Cobordismo-y-el-teorema-de-Thom-Pontryagin

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
COBORDISMO Y EL TEOREMA 
DE THOM-PONTRYAGIN
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICO
P R E S E N T A :
JAIME GUTIÉRREZ SOSA
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. CARLOS PRIETO DE CASTRO
2016
usuario
Texto escrito a máquina
CIUDAD UNIVERSITARIA, CDMX
 
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Hoja de datos del jurado
1. Datos del alumno
Gutiérrez
Sosa
Jaime
55 28 86 57 12
Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
Matemáticas
409069505
2. Datos del tutor
Dr. 
Carlos
Prieto
de Castro
3. Datos del sinodal 1
Dr.
Mario
Eudave 
Muñoz
4. Datos del sinodal 2
Dr.
Oscar Alfredo
Palmas
Velasco
5. Datos del sinodal 3
Dra.
Laura
Ortiz
Bobadilla
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Pablo 
Suárez 
Serrato
7. Datos del trabajo escrito
Cobordismo y el teorema de Thom-Pontryagin
75 p
2016 
Introducción
La teoŕıa de cobordismo estudia las variedades diferenciables módulo la
relación de cobordismo, esta relación consiste en lo siguiente. Dos variedades
cerradas n-dimensionales son cobordantes si hay una (n+ 1)-variedad com-
pacta tal que su frontera es la unión ajena de las primeras dos variedades.
Ser ”cobordantes” es una relación de equivalencia. Al conjunto de clases de
equivalencia de variedades cerradas n-dimensionales lo denotamos por Nn,
éste es un grupo abeliano con la suma dada por la unión ajena y se le llama
grupo de cobordismo de dimensión n. La noción de cobordismo fue definida
por Poincaré a finlaes del siglo XIX pero fue estudiada con mas énfasis hasta
los años 40’s. Hay varias razones para estudiar la teoŕıa de cobordismo, una
de ellas es su relación con la teoŕıa de clases caracteŕısticas. Otra razón es
que es una manera de clasificar variedades; se sabe que no es posible clasifi-
car variedades salvo homeomorfismo para dimensión mayor o igual a cuatro,
entonces intentar clasificar variedades salvo cobordismo parece ser una cosa
razonable.
Hasta los años 50’s se hab́ıan calculado algunos grupos de cobordismo
para dimensiones bajas. En 1954 René Thom resolvió el problema comple-
tamente en su art́ıculo ?, ya que demostró que los grupos de cobordismo
son isomorfos a los grupos de homotoṕıa de los ahora llamados espacios de
Thom del haz universal, concretamente probó que
Nn ∼= πn+k(T (γkr )). (1)
Para k y r suficientemente grandes, donde γkr denota al haz universal y T
su espacio te Thom. El objetivo principal de este trabajo es dar una prueba
de este teorema, basada principalmente en ? y (?). Casi al mismo tiem-
po Pontryagin demostró un resultado muy parecido que da un isomorfismo
entre grupos de homotoṕıa de esferas y grupos de cobordismo enmarcado
(éste es un cobordismo entre variedades con haz normal trivial). Finalmen-
te en el último caṕıtulo se da una generalización de ??, que es el llamado
teorema de Thom-Pontryagin. En éste se define otra noción de cobordismo,
que llamamos (B, f) cobordismo y es una noción de cobordismo en el que
las variedades que consideramos tienen alguna estructura en su haz normal.
iii
iv INTRODUCCIÓN
Algunos casos particulares de éste, son el cobordismo enmarcado y el cobor-
dismo con orientación.
El trabajo está organizado de la siguiente manera. En el primer caṕıtulo
se habla de variedades diferenciables y se prueban algunos resultados básicos
como el teorema del rango. En el caṕıtulo dos se habla de haces vectoriales,
se define el haz universal y se prueban algunos resultados sobre éste. En el
caṕıtulo tres se prueba el teorema de aproximación de Whitney, aśı como
el teorema de transversalidad, que son escenciales para dar la prueba de
??. En el caṕıtulo cuatro se habla de cobordismo, se definen los espacios
de Thom y se da la prueba de ??. En el caṕıtulo cinco se habla de las
estructuras (B, f) y se prueba el teorema de Thom-Pontryagin (este caṕıtulo
esta basado principalmente en ?). Finalmente quisiera mencionar que la
teoŕıa de cobordismo se ha seguido desarrollando hasta la fecha y es de gran
importancia en topoloǵıa. Por mencionar un ejemplo, diremos que utilizando
el llamado h-cobordismo, S. Smale demostró la conjetura de Poincaré para
dimensión mayor o igual a cinco.
Índice general
Introducción III
1. Variedades diferenciables 3
1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. El espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Definición del espacio tangente . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. El espacio tangente geométrico a Rn . . . . . . . . . . 10
1.3.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Algunas consecuencias del teorema de la función inversa . . . 16
2. Haces vectoriales 21
2.1. Haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. El haz pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Haces vectoriales diferenciables y métricas riemannianas . . . 28
2.4. El haz tangente y el haz normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5. Grasmannianas y el haz universal . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. El teorema de homotoṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Teoremas de aproximación 41
3.1. El teorema de la vecindad tubular . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. El teorema de aproximación de Whitney . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. El homomorfismo de Thom y cobordismo 51
4.1. Cobordismo y espacios de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. El homomorfismo de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. El teorema de Thom-Pontryagin 59
5.1. Estructuras (B,f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2. Cobordismo en variedades con estructura (B,f) . . . . . . . . 61
5.3. Demostración del teorema de Thom-Pontryagin . . . . . . . . 64
1
2 ÍNDICE GENERAL
A. Topoloǵıa 69
A.1. Grupos de homotoṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2. Grupos topológicos y de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Caṕıtulo 1
Variedades diferenciables
1.1. Variedades diferenciables
Diremos que un mapeo Rn ⊃ U f−→ Rm es diferenciable o liso si es de
clase C∞, es decir todas sus derivadas parciales existen y son continuas.
Definición 1.1.1. Decimos que un espacio topológico M es una variedad
topológica n-dimensional si es de Hausdorff con una base numerable para su
topoloǵıa y es localmente homeomorfo a Rn. La última condición se puede
decir también de la siguiente forma, para todo p ∈ M hay una vecindad
abierta U de p y un homeomorfismo ϕ : U −→ U ′ ⊂ Rn, donde U ′ es un
abierto.
Si M es una variedad topológica n-dimensional, se dice que es una n-
variedad y se denota con Mn o simplemente con M si no nos interesa poner
énfasis en la dimensión de la variedad.
Definición 1.1.2. Si Mn es una variedad topológica y ϕ : U −→ U ′ ⊂ Rn
es el homeomorfismo de la vecindad abierta U ⊂M a U ′ ⊂ Rn, entonces ϕ
es una carta de M y U es el dominio de la carta, esta carta se denota con
(U,ϕ).
Definición 1.1.3. Una colección de cartas {(Uα, ϕα)}α∈Ase llama un atlas
de M si
⋃
α∈A
Uα = M .
Dadas dos cartas ϕα : Uα −→ U ′α y ϕβ : Uβ −→ U ′β tales que Uα∩Uβ 6= ∅
definimos la transformación de cartas como ϕαβ := ϕβ ◦ ϕ−1α .
Uα ∩ Uβ
Rn ⊃ U ′α ⊃ ϕα(Uα ∩ Uβ) ϕβ(Uα ∩ Uβ) ⊂ U ′β ⊂ Rn
............................................................................................................................................................................................................................
....
............
ϕα
............................................................................................................................................................................................................................ ........
....
ϕβ
........................................................................................................... .......
.....
ϕαβ
3
4 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Observemos que las transformaciones de cartas son funciones de abiertos en
Rn a Rn, entonces se puede hablar de diferenciabilidad, ésto nos permite
definir lo siguiente.
Definición 1.1.4. Decimos que un atlas es diferenciable si todas sus
transformaciones de cartas son diferenciables.
En un atlas diferenciable las transformaciones de cartas son difeomorfis-
mos pues ϕαγ = ϕβγ ◦ ϕαβ y ϕαα = Id ⇒ ϕαβ ◦ ϕβα = Id, análogamente
ϕβα ◦ ϕαβ = Id.
Definición 1.1.5. Decimos que un atlas diferenciable {(Uα, ϕα)}α∈A de
M es máximo si dada una carta (U,ϕ) en M tal que U ∩Uα 6= ∅ y además
ϕ ◦ ϕ−1α y ϕα ◦ ϕ−1 son lisas, entonces (U,ϕ) está en el atlas.
Definición 1.1.6. Una estructura diferenciable en una variedad topológica
es un atlas diferenciable máximo. Una variedad lisa (o diferenciable) es
una variedad topológica con una estructura diferenciable.
Definición 1.1.7. Sean Mm y Nn variedades lisas, decimos que f : Mm →
Nn es un mapeo liso si para todo x ∈Mm existen cartas (U,ϕ), (V, ψ) de
Mm y Nn respectivamente, con x ∈ U y f(x) ∈ V tales que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 :
ϕ(U ∩ f−1(V )) ⊂ Rm −→ Rn es una función lisa.
Definición 1.1.8. Un difeomorfismo entre las variedades lisas M y N es
un mapeo liso y biyectivo f : M → N tal que tiene un inverso liso.
Observemos que si M es una variedad lisa y U ⊂ M un subconjunto
abierto, éste tiene estructura de variedad lisa pues tenemos que
A := {(W ∩ U,ϕ|(W ∩ U)) | (W,ϕ) es carta de M y W ∩ U 6= ∅}
es un atlas diferenciable de U .
Definición 1.1.9. Sea M una variedad lisa, un subconjunto abierto U ⊂M
se llama subvariedad abierta de M .
Definición 1.1.10. Dada una variedad lisa Mn+k, decimos que un subcon-
junto N ⊂ Mn+k es una subvariedad n-dimensional, si para todo punto
p ∈ N hay una carta (U,ϕ) del atlas máximo de M tal que p ∈ U , ϕ se ve
como
ϕ : U → U ′ ⊂ Rn+k = Rn × Rk
y cumple que
ϕ(N ∩ U) = U ′ ∩ Rn.
1.2. PARTICIONES DE LA UNIDAD 5
Llamamos codimensión de la subvariedad N al número k = dim(M)−
dim(N). Observemos que hay una estructura diferenciable canónica en la
subvariedad N dada por las cartas (N ∩U,ϕ|(N ∩U)) para cualquier carta
(U,ϕ) de M .
Consideremos los siguientes subespacios de Rn:
Hn := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | xn ≥ 0} ⊂ Rn
IntHn := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | xn > 0}
∂Hn := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | xn = 0}
Definición 1.1.11. 1. Decimos que M es una n-variedad topológica
con frontera si es un espacio topológico localmente homeomorfo a
Hn con la topoloǵıa de subespacio de Rn, es decir, para todo x ∈ M
hay una vecindad abierta U y un homeomorfismo ϕ : U → U ′ ⊂ Hn
tal que U ′ es abierto de Hn.
2. Una variedad topológica con frontera M es diferenciable (o lisa) si
sus transformaciones de cartas son diferenciables.
Definición 1.1.12. Sea W una variedad con frontera y (U,ϕ) una carta en
x ∈W , decimos que x es un punto interior si ϕ(x) ∈ Int(Hn) y que x es
un punto frontera si ϕ(x) ∈ ∂Hn, ∂W denota los puntos frontera de W y
Int(W ) los puntos interiores.
Proposición 1.1.13. Si W es una (n + 1)-variedad con frontera, ∂W es
una n-variedad.
Definición 1.1.14. Decimos que una variedad es cerrada si es compacta
y sin frontera.
1.2. Particiones de la unidad
Dada una función f : X → R con X un espacio topológico, definimos el
soporte de f como sopf := {p ∈ X | f(p) 6= 0}
Definición 1.2.1. Sea X un espacio topológico. Una familia {τα}α∈A de
funciones continuas τα : X → [0, 1] se llama partición de la unidad si
para cada x ∈ X hay una vecindad en la que sólo un número finito de los
τα son distintos de cero y para toda x ∈ X se tiene que
∑
α∈A
τα(x) = 1. La
partición de la unidad es lisa si las funciones τα : X → [0, 1] son lisas.
Definición 1.2.2. Una partición de la unidad de un espacio topológico X,
se dice que está subordinada a una cubierta dada de X si para cada α el
soporte de τα está contenido en alguno de los elementos de la cubierta.
6 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
La finalidad de esta sección es probar que para toda cubierta abierta
de una variedad lisa, hay una partición de la unidad lisa subordinada a
la cubierta. Para ésto daremos primero algunas definiciones y probaremos
algunos lemas.
Definición 1.2.3. Sea X un espacio topológico. Una colección U de subcon-
juntos de X es localmente finita si todo punto x ∈ X tiene una vecindad
que interseca sólo a un número finito de elementos de U .
Proposición 1.2.4. Si U es una cubierta abierta de X tal que cada elemento
de U interseca solamente a un número finito de elementos de U , entonces U
es localmente finita.
Definición 1.2.5. Dada una cubierta abierta U = {Uα}α∈A de un espacio
topológico X, otra cubierta abierta V = {Vα}β∈B se llama refinamiento de
U si para cada Vβ ∈ V hay un Uα ∈ U tal que Vβ ⊂ Uα.
Definición 1.2.6. Un espacio topológico X es paracompacto si toda cu-
bierta abierta de X admite un refinamiento localmente finito.
Definición 1.2.7. Un espacio topológico Hausdorff X es localmente com-
pacto si todo x ∈ X tiene una vecindad compacta.
En adelante denotamos con Bε(x) a la bola abierta de radio ε y centro
en x.
Proposición 1.2.8. Toda variedad topológica es localmente compacta.
Demostración. Sea M una n-variedad topológica y x ∈ M , entonces hay
un abierto U tal que ϕ : U → U ′ es un homeomorfismo con U ′ abierto
en Rn. Observemos que para algún ε > 0 se tiene que Bε(ϕ(x)) ⊂ U ′,
además Bε(ϕ(x)) es cerrado y acotado en Rn, entonces es compacto por
el teorema de Heine-Borel. Entonces tenemos que ϕ−1(Bε(ϕ(x))) es una
vecindad compacta de x pues ϕ es homeomorfismo.
Definición 1.2.9. Dada una cubierta abierta U = {Wβ}β∈B de una va-
riedad lisa M decimos que un atlas
{
ϕα : Vα → V
′
α
}
α∈N
es un buen atlas
subordinado a la cubierta U si tiene las siguientes propiedades:
1. {Vα}α∈N es un refinamiento localmente finito de U .
2. V
′
α = B3(0).
3. Los conjuntos ϕ−1α (B1(0)) también forman una cubierta de M .
Lema 1.2.10. Dada una variedad lisa M y una cubierta abierta U =
{Wβ}β∈B de ésta, hay un buen atlas subordinado a la cubierta.
1.2. PARTICIONES DE LA UNIDAD 7
Demostración. Primero daremos una colección de subconjuntos compactos
de M , {A1, A2 . . .} tales que Ai ⊂
◦
Ai+1 y
∞⋃
i=1
Ai = M . Sea B una base nu-
merable para la topoloǵıa de M , como M es localmente compacta, cada
x ∈ M tiene una vecindad compacta Kx entonces hay otra base numera-
ble B′ := {Bi ∈ B | Bi ⊂ Kx para la vecindad compacta de algún x ∈M}.
B′ es base de la topoloǵıa de M pues si x ∈ M entonces hay un abierto
U ⊂ Kx tal que x ∈ U y U es unión de elementos de B, en particular hay
un elemento Bx de B tal que x ∈ Bx ⊂ Kx por lo tanto Bx ∈ B
′
, es de-
cir, para cada x ∈ M hay un elemento de B′ en el cual está x. Nos falta
ver que si x ∈ B1 ∩ B2 con B1, B2 ∈ B
′
entonces hay un B3 ∈ B
′
tal que
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2, esto se cumple porque B
′ ⊂ B, además como B es nume-
rable B′ también lo es, ∴ B′ es también base numerable de la topoloǵıa de M .
Sea B′ = {Bi}i∈N, observemos que Bi es compacto ∀ i ∈ N pues está
contenido en un compacto y es cerrado. Definiremos los Ai recursivamente,
A1 := B1, dado An compacto definimosAn+1 como sigue. Damos una cubier-
ta abierta finita de An con elementos de B
′
, An ⊂
⋃
i∈I
Bi con I un conjunto
finito de ı́ndices, entonces definimos An+1 :=
⋃
i∈I
Bi ∪ Bn+1 =
⋃
i∈I
Bi ∪ Bn+1
que es compacto por ser unión finita de compactos. Tenemos que
∞⋃
i=1
Ai = M
pues dado x ∈M se tiene que x ∈ Bj para algún Bj ∈ B
′
entonces x ∈ Aj y
dado x ∈M se tiene que x ∈ Bi para algún i porque B
′
es base de la topo-
loǵıa de M . También se tiene que Ai ⊂
◦
Ai+1 pues
◦
An+1 = (
⋃
i∈I
Bi∪Bn+1)◦ ⊃⋃
i∈I
Bi ∪ Bn+1 ⊃ An pues
⋃
i∈I
Bi es cubierta de An y para A y B espacios
topológicos cualesquiera se tiene que
◦
A ∪
◦
B ⊂ (A ∪ B)◦, entonces tenemos
la familia de compactos que queŕıamos, la cual usaremos para construir el
atlas que queremos.
Observemos que Ai+1−
◦
Ai es compacto pues es cerrado y está contenido
en Ai+2 que es compacto, además
∞⋃
i=1
(An+1−
◦
Ai) = M . Sea (U,ϕ) una carta
de M , Wβ ∈ U y sea Vα abierto tal que Vα ⊂ (
◦
Ai+2 − Ai−1) ∩ U ∩ Wβ;
componiendo a ϕ con una traslación y un homeomorfismo, obtenemos el
homeomorfismo ϕα : Vα → B3(0), de esta forma podemos dar una carta
(Vα, ϕα) para cada Wβ ∈ U , es decir, {Vα}α∈A es un refinamiento de U .
Consideremos una cubierta de Ai+1 −
◦
Ai dada por abiertos de la forma
ϕ−1α (B1(0)), como Ai+1−
◦
Ai es compacto, hay una subcubierta abierta finita{
ϕ−1α (B1(0))
}
α∈Λ y en particular los Vα correspondientes {Vα}α∈Λ también
8 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
forman una cubierta abierta finita pues ϕ−1α (B1(0)) ⊂ Vα ∀ α ∈ Λ. Sea
{Vα}α∈N el conjunto de todas las cubiertas abiertas finitas de Ai+1 −
◦
Ai
∀ i ∈ N. {ϕα : Vα → B3(0)}α∈N es el atlas que estamos buscando pues{
ϕ−1α (B1(0))
}
α∈N es cubierta de M y {Vα}α∈N es refinamiento localmente
finito de U ya que cada Vα sólo puede intersecar elementos de las cubiertas
de (Ai+2−
◦
Ai+1), (Ai+1−
◦
Ai) y (Ai−
◦
Ai−1), pero la unión de las tres cubier-
tas es un subconjunto finito de {Vα}α∈N, por lo tanto es localmente finita y
es refinamiento porque cada Vα está contenido en algún Wβ ∈ U .
El resultado anterior nos dice además que dada una cubierta abierta de
una variedad lisa, ésta admite un refinamiento localmente finito, es decir
tenemos lo siguiente.
Corolario 1.2.11. Toda variedad lisa es paracompacta.
Es fácil ver que la función f : R→ R dada por
f(t) =
{
f(t) = e−
1
t si t > 0
f(t) = 0 si t ≤ 0
es diferenciable y f(t) > 0 ∀t > 0 y f(t) = 0 si t ≤ 0. Usamos esta función
para definir la siguiente función diferenciable h : R→ [0, 1] dada por h(t) =
f(2−t)
f(2−t)+f(t−1) , que cumple que
h(t) =

1 si t ≤ 1
h(t) ∈ (0, 1) si 1 < t < 2
0 si t ≥ 2
Utilizamos la función h para definir una nueva función H : Rn → [0, 1]
tal que H(x) = 1 si x ∈ B1(0) y sop(H) = B2(0). Para ésto basta definir
H : Rn → [0, 1] como H(x) = h(‖x‖).
Teorema 1.2.12. Si M es una variedad lisa y U = {Uα}α∈A una cubierta
abierta de M , hay una partición de la unidad lisa subordinada a U .
Demostración. Por ??, tenemos un buen atlas {ϕα : Vα → B3(0)}α∈N subor-
dinado a la cubierta U . Definimos las funciones fi : M → [0, 1] como
fi(x) =
{
H ◦ ϕi(x) si x ∈ Vi = ϕ−1(B3(0))
0 si x /∈ Vi
usando la H de la proposición anterior. Usando estas fi definimos las fun-
ciones gi : M → [0, 1] como gi(x) = fi(x)∑
i∈N
fi(x)
. Observemos que son lisas pues
las fi son lisas. También tenemos que para x ∈ Vα, gi(x) 6= 0 sólo en un
1.3. EL ESPACIO TANGENTE 9
número finito de i pues la cubierta {Vi}i∈N es localmente finita, entonces
fi(x) 6= 0 solo para un número finito de i. Además tenemos que para todo
x ∈M ,
∑
j∈N
gj(x) = 1 ya que∑
j∈N
gj(x) =
∑
j∈N
fj(x)∑
i∈N
fi(x)
= 1
pues fi(x) 6= 0 sólo para un número finito de i. Además tenemos que
sop(gi) ⊂ Ui pues gi(x) 6= 0 si fi(x) 6= 0, es decir si x ∈ Vi pero Vi ⊂ Ui ya
que el buen atlas es refinamiento de U ; por lo tanto el conjunto {gi}i∈N es
una partición de la unidad subordinada a la cubierta U .
1.3. El espacio tangente
1.3.1. Definición del espacio tangente
Sea M una variedad lisa. Denotamos con C∞(M) al conjunto de fun-
ciones lisas de la forma f : M → R. C∞(M) es un espacio vectorial con
la suma y la multiplicación por escalar dadas de la siguiente forma: Sean
f, g ∈ C∞(M) y λ ∈ R, entonces (f+g)(x) = f(x)+g(x) y λ(f(x)) = λf(x)
para todo x ∈M .
Definición 1.3.1. Sea M variedad lisa y p ∈ M , un mapeo lineal X :
C∞(M)→ R se llama derivación en p si satisface la siguiente regla:
X(fg) = f(p)X(g) + g(p)X(f),
para cualesquiera f, g ∈ C∞(M).
Definición 1.3.2. El conjunto de todas las derivaciones de C∞(M) en p
es el espacio tangente a M en p y se denota con TpM . Un elemento de
TpM se llama vector tangente.
Proposición 1.3.3. TpM es un espacio vectorial real, con las operaciones
dadas por
(X + Y )(f) = X(f) + Y (f)
(cX)(f) = c(X(f))
Demostración. Veremos primero que la suma y el producto por escalar están
bien definidos, es decir que si X,Y ∈ TpM , entonces X + Y ∈ TpM y que si
a ∈ R, entonces aX ∈ R.
Dados X,Y ∈ TpM , se tiene que X + Y : C∞(M) → R por definición,
además (X+Y )(fg) = X(fg)+Y (fg) = [X(f)g(p)+X(g)f(p)]+[Y (f)g(p)+
Y (g)f(p)] = (X+Y )(f)g(p) + (X+Y )(g)f(p), entonces X+Y ∈ TpM . Por
otro lado, dado c ∈ R, tenemos que cX : C∞(M)→ R y además (cX)(fg) =
c(X(fg)) = c(X(f)g(p)+X(g)f(p)) = (cX)(f)g(p)+(cX)(g)f(p), entonces
10 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
cX ∈ TpM .
Sean a, b ∈ R y X,Y, Z ∈ TpM , tenemos que
1. TpM es grupo abeliano con la suma ya que: Es asociativa, ((X +Y ) +
Z)(f) = (X+Y )(f)+Z(f) = X(f)+Y (f)+Z(f) = (X+(Y +Z))(f).
Definimos el neutro aditivo como X0 : C
∞(M)→ R dado por X0(f) =
0 para todo f ∈ C∞(M), ademásX0(fg) = 0 = X0(f)g(p)+X0(g)f(p),
es decir X0 ∈ TpM . Entonces tenemos que (X +X0)(f) = X(f) para
todo X ∈ TpM .
Definimos el inverso aditivo de X como X−1 : C∞(M)→ R dado por
X−1(f) = −X(f). Tenemos que X−1(fg) = −X(fg) = −X(f)g(p)−
X(g)f(p) = X−1(f)g(p)+X−1(g)f(p), entonces X−1 ∈ TpM . Además
(X+X−1)(f) = X(f)−X(f) = 0 = X0(f), es decir X−1 es el inverso
aditivo de X.
Tenemos también que la suma es conmuntativa pues (X + Y )(f) =
X(f) + Y (f) = Y (f) +X(f) = (Y +X)(f); por consiguiente TpM es
un grupo abeliano.
2. a(bX) = (ab)X ya que a(bX)(f) = a(bX(f)) = (ab)X(f).
También tenemos que 1X = X pues (1X)(f) = 1X(f) = X(f).
3. i) (a+ b)X = aX + bX ya que (a+ b)X(f) = aX(f) + bX(f)
ii) a(X + Y ) = aX + aY ya que a(X + Y )(f) = a(X(f) + Y (f)) =
aX(f) + aY (f).
Por lo anterior tenemos que TpM es un espacio vectorial real.
Lema 1.3.4 (Propiedades de vectores tangentes a variedades). Sea
M una variedad lisa, y sean p ∈M y X ∈ TpM . Se tiene que:
i. Si f es una función constante, entonces Xf = 0.
ii. Si f(p) = g(p) = 0, entonces X(fg) = 0.
Demostración. Para la primera parte, sea f1 : M → R la función constante
1, es decir f(p) = 1 para todo p ∈ M . X(f1) = X(f1f1) = X(f1) + X(f1),
entonces X(f1) = 0. Sea f : M → R cualquier función constante f(p) = c,
entonces X(f) = X(cf1) = cX(f1) = 0.
Para la segunda parte tenemos que X(fg) = X(f)g(p) +X(g)f(p) = 0.
1.3.2. El espacio tangente geométrico a Rn
Ahora definiremos el espacio tangente a Rn en a visto de manera geométri-
ca, lo denotaremos por Rna y veremos que es espacio vectorial. Luego pro-
baremos que para esta definición y la anterior, es decir el espacio tangente
visto como derivaciones TaRn, se tiene que TaRn ∼= Rna .
1.3. EL ESPACIO TANGENTE 11
Definición 1.3.5. El espacio de los vectores tangentes a Rn en a ∈ Rn es el
conjunto {a}×Rn y se denota por Rna . Otra manera de verlo es la siguiente,
Rna := {(a, v) | v ∈ Rn}.
Denotamos por va a (a, v) ∈ Rna y lo pensamos geométricamente como
el vector v anclado en a. Tenemos que Rna es un espacio vectorial real con
operaciones dadas por va + wa = (v + w)a para va, wa ∈ Rna , y cva = (cv)a
para va ∈ Rna y c ∈ R. Además Rna es isomorfo a Rn bajo una traslación y
bajo este isomorfismo vemos que una base de Rna es el conjunto de vectores
ei|a i = 1, . . . , n, es decir la báse canónica de Rn trasladada alpunto a.
Recordemos que la derivada direccional se define para cualquier va ∈ Rna de
la siguiente manera
Dv|a : C∞(Rn)→ R
dada por Dv|af = Dvf(a) = ddt |t=0f(a+tv), esta función es lineal y satisface
la regla del producto:
Dv|a(fg) = f(a)Dv|ag + g(a)Dv|af
Lo anterior nos dice que la derivada direccional es una derivación y es de
hecho la motivación para definir el espacio tangente a un punto como el
conjunto de derivaciones. Por otro lado, usando la regla de la cadena tenemos
que la derivada direccional se puede ver de la siguiente manera: Dado v =
n∑
i=1
viei, donde v
i ∈ R para i = 1, . . . , n y {ei}ni=1 es la base canónica de Rn,
Dvf(a) es la derivada de la composición de los mapeos t 7→ a+tv 7→ f(a+tv),
entonces por la regla de la cadena tenemos que
Dvf(a) =
n∑
i=1
vi
∂f
∂xi
(a)
Usaremos esto en la siguiente demostración.
Proposición 1.3.6. Para todo a ∈ Rn, el mapeo Φ : Rna → TaRn dado por
Φ(va) = Dv|a es un isomorfismo lineal.
Demostración. Veamos primero que Φ es lineal. Sean va, wa ∈ Rna y λ ∈ R,
supongamos que va =
n∑
i=1
viei|a y wa =
n∑
i=1
wiei|a, entonces va+wa =
n∑
i=1
(vi+
wi)ei|a con vi, wi ∈ R. Entonces tenemos que Φ(va + wa) = Φ((v + w)a) =
Dv+w|a, pero
Dv+w|a(f) =
n∑
i=1
(vi + wi) ∂f∂xi (a)
=
n∑
i=1
vi ∂f∂xi (a) +
n∑
i=1
wi ∂f∂xi (a)
= Dv|a(f) +Dw|a(f).
12 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Es decir Φ(va + wa) = Φ(va) + Φ(wa).
Además Φ(λva) = Φ((λv)a) = Dλv|a, y (λv)a =
n∑
i=1
λviei|a, tenemos que
Dλv|a(f) =
n∑
i=1
λvi
∂f
∂xi
(a) = λDv|a(f).
Es decir Φ(λva) = λΦ(va).
Veamos ahora que Φ es inyectiva, para esto veremos que Ker(Φ) = 0a.
Sea va ∈ Rna tal que Φ(va) = Dv|a = 0, entonces Dv|a(f) = 0 para toda
f ∈ C∞(Rn), en particular para las funciones proyección xj : Rn → R dadas
por (x1, . . . , xn) 7→ xj para 1 ≤ j ≤ n. Entonces tenemos que dado va ∈ Rna ,
va =
n∑
i=1
viei|a y entonces
0 = Dv|a(xj) =
n∑
i=1
vi
∂xj
∂xi
(a) = vj
Es decir vj = 0 para todo 1 ≤ j ≤ n. Aśı, va = 0a.
Veamos ahora que Φ es suprayectiva. Sea X ∈ TaRn una derivación, y con-
sideremos a los reales vi = X(xi) i = 1, . . . , n, con xi las funciones definidas
anteriormente. Probaremos que para el vector va =
n∑
i=1
viei, se tiene que
X = Dv|a, es decir X = Φ(va). Sea f ∈ C∞(Rn), por el teorema de Taylor
tenemos que hay n funciones suaves g1, . . . , gn ∈ C∞(Rn) tales que gi(a) = 0
para todo i, y además
f(x) = f(a) +
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a)(xi − ai) +
n∑
i=1
gi(x)(xi − ai)
Aplicando la derivación X a f , usando el lema ?? y el hecho de que X(c) = 0
para todo c ∈ R (pues c se puede ver como una función constante de Rn a
R), tenemos que
Xf = X(f(a)) +
n∑
i=1
X( ∂f∂xi (a)(xi − ai)) +X(gi(x)(xi − ai))
= 0 +
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a)(X(xi − ai)) + 0
=
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a)vi
= Dv|af
Ya que X(f(a)) = 0 para cualquier f ∈ C∞(Rn) por ser f(a) una cons-
tante, en particular para ∂f∂xi , por lo tanto X = Dv|a y Φ es suprayectiva.
Corolario 1.3.7. Para todo a ∈ Rn, las n derivaciones
1.3. EL ESPACIO TANGENTE 13
∂
∂x1
|a, . . . ,
∂
∂xn
|a definidas por
∂
∂xi
|a(f) =
∂f
∂xi
(a)
forman una base para TaRn.
Demostración. Sabemos que {ei|a}ni=1 es base de Rna y tenemos que ej |a
expresado como combinación lineal de elementos de esta base tiene como
coeficientes a ceros y un uno en ej |a. Por otro lado tenemos que Φ(ej |a) =
Dej |a y Dej |a(f) =
n∑
i=1
vi ∂f
∂xi
(a) = ∂f
∂xj
(a), es decir Dej |a = ∂∂xi |a; además por
ser Φ un isomorfismo, tenemos que ∂∂x1 |a, . . . ,
∂
∂xn
|a es base de TaRn.
1.3.3. La diferencial
Definición 1.3.8. Dada F : M → N función lisa, definimos la diferencial
o pushforward en p ∈M , como F∗ : TpM → TF (p)N dada por (F∗X)(f) =
X(f ◦ F ), es decir F∗ : X 7→ F∗X. También se denota por dFp.
Lo siguiente viene de la estructura de álgebra de C∞(N).
Observemos que dado F : M → N como en la definición anterior y
dados f, g ∈ C∞(N) y c ∈ R tenemos que (f + g) ◦ F = (f ◦ F ) + (g ◦ F ).
En efecto, dado p ∈ M se tiene que (f + g) ◦ F (p) = (f + g)(F (p)) =
(f ◦F )(p) + (g ◦F )(p). También tenemos que (cf ◦F ) = c(f ◦F ) pues para
p ∈ M se tiene que (cf ◦ F )(p) = (cf(F (p))) = c(f(F (p))) = c(f ◦ F (p)).
Además tenemos que (fg) ◦ F = (f ◦ F )(g ◦ F ) pues para p ∈ M tenemos
que (fg) ◦ F (p) = (fg)(F (p)) = f(F (p))g(F (p)) = (f ◦ F )(g ◦ F )(p).
Proposición 1.3.9. F∗ está bien definida.
Demostración. Basta ver que si X ∈ TpM , entonces F∗X ∈ TF (p)N . Sean
f, g ∈ C∞(N) y c ∈ R, entonces F∗X es una función lineal de la forma F∗X :
C∞(N)→ R, ya que F∗X(f) = X(f ◦F ) es un real pues f ◦F ∈ C∞(M) y
X : C∞(M) → R, también es lineal pues F∗X(f + g) = X((f + g) ◦ F ) =
X((f ◦ F ) + (g ◦ F )) = X(f ◦ F ) + X(g ◦ G) = (F∗X)(f) + (F∗X)(g), y
además F∗X(cf) = X(cf ◦ F ) = X(c(f ◦ F )) = cX(f ◦ F ) = c(F∗X).
Veamos ahora que cumple la regla del producto. (F∗X)(fg) = X((fg) ◦
F ) = X((f ◦ F )(g ◦ F )) = X(f ◦ F )(g ◦ F )(p) + X(g ◦ F )(f ◦ F )(p) =
(F∗X)(f)g(F (p)) + (F∗X)(g)f(F (p)), es decir F∗X es derivación en F (p).
Por consiguiente F∗X ∈ TF (p)N .
Proposición 1.3.10. Dadas M , N y P variedades lisas y F : M → N y
G : N → P mapeos lisos, se tiene que:
1. F∗ : TxM → TF (x)N es lineal.
14 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
2. Se cumple la regla de la cadena, es decir (G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗ : TxM →
T(G◦F )(x)P .
3. (IdM )∗ = IdTxM : TxM → TxM .
4. Si F es difeomorfismo, entonces F∗ : TxM → TF (x)N es isomorfismo.
Demostración. (1) Sean X,Y ∈ TxM , entonces F∗(X+Y )(f) = (X+Y )(f ◦
F ) = X(f ◦ F ) + Y (f ◦ F ) = F∗X(f) + F∗Y (f). Sea c ∈ R, entonces
F∗(cX)(f) = (cX)(f ◦ F ) = cX(f ◦ F ) = cF∗X(f). Por lo tanto, F∗ es
lineal.
(2) Sea f ∈ C∞(P ) y X ∈ TxM , entonces
(G◦F )∗(Xf) = X(f◦(G◦F )) = X((f◦F )◦G) = G∗(X(f◦F )) = (G∗◦F∗)(Xf)
es decir, (G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗.
(3) Sea f ∈ C∞(M) y X ∈ TxM , entonces Id∗(Xf) = X(f ◦ IdM ) = X(f),
es decir (IdM )∗ = IdTxM
(4) Usando los dos incisos anteriores tenemos que, como F es difeomorfismo
existe F ′ : N → M suave tal que F ◦ F ′ = IdN y F ′ ◦ F = IdM . Esto
implica que IdTF (x)N = (IdN )∗ = (F ◦ F ′)∗ = F∗ ◦ F ′∗ y también IdTxM =
(IdM )∗ = (F
′ ◦ F )∗ = F ′∗ ◦ F∗, entonces F ′∗ es la inversa de F∗. Aśı F∗ es
isomorfismo.
Lema 1.3.11. (El lema de extensión) Sea M una variedad lisa, A ⊂M
un subconjunto cerrado y sea f : A → Rk una función lisa. Entonces hay
una función lisa f̃ : M → Rk tal que f̃ |A = f .
Proposición 1.3.12. Sea M una variedad lisa, p ∈ M y X ∈ TpM . Si f
y g son funciones lisas en M que coinciden en una vecindad de p, entonces
Xf = Xg.
Proposición 1.3.13. Sea M una variedad lisa y U ⊂ M un subconjunto
abierto (por ?? sabemos que U tiene estructura de variedad), y sea i : U ↪→
M la inclusión. Entonces tenemos que para todo x ∈ U , i∗ : TxU → TxM es
un isomorfismo.
Demostración. Sea B una vecindad de x tal que B ⊂ U . Veamos que i∗
es inyectiva. Sea X ∈ TxU tal que i∗X = 0, veremos que X = 0. Sea
f ∈ C∞(U), por el lema de extensión hay una f̃ ∈ C∞(M) tal que f̃ = f en
B y por la proposición ?? tenemos que Xf = X(f̃ |U). Entonces tenemos
que
X(f) = X(f̃ |U) = X(f̃ ◦ i) = i∗X(f̃) = 0;
de aqúı, Xf = 0 para cada f ∈ C∞(U), es decir X = 0. Por lo tanto i∗ es
inyectiva.
1.3. EL ESPACIO TANGENTE 15
Veamos que i∗ es suprayectiva. Sea Y ∈ TxM definimos una derivación
X ∈ TxU de la siguiente forma. Sea f ∈ C∞(U), X(f) := Y (f̃) para una
f̃ ∈ C∞(M) tal que f̃ = f en B (existe por el lema de extensión), además
X es derivación pues Y lo es. Entonces tenemos que i∗X = Y pues dado
g ∈ C∞(M), usando la proposición ?? tenemos que
(i∗X)g = X(g ◦ i) = Y (g̃ ◦ i) = Y (g).
Por consiguiente i∗ es suprayectiva.
Observemos que dada una carta (U,ϕ) de una variedad lisa M , ϕ : U →
U ′ ⊂ Rn es un difeomorfismo pues es lisa y tiene inversa ϕ−1 : U ′ → U que
también es lisa.
Definimos las derivaciones ∂∂xi |p ∈ TpM como
∂
∂xi
|p := (ϕ−1)∗
∂
∂xi
|ϕ(p)
Es decir, dada f ∈ C∞(M) tenemos que
∂
∂xi
|p(f) = (ϕ−1)∗
∂
∂xi
|ϕ(p)(f) =
∂(f ◦ ϕ−1)
∂xi
(ϕ(p))
Corolario 1.3.14. Sea M una n-variedad lisa, entonces para todo p ∈
M se tiene que TpM es un espacio vectorialde dimensión n, con base
( ∂∂x1 |p, . . . ,
∂
∂xn
|p).
Demostración. Sea (U,ϕ) una carta de M tal que p ∈ U , como ϕ es di-
feomorfismo, tenemos que ϕ∗ : TpU → Tϕ(p)Rn es isomorfismo y por la
proposición ??, tenemos que TpM es isomorfo a TpU . Por lo tanto TpM
es isomorfo a Tϕ(p)Rn y tiene dimensión n. Además observemos que las
derivaciones ∂∂xi |p están definidas como las imágenes de
∂
∂xi
|ϕ(p) bajo la
diferencial (ϕ−1)∗, que es isomorfismo por ser ϕ difeomorfismo. Sabemos
además que ( ∂∂x1 |ϕ(p), . . . ,
∂
∂xn
|ϕ(p)) es base de Tϕ(p)Rn, entonces tenemos
que ( ∂∂x1 |p, . . . ,
∂
∂xn
|p) es base de TpM .
Ahora veamos cuál es la matriz que representa la diferencial del mapeo
liso F : M → N para M una m-variedad lisa y N una n-variedad lisa, es
decir la matriz que representa la transformación lineal F∗ : TpM → TF (p)N .
F es lisa entonces dadas cartas (U,ϕ) de p y (V, ψ) de F (p), tenemos por
definición que F̂ = ψ ◦ F ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ F−1(V )) → ψ(V ) tiene que ser
lisa. Entonces veamos quiénes son las imágenes bajo F∗ de los elementos de
la base de TpM . Sabemos que ψ
−1 ◦ F̂ = F ◦ ϕ−1, llamemos (y1, . . . , yn) a
las coordenadas de Rn, (x1, . . . , xm) a las coordenadas de Rm y denotemos
F̂ (x) := (F̂1(x), . . . , F̂n(x)).
F∗
∂
∂xi
|p = F∗((ϕ−1)∗
∂
∂xi
|ϕ(p)) =
16 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
(F∗ ◦ ϕ−1∗ )(
∂
∂xi
|ϕ(p)) = (ψ−1∗ ◦ F̂∗)(
∂
∂xi
|ϕ(p)) = (ψ−1)∗(F̂∗
∂
∂xi
|ϕ(p)) =
(ψ−1)∗(
n∑
j=1
∂F̂j
∂xi
(ϕ(p))
∂
∂yj
|
F̂ (ϕ(p))
) =
n∑
j=1
∂F̂j
∂xi
(ϕ(p))
∂
∂yj
|F (p)
La última igualdad porque (ψ−1)∗ es lineal y la penúltima usando la
regla de la cadena en espacios euclidianos. Como ( ∂∂y1 |F (p), . . . ,
∂
∂yn
|F (p)) es
base de TF (p)N , tenemos que la matriz que representa la transformación
lineal F∗ en p está dada por la matriz Jacobiana de F̂ en ϕ(p):
DF (p) :=

∂F̂1
∂x1
(ϕ(p)) · · · ∂F̂1∂xm (ϕ(p))
...
...
∂F̂n
∂x1
(ϕ(p)) · · · ∂F̂n∂xm (ϕ(p))

Observemos que la matriz Jacobiana cambia dependiendo de la carta
que tomemos en p y en F (p) (cada carta que tomemos en p y en F (p)
nos da una base distinta de TpM y de TF (p)N respectivamente) pero todas
representan la misma transformación lineal, entonces no importa qué cartas
locales tomemos.
1.4. Algunas consecuencias del teorema de la fun-
ción inversa
Teorema 1.4.1. (De la función inversa) Dadas M , N variedades lisas,
f : M → N lisa y p ∈ M . Si f∗ : TpM → Tf(p)N es biyectiva entonces
hay vecindades conexas U0 de p y V0 de f(p) tales que f |U0 : U0 → V0 es
difeomorfismo.
Observemos que el hecho de que f∗ sea biyectiva implica que TpM y
Tf(p)N tienen la misma dimensión, en particular que M y N tienen la misma
dimensión.
Definición 1.4.2. Si f : M → N es un mapeo liso, definimos el rango de
f en x ∈M como el rango del mapeo lineal f∗ : TxM → Tf(x)N . Si f tiene
el mismo rango k para todo x ∈ M , decimos que f tiene rango constante k
y lo denotamos por rk(f) = k.
Definición 1.4.3. Un mapeo liso f : M → N se llama submersión
si f∗ : TxM → Tf(x)N es suprayectiva para todo x ∈ M , o equivalen-
temente, si rk(f) = dim(N).
Un mapeo liso f : M → N se llama inmersión si f∗ : TxM → Tf(x)N
es inyectiva para todo x ∈M , o equivalentemente, si rk(f) = dim(M).
1.4. ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA17
Decimos que un punto x ∈M es punto regular si f∗ es suprayectiva
en ese punto, y es punto cŕıtico si f∗ no es suprayectiva en x.
Decimos que un y ∈ N valor regular de f si todos los puntos de
f−1(y) son regulares, y decimos que y es valor cŕıtico si pasa lo
contrario.
Definición 1.4.4. Un encaje liso i : M ↪→ N es una inmersión tal que
también es un encaje topológico (es decir M es homeomorfo a su imagen
i(M) ⊂ N con la topoloǵıa de subespacio).
Teorema 1.4.5 (De encaje de Whitney). Toda n-variedad lisa admite
un encaje liso en R2n+1.
Teorema 1.4.6 (Del Rango). Sea F : Mm → Nn un mapeo liso de rango
constante k. Entonces para todo p ∈ M y F (p) ∈ N hay cartas (U ′, h′) y
(V ′, g′) de p y F (p) respectivamente, tales que
g′ ◦ F ◦ h′−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0).
Demostración. Sean (U, h) y (V, g) cartas de p y F (p) respectivamente.
Podemos suponer que h(p) = 0 ∈ Rm y que g(F (p)) = 0 ∈ Rn. Sea
F̂ := g ◦ F ◦ h−1 : h(U ∩ F−1(V )) ⊂ Rm → g(V ) ⊂ Rn, probaremos que
hay difeomorfismos locales ϕ : U0 ⊂ h(U ∩ F−1(V ))→ Ũ0 ⊂ Rm y ψ : V0 ⊂
g(V ) → Ṽ0 ⊂ Rn tales que ψ ◦ F̂ ◦ ϕ−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0).
Con esto podemos definir las cartas (U ′, h′) y (V ′, g′) como h′ := ϕ ◦ h y
g′ := ψ◦g, con dominios U ′ = h−1(U0) y V ′ = g−1(V0), entonces tendŕıamos
que
ψ ◦ F̂ ◦ ϕ−1 = ψ ◦ (g ◦ F ◦ h−1) ◦ ϕ−1 = g′ ◦ F ◦ h′−1,
que es lo que queremos.
Ahora daremos los difeomorfismos locales ϕ y ψ. Como DF (p) = DF̂ (p)
tiene rango k, podemos hacer un cambio de base en Rm de tal forma que
la parte superior izquierda de la matriz DF̂ (p) sea una matriz de k × k
con determinante distinto de cero. Con esta base renombremos las coorde-
nadas de Rm como (x, y) = (x1, . . . , xk, y1, . . . , ym−k) y renombremos las
coordenadas de Rn como (v, w) = (v1, . . . , vk, w1 . . . , wn−k) y sea F̂ (x, y) =
(Q(x, y), R(x, y)) para funciones suaves Q : h(U ∩ F−1(V )) → Rk y R :
h(U ∩ F−1(V )) → Rn−k, entonces la matriz de k × k no singular en 0 es
(∂Qi/∂xj). Sea ϕ : h(U ∩ F−1(V )) → Rm dada por ϕ(x, y) = (Q(x, y), y)
entonces su diferencial en 0 es
Dϕ(0) =

∂Qi
∂xj
(0)
∂Qi
∂yj
(0)
0 Im−k
 ,
18 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
con Im−k la matriz identidad de (m− k)× (m− k). La matriz Dϕ(0) es no
singular pues det(Dϕ(0)) = det(∂Qi/∂xj) · det(Im−k) 6= 0; entonces por
el teorema de la función inversa tenemos que hay una vecindad conexa
U0 ⊂ h(U ∩ F−1(V )) de 0 y otra Ũ de ϕ(0) = 0, tal que ϕ : U0 → Ũ0
es difeomorfismo.
Veamos cómo se ve F̂ ◦ϕ−1(x, y). Tenemos que ϕ−1(x, y) se puede expre-
sar como ϕ−1(x, y) = (A(x, y), B(x, y)) para funciones suaves A : Ũ0 → Rk
y B : Ũ0 → Rm−k, entonces
(x, y) = ϕ ◦ ϕ−1(x, y) = ϕ(A(x, y), B(x, y)) = (Q(A(x, y), B(x, y)), B(x, y))
es decir, B(x, y) = y y tenemos que
ϕ−1(x, y) = (A(x, y), y).
Entonces ϕ ◦ ϕ−1(x, y) = ϕ(A(x, y), y) = (Q(A(x, y)), y) = (x, y). Esto im-
plica que Q(A(x, y)) = x y tenemos que
F̂◦ϕ−1(x, y) = F̂ (A(x, y), y) = (Q(A(x, y), y), R(A(x, y), y)) = (x,R(A(x, y), y)).
Definamos R̃ : Ũ0 → Rk como R̃(x, y) = R(A(x, y), y), entonces F̂◦ϕ−1(x, y) =
(x, R̃(x, y)).
Observemos que para todo punto (x, y) ∈ Ũ0 se tiene que (F̂ ◦ϕ−1)∗ tiene
el mismo rango que F̂∗, pues (F̂ ◦ ϕ−1)∗ = F̂∗ ◦ ϕ−1∗ y ϕ−1∗ es isomorfismo.
Entonces la matriz jacobiana de F̂ ◦ ϕ−1 tiene rango k y se ve como
D(F̂ ◦ ϕ−1)(x, y) =

Ik 0
∂R̃i
∂xj
∂R̃i
∂yj

Observemos que para que la matriz tenga rango k, como las primeras k
columnas son linealmente independientes, las derivadas parciales ∂R̃i/∂yj
se tienen que anular para todo i, j, es decir R̃ solo depende de las va-
riables (x1, . . . , xk). Entonces R̃(x, y) se puede pensar como R̃(x, 0), sea
S(x) := R̃(x, 0).
Daremos el difeomorfismo local ψ, sea V0 :=
{
(v, w) ∈ g(V ) | (v, 0) ∈ Ũ0
}
,
V0 es vecindad de 0 ∈ Rn pues 0 ∈ Ũ0. Sea ψ : V0 ⊂ g(V ) → Ṽ0 ⊂ Rn dada
por ψ(v, w) = (v, w − S(v)) que es suave y tiene inversa suave dada por
ψ−1(s, t) = (s, t+ S(s)), entonces ψ es difeomorfismo y tenemos que
ψ ◦ F̂ ◦ ϕ−1(x, y) = ψ(x, S(x)) = (x, S(x)− S(x)) = (x, 0)
para (x, y) ∈ U0 como queŕıamos.
1.4. ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA19
Corolario 1.4.7. Sea F : Mm → Nn un mapeo liso (para n ≤ m) tal
que rk(F ) = n, es decir es una submersión. Entonces para todo p ∈ Mm y
F (p) ∈ Nn hay cartas (U ′, h′) y (V ′, g′) de p y F (p) respectivamente, tales
que
g′ ◦ F ◦ h′−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)
es decir se ve localmente como una proyección.
Definición 1.4.8. Dado un mapeo liso F : M → N , decimos que y ∈ N es
un valor regular si F es submersión para todo punto de F−1(y). Si y ∈ N
no es un valor regular, decimos que es un valor singular o valor cŕıtico.
Proposición 1.4.9.Dado y ∈ N un valor regular de F : Mm → Nn (m ≥
n), tenemos que la preimagen F−1(y) es subvariedad de M , de dimensión
(m− n), es decir es una subvariedad de codimensión n.
Demostración. Sea x ∈ F−1(y), sabemos por el corolario anterior que hay
cartas (U,ϕ) de x ∈ F−1(y) y (V, ψ) de y ∈ N tales que F̂ = ψ ◦ F ◦
ϕ−1(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn) para (x1, . . . , xm) ∈ ϕ(U ∩ F−1(V )) y pode-
mos suponer que ψ(y) = 0 ∈ Rn pues de no ser aśı basta componer con una
traslación.
Observemos que basta probar que ϕ(U ∩F−1(y)) ⊂ Rm−n. Tenemos que
ϕ(U ∩ F−1(y)) ⊂ F̂−1(0) pues F̂ (ϕ(U ∩ F−1(y))) = ψ ◦ F ◦ ϕ−1(ϕ(U ∩
F−1(y))) = ψ ◦ F (U ∩ F−1(y)) = ψ(y) = 0. Por otro lado, tenemos que
F̂−1(0) =
{
(x1, . . . , xm) ∈ ϕ(F−1(y)) | x1 = · · · = xn = 0
}
, es decir F̂−1(0) ⊂
Rm−n, entonces ϕ(U ∩ F−1(y)) ⊂ Rm−n como queŕıamos.
20 CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Caṕıtulo 2
Haces vectoriales
2.1. Haces vectoriales
Un haz vectorial es intuitivamente un espacio topológico B parametri-
zado por espacios vectoriales, tal que localmente se ve como el producto
cartesiano de B con Rn.
Definición 2.1.1. Un haz vectorial real ξ sobre un espacio topológico
B = B(ξ) consiste en lo siguiente:
1. Un espacio topológico E = E(ξ) llamado el espacio total.
2. Un mapeo continuo π : E → B llamado proyección.
3. Para cada b ∈ B, π−1(b) tiene estructura de espacio vectorial real.
Este espacio vectorial se llama fibra sobre b y se denota Fb, Fb(ξ), o
simplemente π−1(b).
ξ debe satisfacer la siguiente condición, que llamaremos trivialidad local.
Para todo b ∈ B hay una vecindad U ⊂ B, un entero n > 0 y un homeo-
morfismo
h : U × Rn −→ π−1(U)
tal que
h : {b0} × Rn −→ π−1(b0)
es un isomorfismo de espacios vectoriales entre Rn y π−1(b0), para todo
b0 ∈ U . Y tal que el siguiente diagrama conmuta
U × Rn π−1(U)
U
............................................................................................................................................................... .......
.....
h
.................................................................................................................................... ........
....
π1
............................................................................................................................
....
............
π
21
22 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
Donde π es la proyección, h es la trivialización local y π1 es la proyección
en la primera coordenada, es decir π1(x, v) = x.
De acuerdo con la definición anterior un haz ξ se puede denotar por una
terna (E, π,B) con E el espacio total, π la proyección y B el espacio base.
Observemos que la dimensión de Fb es localmente constante, si ésta es cons-
tante en todoB decimos que ξ es un haz de dimensión n. También podemos
definir un haz vectorial liso o diferenciable si en la definición anterior
pedimos que B y E sean variedades lisas, que la proyección π sea un mapeo
liso, y que en la condición de trivialidad local, h sea difeomorfismo.
Proposición 2.1.2. Sea π : E → M un haz vectorial liso y supongamos
que Φ : π−1(U)→ U × Rk y Ψ : π−1(V )→ V × Rk son dos trivializaciones
locales de E tales que U ∩V 6= ∅. Entonces existe un mapeo liso τ : U ∩V →
GL(k,R) tal que la composición Φ ◦ Ψ−1 : (U ∩ V ) × Rk → (U ∩ V ) × Rk
está dada por
Φ ◦Ψ−1(p, v) = (p, τ(p)v),
donde τ(p)v denota la multiplicación de la matriz τ(p) de k×k con el vector
v ∈ Rk.
Demostración. Observemos que el siguiente diagrama conmuta por la con-
dición de trivialidad local
(U ∩ V )× Rk π−1(U ∩ V )
U ∩ V
(U ∩ V )× Rk
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........
....
π1
.............................................................................................................
Ψ
................................................................................................. .......
.....Φ
................................................................................................................................................................................................................
.....
.......
.....
π
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....
............
π1
Entonces tenemos que dados (p, v) ∈ (U ∩ V )× Rk, π1(p, v) = π1 ◦ (Φ ◦
Ψ−1)(p, v), lo que implica que Φ ◦Ψ−1 : (U ∩ V )×Rk → (U ∩ V )×Rk está
dada por (Φ ◦Ψ−1)(p, v) = (p, σ(p, v)) para alguna σ : (U ∩ V )× Rk → Rk
lisa. Recordemos que para p ∈ U ∩ V fijo, Φ ◦ Ψ−1 restringido a {p} × Rk
es un isomorfismo lineal por la condición de trivialidad local, entonces el
mapeo v 7→ σ(p, v) es un isomorfismo lineal en Rk. Por consiguiente hay una
matriz no singular τ(p) de k×k tal que σ(p, v) = τ(p)v. Esto nos dice que τ
es un mapeo de la forma τ : U ∩V → GL(k,R), sólo nos falta ver que es liso.
Para ver que τ es liso basta probar que las entradas de la matriz τ(p)
son funciones lisas de la forma τ ij : U ∩ V → R. Observemos que τ ij(p) =
πi ◦ σ(p, ej), con ej = (0, . . . , 1, . . . , 0) con el 1 en la j-ésima entrada y
πi : Rk → R, la proyección en la i-ésima coordenada, son funciones lisas,
2.1. HACES VECTORIALES 23
entonces cada τ ji es lisa por ser composición de funciones lisas y por lo tanto
τ es lisa.
Definición 2.1.3. Si ξ y η son haces vectoriales con el mismo espacio base
B, decimos que son isomorfos si hay un homeomorfismo f : E(ξ)→ E(η)
tal que mapea cada fibra Fb(ξ) de manera isomorfa a la fibra correspondiente
Fb(η). Denotamos el isomorfismo por ξ ∼= η.
Veremos ahora algunos ejemplos de haces vectoriales.
Ejemplo 2.1.4. (El haz producto) Sea B su espacio base, su espacio total
es B × Rn y la proyección π : B × Rn → B está dada por π(b, x) = b. Este
haz se denota por εnB o simplemente ε
n cuando se sabe quién es el espacio
base. La estructura de espacio vectorial en las fibras está dada por
t1(b, x1) + t2(b, x2) = (b, t1x1 + t2x2) con t1,t2 ∈ R, b ∈ B y x1,x2 ∈ Rn.
Definición 2.1.5. Diremos que un n-haz sobre B es trivial si es isomorfo
al haz producto εnB.
Definición 2.1.6. Una sección de un haz vectorial ξ = (E, π,B) es una
función continua s : B → E tal que manda un elemento de B en un vector
de Fb(ξ), es decir s(b) ∈ Fb y se tiene que π ◦ s = 1B. Podemos definir una
sección también para haces lisos, pidiendo que s sea lisa.
A continuación daremos una caracterización de los haces triviales usando
secciones, para esto probaremos antes el siguiente lema.
Lema 2.1.7. Si ξ y η son haces sobre B, f : E(ξ)→ E(η) es continua y tal
que mapea Fb(ξ) en Fb(η) de manera isomorfa para todo b ∈ B, entonces f
es homeomorfismo y en particular es isomorfismo de haces (ξ ∼= η).
Demostración. Sea b0 ∈ B y (U, g), (V, h) trivializaciones locales de ξ y η
respectivamente tales que b0 ∈ U ∩V , es decir tenemos los homeomorfismos
h : U × Rn → π−1ξ (U) y g : V × R
n → π−1η (V ), en particular ambos son
homeomorfismos si los restringimos a U ∩ V . Entonces basta probar que la
función continua
F := h−1 ◦ f ◦ g : (U ∩ V )× Rn −→ (U ∩ V )× Rn
es homeomorfismo. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo
24 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
(U ∩ V )× Rn π−1ξ (U ∩ V ) π−1η (U ∩ V ) (U ∩ V )× Rn
U ∩ V
.............................................. .......
.....
g
.......................................................... .......
.....
f
.............................................. .......
.....h
−1
.........................................................................................................................................................................................................................................................
...
π1
.......................................................................................................................................................................
.
.......
.....
πξ
.....................................................................................................................................................................
.....
...........
.
πη
.............................................................................................................................................................................................................................................
...
............
π1
para π1 la proyección canónica. Como el diagrama conmuta, F deja fija la
primera coordenada; por consiguiente F se ve como F (x, v) = (x, σx(v)) para
σx ∈ GL(R, n) pues F es isomorfismo lineal en las fibras por ser composición
de isomorfismos lineales, entonces σx es una matriz invertible con funciones
continuas en cada entrada (que dependen de x) y su inversa también tiene
funciones continuas en cada entrada, sea σ−1x su inversa. Entonces tenemos
que la función inversa de F es F (x, v) = (x, σ−1x (v)) y es continua pues las
entradas de σ−1x son funciones continuas, entonces F es homeomorfismo y
en consecuencia f : E(ξ)→ E(η) también es homeomorfismo.
El lema anterior nos dice que en la definición de isomorfismo de haces
sobre el mismo espacio base, basta pedir que f : E(ξ)→ E(η) sea continua
e isomorfismo en cada fibra.
Teorema 2.1.8. Un haz ξ = (E, π,B) de dimensión n es trivial, si y sólo
si, éste admite n secciones linealmente independientes, es decir existen sec-
ciones s1, . . . , sn : B → E tales que el conjunto de vectores {s1(b), . . . , sn(b)}
es linealmente independiente para todo b ∈ B.
Demostración. (⇒) Supongamos que ξ es trivial, entonces hay un homeo-
morfismo h : B × Rn → π−1(B) tal que es isomorfismo en las fibras. Sea
(e1, . . . , en) la base canónica de Rn y sea si : B → E dado por si(b) :=
h(b, ei) para cada i = 1, . . . , n, observemos que los si son continuos pues
h es continua y además π ◦ si = 1B, entonces son secciones. Tenemos que
((b, e1), . . . , (b, en)) es base de la fibra {b}×Rn, entonces {h(b, e1), . . . , h(b, en)}
es linealmente independiente por ser h isomorfismo en las fibras. Esto impli-
ca que el conjunto {s1(b), . . . , sn(b)} es linealmente independiente para todo
b ∈ B, es decir, hay n secciones globales linealmente independientes.
(⇐) Supongamos que s1, . . . , sn son n secciones linealmente independien-
tes, sea f : B×Rn → E dada por f(b, x) = x1s1(b)+. . .+xnsn(b) con x ∈ Rn
tal que x = (x1, . . . , xn), observemos que f es continua y pensemos a f como
un mapeo entre el haz trivial ξnB = (B×Rn, p, B) y ξ, entonces basta probar
que f es isomorfismo de haces. Por el lema anterior sólo tenemos que ver que
f sea isomorfismo lineal en las fibras. Sea b ∈ B fijo, entonces el morfismo en
2.2. EL HAZ PULLBACK 25
las fibras está dado por f |p−1(b) : {b} × Rn → π−1(b), f(b, x) =
n∑
i=1
xisi(b),
sean x, x′ ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn), x′ = (x′1, . . . , x′n) y λ ∈ R,
f(b, x+ x′) =
n∑
i=1
(xi + x
′
i)si(b)
= (x1s1(b) + . . .+ xnsn(b)) + (x
′
1s1(b) + . . .+ x
′
nsn(b))
= f(b, x) + f(b, x′)
f(b, λx) =
n∑
i=1
(λxi)si(b) = λ
n∑
i=1
xisi(b) = λf(b, x)
Por lo tanto f es lineal en las fibras, entonces basta ver que tiene inver-
sa en cada fibra para que sea isomorfismo lineal en las fibras. Sea g :
π−1(b) → {b} × Rn definida de la siguiente manera. Dado x ∈ π−1(b),
como {s1(b), . . . , sn(b)} es linealmente independiente y la dimensión de las
fibras es n, el conjunto anterior es base de la fibra π−1(b), entonces x =
n∑
i=1
yisi(b) para yi ∈ R únicos, i = 1, . . . , n. Esto nos permite definir g
como g(x) = (b, (y1, . . . , yn)). Tenemos que g es inversa de f pues para
x ∈ π−1(b), f(g(x)) = f(b, (y1, . . . , yn)) = x y dado (b, x) ∈ {b} × Rn con
x = (x1, . . . , xn), se tiene que g(f(b, x)) = g(
n∑
i=1
xisi(b)) = (b, x), por consi-
guiente f es isomorfismo lineal en las fibras.
2.2. El haz pullback
Definición 2.2.1. Sean ξ = (E, π,B) y η = (E′, π′, B′) dos haces vectoria-
les, definimos un mapeo de haces de ξ a η como una pareja de funciones
continuas F : E → E′ y f : B → B′ tales que el siguiente diagrama conmuta
B B′
E E′
........................................................................................ .......
.....
f
...................................................................................
.....
.......
.....
π
........................................................................................ .......
.....F
...................................................................................
.....
.......
.....
π′
y tal que F es isomorfismo lineal en las fibras. El mapeo de haces se denota
por F : ξ → η.
Definición 2.2.2. (Pullback) Dados un haz ξ = (E, π,B), un espacio
topológico A y f : A → B continua. Definimos el haz inducido o Pull-
back de ξ respecto a f como f∗ξ = (f∗E, π′, A), con el espacio total dado
por f∗E := {(a, e) ∈ A× E | f(a) = π(e)}, π′ : f∗E → A está dado por
π′(a, e) = a y f ′(a, e) = e, de tal forma que el siguiente diagrama conmuta.
26 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
f∗E E
A B
................................................................................ .......
.....
f ′
...................................................................................
.....
.......
.....
π′
........................................................................................ .......
.....
f
...................................................................................
.....
.......
.....
π
Ahora veremos algunas propiedades del pullback.
Proposición 2.2.3. El pullback de un haz ξ = (E, π,B) respecto a una
función continua f : A → B, f∗ξ = (f∗E, π′, A)) es localmente trivial y f ′
es un mapeo de haces.
Demostración. Sea U un abierto de B tal que ξ es trivial en U , entonces
hay n secciones s1, . . . , sn linealmente independientes en U , es decir n sec-
ciones tales que {s1(b), . . . , sn(b)} son linealmente independientes para cada
b ∈ U . Tenemos que f∗ξ es trivial sobre f−1(U), para probarlo daremos n
secciones de f∗ξ linealmente independientes en f−1(U). Sea s′i : A → f∗E
dada por s′i(a) = (a, (si ◦ f)(a)) para cada i = 1, . . . , n y a ∈ A, observemos
que (a, si(f(a))) ∈ f∗E pues si(f(a)) ∈ E y (π ◦ si)(f(a)) = f(a) ya que
si ◦ f = IdB, además s′i es continua pues si ◦ f es continua, por lo tanto
s′1, . . . , s
′
n son secciones de f
∗ξ en f−1(U).
Veamos que s′1, . . . , s
′
n son linealmente independientes en f
−1(U), sean
λ1, . . . , λn ∈ R y supongamos que λ1s′1(a) + . . .+ λns′n(a) = (a, 0), es decir
el cero de la fibra sobre a en el haz f∗ξ, entonces
λ1s
′
1(a) + . . .+ λns
′
n(a) = λ1(a, s1(f(a))) + . . .+ λn(a, sn(f(a)))
= (a, λ1s1(f(a))) + . . .+ (a, λnsn(f(a)))
= (a, λ1s1(f(a)) + . . .+ λnsn(f(a)))
= (a, 0)
Entonces λ1s1(f(a)) + . . . + λnsn(f(a)) = 0 y λ1 = . . . = λn = 0 porque
s1(f(a)), . . . , sn(f(a)) son linealmente independientes pues f(a) ∈ U ; por lo
tanto s′1, . . . , s
′
n son linealmente independientes en f
−1(U) y f∗ξ es local-
mente trivial.
Ahora veamos que f ′ es un mapeo de haces. Tenemos que f ′ es continua
porque el diagrama del pullback conmuta y f , π y π′ son continuas, además
es isomorfismo lineal en las fibras pues para a ∈ A fijo, e1, e2 ∈ π′−1(a)
y λ ∈ R, f ′(a, e1 + e2) = e1 + e2 = f ′(a, e1) + f ′(a, e2) y f ′(λ(a, e1)) =
f ′(a, λe1) = λe1 = λ(f
′(a, e1)) y tiene inversa g
′ en cada fibra dada por
g′(e) = (a, e), aśı f ′ es isomorfismo lineal en las fibras.
El haz pullback es único salvo isomorfismo en el siguiente sentido.
2.2. EL HAZ PULLBACK 27
Proposición 2.2.4. Dados dos haces η, ξ y un mapeo de haces F : η → ξ
tal que f : B(η) → B(ξ) es el mapeo en los espacios base, se tiene que
f∗ξ ∼= η.
Demostración. Sea h : E(η) → f∗E(ξ) dada por h(e) = (π(e), F (e)), en-
tonces tenemos que el siguiente diagrama es conmutativo en el cuadrado
exterior porser F : η → ξ un mapeo de haces y conmutativo en el cuadrado
interno por ser el diagrama del pullback f∗ξ.
B(η) B(ξ)
f∗E(ξ) E(ξ)
E(η)
.................................................................................................................................. .......
.....
f
....................................................................................................................................................
.....
.......
.....
p′
..................................................................................................................... .......
.....
f ′
....................................................................................................................................................
.....
.......
.....
p
................................................................................................................................................................................................................................................. ........
....
F
............................................................................... ........
....
h.................................................................................................................................................................................................................................................... ............
π
Recordemos que f∗E(ξ) = {(b, e) ∈ B(η)× E(ξ) | f(b) = p(e)} enton-
ces tenemos que h(e) ∈ f∗E(ξ) pues h(e) = (π(e), F (e)), π(e) ∈ B(η),
F (e) ∈ E(ξ) y además f(π(e)) = p(F (e)) ya que el cuadrado exterior con-
muta. Además h es continua pues π y F lo son.
Como h es continua, por el lema ?? basta probar que es isomorfismo lineal
en las fibras. Sabemos que F : E(η)|π−1(b) → p−1(f(b)) es isomorfismo li-
neal. Sea b ∈ B(η) fija, veamos que h|π−1(b) : π−1(b)→ p′−1(b) es isomorfis-
mo lineal. Tenemos que h(e) = (π(e), F (e)) = (b, F (e)). Sean e1, e2 ∈ π−1(b)
y c ∈ R, entonces h(e1 + e2) = (b, F (e1 + e2)) = (b, F (e1) + F (e2)) =
(b, F (e1)) + (b, F (e2)) = h(e1) + h(e2). Notemos que la penúltima igualdad
es consecuencia de la estructura de espacio vectorial en las fibras. Aśı mis-
mo h(ce1) = (b, F (ce1)) = (b, cF (e1)) = c(b, F (e1)) = ch(e1) (nuevamente
la penúltima igualdad por la estructura de espacio vectorial en las fibras).
Por consiguiente h|π−1(b) es lineal en las fibras. Para ver que es isomorfis-
mo basta ver que sea biyectiva por un resultado de álgebra lineal. Veamos
primero que h|π−1(b) es suprayectiva. Sea (b, e) ∈ f∗E(ξ) en la fibra de b,
entonces e ∈ E(ξ) y como F es isomorfismo en las fibras, hay un e′ ∈ π−1(b)
tal que F (e′) = e. Entonces tenemos que h(e′) = (π(e′), F (e′)) = (b, e).
Veamos ahora que es inyectiva. Sean e1, e2 ∈ π−1(b), y supongamos que
h(e1) = h(e2), es decir (π(e1), F (e1)) = (π(e2), F (e2)) entonces (b, F (e1)) =
(b, F (e2)). De aqúı se sigue que F (e1) = F (e2) y por tanto e1 = e2 pues F
es inyectiva. Aśı h es biyectiva y es isomorfismo lineal en las fibras.
Definición 2.2.5. Dados dos haces ξ y η con proyecciones π y λ respecti-
vamente, definimos el producto cartesiano de ξ y η como el haz vectorial
28 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
ξ × η dado por
B(ξ)×B(η)
E(ξ)× E(η)
...................................................................................
.....
.......
.....
π × λ
El espacio total es E(ξ × η) = E(ξ) × E(η). El espacio base es B(ξ × η) =
B(ξ)×B(η). La proyección está dada por (π × λ)(x, y) = (π(x), λ(y)).
Fb(ξ × η) tiene la estructura usual de producto en espacios vectoriales,
es decir, (π × λ)−1(b1, b2) = Fb1 × Fb2. Es clara la condición de trivialidad
local.
Definición 2.2.6. Sean ξ1 = (E1, π1, B) y ξ2 = (E2, π2, B) haces vectoria-
les, definimos la suma de Whitney ξ1 ⊕ ξ2, como el pullback del mapeo
diagonal d : B → B×B dado por d(b) = (b, b), es decir, ξ1⊕ξ2 := d∗(ξ1×ξ2).
B B ×B
d∗(E1 × E2) E1 × E2
.......................................................................................................................................................... .......
.....
d
..........................................................................................................................................................................
.....
.......
.....
(π1 × π2)∗
......................................................................................... .......
.....
d̃
..........................................................................................................................................................................
.....
.......
.....
π1 × π2
Observemos que Fb(ξ1 ⊕ ξ2) ∼= Fb(ξ1)⊕ Fb(ξ2).
2.3. Haces vectoriales diferenciables y métricas rie-
mannianas
Daremos otra definición de haz vectorial diferenciable, para esto defini-
remos primero un atlas de haz un vectorial.
Definición 2.3.1. Sea ξ = (E, π,X) un haz vectorial, decimos que (f, U)
es una carta del haz si cumple la condición de trivialidad local, es decir si
f : π−1(U)→ U ×Rn es homeomorfismo y es isomorfismo lineal restringido
a las fibras.
Definición 2.3.2. Dado un haz vectorial ξ = (E, π,X) n-dimensional. Un
conjunto de cartas de haz {(Uα, fα)}α∈A se llama atlas del haz ξ si X =⋃
α∈A
Uα. Los mapeos continuos
gαβ : Uα ∩ Uβ → GL(n,R)
2.3. HACES VECTORIALES DIFERENCIABLES Y MÉTRICAS RIEMANNIANAS29
dados por gαβ(x) = fβx ◦ f−1αx se llaman funciones de transición, donde
fαx denota el mapeo fα restringido a π
−1(x) y Uα ∩ Uβ 6= ∅.
Vimos cómo las funciones de transición ocurren naturalmente en ??.
Definición 2.3.3. 1. Un atlas de haz para un haz vectorial sobre una
variedad diferenciable M es diferenciable si todas sus funciones de
transición son diferenciables.
2. Un haz vectorial diferenciable es una pareja (ξ,B) que consiste en
un haz vectorial ξ sobre M y un atlas diferenciable y maximal B del
haz ξ.
Para ver mas detalles sobre los siguientes lemas ver ?.
Lema 2.3.4. El espacio total de un haz vectorial diferenciable k-dimensional
sobre una variedad diferenciable n-dimensional M tiene una estructura na-
tural de variedad diferenciable de dimensión n+ k.
Definición 2.3.5. Un pre-haz vectorial n-dimensional es una cuarteta
(E, π,X,B) que consiste en un conjunto E, un espacio topológico X, un
mapeo suprayectivo π : E → X con estructura de espacio vectorial en cada
Ex = π
−1(x) y un pre-atlas B, esto quiere decir un conjunto {(fα, Uα)}α∈A
tal que {Uα}α∈A es cubierta abierta de X y
fα : π
−1(Uα)→ Uα × Rn
es un mapeo biyectivo e isomorfismo lineal restringido a Ex = π
−1(x), pa-
ra todo x ∈ Uα, de tal forma que las funciones de transición Uα ∩ Uβ →
GL(n,R) son continuas.
Lema 2.3.6. Si (E, π,X,B) es un pre-haz vectorial, hay exactamente una
topoloǵıa en E que hace que (E, π,X) sea un haz vectorial y que B sea su
atlas de haz.
Lema 2.3.7. Si M es una variedad diferenciable y (E, π,M,B) es un pre-
haz vectorial tal que sus funciones de transición son diferenciables, entonces
B tiene una extensión (maximal) a B de tal forma que ξ = (E, π,M) es un
haz vectorial diferenciable con atlas B.
Definición 2.3.8. Una métrica riemanniana en un haz vectorial dife-
renciable ξ es un mapeo suave φ : E(ξ⊕ξ)→ R tal que φ : Fb(ξ)⊕Fb(ξ)→ R
es un producto interior en cada fibra Fb(ξ).
Teorema 2.3.9. Todo haz vectorial ξ con espacio base B paracompacto,
admite una métrica riemanniana.
30 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
Demostración. Sea ξ = (E, π,B) un haz con espacio base B paracompacto
y sea U = {Uα}α∈A una cubierta de B, de tal modo que {(fα, Uα)}α∈A sea
un atlas de ξ. Como B es paracompacto tenemos que hay una partición de la
unidad {τα : B → R | α ∈ A} subordinada a la cubierta U . Tenemos quefα :
π−1(Uα) → Uα × Rn induce un producto interior en las fibras de π−1(Uα),
porque fα es isomorfismo lineal en las fibras. Este producto interior está
definido de la siguiente forma: Sea x ∈ Uα, definimos 〈−,−〉α,x : π−1(x) ×
π−1(x)→ R como 〈u, v〉α,x = 〈fαx(u), fαx(v)〉, el de la derecha es el producto
interior usual en Rn. Entonces tenemos un productointerior en cada π−1(Uα)
y para extenderlo a todo E utilizaremos la partición de la unidad mencionada
arriba. Sea φ : E(ξ ⊕ ξ)→ R dada por
φ(u, v) =
∑
α∈A
τα〈u, v〉α,x.
Ésta es una métrica riemanniana en ξ.
Por ?? sabemos que toda variedad diferenciable es paracompacta y en
consecuencia tenemos lo siguiente.
Corolario 2.3.10. Todo haz vectorial sobre una variedad diferenciable ad-
mite una métrica riemanniana.
2.4. El haz tangente y el haz normal
Un ejemplo de particular importancia es el de haz tangente que es la
unión ajena de todos los espacios tangentes a una variedad, espećıficamente
tenemos la siguiente definición.
Definición 2.4.1. Dada una variedad lisa M definimos su haz tangente
como
TM :=
∐
p∈M
TpM = {(p,X) | p ∈M y X ∈ TpM}
y hay una proyección natural π : TM →M dada por π(p,X) = p.
Proposición 2.4.2. Si M es una variedad lisa de dimensión n, se tiene que
TM es una variedad lisa de dimensión 2n, que la proyección π : TM →M
es un mapeo liso y que TM es un haz vectorial.
Demostración. Veamos que TM es variedad lisa, sea (U,ϕ) una carta de
M , daremos una carta de TM de la siguiente forma. Sea ϕ̃ : π−1(U)→ R2n
dada por
ϕ̃(
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|p) := (ϕ(p), v1, . . . , vn) = (x1(p), . . . , xn(p), v1, . . . , vn)
2.4. EL HAZ TANGENTE Y EL HAZ NORMAL 31
para todo p ∈ U y suponiendo que (x1, . . . , xn) son las funciones coordenada
de ϕ. Observemos que todo v ∈ π−1(U) se puede ver de la forma
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|q si
v está en la fibra de q ∈ U pues TqM es espacio vectorial con base ( ∂∂xi |q)
n
i=1.
Además ϕ̃ es homeomorfismo pues es continua con inversa continua dada por
ϕ̃−1(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) =
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|ϕ−1(x)
donde x = (x1, . . . , xn). Veamos ahora que las cartas transformación son
diferenciables, supongamos que (U,ϕ) y (V, ψ) son cartas de M tales que
U ∩ V 6= ∅, entonces tenemos que (π−1(U), ϕ̃) y (π−1(V ), ψ̃) son cartas de
TM tales que π−1(U) ∩ π−1(V ) 6= ∅ y tenemos que ϕ̃(π−1(U) ∩ π−1(V )) =
ϕ(U)×Rn y ψ̃(π−1(U)∩ π−1(V )) = ψ(V )×Rn son ambos abiertos en R2n.
Entonces las cartas transformación ψ̃◦ϕ̃−1 : ϕ(U∩V )×Rn → ψ(U∩V )×Rn
están dadas por
ψ̃ ◦ ϕ̃(x1, . . . , xn, v1 . . . , vn) = ψ(
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|ϕ−1(x)) = (ψ ◦ ϕ−1(x), v1, . . . , vn)
que es lisa pues ψ ◦ ϕ−1 es suave, entonces TM es variedad diferenciable.
Tenemos que π : TM →M es suave pues su representación en coordenadas
respecto a las cartas (U,ϕ) en M y (π−1(U), ϕ̃) de TM , está dada por
ϕ ◦ π ◦ ϕ̃−1(x, v1, . . . , vn) = ϕ ◦ π(
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|ϕ−1(x)) = ϕ(ϕ−1(x)) = x
donde x = (x1, . . . , xn), entonces π es lisa. Veamos que TM es un haz
vectorial diferenciable, para ésto basta probar que es localmente trivial. Sea
(U,ϕ) una carta de M y sea h : π−1(U) → U × Rn dada por h = (ϕ−1 ×
IdRn) ◦ ϕ̃, es decir si X =
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|p tenemos que
h(p,X) = (ϕ−1 × IdRn) ◦ ϕ̃(p,
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
|p) = (p, v1, . . . , vn)
entonces tenemos que h es difeomorfismo y restringido a las fibras coincide
con la identidad para las bases canónicas de TpM y Rn respectivamente, en
particular es un isomorfismo lineal restringido a las fibras. Entonces tenemos
que TM es un haz vectorial diferenciable.
El haz tangente se denota también por τM = (TM, π,M). Si τM es
trivial, decimos que la variedad M es paralelizable. Una sección suave en
el haz tangente de una variedad lisa es un campo vectorial en la variedad.
32 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
Definición 2.4.3. Sea ξ = (E, π,B) un haz y A ⊂ B entonces definimos
el haz restringido a A como el haz con espacio base A, espacio total
E = π−1(A) y la proyección dada por π = π|π−1(A), se denota por ξ|A o
por ξA.
La noción de haz normal es muy clara cuando pensamos en subvarieda-
des de espacios euclidianos, pues el haz normal en ese caso es un haz cuyas
fibras son el complemento ortogonal del espacio tangente en cada punto.
Generalizaremos esta noción para subvariedades de cualquier variedad lisa
M , no necesariamente espacios euclidianos. Vamos a necesitar que el haz
tangente de la variedad M tenga métrica riemanniana para poder hablar de
un complemento ortogonal pero sabemos por ?? que siempre se le puede dar
métrica riemanniana a las variedades lisas.
Definición 2.4.4. Sea M una variedad lisa y N una subvariedad, el haz
normal a N respecto a M se define como
νMN :=
∐
x∈N
νxN = {(x, v) | x ∈ N y v ∈ νxN}
donde νxN es el complemento ortogonal de TxN respecto a TxM , es decir
νxN = TxM/TxN , la proyección πν : νMN → N está dada por πν(x, v) = x.
Proposición 2.4.5. Sea M una m-variedad lisa y N una n-subvariedad
νMN tiene estructura de variedad lisa y νMN = (νMN, πν , N) es un haz
vectorial liso de dimensión m− n.
Demostración. Tenemos que π−1ν (x) = νxN para todo x ∈ N y cada νxN
es espacio vectorial porque es el cociente de un espacio vectorial por un
subespacio de éste. Sea x ∈ N y sean Uα, Uβ vecindades de x en M ta-
les que el haz tangente es trivial en Uα y en Uβ, entonces tenemos que
hay m secciones linealmente independientes {si : Uα → TM}mi=1 para Uα y
{s̃i : Uα → TM}mi=1 para Uβ.
Utilizando el algoritmo de Gram-Schmidt tenemos que ambos conjuntos
de secciones se convierten en secciones ortonormales: {soi : Uα → TM}
m
i=1
{s̃oi : Uα → TM}
m
i=1, es decir secciones que cumplen que 〈s
o
i (p), s
o
j(p)〉 = δij
para i, j = 1, . . . ,m y para todo p ∈ Uα, las s̃oi cumplen lo análogo en Uβ.
De este modo para todo x ∈ Uα tenemos que (so1(x), . . . som(x)) es base
ortonormal de TxM y γ = (s
o
m−n+1(x), . . . s
o
m(x)) es base ortonormal de
νxN . Sea fα : π
−1
ν (Uα ∩N)→ (Uα ∩N)× Rm−n dada por
fα(x,
m∑
i=m−n+1
ais
o
i (x)) = (x, am−n+1, . . . , am)
2.5. GRASMANNIANAS Y EL HAZ UNIVERSAL 33
tenemos que fα es biyectiva y que restringida a las fibras es isomorfismo
lineal, pues fαx vista como matriz respecto a la base γ de νxN y la base
canónica de Rm−n es la matriz identidad, entonces tiene inversa. De manera
análoga definimos fβ : π
−1
ν (Uβ ∩N)→ (Uβ ∩N)× Rm−n
fβ(x,
m∑
i=m−n+1
bis̃
o
i (x)) = (x, bm−n+1, . . . , bm)
y tenemos que ésta también es biyectiva e isomorfismo lineal en las fibras.
SeaA ∈ GL(m,R) la matriz de cambio de base de la base (so1(x), . . . , som(x))
a la base (s̃o1(x), . . . , s̃
o
m(x)) de TxM . Tenemos que fβx◦f−1αx : {x}×Rm−n →
{x} × Rm−n está dada por
(am−n+1, . . . , am) 7→
m∑
i=m−n+1
ais
o
i (x) =
m∑
i=m−n+1
b′is̃
o
i (x) 7→ (b′m−n+1, . . . , b′m)
donde cada b′i está dada por el i-ésimo renglón de A multiplicado por el
vector (0, . . . , 0, am−n+1, . . . , am) y tenemos que la matriz A vaŕıa de forma
diferenciable cuando consideramos puntos distintos de N pues las secciones
que consideramos son diferenciables, de este modo tenemos que νMN es un
pre-haz vectorial cuyas funciones de transición son diferenciables entonces
por ?? tenemos que éste es un haz vectorial liso de dimensión m− n y que
su espacio total tiene estructura de variedad diferenciable.
Definición 2.4.6. Sean ξ y η haces sobre B, decimos que ξ es subhaz de
η si E(ξ) ⊂ E(η) y Fb(ξ) es subespacio vectorial de Fb(η) para todo b ∈ B,
se denota por ξ ≤ η.
2.5. Grasmannianas y el haz universal
Definición 2.5.1. Definimos la variedad grassmanniana como el con-
junto de subespacios vectoriales n-dimensionales de Rn+k y la denotamos
por Gn(Rn+k) ó Gn,n+k.
Un caso particular de variedades grassmannianas es cuando considera-
mos los planos 1-dimensionales en el espacio Rn+1, es decir es el espacio
proyectivo de dimensión n, RPn.
Definición 2.5.2. Un n-marco en Rn+k es un conjunto ordenado de n
vectores linealmente independientes en Rn+k.
Definición 2.5.3. Al conjunto de n-marcos en Rn+k se le llama variedad
de Stiefel y se denota por Vn(Rn+k) ó Vn,n+k. Al subconjunto de Vn(Rn+k)
que consiste en n-marcos ortonormales lo denotamos por V on (Rn+k).
34 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
Observemos que Vn(Rn+k) ⊂ Rn+k × · · · ×Rn+k n veces, entonces le da-
mos la topoloǵıa de subespacio. Tenemos una función suprayectiva canónica
q : Vn(Rn+k)→ Gn(Rn+k)
que mapea cadan-marco al n-plano que éste genera y le damos a Gn(Rn+k)
la topoloǵıa cociente respecto a q. De manera análoga definimos la función
qo : V
o
n (Rn+k)→ Gn(Rn+k)
que también manda el n-marco ortonormal al n-plano que éste genera. Am-
bas funciones q y qo definen la misma topoloǵıa en Gn(Rn+k) ya que el
siguiente diagrama conmuta
V on (Rn+k) Vn(Rn+k) V on (Rn+k)
Gn(Rn+k)
.................................................................................................... .......
...............
......
............................................................................................................ .......
.....
g
......................................................................
.....
.......
.....
q
................................................................................................................................... .........
...qo
................................................................................................................................
...
............
qo
donde g está dada por el algoritmo de Gram-Schmidt.
Proposición 2.5.4. V on (Rn+k) y Gn(Rn+k) son compactas.
Demostración. Consideremos el siguiente mapeo continuo
F : Rn+k × · · · × Rn+k︸ ︷︷ ︸
n
−→Mn(R)
dado por F (v1, . . . , vn) = (〈vi, vj〉)ij , es decir la matriz cuyas entradas son
el producto interior de todas las parejas de vectores vi y vj . Sabemos que
Mn(R) es homeomorfo a Rn
2
y que la matriz identidad In corresponde a un
punto de Rn2 , es decir es un subconjunto cerrado de Mn(R). Observemos
que V on (Rn+k) = F−1(In), entonces por la continuidad de F tenemos que
V on (Rn+k) es subconjunto cerrado de Rn+k × · · · ×Rn+k además es acotado,
entonces tenemos que es compacto por el teorema de Heine-Borel. También
tenemos que Gn(Rn+k) es compacta por ser la imagen del mapeo cociente
qo definido anteriormente.
Proposición 2.5.5. Gn(Rn+k) es variedad topológica de dimensión nk.
Demostración. Sabemos que si P es un espacio topológico 2-numerable, π :
P → M es un mapeo cociente y M es localmente euclidiano, entonces es
también 2-numerable. En este caso tenemos que Vn(Rn+k) es 2-numerable
por ser subespacio de Rn+k×· · ·×Rn+k entonces basta probar que Gn(Rn+k)
es localmente euclidiano para que sea 2-numerable. Veamos que Gn(Rn+k) es
localmente euclidiano. Dado X ∈ Gn(Rn+k), sea πX : Rn+k ∼= X⊕X⊥ → X
la proyección ortogonal sobre el n-plano X, es decir πX(x + x
′) = x para
x ∈ X y x′ ∈ X⊥. Consideremos el siguiente subconjunto de Gn(Rn+k):
2.5. GRASMANNIANAS Y EL HAZ UNIVERSAL 35
UX :=
{
Y ∈ Gn(Rn+k) | Y ∩X⊥ = 0
}
.
En otras palabras son los elementos de Gn(Rn+k) tales que su imagen es
X bajo la proyección πX . Probaremos que los conjuntos UX son abiertos de
Gn(Rn+k), UX es abierto si y solo si q−1(UX) es abierto en Vn(Rn+k) para q el
mapeo canónico definido anteriormente. Observemos que q−1(UX) es el con-
junto de n-marcos ortonormales (v1, . . . , vn) tales que (πX(v1), . . . , πX(vn))
es linelamente independiente. Sea A la matriz de n × n que representa la
transformación lineal πX : Rn+k → X respecto a la base canónica de Rn+k
y cualquier base fija de X (es de n× n porque la proyección se puede pen-
sar como una función del espacio Rn+k a él mismo, con imagen X). Que
{πX(v1), . . . , πX(vn)} sea linealmente independiente es equivalente a que la
matriz M con columnas Av1, . . . , Avn tenga determinante distinto de ce-
ro. Lo anterior se puede pensar como el mapeo D : Vn(Rn+k) → R dado
por (v1, . . . , vn) 7→ M 7→ det(M), D es continuo porque es composición
de mapeos continuos. Queremos que el subconjunto U de Vn(Rn+k) tal que
D(U) 6= 0, sea abierto y śı lo es porque R−{0} es abierto, U = D−1(R−{0})
y preimagen de abiertos es abierto porque D es continua, por lo que UX es
abierto en Gn(Rn+k).
Daremos un homeomorfismo de la forma ϕ : UX → Hom(X,X⊥). Re-
cordemos que Hom(X,X⊥) es homeomorfo a Rnk pues son isomorfos como
espacios vectoriales reales. Sea Y ∈ UX , entonces cada elemento de y ∈ Y
se puede ver de manera única como y = x + x′ para x ∈ X y x′ ∈ X⊥
entonces podemos definir fY : X → X⊥ como fY (x) := x′. Esto nos per-
mite definir ϕ como ϕ(Y ) = fY , nos falta probar que fY ∈ Hom(X,X⊥)
es decir, que f es lineal. Para ésto, sean x1, x2 ∈ X y y1, y2 ∈ Y enton-
ces y1 = x1 + x
′
1 y y2 = x2 + x
′
2 para x
′
1, x
′
2 ∈ X⊥ únicos. Entonces
tenemos que y1 + y2 = (x1 + x
′
1) + (x2 + x
′
2) = (x1 + x2) + (x
′
1 + x
′
2),
entonces (x1 + x2)
′ = x′1 + x
′
2, es decir fY (x1) + fY (x2) = fY (x1 + x2).
Por otro lado, dado λ ∈ R, si y = x + x′ tenemos que λy = λx + λx′,
sabemos que fY (x) = x
′ entonces fY (λx) = λx
′ = λfY (x), por lo que
fY es lineal. Ahora, sea ψ : Hom(X,X
⊥) → UX dada por ψ(f) = Γ(f)
y Γ(f) := {x+ f(x) | x ∈ X} es decir, es la gráfica de f . Tenemos que
Γ(f) ∈ UX pues es espacio vectorial n dimensional y Γ(f) ∩ X⊥ = 0 pues
de no ser aśı f(0) no seŕıa solamente cero y f no seŕıa función. Observe-
mos que ϕ y ψ son inversas, además son continuas, por lo cual ϕ es un
homeomorfismo y entonces Gn(Rn+k) es localmente euclideano.
Teorema 2.5.6. Gk(Rn) tiene estructura de variedad lisa.
Demostración. Hay una acción natural de GL(n,R) en Gk(Rn) dada de
la siguiente manera µ : GL(n,R) × Gk(Rn) −→ Gk(Rn) está dada por
µ(A, V ) = A(V ). Esta acción es transitiva pues dados dos k-planos V1, V2
36 CAPÍTULO 2. HACES VECTORIALES
en Rn, si damos una base α1 de V1 y una base α2 de V2, ambas se pueden
extender a bases α̃1 y α̃2 de todo Rn, entonces la matriz de cambio de base
de α̃1 a α̃2 nos da una matriz A ∈ GL(n,R) tal que A(V1) = V2. Por otro
lado tenemos que el grupo de isotroṕıa del k-subespacio Rk ⊂ Rn es
H =
{(
A B
0 D
)
| A ∈ GL(k,R), D ∈ GL(n− k,R), B ∈M(k × (n− k),R)
}
pues H(Rk) = Rk para todo H ∈ H. Además tenemos que H es subgrupo
de Lie cerrado de GL(n,R) pues es subgrupo de GL(n,Rn) y es también
subvariedad. Por lo tanto, por ?? tenemos que Gk(Rn) tiene estructura de
variedad lisa y la acción natural es lisa.
Definición 2.5.7. Definimos γn(Rn+k) como el haz universal de dimen-
sión n, de la siguiente manera. Su espacio base es Gn(Rn+k), su espacio
total está dado por
E(γn(Rn+k)) :=
{
(X, v) ∈ Gn(Rn+k)× Rn+k | v ∈ X
}
.
A E(γn(Rn+k)) le damos la topoloǵıa del subespacio visto como subespacio de
Gn(Rn+k)×Rn+k. La proyección es la proyección canónica p : E(γn(Rn+k))→
Gn(Rn+k), dada por p(X, v) = X.
Proposición 2.5.8. γn(Rn+k) es un haz vectorial de dimensión n.
Demostración. Basta probar que cumple la condición de trivialidad local.
Dado X ∈ Gn(Rn+k), consideremos una vecindad UX de X ∼= Rn como las
vecindades definidas anteriormente en la prueba de ??, sea h : p−1(UX) →
UX ×Xdada por h(Y, v) = (Y, πX(v)) entonces es isomorfismo lineal en las
fibras porque πX (la proyección ortogonal de Rn+k sobre X) restringido a Y
es isomorfismo. Sea g : UX×X → p−1(UX) dada por g(Y, x) = (Y, x+fY (x)),
tenemos que h y g son continuas e inversas una de otra. Por lo tanto h es
trivialización local.
Por el lema ?? tenemos la siguiente proposición.
Proposición 2.5.9. E(γn(Rn+k)) es una variedad suave de dimensión (n+
nk) y el espacio base Gn(Rn+k) es subvariedad.
Hay un mapeo de haces canónico del haz tangente de cualquier variedad
suave Mn al haz universal, dado de la siguiente manera. Consideremos el
mapeo suave
g : M → Gn(Rn+k) dado por g(x) = TxM
tenemos que este mapeo está cubierto por el mapeo liso
2.5. GRASMANNIANAS Y EL HAZ UNIVERSAL 37
g : E(τM )→ E(γn(Rn+k)) dado por g(x, v) = (TxM, v),
para x ∈ M y v ∈ TxM , es decir tenemos el siguiente diagrama conmu-
tativo
M Gn(Rn+k)
E(τM ) E(γn(Rn+k))
......................................................................................................................... .......
.....
g
..............................................................................................................................................................
.....
.......
.....
π1
................................................................................