0 31.033 0.11
83.1 33.086 0.26
88.4 35.184 0.53
93.9 37.367 0.99
99.6 39.650 1.67
100.0 39.809 2.91
105.6 42.049 2.21
112.0 44.586 0.92
118.7 47.258 0.55
125.8 50.064 2.17
133.2 53.008 3.94
140.9 56.086 5.82
149.0 59.299 7.82
157.4 62.650 9.91
166.1 66.125 12.08
175.269.735 14.32
Tabla 2.2: Energías calculadas para el oscilador armónico con la matriz de transferen-
cia, N=2000
32 CAPÍ́TULO 2. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
los elementos de la multiplicación. y An,m = An−1,2m ∗An−1,2m+1 es evidente que dado
n, si m1 6= m2 se puede calcular An,m1 ,An,m2 de manera independiente, en paralelo.
Puede observarse que si tenemos una computadora en paralelo enorme (infinitas
unidades de proceso) el número de ciclos de reloj (el tiempo) necesario para completar
toda la tarea es del orden de log2(M) = N donde M es el número de operandos. Este
método es muy útil para agilizar la búsqueda de matriz de transferencia que cumplan
ciertas propiedades, como cuando se buscan las energías de los estados ligados.
Con este método podemos paralelizar el producto de las matrices de transferencia
de la ecuación 2.8
2.4.1. Paralelización en un equipo real
En la realidad no tenemos una infinidad de procesadores. Pueden ser desde unos
cuantos procesadores (2-64 para CPU’s), a unos cientos o miles procesadores ( 200-
4000 para GPU’S).
Se puede dividir el producto de N términos en productos consecutivos de N/M
términos, donde M es el números de procesadors. Cada procesador hará el producto de
N/M términos consecutivos.
El orden de complejidad del algoritmo sería del orden N/M+ log2(M) (aproxima-
damente). Cuando N >> M entonces el orden el tiempo requerido se apoximadamente
tproductoN/M. Cuando N y M son comparables (o N<M ) entonces el tiempo de proceso
es similar al caso con infinitos procesadores.
Cabe destacar que debido a que el algoritmo es el mismo para todos los procesa-
dores, (todos los procesadores hacen las mismas operaciones aritméticas), entonces es
también muy eficiente al implementarse en una tarjeta aceleradora de gráficos (GPU).
Capítulo 3
Corriente de Tuneleo
La corriente de tuneleo es el resultado global del fenónemo del tuneleo electrónico.
Los electrones que se encuentran en los niveles de la banda de conducción ,como se
ha visto, tienen la posibilidad de pasar a través de la barrera de potencial. La suma de
todos estos tuneleos es la corriente de tuneleo .
Se sabe que los electrones se distribuyen en los distintos niveles de energía E. Dado
un intervalo de energía δE, hay una cantidad máxima de electrones que pueden ser
acomodados dentro de este intervalo, a ésta cantidad se le llama densidad de estados.
A mayor densidad de estados en tal región, mayor cantidad de electrones de se puede
acomodar y más electrones podrán tunelear. Finalmente también dependerá de qué
proporción de los niveles disponibles realmente están ocupados, esto es el número de
ocupación.
Luego la cantidad de electrones es esta probibilidad de ocupación por el número
de niveles que tienen este rango de energía. Este número de niveles se puede calcular
de varias formas. Es resultado de conocer cuál es la distribución de estados permitidos
alrededor del nivel de energía donde empieza la banda de conducción.
Aunque la distribución de estados no tiene la forma parabólica. Su puede decir que
en una primera aproximación si es así, puesto que el lugar más ocupado está alrededor
del mínimo de la banda de conducción.
< T >=
∫ E f
E0
T(E)n(E)ρ(E)dE
∫ E f
E0
n(E)ρ(E)dE
(3.1)
Donde los términos representan lo siguiente:
T (E) Coeficiente de transmisión del electrón (dada su energía)
33
34 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
ρ(E) Densidad de estados (número de estados por unidad de energía)
n(E) Ocupación promedio de éstos estados
Los valores E0 y E f son los límites de integración
Esta forma de expresión da una mejor idea de la proporción de los electrones que
están del lado del semiconductor y que proporción de electrones se fugarán a través de
la compuerta debido a la corriente de tuneleo.
En el capítulo anterior se ha revisado exhaustivamente la forma del término del
coeficiente de transmisión y cómo calcularlo para distintas barreras, ahora se verá la
forma de los otros términos.
3.1. Densidad de estados
La densidad de estados permite saber la población máxima posible de electrones en
dado nivel de energía, multiplicada por la distribución de fermi dice cuál es el número
de electrones que en promedio ocupan dicho nivel de energía.
La densidad de estados es distinta dependiendo de las dimensiones del dispositivo y
se puede utilizar en una aproximación parabólica para conocer la corriente de tuneleo.
Primero recuérdese cómo es la relación entre un nivel de energía y el valor del
número de onda k, ya que el momento de la onda se puede expresar como p = h̄k y
sustitúyase esto en la ecuación de energía cinética E = p
2
2m como se muestra en 3.2.
Despéjese de la ecuación el valor de k para finalmente diferenciar y encontrar una
relación entre el diferencial dk y dE. Ésta relación ayudará a encontrar fácilmente la
densidad de estados en términos de E.
E =
h̄2k2
2m
(3.2)
(
2mE
h̄2
)1/2
=k (3.3)
(
m
2h̄2E
)1/2
dE =dk (3.4)
Ahora calculése la densidad de estados para un dispositivo que se supone isotrópi-
co, dentro de la aproximación parabólica.
3.2. NÚMERO DE OCUPACIÓN ( DISTRIBUCIÓN DE FERMI ) 35
1-Dimensión
La densidad de estados de acuerdo a una dimensión es el número de estado que hay
por unidad de k. Del análisis de un cristal con condiciones periódicas se tiene que:
dn =
L
2π
dk (3.5)
ρ1D(E) =
L
2π
π(2m)1/2
hE1/2
=
Lm1/2
h(2E)1/2
(3.6)
2-Dimensiones
Se tiene que cada pedazo de área de ( 2π
a
)2 es un estado posible en el espacio recí-
proco. El diferencial respecto al número de estados corresponde a un pedazo de disco
( un aro ) de la siguiente área:
dn =
(
L
2π
)2
2πkdk (3.7)
ρ2D(E) =
2πL2m
h2
(3.8)
3-Dimensiones
De manera similar a dos dimensiones, cada estado posible ocupa un volumen del
espacio recíproco de ( 2π
a
)3. La relación entre un diferencial de número de estados y un
diferencial de k está es el volumen de un cascarón esférico de grosor dk en el espacio
recíproco.
dn =
(
L
2π
)3
4πk2dk (3.9)
ρ3D(E) =
4πL3m
h3
(2mE)1/2 (3.10)
3.2. Número de ocupación ( distribución de Fermi )
El número de posibilidades Wi, que se tiene para acomodar ni electrones (indistin-
guibles) en gi estados, es igual a:
Wi =
gi!
ni!(gi −ni)!
(3.11)
36 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
También se puede suponer que debido al gran número de estados posibles y el gran
número de electrones se puede aproximar lnWi con la aproxación de Stirling para nú-
meros grandes.
Entonces
lnWi = gi lngi −ni lnni − (gi −ni) lngi −ni (3.12)
Sujeto a las condiciones de energía y número de particulas:
N =∑
i
ni (3.13)
E =∑
i
niEi (3.14)
Se sabe que en condiciones de equilibrio termodinámico la entropía (proporcional
al número de estados posibles) es máxima y puede usar los coeficientes de Lagrange
para encontrar un máximo a lnWi sujeto a las condiciones dadas al variar los posibles
partículas en cada nivel de energía Ei.
0 =− lnni + lngi −ni +a+bEi (3.15)
ln
ni
gi −ni
=a+bEi (3.16)
gi
ni
=1+ ea+bEi (3.17)
ni
gi
=
1
1+ ea+bEi
(3.18)
El cociente ni/gi es lo que se llama el número de ocupación del estado con energía Ei.
De las propiedades de la entropía se puede deducir el significado de las constantes a y
b
dE =
1
a
d lnW − a
b
dN (3.19)
dE =T dS+µdN (3.20)
∂E
∂N
= a =− µ
kT
(3.21)
∂E
∂S
= b =
1
kT
(3.22)
que son el potencial químico y el inverso de la constante de Boltzmann k multiplicado
por la temperatura T . Estas constantes son calculadas para una energía y numero de
partículas dada y µ es suceptible a cambiar con la temperatura.
3.2. NÚMERO DE OCUPACIÓN ( DISTRIBUCIÓN DE FERMI ) 37
Entonces resumiendo, según el pricipio de exclusión de Pauli dos electrones dis-
tintos no pueden ocupar el mismo estado cuántico, lo que en el formalismo la función
de estado que los representa es antisimétrica y su función de distribución es lo que se
conoce como función de Fermi-Dirac ,que tiene la forma que ya se ha demostrado:
n(E) =
1
1+ exp
(
E−µ
kT
) (3.23)
Donde los términosrepresentan:
µ el potencial químico.
k Constante de Boltzmann
T Temperatura
Observe que aquí por primera vez aparece una dependencia explícita con la tem-
peratura. También es posible que el potencial químico dependa explícitamente de la
temperatura sin embargo como primera aproximación podemos suponerlo como cons-
tante.
3.2.1. Relación entre E y k
La relación entre k y E puede ser compleja, pues resultado de la estructura atómica
del semiconductor en sí. Pero podemos hacer varias suposiciones que hacen que sea
más fácil encontrar una relación entre éstas. Si consideramos la aproximación para-
bólica e isotrópica en la vecindad donde comienza la banda de conducción tenemos
que [15]:
E(~k0 +∆~k⊥+∆~k‖)−E(~k0) =
2h̄2
m∗e
(
∆~k2⊥+∆~k
2
‖
)
= ∆E⊥+∆E‖ (3.24)
Donde E0 y k0 son la energía y el número de onda del electrón al comienzo de la banda
de valencia y donde hemos llamado convenientemente ∆E⊥ y ∆E‖ a las componentes de
la energía correspondientes a ∆~k⊥ y ∆~k‖. Esto nos permite saber qué longitud de onda
tiene la nueva onda cerca de donde comienza la banda de conducción. Para la onda k
en la región del óxido consideraré que se encuentra ante una barrera de potencial
k⊥ =
√
2m∗ox(E⊥−Ecox)
h̄
(3.25)
38 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
Donde E⊥ = E0 +∆E⊥ y Ecox es la energía de la banda de conducción del óxi-
do(aislante). Hay que tomar en cuenta que la masa efectiva del óxido (m∗ox ), no es la
de densidad de estados, sino la masa efectiva de tuneleo. Su puede medir directamen-
te [16], aunque ésta es una aproximación que se hace cuando se está cerca de las orillas
de la brecha de energía. Cuando no es el caso podemos usar la relación de Franz [17]
dada por:
k⊥(E⊥) =
√
2m∗ox
h2
(E −Ecox)
(
1− E −Ecox
Egox
)
(3.26)
Donde Egox es la ancho de la brecha de energía del aislante. Aquí hemos considerado
que sólo la componente que tranversal a la interfaz Si-Óxido es la que determina el
coeficiente de transmissión, sin embargo Mao [18] explica que realmente hay acopla-
miento entre las componentes longitudinales y transversales de momento del electrón
que afectan la probabilidad de transmisión. No obstante esto no se considerará aquí.
Límites de integración
Los límites de integración E0 y E f nos permiten conocer cuales son los electro-
nes que estamos considerando son relevantes para la corriente de tuneleo. En primera
aproximación se pueden utilizar los límites de integración en la vecindad de la banda
de conducción (valencia) para considerar los electrones (huecos) en dispositivo tipo N
(P), sin embargo en estudios recientes [18] se ha visto que no es suficiente para pre-
decir la corriente de tuneleo correctamente. También hay que considerar el tuneleo de
portadores minoritarios, sobre todo para voltajes de inversión o altos voltajes e incluso
la transmisión de portadores de carga del otro extremo de la compuerta. Sin embargo,
en ésta tesis sólo se considerará el tuneleo de los electrones de la banda de conducción
del semiconductor al metal.
3.3. Compuerta de un dispostivo semiconductor
Ahora pasaremos a integrar todos los conocimientos previos en la simulación de un
dispositivo CMOS tipo N de materiales y dimensiones que se usarían en los proceso
de fabricación [19]. Debemos seleccionar un aislante de la compuerta sin embargo no
todos los materiales son posibles Primero veamos qué tipos de materiales
3.4. RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS 39
Figura 3.1: Esquema de un transistor MOSFET
Material k Eg(eV ) ∆Ec(eV ) m∗ox(m0)
SiO2 3.9 9 3.2 .55
Si3N4 7 5.3 2.4 .25
Al2O3 9 8.8 2.8 –
Y2O3 15 6 2.3 .25
Ta2O5 22 4.4 0.35 –
H f O2 25 5.8 1.5 .15
ZrO2 25 5.8 1.5 –
H f SiO4 11 6.5 1.8 –
Tabla 3.1: Esta tabla muestra los valores de las constantes dieléctricas, el ancho de la
brecha de energía, la diferencia de energía entre la banda de conducción del material y
el silicio, y la masa efectiva de tuneleo respectivamente [3] [16].
3.3.1. Aislantes de la compuerta
Los materiales usados como aislantes en la compuerta deben cumplir con 4 carac-
terísticas principalmente para ser considerados como opciones viables [19].
1. No ser reactivo con el Silicio o SiO2
2. Bajo coeficiente de difusión para el O2
3. Buena formación del óxido,(no defectos,baja rugosidad)
4. La barrera de potencial debe ser al menos de 1V para electrones y huecos.
En la tabla3.1 se muestran los principales parámetros de distintos materiales(óxidos
principalmente).
3.4. Resultados de los cálculos
Ahora veamos que obtenemos al realizar algunos cálculos con los códigos utili-
zados en los apéndices. Vamos a comparar coeficientes de transmisión globales que
40 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
0.0×100
2.0×10−1
4.0×10−1
6.0×10−1
8.0×10−1
1.0×100
1.2×100
1.4×100
1.6×100
1.8×100
0.0×100 5.0×10−2 1.0×10−1 1.5×10−1 2.0×10−1 2.5×10−1 3.0×10−1
n
(E
)
∗T
(E
)
∗ρ
(E
)
E(eV )
Rampa
Barrera
Figura 3.2: Se muestra la contribución en la transmisión ( n(E)∗T (E)∗ρ(E) ) de cada
nivel de energía para un óxido de compuerta de 1nm de espesor.
están relacionados proporcionalmente con la corriente de tuneleo para varios voltajes
(encendido y apagado) y veremos cómo cambian en una región de 1-5nm del grosor
del óxido, utilizaremos óxido de hafnio de la tabla 3.1.
Observe en la figura 3.2, la variación del coeficiente n(E)ρ(E)T (E), este coefi-
ciente nos indica la aportación en la corriente de tunuleo por nivel de energía E, note
que los primeros niveles son los que más contribuyen a la corriente de tuneleo. Seña-
la [20] que los niveles electrónicos de la interfaz son muy importantes para calcular la
corriente de tuneleo a bajos voltajes. Debemos tomar en cuenta que en nuestro modelo
sólo estamos considerando el tuneleo que va del semiconductor al metal y no del metal
al semiconductor. Esto hace que la corriente de tuneleo voltaje 0 sea distinta de 0, pero
la consideramos también para que vea que conforme el grosor de la película se hace
más delgada existe más posibilidad de tunelear los electrones a través de la barrera.
Ahora la figura 3.3, note como la corriente de tuneleo se vuelve parecida a un estado
encendido que a uno de apagado. Conforme se hace más delgada los efectos cuánticos
dejan de ser despreciables e incluso puede ser los dominantes. Esto nos hace reflexionar
sobre las limitaciones en el escalamiento de los dispositivos. También debe notar que
en el límite cuando el grosor de la película tiende a 0, la junta MOS debe comportarse
como una juntura Schottky (metal-semiconductor).
3.4. RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS 41
1.0×10−8
1.0×10−7
1.0×10−6
1.0×10−5
1.0×10−4
1.0×10−3
6 8 10 12 14 16 18 20
<
T
>
x(nm)
Coeficiente de Transmisión Rampa de potencial
1D
2D
3D
1.0×10−10
1.0×10−9
1.0×10−8
1.0×10−7
1.0×10−6
1.0×10−5
1.0×10−4
6 8 10 12 14 16 18 20
<
T
>
x(nm)
Coeficiente de Transmisión Barrera de potencial
1D
2D
3D
1.0×10−3
1.0×10−2
1.0×10−1
1.0×100
6 8 10 12 14 16 18 20
<
T
B
>
/
<
T
R
>
x(nm)
Relación entre coeficiente de transmisión del potencial de barrera sobre el de rampa
1D
2D
3D
Figura 3.3: Arriba y al centro, se muestran los valores de los coeficientes de transmisión
para el potencial de rampa y de barrera respectivamente. Abajo, se muestran la relación
entre estos coeficientes, el de barrera sobre el de rampa.
42 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
También podemos ver, de la figura 3.3 la relación entre los coeficientes de transmi-
sión. La corriente para una barrera y una rampa se vuelven apreciables en el rango de
2nm (un 1%) haciéndose comparables cuando se acercan a 1nm.
Esto nos pone a pensar sobre las posibilidades de ésta tecnología respecto al esca-
lamiento, pues el límite podemos decir que se encontrará aproximadamente a un 1nm.
Note también que la dimensionalidad no afecta en el cálculo global de la corriente
de tuneleo, así que se puede simular en un modelo simple la corriente de tuneleo usando
un semiconductor unidimensional, evidentemente para esto debemos considerar que
sólo la componente transversal esla que afecta en la corriente de tuneleo.
También cabe mencionar que conforme nos acerquemos al longitudes subnanomé-
tricas, el modelo se vuelve más ineficientes, puesto que a éstas escalas la barrera es de
apenas unas decenas de átomos de espesor y es necesario considerar más efectos.
3.4.1. Otras consideraciones
Aquí presento una lista de efectos, entre otros, que se han despreciado en el cálculo
de la corriente de tuneleo en este trabajo.
La no parabolicidad de las bandas
Doblamiento de bandas en la interfaz
Estados ligados en la interfaz
Tuneleo asistido por cargas atrapadas en el óxido
Efecto Poole-Frenkel
Tuneleo de banda de valencia.
Tuneleo del metal al semiconductor.
Note que todos estas aproximaciones hacen que sea menos confiable el cálculo de
la corriente de tuneleo en este trabajo. Sin embargo, podemos obtener características
a grandes rasgos sobre lo que sucede con la corriente de tuneleo a escala nanométri-
ca. Pero más importante es que hemos sentado las bases para los cálculos mucho más
serios de la corriente de tuneleo, puesto que tenemos todas las herramientas teóricas
para hacer cálculos por ejemplo, del tunele de la banda de valencia y el tuneleo del me-
tal al semiconductor. Incluso en la forma de implementar los códigos pueden esclarse
para realmente considerar los efectos bidimensionales y tridimensionales que hasta el
3.5. PARALELIZACIÓN 43
momento no son apreciables. Además la efeciencia del código hace se puedan imple-
mentar otras consideraciones más difícil de calcular numéricamente sin entorpecer el
cáluculo global.
Todo esto hace que este trabajo sea de considerable importancia para el estudio de
la corriente de tuneleo.
3.5. Paralelización
Para calcular la integral 3.1 debemos conocer el valor del coeficiente de trasmisión
en muchos lugares. Como el cálculo del valor de estos coeficientes es independiente
entre sí, es donde propongo que se utilizen los distintos procesadores para que cada
procesador haga el cálculo de un valor del coeficiente de transmisión. Además como
el algoritmo es el mismo para todas las energías y es el mismo números de pasos, el
cálculo de estos coeficientes de transmisión es idóneo para realizarse en las tarjetas
aceleradoras de video (GPU) que tienen la propiedad de precisamente hacer el mismo
algoritmo en distintos valores iniciales.
3.5.1. MPI y OpenMP
En este trabajo utilizé principalmente MPI1(massage passing interface) que permi-
te realizar este tipo de operaciones no sólo en una computadora SMP (simetric multi-
processor) que son la que abundan en el mercado actual (casi todas las computadoras
son de este tipo en 2016) sino que también permite en un futuro utilizar varias compu-
tadoras.
Sea 2N el número de coeficientes de transmisión que calcularemos para hacer la
integral. Cada procesador hará el cálculo del coeficiente de trasmisión para dada ener-
gía Ei, donde ciclos(T (E)) es el número de ciclos de reloj que tarda en calcular el
valor del coeficiente de transmisión para alguna energía E. Como es el mismo al-
goritmo para todas las energías, (multiplicar muchas veces unas matrices), entonces
ciclos(T (E)) = ciclos(T ) es el mismo para todos. Este proceso sería de orden 0 en un
máquina con infinitos procesadores. Luego se suman los elementos 2N elementos de
la integral en un tiempo de log2(2N) = N. El número de ciclos de reloj que tarda el
cálculo es:
ciclos(T (E))+N
Para dar un error del mismo orden en la integral como en el valor del coeficiente de
1Utilizé la version abierta y gratuita OpenMPI de la implementación de MPI
44 CAPÍ́TULO 3. CORRIENTE DE TUNELEO
transmisión, utilizé un número de pasos (de matrices) similar al número de puntos para
calcular la integral, o sea ciclos(T ) ≈ 2N En la gráfica 3.4 muestro cómos escala el
tiempo que tarda en calcular la gráfica 3.3 respecto al número de procesos utilizados en
un servidor con dos procesadores Xeon L-3450 de 4núcleos por procesador (8 núcleos
total).
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 2 4 6 8
1/
se
gu
nd
os
Número de cores
Inverso del tiempo de cálculo
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ideal
Figura 3.4: Tiempo de proceso contra el número de procesos en una computadora con
8 núcleos
Capítulo 4
Conclusiones
Como podemos ver la corriente de tuneleo se vuelve más grande relativamente a la
corriente de operación conforme el grosor del ancho de la compuerta se hace más pe-
queño. Ésto provocará definitivamente un deterioro en el funcionamiento de los dispo-
sitivos conforme los niveles de integración se hagan mayores utilizando las tecnologías
hasta ahora utilizadas. Sin embargo el estudio de la corriente de tuneleo nos permitirá
poder vislumbrar qué otros materiales podemos utilizar para la evitar éstos efectos, ó
definitivamente cambiar de enfoque y utilizar otros dispositivos que no utilizen una
compuerta tan delgada.
También es de gran interés el estudio del estudio de heteroestructuras a éstos nive-
les puesto que se han encontrado ótros tipos de dispositivos utilizando superceldas. De
cualquier forma éste trabajo se presenta como una introducción a los métodos de estu-
dio de la algunas propiedades electrones para materiales de estado sólido de tamaños
nanométricos. Con el método de la matriz de transferencia podemos calcular algunas
propiedades importantes de los semiconductores y otros materiales que se rigen por la
mecánica cuántica. Con el cálculo de la corriente de tuneleo podemos ver que la co-
rriente de fuga para un dispositivo no encendido se muy importante al acercarse a los
3nm. Ésto nos hace reflexionar sobre los límites de las tecnologías convencionales a la
hora de reducir los dispositivos a escala de algunos nanómetros o menos.
También podemos ver que la distribución de estados para 1,2 y 3 dimensiones no
parece afectar demasiado los cálculos en la corriente de tuneleo. Ésto nos indica que si
tenemos suficiente simetría en el dispositivo, podemos considerar el óxido como una
barrera unidimensional, evitando así complicaciones en el cálculo.
Dada que la matriz de transferencia utiliza la ecuación de masa efectiva también
nos podrá servir para explorar y estudiar todo tipo de dispositivos y materiales. Qui-
45
46 CAPÍ́TULO 4. CONCLUSIONES
zá sea necesario revisar a más detalle la ecuación con la que se calcule la matriz de
transferencia, para poder abarcar todos los fenómenos observados experimentalmente
y obtener así simulaciones más apegadas a la realidad.
Se propone estudiar con más detalle la corriente de tuneleo con materiales que ten-
gan otras propiedades eléctricas y otros anchos en la banda prohibida, para así buscar
qué materiales pueden hacer más eficiente la función de la compuerta y evitar los pro-
blemas de corrientes no deseadas que degradan el desempeño del dispositivo, sobre
todo en estado de espera.
Apéndice
Implementación de los métodos explicados
En la siguiente sección mostraré cómo se calcularon y se implementaron los méto-
dos que expuestos a lo largo del texto.
Se utilizó el lenguage de programación C, la librería de números complejos y el
compilador de GNU (gcc).
Para algunos cálculos utilizé otras herramientas para agilizar los cálculos que no
son necesarias (MPI y OpenMP), sin embargo son de importancia ya que dan a este
trabajo la posibilidad de escalar a computadores de mayores capacidades para desarro-
llar cáculos más complejos ó de mayor precisión. Al final de ésta sección explicaré más
sobre ésto.
Cabeceras y librerías
Defino constantes físicas, utilizaré números de punto flotante de doble precisión
(64bits),1
#include <mpi.h>
#include <omp.h>
#include <complex.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define myrand() (rand()/(RAND_MAX+1.))
#define h_bar 1.0545e-34
#define h_bar2 1.10e-68
#define m_e 9.109382e-31
1 tenga cuidado con utilizar con otra precisión puesto que los punto flotante de 32bits llegan hasta 10−34
y 1033 aproximadamente, y constantes como h̄2 no serán representadascorrectamente.
47
48 Apéndice
#define e 1.60217e-19
#define NT 1e2
Algunas variables globales del programa son estas que definen:
paso El tamaño de paso en el cálculo de la trasmisión (para dada energía).
Emax El límite de integración para los cálculos , que lo supongo .3eV .
Epaso El tamaño de paso en la energía para el cálculo del coeficiente de trasmi-
sión (global).
T Temperatura.
double paso;
double Emax=.3*e;
typedef unsigned uint;
#define getpaso(x) ((unsigned) (x/paso))
#define k 1.38065e-23
#define kT (.0267*e)
double aa;
double Epaso;
double T=300;
Para el cálculo del coeficiente de trasmisión y su dependencia como temperatu-
ra,utilizé los siguientes macros,2 los más importantes son
Eg La brecha de energía.
mt Masa efectiva ( componente transversal).
Me Masa efectiva de electrones
Mh Masa efectiva de huecos.
#define Eg0 (1.1702)
#define Eg1 (-3.6277e-6)
#define Eg2 (-3.9703e-7)
#define Eg3 (-1.3207e-9)
#define Eg4 (3.2798e-12)
#define Eg (((((Eg4*T+Eg3)*T+Eg2)*T+Eg1)*T+Eg0)*e)
2Los valores de estos símbolos se sustituyen por la expresión dada cada vez que se utilizan
Apéndice 49
#define ae0 .19049
#define ae1 -2.0905e-6
#define ae2 9.8985e-7
#define ae3 -2.6798e-9
#define ae4 2.027e-12
#define mt ((((ae4*T+ae3)*T+ae2)*T+ae1)*T+ae0)
#define ml .9163
#define Me (pow(6*sqrt(ml)*mt,.66666666))
#define mhh ((((2.6974e-9*T-4.4117e-6)*T+2.5139e-3)*T+.51741))
#define mlh (((-1.8809e-7*T+3.7414e-4)*T+.14615))
#define mso (((2.3872e-7*T+2.963e-4)*T+.22775))
#define Mh (pow(pow(mhh,1.5)+pow(mlh,1.5)+pow(mso,1.5),.66666666))
#define m (Me*m_e)
#define mu ((-Eg*.5+k*T*log(Me/Mh)))
Funciones
Una función que es útil y necesaria es la que devuelve el valor del número de onda
dado una masa efectiva, un potencial y la energía de la onda.
double complex getk(double V, double E,double me){
return csqrt((V-E)*2*me/h_bar2);
double complex getk2(double V, double E,double Egox,double me){
return csqrt((V-E)*(1+(V-E)/Egox)*2*me/h_bar2);
}
Hice dos funciones para calcular los coeficientes de las ondas que se propagan hacia
la izquierda y a la derecha en cada paso segú lo explicado en el capítulo 2.
double complex getA(double complex C, double complex D,
double complex k1, double complex k2,
double a){
if(k1==0)
return C;
else
return .5*(k1*(C+D)*cexp(-k1*a)+k2*(C-D)*cexp(-k1*a))/k1;
}
double complex getB(double complex C, double complex D,
50 Apéndice
double complex k1, double complex k2,
double a){
if(k1==0)
return D;
else
return .5*(k1*(C+D)*cexp(k1*a)-k2*(C-D)*cexp(k1*a))/k1;
}
Una función genérica para un potencial calcula los valores de los coeficientes de
trasmisión en pasos de longitud paso usando el método descrito. Para ésto se supone
que al final la onda saliente es 1 y la onda reflejada es 0, puesto que no tiene dónde más
reflejarse. Esto nos permite conocer el coeficiente de la onda que entrante en términos
de la onda saliente y por lo tanto el coeficiente de trasmisión.
|Aentrante/Asaliente|2 = T (4.1)
double getT(double E, double (*potV)(double)){
double complex A=1;
double complex B=0;
double complex C,D,k1,k2;
double x;
for(x=0;x<3*aa;x+=paso)
k2=getk(potV(x),E,m),
k1=getk(potV(x+paso),E,m),
Aqui se puede imprimir los valores de C y D para ver como varia la amplitud de la
onda en cada paso.
C=getA(A,B,k1,k2,paso),
D=getB(A,B,k1,k2,paso),
A=C,B=D;
double norma=cabs(C);
return 1./(norma*norma);
}
Los potenciales con los que trabajé fueron la barrera y la rampa. Sin embargo en
principio se pueden sustituir por un potencial de forma arbitraria y también donde la
masa efectiva cambie a lo largo de la red.
Apéndice 51
double ramV(double x){
if(x<aa)
return -e;
else if(x<2*aa)
return e*(x/aa-1.);
else
return 0;
}
double barV(double x){
if(x<1*aa)
return 0;
else if(x<2*aa)
return e*1;
else
return 0;
}
También definí una función para la energía de fermi, para poder ir cambiando la
temperatura ésta se debe definir como una variable local.
double nn(double E){
return 1./(exp((E-mu)/(k*T))+1.);}
Las distintas densidades de estados para las 3 dimensiones las defino como vimos
en el capítulo 3.
double den1(double E){
return 1./sqrt(E);}
double den2(double E){
return 1;}
double den3(double E){
return sqrt(E);}
El siguiente código muestra cómo se calculó los coeficientes de trasmisión cam-
biando el ancho de la barrera de potencial para varias dimensiones.
Número de divisiones En el cálculo de la trasmisión para una energía
NT=atoi(argv[1]);
52 Apéndice
Puedo crear una lista de funciones que contenga la función de densidad de estados para
cada dimensión Y ser invocada a través de un índice.
double (*densidad[3])(double);
densidad[0]=den1;
densidad[1]=den2;
densidad[2]=den3;
Emax=.2*e;
Epaso=Emax/NT;
Los datos se pueden imprimir en pantalla o en un archivo. los intervalos de integración
double aapaso=4e-10,aamax=10e-9;
int D,i,j,l,n;
FILE *file;
file=stdout;
// file=fopen("estadistica-4.dat","w");
Integración
Calcularé el coeficiente para varias anchos de la barrera van desde .4nm hasta 10
nm.
Pueden pasar artefactos numéricos si en algún momento E(x)-V(x)=0 por eso utili-
zo una longitud de paso para que x nunca sea exactamente 1.5
for(aa=aapaso;aa<=aamax;aa+=aapaso){
paso=9.73892*aa/NT;
double E;
En estas variables guardaremos los valores de las integrales para calcular la trasmisión
total para la barrera TT1[D] y la rampa TT2[D] de la dimensión D. Además de la inte-
gral que corresponde al número de electrones NN[D] para el dispostivo de dimensión
D.
double NN[3],TT1[3],TT2[3],EE[3],nnn;
for(D=0;D<3;D++)
NN[D]=TT2[D]=TT1[D]=0;
int nmax=Emax/Epaso;
for(D=0;D<3;D++){
Apéndice 53
Paralelizamos la integral para calcular en varias dimensiones he usado el método de
montecarlo Observe que las componente de Ex y Ey son generadas aleatoriamente
entre 0 y Emax.
#pragma omp parallel private(E,EE) shared(NN,TT1,TT2)
for(j=1;j<nmax;j++){
EE[0]=Epaso*j;
for(l=0;l<NT/10;l++){
EE[2]=EE[1],EE[1]=Emax*myrand();
E=0;
//sumo las componentes de la energ\’ia
for(i=0;i<=D;i++)
E+=EE[0];
//el numero de electrones en dicha energ\’ia
nnn=nn(E)*densidad[D](E),
NN[D]+=nnn,
TT1[D]+=nnn*getT(EE[0],ramV),
TT2[D]+=nnn*getT(EE[0],barV);}
}}
Imprimo el valor del coeficiente de trasmisión que es T/N, la trasmisión entre el
número de electrones para ambos potenciales y para todas las dimensiones usadas.
fprintf(file,"%e ",aa);
for(D=0;D<3;D++)
fprintf(file,"%e %e ",TT1[D]/NN[D],TT2[D]/NN[D]);
fputc(’\n’,file);
}
fclose(file);
OpenMP y MPI
Utilizé algunas herramientas para paralelizar los cálculos y hacerlos más rápido.
No son necesarios pero son una herramiento muy útil que se puede utilizar a la hora
de hacer cálculos más complejos o que requieran mucha más precisión. En algunos ca-
sos utilizé OpenMP (open multiprocessing) que permite paralelizar ciertas operaciones
de manera fácil, explotando los recurso de una computadora con varios procesadores.
54 Apéndice
Para más información sobre las rutinas y funciones vea [21]. como las SMP ( simetric
multiprocessing ) que se encuentran ahora en cualquier computadora personal.
En otras ocasiones utilizé MPI (Message Passing Interface) que es una librería que
también permite paralelizar operaciones e intercambiar mensajes entre los procesos
para finalmente entregar el resultado correspondiente a la suma de todos los procesos.
Además de poder usar las propiedades de los procesadores SMP, tambíen tiene la ven-
taja de escalar y realizar procesos no sólo en un ordenador, sino a través de todos los
ordenadores en una red ( cluster ). Es múy util cuando los cálculos son muy complica-
dos e cierta independencia de los cálculos entre sí, y sobre todo cuando se tiene un gran
ancho de banda y baja latencia en la conexión entre los nodos.3 Para más información
de cómo se implementan y utilizan las rutinas de openmpi vea [22, 23]
main(){
MPI_Init(NULL, NULL);
int world_rank;
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD,