Secuencia 11_WenceslaoR

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 Hipérbola. 
 
Definición de Hipérbola 
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal forma que la 
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 
Identifica los elementos de la hipérbola anotando sus elementos principales en la 
gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro 
Vértices 
Focos 
Eje conjugado 
Eje transversal 
Asíntotas 
Intersecciones 
Lado recto 
Lado recto 
2 
 
Elementos de la hipérbola 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 𝑎 
𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 = 𝑏 
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 𝑐 
 
Excentricidad. 
Es la medida de la “redondez” o “alargamiento” que tiene la hipérbola. 
 
 
Su valor es mayor que 1. Cuando el valor de e se acerca a 1 la hipérbola se ve más 
“alargada”; cuando se aleja de 1 se ve más “redonda”. 
Longitud del lado recto 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
Relación importante 
Relación entre las longitudes de las longitudes de los semiejes transverso y conjugado 
con la distancia que hay de su centro a cada uno de los focos de una hipérbola 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
a
c
e =
3 
 
I. Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen. 
 
A). Ecuación de la Hipérbola con C (0, 0) y eje focal el eje X 
 
 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
Semieje transverso: a Lado Recto: 
Semieje conjugado: b 
Semi distancia focal: c Excentricidad: 
 
Asíntotas 
 
 
 
 
a
b
LR
22
=
a
c
e =
x
a
b
y = x
a
b
y −=
4 
 
B). Ecuación de la Hipérbola con C (0, 0) y eje focal el eje Y 
 
 
 
 
 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
Ejemplo 
Los extremos del eje conjugado de una hipérbola se localizan en los puntos B(0,5) y 
B´(0,-5) y la longitud de su lado recto es de 8 unidades. Determina los elementos 
característicos de la hipérbola, la ecuación ordinaria y su gráfica. 
Solución 
Por las características de las coordenadas de los extremos del eje conjugado se trata 
de una hipérbola con eje focal paralelo al eje X los extremos son de la forma 𝐵(0, 𝑏) y 
𝐵´(0, −𝑏) entonces 𝑏 = 5 
Para obtener el semieje transverso 𝑎 podemos utilizar el dato que nos dan del lado 
recto 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
2(5)2
𝑎
= 8 
8𝑎 = 50 
𝑎 =
50
8
=
25
4
= 6.25 
Ahora podemos hallar el lado c con la relación 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
x
b
a
y =x
b
a
y −=
5 
 
𝑐 = √(6.25)2 + (5)2 = 8.004 ≅ 8 
𝑐 ≅ 8 
Vértices 𝑉(−𝑎, 0) 𝑦 𝑉´(𝑎, 0) 
𝑉(−6.25,0) 𝑦 𝑉´(6.25,0) 
Focos 𝐹(−𝑐, 0) 𝑦 𝐹´(𝑐, 0) 
𝐹(−8,0) 𝑦 𝐹´(8,0) 
 
La ecuación es de la forma 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥2
(
25
4 )
2 −
𝑦2
25
= 1 → 
𝑥2
625
16
−
𝑦2
25
= 1 
𝑥2
39.06
−
𝑦2
25
= 1 
Excentricidad 𝑒 =
𝑐
𝑎
 
𝑒 =
8
6.25
= 1.28 
Asíntotas 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 
𝑦 =
5
1
25
4
𝑥 =
4
5
𝑥 
𝑦 =
4
5
𝑥 y 𝑦 = −
4
5
𝑥 
 
 
 
 
6 
 
Actividad 1. Resuelve los siguientes ejercicios 
1. Obtener la ecuación de la hipérbola con 𝐹(3, 0), 𝐹’(−3, 0) y eje transverso igual a 
4 
Datos 
Debido a las coordenadas del foco se puede determinar que su eje focal es X, de tipo 
𝐹(𝑐, 0) 𝑦 𝐹′(−𝑐, 0), por tanto 𝑐 = 3 
 
El eje transverso es 4 y de la forma 2𝑎, por tanto 𝑎 = 2 
Calculando 𝑏 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
32 = 22 + 𝑏2 
32 − 22 = 𝑏2 
9 − 4 = 𝑏2 
𝑏 = √5 
 
Elementos de la hipérbola 
𝐶(0,0) 
𝑉(2,0) 𝑉′(−2,0) 
𝐹(3,0) 𝐹′(−3,0) 
𝐵(0, √5) 𝐵′(0, −√5) 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
2(√5)
2
2
= 5 
𝑆𝐸𝑇 = 𝑎 = 2 
𝑆𝐸𝐶 = 𝑏 = √5 
𝑆𝐷𝐹 = 𝑐 = 3 
 
𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
2
= 1.5 
 
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 = ±
√5
2
 
 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥2
4
−
𝑦2
5
= 1 
 
 
 
 
7 
 
2. Obtener los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 𝑥2 − 4𝑦2 = −4 
Dividimos la ecuación entre −4, ordenamos y obtenemos 
 
𝑦2
1
−
𝑥2
4
= 1 
 
De acuerdo a la ecuación de la forma 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 se deduce que su eje focal es Y 
𝑎2 = 1 𝑎 = 1 
𝑏2 = 4 𝑏 = 2 
 
Calculando 𝑐 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑐2 = 12 + 22 
𝑐2 = 5 
𝑐 = √5 
 
Elementos de la hipérbola 
𝐶(0,0) 
𝑉(0,1) 𝑉′(0, −1) 
𝐹(0, √5) 𝐹′(0, −√5) 
𝐵(2,0) 𝐵′(−2,0) 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
2(22)
1
= 8 
𝑆𝐸𝑇 = 𝑎 = 1 
𝑆𝐸𝐶 = 𝑏 = 2 
𝑆𝐷𝐹 = 𝑐 = √5 
 
𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√5
1
= 2.24 
 
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 = ±
1
2
 
 
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
𝑦2
1
−
𝑥2
4
= 1 
 
 
 
 
8 
 
II. Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen 
 
A) Ecuación de la hipérbola con centro en 𝑪(𝒉, 𝒌) y eje trasverso paralelo al 
eje X 
 
 
 
 
 
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 Asíntotas 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) 
 
 
 
 
 
 
B) Ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k) y eje trasverso paralelo al eje 
Y 
 
 
 
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1 
 
 Asíntotas 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ) 
 
 
 
9 
 
Ejemplo 1 
El centro de una hipérbola está en (−3, 2), su distancia focal es de 10 unidades y uno 
de los vértices es el punto (1, 2). Hallar su ecuación y determinar las coordenadas de 
los focos y de los extremos del eje conjugado, así como las ecuaciones de sus asíntotas. 
Solución 
Al dibujar la información en el plano cartesiano se puede observar que se trata de una 
hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje de las X y considerando los datos que me dan 
se pueden hallar su ecuación y los datos faltantes 
𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(−3,2) 
𝑉(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉´(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉(−7,2) 𝑉´(1,2) 
𝐹(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹´(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹(−8,2) 𝐹´(2,2) 
𝐵(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝐵´(ℎ, 𝑘 − 𝑏) → 𝐵(−3, 5) 𝐵´(−3, −1) 
Para encontrar b se tiene que emplear la relación 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Sabemos que 𝑎 = 4 y 𝑐 = 5 
𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 
𝑏 = √52 − 42 = 3 
La ecuación de la hipérbola es 
(𝑥 + 3)2
42
−
(𝑦 − 2)2
32
= 1 
(𝑥 + 3)2
16
−
(𝑦 − 2)2
9
= 1 
Las ecuaciones de sus asíntotas son 
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) 
𝑦 − 2 =
3
4
(𝑥 + 3) y 𝑦 − 2 = −
3
4
(𝑥 + 3) 
10 
 
Simplificando quedan 
3𝑥 − 4𝑦 + 17 = 0 y 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 
Longitud de lado recto 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
𝐿𝑅 =
2(3)2
4
= 4.5 
Excentricidad 
𝑒 =
5
4
= 1.35 
 
Ejemplo 2 
Dada la ecuación de la hipérbola 4𝑥2 − 9𝑦2 − 16𝑥 − 54𝑦 − 101 = 0. Hallar los 
siguientes elementos: coordenadas del centro, vértices, focos y extremos de su eje 
conjugado (B, B´), la longitud de su lado recto, la excentricidad, las ecuaciones de sus 
asíntotas y dibuje su lugar geométrico. 
Solución 
Primero se tiene que escribir la ecuación en su forma ordinaria, agrupando y 
completando cuadrados 
(4𝑥2 − 16𝑥) − (9𝑦2 + 54𝑦) = 101 
4(𝑥2 − 4𝑥) − 9(𝑦2 + 6𝑦) = 101 
4(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 9(𝑦2 + 6𝑦 + 9) = 101 + 16 − 81 
4(𝑥 − 2)2 − 9(𝑦 + 3)2 = 36 
Dividiendo toda la ecuación por 36 
4(𝑥 − 2)2
36
−
9(𝑦 + 3)2
36
=
36
36
 
 
11 
 
Simplificando las fracciones 
(𝑥 − 2)2
9
−
(𝑦 + 3)2
4
= 1 
Se puede observar que la ecuación es una hipérbola con eje focal paralelo al eje X 
Semieje transverso 𝑎2 = 9 𝑎 = 3 
Semieje conjugado 𝑏2 = 4 𝑏 = 2 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √32 + 22 = √13 
Centro 𝐶(2, −3) 
Vértices 𝑉(2 − 3, −3) 𝑉´(2 + 3, −3) → 𝑉(−1, −3) 𝑉´(5, −3) 
Focos 𝐹(2 − √13, −3) 𝐹´(2 + √13, −3) 
Extremos 𝐵(2, −3 + 2) 𝐵´(2, −3 − 2) → 𝐵(2, −1) 𝐵´(2,−5) 
Longitud del lado recto 𝐿𝑅 =
2(2)2
3
=
8
3
= 2.66 
Excentricidad 𝑒 =
√13
3
= 1.2 
Ecuaciones de las asíntotas 
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) 
𝑦 − (−3) =
2
3
(𝑥 − 2) 
2𝑥 − 3𝑦 − 13 = 0 
𝑦 − (−3) = −
2
3
(𝑥 − 2) 
2𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 
 
 
 
12 
 
Actividad 2. Resuelve los siguientes ejercicios 
1. Obtener los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 𝑥2 − 9𝑦2 − 4𝑥 + 36𝑦 − 41 = 0 
Primero se tiene que escribir la ecuación en su forma ordinaria, agrupando y 
completando cuadrados 
(𝑥2 − 4𝑥) − (9𝑦2 − 36𝑦) = 41 
(𝑥2 − 4𝑥) − 9(𝑦2 − 4𝑦) = 41 
(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 9(𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 41 + 4 − 36 
(𝑥 − 2)2 − 9(𝑦 − 2)2 = 9 
Dividiendo toda la ecuación por 9 
(𝑥 − 2)2
9
−
9(𝑦 − 2)2
9
=
9
9
 
Simplificando las fracciones 
(𝑥 − 2)2
9
−
(𝑦 − 2)2
1
= 1 
Se puede observar que la ecuación es una hipérbola con eje focal paralelo al eje X y 
con ecuación 
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1 
Semieje transverso 𝑎2 = 9 𝑎 = 3 
Semieje conjugado 𝑏2 = 1 𝑏 = 1 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √32 + 12 𝑐 = √10 
Centro 𝐶(2,2) 
Vértices 𝑉(2 − 3,2) 𝑉´(2 + 3,2) → 𝑉(−1,2) 𝑉´(5,2) 
Focos 𝐹(2 − √10, 2) 𝐹´(2 + √10, 2) → 𝐹(−1.16,2) 𝐹′(5.16,2) 
Extremos 𝐵(2,2 + 1) 𝐵´(2,2 − 1) → 𝐵(2,3) 𝐵´(2,1) 
Longitud del lado recto 𝐿𝑅 =
2(1)2
3
=
2
3
= 0.67 
13 
 
Excentricidad 𝑒 =
√10
3
= 1.05 
Ecuaciones de las asíntotas 
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − 2) 
𝑦 − (2) =
1
3
(𝑥 − 2) 
𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 
𝑦 − (2) = −
1
3
(𝑥 − 2) 
𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2. Obtener los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 9𝑥2 − 16𝑦2 − 54𝑥 + 225 = 0 
Primero se tiene que escribir la ecuación en su forma ordinaria, agrupando y 
completando cuadrados 
(9𝑥2 − 54𝑥) − (16𝑦2) = −225 
9(𝑥2 − 6𝑥) − 16(𝑦2 − 0) = −225 
9(𝑥2 − 6𝑥 + 9) − 16(𝑦2 − 0) = −225 + 81 
9(𝑥 − 3)2 − 16(𝑦 − 0)2 = −144 
Dividiendo toda la ecuación por -144 
9(𝑥 − 3)2
−(16 ∗ 9)
−
16(𝑦 − 0)2
−(16 ∗ 9)
=
−144
−144
 
Simplificando las fracciones 
(𝑦 − 0)2
9
−
(𝑥 − 3)2
16
= 1 
Se puede observar que la ecuación es una hipérbola con eje focal paralelo al eje X y 
con ecuación 
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1 
Semieje transverso 𝑎2 = 9 𝑎 = 3 
Semieje conjugado 𝑏2 = 16 𝑏 = 4 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑐 = √32 + 42 𝑐 = 5 
Centro 𝐶(3,0) 
Vértices 𝑉(3,0 + 3) 𝑉´(3,0 − 3) → 𝑉(3,3) 𝑉´(3, −3) 
Focos 𝐹(3,0 + 5) 𝐹´(3,0 − 5) → 𝐹(3,5) 𝐹′(3, −5) 
Extremos 𝐵(3 − 4,0) 𝐵´(3 + 4,0) → 𝐵(−1,0) 𝐵´(7,0) 
Longitud del lado recto 𝐿𝑅 =
2(4)2
3
=
32
3
= 10.67 
Excentricidad 𝑒 =
5
3
= 1.67 
15 
 
Ecuaciones de las asíntotas 
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − 3) 
𝑦 − (0) =
3
4
(𝑥 − 3) 
3𝑥 − 4𝑦 − 9 = 0 
𝑦 − (0) = −
3
4
(𝑥 − 3) 
3𝑥 + 4𝑦 − 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
3. Una hipérbola tiene sus vértices en V(5,2) y V´(5,-2), sus focos en F(5,3) y 
F´(5,-3). 
Al posicionar los vértices y focos en el plano cartesiano podemos darnos cuenta 
que es una hipérbola con su eje focal en Y. 
Su ecuación es de la forma 
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1 y de acuerdo con 
 
 
 
 
 
 
a) Semieje transverso 
𝑘 + 𝑎 = 2 
0 + 𝑎 = 2 
𝑎 = 2 
b) Semieje conjugado 
Utilizando la relación 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
32 = 22 + 𝑏2 
32 − 22 = 𝑏2 
𝑏2 = 5 
𝑏 = √5 
c) Su centro 
Se puede deducir ℎ = 5 
Su distancia focal es 6 de la forma 2c por lo que 𝑐 = 3. Por tanto 
𝑘 + 𝑐 = 3 
𝑘 + 3 = 3 
𝑘 = 0 
 
Entonces 
𝐶(5,0) 
17 
 
d) Los extremos de su eje conjugado (B y B´) 
De la forma 𝐵(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝐵′(ℎ + 𝑏, 𝑘) 
𝐵(5 − √5, 0) → 𝐵(2.76,0) 
𝐵′(5 + √5, 0) → 𝐵′(7.24,0) 
e) Su ecuación en forma ordinaria 
(𝑦 − 0)2
4
−
(𝑥 − 5)2
5
= 1 
f) Las ecuaciones de sus asíntotas 
De la forma 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ) 
2𝑥 − √5y − 10 = 0 
2𝑥 + √5y − 10 = 0 
g) Su excentricidad 
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
2
= 1.5 
h) Longitud de lado recto 
𝐿𝑅 =
2(√5)
2
2
= 5 
i) Su gráfica en GeoGebra