Cuadripolos_2011 - Bruno Caceres

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AC1 – Cuadripolos Página 1 de 19 
 
CUADRIPOLOS 
 
 
1 ‐  Generalidades ‐ Definición 
 
  Se  denomina  red  de  n  pares  de  terminales  a  aquella  a  la  que  se  tiene  acceso mediante  los 
mismos. Sea por ejemplo la red de la figura 1. 
 
  N es una  red  con  cualquier  asociación de elementos 
lineales. 
 
  La definición de esta red quedará realizada cuando se 
conozcan  las  corrientes  en  los  pares  de  terminales 
cortocircuitados o las tensiones en los abiertos. 
 
Cuadripolo es la red que posee cuatro puntos de acceso o dos 
pares de terminales. 
 
 
2 ‐  Parámetros de cuadripolos 
 
2.1 ‐ Parámetros admitancia 
 
  Analicemos el caso en que todos  los terminales de  la red de figura 1 están cortocircuitados, y que sólo 
están actuando dos fuentes de tensión en los enlaces  j y k.  Mediante una reordenación numérica consideraremos 
a las fuentes actuando en los enlaces 1 y 2 respectivamente. 
 
  Para el circuito de figura 2, planteamos el sistema de ecua‐
ciones de bucles. 
 
 … … … … … …  
 
 … … … … … …  
 
      ……………………..                      ... 
      ……………………..                      ... 
 
 … … … … … …  
 
 
   
Si sólo nos  interesa  lo que ocurre en  los terminales 1‐1' y 2‐2', pasamos a considerar una red con dos pares de 
terminales que se denomina  cuadripolo.  Del sistema de ecuaciones (1), podemos despejar las corrientes I1 e I2. 
 
∆
∆ 
∆
∆ 
 
∆
∆ 
∆
∆ 
 
1
1'
2
2'
k'
l
k
n
N
Figura 1 
1
1'
2
2'
n'
k'
l'
l
k
n
N
E2
E1
I1
In
Ik
Il
I2
Figura 2 
(1)
(2)
 
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donde ∆  es el determinante de la matriz impedancia y  ∆jk el adjunto del elemento jk, siendo: 
 
 
∆
∆
  admitancia de excitación del par jj (de cortocircuito) 
 
 
∆
∆
  admitancia mutua entre los terminales j y k (de cortocircuito) 
 
 
  Pudiendo  el  sistema  de  ecuaciones  (2)  ser  escrito  de  la  siguiente  manera  (cuadripolo  con 
parámetros admitancia): 
 
  
 
  
 
 
  Si la red  N está constituida por elementos lineales y bilaterales   ∆12   =   ∆21,  resultando  Y12 = Y21, 
denominándose en forma general redes recíprocas.  Pudiéndose concluir que se ha reducido, para este 
caso,  en  uno  el  número  de  incógnitas.  Esto  puede  ser  interpretado  como  que  se  redujo  en  uno  el 
número de grados de libertad del sistema.  
 
  Si efectuamos  la síntesis de (3), se  llega a un circuito simplificado que representa al cuadripolo 
(figura 3). 
 
  Los parámetros admitancia del cuadripolo pueden ser 
obtenidos  experimentalmente  a  partir  del  sistema  de 
ecuaciones 3. 
 
  Si  se pasiva   E2,  terminales   2  ‐ 2' cortocircuitados  se 
obtiene   
 
  Admitancia de entrada  con  salida en  cortocir‐
cuito. 
 
  Admitancia de transferencia con salida en cortocircuito. 
 
 
   
  Si ahora se pasiva  E1, terminales 1‐1', cortocircuitados, se obtiene: 
 
 
  Admitancia de transferencia con entrada en cortocircuito. 
 
  Admitancia de salida con entrada en cortocircuito. 
 
Y11+Y12
Y22 +Y12
-Y12 = Y12
E1 E2
I1 I21 2
1' 2'
Figura 3 
(3)
 
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  Las variables de definición de un cuadripolo son 4, en este caso     Y11, Y12, Y21 e Y22, diciéndose  
que se tienen  4  grados  de libertad.  En  el  caso de redes recíprocas se cumple que  Y12 = Y21 , por lo que 
observamos que se ha reducido en uno  los grados de  libertad. Si el cuadripolo es simétrico se verifica 
que  Y11 = Y22 , es decir que esta condición le quita también un grado de libertad y de cumplirse las dos si‐
multáneamente sólo quedarían dos variables independientes. 
 
  El sistema de ecuaciones (3) puede ser escrito en forma matricial de la forma: 
 
  
 
 
en donde               se denomina matriz admitancia. 
 
  En forma sintética (4) puede ser escrita  
 
| |  
 
  Se  ha  descripto  la  forma  de  definir  un  cuadripolo mediante  los  parámetros  admitancia,  no 
debiendo olvidarse que se relacionan 4 variables (dos tensiones y dos corrientes), lo cual asegura otras 
formas de escribir las ecuaciones, cuyo número es: 
 
,
4!
4 2 ! 2! 6 
2.2   Parámetros impedancia 
 
  Si premultiplicamos ambos miembros de la ecuación (5) por la inversa de la matriz admitancia  
| | | | | |  
 
Resultando: 
| | | |  
 
donde  Z  recibe el nombre de  matriz impedancia 
 
| |
∆ ∆
∆ ∆
 
 
con  ∆ = Y11.Y22‐Y12.Y21 
 
 
  La condición de existencia de  [Z]  es que el determinante de  [Y]  sea no nulo. 
 
  Explicitando (8) se logra un sistema de ecuaciones (9) que será sintetizado de la manera graficada 
en la figura 4, para cuadripolos recíprocos, es decir  Z21 = Z12. 
 
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
 
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  Los    coeficientes  impedancia  se  de‐
nominan  de  circuito  abierto  (ya  que  pueden 
obtenerse  por  cálculo  o  ensayo  manteniendo 
alternativamente  pares  de  terminales  en  vacío). 
La  forma  de  obtenerse  estos  parámetros  es  la 
siguiente. 
 
 
 
    Impedancia de excitación de circuito abierto en el par 1‐1'. 
 
 
    Impedancia de excitación de circuito abierto en el par 2‐2'. 
 
    Impedancia de transferencia de circuito abierto entre el par 1‐1' y el 2‐2'. 
 
    Impedancia de transferencia de circuito abierto entre el par 2‐2' y el 1‐1'. 
 
 
2.2.1  Relaciones entre los parámetros "Y" y "Z" 
 
  De la matriz indicada en (11), se deduce: 
| | , | | , | | , | | 
 
  De igual manera se puede obtener: 
| | , | | , | | , | | 
 
| | , | | , | | , | |  
 
  Donde |Y| es el determinante de  la matriz admitancia y |Z| es el determinante de  la matriz 
impedancia. 
 
  Por definición de matrices inversas se tiene: 
 
| | | | 1 
 
  De la comparación de las ecuaciones (9), (10) y (11), resulta: 
 
  
Z12 = Z21
Z11 - Z21
E1 E2
I1 I21 2
1' 2'
Z22 - Z21
Figura 4 
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
 
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2.3  Parámetros de transferencia directa 
 
  Consideremos ahora el grupo de parámetros que relacionan las variables de entrada en función 
de las variables de salida. 
  
 
  
 
  Que escrita en forma matricial resulta: 
 
 
Donde           se llama matriz de transferencia directa o parámetros fundamentales. 
 
 
 El objetivo es ahora encontrar la relación existente entre los 
parámetros fundamentales y los parámetros admitancia, para lo cual 
es de suma importancia considerar que los sentidos de corriente que 
se adoptan para la definición de A, B, C y D es distinta a la de los dos 
casos anteriores (figura 5). 
 
  De  acuerdo a esta convención de signos, las ecuaciones descriptas en (3) resultan: 
 
 
 
 
 
 
  Despejando E1 e I1 en función de E2 e I2. 
 
  
 
  
 
De la comparación de (14), (17 y (18), se tiene: 
 
  
 
 
  
 
si el cuadripolo es recíproco, es decir se verifica que   Y12 = Y 21, para  los parámetros fundamentales se 
manifiesta en la reducción de los grados de libertad en una unidad, que se manifiesta en: 
 
1 
 
A B
C DE1 E2
I1 I21 2
1' 2'
Figura 5 
(14)
(15)
(16)
(17)
(20)
(18)
(19)
 
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cuya demostración es muy sencilla y se basa en sustituir en (19) los valores explicitados en (23). 
 
  En  los  cuadripolos  simétricos  se  tenía    Y11 = Y22  , que para  los parámetros  fundamentales  se 
transforma en  A = D. 
 
  De  la misma manera  se  podría  haber  obtenido  la  equivalencia  entre  los  parámetros  funda‐
mentales y las impedancias, que para un cuadripolo recíproco resultan: 
 
 
 
 
 
 
1
  
 
2.3.1  Obtención de los parámetros fundamentales 
 
  A partir del  sistema de ecuaciones  (14) podemos obtener  las  constantes   A, B, C y D. Este método es 
válido paracálculos teóricos y de laboratorio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Además se puede decir que  A y C son parámetros de circuito abierto y B y D de cortocircuito. 
 
2.4  Matriz transferencia inversa 
 
  Expresa las variables de salida en función de las de entrada, siendo los sentidos empleados los indicados 
en la figura 6. 
 
  
   
 
 Los parámetros  γi  pueden ser obtenidos a partir de los de transfe‐
rencia directa con un adecuado cambio de los sentidos de las corrientes, ob‐
teniendo: 
  
 
  
(adimensional) 
 
 
 
(ohm) 
 
 
(mho) 
 
 
 
(adimensional) 
 
Figura 6 
E1 E2
I1 I21 2
1' 2'
(21)
(22)
(23)
 
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 Si el cuadripolo es recíproco, se cumple  AD‐BC = 1 . Las variables de la matriz  γ  y  γi  poseen las mismas 
propiedades. 
 
 
2.5  Matriz híbrida 
 
  Se tienen dos casos: 
 
a) Tensión de entrada y corriente de salida en función de la corriente de entrada y la tensión se salida. 
 
  
 
b) Corriente de entrada y tensión de salida en función de la tensión de entrada y la corriente de salida.  
 
  
 
 
  Estos dos sistemas son muy utilizados para la representación de cuadripolos con fuentes dependientes. 
 
 
3  Acoplamiento de cuadripolos 
 
  Los cuadripolos pueden ser conectados en tres formas fundamentales: serie, paralelo y en cascada o bien 
una combinación de éstas. El objetivo de este punto es encontrar un cuadripolo equivalente a la interconexión. 
 
 
3.1  Conexión paralelo ‐ paralelo 
 
 Dados 2 cuadripolos Q y R , en los que se conectan sus entradas en paralelo y de igual forma sus salidas, 
se desea encontrar los parámetros del cuadripolo equivalente S (figura 7).  
 
 En el tipo de conexión planteada se tiene que las tensiones 
de entrada y salida son las mismas para ambos cuadripolos, por lo 
que conviene el empleo de los parámetros admitancia. 
 
[ I ]Q = [ Y ]Q [ V ]Q 
  
[ I ]R = [ Y ]R [ V ]R 
 
[ I ]S = [ Y ]S [ V ]S 
 
 
Verificándose: 
 
[ V ]Q = [ V ]R = [ V ]S 
 
[ I ]Q + [ I ]R = [ I ]S 
 
Reemplazando se tiene: 
 
V1
I1S1
1'
V2
I2S 2
2'
Q
R S
I2Q
I2R
I1Q
I1R
Figura 7 
(24)
(25)
 
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[ I ]S = [ Y ]Q [ V ]Q + [ Y ]R [ V ]R 
 
[ I ]S = {[ Y ]Q + [ Y ]R} [ V ]S 
 
 
  Por comparación se deduce: 
 
 
 
 
 Lo cual permite afirmar que la matriz admitancia del cuadripolo equivalente S es la suma de las matrices 
admitancia de los cuadripolos Q y R. 
 
 
3.2  Conexión serie ‐ serie 
 
 Dados los cuadripolos Q y R, en los que se conectan sus entradas en serie y de igual forma sus salidas, se 
tiene  como  objetivo  encontrar  los  parámetros  de  un  cuadripolo 
equivalente S (figura 8). 
 
  Para este tipo de conexión  las corrientes a  la entrada son 
las mismas para los cuadripolos Q , R y S , ocurriendo lo mismo para 
las corrientes de salida.  Por lo mencionado, en este caso se traba‐
jará con los parámetros impedancia. 
 
[ V ]Q = [ Z ]Q [ I ]Q 
  
[ V ]R = [ Z ]R [ I ]R 
 
[ V ]S = [ Z ]S [ I ]S 
 
Verificándose: 
 
[ V ]S = [ V ]Q + [ V ]R 
 
[ I ]S = [ I ]Q = [ I ]R 
 
Reemplazando se tiene: 
 
[ E ]S = [ Z ]Q [ I ]Q + [ Z ]R [ I ]R 
 
[ E ]S = {[ Z ]Q + [ Z ]R} [ I ]S 
 
  Por comparación se deduce: 
 
 
 
 
3.3  Acoplamiento en cascada 
 
  Se dice que dos cuadripolos están conectados en cascada cuando la salida de uno alimenta la entrada del 
otro, de acuerdo a lo mostrado en la figura 9. 
V1R
I1S1
1'
V2S
I2S 2
2'
Q
R
S
I2Q
I2R
I1Q
I1R
V2QV1Q
V2RV1R
Figura 8
(26)
(27)
 
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Para cada cuadripolo se tiene: 
 
  
 
Y para el equivalente resulta 
 
 
  
 
La condición impuesta por la interconexión es: 
 
 
 
Al efectuar los reemplazos correspondientes resulta: 
 
  
 
Por ser: 
  
 
  
 
 
Se obtiene: 
 
  
 
  Es decir que los parámetros fundamentales del cuadripolo equivalente S se obtienen como el producto de 
las matrices de los cuadripolos conectados en cascada. 
 
 
 
3.4  Conexión paralelo ‐ serie 
 
V1S
I1S1
1'
V2S
2'
RQ
S
I2QI1Q
V2QV1Q V2RV1R
I2RI1R 2
Figura 9 
(28)
 
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  En  esta  conexión  se  tiene  que  las  entradas  están  en  paralelo  y  las  salidas  en  serie,  por  lo  que  es 
conveniente utilizar los parámetros híbridos (figura 10). 
 
  Se cumplen las siguientes condiciones: 
 
   
 
 
  Las ecuaciones que rigen para los cuadripolos Q y R son: 
 
  
 
  Sumando  miembro  a  miembro  las  ecuaciones  anteriores  y  de  acuerdo  a  las  condiciones  que  se 
explicitaron anteriormente para este tipo de acoplamiento, se tiene: 
 
  
 
Resultando: 
 
 
 
3.5  Conexión serie ‐ paralelo 
 
  En  la  figura 11 se muestra este  tipo de acoplamiento, empleándose para encontrar el cuadripolo equi‐
valente  los parámetros híbridos correspondientes al otro grupo y siguiendo el mismo procedimiento que en al 
caso anterior, se llega a encontrar los parámetros equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. ‐  Condiciones de Otto Brune 
 
  Se aplica para verificar la posibilidad de acoplar en serie o en paralelo, ya sea en la entrada o salida de los 
cuadripolos. 
 
Figura 10 
V1S
I1S1
1'
V2S
I2S 2
2'
Q
R
S
I2Q
I2R
I1Q
I1R
V2QV1Q
V2RV1R
Figura 11 
V1S
I1S1
1'
V2S
I2S 2
2'
Q
R
S
I2Q
I2R
I1Q
I1R
V2QV1Q
V2RV1R
(29)
 
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4.1  Acoplamiento de cuadripolos en paralelo 
 
  La  condición necesaria y  suficiente para que  los  terminales de  salida o de entrada de dos  cuadripolos 
puedan ser conectados en paralelo es: al puentear, en cada cuadripolo, los 
pares que se quieren interconectar, la diferencia de potencial entre ellos sea 
nula. 
 
  La condición de paralelismo mencionada implica que  V  sea nula y 
puede tratarse de  la entrada o  la salida, en tanto que  los otros terminales 
pueden estar en serie o en paralelo (figura 12). 
 
 La  demostración  se  realiza  por  el  absurdo  suponiendo  V  =/  0, 
debiendo mantenerse la premisa que la corriente de cada conductor de los 
bornes de entrada o salida de un cuadripolo, debe ser la misma. 
 
  Supongamos que unimos los puntos A y B de la figura 12 mediante dos fuentes de tensión de valor V en 
oposición [equivale a puentear las salidas] y que resolvemos aplicando superposición (figura 13) en dos circuitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13‐a  Corresponde al caso de la figura 12 con las salidas puenteadas. 
 
Figura 13‐b  Circuito equivalente al planteado en la figura 12 por lo cual  I' = 0 , de donde se deduce que  
 
 ,  
 
Figura 13‐c  La presencia de la única fuente V implica que I' es distinta de 0 por lo cual no puede cumplirse la con‐
dición   
 ,  
 
  De esta manera se comprueba que en la figura 13‐a resulta: 
 
 ,  
 
  Esto contradice la premisa de funcionamiento en paralelo, donde se debe cumplir para todo tipo de cone‐
xión: 
 
 ,  
 
  Concluyéndose que la conexión en paralelo es sólo posible si  
 
´ 0 
Q
R
V1
+
V
B
A
Figura 12
Q
R
V1
+ V
V
+
+
 I
IQ1
IQ2
IR1
IR2
Q
R
V1
+ V
+
 I'
I'Q1
I'Q2
I'R1
I'R2
Q
R
V1
+
V
+
+
 I"
I"Q1
I"Q2
I"R1
I"R2
             Figura 13 ‐ a                                    Figura 13 ‐ b                                     Figura 13 ‐ c 
 
AC1 – Cuadripolos Página 12 de 19 
 
 
4.2 ‐ Conexión en serie 
 
  La  condición  necesaria  y  suficiente  para  que  los  terminales  de  salida  o  de  entrada  de  dos  cudripolos 
puedan ser conectados en serie es que la diferencia de potencial indicada en la figura 14 sea nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  No se efectúa la demostración por ser idéntica al caso anterior. 
 
 
Ejemplo 
 
   En los dos casos presentados en las figuras 15a y 15b analizar si es factibleefectuar la conexión en parale‐
lo‐paralelo. 
 
 
 
 
 
La diferencia de potencial   V es nula, por  lo que  será posible  la  conexión en 
paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
    
La diferencia de potencial  V es no nula, por lo que no será posible la conexión en pa‐
ralelo. 
  
 
 
 
Para aquellos casos en que no es posible la interconexión en paralelo, se recurre a la inserción de un transformador de
relación 1 : 1 . En la figura 16 se ejemplifica lo enunciado, mediante un transformador conectado a la entrada. La aisla‐
ción galvánica producida permite la conexión deseada, su comprobación es muy sencilla mediante la aplicación de una
superficie de Kirchhoff. 
   
 
 
 
 
 
Q
R
VV1
+
B
A
Figura 14
Z 2
Z 1
V1
Z 2
Z 1 V
+
Figura 15a 
Figura 15b 
ZB
ZA
V1
ZC
ZD
V
+
 
AC1 – Cuadripolos Página 13 de 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.‐  Impedancia de entrada de un cuadripolo 
 
  Para la deducción de la impedancia de entrada de un cuadripolo consideremos que se encuentra definido 
por sus parámetros fundamentales, ecuaciones (17), y cargado con una impedancia  ZL (figura 17). 
 
 
 
 
 
 La ecuación para la carga es: 
 
  
 
 Reemplazando (33) en (17) y efectuando el cociente entre ambas ecuaciones se encuentra la impedancia 
vista desde los bornes de entrada. 
 
 
 
 
 
 Condiciones muy importantes se obtienen cuando ZL toma los valores extremos  0 e � , en estos casos se 
tienen las impedancias de entrada con salida en cortocircuito (Z1C) y con salida en vacío (Z10)  respectivamente. 
 
   De la expresión (32) resulta: 
 
 0  
 ∞ , 0  
 
 
 De  igual  manera  se  pueden  definir  las  impedancias  de  salida  para  un  cuadripolo,  en  este  caso  lo 
consideramos alimentado desde la salida y se emplea la matriz de transferencia inversa (figura 18). 
  Para la impedancia de fuente ZS , se tiene: 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
Reemplazando (38) en (37) y simplificando 
 
Q
R
Figura 16
A B
C DV1 V2
I1 I2
ZL
Figura 17
V1 V2
I1 I2
ZS γi 
Figura 18
(30)
(31)
(32)
(33)
 
AC1 – Cuadripolos Página 14 de 19 
 
 
 
 
 Para los casos extremos de la impedancia de fuente se tiene: 
 0 
 ∞ 
 
 En las expresiones (35), (36), (40) y (41) se designó como primer subíndice el lado en que se está midiendo 
la impedancia y el segundo el estado del otro lado del cuadripolo. 
 
  Las  cuatro  impedancias  Z10,  Z1C,Z20  y  Z2C  no  son  independientes  para  cuadripolos  recíprocos, 
comprobándose que: 
 
 
 
 
6 ‐  Relación entre parámetros fundamentales e impedancias vistas 
Se analiza en este punto un cuadripolo recíproco, es decir se cumple la relación: 
 
 
A D B C 1 
 
1 
 
 
Dividiendo ambos miembros por A 
1 
 
 
Teniendo en cuenta que: 
 , 
1
 
 
 
Reemplazando (44) en (43) y despejando A, se tiene: 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
7 ‐  Impedancias imágenes 
 
  Se  llaman  impedancias  imágenes   Z01 y Z02   de un cuadripolo  recíproco a aquellas que conectadas a  la 
entrada y salida del mismo, logran una perfecta adaptación de impedancias, es decir que desde cada uno de los 
terminales del cuadripolo hacia ambos lados se ve la misma impedancia. (figuras 19a y 19b). 
(34)
(35)
(36)
(37)
(39)
(38)
 
AC1 – Cuadripolos Página 15 de 19 
 
 
 
 De acuerdo a las expresiones (34) y (37) las impedancias vistas desde los puntos de entrada y salida son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolviendo el sistema anterior se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para  el  caso  de  cuadripolos  simétricos  (  A=D  ),  las  impedancias  imágenes  son  iguales  y  pasan  a 
denominarse  impedancia característica. 
 
 
 
De las expresiones (49) y (50), se puede deducir: 
 
  
 
01
02
 
 
Otra forma de obtener las impedancias imágenes es a partir de las impedancias de cortocircuito y de vacío. 
 
 
 
 
 
 
 
V1 V2
I1 I2
Z02 V1 V2
I1 I2
Z01
Z02Z01
Figura 19a  Figura 19b 
(40)
(41)
(42)
(44)
(43)
(45)
(46)
 
AC1 – Cuadripolos Página 16 de 19 
 
8.‐  Equivalencia de cuadripolos 
 
Dos cuadripolos son equivalentes si al aplicar a ambos el mismo valor de f.e.m. (con igual impedancia de fuente) a 
los  terminales de  entrada  y  cargarlos  con  las mismas  impedancias de  carga,  Las  intensidades de  corriente de 
entrada y  salida  son  iguales. Esta equivalencia puede darse para un valor, un conjunto de valores o para  todo 
valor. 
 
 
9.‐ Cuadripolos no recíprocos 
 
De acuerdo a lo visto anteriormente, cuadripolos no recíprocos son aquellos en los que se verifica: 
 
 Y12 =/ Y21 Z12=/ Z21 AD-BC=/ 1 
 
según sea el tipo de matriz transferencia utilizada para la representación del cuadripolo. En este caso el cuadripolo 
puede  ser  reemplazado  por  uno  equivalente  constituido  por  uno  recíproco  y  otro  formado  por  una  fuente 
dependiente, ambos conectados en cascada. 
 
Sea por ejemplo el sistema de ecuaciones impedancia: 
  
 
  
 
que operando matemáticamente puede ser escrito: 
 
  
 
 
 
que representa la configuración circuital del cuadripolo de la figura 21. 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
De la misma manera se podría haber escrito: 
 
  
 
  
 
 
que puede ser sintetizado como se indica en la figura 22. 
 
 
 
 
Figura 21
Z21
Z11 - Z21
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
Z22 - Z21(Z12-Z21)I2
+
(47)
(48)
(49)
(50)
 
AC1 – Cuadripolos Página 17 de 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 ‐  Cuadripolos con fuentes independientes 
 
  En  los puntos anteriores se  trató  la determinación de parámetros de cuadripolos pasivos, ahora consi‐
deraremos el  caso de que posean  fuentes  independientes. En este  caso  la  forma de plantear  su  resolución es 
mediante la aplicación del principio de superposición. 
 
9.1 ‐Parámetros impedancia 
 
  Sea el cuadripolo de la figura 23 y sus ecuaciones las que se indican en la ecuación (51), donde V10 y V20 
son las contribuciones de las fuentes independientes existentes dentro de la red. 
 
 
 
  
 
 
 
El  cálculo de  los parámetros    Z    y  las  contribuciones de  las  fuentes  independientes  se obtienen mediante  las 
siguientes expresiones. 
, 
 
, 
 
; 
 
; 
 
 
 
; 
 
; 
 
 
 
 
Nota:  FIP indica que las fuentes independientes están pasivadas. 
 
  La síntesis de las ecuaciones (52) puede ser realizada de la manera indicada en las figuras 24 y 25, según 
sea la red recíproca o no. 
 
 
 
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
Red con 
fuentes
 
independientes
Figura 23 
Z12
Z11 - Z12
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
Z22 - Z12 (Z21-Z12)I1
+
Figura 22 
(51)
(52)
 
AC1 – Cuadripolos Página 18 de 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2  Parámetros admitancia 
 
  De  la misma manera que para  los parámetros  impedancia, en este caso  se  resuelve por aplicación del 
principio de superposición, obteniéndose el sistema de ecuaciones (853). 
 
  
 
 Cuya síntesis nos lleva a los circuitos de figura 26 y 27, según sea el cua Figura 26 – Cuadripolo recíproco 
dripolo recíproco o no. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z11
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
Z22
Z21 I1
+
V20
+
+
+
Z12 I2
V10
Figura 25 – Cuadripolo no recíproco 
Z12
Z11 - Z12
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
Z22 - Z12V20
++
V10
Figura 24 – Cuadripolo recíproco
Y11-Y12
Y22 -Y12
Y12 = Y12
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
I1C I2C
Figura 26 – Cuadripolo recíproco
Y11 Y22 
V1 V2
I1 I21 2
1' 2'
I1C I2C
Y21V1Y12V2
Figura 27 – Cuadripolo no recíproco 
(49)
 
AC1 – Cuadripolos Página 19 de 19 
BIBLIOGRAFIA 
 
* BASIC CIRCUIT ANALYSIS 
  Autor     : David R. Cunningham, John A. Stuller 
  Editorial : Houghton Mifflin Company 
 
* ELECTRIC CIRCUITS 
  Autor  : James W. Nilsson, Susan A. Riedel 
  Editorial : Addison‐Wesley Publishing Company 
 
* ANALISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS 
  Autor  : David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. JohnsonEditorial : Prentice Hall 
 
* CIRCUITOS ELÉCTRICOS Introducción al análisis y diseño 
  Autor  : Richard C. Dorf 
  Editorial : Alfaomega 
 
* PRINCIPIOS DE ELECTROTECNIA 
  Autor  : G. V. Zeveke, P.A. Ionkin 
  Editorial : Cartago 
 
*  LINEAS DE TRANSMISION Y FILTROS ELECTRICOS 
  Autor  : John J. Karakash 
  Editorial : Reverté