Copia de 18,1 - Hipérbola - PRE 2021 VF - Patricia Torres

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LA HIPÉRBOLA
18,1
2
Se denomina sección cónica a la
curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su
vértice.
Cambiando el ángulo y el
lugar de intersección
podemos crear una
circunferencia, una elipse, una
hipérbola o una parábola.
3
Definición 
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad
constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
P
2a
F1 F2
|d P; F1 − d(P; F2)| = 2a
4
El diseño de puentes que se
sostienen con cables es un ejemplo
de aplicación de una hipérbola
En arquitectura la forma
de hipérbola es utilizada en el
diseño de torres de enfriamiento
Aplicaciones
5
HiperboloideEn arquitectura la forma de hipérbola es
utilizada en el diseño de faros
6
APLICACIÓN 01
Determine la ecuación de
la hipérbola cuya
diferencia de distancias
de cualquier punto hacia
los puntos 𝐹1(2; 1) y
𝐹2(−2;−1) es igual a 4𝑢.
𝐴) 3𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 4 = 0
𝐵) 3𝑦2 + 4𝑥𝑦 − 4 = 0
𝐶) 3𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4 = 0
𝐷) 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 4 = 0
𝐸) 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 + 4 = 0
RESOLUCIÓN:
Sea el punto 𝑃(𝑥; 𝑦), entonces:
(𝑥 − −2 )2+(𝑦 − −1 )2− 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 4
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 2𝑦 + 5 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 5 + 4
Elevando al cuadrado:
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 2𝑦 + 5 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 5
+8 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 5 + 16
⇒ 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 2 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 5
Nuevamente, elevamos al cuadrado:
4𝑥2 + 𝑦2 + 16 + 4𝑥𝑦 − 16𝑥 − 8𝑦
= 4(𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 5)
Efectuando: 𝟑𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒 = 𝟎
CLAVE: E
7
Elementos asociados a la hipérbola
Centro: C
Vértices : V1 y V2
Focos: F1 y F2
Ejes:
Rectas asíntotas:
Eje focal : LF Eje normal: LN
L2
L1
L1 y L2
Rectas directrices:
L3
Lado recto: MM′
Cuerda focal: NQ.
B1B2: Eje conjugado o imaginario
V1
V2
F1
T
Q
N
B2
B1
Radio focal: F2T
L3 y L4
L4
F1F2: segmento focal.
V1V2: eje transverso o real.
8
Relaciones fundamentales 2a
2b
2c
a
b
c
CV1
V2F1 F2
2a: Es la longitud del eje transverso
2b: Es la longitud del eje conjugado
2c: Es la distancia entre los focos
Se cumple las siguientes relaciones:
V1V2 = 2a ; B1B2 = 2b ; F1F2 = 2c
La relación entre a, b y c:
𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 = 𝐜𝟐
B1
B2
x
y
2a
9
Eje conjugado: B1B2, B1B2 = 2b
La hipérbola en el 
plano cartesiano
Centro: C(h;k)
X
Y
C
k
h
𝑉1 𝑉2𝐹1
𝐹2
Focos: F1 y F2 (F1F2=2c)
Eje transverso: V1V2, (V1V2 = 2a)
Vértices : V1 y V2
Lado recto: MM′y NN′
Directrices: LD1y LD2
Eje focal: L Eje normal: L1
P x; y : coordenadas genéricas
M
M’
N
N’
(Con eje focal paralelo al eje X)
F1 = (h − c; k) F2 = (h + c; k)
V1 = (h − a; k) V2 = (h + a; k)
𝐵1
𝐵2
𝐿1
𝐿
𝐿𝐷1 𝐿𝐷2
𝑃 𝑥; 𝑦
10
Eje conjugado: B1B2, B1B2 = 2b
La hipérbola en el
plano cartesiano
Centro: C(h;k)
X
k
𝑉1
𝑉2
Focos: F1 y F2 (F1F2=2c)
Eje transverso: V1V2, (V1V2 = 2a)
Vértices : V1 y V2
Lado recto: MM′y NN′
Directrices: LD1y LD2
Eje focal: L Eje normal: L1
P x; y : coordenadas genéricas
M
N
(Con eje focal paralelo al eje Y)
F1 = (h; k − c) F2 = (h; k + c)
V1 = (h; k − a) V2 = (h; k + a)
𝐵1𝐵2
𝐿1
𝐿𝑃 𝑥; 𝑦
11
A tener en cuenta:
C
𝑉1
𝑉2 𝐹1
𝐹2
C𝑉1 𝑉2
𝐹1
𝐹2
C
𝑉1
𝑉2
𝐹1
𝐹2
𝐶 =
𝑉1+ 𝑉2
2
𝐶 =
𝐹1+ 𝐹2
2
En cualquier caso, las coordenadas del centro se obtienen así:
𝐵1
𝐵2
𝐶 =
𝐵1+ 𝐵2
2
𝐵1 𝐵2
x
y
x
y
x
y
12
APLICACIÓN 02
Determine la ecuación de
la hipérbola cuyos focos
son los puntos 𝐹1(4; 0) y
𝐹2(−4; 0) y la distancia
entre sus vértice es igual
a 6𝑢.
𝐴) 9𝑥2 − 7𝑦2 = 63
𝐵) 7𝑥2 − 9𝑦2 = 63
𝐶) 7𝑦2 − 9𝑥2 = 63
𝐷) 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144
𝐸) 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144
RESOLUCIÓN:
Sea el punto 𝑃(𝑥; 𝑦) de la hipérbola, entonces por
definición:
⇒ 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 0 2 − (𝑥 − −4 )2+(𝑦 − 0)2= 6
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 16 = 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 16 + 6
Elevando al cuadrado:
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 16 = 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 16
+12 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 16 + 36
⇒ 4𝑥 + 9 = −3 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 16
Nuevamente, elevamos al cuadrado:
16𝑥2 + 72𝑥 + 81 = 9(𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 16)
Efectuando: 𝟕𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 = 𝟔𝟑
CLAVE: B
𝒅 𝑷;𝑭𝟏 − 𝒅 𝑷;𝑭𝟐 = 6
13
Ecuación de la hipérbola
Ecuación de la hipérbola con eje Focal
en el eje de abscisas y centro en el
origen de coordenadas:
Demostración
P(x ;y)
Por definición:
V1(a;0)V2(− a;0)
B1(0;b) B2(0; − b)
F1(c;0)F2(− c;0)
PF2− PF1=2a
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 − 0 2 = 2𝑎
⇒ (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎 + (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
Elevando al cuadrado:
Elevando al cuadrado nuevamente:
𝑐𝑥 − 𝑎2 = 𝑎 (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2
𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)
La ecuación de la hipérbola está dada por:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
x
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
Sean los extremos del eje conjugado:
y
Pero: 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2
⇒ 𝒃𝟐𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝒃𝟐
14
14
Ecuación ordinaria de la hipérbola de centro C(h; k) y eje focal
paralelo al eje de las abscisas.
Consideremos la hipérbola
mostrada en la figura.
La ecuación de la hipérbola
está dada por:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Donde a < b, a = b o a > b
Eje focal
E
je
 n
o
rm
a
l
D
ir
ec
tr
iz
 1
D
ir
ec
tr
iz
 2
C(h;k) 
x
y
15
APLICACIÓN 03
Determine la ecuación de la
hipérbola con centro en el
origen de coordenadas, un
vértice y su foco
correspondiente en V1 3; 0
y F1 5; 0 , respectivamente.
𝐴) 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144
𝐵) 7𝑥2 − 16𝑦2 = 112
𝐶) 7𝑦2 − 9𝑥2 = 63
𝐷) 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144
𝐸) 9𝑥2 − 7𝑦2 = 63 𝐻:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Del dato: 𝒂 = 𝟑 y 𝑐 = 5
⇒ 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒
⇒ 𝐻:
𝑥2
𝟗
−
𝑦2
𝟏𝟔
= 1
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝒀
𝑿
𝐹1(5; 0)
𝑉1(3; 0)
⇒ 𝒃 = 𝟒
RESOLUCIÓN:
Se conoce:
Luego la ecuación de la hipérbola está dada por:
CLAVE: D
16
APLICACIÓN 04
Al determinar la ecuación
de la hipérbola cuyos
focos son los puntos
−9; 4 y −1; 4 , y
longitud de su eje
transverso igual a 6u, se
obtuvo 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 +
𝐷𝑦 − 32 = 0.
Calcule el valor de:
2𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 − 𝐷
𝐴) 13
𝐵) 19
C) 25
D) 33
E) 39
𝐹1 −9; 4 𝐹2 −1; 4𝐶 −5; 4
2𝑎 = 6
2𝑐 = 8
Del dato:
2𝑎 = 6 ⇒ 𝒂 = 𝟑
2𝑐 = 8 ⇒ 𝑐 = 4
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
⇒ 𝒃 = 𝟕
⇒
𝑥 + 5 2
𝟗
−
𝑦 − 4 2
𝟕
= 1
⇒ 7𝑥2 − 9𝑦2 + 70𝑥 + 72𝑦 − 32 = 0
𝑿
𝒀
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
RESOLUCIÓN:
Se conoce:
La ecuación de la hipérbola está dada por:
Luego: 𝐴 = 7, 𝐵 = −9, 𝐶 = 70 y 𝐷 = 72
⇒ 𝟐𝑨 − 𝟑𝑩 + 𝑪 −𝑫 = 𝟑𝟗 CLAVE: E
17
APLICACIÓN 05
Determine la ecuación de la
hipérbola cuyos focos son
los puntos −3; 6 y 7; 6 ,
siendo la longitud del eje
conjugado igual a 8u.
𝐴)
𝑥 − 2 2
16
−
𝑦 − 6 2
9
= 1
𝐵)
𝑥 − 3 2
9
−
𝑦 − 6 2
15
= 1
𝐶)
𝑥 − 2 2
16
−
𝑦 + 6 2
9
= 1
𝐷)
𝑥 − 2 2
9
−
𝑦 − 6 2
16
= 1
𝐸)
𝑥 − 6 2
9
−
𝑦 − 2 2
16
= 1
Del dato:
𝐹1 −3; 6 y 𝐹2 7; 6
Para el eje conjugado:
2𝑏 = 8
⇒ 2𝑐 = 10 𝐹1 −3; 6 𝐹2 7; 6𝐶 2; 6
𝑋
𝑌
𝑎 𝑎
𝑐 𝑐
Para el centro:
𝐶 ℎ; 𝑘 = 𝐶 2; 6
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1 ⇒
𝒙 − 𝟐 𝟐
𝟗
−
𝒚 − 𝟔 𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏
La ecuación de la hipérbola está dada por:
RESOLUCIÓN:
⇒ 𝒄 = 𝟓
⇒ 𝒃 = 𝟒
Se cumple: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ⇒ 𝒂 = 𝟑
CLAVE: D
18
Cuando el centro es el origen de coordenadas se obtiene:
Forma canónica de la ecuación de una hipérbola.
(Eje focal coincide con el eje
de ordenadas)
𝒚𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
x
y
19
Ecuación ordinaria de la hipérbola de centro C(h; k) y eje focal 
paralelo al eje de las ordenadas.
Consideremos la hipérbola
mostrada en la figura.
La ecuación de la hipérbola
está dada por:
(y − k)2
a2
−
(x − h)2
b2
= 1
Donde a < b, a = b o a > b
Eje normal
Directriz 1
Directriz 2
E
je
 f
o
ca
l
C(h;k) 
x
y
20
APLICACIÓN 06
Determine la ecuación de la
hipérbola con centro en el
origen de coordenadas, un
foco en el punto F1 0; 6 ,
sabiendo que los vértices
trisecan al segmento que
une los focos.
𝐴) 8𝑥2 − 3𝑦2 = 24
𝐵) 3𝑥2 − 16𝑦2 = 48
𝐶) 8𝑦2 − 𝑥2 = 32
𝐷) 8𝑥2 − 𝑦2 = 32
𝐸) 9𝑥2 − 4𝑦2 = 36 H:
y2
a2
−
x2
b2
= 1
Del dato: c = 6 y 𝐚 = 𝟐⇒ 𝟖𝐲𝟐 − 𝐱𝟐 = 𝟑𝟐
⇒ H:
y2
𝟒
−
x2
𝟑𝟐
= 1
c2 = a2 + b2 ⇒ 𝐛 = 𝟒 𝟐
RESOLUCIÓN:
Se conoce:
Luego la ecuación de la hipérbola está dada por:
CLAVE: C
Graficando:
F1 0; 6
C 0; 0
a
c
c
F2 0;−6
a
⇒ c = 3a
De la gráfica
observamos que
la cónica es una
hipérbola vertical.
V1
V2
21
APLICACIÓN 07
Sea la hipérbola 9𝑥2 − 4𝑦2 − 54𝑥 − 16𝑦 − 79 = 0.
Calcule el área (en 𝑢2) de la región cuadrangular cuyos vértices son los
extremos del eje transverso y los extremos del eje conjugado.
𝐴) 48 𝐵) 84 C) 92 D) 96 E) 102
⇒
9 𝐱 − 𝟑 𝟐
𝟏𝟒𝟒
−
4 𝐲 + 𝟐 𝟐
𝟏𝟒𝟒
=
144
𝟏𝟒𝟒
𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 = (𝟑;−𝟐)
9 𝐱𝟐 − 𝟔𝐱 + 𝟗 − 9 − 4 𝐲𝟐 + 𝟒𝐲 + 𝟒 − 4 = 79
RESOLUCIÓN: Agrupando en forma conveniente y completando cuadrados:
Luego:
CLAVE: A
⇒
x − 3 2
16
−
y + 2 2
36
= 1
𝐚 = 𝟒
𝐛 = 𝟔
S = 4
𝑎𝑏
2
= 48
Graficando la hipérbola:
C 3;−2𝐕𝟏 −𝟏;−𝟐 𝐕𝟐 𝟕;−𝟐
𝐁𝟏 𝟑; 𝟒
𝐁𝟐 𝟑;−𝟖
22
APLICACIÓN 08
Sea la hipérbola 9𝑦2 − 16𝑥2 − 18𝑦 − 64𝑥 − 199 = 0.
Al determinar la suma de las coordenadas de uno de los focos se obtiene:
𝐴) − 2 𝐵) 1 C) 4 D) 6 E) 8
⇒
9 𝒚 − 𝟏 𝟐
𝟏𝟒𝟒
−
16 𝒙 + 𝟐 𝟐
𝟏𝟒𝟒
=
144
𝟏𝟒𝟒
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (−𝟐; 𝟏)
9 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏 − 1 − 16 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 − 4 = 199
RESOLUCIÓN: Agrupando en forma conveniente y completando cuadrados:
Luego: 𝐹1 = (−2; 6) CLAVE: C
⇒
𝑦 − 1 2
16
−
𝑥 + 2 2
9
= 1 𝒂 = 𝟒
𝒃 = 𝟑
𝒄 = 𝟓
⇒ 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 = 𝟒
𝐹2 = (−2;−4)⇒ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = −𝟔
𝐂 −𝟐; 𝟏
𝐅𝟏 −𝟐; 𝟔
𝐅𝟐 −𝟐;−𝟒
Graficando:
Eje focal
2323
Al desarrollar las formas ordinarias de la ecuación de la
hipérbola se obtiene una ecuación de la forma:
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Forma general de la ecuación de una hipérbola.
Donde: A.C < 0 (A y C de signos diferentes)
Además se debe cumplir:
𝐷2
4𝐴
+
𝐸2
4𝐶
≠ 𝐹
Cuando:
𝐷2
4𝐴
+
𝐸2
4𝐶
= 𝐹 entonces la ecuación representa dos rectas que
se intersecan en el punto de coordenadas −
𝐷
2𝐴
; −
𝐸
2𝐶
(caso
degenerado).
24
Excentricidad (e)
Es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con
respecto a una circunferencia.
Para cualquier punto que pertenece a una sección cónica, la razón de su distancia
a un punto fijo F (foco) y a una recta fija l (directriz) es siempre igual a una
constante positiva llamada excentricidad (e)
e =
𝒅𝟏
𝒅𝟐
=
𝒅𝟑
𝒅𝟒
C
𝐿1 𝐿2
𝐹1 𝐹2
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑑4
𝑃1
𝑃2
x
y
25
Excentricidad
Se representa por “e” y
tiene la siguiente
relación:
e =
2𝑐
2𝑎
=
𝑐
𝑎
Distancia entre los vértices:2a
Distancia entre focos:2c
C
𝑉1
𝑉2𝐹1
𝐹2
También:
Como: c  a
→ 𝑐/𝑎 > 1 ,
→ Luego: e > 1
x
y
26
APLICACIÓN 09
Sea la hipérbola 144𝑥2 − 25𝑦2 − 288𝑥 − 50𝑦 − 3481 = 0 , calcule la
excentricidad de dicha hipérbola.
𝐴) 12/5 𝐵) 13/12 C) 13/5 D) 12/7 E) 13/7
⇒
144 𝒙 − 𝟏 𝟐
𝟑𝟔𝟎𝟎
−
25 𝒚 + 𝟏 𝟐
𝟑𝟔𝟎𝟎
=
3600
𝟑𝟔𝟎𝟎
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (𝟏;−𝟏)
144 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − 1 − 25 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏 − 1 = 3481
RESOLUCIÓN: Agrupando en forma conveniente y completando cuadrados:
Luego:
𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
CLAVE: C
⇒
𝑥 − 1 2
25
−
𝑦 + 1 2
144
= 1 𝒂 = 𝟓
𝒃 = 𝟏𝟐
=
𝑐
𝑎
=
𝟏𝟑
𝟓
𝒄 = 𝟏𝟑
27
Distancia entre rectas directrices
𝐹1 𝐹2𝐶
𝐿𝐷1 𝐿𝐷2
𝐷1𝐷2 =
2𝑎2
𝑐
=
2𝑎
e
𝐿𝐹𝐷1 𝐷2
x
y
28
APLICACIÓN 10
La ecuación:
𝑥 − ℎ 2
𝑀
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑁
= 1
Corresponde a una
hipérbola con un foco en
el punto 𝐹1(6;−1) , y
directrices 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.
Calcule el valor de:
𝑀ℎ −𝑁𝑘.
𝐴) 4 𝐵) 8
𝐶) 12 𝐷) 17
𝐸) 20
𝑥 − 2 2
2 2
−
𝑦 − (−1) 2
2 3
2 = 1
𝐶 = (2;−1)
⇒ 𝑴𝒉 −𝑵𝒌 = 𝟐𝟎
RESOLUCIÓN:
Además:
La ecuación de la hipérbola 
está dada por:
CLAVE: E
Se observa:
𝑐 = 6 − 2
Luego:
⇒ 𝒄 = 𝟒
𝑎2
𝑐
= 1 ⇒ 𝒂 = 𝟐
⇒ 𝒃 = 𝟐 𝟑
⇒ 𝒉 = 𝟐, 𝒌 = −𝟏, 𝑴 = 𝟒 y 𝑵 = 𝟏𝟐
X
Y
𝒙
=
𝟏
𝒙
=
𝟑
𝐹 6; −1𝐶 2;−1
29
𝐹1 𝐹2
M
M’
N
Longitud del lado recto
x
y
n
2a+n
n
Aplicando teorema de Pitágoras:
(2c)2+(n)2=(2a+n)2
4c2 + n2=4.a2 + 4.a.n + n2
4c2 – 4a2= 4.a.n
4(c2 – a2)= 4.a.n
b2 = a.n
Longitud del lado recto: 
𝟐𝒏 =
𝟐. 𝒃𝟐
𝒂
2c
MM′ = 𝑵𝑵′ =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
30
APLICACIÓN 11
Sea la hipérbola 9𝑦2 − 4𝑥2 − 90𝑦 − 8𝑥 + 185 = 0, cuya longitud del lado recto
es 𝑳𝑢. Calcule el valor de 𝐿2.
𝐴) 24 𝐵) 42 C) 56 D) 72 E) 81
⇒
9 𝒚 − 𝟓 𝟐
𝟑𝟔
−
4 𝒙 + 𝟏 𝟐
𝟑𝟔
=
36
𝟑𝟔
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (−𝟏; 𝟓)
9 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟓 − 25 − 4 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 − 1 = −185
RESOLUCIÓN: Agrupando en forma conveniente y completando cuadrados:
Luego:
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
CLAVE: E
⇒
𝑦 − 5 2
4
−
𝑥 + 1 2
9
= 1 𝒂 = 𝟐
𝒃 = 𝟑
= 9=
2𝑏2
𝑎
=
2(3)2
2
= 𝐿
⇒ 𝑳𝟐 = 𝟖𝟏
31
APLICACIÓN 12
La ecuación:
𝑦 − 𝑘 2
𝑀
−
𝑥 − ℎ 2
𝑁
= 1
Corresponde a una
hipérbola con vértices en
los puntos 𝑉1 −1;−3 y
𝑉2 −1; 5 , y longitud del
lado recto igual a 2𝑢.
Calcule el valor de:
𝑀𝑁 − ℎ𝑘.
𝐴) 42 𝐵) 48
𝐶) 56 𝐷) 65
𝐸) 72
𝑦 − 1 2
4 2
−
𝑥 − (−1) 2
2 2
= 1
𝐶 = (−1; 1)
⇒ 𝑴𝑵− 𝒉𝒌 = 𝟔𝟓
RESOLUCIÓN:
Además:
La ecuación de la hipérbola está dada 
por:
CLAVE: D
Se observa:
𝑎 = 5 − 1
Luego:
⇒ 𝒂 = 𝟒
2𝑏2
𝑎
= 2 ⇒ 𝒃 = 𝟐
⇒ 𝒉 = −𝟏, 𝒌 = 𝟏, 𝑴 = 𝟏𝟔 y 𝑵 = 𝟒
𝐶 −1; 1
𝑉1 −1;−3
𝑉2 −1; 5
𝒂
𝒂
X
Y
32
Consideramos la hipérbola especial cuyos ejes transverso y conjugado
son de igual longitud (a = b) y las asíntotas de la hipérbola son
perpendiculares.
Hipérbola equilátera o rectangular
Cuando las asíntotas de la
hipérbola equilátera son
los ejes cartesianos la
ecuación toma la forma
más sencilla.
45º
x
y
33
APLICACIÓN 13
Determine la ecuación de la
hipérbola equilátera con un
foco en el origen de
coordenadas y directriz
asociada 𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0.
𝐴) 𝑥𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0
𝐵) 𝑥𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
𝐶) 𝑥𝑦 − 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
𝐷) 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
𝐸) 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 4 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 − 4𝑦
Sea 𝑃(𝑥; 𝑦) un punto de la hipérbola, entonces
por definición de excentricidad:
𝑒 =
𝒅(𝑷; 𝑭𝟏)
𝒅(𝑷; 𝑳𝑫𝟏)
⇒ 𝒙𝒚 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 2
𝒙 + 𝒚 − 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐
RESOLUCIÓN:
Luego:
Elevando al cuadrado:
CLAVE: E
Para una hipérbola equilátera se cumple: 𝒆 = 𝟐
34
Hipérbolas conjugadas
Dos hipérbolas son conjugadas cuando su longitud de su eje transverso de
una es idéntica a la longitud del eje conjugado del otro.
Dos hipérbolas conjugadas tienen el mismo centro y las mismas asíntotas.
Ejemplo: las Hipérbolas
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
−
𝑥−ℎ 2
𝑎2
= 1(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
𝑦−𝑘 2
𝑏2
= 1
a
b
b
a
C
𝑉1
𝑉2
C
𝑉1
𝑉2
x
y
x
y
35
APLICACIÓN 14
Determine la ecuación de la
hipérbola conjugada de la
hipérbola 𝐻: 4𝑥2 − 9𝑦2 − 24𝑥 −
18𝑦 − 45 = 0.
𝐴) 9𝑦2 − 4𝑥2 + 18𝑦 + 24𝑥 − 99 = 0
𝐵) 9𝑦2 − 4𝑥2 + 18𝑦 + 24𝑥 − 13 = 0
𝐶) 9𝑦2 − 4𝑥2 − 18𝑦 + 24𝑥 − 99 = 0
𝐷) 9𝑦2 − 4𝑥2 + 18𝑦 − 24𝑥 − 99 = 0
𝐸) 9𝑦2 − 4𝑥2 − 18𝑦 + 24𝑥 − 13 = 0
𝐻′:
𝑦 + 1 2
8
−
𝑥 − 3 2
18
= 1
Agrupando en forma conveniente y
completando cuadrados:
𝐻: 4 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 − 9 − 9 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏 − 1 = 45
⇒ 𝑯′: 𝟗𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒚 + 𝟐𝟒𝒙 − 𝟗𝟗 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Luego la ecuación de la hipérbola conjugada
está dada por:
CLAVE: A
⇒ 𝐻: 4 𝒙 − 𝟑 𝟐 − 9 𝒚 + 𝟏 𝟐 = 72
⇒ 𝐻:
𝑥 − 3 2
18
−
𝑦 + 1 2
8
= 1
Efectuando:
36
a).Se conoce el punto de tangencia (𝑥0; 
𝑦0) y la ecuación de la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
− −
− =
0 0
t 2 2
(x h )( x h ) ( y k )( y k )
L : 1
a b
− − − −
− =
2 2
2 2
( y k ) ( x h )
H : 1
a b
− −
− =
0 0
t 2 2
( y k )( y k ) ( x h )( x h )
L : 1
a b
− − − −
− =
Lt
Lt
(x0;y0)
(x0;y0)
H
H
Ecuación de la recta tangente a la hipérbola
x
y
x
y
37
APLICACIÓN 15
Dada la hipérbola H:
(𝑥 − 3)2
5
−
𝑦 + 1 2
4
= 1
Se pide determinar la ecuación
de la recta tangente a la
hipérbola en el punto (−2; 3).
𝐿𝑇 :
(𝒙𝟎 − 3)(𝑥 − 3)
5
−
𝒚𝟎 + 1 𝑦 + 1
4
= 1
La ecuación de la recta tangente en el
punto (𝑥0; 𝑦0) está dada por:
𝐴) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝐵) 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
𝐶) 2𝑥 − 𝑦 + 7 = 0
𝐷) 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0𝐸) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑳𝑻: 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Pero: 𝑥0 = −2 y 𝑦0 = 3
Reemplazando:
𝐿𝑇:
(−𝟐 − 3)(𝑥 − 3)
5
−
𝟑 + 1 𝑦 + 1
4
= 1
Efectuando:
CLAVE: A
38
b) Se conoce la pendiente (m) de la recta
tangente y la ecuación (H) de la hipérbola:
Lt: y-k=m(x-h)± 𝑎
2𝑚2 − 𝑏2 Lt: y-k=m(x-h)± 𝑎
2 − 𝑏2𝑚2
Ecuación de la recta tangente a la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
− −
− =
Lt
H
LtHLt
Lt
x
y
x
y
39
La asíntota es una línea recta que prolongada indefinidamente, se acerca
progresivamente a una curva sin llegar a encontrarlo o cortarla, puede ser
horizontal, vertical u oblicua.
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
H
L 1
L 2 La hipérbola de ecuación
x
y
Teorema:
Demostración:
Para las asíntotas 𝐿1 y 𝐿2 las pendientes están
dadas por ±𝑏/𝑎, además ambas rectas pasan
por el origen de coordenadas, luego:
𝑯:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
Tiene asíntotas cuyas ecuaciones son 𝑳:
𝒙
𝒂
= ±
𝒚
𝒃
𝐿1:
𝑏
𝑎
=
𝑦 − 0
𝑥 − 0
𝐿2: −
𝑏
𝑎
=
𝑦 − 0
𝑥 − 0
⇒ 𝑳𝟏:
𝒙
𝒂
=
𝒚
𝒃
⇒ 𝑳𝟐:
𝒙
𝒂
= −
𝒚
𝒃
40
Sea la ecuación de la hipérbola:
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
2 2
2 2
( x h ) ( y k )
H : 1
a b
− −
− =
H
L1L2
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
-
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 0
De modo práctico , en la ecuación
H se intercambia 1 por 0:
1
( x h ) ( y k )
L :
a b
− −
=
2
( x h ) ( y k )
L :
a b
− −
= −
Obteniéndose:
x
y
41
Sea la ecuación de la hipérbola:
Ecuaciones de las rectas asíntotas de la hipérbola
2 2
2 2
( y k ) ( x h )
H : 1
a b
− −
− =
L1H
L2 (𝑦−𝑘)2
𝑏2
-
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
= 0
De modo práctico, en la ecuación
H se intercambia 1 por 0:
1
( y k ) ( x h )
L :
a b
− −
=
2
( y k ) ( x h )
L :
a b
− −
= −
Obteniéndose:
x
y
42
APLICACIÓN 16
Dada la hipérbola 𝐻: 4𝑥2 − 25𝑦2
−16𝑥 − 50𝑦 − 109 = 0
Determine la ecuación de la
asíntota de pendiente negativa
de dicha hipérbola.
𝐴) 5𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
𝐵) 2𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0
𝐶) 2𝑥 + 5𝑦 + 1 = 0
𝐷) 2𝑥 − 5𝑦 − 9 = 0
𝐸) 2𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0
RESOLUCIÓN:
CLAVE: C
𝐿1:
𝑥 − 2
5
=
𝑦 + 1
2
Agrupando en forma conveniente y
completando cuadrados:
𝐻: 4 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 − 4 − 25 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏 − 1 = 109
Luego las ecuaciones de las asíntotas están
dadas por:
⇒ 𝐻: 4 𝒙 − 𝟐 𝟐 − 25 𝒚 + 𝟏 𝟐 = 100
⇒ 𝐻:
𝑥 − 2 2
25
−
𝑦 + 1 2
4
= 1
𝐿2:
𝑥 − 2
5
= −
𝑦 + 1
2
⇒ 𝐿1: 2𝑥 − 5𝑦 − 9 = 0
⇒ 𝑳𝟐: 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟏 = 𝟎
43
PROPIEDADES
44
X
Y
F1F2
H
C
Si P(x1; y1) es un punto de la hipérbola:
PROPIEDAD 1
H:
x2
a2
−
y2
b2
= 1
Las longitudes de sus radios focales son:
r1 = e ∙ x1 − a r2 = e ∙ x1 + a
P x1; y1
L1L2
r1
r2
𝐫𝟏
𝐞
𝐫𝟐
𝐞
Demostración:
𝐚
𝐞
𝐚
𝐞
Recordemos:
En general: r1 = e ∙ x1 − a
r2 = e ∙ x1 + a
x1 =
r1
e
+
a
e
⇒ r1 = e ∙ x1 − a
x1 =
r2
e
−
a
e
⇒ r2 = e ∙ x1 + a
d L1; C = d L2; C =
a
e
Además: d P; L1 =
r1
e
∧ d P; L2 =
r2
e
Vemos que:
45
Si desde un punto exterior P(x1; y1) se
trazan rectas tangentes es un punto
de la hipérbola de ecuación:
PROPIEDAD 2
H:
x2
a2
−
y2
b2
= 1
el segmento de recta que une los
puntos de contacto se llama cuerda
de contacto y su ecuación es:
L:
x ∙ x0
a2
−
y ∙ y0
b2
= 1
P x0; y0
X
Y
F1
B
C
A
L
46
Demostración:
P x0; y0
X
Y
F1
B x2; y2
C
A x1; y1
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
L1:
x ∙ x1
a2
−
y ∙ y1
b2
= 1 L2:
x ∙ x2
a2
−
y ∙ y2
b2
= 1
P x0; y0 ∈ L1 ⇒
𝐱𝟎 ∙ x1
a2
−
𝐲𝟎 ∙ y1
b2
= 1… i
P x0; y0 ∈ L2 ⇒
𝐱𝟎 ∙ x2
a2
−
𝐲𝟎 ∙ y2
b2
= 1… ii
−
𝐱𝟎 x1 − x2
a2
−
𝐲𝟎 y1 − y2
b2
= 0 ⇒ m =
y1 − y2
x1 − x2
=
x0 ∙ b
2
y0 ∙ a2
Reemplazando en la ecuación de la recta de contacto:
⇒ L: y − y1 =
x0 ∙ b
2
y0 ∙ a2
x − x1 ⇒ L:
x ∙ 𝐱𝟎
a2
−
𝐱𝟎 ∙ x1
a2
=
y ∙ 𝐲𝟎
b2
−
𝐲𝟎 ∙ y1
b2
⇒ L:
x ∙ 𝐱𝟎
a2
−
y ∙ 𝐲𝟎
b2
=
𝐱𝟎 ∙ x1
a2
−
𝐲𝟎 ∙ y1
b2
= 1
L:
x ∙ x0
a2
−
y ∙ y0
b2
= 1
L
47
X
Y
F1 𝑐; 0
F2 C
La distancia de un foco de la
hipérbola a cualquiera de sus
asíntotas es igual a la longitud de
su semieje conjugado, es decir:
PROPIEDAD 3
𝑑 𝐹; 𝐿 = 𝑏
L1L2
Demostración:
Sea la ecuación de la hipérbola:
Por distancia de un punto a una recta:
∴ 𝑑 = 𝑏
L1: y =
𝑏
𝑎
𝑥
L1: bx − ay = 0 ∨
𝐻:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Sus asíntotas:
𝒅
𝒅
∨ L2: y = −
𝑏
𝑎
𝑥
En forma general: L2: bx + ay = 0
𝑑 =
𝑏 ⋅ 𝑥 − 𝑎 ⋅ 𝑦
𝑏2 + 𝑎2
Para el foco: 𝑑 =
𝑏 ⋅ 𝑐 − 𝑎 ⋅ 0
𝑏2 + 𝑎2
=
𝑏𝑐
𝑏2 + 𝑎2
⇒ 𝑑 =
𝑏𝑐
𝑐
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
48
APLICACIÓN 17
En una hipérbola la longitud del lado recto es igual a 12𝑢 y la distancia entre
las directrices es igual a 2𝑢. Si se sabe que la distancia de uno de los focos
hacia una asíntota es 𝑑𝑢, calcule el valor de 𝑑2.
𝐴) 6 𝐵) 10 C) 12 D) 16 E) 20
RESOLUCIÓN:
Para la longitud del lado recto:
Para la distancia entre las directrices:
CLAVE: C
2𝑏2
𝑎
= 12
⇒ 𝒅𝟐 = 𝒃𝟐 = 𝟏𝟐
⇒ 𝒃𝟐 = 𝟔𝒂
2𝑎2
𝑐
= 2 ⇒ 𝒄 = 𝒂𝟐
Se cumple: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
⇒ 𝑎2 + 𝟔𝒂 = 𝒂𝟒 ⇒ 𝒂 = 𝟐 ⇒ 𝒃𝟐 = 𝟏𝟐
Por propiedad: 𝒅 = 𝒃
49
PROBLEMAS RESUELTOS
50
PROBLEMA 01
Hallar la ecuación de la hipérbola
equilátera que tiene un foco en
F −1; 2 y directriz asociada a la
recta L : 2x + y − 5 = 0
⇒ 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝒚 − 𝟑𝒚𝟐 − 𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝟎
𝑎 = 𝑏 ; 𝑐 = 𝑎 2
𝐴) 3𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 40𝑥 + 25 = 0
𝐵) 3𝑥2 − 8𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 40𝑥 + 25 = 0
𝐶) 2𝑥
2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 20𝑥 − 10 = 0
𝐷) 2𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦2 − 20𝑥 + 10 = 0
𝐸) 3𝑥2 + 8𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 50𝑥 + 25 = 0
Para la hipérbola
equilátera:
⇒2(2𝑥 + 𝑦 − 5)2 = 5[(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2]
𝑒 =
𝑑(𝑃, 𝐹)
𝑑(𝑃, 𝐿𝐷)
⇒ 2 =
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2
|2𝑥 + 𝑦 − 5|
5
⇒2 4𝑥2 + 𝑦2 + 25 + 4𝑥𝑦 − 20𝑥 − 10𝑦 =
5(𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 5)
𝑭(−𝟏; 𝟐)
𝑳𝑫: 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟓 = 𝟎
𝑷(𝒙; 𝒚)
RESOLUCIÓN:
CLAVE: E
51
PROBLEMA 02
La hipérbola H tiene rectas
directrices en 𝑥 = 2 y 𝑥 = 6 ,
además uno de sus focos está
en 𝐹1 = (12; 0) . Determine la
ecuación de su hipérbola
conjugada.
𝐴)
𝑦2
16
−
(𝑥 − 4)2
48
= 1
𝐵)
𝑦2
24
−
(𝑥 − 4)2
16
= 1
𝐶)
𝑦2
48
−
(𝑥 − 4)2
16
= 1
𝐷)
𝑦2
32
−
(𝑥 − 4)2
16
= 1
𝐸)
𝑦2
8
−
(𝑥 − 4)2
16
= 1
RESOLUCIÓN:
Se observa:
2𝑎2
𝑐
= 4
𝐻:
(𝑥 − 4)2
16
−
𝑦2
48
= 1
⇒ 𝒄 = 𝟖
𝑪 = (𝟒; 𝟎)
Además:
⇒ 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔
⇒ 𝒃𝟐 = 𝟒𝟖
La ecuación de la hipérbola está dada por: 
La ecuación de la hipérbola conjugada está dada por: 
𝑯′:
𝒚𝟐
𝟒𝟖
−
(𝒙 − 𝟒)𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏
CLAVE: C
𝒀
𝑿
𝑥 = 2 𝑥 = 6
𝐶(4; 0)
𝐹1(12; 0)𝐹2
52
PROBLEMA 03
Las rectas 𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0
y 𝐿2: 2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0 son las
asíntotas de una hipérbola que
pasa por el punto 𝑃(−3;−1) .
Determine la ecuación de dicha
hipérbola.
𝐴)
(𝑦 + 1)2
16
−
(𝑥 − 3)2
36
= 1
𝐵)
(𝑥 − 3)2
36
−
(𝑦 + 1)2
16
= 1
𝐶)
(𝑥 + 3)2
36
−
(𝑦 − 1)2
16
= 1
𝐷)
(𝑥 − 3)2
16
−
(𝑦 + 1)2
36
= 1
𝐸)
(𝑦 − 1)2
36
−
(𝑥 + 3)2
16
= 1
RESOLUCIÓN: Tenemos:
𝒂 = 𝟔
𝐻:
(𝑥 − 𝟑)2
𝟔2
−
(𝑦 − (−𝟏))2
𝟒2
= 1
2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0
Del gráfico:
⇒ 𝒃 = 𝟒
La ecuación de la hipérbola está dada por: 
⇒ 𝑯:
(𝒙 − 𝟑)𝟐
𝟑𝟔
−
(𝒚 + 𝟏)𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏
CLAVE: B
𝑪 = (𝟑;−𝟏)
2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0
Resolviendo:
Además:
𝑏
𝑎
=
2
3
𝒀
𝑿
𝐿2: 2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0
𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0
𝐶(3;−1) 𝐹1𝐹2 𝑷(−𝟑;−𝟏)
53
APLICACIÓN 12
La ecuación:
𝑦 − 𝑘 2
𝑀
−
𝑥 − ℎ 2
𝑁
= 1
Corresponde a una
hipérbola con vértices en
los puntos 𝑉1 −1;−3 y
𝑉2 −1; 5 , y longitud del
lado recto igual a 2𝑢.
Calcule el valor de:
𝑀𝑁 − ℎ𝑘.
𝐴) 42 𝐵) 48
𝐶) 56 𝐷) 65
𝐸) 72
𝑦 − 1 2
4 2
−
𝑥 − (−1) 2
2 2
= 1
𝐶 = (−1; 1)
⇒ 𝑴𝑵− 𝒉𝒌 = 𝟔𝟓
RESOLUCIÓN:
Además:
La ecuación de la hipérbola está dada 
por:
CLAVE: D
Se observa:
𝑎 = 5 − 1
Luego:
⇒ 𝒂 = 𝟒
2𝑏2
𝑎
= 2 ⇒ 𝒃 = 𝟐
⇒ 𝒉 = −𝟏, 𝒌 = 𝟏, 𝑴 = 𝟏𝟔 y 𝑵 = 𝟒
𝐶 −1; 1
𝑉1 −1;−3
𝑉2 −1; 5
𝒂
𝒂
X
Y
54
PROBLEMA 05
Determine la ecuación de la
asíntota de pendiente
negativa de la hipérbola con
focos en 𝐹1(0; 5) y 𝐹2(0;−5),
si la longitud del lado recto es
igual a 4,5 𝑢.
𝐴) 4𝑥 + 3𝑦 = 0
𝐵) 3𝑥 + 4𝑦 = 0
𝐶) 5𝑥 + 4𝑦 = 0
𝐷) 4𝑥 + 5𝑦 = 0
𝐸) 5𝑥 + 4𝑦 = 0
RESOLUCIÓN:
Se observa:2𝑏2
𝑎
= 4,5
⇒ 𝒄 = 𝟓
𝑪 = (𝟎; 𝟎)
Además:
𝑎2 +
9𝑎
4
= 25 ⇒ 𝒂 = 𝟒 y 𝒃 = 𝟑
La asíntota de pendiente negativa tiene por ecuación: 
𝐿2: −
4
3
=
𝑦
𝑥
CLAVE: A
Se cumple:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Reemplazando:
⇒ 𝑳𝟐: 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎
𝑋
𝑌
𝐹1 = (0; 5) 𝐹2 = (0;−5)Datos:
𝐹2
𝐹1
𝐶
𝑐
55
PROBLEMA 06
En la hipérbola 𝑥2 − 3𝑦2 = 6,
se ha trazado una cuerda
cuyo punto medio es 𝑀(4; 1).
Determine la ecuación de la
recta que contiene a dicha
cuerda.
𝐴) 4𝑥 − 3𝑦 − 13 = 0
𝐵) 3𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0
𝐶) 4𝑥 − 𝑦 − 15 = 0
𝐷) 5𝑥 − 3𝑦 − 17 = 0
𝐸) 3𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0
RESOLUCIÓN: Se observa:
𝑟2 − 3𝑠2 = 𝑡2 − 3𝑢2
𝑟2 − 3𝑠2 = 6
Igualando y
agrupando:
La recta L tiene por ecuación:
𝐿:
4
3
=
𝑦 − 1
𝑥 − 4
CLAVE: A
⇒ 𝑟2 − 𝑡2 = 3(𝑠2 − 𝑢2)
⇒ 𝑳: 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
𝒀
𝑿
𝐶(4; 0)
𝑀(4; 1)
𝐹2 𝐹1
𝑃(𝑟; 𝑠)
𝑄(𝑡; 𝑢)
𝑳
𝑡2 − 3𝑢2 = 6
⇒ (𝒓 + 𝒕)(𝑟 − 𝑡) = 3(𝒔 + 𝒖)(𝑠 − 𝑢)
⇒ (𝟖)(𝑟 − 𝑡) = 3(𝟐)(𝑠 − 𝑢) ⇒
4
3
=
𝒔 − 𝒖
𝒓 − 𝒕
⇒ 𝒎 =
4
3
56
𝒀
𝑿
𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 𝐿1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝐶(−1; 1)
𝑉1
𝑉2
PROBLEMA 07
Determine la ecuación de la
hipérbola cuyo eje conjugado
mide 6u, sus asíntotas son las
rectas de ecuaciones 𝐿1: 2𝑥 −
𝑦 + 3 = 0 y 𝐿1: 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0, y
su eje focal es paralelo al eje Y.
𝐴) 𝑦2 − 2𝑥2 − 4𝑦 − 6𝑥 − 43 = 0
𝐵) 𝑦2 − 6𝑥2 − 8𝑦 − 12𝑥 − 63 = 0
𝐶) 𝑦2 − 4𝑥2 − 2𝑦 − 8𝑥 − 39 = 0
𝐷) 𝑦2 − 4𝑥2 − 6𝑦 − 3𝑥 − 54 = 0
𝐸) 𝑦2 − 4𝑥2 − 8𝑦 − 8𝑥 − 48 = 0
RESOLUCIÓN:
Tenemos:
𝑪 = (−𝟏;𝟏)
𝑎
𝑏
= 2
𝐿1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
Luego:
⇒ 𝒂 = 𝟔
La ecuación de la hipérbola está dada por:
𝐻:
𝑦 − 1 2
62
−
𝑥 − −1
2
32
= 1
CLAVE: C
Además:
2𝑏 = 6
⇒ 𝑯:𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟖𝒙 − 𝟑𝟗 = 𝟎
𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
⇒ 𝒃 = 𝟑
Pero: