Copia de CLASE 16 2 - Jared Sánchez

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TEMA
Sistemas de inecuaciones lineales y no 
lineales.
Sistemas de ecuaciones no lineales.
2021-2
16.2
PREUNIVERSITARIO
229/06/2021 Cepreuni 2020-2
Inecuación con dos variables sobre 𝕋𝟐 (ℝ𝟐, ℚ𝟐, ℤ𝟐 o ℕ𝟐)
Definición. Sea 𝑓(𝑥; 𝑦) una expresión matemática. Se denomina
inecuación con dos variables a la desigualdad
𝑓 𝑥; 𝑦 > 0∗. (1)
(La relación >, puede ser reemplazada por: >,≤, o ≥)
Llamaremos una solución de (1), al par ordenado 𝑥0; 𝑦0 ∈ 𝕋
2, tal
que es verdad
𝑓 𝑥0; 𝑦0 > 0
∗.
El conjunto solución (CS) de (1) es el conjunto Ω de todos los
𝑟; 𝑠 ∈ 𝕂2 que satisfacen la inecuación (1), es decir
Ω = 𝑟; 𝑠 ∈ 𝕋2 ȁ 𝑓(𝑟; 𝑠) > 0
329/06/2021
Algoritmo de resolución (caso ℝ𝟐)
1. Reemplazar el signo de la desigualdad por el de igualdad, y
dividir el plano cartesiano como frontera la gráfica determinada
por la solución de la ecuación.
2. Elegir puntos de prueba en cada región del paso 1, y verificar si
satisfacen la desigualdad dada.
3. El CS será la unión de todas las regiones que contienen algún
punto de prueba que satisface la desigualdad (1).
4. Si la desigualdad ( 1) es no estricta ≤ o ≥ , la frontera
pertenece al CS, caso contrario (< o >) tal frontera no es parte
del CS.
429/06/2021 Cepreuni 2020-2
Ejemplos
a) Resolver sobre ℕ2, 4𝑥 + 𝑦 < 20.
b) Resuelva 𝑥2 ≥ 𝑦2, sobre ℝ2.
c) Determine n Ω ,si
Ω = 𝑥; 𝑦 ∈ ℤ2 ȁ 𝑥 + 𝑦 ≤ 9 .
529/06/2021 Cepreuni 2020-2
Ejemplos sobre ℝ𝟐
Resuelva la inecuación
3𝑥 − 4𝑦 < 12.
Resolución
Primero graficamos la ecuación de la frontera
3𝑥 − 4𝑦 = 12.
Esta igualdad define una recta sobre ℝ2, graficando (recuerde su
tabulación)
(0;
( )
𝒙 𝒚
0 −3
4 0
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Para este ejemplo nuestro punto de prueba será el origen de
coordenadas (0; 0).
Como 3 0 − 4 0 < 12 (¡satisface la desigualdad!), entonces
concluimos que
El conjunto solución Ω es el semiplano que contiene el origen de
coordenadas, tal como apreciamos en la siguiente figura
Ω
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Ejemplo
Determine el CS de la
inecuación
𝑥2 ≤ 𝑦2.
Resolución
(𝟎; 𝟏
(𝟎;−𝟏
Ejemplo
Determine el CS de la inecuación
𝑥 + 𝑦 < 4.
Resolución
(𝟎 𝟒)
(− )
(𝟎 −𝟒)
( )
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Ejemplo
Determine el CS de la
inecuación
𝑥
ȁ𝑥ȁ
−
𝑦
𝑦
≥ −1.
Resolución
Ejemplo
Represente gráficamente el conjunto Ω
Ω = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 ȁ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2 + ȁ𝑥 − 𝑦ȁ .
Resolución
(𝟏; 𝟏
(−𝟏;−𝟏
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Ejercicios
(a) Determine la gráfica de la región definida por el conjunto 𝐴, siendo
𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 ห 𝑥 + 𝑦 − 2 ≤ 3
(b) Trace la gráfica de la región determinada por el conjunto 𝐵, siendo
𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 ห 𝑥2 + 𝑦2 > 1 → 𝑦 ≥ 𝑥2
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(c) Determine un sistema de
ecuaciones que mejor represente a
la región sombreada
2
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Ejemplos sobre ℕ𝟐 𝐨 ℤ𝟐
Problema. Determine el cardinal del conjunto
𝑀 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℕ2 ȁ 𝑥 − 3𝑦 ≤ 4 ∧ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 5 .
Resolución
Procederemos analíticamente.
(a) De la primera desigualdad
obtenemos
𝑦 ≥
𝑥 − 4
3
(I)
(b) De la segunda inecuación se tiene
que
𝑦 ≤
5 − 𝑥
2
(II)
(c) De (I) y (II), conseguimos
𝑥 − 4
3
≤ 𝑦 ≤ 5 − 𝑥
2
(III)
(d) De aquí logramos que
𝑥 ≤ 23
5
(e) Puesto que 𝑥 ∈ ℕ, entonces
1 ≤ 𝑥 ≤ 4.
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(f) Si 𝑥 = 1, de (IV) tenemos −1 ≤ 𝑦 ≤ 2. Es decir, los pares (1; 1) y
1; 2 .
(g) Si 𝑥 = 2, de (IV) tenemos −
2
3
≤ 𝑦 ≤
3
2
. Es decir, el único par (2; 1).
(h) Si 𝑥 = 3, de (IV) tenemos −
1
3
≤ 𝑦 ≤ 1. Es decir, otro único par 3; 1 .
(i) Por último, si 𝑥 = 4, se obtiene 0 ≤ 𝑦 ≤
1
2
. No hay en este caso, una
solución más.
(j) Entonces
𝑀 = 1; 1 , (1; 2), 2; 1 , (3; 1)
Respuesta. n 𝑀 = 4.
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Problema
Sea 𝑥; 𝑦; 𝑧 ⊂ ℕ.
Determine el valor de 𝑥0𝑦0 + 𝑧0, sabiendo que (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) es una solución
del sistema de inecuaciones
ሼ
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 > 23
2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 < 13
𝑧 − 𝑦 < −1
𝑦 < 4
.
Resolución
De la primera desigualdad restamos la segunda, miembro a miembro,
conseguimos
4𝑦 > 10
𝑦 > 5
2
α
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De la cuarta inecuación y (α), obtenemos
5
2
< 𝑦 < 4.
Dado que 𝑦 ∈ ℕ, entonces 𝑦 = 3.
Sustituyendo este valor en las tres primeras inecuaciones obtenemos
ቐ
2𝑥 + 5𝑧 > 14
2𝑥 + 5𝑧 < 16
𝑧 < 2
.
Puesto que 𝑥; 𝑧 ∈ ℕ, de aquí deducimos que
ቊ
2𝑥 + 5𝑧 = 15
𝑧 = 1
.
Finalmente 𝑥 = 5.
Respuesta. 𝑥0𝑦0 + 𝑧0 = 5 3 + 1 = 16.
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Sistemas de Ecuaciones no lineales (SENL)
Definición. Un SENL es aquel sistema de ecuaciones en el cual por
lo menos una de las ecuaciones componentes no es de primer grado
o carece de grado.
Ejemplos
a) ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 3
𝑥2 + 𝑦2 = 5
.
b) ቊ
2𝑥2 + 𝑦2 = 4
3𝑥2 − 2𝑦2 = −1
.
c) ቊ
2𝑥2 + 𝑥𝑥 = 3
𝑦 − ln 𝑥 = 1
.
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Resolución
Despejamos 𝑥 de la primera ecuació 𝑥 = 3 − 2𝑦 (𝛼).
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación
3 − 2𝑦 2 + 𝑦2 = 5.
De aquí tenemos 𝑦 − 2 5𝑦 − 2 = 0.
Entonces se consigue que 𝑦 = 2 ∨ 𝑦 =
2
5
.
En 𝛼 cuando 𝑦 = 2, se tiene que 𝑥 = −1. En 𝛼 cuando 𝑦 =
2
5
, se tiene que
𝑥 =
11
5
. Finalmente el conjunto solución es
CS = −1; 2 ,
11
5
;
2
5
Una ecuación lineal y una ecuación cuadrática
Ejemplo.
Resuelva el sistema ሼ
𝑥 + 2𝑦 = 3
𝑥2 + 𝑦2 = 5
.
1729/06/2021 Cepreuni 2020-2
Dos ecuaciones cuadráticas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 = 𝒄
Ejemplo.
Resuelva el sistema ቊ
2𝑥2 + 𝑦2 = 4
3𝑥2 − 2𝑦2 = −1
.
Resolución
Sea 𝑎 = 𝑥2 y 𝑏 = 𝑦2.
Se tiene el SEL en 𝑎 y 𝑏
ሼ 2𝑎 + 𝑏 = 4
3𝑎 − 2𝑏 = −1
.
De aquí 𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 2. Así se consigue que
ሼ𝑥
2 = 1
𝑦2 = 2
.
1829/06/2021 Cepreuni 2020-2
Este último sistema es equivalente a
ቊ
𝑥 = 1
𝑦2 = 2
∨ ቊ
𝑥 = −1
𝑦2 = 2
Que a su vez, es equivalente al siguiente conjunto de sistemas
ቊ
𝑥 = 1
𝑦 = 2
∨ ቊ
𝑥 = 1
𝑦 = − 2
∨ ቊ
𝑥 = −1
𝑦 = 2
∨ ቊ
𝑥 = −1
𝑦 = − 2
De donde el conjunto solución del sistema es
CS = 1; 2 , 1; − 2 , −1; 2 , (−1; 2)
1929/06/2021 Cepreuni 2020-2
Dos ecuaciones cuadráticas cuyos primeros miembros son
homogéneos
Ejemplo.
Resuelva sobre ℝ2 ሼ
2𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 4
3𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 1
.
Resolución
En este caso hacemos el cambio de variable: 𝑦 = 𝑘𝑥 (𝛼)
Sustituyendo en cada ecuación del sistema logramos
൜2𝑥
2 + 𝑘𝑥2 + 𝑘2𝑥2 = 4
3𝑘𝑥2 − 2𝑘2𝑥2 = 1
.
De aquí conseguimos
ቊ
2 + 𝑘 + 𝑘2 𝑥2 = 4
3𝑘 − 2𝑘2 𝑥2 = 1
𝛽 .
2029/06/2021 Cepreuni 2020-2
Dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro obtenemos
2 + 𝑘 + 𝑘2
3𝑘 − 2𝑘2
= 4.
Que es equivalente a 𝑘 − 1 9𝑘 − 2 = 0. De donde 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 29 .
(a)Si 𝑘 = 1, en (𝛽) tenemos que 𝑥2 = 1.
De aquí 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1.
I) Si 𝑥 = 1, en (𝛼), se consigue que 𝑦 = 1.
II) Si 𝑥 = −1, en (𝛼), tenemos que 𝑦 = −1
(b)Si 𝑘 = 29, en (𝛽) tenemos que 𝑥
2 = − 913.
Esto significa que 𝑥 ∉ ℝ.
Respuesta. El conjunto solución es 𝐶𝑆 = 1; 1 , (−1;−1)
2129/06/2021 Cepreuni 2020-2
Resolución
Ejemplo.
Resolver el sistema de ecuaciones:
൝
𝑥2 − 𝑥​𝑦 + 𝑦2 = 7
𝑥2 + 2𝑦2 = 6
; indique el número de soluciones
2229/06/2021 Cepreuni 2020-2
Dos ecuaciones simétricas
Estos sistemas no se alteran al permutar sus variables (por
ejemplo 𝑥 por la 𝑦).
Para resolver estos sistemas hacemos el cambio de variable
𝑥 = 𝑢 + 𝑣
𝑦 = 𝑢 − 𝑣
Ejemplos
a) ቊ
𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 3
.
b) ൜
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥4 + 𝑦4 = 34
.
Nota. Algunas veces se
recomiendan también hacer el
cambio de variable
𝑢 = 𝑥 + 𝑦
𝑣 = 𝑥𝑦
2329/06/2021 Cepreuni 2020-2
Resolución
Ejemplo.
Resuelva sobre ℝ2 ሼ
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥4 + 𝑦4 = 34
.
2429/06/2021 Cepreuni 2020-2
Otros sistemas no lineales
Para los siguientes sistemas el estudiante hará suposiciones, cambios de
variables, estrategias no contempladas hasta este instante, y otras acciones
que considere (artificiales) para determinar el conjunto solución respectivo.
Ejemplo.
Resuelva sobre ℝ2 ቊ
𝑥3 − 𝑦3 = 19 𝑥 − 𝑦
𝑥3 + 𝑦3 = 7(𝑥 + 𝑦)
.
Resolución
2529/06/2021 Cepreuni 2020-2
Ejemplo.
Determineel conjunto solución del sistema:
൝
𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 = 64
𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 + 𝑦 = 8
Resolución
2629/06/2021 Cepreuni 2020-2
Ejemplo.
Resolver el sistema: 
൝
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 133
𝑥 + 𝑦 − 𝑥​𝑦 + 3 4𝑥 + 4𝑦 − 4 𝑥​𝑦 − 3 = 22
Indique un valor de 𝑇 = 𝑥 + 𝑦. 
Resolución