9U4Ecuacion-ordinaria-de-una-elipse-vertical-con-centro--fuera-del-origen

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4 - 17 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 
 
ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA ELIPSE VERTICAL CON CENTRO 
FUERA DEL ORIGEN 
Si colocamos la elipse en un sistema de coordenadas, de manera que el eje 
focal sea paralelo al eje Y, tendremos lo que llamaremos una elipse vertical, con 
estas características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las coordenadas de A y A’ son: A(h - b, k) y A´(h+b, k). 
 Por tanto la longitud del eje menor de la elipse es AA’ = 2b 
 La relación entre las constantes de la elipse es a2 = b2 + c2; b es la longitud 
del semieje menor. 
 Para las constantes que la caracterizan: a  b y a  c. 
 Cada lado recto de la elipse mide 
a
b 22
. 
Esta elipse conserva todas las características propias de la curva que ya co-
nocemos, como: longitud de sus ejes, lado recto, distancia focal y excentricidad. 
Sólo ha cambiado la posición de los ejes, focos y vértices. 
Para obtener la ecuación ordinaria de la elipse vertical con centro fuera del 
origen, partimos nuevamente de la condición geométrica que define a la elipse: 
 
V´ 
V´ 
F 
F´ 
C 
A A’ 
 El eje focal es vertical, paralelo al 
eje Y. 
 El centro de la elipse tiene coorde-
nadas C(h, k). 
 Las coordenadas de los focos son 
F(h, k+c) y F´ (h, k - c) 
 La distancia focal es FF´ =2c 
 La constante a nuevamente es la 
distancia del centro a uno de los vérti-
ces. 
 Las coordenadas de los vértices 
son V(h, k+a) y V´(h, k - a) 
 El eje mayor mide 2a 
 La excentricidad es 
Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 18 
 
´PF PF 2a  
Suponemos que existe al menos un punto P(x, y) que cumple tal condición y 
efectuando un desarrollo similar al que realizamos para llegar a la ecuación ordi-
naria de la elipse horizontal, arribaríamos a la ecuación ordinaria de la elipse ver-
tical, que es: 
   
2 2
2 2
1
x h y k
b a
 
  ………………………………………….. (3) 
Escrita también en la forma 
   
2 22 2 1a x h b y k    …………………….. (4) 
 
 
 
Solución: 
La ecuación corresponde a una elipse ver-
tical (3) pues 64 > 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
La longitud del lado recto es 
22 50 25
8 4
b
a
  y la excentricidad 
39
0.78
8
c
e
a
   
La gráfica puede bosquejarse localizando en el sistema de coordenadas car-
tesianas los vértices, focos, los extremos del eje menor. Sobre cada foco encon-
Ejemplo 1 
Se tiene la ecuación 
Determinar qué tipo de elipse es, las 
coordenadas del centro, sus focos, sus 
vértices, longitud del lado recto, excentri-
cidad y bosquejar su gráfica. 
 
El centro está en C(0, 3), los focos son 
 y 
 
Los vértices son 
4 - 19 Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 
 
trar los extremos del lado recto. De esta manera tendremos ocho puntos que pue-
den darnos una idea aproximada de la curva, cuidando de redondear suavemente 
el trazo, de manera que la curva no tenga puntas ni quiebres bruscos. 
Y se vería así: 
 
Ejemplo 2 
Considerar la ecuación 
   
2 2
2 2
1
4 9
x y 
  
Determinar qué tipo de elipse es, las coordenadas del centro, sus focos, sus 
vértices, longitud del lado recto, excentricidad y bosquejar su gráfica. 
Solución: 
Nuevamente la ecuación corresponde a una elipse vertical con centro en 
 2, 2C   . 
2 29, 3; 4, 2a a b b    con lo que 9 4 5 2.23c     
Los focos son 
   
   
2, 2 2.23 2, 0.23 ,
´ 2, 2 2.23 ´ 2, 4.23
F F
F F
     
     
 
Los vértices son V(-2, -2+4)=V(-2, 2) y V´(-2, -2-4)=V´(-2,-6) 
La longitud del lado recto es 
22 2(4) 8
3 3
b
a
  y la excentricidad 
5
3
c
e
a
  
La gráfica puede bosquejarse localizando en el sistema de coordenadas car-
tesianas los vértices, focos, los extremos del eje menor. Sobre cada foco encon-
trar los extremos del lado recto. De esta manera tendremos ocho puntos que pue-
den darnos una idea aproximada de la curva, cuidando de redondear suavemente 
el trazo, de manera que la curva no tenga puntas ni quiebres bruscos. 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 20 
 
Y se vería así 
 
 
Ejercicio 1 
 
1. Obtener elementos faltantes, lado recto y la ecuación 
de la elipse si es horizontal, tiene su centro C(2, -4), un foco en F(-
2,-4) y su excentricidad es 
1
2
e  . 
Para cada una de las siguientes ecuaciones, encontrar las coordenadas del 
centro de la elipse, de los vértices y focos, así como las longitudes de los ejes y 
del lado recto, el valor de la excentricidad y bosquejar su gráfica. 
2. 1
49
)2(
36
)5( 22



 yx
 3. 1
7
)4(
16
)1( 22



 yx
 
 
Obtener la ecuación ordinaria de la elipse que cumple las condiciones dadas 
en cada inciso: 
3. Sus focos están en los puntos (5,4) y (-5,4) y la longitud de su eje menor 
es 6 unidades. 
4. Sus vértices son los puntos (2,1) y (8,1) y cada lado recto mide 
3
2
. 
5. Sus focos son (-3,2) y (-3,-6) y su excentricidad es 
2
1
. 
6. Su centro es el punto (2,-1), uno de sus vértices es (2,3) y uno de los 
focos es (2,0). 
7. Tiene sus vértices en (2,3) y (-4,3) y un foco en (0,3). 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-5 -4 -3 -2 -1 0