Estudio-teorico-experimental-del-flujo-de-energa-en-haces-Mathieu

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Universidad Nacional �utónoma de México
Facultad de Ciencias
ESTUDIO TEÓRICO­EXPERIMENTAL
DEL FLUJO DE ENERGÍA EN HACES
MATHIEU
T � S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
FÍSICO
PRESENTA:
ROLAND ALFONSO TERBORG DEL ROSAL
DIRECTOR DE TESIS:
DRA� KAREN PATRICIA VOLKE SEPÚLVEDA
2011
II
Hoja de Datos del Jurado
1. Datos del alumno
Terborg
del Rosal
Roland Alfonso
55 40 37 98 88
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
F́ısica
30329907-1
2. Datos del tutor
Dra
Karen Patricia
Volke
Sepúlveda
3. Datos del sinodal 1
Dra
Roćıo
Jáuregui
Renaud
4. Datos del sinodal 2
Dr
José Ignacio
Jiménez
Mier y Terán
5. Datos del sinodal 3
Dr
Pedro Antonio
Quinto
Su
6. Datos del sinodal 4
Dr
Jesús
Garduño
Mej́ıa
7. Datos del trabajo escrito
Estudio teórico-experimental del flujo de enerǵıa en haces Mathieu
96 p.
2011
III
A mis padres, a Quique y a
Ale
IV
Agradecimientos
Agradezco a Karen, por todo su esfuerzo, tiempo y apoyo brindado para
que este trabajo saliera lo mejor posible y fuera una gran experiencia.
A los profesores que integran el jurado por su interés en esta tesis y sus
sugerencias para mejorarla.
A mis amigos, que con su amistad siempre me han ayudado y motivado y de
quienes he aprendido bastante.
A mi familia.
A los maestros que me han ayudado a crecer y llegar hasta este punto.
Agradezco también a la Dirección General de Asuntos del Personal
Académico por la beca de tesis de licenciatura otorgada a través del proyecto
PAPIIT IN100110.
Asimismo, agradezco al Instituto de F́ısica de la UNAM que, como estudiante
asociado, me permitió disponer de sus servicios e instalaciones durante la
elaboración de esta tesis.
V
VI
Índice general
1. Introducción 1
2. Haces de luz tipo Mathieu 5
2.1. Un tipo de soluciones a la ecuación de onda: COIPs . . . . . . 5
2.2. Caracteŕısticas del espectro de los COIPs . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Soluciones en coordenadas eĺıpticas: Funciones Mathieu . . . . 10
2.3.1. Coordenadas eĺıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2. Funciones Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Haces Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1. Haces Rotantes y Vórtices Ópticos . . . . . . . . . . . 16
2.5. Propagación de un COIP real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1. Descripción como Ondas Cónicas . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2. Haces Helmholtz-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Generación experimental de haces Mathieu 23
3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de
Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. Simulaciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2. Arreglo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Vector de Poynting en haces Mathieu 37
4.1. Nociones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Cálculo del vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. Cálculos y análisis del flujo transversal de enerǵıa . . . . . . . 41
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa en haces rotantes . . . 46
VII
VIII ÍNDICE GENERAL
5. Una técnica experimental para estimar la dirección de 〈~S〉 55
5.1. Algunas técnicas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Estudio de la dirección del flujo de enerǵıa por difracción por
una rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Prueba con un haz Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.1. Simulaciones para haces Gaussianos . . . . . . . . . . . 59
5.4. Haces Rotantes y ‘No Rotantes’ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5. Simulaciones para haces Bessel-Gauss . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6. Simulaciones para haces Mathieu-Gauss . . . . . . . . . . . . . 66
6. Conclusión 89
Caṕıtulo 1
Introducción
Actualmente la óptica es una rama muy útil de la F́ısica, pues ha
proporcionado técnicas diversas que se usan en muchas disciplinas de la
ciencia. En varias de estas técnicas se aprovecha la interacción de la luz con la
materia, por ejemplo, en las trampas de átomos [29] y pinzas ópticas [17,31],
donde se produce una transferencia de momento lineal y momento angular a
las part́ıculas de estudio. Para dichos propósitos llegan a ser necesarios haces
con caracteŕısticas especiales, como que el perfil de intensidad permanezca
igual en una región del espacio. Este es el caso de los haces Bessel y los haces
Mathieu, que forman parte de un grupo de haces conocidos como campos
ópticos invariantes ante propagación (COIPs). Como su nombre lo indica,
los COIPs son haces cuyo perfil de intensidad no cambia a lo largo de su
propagación, es decir:
I(x, y, z > 0) = I(x, y, z = 0), (1.1)
por ello también se les conoce como haces adifraccionales. Los COIPs son
haces monocromáticos que son solución a la ecuación de Helmholtz escalar
en geometŕıas ciĺındricas, donde la geometŕıa de los planos transversales al
eje determinará la estructura de dichos campos. Cuando las coordenadas son
ciĺındricas circulares (r, φ, z) o eĺıpticas (u, v, z), los haces Bessel y los haces
Mathieu son las respectivas soluciones de variables separables1.
Para cada uno de estos haces existen configuraciones que dan lugar a modos
rotantes. Estos poseen momento angular orbital en dirección del eje de
1De hecho los modos Bessel pueden considerarse como un caso especial de los modos
Mathieu, pues los sistemas circulares son un caso ĺımite de los eĺıpticos.
1
 
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2 Caṕıtulo 1. Introducción
propagación, diferente del momento angular de esṕın debido a estados de
polarización circular [3]. El momento angular orbital de los haces rotantes
se atribuye a sus frentes de onda helicoidales y a los vórtices ópticos que
contienen.
Los vórtices ópticos son puntos de intensidad nula, alrededor del cual vaŕıa
la fase generando una dislocación de tipo tornillo. La cantidad de ciclos de
2π que cambia la fase alrededor de la singularidad, se conoce como carga
topológica y se ve reflejada en las caracteŕısticas del momento angular orbital
del haz. En haces Mathieu con frentes de onda helicoidales, dependiendo
de ciertos parámetros (como la distancia interfocal en las coordenadas), se
observarán varios vórtices individuales distribuidos en el eje interfocal o un
único vórtice eĺıptico [9]. A pesar de que estos casos no tienen un momento
angular orbital definido, recientemente se ha encontrado una constante
dinámica, que seŕıa el análogo para geometŕıas eĺıpticas [27].
Por su gran utilidad, la generación de los COIPs ha sido objeto de
investigación. En 1987, Durnin y colaboradores documentaron el primer
arreglo experimental con el cual se generó un haz Bessel [12]. Desde entonces
se han inventado técnicas de generación más versátiles, con las cuales se han
logrado no sólo distintos modos Bessel, sino COIPs con diferentes geometŕıas
[24]. Algunos de estos métodos involucran elementos como placas espirales, el
axicón y hologramas de fase y de amplitud generados por computadora [25].
Más recientemente con la introducción de los moduladores espaciales de
luz, que son dispositivos que despliegande manera dinámica hologramas
generados por computadora, se ha documentado la generación con mayores
eficiencias de haces Bessel [6, 26] y haces Mathieu [19].
En la mayoŕıa de los casos de generación de COIPs se introduce una
modulación Gaussiana en la amplitud pues, en principio, los casos ideales
transportan enerǵıa infinita (como sucede, por ejemplo, con la onda plana).
Esto tiene consecuencias como que la región de invariancia ya no es infinita
y hay modificaciones en el flujo de enerǵıa con respecto al COIP ideal.
Como es de esperar, el momento angular y el flujo de enerǵıa de un haz
rotante dependen de sus caracteŕısticas, la carga topológica de sus vórtices
ópticos en primera instancia, además de otros factores debidos a la generación
experimental. Ello ha impulsado la búsqueda de métodos experimentales
para determinar sus propiedades. Por ejemplo, con interferencia con una
onda plana es sencillo conocer la carga topológica de un vórtice óptico [4].
3
Sin embargo de esta manera es dif́ıcil conocer su sentido de rotación. Otros
métodos son los difractivos, entre los cuales está el de la prueba de la navaja,
donde se observa un patrón de difracción asimétrico debido al vórtice, que
revela su sentido de giro [5]. La desventaja en este caso es que no es directo
obtener la carga topológica. Una técnica alternativa consiste en hacer pasar
el vórtice óptico por una rendija [13]. Al observar el desplazamiento relativo
entre las franjas producidas a ambos lados del vórtice, en el patrón de
difracción, se puede inferir el sentido de giro y su carga topológica. Más
recientemente se ha estudiado el patrón de difracción producido por un
vórtice óptico al incidir en una apertura triangular, a partir de este se puede
determinar la magnitud y signo de la carga topológica [20]. Sin embargo estas
técnicas no han sido usadas para obtener información cuantitativa sobre el
flujo de enerǵıa. Para este propósito existe otro método, que hace uso de un
instrumento más sofisticado: el sensor de frente de onda Shack Hartmann [23].
Este aprovecha la relación que hay entre la inclinación de los frentes de
onda y la inclinación del vector de Poynting, para aśı obtener información
cuantitativa sobre el flujo de enerǵıa del haz. La desventaja de esta técnica
es que el dispositivo mencionado puede ser costoso.
El propósito principal de esta tesis es hacer un estudio del flujo de
enerǵıa en haces Mathieu, haciendo un mayor énfasis en aquellos que
presentan un flujo transversal de enerǵıa. Para ello se plantean dos objetivos
fundamentales. Por una parte, ya que en los haces Mathieu helicoidales el
flujo transversal de enerǵıa no es uniforme, se propone hacer un estudio
numérico del comportamiento del flujo de enerǵıa en dichos modos.
Por otra parte, se pretende diseñar una técnica experimental sencilla y
accesible, que permita obtener información cuantitativa sobre el flujo de
enerǵıa en haces helicoidales. El punto de partida para esta técnica será el
estudio con la prueba de la navaja que se mencionó antes.
Para lograr los objetivos, en el caṕıtulo 2 se presentan las caracteŕısticas
generales de los COIPs, las coordenadas eĺıpticas y las funciones y haces
Mathieu. También se explican brevemente los vórtices ópticos y los vórtices
eĺıpticos.
En el caṕıtulo 3 se discuten algunos de los métodos de generación de COIPs,
comenzando por los métodos con los que se hicieron los primeros haces de
este tipo. Se explica con mayor detalle un método para generar haces Mathieu
con ayuda del modulador espacial de luz, pues con éste es posible generar
4 Caṕıtulo 1. Introducción
los modos rotantes de manera eficiente y con gran variedad de valores en los
parámetros.
El desarrollo de los objetivos de esta tesis se da en los caṕıtulos 4 y 5. El
estudio numérico del flujo de enerǵıa en modos Mathieu se lleva a cabo en el
caṕıtulo 4. Ya que los haces Bessel son un caso especial de los Mathieu,
se analizan primero los casos circulares, cuyo flujo de enerǵıa tiene un
comportamiento más simple que en el caso eĺıptico.
En el caṕıtulo 5 se detalla la propuesta experimental para estimar la dirección
del flujo de enerǵıa. La técnica se basa en el análisis de los patrones de
difracción generados por una rendija, para validarla se presentan simulaciones
numéricas con haces Gaussianos y haces rotantes Bessel y Mathieu.
Caṕıtulo 2
Haces de luz tipo Mathieu
2.1. Un tipo de soluciones a la ecuación de
onda: COIPs
Para poder estudiar el comportamiento de la luz como ondas electro-
magnéticas es necesario analizar las ecuaciones de Maxwell. A partir de ellas
se puede obtener la ecuación de onda vectorial [22]:
ν2∇2 ~E(~r, t) = ∂
2
∂t2
~E(~r, t) (2.1)
donde ~E(~r, t) es el campo eléctrico como función del tiempo y posición; ν
es la velocidad de la onda y se denota como c en el caso de que se propague
en el vaćıo. Para obtener una solución a la ecuación de onda vectorial,
es necesario partir de una solución a la ecuación de onda escalar, la cual
denotaremos por E(~r, t). En particular cuando podemos describir al estado
de polarización de la onda por un vector de Jones, E(~r, t) puede representar
la amplitud de la componente transversal del campo eléctrico 1.
Las soluciones a la ecuación de onda escalar se pueden obtener utilizando
la separación de variables, suponiendo que se puede escribir la amplitud del
campo eléctrico como la multiplicación de dos funciones, una temporal y una
espacial:
1Para los fines de este caṕıtulo nos bastará con estudiar la componente transversal del
campo eléctrico. En el caṕıtulo 4 se hará el estudio de la componente longitudinal, la cual
es importante para el análisis del flujo de enerǵıa
5
6 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
E(~r, t) = Ψ(~r)T (t). (2.2)
Al introducir (2.2) en la ecuación de onda obtenemos una solución a la
parte temporal:
T (t) = e±iωt, (2.3)
y obtenemos la ecuación de Helmholtz escalar para la parte espacial:
∇2Ψ(~r) = −k2Ψ(~r). (2.4)
Esta solución a la parte temporal se refiere al caso de la onda monocromática
y para ello se ha utilizado el hecho de que ω
ν
= k , donde ω es la frecuencia
angular y k la magnitud del vector de onda.
La solución a la ecuación de Helmholtz depende de la geometŕıa del
espacio.
Si lo que se busca es estudiar campos ópticos cuya distribución de
intensidad no cambia a lo largo de una dirección, esto nos dice que la
geometŕıa asociada es de tipo ciĺındrico. Los sistemas coordenados ciĺındricos
se caracterizan porque una de sus coordenadas, generalmente denominada z,
define el eje del cilindro y la geometŕıa de los planos transversales a éste es
idéntica para distintos valores de z.
Al variar la geometŕıa de los planos transversales obtenemos distintos tipos
de geometŕıas ciĺındricas, no limitándonos únicamente a las ya conocidas
coordenadas circulares ciĺındricas.
Siendo (u, v) las coordenadas transversales, separamos la ecuación de
Helmholtz (2.4) suponiendo que podemos descomponer a Ψ en una función
transversal y una que depende únicamente de z:
Ψ(~r) = Φ(u, v)Z(z). (2.5)
Sustituyendo en (2.4) obtenemos una solución para Z
Z(z) = eikzz (2.6)
y la ecuación de Helmholtz transversal
∇2⊥Φ(u, v) = −k2tΦ(u, v) (2.7)
2.1. Un tipo de soluciones a la ecuación de onda: COIPs 7
El operador ∇2⊥ denota al Laplaciano con respecto a las coordenadas
transversales y , como es de esperar, su representación depende de la
geometŕıa de estas.
Para los resultados anteriores se ha usado el hecho de que podemos descom-
poner al vector de onda en una componente transversal y una componente z
y por lo tanto k2 = k2z + k
2
t .
Podemos ahora sustituir las soluciones anteriores para tener una expresión
general de la amplitud del campo eléctrico de los COIPs
E(~r, t) = Φ(u, v)ei(kzz±ωt) (2.8)
donde Φ(u, v) debe satisfacer la ecuación (2.7) y es la función que define
cómo se verá el haz al ser proyectadoen una pantalla perpendicular a ẑ. Es
necesario hacer notar que para el caso de los COIPs kz es una constante. El
signo de la parte temporal depende del sentido de propagación y de aqúı en
adelante tomaremos el signo negativo pues supondremos una propagación en
el sentido positivo de z.
Dado que en la naturaleza no hay cantidades complejas, la expresión (2.8)
no es en śı la amplitud del campo eléctrico. Para encontrar la verdadera
expresión hay que tomar la parte real; sin embargo la forma en la que está en
la ec. (2.8) es más útil para un análisis teórico.
Para encontrar soluciones anaĺıticas de Φ que satisfagan la ec. (2.7) se
puede usar nuevamente el método de separación de variables, es decir que
tendŕıamos algo de la forma
Φ(u, v) = U(u)V (v). (2.9)
Sin embargo esto es posible únicamente para 4 tipos de geometŕıa [30]:
Cartesiana
Circular
Parabólica
Eĺıptica-hiperbólica
En este trabajo nos concentraremos en las coordenadas eĺıpticas-hiperbóli-
cas, a las cuales nos referiremos solamente como coordenadas eĺıpticas.
8 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
2.2. Caracteŕısticas del espectro de los COIPs
Cualquier función compleja que sea integrable puede ser representada
como una suma compleja de funciones seno y coseno de distintas frecuencias,
a través de su transformada de Fourier. En el contexto de la óptica, esto se
puede interpretar de la siguiente manera:
Si se tiene un campo óptico escalar E(~r) que se extiende en un espacio
tridimensional, es posible representarlo como
E(~r) =
∫∫∫
~K
Ẽ( ~K)ei
~K·~r d3K, (2.10)
donde la triple integral se hace sobre todo el espacio K de frecuencias.
Esto significa que se puede hacer una superposición de ondas planas con
distintos vectores de onda (lo cual implica distintas longitudes de onda y
ángulos de incidencia), cada una con amplitud Ẽ( ~K) y la interferencia entre
ellas dará lugar al campo original E.
Para analizar el espectro de un COIP es conveniente representar al espacio
K en coordenadas esféricas
~K = (K, θ, φ)
El campo electromagnético deberá satisfacer la ec. (2.4) y si es monocromático,
de frecuencia angular ω, entonces la magnitud de ~K será k =
ω
c
; o sea que
todos los vectores de onda posibles describen la superficie de una esfera de
radio k, que se conoce como la esfera de McCutchen [30] y se muestra en la
Figura 2.1.
Como ya se mencionó, los COIPs se caracterizan porque su perfil de
intensidades es idéntico en distintos planos de propagación y la componente
z del vector de onda es constante y de valor kz. Esto añade una restricción
más, pues se ha fijado el ángulo θ = θ0 de modo que:
Kz = k cos(θ0) = kz. (2.11)
La única coordenada libre es el ángulo azimuthal φ, por lo cual los posibles
valores de ~K ahora se encuentran sobre un anillo de radio kt (ver la Figura
2.1) dado por:
kt = k sin(θ0). (2.12)
2.2. Caracteŕısticas del espectro de los COIPs 9
Figura 2.1: Esfera de McCutchen y espectro de frecuencias de un COIP.
Dado que ahora ~K puede ser determinado por su ángulo azimuthal:
~K(φ) = (kt cos(φ), kt sin(φ), kz) (2.13)
la función Ẽ( ~K) se reduce a la función A(φ), conocida como espectro
angular 2. Al no necesitar integrar sobre todo el espacio de frecuencias, la ec.
(2.10) se simplifica:
E(~r) = (
2π∫
0
A(φ)eikt(x cos(φ)+y sin(φ) dφ)eikzz = Φ(x, y)eikzz; (2.14)
Φ(x, y) debe satisfacer la ecuación de Helmholtz transversal (2.7). A la
integral en (2.14) se le conoce como integral de Whittaker.
Cualquier COIP cumple con la condición de que su espectro de Fourier
se localiza dentro de un anillo, con un radio que depende de la componente
transversal del vector de onda.
De manera inversa también se cumple que cualquier espectro que se encuentre
dentro de un anillo (inclusive pueden ser puntos aleatorios [30]) generará un
2El espectro angular no es exclusivo de los COIPs, este sirve para describir campos
monocromáticos en general como una superposición de ondas planas con diferentes
direcciones de propagación [14].
10 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
patrón de intensidades que debe mantenerse idéntico al propagarse. Esto,
sin embargo, no implica que las distribuciones de intensidad puedan ser
descritas como funciones de variables separadas del estilo de la ec. (2.9), lo
cual sucede sólo cuando el problema se trata en las geometŕıas mencionadas
anteriormente.
2.3. Soluciones en coordenadas eĺıpticas: Fun-
ciones Mathieu
2.3.1. Coordenadas eĺıpticas
Las coordenadas eĺıpticas constan de una coordenada radial u y una
angular v, con los siguientes valores posibles [30]
0 ≤ u <∞,
0 ≤ v < 2π.
La regla de transformación de coordenadas eĺıpticas a cartesianas es
x = fcosh(u)cos(v);
y = fsinh(u)sin(v);
(2.15)
donde f es el semieje focal.
En la Figura 2.2 se muestra un esquema de estas coordenadas para f=5.
Se debe hacer notar que las ĺıneas de u = cte, en azul, son elipses y que las
Figura 2.2: Coordenadas eĺıpticas para f=5.
2.3. Soluciones en coordenadas eĺıpticas: Funciones Mathieu 11
ĺıneas de v = cte, en rojo, son hipérbolas (de ah́ı el nombre de coordenadas
eĺıpticas-hiperbólicas).
Esto se puede comprobar de la siguiente manera: si hacemos u = u0 vemos
que se cumple que
(
x
fcosh(u0)
)2 + (
y
fsinh(u0)
)2 = cos2(v) + sin2(v) = 1, (2.16)
la cual es la ecuación de una elipse con semieje mayor a = fcosh(u0) y semieje
menor b = fsinh(u0).
Si ahora hacemos v = v0, entonces
(
x
fcos(v0)
)2 − ( y
fsin(v0)
)2 = cosh2(u)− sinh2(u) = 1. (2.17)
Estas hipérbolas tienen aśıntotas descritas por: y = ±tan(v0)x, o sea que el
ángulo que forma la recta con respecto al eje X es ±v0.
Unas caracteŕısticas muy importantes son que tanto las elipses como las
hipérbolas son confocales y además se intersectan de manera ortogonal.
Sobre el eje X estas cónicas se comportan de manera peculiar, pues para
u = 0 las elipses se degeneran en un segmento de recta definido por
y = 0;−f ≤ x ≤ f .
Al observar la figura 2.2 nos puede parecer que estas coordenadas son
similares a las circulares y de hecho estas pueden considerarse como un caso
especial de las eĺıpticas, cuando f → 0 y u→∞.
De la misma forma podemos ver que cuando f →∞ y u→ 0 nos acercamos al
caso de las coordenadas cartesianas, pues las hipérbolas son perpendiculares
al segmento interfocal en el que se han degenerado las elipses altamente
excéntricas.
2.3.2. Funciones Mathieu
Dado que la geometŕıa circular es un caso especial de la eĺıptica, se puede
hacer una analoǵıa entre sus soluciones. La ec. (2.7) se puede separar en una
ecuación radial y una angular correspondientes a las variables r y φ; para
obtener las siguientes soluciones [7]:
12 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
Soluciones angulares en coordenadas circulares
Funciones Armónicas
Forma real o estacionaria
cos(mφ)
sin(mφ)
Forma compleja
eimφ
e−imφ
Soluciones radiales en coordenadas circulares
Funciones Bessel
Del primer tipo Jm(ktr)
Del segundo tipo Nm(ktr)
Funciones Hankel
Del primer tipo H
(1)
m (ktr) = Jm + iNm
Del segundo tipo H
(2)
m (ktr) = Jm − iNm
Aqúı m indica el orden de las soluciones y dado que necesitamos que las
soluciones angulares sean periódicas con periodo submúltiplo de 2π, m debe
ser entero.
Todas las soluciones anteriores son linealmente independientes. Cada
pareja forma un conjunto completo de soluciones, de manera que cualquier
función (en un dominio adecuado) se puede representar como una serie de
productos de funciones armónicas (ya sea reales o complejas) por funciones
Bessel o funciones Hankel [7].
Cuando los valores en el argumento de las funciones Bessel son imaginar-
ios, se da lugar a las funciones Bessel modificadas del primer y segundo tipo:
Im, Km. Sin embargo estas no son de interés para este estudio.
Para obtener las soluciones eĺıpticas se debe reescribir la ecuación de
Helmholtz transversal (2.7). En coordenadas curviĺıneas es necesario tomar
en cuenta los factores de escala; para sistemas eĺıpticos con semieje focalf
2.3. Soluciones en coordenadas eĺıpticas: Funciones Mathieu 13
resultan ser [28]:
h2u = h
2
v = f
2(sinh2(u) + sin2(v)) =
f 2
2
(cosh(2u)− cos(2v)). (2.18)
Esto hace que la ec. (2.7) quede como:
(
∂2
∂u2
+
∂2
∂v2
)Φ(u, v) = −f
2k2t
2
(cosh(2u)− cos(2v))Φ(u, v). (2.19)
Suponiendo que a Φ se le puede representar como indica la ec. (2.9) y
sustituyendo en la ec. (2.19), podemos realizar la separación de variables
dando como resultado [30]:
[
d2
du2
− (a− 2q cosh(2u))]U(u) = 0, (2.20)
[
d2
dv2
+ (a− 2q cos(2v))]V (v) = 0. (2.21)
En estas ecuaciones aparece la constante de separación a y el parámetro de
elipticidad q, dado por:
q ≡ f
2k2t
4
. (2.22)
Las soluciones a las ecuaciones (2.20) y (2.21) son las funciones Mathieu
radiales y las funciones Mathieu angulares, respectivamente3. Cuando q > 0
estas son [30]:
3En la literatura se puede encontrar que a las funciones angulares se les denomina
funciones de Mathieu y a las radiales, funciones de Mathieu modificadas.
14 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
Funciones Mathieu angulares
Soluciones del primer tipo:
coseno eĺıptico cem(v; q)
seno eĺıptico sem(v; q)
Soluciones del segundo tipo:
fem(v; q)
gem(v; q)
Funciones Mathieu radiales
Soluciones del primer tipo:
tipo Bessel-J par Jem(u; q)
tipo Bessel-J impar Jom(u; q)
Soluciones del segundo tipo:
tipo Bessel-N par Nem(u; q)
tipo Bessel-N impar Nom(u; q)
Funciones Mathieu-Hankel:
Del primer tipo
Me
(1)
m (u; q) = Jem + iNem
Mo
(1)
m (u; q) = Jom + iNom
Del segundo tipo
Me
(2)
m (u; q) = Jem − iNem
Mo
(2)
m (u; q) = Jom − iNom
Para q < 0 también existen soluciones angulares y radiales, estas últimas
seŕıan las análogas a las funciones Bessel modificadas [30]. Sin embargo,
tampoco son el tipo de soluciones que buscamos para el propósito de este
trabajo.
De manera parecida al caso circular, las soluciones angulares sem y cem son
de tipo seno (impar) y coseno (par), con periodo submúltiplo de 2π cuando
m es un entero. Las funciones fem y gem no son periódicas aśı que no serán
de nuestro interés.
Las funciones radiales también son parecidas al caso circular, es decir, las
tipo Bessel de primer tipo y de segundo tipo son linealmente independientes
y se pueden combinar para generar las funciones tipo Hankel.
La mayor diferencia en este caso, como es de notar, es que todas las
funciones radiales se han separado en dos: par e impar; denotadas por las
2.4. Haces Mathieu 15
letras e (even) y o (odd) respectivamente.
Para que el producto de una solución angular por una radial satisfaga la
ec. de Helmholtz transversal es necesario que estas tengan, además del mismo
orden, la misma paridad. Por ejemplo:
Φ(u, v) = cem(v; q)Jem(u; q) ó Φ(u, v) = sem(v; q)Jom(u; q).
Aqúı debemos mencionar que cuando se habla del “orden”de las funciones,
para funciones Bessel éste corresponde al eigenvalor de dichas funciones y es
un número entero. En cambio, en el caso de las funciones Mathieu el orden es
un ı́ndice de conteo de eigenvalores, pues estos ya no son enteros y vaŕıan con
q. Más aún, para el mismo orden y parámetro de elipticidad (con q > 0), los
valores propios de las funciones pares son distintos a los de las impares [1]. Por
esta razón el producto de funciones con distinta paridad no es una solución
a la ecuación de Helmholtz.
Cuando q → 0 nos acercamos de las coordenadas eĺıpticas a las
circulares y las funciones Mathieu (tanto pares como impares) tienden a sus
análogas circulares. Una consecuencia de ello es que las soluciones radiales en
coordenadas circulares se encuentran degeneradas. Por ende, el producto de
una función radial con una angular par o impar, indistintamente, es solución
mientras sean del mismo orden.
2.4. Haces Mathieu
Para obtener una solución general a la ec. (2.19) usaremos el principio de
superposición. Al hacer la suma compleja de las soluciones generales par e
impar resulta:
Φ(u, v) = AΦe(u, v) +BΦo(u, v); (2.23)
Φe(u, v) =
∞∑
m=0
(αmJem(u; q) + βmNem(v; q))cem(v; q), (2.24)
16 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
Φo(u, v) =
∞∑
m=1
(γmJom(u; q) + δmNom(v; q))sem(v; q), (2.25)
cuyos coeficientes también pueden ser complejos. Por este hecho las
soluciones igualmente podŕıan haberse escrito como sumas complejas de las
funciones Mathieu-Hankel.
En las soluciones anteriores se tienen fijos los parámetros f y kt, de los
que depende q. Por otro lado, también es posible encontrar soluciones que
satisfagan le ec. (2.7) variando f para cumplir ciertas condiciones de frontera.
De ser el caso, en las ecs. (2.24) y (2.25) se deberá hacer una segunda suma
sobre distintos valores de q, según lo requiera el problema.
Con base en las soluciones encontradas, podemos sustituir (2.23) en (2.8),
quedando la expresión de un COIP en coordenadas eĺıpticas. Estos son los
haces Mathieu, que se obtienen cuando las funciones Mathieu involucradas
son todas del mismo orden, parecido al caso de los haces Bessel.
En los haces Bessel los únicos f́ısicamente posibles en espacio libre son
aquellos cuya función radial es de tipo J pues las funcionesN divergen cuando
r → 0. De manera interesante en el caso eĺıptico las funciones Mathieu tipo N
están acotadas en r = 0, permitiendo que también existan haces con esta fun-
ción radial. A pesar de ello para este estudio nos limitaremos a aquellos haces
cuya función radial es del tipo J , lo cual nos da 3 tipos de haces Mathieu:
Haces Mathieu de orden m
Haces Pares Ψem(~r, t; q) = Jem(u; q)cem(v; q)e
i(kzz−ωt)
Haces Impares Ψom(~r, t; q) = Jom(u; q)sem(v; q)e
i(kzz−ωt)
Haces Rotantes (Helicoidales) Ψhm(~r, t; q) = AΨ
e
m(~r, t; q) + iBΨ
o
m(~r, t; q)
2.4.1. Haces Rotantes y Vórtices Ópticos
En general un modo rotante se compone por la superposición de un haz
par y uno impar con desfasamiento de π/2. Recibe este nombre porque sus
2.4. Haces Mathieu 17
Figura 2.3: Frente de onda de un haz con ı́ndice azimuthal m = 2.
frentes de onda son hélices cuyo eje es el eje Z. Para entenderlo mejor se
puede recurrir a los haces Bessel que tienen la forma:
Ψhm(~r, t) = [Jm(ktr)cos(mφ)+iJm(ktr)sin(mφ)]e
i(kzz−ωt) = Jm(ktr)e
i(mφ+kzz−ωt).
Las oscilaciones de la función radial generan, en los frentes de onda del
haz, discontinuidades de π radianes entre las regiones con valores positivos y
negativos. Si dejamos de lado la parte radial, el frente de onda se rige por la
expresión
mφ+ kzz = cte. (2.26)
Esta describe a m hélices que giran alrededor de Z cada una con una
diferencia de fase de 2π entre śı, como muestra la Figura 2.3.
El hecho de que en r = 0 la fase está indefinida obliga a que ah́ı la
amplitud del campo sea nula, dando origen a lo que se conoce como un
vórtice óptico [5]. El ı́ndice azimuthal m nos indica la carga topológica del
haz, que se puede interpretar como la cantidad de vórtices ópticos de carga
unitaria anidados dentro de este.
Los vórtices no son exclusivos de los haces Bessel, para geometŕıas circulares
se pueden generar, por ejemplo, dentro de una onda Gaussiana o en haces
Laguerre-Gauss. En todos ellos la estructura es la misma: un haz par y uno
impar con la misma amplitud relativa pero desfase de π/2.
También es posible tenerlos en la geometŕıa eĺıptica [33], por ejemplo en los
haces Mathieu rotantes, sin embargo hay diferencias significativas que deben
tomarse en cuenta.
Debido a la excentricidad en la geometŕıa eĺıptica un vórtice óptico de
18 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
carga m puede observarse como un solo vórtice eĺıptico. Si la excentricidad
es suficientemente grande se tendrán m vórtices ópticos separados que no
interactúan entre śı, cada uno de carga topológica unitaria.
Otra diferencia importante con respecto a la geometŕıa circular, es que ahora
la amplitud relativa entre los modos par e impar ya no es necesariamente
igual. Los coeficientes correspondientes se pueden asignar imitando a los
haces Bessel [9]. Para ello debemos fijarnos en el espectro angular de un
haz Bessel rotante:
A(φ)= e±imφ = cos(mφ)± i sin(mφ). (2.27)
Al realizar la integral de Whittaker en la ecuación (2.14) se obtendrá el
campo de un haz Bessel rotante de orden m, el sentido de giro de los frentes
de onda depende del signo escogido en la fase.
El análogo eĺıptico se obtendrá utilizando las funciones eĺıpticas para el
espectro angular, i.e.:
A(φ) = cem(φ; q)± i sem(φ; q). (2.28)
Evaluando (2.28) en (2.14) nos da la expresión del haz Mathieu rotante
con los coeficientes Am,q y Bm,q de los modos par e impar. Afortunadamente
no es siempre necesario calcular los coeficientes, puesto que cuando se cumple
q ≤ m
2
2
− 1 ; m ≥ 2, (2.29)
Am,q y Bm,q son muy parecidos entre śı [9].
Esta forma de definir a los haces Mathieu rotantes tiene la desventaja de
que este modo no tiene un eigenvalor definido. Sin embargo, para m ≥ 2 es
posible encontrar un intervalo en q donde los eigenvalores de las soluciones
par e impar del mismo orden son suficientemente parecidos entre śı [1].
2.5. Propagación de un COIP real
2.5.1. Descripción como Ondas Cónicas
Como ya se mencionó en la sección 2.2, los COIPs pueden entenderse
como la superposición de ondas planas infinitas que se propagan con el mismo
ángulo de inclinación con respecto al eje Z. Pero es posible también describir
2.5. Propagación de un COIP real 19
a los COIPs circulares y eĺıpticos en términos de ondas cónicas, por medio
de las funciones Hankel y Mathieu-Hankel, respectivamente [30].
Si se deja aparte la solución en Z, una onda descrita radialmente por
funciones Hankel hará que las superficies de fase constantes sean cilindros
circulares concéntricos y cilindros eĺıpticos confocales, según el caso.
Al añadir la solución en Z estas superficies se convierten en conos conver-
gentes para las funciones Hankel de primer tipo y conos divergentes para
funciones del segundo tipo (ver Figura 2.4).
En geometŕıa circular, los conos convergen en el eje Z para después
convertirse en ondas cónicas divergentes. En geometŕıas eĺıpticas es muy
similar excepto que las ondas, que lejos de los focos se aproximan a conos
circulares, convergen en la banda formada entre los dos focos a lo largo del
eje Z para después generar ondas divergentes.
Lo descrito anteriormente hace que en todo punto haya al mismo tiempo una
superposición de una onda convergente y una divergente (traducido como
una suma de funciones Hankel de primer y segundo tipo). El resultado es un
campo descrito por una función Bessel o Mathieu tipo J con el mismo orden
y paridad de las ondas cónicas.
2.5.2. Haces Helmholtz-Gauss
Es importante hacer notar que los haces adifraccionales tratados hasta
ahora (los haces Bessel y Mathieu) son únicamente casos teóricos ideales. No
pueden ser generados en la práctica dado que la integral sobre todo el plano
del cuadrado de las funciones Bessel y Mathieu no es finita, lo que implica
que transportaŕıan y necesitaŕıan enerǵıa infinita.
Para evitar este problema se podŕıa “limitar” las ondas planas por una
apertura circular finita. Esto nos daŕıa ondas que se propagan a lo largo de
cilindros cuyos ejes forman un cono de ángulo θ0 como en el caso ideal (ver
Figura 2.5). Si el radio de apertura de cada uno de estos cilindros es RL,
puede encontrarse geométricamente la región de superposición en donde se
generarán los COIPs. En este caso son dos conos pegados por la base, de
radio rb =
RL
cosθ0
y altura zmax =
RL
sinθ0
.
El mayor inconveniente de esta aproximación es que el hecho de tener una
20 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
Figura 2.4: Propagación de ondas cónicas Mathieu-Hankel. [30].
2.5. Propagación de un COIP real 21
Figura 2.5: Diagrama transversal de la superposición de ondas de apertura
finita. [11]
22 Caṕıtulo 2. Haces de luz tipo Mathieu
apertura originará, sobre cada onda, patrones de difracción. Si la apertura
es circular, se observarán discos de Airy en campo lejano y patrones muy
cambiantes cerca de la apertura.
Una mejor aproximación se obtiene mediante una modulación Gaussiana
en la amplitud del campo, dando origen a los haces Helmholtz-Gauss [24]. Su
amplitud en el plano z = 0 estará dada por:
E(u, v) = Φ(u, v)e−(ρ
2/w20), (2.30)
donde Φ es la función que determina la amplitud de un COIP, w0 es el
radio de la función Gaussiana y ρ es el radio en coordenadas polares.
Aunque un campo de la forma de la ec. (2.30) no dará origen a un haz
estrictamente invariante, dentro de la región de superposición de ondas se
obtendrá una buena aproximación.
Caṕıtulo 3
Generación experimental de
haces Mathieu
3.1. Antecedentes
El arreglo de Durnin
El primer COIP (además del patrón de franjas en el experimento de
Young) fue reportado por Durnin y colaboradores en 1987 [11,12].
Ellos generaron un haz Bessel J0 al iluminar una rendija anular de diámetro
d = 2.5mm y de ancho ∆d = 10µ con una onda monocromática colimada (ver
Figura 3.1). Colocaron una lente convergente a distancia focal (f = 305mm)
del plano objeto con el fin de que cada punto dentro de la rendija se encuentre
en el plano focal. Las ondas esféricas que salen de cada punto del filtro se
transformarán en las “ondas planas”que al superponerse generarán el haz
Bessel. La rendija anular y la lente definen el espectro angular del haz que,
a pesar de no ser un anillo de ancho infinitesimal, con relación a los otros
parámetros se puede considerar como tal.
Un método más eficiente para generar aproximaciones a haces Bessel
consiste en hacer incidir un haz Gaussiano en un axicón [25]. Con este
método además es posible generar modos de orden superior, usando como
haz incidente un modo Laguerre-Gauss helicoidal.
23
24 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.1: Diagrama transversal del arreglo experimental de Durnin et
al. [12]
Primeros haces Mathieu
El arreglo experimental usado por Gutiérrez Vega et al. [16] para generar
el primer haz Mathieu se basa en el mismo principio que el arreglo de Durnin:
Utilizaron una rendija anular (de radio r = 3.35mm y ancho ∆d = 0.1mm)
para definir el espectro angular A(φ) = ce0(φ; q) correspondiente a un
Mathieu Je0ce0, como muestra el diagrama en la Figura 3.2. La amplitud
del espectro se dio al iluminar la rendija con un haz Gaussiano alargado en
una dirección mediante una lente ciĺındrica. Esto funciona debido al hecho
de que la función ce0(φ; q) se puede aproximar como una función Gaussiana.
Con este método se puede variar la elipticidad del haz generado, sin embargo
se limita únicamente al modo de orden cero.
Se han logrado generar haces Mathieu-Gauss, y en general haces Helmholtz-
Gauss, con mayor variedad con la ayuda de hologramas de fase y hologramas
de Fourier generados por computadora [10, 24]. Los hologramas de fase se
producen calculando la distribución de fase resultante de la interferencia
de un COIP con una onda plana inclinada. Esta distribución se imprime
en escala de grises sobre una peĺıcula holográfica que, al ser tratada
adecuadamente, traduce las diferencias de tonos en retrasos de fase para
un haz que ilumine al holograma. El caso de los hologramas de Fourier es
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 25
Figura 3.2: Diagrama del arreglo experimental para generar un Mathieu
Je0ce0, usado por Gutierrez Vega et al. [16]
similar al anterior, pero en estos se calcula el perfil de intensidad resultante
de la interferencia de un COIP con la onda plana inclinada. En este tipo de
hologramas se controla la transmitancia.
Al colocar una lente positiva a distancia focal del holograma se generarán
órdenes de difracción. El primer orden contiene al haz en cuestión y deberá ser
filtrado con una apertura en el plano focal, donde se ha generado el anillo
correspondiente a su espectro. Mediante una nueva lente situada a distancia
focal de la apertura circular se reconstruye el COIP.
Los métodos holográficos son más versátiles que aquellos basados en la
apertura anular, sin embargo, tenerque filtrar los demás órdenes de difracción
hace que no sean muy eficientes.
3.2. Generación de Haces Mathieu con un
Modulador Espacial de Luz
Recientemente se ha logrado generar haces Bessel con una mayor eficiencia
[6,26]. Por la manera en que se genera el holograma de fase, el haz se produce
sobre el mismo eje de propagación. Para ello se puede hacer uso de un
dispositivo electro-óptico conocido como modulador espacial de luz (SLM
en inglés) de fase. Este elemento puede cambiar de manera activa, desde la
26 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.3: Mapa de fases de un Mathieu coseno con parámetros m=6, q=12,
en este caso las regiones blanca y negra tienen una diferencia de fase de π
radianes.
computadora, la fase de distintos puntos del haz que incide en su pantalla de
cristal ĺıquido.
3.2.1. Simulaciones numéricas
El interés en este método es que dando la codificación de fase apropiada
al SLM también es posible generar haces Mathieu, como lo demostramos
recientemente [19].
Mediante una interfase entre la computadora y el modulador , se despliega
en la pantalla del dispositivo el mapa de fase en escala de grises del haz
deseado, parecido al que se muestra en la Figura 3.3. Los tonos de gris son
interpretados como voltajes que determinan la orientación de las moléculas
en cada celda, generando una diferencia de camino óptico que conlleva un
retraso y diferencia de fase. La escala de grises toma valores enteros de 0 a
255 (de negro a blanco) que corresponden a un cambio gradual de fase de 0
a 2π.
La distribución de la fase para modos par o impar se obtiene directamente
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 27
del signo del campo eléctrico, es decir:
M em(u, v) = sgn[cem(v; q)Jem(u; q)], (3.1)
M om(u, v) = sgn[sem(v; q)Jom(u; q)]. (3.2)
La operación sgn[ ] representa a la función signum y puede tomar dos
valores, que se interpretan como 0 ó π. En un haz rotante, dado que es
resultado de una suma compleja, su mapa de fases toma valores de 0 a 2π de
acuerdo con:
Mhm(u, v) = exp[±iarctan
Bm(q)sem(v; q)Jom(u; q)
Am(q)cem(v; q)Jem(u; q)
]. (3.3)
Cuando la luz de un láser incide en el modulador se le está asignando
la fase del campo deseado pero aún no tiene la amplitud adecuada. En
este punto se encuentra contaminado por campos que tienen su origen en
la difracción y reflexión en primera superficie del modulador, mismos que
deberán ser retirados mediante un sistema de filtraje espacial 4f. Para este
propósito se coloca una lente positiva a una distancia focal fL del SLM. En
el plano de Fourier se hace el filtraje espacial y otra lente idéntica se sitúa a
distancia fL del filtro para reconstruir el campo.
Para un COIP con modulación Gaussiana el filtro espacial debe ser una
rendija anular con un radio y un ancho que dependen de kt y del haz de
entrada respectivamente. Con iluminación de un haz Gaussiano con un ancho
de cintura w0 y de longitud de onda λ, el radio del centro y el ancho de la
rendija deben ser [19]:
R = ktλfL/2π, (3.4)
∆R = 2λfL/w0π. (3.5)
Observando las ecuaciones ec. (3.4) y (3.5) podemos ver que mientras más
expandido esté el haz de entrada más delgado será el anillo del espectro. En
el caso ĺımite cuando incide una onda plana infinita recobramos el anillo de
ancho infinitesimal.
Según la aplicación, puede ser deseable tener un espectro delgado pues uno
grueso contiene varios anillos de kt distintas (a esto se debe la modulación
Gaussiana del COIP) pero al mismo tiempo se tienen componentes kz
distintas. Esto hace que a lo largo de la propagación haya batimientos y
por lo tanto variaciones en la intensidad [30].
28 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.4: Propagación de un haz Mathieu coseno de orden m = 6 y
parámetros q = 18, kt = 10mm
−1, λ = 500nm y w0 = 2.35mm
Con un programa que calcula la propagación de un campo óptico
es posible ver cómo es su evolución al dar ciertas condiciones iniciales
de amplitud y fase en un arreglo con lentes y filtros como el descrito
anteriormente.
Las simulaciones para haces de orden m = 6 tipo coseno y rotante con
kt = 10mm
−1, λ = 500nm y w0 = 2.35mm se muestran en las Figuras
3.4 y 3.5. Para poder visualizar mejor los resultados se han reescalado las
dimensiones transversales con respecto al ancho del haz Gaussiano y las
dimensiones longitudinales con respecto a la distancia focal de las lentes.
Por motivos de resolución en los cálculos de la transformada de Fourier,
también se ha reescalado λ, haciéndola 100 veces más grande. Esto trae como
consecuencia que, en las imágenes de las simulaciones, el espectro aparece 100
veces más grande de lo que es en la realidad.
En ambas figuras la imagen (g) es un corte longitudinal en y = 0, el SLM
se ubica en z/fL = −4, las lentes se han colocado en z/fL = {−3,−1} y el
filtro anular en z/fL = −2.
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 29
Figura 3.5: Propagación de un haz Mathieu rotante de orden m = 6 y
parámetros q = 12, kt = 10mm
−1, λ = 500nm y w0 = 2.35mm
La imagen (f) muestra la condición inicial de la fase, (a) y (b) muestran el
espectro de Fourier antes y después del filtro anular y de la (c) a la (e) los
cortes transversales en la zona de reconstrucción. Como se puede notar en
las imágenes, la zona con mayor cantidad de anillos reconstruidos se da en el
plano z/fL = 0.
En el haz rotante además se puede notar que el perfil de intensidad parece
girar ligeramente en sentido horario. Este es un fenómeno que se observa
cuando hay vórtices ópticos del mismo signo anidados en haces Gaussianos
y se debe a la apertura finita [21].
La eficiencia teórica 1 encontrada en las simulaciones puede llegar hasta
un 80 %. Esta se ve afectada por los parámetros: q, m, w0, mientras que el
parámetro kt no juega un papel tan significativo. Como es de esperarse, en
un experimento de laboratorio hay más factores, que pueden disminuir la
eficiencia, uno de los más importantes es la reflexión en las superficies de los
1Entendiendo por eficiencia a la razón de la intensidad total del COIP generado, con
respecto a la intensidad del haz que incide en el SLM.
30 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.6: Diagrama del arreglo experimental para generar COIPs con un
SLM: PMO, placa de media onda; SLM,modulador de fase; P, polarizador;
L1 y L2, lentes.
elementos ópticos.
3.2.2. Arreglo experimental
En la Figura 3.6 se muestra el arreglo experimental que se usó en el
laboratorio.
La fuente de iluminación con perfil Gaussiano es producida por un láser
continuo de polarización lineal, de longitud de onda λ = 532nm y con un
ancho de cintura w0 = 2.35mm. La distancia focal de las lentes es fL = 25cm.
En el experimento la apertura anular es de mayor importancia que en las
simulaciones, pues con ella se debe filtrar el centro del espectro. Además de
los espectros de campos que resultan por la técnica misma (ver Figuras 3.4(a)
y 3.5(a) ), la principal aportación en la zona central es causa de la reflexión
especular en la superficie del SLM.
El modulador de fase que se usó es el Holoeye LC-R-2500.
Dado que el SLM tiene una resolución definida, no es posible generar
hologramas con cualquier valor de kt. Tener un valor grande aumenta los
efectos de pixelización y disminuye la calidad del holograma. Tomar un valor
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 31
pequeño hace más pequeño el anillo del espectro y dificulta el filtraje. En
este caso el valor que se usó fue kt = 10mm
−1.
La placa de media onda y el polarizador (ver Figura 3.6) son necesarios para
tener un óptimo rendimiento en la modulación de la fase y minimizar la
modulación de amplitud.
Los resultados obtenidos con esta técnica se muestran en las Figuras 3.7
y 3.8. Se puede apreciar el espectro asociado a cada modo Mathieu-Gauss y
también se puede observar la invariancia de los COIPs. Esnotable cómo el
perfil Mathieu-Gauss se va perdiendo primero en las regiones más externas,
justo como sugiere la Figura 2.5 (pág. 21). La distancia de adifraccionalidad
es de aproximadamente 50cm pero se puede incrementar si se expande el haz
de entrada.
Para determinar que en los haces rotantes realmente se han creado
vórtices ópticos se puede hacer dos pruebas.
La primera es hacer interferencia con una onda plana cuyo ángulo de
propagación esté ligeramente desviado con respecto al del vórtice. Lo que
se debe observar es un patrón en forma de tenedor que indica la forma
helicoidal de los frentes de onda. En la Figura 3.9 se puede ver la comparación
entre simulaciones y el experimento de los haces Mathieu-Gauss rotantes y
su patrón de interferencia en forma de tenedor.
La segunda prueba es conocida como prueba de la navaja [5] y se basa en
el hecho de que en los vórtices ópticos existe un flujo transversal de enerǵıa
alrededor de los vórtices. Según esta idea, al obstruir el haz con una navaja
el patrón de difracción será asimétrico. En la Figura 3.10 se puede observar
claramente cómo para dos modos helicoidales que giran en sentidos contrarios
el patrón de difracción es asimétrico y depende del sentido de rotación de la
fase.
Este experimento es el punto de partida para el estudio del flujo de enerǵıa
desarrollado en el caṕıtulo 4.
32 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.7: Imágenes experimentales de haces Mathieu-Gauss con r = 6, q =
12 (izquierda) y sus espectros de Fourier correspondientes (derecha). De
arriba a abajo: modo par, modo impar, modo rotante
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 33
Figura 3.8: Imágenes a distintas distancias de propagación de haces Mathieu-
Gauss. Izquierda: modo par de m = 3, q = 12 ; derecha: modo impar de
m = 6, q = 18
34 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Figura 3.9: Simulaciones (izquierda) e imágenes experimentales (derecha)
de haces Mathieu-Gauss rotantes y su patrón de interferencia con una onda
plana ligeramente inclinada; parámetros (a)-(d) m=6, q=18; (e)-(h) m=3,
q=12
3.2. Generación de Haces Mathieu con un Modulador Espacial de Luz 35
Figura 3.10: Prueba de la navaja para un haz rotante con m = 6, q = 12; (a)
Simulación de la obstrucción en el plano z = 0; (b) simulaciones (izquierda)
e imágenes experimentales (derecha) tomadas a z = 10cm, para haces con
distintos sentidos de rotación.
36 Caṕıtulo 3. Generación experimental de haces Mathieu
Caṕıtulo 4
Vector de Poynting en haces
Mathieu
4.1. Nociones generales
En un medio lineal sin pérdidas la densidad de enerǵıa debido a campos
eléctricos y magnéticos es [22]:
u =
1
2
( ~E · ~D + ~B · ~H). (4.1)
Suponiendo que la región de interés es un volumen V encerrado en una
superficie A se llega a que
d
dt
∫
V
u dV = −
∫
V
~J · ~E dV −
∫
A
( ~E × ~H) · n̂ dA, (4.2)
con ~J la corriente generada por las distribuciones de carga en movimiento
y n̂ el vector normal a las superficie A. En la ec. (4.2), conocida como el
Teorema de Poynting, el término de la izquierda es el cambio con respecto al
tiempo de la enerǵıa en V . El primer término de la derecha es el trabajo
mecánico producido sobre las cargas por unidad de tiempo. El segundo
término de la derecha contiene al vector de Poynting dado por:
~S = ~E × ~H, (4.3)
cuyas unidades son de enerǵıa/(área·tiempo). Esta cantidad vectorial rep-
resenta la enerǵıa electromagnética que fluye a través de la superficie del
37
38 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
volumen por unidad de tiempo. También es posible escribir este teorema en
forma diferencial:
∂u
∂t
+∇ · ~S = − ~J · ~E. (4.4)
En esta forma, que asemeja a una ecuación de continuidad, se puede ver
que la idea principal del teorema de Poynting es la conservación de enerǵıa.
A los campos electromagnéticos se les puede asociar una densidad de
momento lineal por medio de ~S. En el vaćıo esta es [15]:
~℘ = �0µ0~S =
1
c2
~S, (4.5)
a partir de la cual se puede obtener la densidad de momento angular:
~̀= ~r × ~℘. (4.6)
El momento lineal de un campo electromagnético puede ser observado
cuando el flujo de enerǵıa es en forma de radiación. La luz que incide en un
objeto ejerce una presión de radiación. Esto coincide además con los puntos
de vista relativista y cuántico donde los fotones de enerǵıa E = h̄ω, tienen
momento
p = E/c. (4.7)
Hay que recordar que para el caso de radiación las magnitudes de los
campos eléctrico y magnético vaŕıan todo el tiempo. En muchos casos
las frecuencias son tan altas (en el espectro visible son de alrededor de
1015Hz) que no se detectan las variaciones de estas oscilaciones. Por ello
para cantidades como el vector de Poynting, la enerǵıa electromagnética y la
densidad de momento es más útil manejar sus promedios temporales.
Cuando se tienen ondas monocromáticas, el promedio temporal de ~S es [22]:
〈~S(~r)〉 = 1
2
Re( ~E(~r, t)× ~H∗(~r, t)). (4.8)
Otra manera de representar a 〈~S〉 es a partir de un análisis de la ecuación
eikonal [8]. Se llega a que su magnitud es igual al producto de la densidad de
enerǵıa promedio por la velocidad de propagación y su dirección es normal a
los frentes de onda geométricos. Este último resultado nos es de gran utilidad
4.2. Cálculo del vector de Poynting 39
pues es una forma más intuitiva de conocer la dirección del flujo de enerǵıa.
Como el vector de Poynting representa un flujo de enerǵıa, es posible
relacionarlo con la irradiancia o intensidad de una onda electromagnética [18]:
|〈~S〉| = I. (4.9)
Al observar la distribución de intensidad, ésta depende del flujo que incide
sobre la superficie en que se observa. Para un plano normal al eje Z se tiene
I = |〈~S〉z|. (4.10)
Otra propiedad importante se obtiene a partir de la ec. (4.4). Para un
medio no conductor donde no se produce trabajo mecánico y no hay pérdidas
[8]:
∇ · 〈~S〉 = 0. (4.11)
4.2. Cálculo del vector de Poynting
La manera en que se calculará 〈~S〉 es como indica la ec. (4.8).
Por lo general al describir un COIP lo que conocemos (definimos) son
las componentes eléctricas perpendiculares a la dirección de propagación.
Cuando se cumple que estas son las únicas componentes de ~E, se tiene
un modo transversal eléctrico (TE). En general para lograr un COIP en
modo TE (excepto por la onda plana), se necesitan estados de polarización
complicados [32]. Un haz adifraccional con polarización lineal o circular
tendrá componentes del campo eléctrico en dirección de su propagación
principal. Una forma burda de explicar esto es recordando que un COIP
es una superposición de ondas planas inclinadas. Si cada una de estas tiene
polarización lineal, dado que su eje de propagación es distinto del eje del
COIP, causará que haya componentes en dirección de este último. Desde luego
la componente z del campo será pequeña con relación a las transversales, si
el ángulo del cono del COIP es pequeño.
La forma de obtener la componente z de ~E es haciendo que se cumplan
las ecuaciones de Maxwell. En el caso de propagación en el vaćıo se tiene que:
∇ · ~E = 0, (4.12)
40 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
de donde
∂Ez
∂z
= −∂Ex
∂x
− ∂Ey
∂y
. (4.13)
Para resolver esta ecuación diferencial simplemente hay que integrar con
respecto a z:
Ez = −
∫
[
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
] dz. (4.14)
En un COIP sabemos que su dependencia en z es como en la ec. (2.8),
pág. 7, que define las componentes transversales de ~E. Aśı pues, sabemos que
para polarizaciones de tipo lineal, circular o eĺıptico el campo transversal es
~E⊥(~r, t) = (Ex(~r, t), Ey(~r, t)) = (Ax̂+Bŷ)Φ(x, y)e
i(kzz±ωt). (4.15)
A y B son constantes cuya única condición es que |A|2 + |B|2 = 1.
Metiendo la expresión (4.15) en (4.14) obtenemos la componente faltante:
Ez =
i
kz
[A
∂Φ(x, y)
∂x
+B
∂Φ(x, y)
∂y
]ei(kzz±ωt) + cte. (4.16)
Como el campo electromagnético es armónico yde frecuencia ω la
constante de integración debe ser 0.
Para calcular el vector de Poynting también es necesario conocer el campo
magnético asociado. Según las ecuaciones de Maxwell debe cumplir:
∂ ~B
∂t
= −∇× ~E. (4.17)
Nuevamente, como en el caso de Ez, para encontrar la expresión de ~B
hay que integrar la ec. (4.17) con respecto a t. Dado que se tienen ondas
monocromáticas cuya dependencia en el tiempo es e−iωt, el resultado es:
~B = − i
ω
∇× ~E, (4.18)
la constante de integración se ha anulado por la misma razón.
El complejo conjugado del vector de magnetización es:
4.3. Cálculos y análisis del flujo transversal de enerǵıa 41
~H∗ =
i
µ0ω
∇× ~E∗, (4.19)
El vector de Poynting promediado en el tiempo tendrá por lo tanto la
siguiente forma: .
〈~S〉 = i
2µ0ω
Re( ~E × (∇× ~E∗)). (4.20)
Por medio de las ecs. (4.20) y (4.16) podemos calcular 〈~S〉 conociendo
únicamente la expresión transversal de ~E.
Con ayuda de un programa en MATLAB se puede representar el
mapa vectorial de las componentes transversales del vector de Poynting,
〈~S〉⊥. Esto nos dará una descripción cualitativa del flujo de enerǵıa. Para
ello sólo consideraremos polarización lineal, pues la polarización circular
hace que además haya momento angular de esṕın [2]. Por simplicidad se
considerará que la polarización es en la dirección x̂.
4.3. Cálculos y análisis del flujo transversal
de enerǵıa
En esta sección se presentan algunos resultados de simulaciones, aśı como
algunos análisis del comportamiento del flujo transversal en diferentes COIPs.
Para facilitar la interpretación de las simulaciones del flujo de enerǵıa en haces
Mathieu, primero se mencionan COIPs más sencillos: la onda plana y haces
Bessel. La onda plana a pesar de ser un ejemplo sencillo nos brindará gran
ayuda pues, tomando una región suficientemente pequeña, frentes de onda
de mayor complejidad se pueden aproximar por frentes de onda planos.
Onda plana
En una onda plana el vector de Poynting es constante y su dirección
es la del vector de onda. Si el vector de onda se encuentra inclinado con
respecto al eje Z, lo que observamos en un plano z = cte es que hay un “flujo
transversal” de enerǵıa uniforme.
42 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
Figura 4.1: Cálculos de (a) perfil de intensidad (unidades arbitrarias) y (b)
mapa de fase (en radianes) para un haz Bessel J0 con kt/k = 0.009421.
La magnitud de este flujo depende del ángulo de inclinación de los frentes de
onda. Si el vector de onda tiene una componente transversal kt = ksin(θ0)
entonces la magnitud del flujo transversal será:
|〈~S〉⊥| = |〈~S〉z|tan(θ0) = I tan(θ0). (4.21)
Haz Bessel
En un haz Bessel de orden cero, aśı como en general para los modos coseno
o seno, los frentes de onda son perpendiculares a su eje de propagación. Por
lo anterior, el flujo de enerǵıa debe ser paralelo a Z.
Según los cálculos numéricos, para un modo de orden cero con kt/k =
0.009421, el flujo transversal es nulo. Las distribuciones de intensidad y fase
de este haz se muestran en la Figura 4.1.
Como ya se mencionó, en los haces rotantes los frentes de onda se vuelven
helicoidales. Esto hace que, a diferencia de los modos par e impar que
los generan, los frentes de onda se encuentren inclinados y haya un flujo
transversal de enerǵıa. Mientras mayor sea el orden del haz, más inclinados
serán los frentes de onda y por consiguiente mayor la proporción del flujo
transversal. Los cálculos de 〈~S〉⊥ en modos rotantes tipo Bessel de primer
y segundo orden se muestran en las Figuras 4.2 y 4.3. A partir de estas
4.3. Cálculos y análisis del flujo transversal de enerǵıa 43
simulaciones podemos ver que el flujo de enerǵıa transversal es muy pequeño
en comparación con el flujo longitudinal (que es también la intensidad del
haz). A pesar de que en las Figuras 4.2(d) y 4.3(d) las magnitudes de 〈~S〉⊥
son parecidas, la razón
|〈~S〉⊥|
〈~S〉z
es mayor para el modo de orden 2.
Haz Mathieu
En los modos par e impar de estos haces los frentes de onda también son
perpendiculares a la dirección de propagación; como consecuencia el flujo de
enerǵıa es en esta misma dirección. En la Figura 4.4 se han graficado las
distribuciones de intensidad y de fase en un modo par de orden m = 6 y
parámetros q = 12, kt/k = 0.009421. De nuevo la magnitud calculada del
flujo transversal es nula.
Con una superposición compleja de los modos par e impar podemos
generar haces con frentes de onda helicoidales (ver sec. 2.4.1). Los resultados
del cálculo para tres haces Mathieu rotantes de parámetros (m=6,q=12),
(m=6, q=18) y (m=11, q=42) se muestran en las Figuras 4.5, 4.6 y 4.7
respectivamente. En estos casos, de manera similar a los haces Bessel, el flujo
transversal de enerǵıa sigue siendo considerablemente menor que el flujo en
dirección longitudinal (que es representado en las figuras como la intensidad).
Con respecto a los modos rotantes, dos fenómenos son de interés:
En el modo con (m=6,q=12) se tiene un único vórtice eĺıptico de carga
topológica 6, mientras que para el de parámetros (m=6, q=18) se tienen
6 vórtices de carga unitaria. El flujo de enerǵıa en vórtices ópticos posee
trayectorias alrededor de éstos y, como demuestran las simulaciones, esto
ocurre también en el caso del vórtice eĺıptico. Para el haz donde los vórtices
se han separado el flujo transversal de enerǵıa tiene el mismo sentido de
rotación alrededor de cada uno de ellos. Esto causa que haya puntos (situados
entre dos vórtices consecutivos) donde el flujo transversal se anula entre śı.
Podemos observar este hecho en la gráfica 4.6(d), donde en el centro del haz
se pueden localizar 11 puntos de flujo transversal nulo. Seis de estos puntos
corresponden a los centros de los vórtices individuales, los restantes 5 son los
lugares entre vórtices donde el flujo transversal se ha contrarrestado.
El otro fenómeno de relevancia en estos modos rotantes se aprecia en las
gráficas de la magnitud del flujo transversal de enerǵıa, donde podemos
44 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.2: Flujo de enerǵıa transversal en un haz Bessel rotante J1 con
kt/k = 0.009421. (a) Perfil de intensidad (unidades arbitrarias); (b) mapa
de fase (en radianes); (c) diagrama vectorial de 〈~S〉⊥; (d) magnitud del flujo
transversal de enerǵıa (unidades arbitrarias).
4.3. Cálculos y análisis del flujo transversal de enerǵıa 45
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.3: Flujo de enerǵıa transversal en un haz Bessel rotante J2 con
kt/k = 0.009421. (a) Perfil de intensidad (unidades arbitrarias); (b) mapa
de fase (en radianes); (c) diagrama vectorial de 〈~S〉⊥; (d) magnitud del flujo
transversal de enerǵıa (unidades arbitrarias).
46 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
Figura 4.4: Cálculo de (a) perfil de intensidad (unidades arbitrarias) y (b)
mapa de fase (en radianes) en un haz Mathieu par con parámetros m =
6, q = 12, kt/k = 0.009421.
notar que este ya no es uniforme con respecto a la coordenada angular v,
como suced́ıa con los Bessel para φ. La razón es que tanto la intensidad
como la variación de la fase en el haz tampoco son uniformes en v, dando
como resultado que el vector de Poynting tenga magnitudes e inclinaciones
diferentes.
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa
en haces rotantes
Como se mostró en la sección 4.3, el flujo transversal de enerǵıa en los
haces rotantes no es uniforme en todo el haz. Para entender esto se puede
hacer un análisis para este tipo de COIPs. La ec. (4.11) se puede separar en
∂〈~S〉z
∂z
+∇⊥·〈~S〉⊥ = 0. (4.22)
Esta expresión la podemos reescribir en términos de la intensidad, según
indica la ec. (4.10). Además sabemos que por la definición de COIP, ec.
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa en haces rotantes 47
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.5: Flujo de enerǵıa en un haz Mathieu rotante con parámetros m =
6, q = 12, kt/k = 0.009421. (a) Perfil de intensidad(unidades arbitrarias);
(b) mapa de fase (en radianes); (c) diagrama vectorial de 〈~S〉⊥; (d) magnitud
del flujo transversal de enerǵıa (unidades arbitrarias).
48 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.6: Flujo de enerǵıa en un haz Mathieu rotante con parámetros m =
6, q = 18, kt/k = 0.009421. (a) Perfil de intensidad (unidades arbitrarias);
(b) mapa de fase (en radianes); (c) diagrama vectorial de 〈~S〉⊥; (d) magnitud
del flujo transversal de enerǵıa (unidades arbitrarias).
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa en haces rotantes 49
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.7: Flujo de enerǵıa transversal en un haz Mathieu par con
parámetros m = 11, q = 42, kt/k = 0.009421. (a) Perfil de intensidad
(unidades arbitrarias); (b) mapa de fase (en radianes); (c) diagrama vectorial
de 〈~S〉⊥; (d) magnitud del flujo transversal de enerǵıa (unidades arbitrarias).
50 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(1.1):
∂I
∂z
= 0; (4.23)
por lo tanto
∇⊥·〈~S〉⊥ = 0. (4.24)
La forma expĺıcita de la divergencia de un campo vectorial depende
directamente de la geometŕıa. En coordenadas transversales generalizadas
q1 y q2 esta es [28]:
∇⊥·〈~S〉⊥ = −
1
hq1hq2
[
∂(hq2〈~S〉q1)
∂q1
+
∂(hq1〈~S〉q2)
∂q2
]. (4.25)
Si observamos la estructura de los COIPs rotantes circulares o eĺıpticos,
podemos ver que en varios casos se generan anillos de intensidad separados
por nodos, los cuales siguen curvas de r o u constantes, según el caso.
Teniendo parámetros apropiados en la superposición de modos par e impar,
las funciones angulares (o sus análogas en eĺıpticas) generarán anillos de
luz continuos. Por lo anterior podemos suponer que el flujo de enerǵıa en
dirección perpendicular a los anillos es nulo. De no ser aśı, habŕıa un flujo
de enerǵıa entre anillos que se manifestaŕıa como luz que “contamina” las
regiones obscuras. En los casos en los que se puede aproximar1 que el flujo
en dirección ortogonal a los anillos es nulo (〈~S〉q1 = 0 en coordenadas
generalizadas) la ec. (4.24) se simplifica:
∂(hq1〈~S〉q2)
∂q2
= 0. (4.26)
El significado de la ecuación diferencial en (4.26) es que el producto G =
hq1〈~S〉q2 será una función constante con respecto a la variable q2. Esta, sin
embargo, aún puede ser función de q1 y de z, pero por la caracteŕıstica de
invariancia de los haces en cuestión la dependencia longitudinal es descartada.
De acuerdo con las ideas anteriores tendremos que:
|〈~S〉⊥| = 〈~S〉q2 =
G(q1)
hq1
. (4.27)
1Es una aproximación ya que el análisis presentado no nos garantiza que no haya
pequeños flujos radiales dentro de cada anillo de luz, como los que se presentan cuando
un vórtice eĺıptico se separa en vórtices individuales.
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa en haces rotantes 51
En las simulaciones de la sección 4.3 se pudo apreciar que, con los
parámetros usados, la magnitud del flujo de enerǵıa en dirección transversal
es mucho menor que el flujo en dirección longitudinal o intensidad, por esta
razón
|〈~S〉| ≈ I. (4.28)
Es entonces de esperar que en G haya un factor relacionado con la intensidad
del haz, cuya dependencia sea sólo de la coordenada q1. Por ejemplo, cuando
la expresión del campo eléctrico del haz está en forma de variables separadas:
E(q1, q2, z) = Q1(q1)Q2(q2)Z(z), dicho factor seŕıa (Q1(q1))
2.
En haces Bessel rotantes este resultado es fácil de comprobar ya que su
flujo transversal es únicamente angular y constante con respecto a θ (ver
Figuras 4.2(d) y 4.3(d)). En esta geometŕıa (donde q1 = r y q2 = φ) tenemos
hr = 1 por lo que el flujo angular, según la ec. (4.27), es:
〈~S〉θ = GB(r). (4.29)
Mediante cálculos numéricos (ver la Figura 4.8) es posible verificar que
se satisface (4.29) con
GB(r) ∝
J2m(ktr)
r
, (4.30)
donde J2m(ktr) es la modulación radial de la intensidad. El término
1
r
se
puede asociar a la variación de la densidad del momento lineal en haces con
frentes helicoidales circulares [23]. El hecho de que el cálculo graficado en
dichas figuras sea uniforme en casi todo el haz confirma que no hay flujos
radiales de enerǵıa considerables. También se puede ver que el resultado de
dichos cálculos parece estar relacionado con el ı́ndice azimuthal de cada haz.
Este análisis del comportamiento del vector de Poynting transversal
también se puede aplicar para modos Mathieu. Para que la distribución de
la luz sea en anillos, con un único vórtice eĺıptico de carga topológica m,
debe cumplirse la condición (2.29) de la pág. 18. En un caso donde esto no
se cumple (como en el de la Figura 4.6), el flujo alrededor de cada vórtice
hace que la componente en dirección û no sea nula.
Para geometŕıas eĺıpticas los factores de escala hu y hv son como indica la ec.
(2.18) en la página 13 y no son constantes a lo largo de curvas u = cte. Según
la ec. (4.27) al calcular el producto |〈~S〉⊥|h, dará como resultado una función
que sólo depende de la coordenada ‘radial’: GM(u). En las Figuras 4.9(a)
y 4.9(b) se han graficado los factores de escala eĺıpticos correspondientes a
52 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
Figura 4.8: Cálculo numérico de (
|〈~S〉⊥|
J2m(ktr)/r
) para haces Bessel rotantes
de órdenes (a) m = 1 y (b) m = 2 , con kt/k = 0.009421. El resultado
es constante (con variaciones del orden de 0.1 %) en todo el perfil del haz,
excepto en las regiones de intensidad nula, donde este diverge.
4.4. Análisis del flujo transversal de enerǵıa en haces rotantes 53
modos (m = 6, q = 12) y (m = 11, q = 42), respectivamente. Además,
en estas mismas imágenes, se han sobrepuesto las curvas de nivel de |〈~S〉⊥|
correspondientes. Esto tiene el fin de notar que en distintos puntos de un
mismo anillo del haz Mathieu se encuentran valores diferentes en el factor de
escala. En las Figuras 4.9(c) y 4.9(d) se encuentran las curvas de nivel del
producto GM en tonos cobrizos y elipses de u = cte en verde. Aqúı debemos
notar que las curvas de nivel de GM son elipses confocales a las de u = cte.
Con esto corroboramos que efectivamente GM depende sólo de u.
Determinar GM(u) a partir de la expresión del perfil no es tan sencillo
como en el caso de GB(r). El problema radica en que la distribución de
intensidad de un Mathieu, en aproximación paraxial, es proporcional a:
〈| ~E⊥|2〉 = |Ψem(u, v; q)+iΨom(u, v; q)|2 = Je2m(u; q)ce2m(v; q)+Jo2m(u; q)se2m(v; q),
(4.31)
de donde no es posible factorizar las funciones radiales, que difieren en
paridad. A pesar de ello las funciones Jem(u; q) y Jom(u; q) son muy parecidas
entre śı lejos del eje interfocal. Además la zona donde tienen mayor diferencia
se ubica en la parte central del haz, donde hay poco o nulo flujo de
enerǵıa. Tomando GM(u; q) ∝ Je2m(u; q) o GM(u; q) ∝ Jo2m(u; q) se obtienen
resultados favorables. Pero como en las regiones de interés
Je2m(u; q) ≈ Jo2m(u; q) ≈
1
2
(Je2m(u; q) + Jo
2
m(u; q), (4.32)
podemos proponer:
GM(u; q) ∝
1
2
(Je2m(u; q) + Jo
2
m(u; q)). (4.33)
En las Figuras 4.9(e) y 4.9(f) se puede apreciar que |〈~S〉⊥|/12(Je
2
m(u; q) + Jo
2
m(u; q))
es aproximadamente constante fuera de las zonas obscuras. Más aún, el valor
que se obtiene también parece estar relacionado con la carga topológica del
vórtice.
Los resultados muestran que conociendo al factor de escala eĺıptico y a la
función GM(u; q), como se definió en (4.33), se puede describir con buena
aproximación el comportamiento del flujo transversal de enerǵıa en haces
Mathieu rotantes.
54 Caṕıtulo 4. Vector de Poynting en haces Mathieu
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 4.9: Cálculos de: factor de escala (arriba) y productos hu|〈~S〉⊥|)
(en medio) y |〈~S〉⊥|/12(Je
2
m(u; q) + Jo
2
m(u; q)) (abajo). Los parámetros son:
m = 6, q = 12 (izquierda) y m = 11, q = 42 (derecha); ambos con kt/k =
0.009421. En (a) y (b) se han sobrepuesto las respectivas curvas de nivel
de |〈~S〉⊥|. En las figuras (c) y (d) las curvas de nivel de los resultados se
muestran en tonos cobrizos y son elipsesconfocales a las de u = cte, en
verde.
Caṕıtulo 5
Una técnica experimental para
estimar la dirección de 〈~S〉
La luz tiene un momento lineal que está directamente relacionado con su
flujo de enerǵıa. Cuando hay interacciones entre luz y materia, como en las
pinzas ópticas y trampas de átomos, parte de este momento se transfiere y
se hace evidente en el movimiento de las part́ıculas. Además si el flujo de
enerǵıa tiene componentes transversales, se producen efectos interesantes y
útiles en varias de sus aplicaciones. En este caṕıtulo se presenta el diseño de
una técnica para conocer su dirección.
5.1. Algunas técnicas relacionadas
El estudio y uso de los vórtices ópticos ha favorecido la generación de
técnicas para determinar algunas caracteŕısticas como su sentido de giro y
carga topológica. Una de las técnicas más simples para determinar el sentido
de giro consiste en realizar la prueba de la navaja [5]. Al obstruir el haz, el
patrón de difracción presenta una ligera rotación a lo largo de su propagación
en el sentido del flujo de enerǵıa. Aunque se notan diferencias dependiendo del
ı́ndice azimutal, este método no proporciona directamente más información.
Otro método consiste en observar el patrón de difracción al hacer pasar un
vórtice óptico por una rendija [13]. Las franjas de intensidad que se generan
tendrán caracteŕısticas observables que permiten saber el sentido de giro
y la carga topológica del vórtice. De manera similar se puede determinar la
55
56 Caṕıtulo 5. Una técnica experimental para estimar la dirección de 〈~S〉
magnitud y el signo de la carga topológica al observar el patrón que se genera
cuando un vórtice óptico se difracta a través de una apertura triangular [20].
Estas técnicas sirven para conocer propiedades cualitativas de un haz o de un
vórtice, sin embargo no se han usado para obtener información cuantitativa.
Haciendo uso de un dispositivo conocido como sensor de frente de onda Shack
Hartmann se puede analizar el frente de onda de un haz rotante [23]. El sensor
consiste en un arreglo de lentillas que enfocan las porciones de haz que captan
y detectan la posición donde esto ocurre. Un frente de onda inclinado con
respecto a la lente hará que la imagen focal se genere fuera de eje. Al ser
detectado, el desplazamiento se interpreta como un ángulo de inclinación en
esa porción del frente de onda. Con todo el arreglo se genera un mapa de la
inclinación del flujo de un haz. Si bien este método sirve para caracterizar
el frente de onda de cualquier haz, tiene la desventaja de ser un dispositivo
costoso.
5.2. Estudio de la dirección del flujo de en-
erǵıa por difracción por una rendija
La idea principal en la técnica que se propone en este trabajo es la misma
que en la prueba de la navaja: al obstruir un haz parcialmente, la porción
difractada revelará información acerca de la dirección del flujo de enerǵıa
electromagnética. Para esta prueba, además de la navaja , cualquier objeto
cuya forma no sea simétrica según la geometŕıa del haz sirve como máscara
[5]. La forma que se eligió, por su sencillez y porque permite seleccionar con
facilidad porciones del haz, es la de una rendija con posición, orientación y
ancho ajustables.
Al analizar el desplazamiento que sufre el patrón de difracción a lo largo de su
propagación, se obtiene información acerca de la dirección del flujo de enerǵıa
en la porción seleccionada del haz. De hecho, recordando que I = 〈~S〉z,
teniendo la dirección del flujo de enerǵıa y la intensidad, podŕıamos conocer
el resto de las componentes de 〈~S〉. En este trabajo bastará con enfocarnos
en obtener su dirección.
Para explicar y validar la técnica, esta se puede aplicar a uno de los modos
más sencillos que presentan flujo transversal de enerǵıa: un haz Gaussiano
inclinado.
5.3. Prueba con un haz Gaussiano 57
5.3. Prueba con un haz Gaussiano
El caso real más simple para el estudio del flujo transversal de enerǵıa
es un haz Gaussiano con frentes de onda aproximadamente planos. Para
simplificar el análisis, supongamos que el haz ha sido expandido y centrado
de manera que en la rendija la intensidad es uniforme.
El efecto producido por tener frentes de onda inclinados se puede entender
desde dos puntos de vista: el geométrico y el de difracción en campo lejano.
Si analizamos el problema geométricamente debemos notar que la sombra
cerca de la rendija conserva la forma de la máscara, a pesar de que son
notorios los efectos ondulatorios en los bordes (viñeteado). En el perfil de
intensidad se puede identificar lo que correspondeŕıa al centro de la abertura.
Si la rendija está centrada, en incidencia normal podemos ver que el centro del
haz difractado no se ha desplazado. Supongamos ahora que la onda incidente
se encuentra ligeramente inclinada un ángulo θ0. Si el ángulo es pequeño se
puede tratar como el caso con incidencia normal, pero con una rotación de
coordenadas alrededor del centro de la rendija (ver Figura 5.1). El resultado
será que el centro geométrico del haz difractado viajará a lo largo de una
ĺınea con un ángulo θ0. Mostraremos que para conocer este ángulo, basta con
medir el desplazamiento del centro para diferentes planos.
En el punto de vista de la difracción de campo lejano, el campo eléctrico
en el plano de observación es [14]
E(x, y)|z = eikz
∞∫∫
−∞
E(ξ, η)eik(xξ+yη)/z dξdη, (5.1)
donde E es el campo eléctrico al pasar por la apertura en el plano (ξ, η, z =
0), la función de transmitancia va impĺıcita en E . También se puede obtener
la expresión en campo lejano a través de la transformada de Fourier en el
espacio de frecuencias:
E(Kx, Ky) = F{E(ξ, η)}. (5.2)
Para incidencia normal en una rendija vertical de ancho D y largo L
En(ξ, η) = E0Rect(
ξ
D/2
)Rect(
η
L/2
), (5.3)
58 Caṕıtulo 5. Una técnica experimental para estimar la dirección de 〈~S〉
(a) (b)
Figura 5.1: Esquema simplificado de la difracción de una onda con frentes
planos a través de una rendija con (a) incidencia normal ; (b) ángulo de
inclinación θ0.
con E0 la amplitud de la onda incidente (una constante compleja) y
Rect(x) = 1 si −1 ≤ x ≤ 1 y Rect(x) = 0 en otro caso.
Al introducir la expresión (5.3) en (5.2) obtenemos [18]
En(Kx, Ky) = E0F{Rect(
ξ
D/2
)Rect(
η
L/2
)} = E0DLsinc(
DKx
2
)sinc(
LKy
2
).
(5.4)
La función sinc(x) = sin(x)/x tiene un máximo global en x = 0, o sea
que el máximo de intensidad está en (Kx = 0, Ky = 0), o (x = 0, y = 0) en
coordenadas espaciales.
Si la onda tiene un ángulo de inclinación θ0 con respecto al eje z, la fase ya
no es constante en la abertura. Por simplicidad tomaremos el caso donde el
ángulo azimuthal del vector de propagación es φ0 = 0, es decir, la componente
transversal de ~k va en dirección del eje x; por lo tanto:
Ei(ξ, η) = E0eik sin(θ0)ξRect(
ξ
D/2
)Rect(
η
L/2
). (5.5)
Para este caso se ha considerado que el ángulo θ0 es tan pequeño que el
ancho de la rendija no cambia aparentemente. Comparando con la expresión
5.3. Prueba con un haz Gaussiano 59
para incidencia normal vemos que:
Ei(ξ, η) = En(ξ, η)eik sin(θ0)ξ, (5.6)
o sea que el campo en (5.6) es el mismo que en (5.3) pero con un
corrimiento en la fase debido al término eik sin(θ0)ξ. Al realizar la transformada
de Fourier esto se manifestará únicamente como un desplazamiento del campo
observado:
Ei(Kx, Ky) = En(Kx − k sin(θ0), Ky). (5.7)
Lo importante de este resultado es que los patrones de difracción en la
onda normal y la onda inclinada serán prácticamente los mismos, pero el
segundo se desplaza lateralmente. Tomando como referencia los máximos de
intensidad, en cada caso las trayectorias de estos a lo largo de z forman un
ángulo θ0. Por esta razón al identificar el ángulo entre ambas trayectorias, se
puede conocer el ángulo de inclinación del vector de Poynting.
Cabe señalar que este método no se limita únicamente a cuando la rendija es
vertical y ~k está en el plano XZ (o