Copia de Clase 6 2 - Patricia Torres

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TEMA:TEOREMA DEL RESTO,TEOREMA 
DEL FACTOR, DIVISIBILIDAD, COCIENTES 
NOTABLES.
TEORIA DE POLINOMIOS
2021-2
6.2
PREUNIVERSITARIO
2
TEOREMA DEL RESIDUO
3
TEOREMA DEL RESIDUO
(Teorema de R.Descartes)
Donde: p(x): Es el polinomio dividendo; 
x+a: Es el polinomio divisor de primer grado; 
-a : Es la raíz o cero del divisor; 
r(x): Es el residuo de la división algebraica; 
p(-a): Es el valor de evaluar p(x) en x=-a 
Del algoritmo de la división:
p(x)=(𝑎 x+b)q(x)+c : “c” es el residuo constante
⇒ Asignando: x = −
𝑏
𝑎
: p(−
𝑏
𝑎
)=[ 𝑎(−
𝑏
𝑎
)+b)]q(−
𝑏
𝑎
) + c
⇒ p(−
𝑏
𝑎
)= [−𝑏 + 𝑏]q(−
𝑏
𝑎
)+c ⇒ p(−
𝑏
𝑎
)= c ; c=r(x)
=0
∴ r(x)= p(−
𝑏
𝑎
) “ El residuo de la división equivale al valor del polinomio evaluado en −
𝑏
𝑎
"
Sea la división:
p(x)÷(𝑎x+b) → r(x)=p(−
𝑏
𝑎
); 𝑎 ≠ 0
4
Para hallar el residuo de la división:
TEOREMA DEL RESIDUO/ (Mnemotecnia)
1. Igualar a cero el divisor: 
2. Sustituir en el dividendo D x la expresión obtenida de (1)., tantas veces 
como sea necesaria hasta obtener un polinomio de grado tal que: GA(d(x))-1.
3. El polinomio obtenido en 2. será el residuo buscado.
D(x) ÷ 𝑑(𝑥)
𝑑 𝑥 = 0
5
Mediante el teorema del residuo: 
Igualando a cero el divisor:
D(x)= x + 1 ⇒ x+1=0 ⇒ x=−1 (Raíz del divisor; cero del divisor)
Evaluando P(x) mediante la raíz del divisor: x=-1
TEOREMA DEL RESIDUO/ EJEMPLO 01
Ejemplo
r x = P −1 = 4 −1 4 + 2 −1 3 + 6 −1 2 + 5 −1 + 9
r x = 4 − 2 + 6 − 5 + 9 =12 
∴r x =12 
Determine el residuo de dividir:
( 4x4 + 2x3 + 6x2 + 5𝑥 + 9) ÷ ( x + 1)
Solución.
6
Mediante el teorema del residuo:
Igualando a cero el divisor:
D(x)= 2x + 1 ⇒ 2x+1=0 ⇒ x=−
1
2
Evaluando P(x) mediante la raíz del divisor: x=−
1
2
TEOREMA DEL RESIDUO/ EJEMPLO 02
Ejemplo
r x = P −
1
2
= 4 −
1
2
4
+ 2 −
1
2
3
+ 6 −
1
2
2
+ 5 −
1
2
+ 9
r x =
1
4
−
1
4
+
3
2
−
5
2
+ 9 = 8
∴r x = 8
Determine el residuo de dividir:
( 4x4 + 2x3 + 6x2 + 5𝑥 + 9) ÷ ( 2x + 1)
Solución.
7
Grado del residuo máximo: gr(R)𝑚𝑎𝑥 = 2
0
Mediante el teorema del residuo: 
Igualando a cero el divisor:
D(x)=x3 + 10 ⇒ x3 + 10 =0 ⇒ x3 = −10
Arreglos en el dividendo, para sustituir: x3 = −10
P x = 4(x3)𝑥 + 2(x3) + 6x2 + 5𝑥 + 9
r x = 4(−10)𝑥 + 2(−10) + 6x2 + 5𝑥 + 9
r x = 4(−10)𝑥 + 2(−10) + 6x2 + 5𝑥 + 9
TEOREMA DEL RESIDUO/ EJEMPLO 03
Ejemplo
∴ r x = 6x2 − 35𝑥 − 11
Determine el residuo de dividir:
( 4x4 + 2x3 + 6x2 + 5𝑥 + 9) ÷ ( x3 + 10)
Solución.
8
TEOREMA DEL FACTOR 
9
TEOREMA DEL FACTOR
(Teorema de Etienne Bezout)
   " " es raíz de ( ), ( ) 0 ( ) es un factor de ( ) .x a p x p x x a p x   
De otro modo:
   es raízde ( ) ( ) ( ). ( )x a p x p x x a q x   
   es raízde ( ) ( ) ( ) . ( )mx a p x p x x a q x   
   ( ) 0 es raíz ( ) ( ). ( )p a x a p x x a q x     
   ( ) 0 es raíz ( ) ( ) . ( )mp a x a p x x a q x     
ENUNCIADO:
o Dado el polinomio P(x): (𝐱 − 𝐚) es un factor de P(x) si y solo si 𝐏 𝐚 = 𝟎.
   raícesde ( ) ( ) ( )(x b). ( )x a y x b Son p x p x x a q x     
10
P x = x5 + 2x4 − 3x3 − 6x2 + 5x + 10
Sea: x= − 2
Evaluando mediante el algoritmo de Ruffini: 
TEOREMA DEL FACTOR / Ejemplo 01
Ejemplo: Sea el polinomio P(x)
Tambien: Si P −2 = 0 → x + 2 es un factor de P(x)
Concluimos que x=− 2 es una raíz de P(x) 
⇒(x+2) Es un factor de P(x) ⇒P x = x + 2 Q x
⇒P x = x + 2 (x4−3x2 + 5)
⇒ P −2 = 0
11
Sea: x= − 1: P −1 = 1 − 16 + 86 − 176 + 105 = 0
⇒ P −1 = 0 ⇒x = −1 Es una raíz
⇒(x+1) Es factor de P(x) 
Sea: x= − 3: P −3 = 81 − 432 + 774 − 528 + 105 = 0
⇒ P −3 = 0; x = −3 Es una raíz
⇒(x+3) Es factor de P(x)
⇒(x+1) y (x+3) Son factores de P(x)
⇒ P(x)= (x+1)(x+3) q(x)
TEOREMA DEL FACTOR / Ejemplo 02
Ejemplo: Sea el polinomio: P x = x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 105
12
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
13
Sean los polinomios P(x), A(x) ∈ K x Se dice que el Polinomio P(x) es 
divisible por A x ≠ 0, si existe otro Polinomio Q(x) ∈ K x , tal que: 
P(x) = A(x) . Q(x)
Ejemplo
Si: P x = x6 + 27 es divisible por , x2 +3
Por existir Divisibilidad:
⇒ P x = (x2+3)𝑄 𝑥
Definición:
⇒ 𝑃 𝑥 = (x2+3)(x4 − 3x2 + 9)
*Suma de Cubos: x6 + 27 = (x2+3)(x4 − 3x2 + 9)
14
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS/TEOREMAS
3). Si P 𝒙 Es divisible por 𝑨(𝒙)
Si P 𝒙 Es divisible por B(𝒙)
⇒P 𝒙 Es divisible por[𝑨 𝒙 𝑩 𝒙 ]
1). Si el resto de P 𝒙 ÷(𝒙 + 𝒂) es 
Si el resto de P 𝒙 ÷(𝒙 + 𝒃) es 
⇒El resto de P 𝒙 ÷(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) es ; 𝒂 ≠ 𝒃
2). Si P 𝒙 Es divisible por(𝒙 + 𝒂)
Si P 𝒙 Es divisible por(𝒙 + 𝒃)
⇒P 𝒙 Es divisible por[ 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 ]
15
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS /TEOREMAS
4) Si A(x) y B(x) son divisibles por h(x), entonces la suma , la diferencia ,el producto y 
las combinaciones lineales de A(x) y B(x) son divisibles por C(x). 
5) Si A(x) es divisible por B(x) y B(x) es divisible por C(x) entonces A(x) es 
divisible por C(x). 
Sean los polinomios A, B y C ∈ K x ; Se verifican las siguientes proposiciones:
6) Si A(x) es divisible por B(x) , entonces el producto de A(x) por cualquier otro
polinomio C(x) es divisible por B(x). 
7) Si A(x) es divisible separadamente por (x-a), (x-b), (x-c) (𝐚 ≠ 𝐛 ≠ 𝐜) si y solo 
si: A(x) es divisible por [(x-a)(x-b)(x-c)] . 
16
Sustento: Del enunciado obtendremos las igualdades: 
⇒ A(x)=C(x)Q(x)………………………………………..(1) 
⇒ B(x)=C(x)q(x)…………………………………….....(2)
⇒ A(x)=B(x)U(x)+r(x)………………………………..(3)
Donde: r(x) es el residuo de la división de A(x)÷B(x)
Sustituyendo (1) y (2) en (3):
⇒ C(x)Q(x)=C(x)q(x)U(x)+r(x)……………………....(4) 
⇒ r(x)=C(x)Q(x) − C(x)q(x)U(x) 
⇒ r(x)=C(x) [Q(x) − q(x)U(x) ] ……………………..(5)
Esta última igualdad (5) expresa que r(x) es divisible entre C(x)
. 
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS / TEOREMA
8) Si A(x) es divisible por C(x) y B(x) es divisible por C(x); A(x) no es divisible por 
B(x); Entonces el residuo de A(x)÷B(x) es divisible entre C(x).
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LA DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS / Ejemplo
Ejemplo: Sean los polinomios:
A x = x5 − 8x3 − 9x Divisible por x2+1
B x = x4 − 24x2 − 25 Divisible por x2+1
A(x) No es Divisible por B(x)
⇒El residuo de A(x)÷B(x) Es divisible por x2+1
El cual es verificable también mediante la división corriente: 
= 𝟏𝟔 𝐱(𝒙𝟐+𝟏)
18
COCIENTES NOTABLES (CN)
19
COCIENTES NOTABLES (CN)
Definición: Son las divisiones algebraicas exactas de cociente y residuo inmediato
Forma : Los cocientes notables provienen de las divisiones de la forma:
𝑥𝑛±𝑎𝑛
𝑥±𝑎
; 𝑛 ∈ ℕ
El cociente: Es un polinomio ordenado de n términos, completo y de grado (𝑛 − 1)
Casos: Mediante la definición de CN tendremos los casos de residuo cero o exactos:
Caso I. 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
,𝑛𝑁
Caso II. 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
,𝑛𝑁 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Caso III.
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥+𝑎
,𝑛𝑁 𝑝𝑎𝑟
Caso IV.
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥−𝑎
,𝑛𝑁 No es cociente notable.
El Residuo: Se determina mediante el Teorema del Residuo.
20
COCIENTES NOTABLES (CN)
ESTUDIO DE LOS CASOS I y II.
Caso I. 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
("Diferencia entre diferencia")
El Residuo mediante Descartes : 𝑥 − 𝑎=0 ⇒x=a .En el Dividendo: 𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛=0 ⇒r=0
El cociente de coeficientes positivos lo determinamos mediante la regla de Ruffini: 
⇒
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
= 𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2+𝑥𝑛−4𝑎3 + ⋯ 𝑎𝑛−1
Caso II. 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
("Suma entre Suma")
El Residuo mediante Descartes : 𝑥 + 𝑎=0 ⇒x= − 𝑎. En el Dividendo: 𝑟 = 𝑎𝑛 + (−𝑎)𝑛=0 ⇒r=0; n 
impar 
El cociente de coeficientes de signos alternantes lo determinamos mediante la regla de Ruffini: 
⇒
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
= 𝑥𝑛−1−𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 − 𝑥𝑛−4𝑎3 + ⋯ +𝑎𝑛−1
21
COCIENTES NOTABLES (CN)
ESTUDIO DE LOS CASOS III y IV.
Caso III. 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥+𝑎
("Diferencia entre Suma")
El Residuo mediante Descartes : 𝑥 + 𝑎=0 ⇒x= − 𝑎 .En el Dividendo: 𝑟 = 𝑎𝑛 − (−𝑎)𝑛=0 ⇒r=0; n par
El cociente de coeficientes de signos alternantes lo determinamos mediantela regla de Ruffini: 
⇒
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥 +𝑎
= 𝑥𝑛−1−𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 − 𝑎3 + ⋯ −𝑎𝑛−1
Caso IV. 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥−𝑎
"Suma entre Diferencia " 𝐍𝐎 𝐄𝐒 𝐂𝐎𝐂𝐈𝐄𝐍𝐓𝐄 𝐍𝐎𝐓𝐀𝐁𝐋𝐄 !
El Residuo mediante Descartes : 𝑥 − 𝑎=0 ⇒x=𝑎. En el Dividendo: 𝑟 = 𝑎𝑛 + (𝑎)𝑛=2𝑎𝑛 ⇒r=2𝑎𝑛; 
El cociente de coeficientes de signos positivos lo determinamos mediante la regla de Ruffini: 
⇒
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥−𝑎
= 𝑥𝑛−1+𝑎𝑥𝑛−3𝑎2 + 𝑥𝑛−4𝑎3 + ⋯ +𝑎𝑛−1 +
2𝑎𝑛
𝑥−𝑎
22
Caso V (Especial) : 
𝑥𝑚±𝑎𝑝
𝑥𝑞±𝑎𝑟
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
= (𝑥𝑞)𝑛−1 +(𝑥𝑞)𝑛−2(𝑎𝑟) + (𝑥𝑞)𝑛−3 (𝑎𝑟)2+ ⋯ (𝑎𝑟)𝑛−1
Condición necesaria pero no suficiente para ser un CN: 
𝑥𝑚±𝑎𝑝
𝑥𝑞±𝑎𝑟
⇒
𝑚
𝑞
=
𝑝
𝑟
= 𝑛 ( 𝑛 número de términos del CN 𝑛 ∈ ℕ)
Casos excluidos: 
o
𝑥𝑚+𝑎𝑝
𝑥𝑞+𝑎𝑟
⇒
𝑚
𝑞
=
𝑝
𝑟
= 𝑛 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟 ;
o
𝑥𝑚+𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
⇒
𝑚
𝑞
=
𝑝
𝑟
= 𝑛 ; 𝑛𝑁 ;
o
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞+𝑎𝑟
⇒
𝑚
𝑞
=
𝑝
𝑟
= 𝑛 ; 𝑛 𝑝𝑎𝑟
COCIENTES NOTABLES(CN)
ESTUDIO DEL CASO V.
23
I) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
; n ∈ ℕ
II) 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; n impar
𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑎n−1 + 𝑎𝑛−1
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑎n−1 − 𝑎𝑛−1
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 + ⋯ − 𝑥𝑎n−1 + 𝑎𝑛−1
𝑡𝑘 = 𝑥
𝑛−𝑘𝑎𝑘−1 ; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑡𝑘 = (−1)
𝑘+1𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘−1; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑡𝑘 = (−1)
𝑘+1𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘−1; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Caso Cociente Término general
COCIENTES NOTABLES(CN).
III) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; n par
Iv)
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
; n ∈ ℕ 𝑡𝑘 = (𝑥
𝑞)𝑛−𝑘(𝑎𝑟)𝑘−1; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + 𝑥𝑛−3𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑎n−1 + 𝑎𝑛−1
ESTUDIO DEL TÉRMINO GENERAL DEL COCIENTE NOTABLE
24
I) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
; ⇒
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
⇒ 𝑛: 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟: 𝑡𝐶 = 𝑡𝑛+1
2
Ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
;
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
⇒ 𝑛: 𝑃𝑎𝑟: 𝑡𝑐
𝐼 = 𝑡𝑛
2
; 𝑡𝑐
𝐼𝐼 = 𝑡𝑛
2
+1
𝐷𝑜𝑠 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
II) 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; ⇒
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
⇒ 𝑛: 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟: 𝑡𝐶 = (−1)
𝑛+1
2
+1𝑡𝑛+1
2
Ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
Caso Término Central
COCIENTES NOTABLES(CN).
III) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; ⇒
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥 +𝑎
⇒ 𝑛: 𝑃𝑎𝑟: 𝑡𝑐
𝐼 = (−1)
𝑛
2𝑡𝑛
2
; 𝑡𝑐
𝐼𝐼 = (−1)
𝑛
2
+1𝑡𝑛
2
+1
𝐷𝑜𝑠 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ;𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠
ESTUDIO DE LOS TÉRMINOS CENTRALES DEL COCIENTE NOTABLE
Iv) 
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
; ⇒
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
⇒ 𝑛: 𝐼𝑚𝑝𝑎𝑟: 𝑡𝐶 = 𝑡𝑛+1
2
Ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
;
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
⇒ 𝑛: 𝑃𝑎𝑟: 𝑡𝑐
𝐼 = 𝑡𝑛
2
; 𝑡𝑐
𝐼𝐼 = 𝑡𝑛
2
+1
𝐷𝑜𝑠 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠;𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠
25
 1 e 1
:
; inos tan
m m
m q q q m q
q q
x y
m Z Exacto
x y
t x y t x y Térm Equidis tes

   
 
   
 
  
TÉRMINOS EQUIDISTANTES EN EL COCIENTE  , eq qt t
e
4 4
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
3 3
tt
t et
x x y x y x y x y x y x y xy y        
Son equidistantes los términos: 𝑡3 y 𝑡3
𝑒 ; 𝑡4 y 𝑡4
𝑒
Ejemplo: Sea el CN: 
9 9x y
x y


26
I) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
; n ∈ ℕ
II) 
𝑥𝑛+𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; n Impar
𝑡𝑘 = 𝑥
𝑛−𝑘𝑎𝑘−1 ; 𝑡𝑘
𝑒 = 𝑥𝑘−1𝑎𝑛−𝑘; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑡𝑘 = (−1)
𝑘+1𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘−1; 𝑡𝑘
𝑒 = (−1)𝑘+1𝑥𝑘−1𝑎𝑘−1 ; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Caso Términos Equidistantes
COCIENTES NOTABLES(CN).
III) 
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥+𝑎
; n Par
ESTUDIO DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES DEL COCIENTE NOTABLE
Iv)
𝑥𝑚−𝑎𝑝
𝑥𝑞−𝑎𝑟
; n ∈ ℕ
 , eq qt t
𝑡𝑘 = (−1)
𝑘+1𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘−1; 𝑡𝑘
𝑒 = (−1)𝑘+1𝑥𝑘−1𝑎𝑛−𝑘 ; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑡𝑘 = (𝑥𝑞)𝑛−𝑘(𝑎𝑟)𝑘−1 ; 𝑡𝑘
𝑒 = (𝑥𝑞)𝑘−1(𝑎𝑟)𝑛−𝑘; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛