Excitaciones-cuanticas-macroscopicas-en-condensados-de-Bose-Einstein--vortices-skyrmiones-y-turbulencia

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
Excitaciones cuánticas macroscópicas en condensados de
Bose-Einstein: vórtices, skyrmiones y turbulencia
T E S I S
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
Doctor en Ciencias (F́ısica)
PRESENTA:
Roberto Antonio Zamora Zamora
DIRECTOR DE INVESTIGACIÓN:
Dr. V́ıctor Manuel Romero Roch́ın
Inv. Tit. “C” T. C., IF-UNAM
COMITÉ ASESOR:
Dra. Rosario Paredes Gutiérrez
Inv. Tit. “B” T. C., IF-UNAM
Dr. V́ıctor Manuel Velázquez Aguilar
Prof. Tit. “B” T. C., FAC. CIENCIAS UNAM
CIUDAD UNIVERSITARIA, CD. MX., MARZO 2018
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
JURADO ASIGNADO:
Presidente:
Secretario:
Vocal:
1er. Suplente:
2o. Suplente:
La tesis se realizó en Instituto de F́ısica, UNAM.
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Vı́ctor Manuel Romero Roch́ın
Inv. Tit. “C” T. C., IF-UNAM
———————————————————
A Magaly; mi espacio y tiempo,
Arturo y Julieta; mis fuerzas fundamentales,
A mis padres y hermanos; mi origen.
¡Ustedes dan vida a mi universo!
Reconocimientos
De manera personal agradezco a mi familia y amigos por todo el soporte que recib́ı
a lo largo de estos años de estudio. A mi esposa Magaly e hijos Arturo y Julieta; por el
cariño, comprensión y tiempo que me brindaron. A mis padres por el ejemplo de trabajo
y honestidad que me ha permitido llegar a culminar este proyecto. A mis hermanos y
familiares, que a lo largo de estos años me ha alentado con sus palabras. A mis amigos
atómicos ultrafŕıos que me regalaron su amistad en viajes, partidos, momentos alegres
y por su apoyo en ocasiones dif́ıciles. Agradezco a mis colaboradores Santiago Francisco
Caballero Beńıtez, Bruno Villaseñor Álvarez y Omar Adame Arana, por sus aportacio-
nes fundamentales a lo largo de las distintas etapas de este trabajo de investigación. Un
especial reconocimiento a mis asesores de investigación Vı́ctor Manuel Romero Roch́ın y
Rosario Paredes Gutiérrez que me guiaron y apoyaron más allá de lo académico en mi
formación como investigador y cient́ıfico.
Agradezco a CONACYT por las becas de maestŕıa No. 304383 y de doctorado No.
369663, aśı como el proyecto No. 255573 que financió la adquisición de material compu-
tacional y apoyó al cubrir gastos durante congresos nacionales e internacionales.
Mi reconocimiento al programa de Posgrado en Ciencias F́ısicas de la UNAM por el
apoyo otorgado a lo largo de mi preparación, investigación y conclusión del proyecto. Al
IF-UNAM por el soporte académico, técnico y administrativo a lo largo de mis estudios
de posgrado. A el Programa de Apoyo a los Estudios de Posgrado (PAEP) de la UNAM
por el apoyo para presentar los resultados de este trabajo en diversos foros internaciona-
les. Al proyecto DGAPA-PAPIIT No. IN111516 de la UNAM por el apoyo económico
durante la elaboración de esta tesis. Finalmente mi reconocimiento a la Universidad
Nacional Autónoma de México por otorgarme la oportunidad de construir en su seno
el conocimiento, trabajo y esfuerzo que esta investigación representa.
iii
Resumen
En este trabajo de investigación presentamos un estudio teórico y numérico sobre
excitaciones macroscópicas en condensados espinoriales de Bose-Einstein (SBEC), consi-
derando a los gases atómicos ultrafŕıos como el escenario experimental que gúıa nuestra
investigación. Revisamos los puntos clave de la teoŕıa cuántica de muchos cuerpos y presen-
tamos los fenómenos más representativos al estudiar bosones interactuantes: el fenómeno
de condensación de Bose-Einstein y el fenómeno de superfluidez, los cuales marcan una
nueva era en el estudio de los sistemas cuánticos macroscópicos. Para estudiar estos sis-
temas y los fenómenos f́ısicos que modela, recurrimos a la aproximación de campo medio
(ecuaciones tipo Gross-Pietaevskii) que nos provee de una descripción simple pero acertada
a muchos de los efectos actualmente medibles, como los estados estacionarios del sistema
(base y excitados), la dinámica de vórtices cuánticos, fases magnéticas de los sistemas
con esṕın, la superfluidez y sus espectros de excitaciones, los modos colectivos en sistema
confinados, las excitaciones topológicas, entre otros.
En el desarrollo de esta investigación el reto principal se situó en resolver sistemas
acoplados de ecuaciones diferenciales parciales no lineales mediante esquemas numéricos,
en su versión tanto dinámica como estacionaria. Del lado teórico, el reto consistió en utili-
zar técnicas anaĺıticas para encontrar soluciones al sistema en diversos ĺımites, y con esto
evaluar la calidad de las soluciones numéricas. Mientras que el reto del lado numérico y
técnico consistió en implementar métodos de solución generales y técnicas computaciona-
les de alto rendimiento ejecutadas en paralelo dentro de arquitecturas GPU (siglas debidas
a su nombre en inglés Graphics Processors Units), lo cual nos permitió hallar soluciones
con tiempos de cómputo razonables.
Una vez que implementamos los métodos de solución proponemos el estudio de exci-
taciones topológicas generadas por el acoplamiento del sistema con campos magnéticos
inhomogéneos, de lo cual derivamos un análisis a detalle de los estados estacionarios del
sistema confinado. Probamos posteriormente la existencia de defectos topológicos, de los
que deriva el estudio de la carga topológica, la inclusión de más de un defecto topológico
bajo distintas configuraciones y el análisis del espacio fase de los estados estacionarios en
función del campo magnético. Utilizando las ideas previas proponemos un estudio dinámi-
v
co de la respuesta del SBEC ante perturbaciones del campo magnético externo y por tanto
la excitación topológica misma, que resulta en un protocolo de excitación que nos permite
el estudio de turbulencia cuántica en superfluidos. Posteriormente utilizando una aproxi-
mación alternativa, estudiamos la aparición de turbulencia en sistemas BEC mediante la
impresión de fases para la generación de vórtices cuánticos en distintas configuraciones,
estudiando sistemáticamente la relación entre: vórtices cuánticos, su dinámica de recone-
xión y el espectro de enerǵıas de sistemas turbulentos.
Además, durante esta investigación no solo desarrollamos e implementamos esquemas
numéricos sencillos pero robustos para el estudio de condensados de Bose-Einstein espi-
noriales, sino también realizamos un análisis de los estados estacionarios del sistema y la
aparición de defectos topológicos. Proponemos también protocolos de excitación que nos
permitan acceder de manera controlada a escenarios en los cuales aparece el fenómeno de
turbulencia cuántica.
Abstract
In this research, we present a theoretical and numerical study on macroscopic excitations
in Spinor Bose-Einstein Condensates (SBEC), considering ultra-cold atomic gases as the
experimental scenarios that guide our investigation. We review the key points of the many
body quantum theory and present the most representative phenomena of interacting bo-
sons, such as Bose-Einstein condensation and superfluidity, which mark a new era in the
study of macroscopic quantum systems. To understand these systems and the physical
phenomena that emerge, we use the mean field approximation (Gross-Pietaevskii equa-
tions) that provides uswith a simple but accurate description of many effects, such as the
stationary states (ground and excited) of the system, the dynamics of quantum vortices,
magnetic phases of the systems, superfluidity and their excitation spectra, collective mo-
des of the confined system, topological excitations, among other effects.
In the development of this research, the main challenge was to solve a coupled system
of nonlinear partial differential equations using numerical schemes, in both dynamic and
stationary regimes. On the theoretical side, the challenge was to use analytical techniques
to find solutions within several limits, and with that, to evaluate the quality of the nu-
merical solutions. While on the numerical and technical sides, the challenge consisted on
developing general solution methods and implementing high-performance parallel compu-
tational techniques to work with GPU architectures (GPU stands for “graphics processing
units”), that enable us to find solutions within reasonable computing time.
Once we implemented the solution methods, we propose the study of topological excita-
tions generated by the coupling of the system with an inhomogeneous magnetic field, from
which we derive a detailed analysis of the stationary states of the confined system, proving
the existence of topological defects. This findings stem from the study of the topological
charge, more than one topological defect within the system in distinct configurations, and
the analysis of phase space for stationary states as functions of the magnetic field. Using
the previous ideas, we propose a dynamical study of the SBEC response to perturbations
of the external magnetic field, whose consequence is to develop the topological excitation
itself, and which led us to find an excitation protocol that allows us the study of quantum
turbulence in superfluids of BEC type. Subsequently, using an alternative approach, we
ix
study the emergence of turbulence in BEC systems by phase imprinting, with focus on
the relationship between the vortex dynamics, the reconnection dynamic of vortices and
the energy spectrum of turbulent systems.
Furthermore, during this research we not only developed and implemented simple
but robust numerical schemes for the study of Spinorial Bose-Einstein condensates, but
also performed an analysis of the stationary states of the system and the appearance of
topological defects. In addition, we proposed excitation protocols that allow us to access in
a controlled manner to scenarios in which the phenomenon of quantum turbulence emerge.
Índice general
1. Introducción 1
2. Condensación de Bose-Einstein en gases interactuantes ultrafŕıos 11
2.1. Átomos alcalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1. Segunda cuantización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2. Interacción atómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Aproximación de campo medio y potencial de contacto . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Campo medio y la condensación de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Aproximación de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3. Sistemas de pseudo-esṕın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Superfluidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1. Criterio de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2. Gas de Bogoliuvob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3. El vórtice cuántico de Gross y Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Métodos numéricos para resolver ecuaciones de Gross-Pitaevskii 41
3.1. Ecuaciones adimensionales y escalas experimentales . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1. Sistemas con esṕın F = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2. Sistemas con pseudo-esṕın F = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3. Sistemas sin esṕın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.4. Campos magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5. Escalas experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Soluciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Soluciones estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2. Propagación dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Excitaciones topológicas en BEC’s espinoriales: Vórtices y Skyrmiones 65
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1. Fases magnéticas en BEC espinoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2. Excitaciones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Generación de vórtices en BEC espinoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
xi
ÍNDICE GENERAL
4.2.1. Soluciones de vórtices en sistemas espinoriales 2D . . . . . . . . . . 76
4.2.2. Soluciones en tres dimensiones SBEC F = 1 . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3. Vórtices y los ceros del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3. Skyrmiones en BEC espinoriales F = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1. Diagrama de fases F = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2. Skyrmiones en la textura de esṕın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3. Skyrmiones de carga arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.4. Skyrmiones on demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5. Dinámica de condensados y turbulencia cuántica 111
5.1. Hidrodinámica: clásica y cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.1. Hidrodinámica de superfluidos y vórtices cuánticos . . . . . . . . . . 112
5.1.2. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2. Generación: agitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3. Interacción de vórtices cuánticos: rutas de turbulencia cuántica . . . . . . . 131
5.3.1. Observables y constantes de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.2. Espectros de excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.3. Estados estacionarios y estimación del error numérico . . . . . . . . 149
5.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6. Conclusiones 157
A. Publicaciones 161
B. Implementación en GPU 209
C. Transición paramagnética 215
D. Aproximación de Thomas-Fermi espinorial 217
E. Sensibilidad numérica y rendimiento 223
F. Dinámica de condensados espinoriales 227
Bibliograf́ıa 231
xii
Caṕıtulo 1
Introducción
Durante las últimas dos décadas un nuevo campo de la f́ısica se ha desarrollado con
base en el control de gases atómicos ultrafŕıos, en los cuales los efectos cuánticos dominan
la evolución del sistema macroscópico. Gracias al desarrollo de este campo, actualmente
contamos con sistemas cuánticos a gran escala que pueden ser controlados en parámetros
como la interacción entre átomos, sus grados de libertad e inclusive su naturaleza estad́ısti-
ca [1, 2, 3, 4]. Los experimentos realizados actualmente son de gran interés por la enorme
cantidad y variedad de sistemas que se pueden implementar, que inclusive permiten estu-
diar sistemas en configuraciones inexistentes en la naturaleza conocida. En consecuencia
son también de interés los retos teóricos que representa el entendimiento de estos novedo-
sos sistemas f́ısicos.
La historia de los fenómenos cuánticos macroscópicos está directamente vinculada con
la necesidad de realizar experimentos a temperaturas cada vez menores, historia que inicia
con el estado superfluido de 4He, probablemente observado por primera vez en 1911 porKamerlingh-Onnes [5] al licuar este gas noble y llevarlo a temperaturas por debajo de los
2. 17K (temperatura del punto λ, llamada aśı por W. Keesom [6]). Debido a experimentos
posteriores (Kapitza [7] y paralelamente Misener y Allen [8]) se demostró que en reali-
dad se hab́ıa encontrado una nueva fase del helio ĺıquido (He-II), bautizado como estado
superfluido, el cual posee propiedades particulares que no pod́ıan ser explicadas con los
modelos teóricos desarrollados hasta entonces. Entre estas propiedades poco usuales se
encontraban: la ausencia de viscosidad y su alta conductividad térmica, lo que generó un
nuevo reto para la f́ısica teórica de la época.
Para entender este nuevo estado de la materia debió pasar algún tiempo de experi-
mentos y estudios teóricos (1911-1948), durante el cual se desarrollaron modelos fenome-
nológicos que permitieron modelar el comportamiento del superfluido como: el “Modelo
de dos fluidos” propuesto por Tisza [9] y el “Criterio de Superfluidez” de Landau [10].
Posteriormente seŕıa la teoŕıa de Bogoliubov[11] y los estudios de Penrose y Onsager[12],
los que justificaŕıan desarrollos teóricos previos (Landau y Tisza), quienes partiendo de
1
1. INTRODUCCIÓN
primeros principios hallaron las caracteŕısticas de un sistema en fase superfluida y en fase
de condensación, respectivamente. Estos desarrollos traeŕıan consigo luz respecto a la rela-
ción entre la superfluidez y la condensación de Bose-Einstein, y en las cuales está plasmada
su naturaleza puramente cuántica y el rol de la interacción entre átomos como ingrediente
fundamental de la superfluidez.
Estos primeros desarrollos tanto teóricos como experimentales corresponden al preámbu-
lo de los gases atómicos ultrafŕıos, sistemas contemporáneos muy similares a los propuestos
por Bogoliubov, Gross o Pitaevskii. Los cuales adquieren relevancia a partir de 1995, año
en el que experimentalmente varios grupos [13, 14, 15] consiguen condensar átomos alca-
linos (87Rb, 7Li y 23Na), mostrando aśı la existencia de la condensación de Bose-Einstein
para gases ultrafŕıos de bosones, en donde “condensación” hace referencia a que el sistema
posee un estado cuántico que es poblado por una fracción macroscópica del número total
de part́ıculas. Posteriormente en 1999 es comprobada experimentalmente la presencia de
vórtices cuantizados [16], hecho clave que demostró el fenómeno de superfluidez en estos
sistemas[17, 18]. A partir de estos experimentos, los gases ultrafŕıos han sido ampliamente
estudiados debido al control que se ha desarrollado sobre muchos de sus parámetros. En
particular, los átomos alcalinos son los candidatos ideales debido al conocimiento preciso
de sus espectros, susceptibilidades y su interacción a bajas temperaturas, lo que permite el
desarrollo de diversas técnicas ópticas tanto de enfriamiento como de confinamiento. Por
otro lado el continuo desarrollo de este campo ha encontrado nuevos retos como: las fases
súper-solidas, las transiciones de fases topológicas o los sistemas fuertemente interactuan-
tes como el cruce BEC-BCS en el régimen unitario [2, 4].
A veinte años de su primera observación, la condensación de Bose-Einstein en gases
ultrafŕıos ha mostrado el suficiente control para explorar sistemas bajo diseño, convir-
tiéndolos en una herramienta para el estudio de sistemas f́ısicos on demand, en direcciones
como: f́ısica fundamental, computación cuántica, simuladores cuánticos, entre otras ĺıneas
de investigación. En un śımil de lo que fue la carrera cient́ıfica por licuar los gases atómi-
cos a finales del siglo XIX, estudiando por primera vez la f́ısica cercana al cero absoluto,
los gases ultrafŕıos son en nuestra época una nueva ventana de la f́ısica que nos permite
estudiar sistemas cuánticos macroscópicos desde un nuevo enfoque de alto control experi-
mental, sin precedentes.
Al estudiar supefluidos en gases atómicos ultrafŕıos nos enfrentamos con una primera
dificultad teórica: el número de grados de libertad1 aumenta de manera exponencial la
complejidad del problema si consideramos que los átomos del sistema interactúan. Como
hemos mencionado, la supefluidez requiere de las interacciones, por lo cual su descripción
y solución dentro del formalismo cuántico se convierte en un reto teórico. Como veremos
a lo largo de esta investigación, dentro del ĺımite en que los gases atómicos ultrafŕıos son
débilmente interactuantes, podemos construir modelos adecuados para el estudio del siste-
1Un gas ultrafŕıo t́ıpicamente condensado tiene del orden de 105 − 107 átomos [19, 20]
2
ma los cuales consideran los dos fenómenos claves de nuestra investigación; condensación
y superfluidez.
Figura 1.1: En el panel izquierdo mostramos imágenes de absorción atómica para distintas
realizaciones de condensados de Bose-Einstein con distintas velocidades angulares [21], en
las cuales se observa la red triangular de Abrikosov, configuración observada también en el
fenómeno de la superconductividad [22]. En el panel de la derecha, las imágenes muestran
regiones de fluorescencia para nanopart́ıculas atrapadas en los núcleos de vórtices cuánticos,
generados al rotar 4He superfluido [23].
Una de las principales caracteŕısticas que exhibe una fase superfluida, además de su
falta de viscosidad, es la presencia de vórtices cuantizados [24]. La manera intuitiva de
entender la aparición de vórtices es que al rotar un superfluido, al no presentar viscosidad,
no puede transferir momento angular por fricción y generar un vórtice como comúnmente
lo haŕıa un sistema clásico; por lo cual, el superfluido responde generando vórtices que
adquieren el momento angular cedido al sistema. La circulación del superfluido alrededor
de estas singularidades (vórtices) está cuantizada en múltiplos enteros de h/m (la cons-
tante de Planck sobre la masa atómica), motivo por el cual son conocidos como vórtices
cuánticos. A este respecto, uno de los grandes éxitos teóricos en los primeros estudios de
superfluidez fue la ecuación de Gross-Pitaievskii (GP), la cual fue capaz de justificar la
aparición de vórtices en 4He aún cuando esta ecuación modela sistemas débilmente inter-
actuantes.
El radio del vórtice cuántico (ξ) puede ser expresado en términos de la densidad del
sistema (ρ0) y la longitud de dispersión (as) de la forma [25]
ξ =
(
1
8πρ0as
)1/2
,
3
1. INTRODUCCIÓN
en consecuencia, para el 4He superfluido el radio del vórtice se sitúa en los nanómetros
(0. 1nm) debido a su alta densidad, mientras que para los gases ultrafŕıos está en los
micrómetros (1µm) debido a lo diluido de los gases. Este fenómeno fue la principal ca-
racteŕıstica que dio pauta para justificar que los gases ultrafŕıos en fase de condensación
presentaban un estado superfluido. Los experimentos de 1999 [16] determinaron la exis-
tencia de vórtices cuantizados en los gases ultrafŕıos ó BECs. En la Figura 1.1 podemos
ver una comparación directa entre vórtices cuánticos generados en BEC y los observados
en 4He.
Aunque la imagen hidrodinámica de un vórtice cuántico nos advierte de sus propieda-
des dinámicas, una posible alternativa para explicar su fenomenoloǵıa se sitúa en términos
de la topoloǵıa, una rama de las matemáticas que dentro de la f́ısica ha resurgido como un
lenguaje unificador de distintos fenómenos f́ısicos. De la misma manera en que, a grosso
modo, la topoloǵıa puede establecer reglas para comparar una taza y una dona en térmi-
nos de su forma y determinar que son espacios equivalentes, los vórtices cuánticos u otro
tipo de defectos topológicos en los sistemas superfluidos pueden ser clasificados por reglas
similares. Por ejemplo, la cuantización en circulación de los vórtices cuánticos resulta ser
su invariante topológico o carga topológica. Un resultado general dentro del estudio de
vórtices cuánticos y otros defectos o excitaciones topológicas, de estar correctamentede-
finidos, nos permiten predecir las propiedades de los defectos sin importar la geometŕıa
o el tamaño del sistema f́ısico, dotándolos aśı de un carácter más general. Por lo cual, si
un vórtice cuántico es efectivamente un defecto topológico (y hasta ahora no hay prueba
de lo contrario), es de esperarse que cualquier sistema que presente un fenómeno similar
a la supefluidez, por ejemplo la superconductividad, también presente como una posible
excitación a los vórtices cuánticos.
Además de los vórtices cuánticos es posible encontrar otros tipos de defectos topológi-
cos en sistemas cuánticos macroscópicos. Si consideramos el esṕın atómico para gases
atómicos ultrafŕıos en fase de condensación, una posible excitación topológica son los Sky-
mions o Skyrmiones, presentes en el orden espinorial del sistema. Originalmente estos
defectos aparecieron como solitones topológicos en la descripción de los núcleos atómicos
(bariones), en el modelo propuesto por H. Skyrme [26], actualmente este tipo de descrip-
ción han tenido un impacto en diversos escenarios de la f́ısica contemporánea, que va desde
la teoŕıa de cuerdas hasta problemas de materia condensada [27].
Un Skyrmion, a diferencia de los vórtices cuánticos, puede aparecer en sistemas magnéti-
cos descrito en términos de la distribución magnética espacial del sistema, y que es un
campo vectorial, en dos o más dimensiones. Las cargas topológicas o winding numbers de
los Skyrmiones corresponden a valores enteros o semienteros que dependen de la condición
asintótica que toma el orden magnético del sistema. De manera análoga con los vórtices
cuánticos, los Skyrmiones han sido explorados en sistemas BEC espinoriales (SBEC) como
en [28, 29, 30, 31] demostrando con ello la posibilidad de su estudio.
4
Retomando la naturaleza superfluida de los BEC y SBEC, una de las preguntas abier-
tas es si estos sistemas pueden presentar turbulencia, el fenómeno más famoso y ubicuo
de los fluidos clásicos.
La pregunta pertinente es si los superfluidos pueden presentar algún fenómeno similar
al de turbulencia clásica y, por analoǵıa, denominar a este fenómeno turbulencia cuánti-
ca. Explotando dicha analoǵıa con el caso clásico, podemos entonces definir el fenómeno
de turbulencia cuántica en términos de sus caracteŕısticas principales: flujo caótico, un
parámetro f́ısico que tome en cuenta la transición de flujo laminar a caótico, una cascada
de enerǵıa caracteŕıstica y un mecanismo de decaimiento o disipación. Basándonos en las
preguntas abiertas alrededor del fenómeno de turbulencia, se asevera en la comunidad que
es necesario un modelo simplificado que tenga las propiedades esenciales de la turbulencia
clásica, y que podŕıa ayudar a dar respuesta a las preguntas aún no resueltas en este campo
[32].
En este sentido, la turbulencia cuántica en BEC se plantea como un posible candidato
para el entendimiento de este fenómeno en un contexto amplio, debido a diversos factores
como son la ausencia de efectos térmicos, la posibilidad del estudio de vórtices individuales
y su alto control experimental. Por otro lado, las principales diferencias con fluidos clásicos
o 4He superfluido se deben al tamaño finito, la inhomogeneidad y alta compresibilidad
que conllevan grados de libertad adicionales, además de las condiciones impuestas por la
realización experimental que limitan la medición directa de las distintas observables del
sistema. Aunque experimentos recientes reportan la observación de estados BEC turbulen-
tos en tres dimensiones [19, 33], sus caracteŕısticas más fundamentales son aún un punto
de discusión teórica y un reto experimental.
El objetivo de nuestro trabajo de investigación consiste, en una primera etapa, en el
estudio de excitaciones topológicas como los vórtices cuánticos y Skyrmiones en super-
fluidos espinoriales, proponiendo mecanismos novedosos que nos permitan controlar sus
propiedades. En una segunda etapa planteamos utilizar estas excitaciones del sistema para
profundizar el entendimiento de diversos aspectos dinámicos de los superfluido SBEC, y
de esta manera estudiamos los mecanismos de generación y caracteŕısticas principales de
la turbulencia cuántica en gases atómicos ultrafŕıos.
Como hemos mencionado, uno de los grandes aciertos teóricos en la descripción de
superfluidos BEC ha sido la ecuación de Gross-Pitaevskii, no sólo por su capacidad de des-
cribir efectos dinámicos como vórtices cuánticos, sino también por su correcta descripción
del estado base y estados estacionarios en condensados tanto espinoriales (SBEC) como
escalares (BEC). Adicionalmente, este modelo tiene por ventaja una reducción dramática
en los grados de libertad considerados para la descripción del gas atómico de bosones en
fase de condensación, al grado de describir el sistema con sólo un parámetro de orden.
Este parámetro de orden o función de onda obedece una dinámica similar a la ecuación de
onda de Schrödinger, llamada de Gross-Pitaevskii, pero con términos no lineales adiciona-
5
1. INTRODUCCIÓN
les debidos al tomar en cuenta las interacciones entre átomos. Basados en los objetivos del
trabajo, la elección de este modelo reside en la correcta descripción de fenómenos dinámi-
cos en superfluidos, además de la fácil inclusión del esṕın atómico y de poder considerar
situaciones experimentales como el confinamiento en potenciales arbitrarios y la inclusión
de campos magnéticos externos. Aun cuando esta aproximación de campo medio simplifica
la descripción teórica de los superfluidos, las ecuaciones no lineales del modelo imponen
una nueva dificultad asociada a que los estudios anaĺıticos son impracticables en la mayoŕıa
de situaciones que deseamos explorar. Lo cual nos lleva a elegir las soluciones aproximadas
mediante esquemas numéricos como la herramienta principal de nuestra investigación, y
aśı conocer la estructura de excitaciones topológicas y su dinámica.
Por otro lado, la elección del modelo de Gross y Pitaevskii está limitado por dos
condiciones: la aproximación de interacciones débiles (sistemas a bajas densidades y tem-
peraturas, con potenciales interatómicos de corto alcance) y por otro lado, que sólo es
válida en ausencia de temperatura T = 0 al considerar que todos los átomos están en la
fase superfluida. Estas restricciones tendrán impacto en nuestras dos ĺıneas de investiga-
ción, por un lado las excitaciones topológicas que estudiaremos carecerán del análisis de
estabilidad ante perturbaciones debidas a los átomos no condensados (efectos de tempe-
ratura finita), mientras que en el contexto de la turbulencia cuántica nuestros resultados
sólo serán válidos siempre que los efectos térmicos sean imperceptibles en la evolución
dinámica del sistema.
Habiendo mencionado brevemente el alcance, metodoloǵıa y los objetivos de nuestra
investigación, comentaremos ahora los logros de este trabajo. En primer lugar hemos con-
tribuido al entendimiento de los defectos topológicos en condensados de Bose-Einstein
espinoriales, logrando predecir el carácter estacionario de vórtices cuánticos y Skyrmiones
en dos y tres dimensiones. Demostramos numéricamente que en los sistemas con esṕın, un
mecanismo para generar vórtices cuánticos se da mediante el acoplamiento Zeeman con
campos magnéticos externos que posean regiones transversales (a un eje de simetŕıa) de
intensidad cero. Corroborando este mecanismo al estudiar soluciones anaĺıticas en las re-
giones asintóticas a los vórtices correspondientes con regiones nulas del campo magnético
transversal, hallamos la forma de las soluciones y determinamos las relaciones que fijan las
cargas topológicas del sistema. Para demostrar la robustez del mecanismo consideramos
en casos subsecuentes las contribuciones al potencial interatómico dependiente del esṕın y
restringimos el estudio a casos de esṕın F = 1 y a las especies atómicas87Rb y 23Na con
el fin de mostrar la posibilidad de su observación experimental.
Posteriormente analizamos el orden magnético del sistema para los mismos estados con
vórtices cuánticos generados por campos magnéticos, encontrando ahora otro tipo de de-
fecto topológico subyacente conocido como Skyrmion el cual aparece en la textura de esṕın
del sistema. Utilizando valores experimentales t́ıpicos y tomando como punto de partida
el caso con un solo Skyrmion, calculamos el diagrama de fases de soluciones estacionarias
y determinamos que el parámetro de control en la aparición de las fases topológicas (esta-
6
dos con cargas topológicas distintas) es la componente transversal del campo magnético
externo. Con este análisis determinamos que es factible para el caso de esṕın F = 1 ge-
nerar estados con Skyrmiones de cargas Qsky = 0,±1/2 independientemente de la especie
atómica en consideración. Explotando las herramientas numéricas probamos el carácter
topológico asociado a los vórtices cuánticos y Skyrmiones. Al ser capaces de proponer
campos externos ad hoc que generan más de un defecto topológico, comprobamos que los
invariantes topológicos son independientes de la posición y las cargas de los defectos obe-
decen un álgebra usual. Con estas pruebas al comportamiento topológico establecimos el
precedente de excitaciones topológicas on demand al poder controlar el número, la posición
y la carga de las excitaciones topológicas dentro del superfluido espinorial. Corroboramos
también que estas observaciones numéricas en SBEC teóricos tengan correspondencia con
escalas experimentales accesibles en experimentos actuales.
Continuando con el análisis, establecimos de manera anaĺıtica la conexión entre los
vórtices cuánticos generados por campos magnéticos y la aparición de Skyrmiones en la
textura de esṕın del superfluido espinorial. Adicionalmente probamos que los Skyrmiones
pueden responder a parámetros externos que nos permiten variar su carga topológica de
forma continua, concluyendo aśı que la clasificación mediante este invariante puede ser
errónea si consideramos a la topoloǵıa como el lenguaje adecuado para su descripción.
Dentro de este estudio también explotamos la flexibilidad de los métodos de solución y de-
mostramos por primera vez que los estados estacionarios con más de un defecto topológico
son posibles, lo cual abre el camino para estudios futuros en la dinámica e interacción de
defectos topológicos dentro de un sistema SBEC.
Dentro del análisis dinámico de los sistemas superfluidos, nuestras contribuciones se
dieron mediante dos trabajos de relevancia en el estudio de la turbulencia cuántica. En el
primero de ellos desarrollamos un esquema de excitación para la generación controlada de
turbulencia cuántica en superfluidos SBEC, en donde consideramos sistemas tridimensio-
nales confinados por un potencial óptico. El protocolo de excitación consiste en utilizar
un sistema con vórtices cuánticos estacionarios como los previamente hallados y poste-
riormente variar temporalmente el campo magnético externo que genera a los vórtices.
Analizando la respuesta dinámica del sistema, determinamos la presencia de dos fases
dinámicas, una fase que llamamos adiabática, en la cual el defecto topológico del sistema
sigue las variaciones del campo externo y la segunda fase asociada con un fenómeno similar
a la turbulencia. En la fase de turbulencia estudiamos los espectros de excitaciones de la
enerǵıa cinética para cada proyección de esṕın, encontrando que la cascada de enerǵıa sigue
un comportamiento similar a la turbulencia de sistemas clásicos. La ventaja principal de
este método de excitación recae en la inyección controlada de enerǵıa y momento angular
al sistema, lo cual permitiŕıa en un experimento real observar la transición entre un flujo
laminar a uno turbulento. Con este estudio consideramos, por primera vez, la posibilidad
de estudiar turbulencia cuántica en sistemas espinoriales. Por otro lado, analizando la evo-
lución de los estados después de detener la excitación dinámica del sistema, observamos el
decaimiento de estados turbulentos hacia estados “estacionarios”.
7
1. INTRODUCCIÓN
En el segundo estudio analizamos la dinámica de un BEC escalar, enfocándonos en
realizar un análisis detallado de la dinámica de vórtices cuánticos, la unidad fundamental
de la turbulencia cuántica. Analizando la evolución de vórtices distintas configuraciones,
estudiamos los observables del sistema con énfasis en las componentes hidrodinámicas de
la enerǵıa total y sus espectros de excitaciones. Teniendo particular interés en la dinámi-
ca de la enerǵıa cinética, caracterizamos la evolución de estados con uno, dos y cuatro
vórtices, los cuales durante su reconexión pasan por estados con caracteŕısticas similares
a las de la turbulencia cuántica. El primer resultado corresponde a notar que los vórtices
tienen una dinámica de reconexión en escalas de tiempo cortas y que las reconexiones entre
estos entes topológicos son la causa de la redistribución de enerǵıa dentro del sistema. En
segundo lugar, observamos que la dinámica se vuelve estacionaria una vez que la enerǵıa
inicialmente contenida en los vórtices se redistribuye hacia distintos modos del sistema, en
forma de oscilaciones del centro de masa, modos colectivos y fonones de Bogoliubov. Final-
mente al aumentar la cantidad de vórtices en la condición inicial del sistema, confirmamos
mediante el exponente del espectro de excitación que la componente incompresible de la
enerǵıa cinética pasa por valores próximos a los observados en turbulencia clásica, es decir,
en los cuales el exponente es ν ∼ −5/3. Corroboramos nuestros resultados analizando la
validez de la dinámica mediante ventanas temporales que preservaran la simetŕıa temporal
del modelo, en las cuales los efectos del error numérico no afectan de manera determinante
la dinámica observada. Con lo cual concluimos que el efecto de desfasamiento entre los
distintos modos excitados durante la redistribución de la enerǵıa es el responsable del
aparente decaimiento a estados estacionarios.
Finalmente nuestra contribución también se dio al desarrollar una colección de méto-
dos generales para resolver sistemas de ecuaciones tipo Gross-Pitaevskii. Estos esquemas
de solución tienen por virtud preservar la flexibilidad del método para estudiar solucio-
nes en gran diversidad de situaciones, como son los sistemas 3D, quasi-1D o quasi-2D,
soluciones a casos dinámicos o estacionarios, y considerando distintos tipos de geometŕıa
de confinamiento. Al mantener la generalidad de las implementaciones numéricas, sacri-
ficamos las posibles optimizaciones como las que reducen el costo computacional cuando
existen simetŕıas en el problema. Fuimos capaces de solventar este costo computacional
extra utilizando esquemas h́ıbridos de paralelización, mediante plataformas GPU, que nos
permitieron continuar con la investigación bajo condiciones realistas a experimentos sin
sacrificar el rendimiento; además de otras virtudes como la visualización en tiempo real de
las soluciones o la gran cantidad de libreŕıas que facilitan la implementación de algoritmos
en paralelo, tales como la transformada rápida de Fourier, reducciones y ordenamientos.
Desde el punto de vista técnico, nuestras soluciones numéricas están limitadas principal-
mente por la acumulación de errores y la estabilidad de los métodos utilizados. Debido a
que nuestra metodoloǵıa de trabajo recae en la precisión de nuestros cálculos, es en este
apartado dentro del que se tendrá mayor cuidado, por lo que nuestro objetivo en este
sentido consistirá en conseguir la mayor certeza posible, sólo estando limitados por los
recursos computacionales disponibles.
8
La estructura de este trabajo es la siguiente, comenzamos revisando el marco teórico
en Cap. 2 dentro del cual discutiremos el origen del esṕınatómico en átomos hidrogenoi-
des y su comportamiento en presencia de campos magnéticos, sec. 2.1, pasando luego a
la descripción teórica para sistemas de N part́ıculas idénticas de esṕın F en la sec. 2.2 y
llegar a obtener las ecuaciones del modelo, que utilizaremos a lo largo de la investigación.
En sec. 2.4 analizaremos el concepto de superfluidez para posteriormente discutir el gas
de Bogoliubov, un resultado central que muestra la relación del fenómeno de condensación
y la superfluidez. Posteriormente en la parte final del caṕıtulo mostramos la solución al
vórtice cuántico propuesta originalmente por Gross y Pitaevskii.
Determinado el modelo por resolver, continuaremos en el Cap. 3 a discutir las ecua-
ciones adimensionales y la estimación de parámetros del sistema en casos similares a los
experimentos actuales. Utilizaremos dos métodos de solución (sec. 3.2.1 y sec. 3.2.2) de
acuerdo al tipo de soluciones requeridas: la propagación en tiempo imaginario para es-
timar los estados estacionarios del modelo y la propagación temporal de BEC y SBEC,
utilizando una integración tipo Runge-Kutta.
Continuamos con el Cap. 4, dentro del cual introducimos la discusión de fases magnéti-
cas en SBEC debidas al tipo de interacción atómica, para después dar paso a una breve
discusión de excitaciones topológicas en sistemas f́ısicos. En la siguiente sección, mostra-
mos los resultados numéricos de estados estacionarios de SBEC en presencia de campos
magnéticos inhomogéneos para sistemas F = 1/2, 1. Mostramos la aparición de vórtices
cuánticos como efectos de los ceros transversales (plano xy) del campo magnético externo,
después discutimos una posible clasificación de los defectos o excitaciones del sistema. A lo
largo de este estudio comparamos los resultados numéricos con soluciones asintóticas del
modelo, en regiones cercanas a los defectos topológicos y con soluciones de Thomas-Fermi
al caso espinorial. Terminamos el caṕıtulo con la discusión de los resultados para dar paso
a la utilización de estos defectos topológicos en el estudio de turbulencia cuántica (Cap. 5).
Dentro del Cap. 5 introducimos la interpretación hidrodinámica del modelo (sec. 5.1.1).
Una vez que establezcamos la relación entre la ecuación de Gross y Pitaevskii con una des-
cripción hidrodinámica del superfluido, es natural discutir los antecedentes del fenómeno
de turbulencia clásica para revisar los avances en su contraparte cuántica, presentado en
sec. 5.1.2. Continuando con la parte dinámica de la investigación, presentamos los re-
sultados de dos estudios relacionados con la turbulencia; proponemos un protocolo para
la generación de turbulencia cuántica en sec. 5.2 y dentro del segundo, estudiamos la
dinámica de vórtices, el fenómeno de reconexión y su relación con la aparición de cascadas
energéticas propias de turbulencia (en sec. 5.3). Finalizamos este caṕıtulo con la discusión
de resultados y las conclusiones obtenidas. Cerramos nuestro trabajo con el Cap. 6, en
donde condensamos las principales contribuciones de nuestro trabajo.
En el Apéndice A mostramos los art́ıculos que fueron producto de esta investigación.
9
1. INTRODUCCIÓN
Habiendo discutido los métodos de solución adecuados para el tipo de situaciones que
deseamos estudiar, la implementación de los métodos en paralelo para su uso en platafor-
mas GPU requieren de conocimientos técnicos adicionales que se muestran en el Apéndice
B. En el Apéndice C realizamos una prueba a los estados encontrados numéricamente
considerando un sistema de esṕın F = 1 y estudiando la transición entre estados polares y
ferromagnéticos a paramagnéticos, la cual realizamos mediante la inclusión gradual de un
campo magnético homogéneo. Dentro del Apéndice D mostramos la forma de la soluciones
en la aproximación de Thomas-Fermi para el caso de una condensado espinorial en presen-
cia de un campo magnético. En el Apéndice E mostramos la sensibilidad numérica de los
estados estacionarios para distintas precisiones de cálculo y tamaño de mallas numéricas,
en la cual también mostramos el rendimiento de los cálculos en GPU. Finalmente dentro
del Apéndice F mostramos la estabilidad numérica de las soluciones estacionarias halladas
en Cap. 4, al propagar temporalmente los estados estacionarios durante cien unidades de
tiempo, analizando cantidades como la enerǵıa, la norma y la fidelidad de las soluciones.
10
Caṕıtulo 2
Condensación de Bose-Einstein en gases
interactuantes ultrafŕıos
Habiendo presentado la motivación, los objetivos y la estructura de nuestro estudio, en
este segundo caṕıtulo introduciremos la teoŕıa necesaria para discutir nuestra investiga-
ción. El objetivo central del caṕıtulo está enfocado en presentar el sistema de interés y su
descripción teórica. Haremos notar la complejidad del problema original y la necesidad de
utilizar aproximaciones para llegar a un modelo que describa de manera adecuada nues-
tros casos de interés: la dinámica del sistema en fase de condensación de Bose-Einstein,
la estructura de estados estacionarios con la inclusión del esṕın y su acoplamiento con
campos magnéticos externos.
Para presentar el modelo iniciamos en la sección 2.1 con la descripción del átomo hi-
drogenoide en presencia de campos magnéticos externos, para justificar el origen de la
inclusión del esṕın atómico dentro del modelo. Una vez descrito un átomo, en la sección
2.2 continuaremos con la descripción de N átomos indistinguibles desde el esquema de
Schrödinger, tomando el caso más general posible del sistema. Pasaremos al Hamiltoniano
en segunda cuantización y comentaremos la utilidad de esta descripción en el problema
de N cuerpos. Discutiremos las aproximaciones al potencial interatómico para tomar en
cuenta la simetŕıa entre cada par de átomos bosónicos o fermiónicos. Una vez entendida
la complejidad de resolver el problema de manera anaĺıtica, aún en el lenguaje de segun-
da cuantización, en la sección 2.3 introduciremos la aproximación de campo medio y el
potencial de contacto para obtener aśı un modelo aproximado que reduzca de manera
significativa el número de incógnitas. Una vez completa la descripción del modelo que
analizaremos, en la parte final de la sección discutiremos brevemente la naturaleza de con-
siderar sistemas de pseudo-sṕın. En la sección final (2.4) de este caṕıtulo presentamos los
principales resultados teóricos, enfocándonos a la descripción del fenómeno de superfluidez
que aparece en este sistema y una de sus evidencias principales: los vórtices cuánticos.
11
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
2.1. Átomos alcalinos
Gran parte del avance experimental y teórico de los gases ultrafŕıos, se debe a la
correcta descripción de los átomos alcalinos (Li,Na,K,Rb,Cs,Fr) en presencia de campos
magnéticos y eléctricos. La part́ıcularidad de estos átomos es que heredan gran parte de sus
propiedades f́ısicas del caso más conocido de la mecánica cuántica: el átomo de hidrógeno.
En consecuencia, esta simplificación nos permite aproximar al sistema multielectrónico
por un núcleo efectivo y un electrón, por lo que se le conoce también como átomo hidro-
genoide. Lo cual nos permite conocer su estructura hiperfina, un aspecto importante para
las técnicas de enfriamiento y confinamiento de gases cuánticos.
Esquemas experimentales como el enfriamiento Doppler, enfriamiento evaporativo y el
confinamiento magnético1, han permitido llevar a los gases atómicos a las temperaturas
más bajas del universo (del orden de ∼ 10−8 K o centenas de nano-Kelvin) y como resul-
tado final nos permite el acceso al estudio de las fases cuánticas coherentes de la materia;
en espećıfico, a los condensados de Bose-Einstein.
Para describir la estructura hiperfina de estos átomos recurriremos a considerar el esṕın
nuclear del sistema I, el esṕın del electrón en laúltima capa S = 1/2 y el momento angular
orbital de éste L. En part́ıcular, consideraremos el estado base del átomo, L = 0, y que
el esṕın nuclear es I = 3/2 para las especies que analizaremos en este trabajo: 87Rb y 23Na.
Enfoquemos nuestra atención al esṕın total del átomo, F = I + J = I + (L + S), y a
su interacción con un campo magnético externo ~B(~r, t). El desdoblamiento hiperfino del
átomo es descrito por el Hamiltoniano
Hhf = a~I · ~J + b ~J · ~B + c~I · ~B, (2.1)
con a = EF=I+1/2 − EF=I−1/2, la diferencia de enerǵıa entre los estados hiperfinos en
ausencia de campo; b = gJµB el momento magnético del electrón ( µB = e~/2me); y
c = −gIµB el momento magnético nuclear. Identificando los operadores:
~F 2 = ~I 2 + ~J 2 + 2~I · ~J (2.2)
y
~F · B̂ = (~I + ~J ) · B̂, (2.3)
los cuales cumplen las relaciones de conmutación
[
~F 2, ~F · B̂
]
=
[
Hhf , ~F · B̂
]
= 0, (2.4)
1“The Nobel Prize in Physics 2001”. Nobelprize.org. Nobel Media AB 2014. Web. 29 May 2017. http:
//www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2001/
12
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2001/
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2001/
2.1 Átomos alcalinos
pero [
Hhf , ~F
2
]
6= 0. (2.5)
En consecuencia, la base de esṕın total |F,mF 〉 no diagonaliza el sistema, pero cumple con
las siguientes propiedades:
|F,mF 〉B̂ =
∑
mI ,mJ
〈mI ,mJ |F,mF 〉 |mI ,mJ〉 ,
~F 2 |F,mF 〉B̂ = F (F + 1) |F,mF 〉B̂ ,
~F · B̂ |F,mF 〉B̂ = mF |F,mF 〉B̂ ,
(2.6)
con mI + mJ = mF = −F,−F + 1, ..., F y F = I + 1/2, I − 1/2 por las reglas de suma
de momento angular. Utilizando una rotación en los ejes de esṕın podemos transformar
el Hamiltoniano dado por le Ec. (2.1), tal que I ′z + J
′
z = F
′
z = ~F · B̂, y omitiendo los
operadores primados obtenemos un sistema equivalente descrito por el Hamiltoniano
H′hf = a~I · ~J + b| ~B|Jz + c| ~B|Iz
= aIzJz + a/2(J+I− + J−I+) + b| ~B| ~Jz + c| ~B|~Iz.
(2.7)
Recordando la definición de los operadores escalera J± = Jx ± iJy y su acción
J± |mJ〉 =
√
(J ∓mJ)(J ±mJ + 1) |mJ ± 1〉 , (2.8)
podemos ver la estructura del Hamiltoniano en la base |mI ,mJ〉 utilizando J = 1/2 y
definiendo |mI = mF ∓ 1/2,mJ = ±1/2〉 ≡ |±〉 obtenemos la acción del Hamiltoniano
H′hf |±〉 =
(
± (1/2)a(mF ∓ 1/2) + b| ~B|(±1/2)
+ c| ~B|(mF ∓ 1/2)
)
|±〉
+ a/2
√
(I +mF + 1/2)(I −mF + 1/2) |∓〉 .
(2.9)
H′hf =
a
2

 mF (
2c|B|
a + 1)− 12 + |B|( b−ca )
√
(I + 1/2)2 −m2F√
(I + 1/2)2 −m2F mF (
2c|B|
a − 1)− 12 − |B|( b−ca )

 (2.10)
Los eigenvalores de este Hamiltoniano están dados por,
E±(mF ) = −
a
4
+ c| ~B|mF ± (a/2)(I + 1/2)
√
1 + 2xmF /(I + 1/2) + x2 (2.11)
con x = | ~B|(b − c)/(a(I + 1/2)), el signo ± corresponde a dos casos definidos para cada
valor de mJ = ±1/2. Estas relaciones son conocidas como las formulas de Breit-Rabi [34],
de las cuales notamos dos aspectos importantes: que mF es un buen número cuántico (tal
13
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
que [H′hf , Fz] = 0), pero que los autoestados en general no corresponden con |F,mF 〉.
Para hacer la conexión con los estados en ausencia de campo podemos considerar el
ĺımite x� 1 (| ~B| � 1), expandiendo a orden lineal obtenemos
E±(mF ) ≈ a(−1/4± 1/2(I + 1/2)) + gFµB| ~B|mF , (2.12)
con gF = (c± (c− b)/2(I + 1/2))/µB, tenemos el conocido efecto Zeeman lineal, en donde
los casos mJ = ±1/2 y I = 3/2 podemos mostrar (observando la separación del espectro)
que mJ = +1/2 está asociado a F = 2,mF = −2,−1, 0, 1, 2 y que mJ = −1/2 con
F = 1,mF = −1, 0, 1. De lo anterior podemos identificar que dentro del régimen lineal la
base |F,mF 〉 puede ser ocupada, y para un sistema en una base de esṕın general el término
de interacción corresponde con
Hhf = gFµB ~F · ~B(~r, t), (2.13)
el Hamiltoniano general para el acoplamiento de estados hiperfinos atómicos con Fi las
matrices de esṕın asociadas a F = 1, 2 y válido para campos magnéticos pequeños. Un
tratamiento similar al expuesto en esta sección puede ser consultado en la referencia [25].
2.2. N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes
Consideremos el caso más general posible de nuestro sistema de interés, es decir, un
gas de átomos alcalinos de masa m y esṕın F , entero por ser bosones, confinados en un
potencial óptico y en presencia de un campo magnético externo. Para nuestro estudio
consideraremos en part́ıcular átomos de esṕın total F = 1 y F = 2. Supondremos que
es posible atrapar todas las proyecciones de esṕın mF (las cuales denotaremos con letras
griegas) por medio de una trampa óptica de dipolo [35] Vtr(~r, α, t), que puede depender de
la proyección de esṕın α. También supondremos que las part́ıculas colisionan por pares,
por medio de un potencial interatómico
Uαβγδ(|~ri − ~rj |, ~B(~r, t)) ≡ UαβγδB (rij) (2.14)
de simetŕıa esférica, que depende de las proyecciones de esṕın inicial γ, δ y final α, β. El
efecto del campo magnético externo ~B(~r, t) es acoplar las proyecciones hiperfinas de los
átomos, pudiendo también modificar sus colisiones mediante el efecto de las resonancias de
Feshbach [3]. Para átomos alcalinos es posible ir mas allá del corrimiento Zeeman (lineal)
y utilizar las formulas de Breit-Rabi [34] como hemos expuesto en la sección anterior.
En secciones posteriores justificaremos la inclusión de sólo el término Zeeman lineal y la
ausencia de resonancias en la región de los parámetros usados.
14
2.2 N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes
Bajo las consideraciones anteriores, podemos escribir el Hamiltoniano de los N átomos
como
ĤN =
N∑
i
∑
αi
~p 2i
2m
|αi〉 〈αi|+ Vtr(~ri, αi, t) |αi〉 〈αi|
+
N∑
i
∑
αi,βi
gFµB
[
~B(~ri, t) · ~Fi
]βi,αi |βi〉 〈αi|
+
1
2
N∑
i 6=j
∑
δiγj
∑
αiβj
U
αiβjδiγj
B (rij) |αi〉 |βj〉 〈γi| 〈δj |
(2.15)
en donde |αi〉 denota la base de esṕın en la representación de Fz para la i-esima part́ıcula.
Como es de esperar, resolverlo no resulta trivial. Bajo el tratamiento usual de la mecánica
cuántica, el objetivo es conocer el espectro de enerǵıas Eλ y el conjunto de eigenfunciones
Ψλ({~r1, α1}, ..., {~rN , αN}), (2.16)
tomando en cuenta la simetŕıa asociada a la indistinguibilidad de las part́ıculas, a saber,
totalmente simétricas para bosones y totalmente antisimétricas para fermiones:
PijΨλ({~ri, αi}, .., {~rj , αj}) = (±1)Ψλ({~rj , αj}, .., {~ri, αi}), (2.17)
con Pij el operador de transposición que intercambia el estado de la part́ıcula i por el de
la j.
Para tener una idea de la dificultad teórica y numérica del problema, podemos notar
que el espacio de Hilbert asociado a una part́ıcula tiene una dimensión dim(H) = n×(2F+
1), n el número de orbitales o funciones espaciales necesarias para describir adecuadamente
el problema. En consecuencia, el problema crece de manera exponencial con el número
de part́ıculas dim(HN ) = n
N × (2F + 1)N y, en general, es impracticable su solución
mediante esta descripción al considerar un gas atómico con N ∼ 105 y un método de
eigenvalores para resolver el problema. Por ejemplo, si consideramos n = 10 y F = 1,
tenemos dim(HN ) ∼ ×10100000+1, y soló el tratar de representar este número en una
computadora representa en śı mismo una dificultad 1.
2.2.1. Segunda cuantización
Una descripción más útil y totalmente equivalente al problema planteado se obtiene
mediante la inclusión de espacios de Fock y el concepto de número de ocupación. A esta
descripción se le conoce como segunda cuantización. Consideremos la base del espacio de
1De acuerdo con el estándar IEEE-754-1985 para representar números y śımbolos, el máximo exponente
que puede ser representados por un número decimal flotante de 64 bits es del orden ∼ 3 × 102
15
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
Hilbert de la part́ıcula i-esima {|fx, fy, fz, α〉i = {|~f, α〉i ≡ |gi〉i} ∈ H, donde fi denota el
número cuántico asociado a un grado de libertad espacial y α denota al esṕın; abreviaremos
el estado total de la part́ıculapor gi. La base para el sistema deN part́ıculas es simplemente
|g1〉1 ...⊗ |gi〉i ...⊗ |gN 〉N ≡ |g1...gN 〉 . (2.18)
Esta base es ortonormal y completa:
〈g̃1, ..., g̃N |g1, ..., gN 〉 = δg̃1,g1 ...,
∑
g1,...,gN
|g1...gN 〉 〈g1...gN | = I1 ⊗ ...⊗ IN . (2.19)
Partiendo de la base de N part́ıculas (|g1, ..., gN 〉) podemos construir una nueva base en
función de números de ocupación ni (el número de part́ıculas que se encuentran en el
estados gi) definida por
|n1, n2, ...〉 ≡
√
n1!n2!...n∞!
N !
∑
P
(±)pP |g1...gN 〉 (2.20)
donde la suma es sobre permutaciones de ı́ndices diferentes p, el signo + corresponde a los
estados totalmente simétricos (bosones) y el − a los totalmente antisimétricos (fermiones).
De esta manera, el estado |n1, n2, ...〉 puede ser interpretado como un elemento del espacio
de Fock de N part́ıculas, clasificados por el conjunto de números de ocupación {ni}. La
idea se puede generalizar a los estados de N part́ıculas para cualquier N , que corresponde
a un espacio de dimensión infinita
HF =
∞⊕
N=0
HN (2.21)
con H el espacio de Hilbert para una part́ıcula, y
HN = Hn1 ⊗Hn2 ...⊗Hn∞ (2.22)
el espacio de Hilbert de N part́ıculas que preserva la relación
∑∞
i ni = N . Se puede
mostrar que |n1, n2, ...〉 ∈ HF es una base para todos los estados posibles de N part́ıculas
idénticas con N arbitrario
〈n′1, n′2, ...|n1, n2, ...〉 = δn′1,n1 ... ;
∞∑
N
N∑
n1,n2,...
|n1, n2, ...〉 〈n1, n2, ...| = I ∈ HF (2.23)
y que además existen operadores de creación â†i y aniquilación âi que conectan distintos
subespacios
â†i : H
N ⇒ HN+1, â†i |n1, ..., ni, ...〉 =
√
ni + 1 |n1, ..., ni + 1, ...〉
âi : H
N ⇒ HN−1, â†i |n1, ..., ni, ...〉 =
√
ni |n1, ..., ni − 1, ...〉 , ni ≥ 1,
(2.24)
16
2.2 N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes
el efecto global de estos operadores consiste en añadir o eliminar una part́ıcula en el
estado |gi〉 de manera tal que se conserva la simetŕıa o antisimetŕıa del estado original. En
la definición del espacio de Fock se incluye el estado vaćıo |0〉 = |0, 0, ..〉 del cual se puede
crear cualquier estado de N part́ıculas mediante los operadores de creación
|n1, n2, ...〉 =
1√
n1!n2!...n∞!
(â†1)
n1(â†2)
n2 ...(â†∞)
n∞ |0〉 . (2.25)
Las propiedades de simetŕıa quedan encubiertas por los valores que pueden tomar los
números de ocupación, aśı como en las relaciones de conmutación (−) y anticonmutación
(+) de los operadores â†i , âi:
[ai, aj ]± = aiaj ± aiaj = 0, [a†i , a
†
j ]± = 0, [ai, a
†
j ]± = δij , (2.26)
con el signo + para fermiones y − para bosones. En part́ıcular, la base de Fock de N
part́ıculas se le llama también de número ya que es eigenestado del los operadores de
número n̂i = â
†
i âi y del operador de número total de part́ıculas:
N̂ |n1, n2, ..〉 =
∑
i
â†i âi |n1, n2, ..〉 = N |n1, n2, ..〉 . (2.27)
Un segundo punto corresponde a la representación de operadores en el espacio de Fock
de N part́ıculas, para los cuales se puede mostrar que los operadores de un cuerpo (que
solo involucran el espacio de Hilbert de una part́ıcula) son representados por
T̂ =
N∑
i
t̂i =
∑
gigj
tij â
†
i âj con tij = 〈gi| t̂ |gj〉 , (2.28)
mientras que los operadores de dos cuerpos (que involucran el espacio de Hilbert de dos
part́ıculas) quedan como
F̂ =
1
2
N∑
i 6=j
û(gi, gj) =
1
2
∑
gigjgkgm
uijkmâ
†
i â
†
j âkâm con uijkm = 〈gi| 〈gj | û |gk〉 |gm〉
(2.29)
Para finalizar podemos definir los operadores de campo:
ψ̂α(~r ) =
∑
~f
φ~f,α(~r ) â~f,α
ψ̂†α(~r ) =
∑
~f
φ∗~f,α(~r ) â
†
~f,α
(2.30)
en donde 〈~r, α|gi〉 = φ~f,α(~r ) es la representación espacial de la base para una part́ıcula.
La interpretación de estos operadores de campo es que crean o aniquilan una part́ıcula en
17
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
la posición ~r en el estado hiperfino α. Estos operadores obedecen las siguientes reglas de
(anti-)conmutación:
[ψ̂†α(~r ), ψ̂
†
β(~r
′)]± = 0,
[ψ̂α(~r ), ψ̂β(~r
′)]± = 0,
[ψ̂†α(~r ), ψ̂β(~r
′)]± = δ(~r − ~r ′)δα,β.
(2.31)
El operador de densidad de part́ıculas se define por
n̂(~r ) =
∑
α
ψ̂†α(~r )ψ̂α(~r ) (2.32)
y guarda relación con el operador de número de part́ıculas total previamente definido
N̂ =
ˆ
d3rn̂(~r ). (2.33)
Utilizando las relaciones para operadores de uno y dos cuerpos podemos escribir nuestro
Hamiltoniano original, Ec. (2.15), en términos de los operadores de creación y aniquilación
como sigue
Ĥ(t) =
∑
gi,gj
〈gi|
~p 2
2m
+ Vtr(~r, gi, t) + gFµB ~B(~r, t) · ~F |gj〉 â†i âj
+
1
2
∑
gigjgkgm
U ijkmB â
†
i â
†
j âkâm,
(2.34)
o en la base de posición mediante los operadores de campo
Ĥ(t) =
ˆ
d3r
(
− ~
2
2m
∑
α
ψ̂†α(~r)∇2ψ̂α(~r) +
∑
α
Vtr(~r, α, t)ψ̂
†
α(~r)ψ̂α(~r)
)
+ gFµB
ˆ
d3r
∑
αβ
ψ̂†α(~r)
[
~B(~r, t) · ~F
]αβ
ψ̂β(~r)
+
1
2
ˆ
d3r d3r′
∑
αβγδ
ψ̂†α(~r )ψ̂
†
β(~r
′)UαβγδB (|~r − ~r ′|)ψ̂γ(~r )ψ̂δ(~r ′).
(2.35)
Una vez con el sistema correctamente descrito, haremos algunas consideraciones refe-
rentes al tipo de potencial externo, campo magnético y potencial de interacción atómico.
En primer lugar podemos despreciar el acoplamiento dependiente de la proyección hiperfi-
na en el campo de confinamiento Vtr si consideramos una frecuencia lejana a la resonancia
atómica [35]. Por lo tanto, a lo largo del trabajo consideraremos en primera aproximación
el potencial de la trampa como
Vtr(~r, t) =
1
2
m
(
ω2xx
2 + ω2yy
2 + ω2zz
2
)
. (2.36)
18
2.2 N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes
Mas allá del rompimiento de la degeneración en los estados internos de los átomos, el
campo magnético externo tiene distintos efectos. Por este motivo haremos una importante
suposición al despreciar posibles resonancias debidas a la variación espacial y temporal del
campo magnético, lo cual en el sentido estricto, podŕıa modificar la forma en que colisionan
los átomos. En caṕıtulos posteriores mostraremos que en los reǵımenes de acoplamiento
magnético que utilizamos, efectos como resonancias pueden ser despreciados y la aproxi-
mación Zeeman lineal es correcta.
Finalmente, para la descripción del esṕın F , supondremos una base |F,mF 〉 que descri-
be adecuadamente el esṕın atómico en la aproximación lineal. Esta base queda determinada
por los ejes experimentales de medición (Fx, Fy, Fz) generalmente definidos por un gra-
diente de campo (método de Stern-Gerlach) a lo largo de la dirección ẑ, en el cual se miden
los perfiles de densidad después de la expansión libre del condensado. Si se cuenta con más
de una dirección de medición, las proyecciones de esṕın cambian y estarán relacionadas
por una transformación unitaria
|Ψ〉lab = U(−~F · ~nθ) |mF 〉Ψ′ , (2.37)
con n̂ el eje de la rotación y θ el ángulo rotado respecto a la base original.
2.2.2. Interacción atómica
A lo largo del trabajo usaremos sistemas de esṕın F = 1 e incluiremos en las colisiones la
dependencia en sus distintas proyecciones. Para ello haremos la siguientes consideraciones:
En la dispersión de un par de átomos podemos usar los números cuánticos F,m,F ′,m′
asociados a los operadores ~F2, Fz, ~F
′2, F ′z, con la base:
|F,m〉 ⊗ |F ′,m′〉 ≡ |Fm,F ′m′〉 ; (2.38)
o la base acoplada (~F = ~F + ~F′)
|F,mF〉 =
∑
m,m′
|Fm,F ′m′〉
〈
Fm,F ′m′ F,mF
〉
, (2.39)
de los operadores ~F2,Fz, ~F
2, ~F′2 con 〈Fm,F ′m′ F,mF〉 los coeficientes de Clebsch-
Gordan1.
En las coordenadas de centro de masa aparece el operador de momento angular del
par de átomos en interacción
~Lr,r′ (2.40)
1Utilizando la convención de Condon y Shortley (The theory of Atomic Spectra. Cambridge Univ. Press,
New York 1953)
19
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
por lo que un término adicional debe ser considerado en el Hamiltoniano original,
proporcional a
~Lr,r′ · ~F, (2.41)
similar a lo que ocurre en la estructura fina del átomo hidrogenoide. Por lo tanto,
en general, debemos considerar a
~K = ~Lr,r′ + ~F, (2.42)
como la cantidad conservada en la colisióndel par de átomos.
Considerando que la interacción es elástica (conservación de momento lineal) y que a
bajas temperaturas la interacción es predominantemente de momento angular cero,
~Lr,r′ ≡ 0 (llamada también de onda s), concluimos que la base |F,mF〉 es suficiente
para describir la interacción. A partir de esta consideración podemos suponer que el
potencial de interacción es aproximado por
UαβγδB (r) ≡ UF,B(r), (2.43)
es decir, la dependencia de esṕın se ve reducida a considerar los canales de dispersión
con momento total de esṕın F.
Podemos definir los operadores de creación y aniquilación de pares atómicos como:
Ψ̂†F,mF(~r, ~r
′) =
∑
m,m′ 〈FF ′,mm′ FmF〉ψ̂
†
m(~r)ψ̂
†
m′(~r
′) (2.44)
Ψ̂F,mF(~r, ~r
′) =
∑
m,m′ 〈FmF FF ′,mm′〉ψ̂m(~r)ψ̂m′(~r ′), (2.45)
los cuales crean (aniquilan) un par de átomos con momento angular total F y pro-
yección mF.
Considerando que en nuestro caso de interés F = F ′, ante el intercambio de part́ıculas
~r ↔ ~r ′, tenemos que los coeficientes de Clebsch-Gordan tienen una paridad [36]:
〈
FmF F
′F,m′m
〉
= (−1)F+F ′−F
〈
FmF FF
′,mm′
〉
. (2.46)
Si tenemos átomos en el mismo estado hiperfino F = F ′, la paridad del sistema será
(−1)2F−F. Por lo tanto los operadores de creación y aniquilación de pares deberán co-
rresponder a momentos angulares totales restringidos por la simetŕıa de intercambio
F = 0, 2, 4, 6, ..., 2n para bosones o fermiones (ya que 2F = 2n+ 1).
Una última consideración será
Finicial = Ffinal, (2.47)
es decir, que los átomos después de la interacción se mantienen en el mismo esta-
do hiperfino. Notamos que esto no implica que m,m′ se conserven después de la
interacción. Por ejemplo, si F = 1, F = 0, 2 y mF = −2,−1, 0, 1, 2 son cantidades
conservadas en la interacción; pero si mF = m + m
′ = 0 bien puede darse en dos
procesos distintos m = m′ = 0 ó m = 1, m′ = −1 y estos a su vez son permitidos
sin un costo adicional de enerǵıa.
20
2.2 N átomos de esṕın F , débilmente interactuantes
Por simplicidad en adelante usaremos la notación:
|FF ′,mm′〉 = |Fm〉 |F ′m′〉 = |α〉 |β〉 ≡ |αβ〉. (2.48)
Con estas consideraciones podemos escribir el término de interacción
∑
αβγδ
ψ̂†α(~r)ψ̂
†
β(~r
′)UαβγδB (r)ψ̂γ(~r)ψ̂δ(~r
′), (2.49)
como:
2F∑
F=0,2,..
UF,B(|~r − ~r ′|)
F∑
mF=−F
F∑
α,β=−F
〈αβ FmF〉ψ̂†α(~r)ψ̂†β(~r ′)
F∑
γ,δ=−F
〈FmF γ, δ〉ψ̂γ(~r)ψ̂δ(~r ′).
(2.50)
Definiendo el proyector:
P̂F =
F∑
mF=−F
|FmF〉 〈FmF| (2.51)
y su representación en la base de esṕın como
P̂
αβγδ
F = 〈αβ| P̂F |γδ〉 = 〈βα| P̂F |δγ〉 , (2.52)
en la cual hemos usado Ec. (2.46) en el intercambio de ı́ndices, obtenemos el término de
interacción como
2F∑
F=0,2,..
UF,B(|~r − ~r ′|)
F∑
α,β,γ,δ=−F
P̂
αβγδ
F ψ̂
†
α(~r )ψ̂
†
β(~r
′)ψ̂γ(~r )ψ̂δ(~r
′). (2.53)
Por lo tanto, el Hamiltoniano de nuestro problema, finalmente, es:
Ĥ(t) =
ˆ
d3r
(
− ~
2
2m
ψ̂†α(~r )∇2ψ̂α(~r ) + Vtr(~r, t)ψ̂†α(~r )ψ̂α(~r )
)
+ gFµB
ˆ
d3rψ̂†α(~r )
[
~B(~r, t) · ~F
]αβ
ψ̂β(~r )
+
1
2
2F∑
F=0,2,..
ˆ
d3r d3r′UF,B(|~r − ~r ′|)P̂αβγδF ψ̂†α(~r )ψ̂
†
β(~r
′)ψ̂γ(~r )ψ̂δ(~r
′),
(2.54)
en donde hemos supuesto la notación de Einstein para sumar sobre ı́ndices griegos re-
petidos, los cuales corresponden a las proyecciones de esṕın de una part́ıcula α, β, γ, δ =
−F,−F + 1, ..., F . Un deducción equivalente de las ecuaciones que describen al sistema
pueden ser consultada en la referencia [37].
21
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
Antes de continuar hagamos un breve recuento del tratamiento hecho. Utilizando el
lenguaje de segunda cuantización (operadores de campo), hemos tomado en cuenta la co-
rrecta simetrización del sistema (relaciones de conmutación) y el Hamiltoniano original se
tiene en función de una base aún por elegir. En segundo lugar, desde el punto de vista
formal sólo hemos reescrito el problema, pero no hemos avanzado aún en su solución. La
simplificación debida al lenguaje de segunda cuantización radica en reescribir la teoŕıa
en función de un esquema de campos. Que nos permite hacer aproximaciones de manera
más efectiva y obtener información del sistema f́ısico, evitándonos recurrir directamente a
resolver las ecuaciones de Schrödinger. Por último, al poder representar Hamiltonianos de
muchas part́ıculas en el espacio de Fock, obtenemos dos ventaja técnicas; los operadores
originales se reducen a ser coeficientes en una suma sobre estados y el Hamiltoniano origi-
nal deja de tener restricciones sobre el número de part́ıculas. En este y el siguiente caṕıtulo
daremos ejemplos de las ventajas al utilizar la descripción de segunda cuantización en el
problema de muchas part́ıculas, como la descripción del fenómeno de la superfluidez ob-
tenido en el tratamiento de Bogoliuvob (1947) o en la ecuación de Gross-Pitaevskii (1961).
Una última cuestión queda pendiente y es la forma expĺıcita de los proyectores en la
base desacoplada de ~F , ~F ′ (conservamos el ı́ndice primado para preservar los dos espacios
de esṕın). Esta se puede encontrar considerando las siguientes relaciones:
~F · ~F ′ |FmF〉 =
1
2
(
~F2 − ~F 2 − ~F ′2
)
|FmF〉 =
1
2
(F(F + 1)− 2F (F + 1)) |FmF〉 , (2.55)
y ∑
F
P̂F = I⊗ I′. (2.56)
Combinándolas obtenemos,
~F · ~F ′ =
2F∑
F=0,2,...
1
2
(F(F + 1)− 2F (F + 1))P̂F. (2.57)
Utilizando las propiedades de los operadores de proyección:
P̂nF = P̂F (2.58)
P̂FP̂F′ = 0̂ (2.59)
llegamos a la relación
(
~F · ~F ′
)n
=
2F∑
F=0,2,...
1
2n
(F (F + 1)− 2F (F + 1))n P̂nF (2.60)
Aśı, para los casos de esṕın F = 1, las representaciones son:
P̂0 =
1
3
(
I⊗ I′ − ~F · ~F ′
)
, P̂2 =
1
3
(
2I⊗ I′ + ~F · ~F ′
)
(2.61)
22
2.3 Aproximación de campo medio y potencial de contacto
y para F = 2 tendremos:
P̂0 =
1
30
(
−12I⊗ I′ − ~F · ~F ′ +
(
~F · ~F ′
)2)
,
P̂2 =
1
21
(
24I⊗ I′ − 2~F · ~F ′ −
(
~F · ~F ′
)2)
,
P̂4 =
1
70
(
18I⊗ I′ + 9~F · ~F ′ +
(
~F · ~F ′
)2)
.
(2.62)
Retomando la definición de los proyectores
P̂
αβγδ
F = 〈αβ| P̂F |γδ〉 , (2.63)
en la representación desacoplada obtenemos:
〈αβ| I⊗ I′ |γδ〉 = 〈α| I |γ〉 〈β| I′ |δ〉 = δαγδβδ, (2.64)
〈αβ| ~F · ~F ′ |γδ〉 = 〈α| ~F |γ〉 · 〈β| ~F ′ |δ〉 ≡ ~Fαγ · ~F ′βδ (2.65)
y
〈αβ|
(
~F · ~F ′
)2
|γδ〉 = 〈αβ|
(
~F · ~F ′
)
I⊗ I′
(
~F · ~F ′
)
|γδ〉
= 〈αβ|
(
~F · ~F ′
)∑
σξ
|σ〉 〈σ| |ξ〉 〈ξ|
(
~F · ~F ′
)
|γδ〉
=
∑
σξ
(
〈α| ~F |σ〉 · 〈β| ~F ′ |ξ〉
)(
〈σ| ~F |γ〉 · 〈ξ| ~F ′ |δ〉
)
=
∑
σξ
~Fασ · ~F ′βξ ~F σγ · ~F ′ξδ.
(2.66)
2.3. Aproximación de campo medio y potencial de contacto
El Hamiltoniano, dado por la Ec. (2.54), modela de manera completa el sistema que
deseamos estudiar. Encontrar las enerǵıas y los de este Hamiltoniano en el subespacio de
Fock de N part́ıculas, con 10×(2+1) estados (gi, 30 números de ocupación) para N = 105
átomos de esṕın F = 1 nos deja con una dimensión proporcional a D ∼ 10115 (utilizando
el resultado de composiciones débiles de N en k formas
(
N+k−1
k−1
)
). Sin duda, el problema
es mucho menor a lo que previamente hab́ıamos obtenido, pero la complejidad de este
problema sigue siendo muy alta. Debido a lo anterior, la primera propuesta será hacer
consideraciones que nos permitan decir algo del estado base del sistema; por esta razón
consideraremos como punto de partida la aproximación de campo medio.
23
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
2.3.1. Campo medio y la condensación de Bose-Einstein
Ahora analizaremos la aproximación de campo medio, la cual implicará reducir el
problema de muchos cuerpos a otro, que consiste en resolver para un sólo estado cuántico
macroscópico. La esencia de esta aproximación es suponer que una fracción macroscópica
de átomos, comparable al número total de átomos en el sistema N , se encuentran en un
sólo estado cuántico φ0,α (dejando libre el esṕın atómico), que en el espacio de Fock puede
ser escrito como
|Ψ〉 = 1√
N !
(∑
α
ξ∗αa
†
0,α
)N
|0〉 . (2.67)
Por otro lado, esta aproximación puede hacerse mediante los operadores de campo
aproximadoscomo:
ψ̂α(~r, t) ≈ φα(~r, t)â0,α
ψ̂†α(~r, t) ≈ φ∗α(~r, t)â†0,α.
(2.68)
Esta suposición se basa en que a bajas temperaturas de los gases ultrafŕıos y en similitud
con el conocido problema de la condensación de Bose-Einstein para bosones sin interac-
ción, es favorable la ocupación macroscópica de un estado cuántico [1]. La conexión entre
estas suposiciones se consigue al tomar el valor de expectación del operador de campo con
el estado |Ψ〉.
Por otro lado el operador número de part́ıculas corresponde a
N̂ |N, 0, ..., 0〉 =
∑
α
ˆ
d3rψ̂†αψ̂α |N, 0, ..., 0〉
≈
∑
α
â†0,αâ0,α |N, 0, ..., 0〉
ˆ
d3rφα(~r, t)φ
∗
α(~r, t)
=
∑
α
nα |N, 0, ..., 0〉
ˆ
d3rφα(~r, t)φ
∗
α(~r, t)
= N |N, 0, ..., 0〉 ,
(2.69)
con nα el número de átomos con proyección de esṕın α que cumple
∑
α nα = N . A su
vez esta relación fija la norma de las componentes del estado cuántico espinorial como´
d3rφα(~r, t)φ
∗
α(~r, t) ≡ 1. Si ahora definimos
ψα(~r, t) =
√
nα
N
φα(~r, t), (2.70)
con lo cual podemos definir la función espinorial Ψ(~r, t) =
∑
α ψα(~r, t) |α〉 normalizada a
la unidad ˚
Ψ†Ψ d3r =
∑
α
˚
ψ∗αψαd
3r =
∑
α
nα/N = 1 (2.71)
24
2.3 Aproximación de campo medio y potencial de contacto
y conocida como el parámetro de orden del sistema o la función de onda del condensado.
Utilizando la evolución de los operadores de campo (esquema de Heisenberg), podemos
determinar la ecuación que obedece la función de onda del sistema:
i~
∂
∂t
ψ̂ν(~r
′, t) =
[
Ĥ(t), ψ̂ν(~r
′, t)
]
=
ˆ
d3r
(
− ~
2
2m
∇2ψ̂α(~r ) + Vtr(~r, t)ψ̂α(~r )
)
δ(~r − ~r ′ )δα,ν
+ gFµB
ˆ
d3r
[
~B(~r, t) · ~F
]αβ
ψ̂β(~r )δ(~r − ~r ′ )δαν
+
1
2
2F∑
F
ˆ
d3r d3r′′UF,B(|~r − ~r ′′|)P̂αβγδF
(
ψ̂†α(~r )δ(~r
′′ − ~r ′ )δβν
)
ψ̂γ(~r )ψ̂δ(~r
′′)
+
1
2
2F∑
F
ˆ
d3r d3r′′UF,B(|~r − ~r ′′|)P̂αβγδF
(
ψ̂†β(~r
′′)δ(~r − ~r ′ )δαν
)
ψ̂γ(~r )ψ̂δ(~r
′′).
(2.72)
Usando la forma aproximada de los operadores de campo, Ec. (2.68), junto con la paridad
de los proyectores, Ec. (2.52), obtenemos
i~
∂
∂t
ψν(~r, t) =
(−~2
2m
∇2 + Vtr(~r, t)
)
ψν(~r, t)
+ gFµB
[
~B(~r, t) · ~F
]νβ
ψβ(~r )
+N
2F∑
F
ˆ
d3rUF,B(|~r − ~r ′|)P̂ανγδF ψ∗α(~r )ψγ(~r )ψδ(~r ′)
(2.73)
tal que ˆ
d3r
∑
α
ψ∗αψα = 1. (2.74)
Estas 2F + 1 ecuaciones (Ec. (2.73), ν = −F,−F + 1, ..., F ), determinan la dinámica del
condensado espinorial y corresponden al modelo que estudiaremos en este trabajo. De igual
manera podemos utilizar esta aproximación para conocer el funcional enerǵıa asociado a
este sistema. Utilizando la relación Ec. (2.54) encontramos que la enerǵıa es
E(Ψ(~r, t))/N =
ˆ
d3r
(
− ~
2
2m
ψ∗α(~r )∇2ψα(~r ) + Vtr(~r, t)ψ∗α(~r )ψα(~r )
)
+ gFµB
ˆ
d3rψ∗α(~r )
[
~B(~r, t) · ~F
]αβ
ψβ(~r )
+
N
2
2F∑
F
ˆ
d3r d3r′UF,B(|~r − ~r ′|)P̂αβγδF ψ∗α(~r )ψ∗β(~r ′)ψγ(~r )ψδ(~r ′).
(2.75)
25
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
Adicionalmente esta forma funcional cumple un principio variacional con el cual se recu-
pera de manera consistente la forma estacionaria las Ecs. (2.73).
Finalmente cabe hacer un comentario acerca de la validez de esta aproximación, en
relación con el estado base de condensados espinoriales. Si nos restringimos al caso de esṕın
F = 1 existen casos particulares [25] en los cuales la aproximación de campo medio no
describen de manera adecuada el estado base del sistema. Restringiendo a las situaciones
que estudiaremos, se sabe que los estados fragmentados en los cuales el modelo de campo
medio falla, son menos favorables al considerar sistemas inhomogéneos o en presencia de
campos externos. Con esta advertencia continuamos ahora con el tratamiento del potencial
interatómico a bajas temperaturas.
2.3.2. Aproximación de contacto
Lo que sigue será usar la aproximación de contacto [1, 25, 38] del potencial interatómico
UF,B(|~r − ~r ′|) = aF,B
4π~2
m
δ3(~r − ~r ′). (2.76)
La región de validez de esta aproximación puede resumirse por la siguiente expresión
aF,B � d̄� λT =
h
p
≈ h√
2πmkT
, (2.77)
donde aF,B es la longitud de dispersión de onda S para el canal de interacción F a un valor
del campo magnético B y es proporcional al alcance efectivo del potencial interatómico.
La primera desigualdad (de izquierda a derecha) implica el considerar sistemas diluidos
(interacciones por pares y ondas planas) y potenciales de corto alcance, ya que se compara
con la separación media entre átomos d̄. La segunda parte de la desigualdad corresponde
al ĺımite cuántico-clásico en referencia a la temperatura del sistema (temperaturas bajas
implica colisiones de baja enerǵıa), por lo cual la enerǵıa transferida por colisiones es muy
pequeña a|k| << 1, válido a las temperaturas t́ıpicas de los gases ultrafŕıos.
Bajo esta aproximación las ecuaciones de campo medio adoptan la forma
i~
∂
∂t
ψν(~r, t) = −
(
~2
2m
∇2 + Vtr(~r, t)
)
ψν(~r, t)
+ gFµB
[
~B(~r, t) · ~F
]νβ
ψβ(~r, t)
+
2F∑
F
GFP̂
ανγδ
F ψ
∗
α(~r, t)ψγ(~r, t)ψδ(~r, t)
(2.78)
con GF = aF,BN
4π~2
m , ν = −F, . . . , F . Aśı, obtenemos una ecuación de onda similar a
la de Schrödinger pero con un término extra no lineal debido a las interacciones débiles
26
2.3 Aproximación de campo medio y potencial de contacto
del sistema. Este sistema de ecuaciones es conocido como ecuación de Gross-Pitaevskii
espinorial o ecuación no lineal de Schrödinger espinorial. El sistema de ecuaciones parcia-
les no lineales se reducen al caso ideal sin interacción, simplemente tomando aF,B → 0,
recuperando de manera consistente el caso ideal originalmente descubierto por S. N. Bose
y A. Einstein. La forma estacionaria a esta ecuación se consigue cuando el Hamiltoniano
de una part́ıcula es independiente del tiempo, por lo cual la solución se puede separa como
ψν(~r, t) ≡ ψν(~r)φ(t), (2.79)
que al sustituir en Ec. (2.78) corresponde con
φ(t) = e−
i
~µt (2.80)
y la ecuación estacionaria de Gross-Pitaevskii espinorial
µψν(~r) =
(−~2
2m
∇2 + Vtr(~r)
)
ψν(~r)
+ gFµB
[
~B(~r) · ~F
]νβ
ψβ(~r )
+
2F∑
F
GFP̂
ανγδ
F ψ
∗
α(~r )ψγ(~r )ψδ(~r)
(2.81)
con µ una constante del sistema conocida como el potencial qúımico. Finalmente, para
conocer la enerǵıa por part́ıcula consideramos la relación
E(Ψ(~r, t))/N =
ˆ
d3r
(
− ~
2
2m
ψ∗α(~r )∇2ψα(~r ) + Vtr(~r, t)ψ∗α(~r )ψα(~r )
)
+ gFµB
ˆ
d3rψ∗α(~r )
[
~B(~r, t) · ~F
]αβ
ψβ(~r )
+
2F∑
F
GF
2
ˆ
d3rP̂αβγδF ψ
∗
α(~r )ψ
∗
β(~r )ψγ(~r )ψδ(~r ).
(2.82)
2.3.3. Sistemas de pseudo-esṕın
Resultado del incréıble control experimental en los gases ultrafŕıos, es interesante plan-
tear sistemas f́ısicos en los que pueden aparecer fenómenos nuevos o mediante los cuales
desarrollemos esquemas en el estudio de problemas abiertos [39, 40, 41]. En particular, el
grado de control en los átomos ultrafŕıos nos abre una puerta para estudiar sistemas nue-
vos, es decir, de manera análoga a como las redes ópticas pueden emular los núcleos dentro
de un sólido cristalino y los átomos del gas ultrafŕıo imitar a los electrones del sólido. El
esṕın puede ser utilizado en el estudio de sistemas magnéticos en configuraciones dif́ıcil-
mente observadas o nunca antes vistas. Prueba de esto es que aprovechando el control
27
2. CONDENSACIÓN DE BOSE-EINSTEIN EN GASES INTERACTUANTES
ULTRAFRÍOS
en los distintos grados de libertad del sistema, es posible observar la aparición de nuevas
fases de la materia [42], sistemas con propiedades topológicas [43, 44, 45, 46, 47, 48], entre
tantos otros resultados.
Un caso particular que utilizaremos en este trabajo corresponde a sistemas condensados
para los cuales dos o más estados atómicos hiperfinos son acoplados mediante interaccio-
nes con campos externos conocidos como sistemas de pseudo-esṕın [49, 50, 51], debido a
que la estructura del Hamiltoniano que los modela guarda la estructura de los sistemas
espinoriales, es decir
i~
∂
∂t
ψν(~r, t) =
(−~2
2m
∇2 + Vtr(~r, t)
)
ψν(~r, t)
+ c
[
~̃B(~r, t) · ~σ
]νβ
ψβ(~r )
+Gpψ
∗
β(~r )ψβ(~r )ψν(~r ).
(2.83)
Aqúı ya hemos supuesto que las