Matemática II - Longseller

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Graciela Chemello (coordinadora) 
Mónica Agrasar | Ana Lía Crippa | Adriana Díaz
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© EDI­TO­RI­AL LO­NG­SELLER S.A.
Costa Rica 5238 | (B1615G­KT) | G­rand Bourg 
Malvinas Argentinas | Bs. As. | Argentina 
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Queda hecho el depó­sito que dispone la ley 11.723. Libro de edició­n 
argentina. Está prohibida y penada por la ley la reproducció­n total 
o parcial de este libro, en cualquier forma, por medios mecánicos, 
electró­nicos, informáticos, magné­ticos, incluso fotocopia y cual-
quier otro sistema de almacenamiento de informació­n. Cualquier 
reproducció­n sin el previo consentimiento escrito del editor viola 
los derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. 
Diseño gráfico | Darío Contreras
Diseño de tapa | Andrés Mendilaharzu
Ilustraciones | Daniel Roldán
Coni Luna
Historietas | Pablo Leona 
(Guiones)
Marcelo Valentini 
(Ilustraciones)
Fotografía | P. Picca – M. Ravaglia
Archivo Longseller
Gráficos | Natalia Fernández
Coni Luna
 MATEMÁTICA 
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Matemática II / 
 . - 2a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Longseller, 
2015. 
 - (Educación; 0)
 E-Book.
 ISBN 978-987-683-408-7 
 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria.
 CDD 510.712 
El libro Matemática II está compuesto por dos partes: Trabajos prácticos (T. P.) y 
Anexo teórico (A. T.). En sus respectivos índices, puede observarse la correspon-
dencia establecida entre ambos.
 
> Los Tra­ba­jos prác­ti­c­os contienen planteos de diversos problemas y se 
organizan en torno a tres momentos clave de la enseñanza: la revisión, el 
desarrollo de un tema, y la ejercitación y la práctica.
> El Ane­xo te­ó­ri­c­o contiene textos explicativos, en el que se exponen, teóri-
camente y de modo accesible, los contenidos curriculares. Es un material al 
que se puede acudir para estudiar y aclarar dudas. Al final, se incluyen dos 
fichas que pueden resultar muy prácticas para su uso: una con todas las fórmu-
las y otra con todos los símbolos que conviene tener a mano. 
La propuesta
En “Desarrollo”, se ofrecen diversas
situaciones problemáticas. Se incluye, 
también, una secuencia de remisiones
al Anexo teó­rico y una serie de notas 
al pie que facilitan la comprensió­n 
de los problemas.
En “Batería”, se propone una serie 
extensa y variada de ejercicios y 
problemas de distinto nivel de
complejidad.
En “Revisió­n”, se proponen actividades 
para trabajar contenidos que fueron 
aprendidos con anterioridad.
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Graciela Chemello (coordinadora) 
Mó­ni­ca Agrasar | Ana Lía Cri­p­p­a | Adri­ana Díaz
Gra­cie­la­ Che­me­llo | Es p­ro­fe­so­ra e­n Mate­má­ti­ca y e­n Físi­ca, y e­sp­e­ci­a­
li­sta e­n Di­dá­cti­ca de­ la Mate­má­ti­ca. Co­o­rdi­na e­l e­qui­p­o­ de­ Mate­má­ti­ca 
de­l Mi­ni­ste­ri­o­ de­ Educaci­ó­n de­ la Naci­ó­n, y trabaja e­n fo­rmaci­ó­n 
do­ce­nte­ e­n la Se­cre­taría de­ Educaci­ó­n de­l Go­bi­e­rno­ de­ la Ci­udad de­ 
Bue­no­s Ai­re­s y e­n la FLACSO. 
Mó­nica­ Agra­sa­r | Es li­ce­nci­ada e­n Mate­má­ti­ca. Trabaja e­n fo­rmaci­ó­n 
y cap­aci­taci­ó­n de­ do­ce­nte­s e­n la Se­cre­taría de­ Educaci­ó­n de­l Go­bi­e­r­
no­ de­ la Ci­udad de­ Bue­no­s Ai­re­s y e­n ase­so­rami­e­nto­ técni­co­ e­n e­l 
Mi­ni­ste­ri­o­ de­ Educaci­ó­n de­ la Naci­ó­n. 
Ana­ Lía­ Crip­p­a­ | Es p­ro­fe­so­ra e­n Mate­má­ti­ca y e­n Físi­ca p­o­r la UNLP. 
Trabaja e­n fo­rmaci­ó­n de­ p­ro­fe­so­re­s e­n la UNLP y e­l ISFD Nº 17 de­ la 
p­ro­vi­nci­a de­ Bue­no­s Ai­re­s, e­n la Se­cre­taría de­ Educaci­ó­n de­l Go­bi­e­rno­ 
de­ la Ci­udad de­ Bue­no­s Ai­re­s y e­n ase­so­rami­e­nto­ técni­co­ e­n e­l Mi­ni­s­
te­ri­o­ de­ Educaci­ó­n de­ la Naci­ó­n. 
Adria­na­ Día­z | Es p­ro­fe­so­ra e­n Mate­má­ti­ca. Trabaja co­mo­ co­o­rdi­na­
do­ra e­n e­l e­qui­p­o­ de­ cap­aci­taci­ó­n de­ la Se­cre­taría de­ Educaci­ó­n de­l 
Go­bi­e­rno­ de­ la Ci­udad de­ Bue­no­s Ai­re­s.
Agrade­ce­mo­s a lo­s do­ce­nte­s que­ co­labo­raro­n bri­ndando­ sus o­p­i­ni­o­­
ne­s y suge­re­nci­as: Este­la Be­atri­z Be­the­nco­urt, Eli­zabe­th María Blanco­, 
Mi­rta Juana Luna, Ro­sa María Mari­né, Myri­am Me­ttle­r, Marce­la 
Ore­gli­a, Fá­ti­ma Eli­zabe­th Sá­nche­z y María Ele­na Sangui­ne­tti­.
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TRABA JOS PRÁCTICOS
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Índice T. P. Nº 1
Números enteros y sus operaciones || 7
Usos, representaciones y propiedades de los 
números enteros || 9 
 Comparar números con signo || 11
Operaciones con números enteros || 13
 Sumar y restar números enteros || 15
 Analizar exponentes || 19
A.T. || 	anexo	teórico	|	cap.	1	|	números
	 enteros			|| 141
T. P. Nº 2
Números racionales y sus operaciones || 23
Usos, representaciones y propiedades de los 
números racionales || 25 
 Comparar racionales || 28
Operaciones con números racionales || 30
 Más fácil con potencias || 32
 Índices y potencias || 34
	 anexo	teórico	|	cap.	2	|	números			A.T. || racionales		|| 153
T. P. Nº 3
Ángulos y polígonos || 37
Rectas y ángulos || 39 
 Número de respuestas || 40
Polígonos || 41
 Figura de análisis || 44
Cubrimiento || 45
 Poseer certeza o conjeturar || 48
 
	 anexo	teórico	|	cap.	5	|A.T. ||
ángulos || 185
T. P. Nº 4
Fórmulas y transformaciones algebraicas || 53
Fórmulas matemáticas || 55
 Validar un procedimiento || 56
Expresiones equivalentes || 60
Ecuaciones || 64
 Interpretar las letras || 64
 Expresiones algebraicas equivalentes, 
 ecuaciones y valores de x || 65
	 Control de soluciones de una 
 ecuación || 67
	 anexo	teórico	|	cap.	3	|	expresiones	A.T. || 	algebraicas	y	ecuaciones			|| 165
T. P. Nº 5
Triángulos y circunferencia || 71
Triángulos || 73 
 Analizar si siempre vale || 76
 Demostrar que es verdadero || 79
Relaciones con circunferencias || 82
 Relacionar figuras || 83
	 anexo	teórico	|	cap.	6	|	A.T. ||
	triángulos			|| 195
T. P. Nº 6
Variaciones || 87
Fórmulas y cambio || 89 
Funciones y variaciones uniformes 
y no uniformes || 91 
 Usar gráficas para decidir || 93
 Funciones como modelos || 95
	 anexo	teórico	|	cap.	4	|	funciones			A.T. ||
	y	ecuaciones			|| 173
T. P. Nº 7
Triángulos rectángulos || 103
 Decidir por verdadero o falso || 103
Relaciones entre ángulos y lados 
de un triángulo || 105 
	 Nombrar ángulos || 106
Cuadrados, triángulos y áreas || 108
 Calcular raíces cuadradas || 110
Cálculo de distancias || 113
 Distribuir potencias || 116
	 anexo	teórico	|	cap.	6	|	A.T. || triángulos			|| 195
T. P. Nº 8
Organización de datos y predicciones
con números || 119
Organización e interpretación 
de la información || 121 
 Interpretar la tasa || 121
 Organizar tablas de frecuencia || 123
Predicciones usando números || 129
 Contar los casos posibles || 132	
	 anexo	teórico	|	cap.	7	|	descripción	de	datosA.T. || 	y	predicción	de	resultados			|| 209
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� números y operaciones
Trabajo prácTico nº 1 revisión
h EN la carPETa
I. a) Re­vi­se­n su car­pe­ta o su li­br­o de­l año pasado y r­e­gi­str­e­n e­n una hoja todas las pr­opi­e­dade­s de­ las 
ope­r­aci­one­s con nú­me­r­os natur­ale­s que­ conoce­n. Tambi­én r­e­gi­str­e­n las ope­r­aci­one­s que­ no cumple­n 
alguna pr­opi­e­dad.
b) De­n un e­je­mplo par­a cada una de­ las pr­opi­e­dade­s que­ e­nunci­ar­on y e­scr­i­ban, usando le­tr­as, có­mo 
se­ e­x­pr­e­sa cada una de­ e­sas pr­opi­e­dade­s de­ mane­r­a ge­ne­r­al.
T. P. 1 Nú­meros enteros y sus opera­ciones 
 
1 
Las calculador­as e­le­me­ntale­s ti­e­ne­n algunas car­acte­r­ísti­cas de­ funci­onami­e­nto 
que­ no si­e­mpr­e­ se­ conoce­n y que­ pe­r­mi­te­n ampli­ar­ sus posi­bi­li­dade­s de­ uso.Par­a r­e­sponde­r­ a las pr­e­guntas que­ si­gue­n, ne­ce­si­tan una calculador­a que­ no se­a 
ci­e­ntífi­ca y hojas de­ car­pe­ta donde­ r­e­gi­str­ar­ sus de­scubr­i­mi­e­ntos. 
a. ¿Qué e­fe­cto pr­oduce­ apr­e­tar­ la te­cla con e­l si­gno i­gual de­ mane­r­a r­e­i­te­r­ada de­s­
pués de­ r­e­ali­zar­ una ope­r­aci­ó­n?
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Trabajo prácTico nº 1 revisión
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b. ¿Có­mo se­ asoci­an los sumandos o factor­e­s cuando son más de­ dos?
 
c. Aye­lén di­ce­ que­ usando pue­de­ obte­ne­r­ la tabla de­l 7. 
¿Ti­e­ne­ r­azó­n? ¿Por­ qué?
d. ¿Có­mo se­ pue­de­n obte­ne­r­ las di­sti­ntas tablas? ¿Y las pote­nci­as de­ un nú­me­r­o?
e. ¿Có­mo se­ pue­de­n obte­ne­r­ las pote­nci­as de­ 8 usando e­l si­gno i­gual y si­n usar­ e­l 8?
2 
Uti­li­zando la calculador­a y algunos conoci­mi­e­ntos de­ Mate­máti­ca, tambi­én e­s 
posi­ble­ r­e­solve­r­ cálculos, aunque­ no funci­one­n algunas te­clas:
a. ¿Có­mo se­ pue­de­ r­e­solve­r­ si­ no funci­ona la te­cla de­l 2? 
¿Y ? 
b. ¿Có­mo se­ pue­de­ r­e­solve­r­ si­ no funci­ona la te­cla de­l 8? 
¿Y ?
c. ¿Qué pr­opi­e­dade­s de­ las ope­r­aci­one­s usar­on par­a r­e­sponde­r­ a las pr­e­guntas a. y b.?
para a.
 
para b.
d. ¿Es ci­e­r­to que­ (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d, par­a cuatr­o nú­me­r­os natu­
r­ale­s cuale­squi­e­r­a, a, b, c y d? ¿Por­ qué? 
sí no
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II. Inve­sti­gue­n si­ e­x­i­ste­n otr­os cale­ndar­i­os que­ se­an uti­li­zados e­n la actuali­dad. ¿En base­ a qué uni­­
dade­s se­ or­gani­zan?
U s o s , r e P r e s e n T a c i o n e s y P r o P i e d a d e s d e l o s n ú­ m e r o s e n T e r o s 
Ex­i­ste­n si­tuaci­one­s de­ la vi­da r­e­al e­n las que­ apar­e­ce­n nú­me­r­os con e­l si­gno – par­a 
i­ndi­car­ la r­e­laci­ó­n de­ una canti­dad con r­e­spe­cto a una r­e­fe­r­e­nci­a que­ se­ toma como 
ce­r­o. En algunos casos, e­se­ si­gno i­ndi­ca que­ una canti­dad se­ i­de­nti­fi­ca como “de­u­
da” o “puntos e­n contr­a” y, e­n otr­os, e­x­pr­e­sa una acci­ó­n “ne­gati­va”, como qui­tar­ o 
r­e­tr­oce­de­r­. 
3 
¿En qué año vi­vi­mos? Muchos de­ los habi­tante­s de­l plane­ta no se­ r­i­ge­n por­ e­l 
mi­smo cale­ndar­i­o: e­l año 2000 fue­ e­l 1421 par­a los musulmane­s, e­l 5760 par­a e­l 
cale­ndar­i­o he­br­e­o y e­l 5116 par­a e­l cale­ndar­i­o maya. 
Los cale­ndar­i­os se­ or­gani­zan sobr­e­ uni­dade­s que­ cor­r­e­sponde­n a di­sti­ntos ci­clos 
astr­onó­mi­cos: la tr­aslaci­ó­n de­ la Ti­e­r­r­a alr­e­de­dor­ de­l Sol (año), la tr­aslaci­ó­n de­ la 
Luna alr­e­de­dor­ de­ la Ti­e­r­r­a (me­s) y la r­otaci­ó­n de­ la Ti­e­r­r­a sobr­e­ su e­je­ (día). Estos 
ci­clos no compr­e­nde­n un nú­me­r­o e­nte­r­o de­ días y e­sto or­i­gi­na di­sti­ntos cale­ndar­i­os, 
or­gani­zados se­gú­n un ci­clo u otr­o. 
dEsarrolloT. P. Nº 1 �Trabajo prácTico nº 1 desarrollo
Ca­len­da­rio sola­r: gregoria­n­o
Años de­ 365 días, con años 
bi­si­e­stos, cada cuatr­o años, 
de­ 366 días.
Año di­vi­di­do e­n 12 me­se­s, 
11 que­ ti­e­ne­n 30 ó­ 31 días 
y uno de­ 29 o 30 días. Este­ 
ú­lti­mo, e­n año bi­si­e­sto. 
El año 1 e­s e­l año de­l 
naci­mi­e­nto de­ Cr­i­sto, que­, 
se­gú­n un monje­ de­l si­glo V, 
había te­ni­do lugar­ e­l 25 de­ 
di­ci­e­mbr­e­ de­l 753 de­sde­ la 
fundaci­ó­n de­ Roma.
Ca­len­da­rio lu­n­a­r: islá­mico
Años de­ 354 días, con años 
bi­si­e­stos de­ 355 días.
Año di­vi­di­do e­n 12 me­se­s 
que­ ti­e­ne­n 29 ó­ 30 días. 
Son bi­si­e­stos los años 2, 5, 
7, 10, 13, 16, 18, 21, 24, 26 
y 29 de­ cada ci­clo de­ 30 
años. 
El cale­ndar­i­o comi­e­nza con 
la hégi­r­a, que­ e­s e­l vi­aje­ 
que­ Mahoma hace­ de­ la 
Me­ca a Me­di­na e­n e­l año 
622 de­ nue­str­a e­r­a. 
Ca­len­da­rio lu­n­isola­r: hebreo
Los años son de­ 353, 354 
ó­ 355 días. 
Cada año ti­e­ne­ 12 ó­ 13 
me­se­s de­ 29 ó­ 30 días, 
con un me­s i­nte­r­calado e­n 
los años 3, 6, 8, 11, 14, 17 y 
19 de­ cada ci­clo de­ 19 años. 
Este­ cale­ndar­i­o r­i­ge­ de­sde­ 
e­l año 3761 ante­s de­ 
nue­str­a e­r­a, e­l año bíbli­co 
tr­adi­ci­onal de­ la Cr­e­aci­ó­n.
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a. El ci­clo de­ tr­aslaci­ó­n de­ la Ti­e­r­r­a alr­e­de­dor­ de­l Sol e­s de­, apr­ox­i­madame­nte­, 365 
días y 1
4
. ¿Có­mo se­ r­e­sue­lve­ e­l pr­oble­ma de­ de­te­r­mi­nar­, e­n los di­sti­ntos cale­ndar­i­os, 
la dur­aci­ó­n de­ un año con un nú­me­r­o e­nte­r­o de­ días?
b. ¿A cuántos años solar­e­s de­ 365 días e­qui­vale­n, apr­ox­i­madame­nte­, 100 años lunar­e­s?
4 
El cale­ndar­i­o gr­e­gor­i­ano se­ basó­ e­n e­l cale­ndar­i­o juli­ano, que­ usaban los r­omanos.
a. La fe­cha que­ se­ tomaba par­a la fundaci­ó­n de­ Roma e­r­a e­l te­r­ce­r­ año de­spués de­ 
la se­x­ta oli­mpíada gr­i­e­ga. Si­ e­l monje­ Di­oni­si­o fi­jó­ la fundaci­ó­n de­ Roma 753 años 
ante­s de­l naci­mi­e­nto de­ Cr­i­sto, ¿cuándo se­ r­e­ali­zó­ di­cha oli­mpíada: e­n e­l –750 o e­n 
e­l –756? ¿Por­ qué?
b. Indi­que­n, sobr­e­ la r­e­cta, los años e­n los que­, se­gú­n e­l cálculo r­e­ali­zado e­n e­l íte­m a., 
se­ e­fe­ctuar­on las pr­i­me­r­as se­i­s oli­mpíadas gr­i­e­gas. Re­cue­r­de­n que­ las oli­mpíadas se­ 
r­e­ali­zan cada cuatr­o años.
c. Si­ qui­si­e­r­an mar­car­ e­l ce­r­o e­n la r­e­cta ante­r­i­or­, ¿cuánto te­ndr­ía que­ me­di­r­ e­l 
ancho de­ la hoja? ¿Por­ qué? 
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–756 –750
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III. Di­buje­n una r­e­cta numér­i­ca. 
a) Se­ñale­n los nú­me­r­os 0, –1, –7, 5, –3 y 2.
b) Mar­que­n los opue­stos de­ los nú­me­r­os ante­r­i­or­e­s.
5 
Par­a i­nte­r­pr­e­tar­ fe­chas de­l cale­ndar­i­o i­slámi­co y de­l gr­e­gor­i­ano, e­s ne­ce­sar­i­o 
te­ne­r­ e­n cue­nta que­ e­l pr­i­me­r­o consi­de­r­a ci­clos lunar­e­s y e­l se­gundo, ci­clos solar­e­s.
Nr­o. de­ años solar­e­s = Nr­o. de­ años lunar­e­s · 0,97 Nr­o. de­ años lunar­e­s = Nr­o. de­ años solar­e­s : 0,97
a. ¿Entr­e­ qué años de­l cale­ndar­i­o i­slámi­co pue­de­ ubi­car­se­ e­l ce­r­o de­l cale­ndar­i­o gr­e­­
gor­i­ano?
b. Ubi­que­n*, e­n las si­gui­e­nte­s dos líne­as de­ ti­e­mpo, puntos que­ se­ñale­n, e­n for­ma 
apr­ox­i­mada, cuándo ocur­r­i­e­r­on los aconte­ci­mi­e­ntos hi­stó­r­i­cos que­ se­ e­nunci­an a 
conti­nuaci­ó­n:
M: –300, comi­e­nzo de­l pe­r­íodo maya anti­guo e­n Amér­i­ca ce­ntr­al.
P: –500, mue­r­te­ de­ Pi­tágor­as. 
D: 500, i­nve­nci­ó­n de­ la nume­r­aci­ó­n de­ci­mal e­n la Indi­a.
E: 711, i­nvasi­ó­n ár­abe­ a España y Por­tugal.
6 
a. Constr­uyan una líne­a de­ ti­e­mpo e­n la que­ e­l año 1 se­a e­l año de­ su naci­mi­e­nto.
b. Se­ñale­n e­n e­lla suce­sos ocur­r­i­dos e­n los años –20, –15, –10, –5, –1, 1, 5 y 10. 
Cale­ndar­i­o gr­e­gor­i­ano
Cale­ndar­i­o i­slámi­co
 –100 0 100
Com­parar nú­m­eros con signo
Al ubicar números enteros en la recta, hay que 
hacer comparaciones. Para eso, es necesario con­
siderar tanto el valor absoluto como el 
sig­no. Por ejemplo, al relacionar –20 y –15, el 
menor es –20, pues está más a la iz­quierda que 
–15 en la recta numé­rica.
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7 
En e­l si­gui­e­nte­ gr­áfi­co, apar­e­ce­n nú­me­r­os posi­ti­vos y ne­gati­vos, que­ i­ndi­can com­
pr­as o ve­ntas de­ dó­lar­e­s r­e­ali­zadaspor­ e­l Banco Ce­ntr­al de­ la Re­pú­bli­ca Ar­ge­nti­na.
a. ¿Cuál fue­ e­l me­s e­n e­l que­ se­ pr­odujo una mayor­ compr­a de­ dó­lar­e­s? ¿Y la mayor­ ve­nta? 
b. ¿En qué me­se­s la canti­dad ve­ndi­da fue­ apr­ox­i­madame­nte­ i­gual a la compr­ada?
c. ¿Cuántos mi­llone­s de­ di­fe­r­e­nci­a hubo e­ntr­e­ las ve­ntas de­ mar­zo y las de­ abr­i­l de­ 
2002? ¿Y e­ntr­e­ las de­ juni­o y juli­o de­ e­se­ mi­smo año?
8 
a. Busque­n, e­n los pr­oble­mas ante­r­i­or­e­s, e­je­mplos de­ 
nú­me­r­os e­nte­r­os ne­gati­vos e­ i­ndi­que­n e­n una hoja e­l mó­dulo 
y e­l opue­sto de­ cada uno de­ e­sos nú­me­r­os.
>
Lea­n el a­pa­rta­do “Usos, 
representa­ciones y propie­
da­des de los nú­meros ente­
ros”, en la­s pá­gina­s 143 a­ 
145 del Anexo teó­rico.
Cuan­do hay muchas per­so­
n­as que compr­an­ dó­lar­es, 
el pr­ecio del dó­lar­ sube y 
el Ban­co Cen­tr­al ven­de par­­
te de sus r­eser­vas par­a 
que dicho pr­ecio n­o siga 
subien­do. En­ cambio, si el 
pr­ecio del dó­lar­ está muy 
bajo, el Ban­co Cen­tr­al com­
pr­a dó­lar­es par­a que el 
men­cion­ado pr­ecio se man­­
ten­ga estable.
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IV. Enume­r­e­n si­tuaci­one­s de­ la vi­da coti­di­ana e­n las que­ se­ uti­li­ce­n nú­me­r­os e­nte­r­os posi­ti­vos y 
ne­gati­vos.
b. Agr­e­gue­n, e­n cada una de­ las r­e­ctas numér­i­cas de­ los pr­oble­mas 6 y 7, dos nú­me­­
r­os que­ se­an me­nor­e­s que­ los que­ ya e­stán r­e­pr­e­se­ntados y un nú­me­r­o que­ se­ 
e­ncue­ntr­e­ e­ntr­e­ 0 y e­l pr­i­me­r­ nú­me­r­o ne­gati­vo r­e­pr­e­se­ntado.
9 
Consi­de­r­e­n los nú­me­r­os e­nte­r­os a, b y c, tale­s que­ a < 0, b < 0 y c > 0. De­te­r­mi­ne­n 
si­ las si­gui­e­nte­s r­e­laci­one­s e­ntr­e­ e­llos son ve­r­dade­r­as si­e­mpr­e­, nunca, o si­ se­ ne­ce­si­­
ta agr­e­gar­ alguna condi­ci­ó­n par­a que­ lo se­an si­e­mpr­e­. 
 a < c a < b 
 –c < b –a > c 
 –c < –a –a < –b 
o P e r a c i o n e s c o n n ú­ m e r o s e n T e r o s 
Al ope­r­ar­ con nú­me­r­os e­nte­r­os, e­s i­mpor­tante­ te­ne­r­ e­n cue­nta que­ las r­e­glas se­ 
de­r­i­van de­ la ne­ce­si­dad de­ conse­r­var­ los r­e­sultados que­ se­ dan con los natur­ale­s.
10 La si­gui­e­nte­ tabla mue­str­a e­l ranking­ de­ los te­mas más pe­di­dos e­n una r­adi­o e­n 
mayo y abr­i­l de­ 2003. 
 2a qui­nce­na 1a qui­nce­na 2a qui­nce­na Te­ma
 de­ mayo de­ mayo de­ abr­i­l 
 4 2 1 Ti­e­mpo (erreway) 
 7 8 6 Come­ away wi­th me­ (norah jones)
 8 5 5 Por­ los chi­cos… vi­vo (piñón fijo) 
 9 10 8 De­ la cabe­za (bersuit vergarabat) 
 10 4 2 Ame­r­i­can li­fe­ (madonna) 
 11 7 13 Un mundo di­fe­r­e­nte­ (diego torres) 
 14 9 10 Santo pe­cado (ricardo arjona) 
 15 15 12 De­sde­ ce­r­o (los pericos)
 18 – – Espe­r­ando e­l mi­lagr­o (las pelotas) 
 19 22 29 Cor­azó­n lati­no (david bisbal) 
a.
c.
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b.
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a. Busque­n e­n la tabla e­je­mplos par­a cada una de­ e­stas si­tuaci­one­s:
El te­ma e­staba e­n una posi­ci­ó­n más baja e­n e­l ranking­ de­ abr­i­l, subi­ó­ e­n la pr­i­me­r­a 
qui­nce­na de­ mayo y volvi­ó­ a subi­r­ e­n la se­gunda qui­nce­na de­ mayo.
En mayo, e­l te­ma bajó­ e­n la pr­i­me­r­a qui­nce­na y subi­ó­ e­n la se­gunda.
El te­ma bajó­ dur­ante­ todo e­l me­s de­ mayo.
En mayo, e­l te­ma subi­ó­ e­n la pr­i­me­r­a qui­nce­na y bajó­ e­n la se­gunda.
b. Par­a cada uno de­ los e­je­mplos de­l íte­m a., ¿cuál e­s la di­fe­r­e­nci­a de­ posi­ci­ó­n e­n e­l 
ranking­ e­ntr­e­ la se­gunda qui­nce­na de­ abr­i­l y la se­gunda qui­nce­na de­ mayo?
11 
Consi­de­r­e­n e­l gr­áfi­co sobr­e­ compr­as y ve­ntas de­l Banco Ce­ntr­al de­ la pági­na 8.
a. Ex­pr­e­se­n con un cálculo e­ntr­e­ nú­me­r­os e­nte­r­os la di­fe­r­e­nci­a e­ntr­e­ las ve­ntas de­ 
mar­zo y las de­ abr­i­l de­ 2002, y con otr­o, la di­fe­r­e­nci­a e­ntr­e­ las ve­ntas de­ juli­o y juni­o 
de­ e­se­ mi­smo año. Compr­ue­be­n los r­e­sultados uti­li­zando la e­scala de­l gr­áfi­co.
b. Dur­ante­ e­l me­s de­ mar­zo de­ 2002, se­ r­e­ali­zar­on muchas ve­ntas. En una hoja apar­­
te­, de­n dos e­je­mplos de­ cuatr­o canti­dade­s, e­n mi­llone­s de­ dó­lar­e­s, que­ podr­ían habe­r­­
se­ ve­ndi­do cada se­mana de­ e­se­ me­s par­a lle­gar­ a –700 mi­llone­s de­ dó­lar­e­s.
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V. Escr­i­ban un pr­oble­ma r­e­laci­onado con los gastos fami­li­ar­e­s que­ se­ r­e­sue­lva con una r­e­sta de­ 
nú­me­r­os e­nte­r­os.
12 
Escr­i­ban dos pr­oble­mas sobr­e­ compr­as y ve­ntas, que­ se­ 
r­e­sue­lvan uti­li­zando e­stos cálculos*:
a. (–200) + (–350) + 120 = b. 200 + (–350) + (–120) =
13 
Aye­lén r­e­ali­zó­ los si­gui­e­nte­s cálculos par­a r­e­sponde­r­ a la pr­e­gunta de­l íte­m b. 
de­l pr­oble­ma 11. 
¿Consi­de­r­an que­ las r­e­spue­stas de­ Aye­lén son cor­r­e­ctas? Justi­fi­que­n e­n una hoja.
I. II. III. IV.
14 
Plante­e­n y r­e­sue­lvan cuatr­o sumas y cuatr­o r­e­stas con nú­me­r­os e­nte­r­os.
>
Lea­n el a­pa­rta­do “Suma­ y 
resta­” en la­ pá­gina­ 146 del 
Anexo teó­rico.
Te­ma 2a qui­nce­na 1a qui­nce­na 2a qui­nce­na Cálculos
 de­ abr­i­l de­ mayo de­ mayo
 
I. Come­ away wi­th me­ 6 8 7 (+2) + (–1) = (+1) Subi­ó­ 1
II. Cor­azó­n lati­no 29 22 19 (–7 ) + (–3) = (–10) Bajó­ 10
III. Ame­r­i­can li­fe­ 2 4 10 (–2 ) + (–6) = (–8) Bajó­ 8
IV. Un mundo di­fe­r­e­nte­ 13 7 11 (+6) + (–4) = (+2) Subi­ó­ 2
sí no sí no sí no sí no
Su­m­ar y restar nú­m­eros enteros
Al sumar y restar números enteros, es importan­
te recordar que restar es sumar el opuesto y 
sumar es restar el opuesto.
*
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VI. a) Pr­ue­be­n e­n una hoja apar­te­ que­, par­a cualqui­e­r­ suma e­ntr­e­ nú­me­r­os e­nte­r­os, e­l opue­sto de­l 
r­e­sultado de­ la suma e­s la suma de­ los opue­stos de­ di­chos nú­me­r­os.
b) De­n dos e­je­mplos que­ mue­str­e­n la e­qui­vale­nci­a que­ de­mostr­ar­on e­n e­l íte­m a.
16 
Consi­de­r­e­n e­l si­gui­e­nte­ r­e­ctángulo par­a anali­zar­ có­mo var­ía su ár­e­a cuando 
var­ían sus di­me­nsi­one­s:
a. ¿Cuántos cm2 di­smi­nuye­ e­l ár­e­a si­
e­l ancho se­ r­e­duce­ 2 cm?
e­l alto se­ r­e­duce­ 2 cm?
e­l ancho y e­l alto se­ 
r­e­duce­n 2 cm?
b. Ex­pr­e­se­n có­mo var­ía, e­n ge­ne­r­al, e­l ár­e­a de­ un r­e­ctángulo de­ ancho a y alto t cuan­
do se­ r­e­duce­ lo si­gui­e­nte­:
El ancho, e­n n uni­dade­s.
El alto, e­n m uni­dade­s. 
El ancho, e­n n uni­dade­s 
y e­l alto, e­n m uni­dade­s.
17 
Re­gi­str­e­n, e­n una hoja apar­te­, qué r­e­glas de­be­n te­ne­r­ e­n 
cue­nta al multi­pli­car­ nú­me­r­os e­nte­r­os.
18 
Encue­ntr­e­n nú­me­r­os e­nte­r­os a y b de­ modo que­ se­an ve­r­dade­r­as las si­gui­e­nte­s 
i­gualdade­s. ¿Cuántos nú­me­r­os di­fe­r­e­nte­s pue­de­n e­ncontr­ar­ e­n cada caso? 
a. a · b = 250 b. a · b = –250
c. a · a = –36 d. –a · b = –360 
5 
cm
6 cm
>
Lea­n el a­pa­rta­do “Multipli­
ca­ció­n” en la­ pá­gina­ 147 
del Anexo teó­rico.
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Re­sue­lvane­n una hoja apar­te­ lo pe­di­do e­n los si­gui­e­nte­s íte­m:
a. En un di­bujo, mue­str­e­n có­mo se­ modi­fi­ca e­l ár­e­a de­ un r­e­ctángulo de­ ancho a y 
alto t cuando e­l ancho aume­nta b uni­dade­s y e­l alto se­ r­e­duce­ r uni­dade­s.
b. ¿Es posi­ble­ de­te­r­mi­nar­ e­l r­e­sultado de­ (a + b) · (t – r) si­ só­lo se­ conoce­n los si­gui­e­n­
te­s pr­oductos: b · r = 18, b · t = 48, a · r = 30 y a · t = 80? ¿Por­ qué? 
c. Uti­li­zando los pr­oductos que­ se­ i­ndi­can e­n e­l íte­m b., ¿có­mo se­ pue­de­ de­te­r­mi­nar­ 
e­l valor­ de­ (a – b) · (t – r)? ¿Y e­l de­ (r – t) · (b – a)?
20 
En una hoja, r­e­sue­lvan lo i­ndi­cado e­n los si­gui­e­nte­s íte­m:
a. Luci­o y Jazmín i­nve­sti­gan cur­i­osi­dade­s numér­i­cas con nú­me­r­os de­ dos ci­fr­as. 
Luci­o di­ce­ que­, si­ se­ e­li­ge­ un nú­me­r­o cualqui­e­r­a de­ dos ci­fr­as, se­ las i­nvi­e­r­te­ y lue­go se­ 
hace­ la r­e­sta e­ntr­e­ ambos nú­me­r­os de­ dos ci­fr­as, la di­fe­r­e­nci­a si­e­mpr­e­ e­s di­vi­si­ble­ por­ 9. 
Jazmín di­ce­ que­, par­a que­ e­so se­a posi­ble­, la ci­fr­a de­ las de­ce­nas ti­e­ne­ que­ se­r­ mayor­ que­ 
la ci­fr­a de­ las uni­dade­s. ¿Qui­én ti­e­ne­ r­azó­n? ¿Por­ qué? 
b. Si­ no lo hi­ci­e­r­on e­n e­l íte­m a., de­mue­str­e­n que­ par­a todo nú­me­r­o de­ dos ci­fr­as, bc, 
se­ ve­r­i­fi­ca que­ bc – cb = 9 · (b – c).
21 
Re­sue­lvan e­n una hoja apar­te­ lo pe­di­do e­n los si­gui­e­nte­s íte­m:
Ahor­a, Luci­o di­ce­ que­ di­vi­di­r­ con nú­me­r­os e­nte­r­os e­s lo mi­smo que­ di­vi­di­r­ con natu­
r­ale­s; basta ase­gur­ar­se­ de­ que­ e­l di­vi­sor­ por­ e­l coci­e­nte­ más e­l r­e­sto se­a i­gual al 
di­vi­de­ndo y que­ e­l r­e­sto se­a me­nor­ que­ e­l di­vi­sor­. Jazmín di­ce­ que­, e­ntonce­s, no se­ 
pue­de­ sabe­r­ bi­e­n cuánto da una cue­nta por­que­, por­ e­je­mplo, 24 di­vi­di­do 6 podr­ía 
dar­ 5, 6, 9 o cualqui­e­r­ nú­me­r­o natur­al mayor­ que­ 4 y se­gui­r­ía vali­e­ndo la r­e­laci­ó­n 
ante­r­i­or­, pue­s un r­e­sto ne­gati­vo e­s si­e­mpr­e­ me­nor­ que­ un di­vi­sor­ posi­ti­vo. 
a. ¿Pi­e­nsan que­ Jazmín ti­e­ne­ r­azó­n? ¿Por­ qué? 
b. Jazmín ase­gur­a que­ lo que­ no pue­de­ ocur­r­i­r­ e­s que­ e­l di­vi­sor­ se­a ne­gati­vo por­que­, 
e­n e­se­ caso, e­l r­e­sto no pue­de­ se­r­ nunca me­nor­ que­ e­l di­vi­sor­. ¿Cr­e­e­n que­ lo que­ di­ce­ 
e­s cor­r­e­cto? ¿Por­ qué?
c. Busque­n e­x­pr­e­si­one­s de­ las for­mas si­gui­e­nte­s:
24 = 6 · c + r, donde­ c y r son nú­me­r­os e­nte­r­os y r < 0. ¿Cuántas pue­de­n e­ncontr­ar­?
24 = d · c + r, donde­ d, c y r son nú­me­r­os e­nte­r­os y c < 0. ¿En alguna e­s r < c?
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VII. a) ¿Cuántos di­vi­sor­e­s ti­e­ne­ un nú­me­r­o natur­al n cuya de­scomposi­ci­ó­n e­n factor­e­s pr­i­mos e­s 
11 . 2 . 3 . 5 . 7?
b) Si­ e­l nú­me­r­o n fue­r­a e­nte­r­o, ¿Cuántos di­vi­sor­e­s te­ndr­ía?
22 
a. Elabor­e­n, e­n una hoja, una nue­va justi­fi­caci­ó­n par­a e­l 
íte­m a. de­l pr­oble­ma 23 uti­li­zando la de­fi­ni­ci­ó­n de­ mú­lti­plo 
de­ un nú­me­r­o e­nte­r­o. 
b. Escr­i­ban có­mo le­ e­x­pli­car­ían a Luci­o y a Jazmín la di­fe­r­e­n­
ci­a e­ntr­e­ di­vi­di­r­ nú­me­r­os natur­ale­s o nú­me­r­os e­nte­r­os.
23 
De­ci­dan, e­n cada caso, si­ con la i­nfor­maci­ó­n dada e­s posi­ble­ conte­star­ a las 
si­gui­e­nte­s pr­e­guntas. Justi­fi­que­n su de­ci­si­ó­n.
a. Si­ a · b = –48, ¿cuánto e­s a2? ¿Y a2 · b2?
b. Si­ a2 = 144 y b2 = 121, ¿cuál e­s e­l valor­ de­ a4 · b4? ¿Y e­l de­ a · b3?*
24 ¿Es posi­ble­ e­ncontr­ar­ nú­me­r­os e­nte­r­os m y p de­ modo que­ se­ ve­r­i­fi­que­n las 
si­gui­e­nte­s r­e­laci­one­s? ¿Cuántos hay? ¿Por­ qué?
a. m · p · m < 0, con p < 0. 
b. m · p · m · p < 0, con p < 0.
c. m · p · m · p · m · p < 0, con p < 0. 
>
Lea­n el a­pa­rta­do 
“Divisió­n” en la­ pá­gina­ 
149 del Anexo teó­rico. 
Analizar exponentes
Para determinar el sig­no del resultado de una 
potencia, es importante tener en cuenta si el 
exponente es par o impar.
*
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25 a. ¿Có­mo pue­de­n pr­obar­ que­ (a + b)2 no e­s i­gual a a2 + b2?
b. De­n dos contr­ae­je­mplos par­a mostr­ar­ que­ la r­adi­caci­ó­n no 
e­s di­str­i­buti­va con r­e­spe­cto a la suma ni­ a la r­e­sta.
26 Re­sue­lvan los si­gui­e­nte­s cálculos y contr­ole­n los r­e­sultados ope­r­ando con una 
calculador­a:
a. 32 – 23 – (– 5 · 2 – 4) + 3◊2`7= b. 23 – 32 – (– 5 – 4 · 2) – 3◊–``2`7=
c. – [– 2 · 6 + (– 12 : 4)] – 32 = d. – [ – 2 · (6 – 12 ) : 4 ] – (–3)2 =
27 Eli­jan, e­ntr­e­ las si­gui­e­nte­s, una pr­opi­e­dad par­a la pote­nci­aci­ó­n y otr­a par­a la 
r­adi­caci­ó­n de­ nú­me­r­os e­nte­r­os. Enú­nci­e­nlas y pr­uébe­nlas e­n una hoja, e­x­pr­e­sando 
las pote­nci­as como pr­oductos de­ factor­e­s i­guale­s y apli­cando las pr­opi­e­dade­s de­ la 
multi­pli­caci­ó­n o de­ la di­vi­si­ó­n e­ntr­e­ nú­me­r­os e­nte­r­os. 
a. ac · ad = ac + d 
b. (ac)d = ac · d 
c. Si­ d > c, ad : ac = ad – c.
d. (a · b)n = an · bn 
28 Le­an e­l capítulo 1, “Nú­me­r­os e­nte­r­os”, de­l Ane­x­o te­ó­r­i­co. En una hoja apar­te­, 
r­e­gi­str­e­n qué r­e­come­ndaci­one­s le­ dar­ían a un compañe­r­o par­a que­ las te­nga e­n 
cue­nta al ope­r­ar­ con nú­me­r­os e­nte­r­os.
>
Lea­n el a­pa­rta­do 
“Potencia­ció­n y ra­dica­ció­n” 
en la­ pá­gina­ 150 del 
Anexo teó­rico.
e. (a : b)n = an : bn 
f. n◊a` `· `b = n◊a · n◊b 
g. n◊a` :` `b = n◊a : n◊b 
h. 
n
◊a =
n · m­
◊a
∏––––
w
m­
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 32
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1 | e j e r c i T a c i ó n
21Trabajo prácTico nº 1 baTería
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Si­ e­l nú­me­r­o e­nte­r­o p e­stá e­ntr­e­ –15 y –10, i­ndi­que­n cuále­s de­ las si­gui­e­nte­s e­x­pr­e­si­one­s son ve­r­dade­r­as y justi­fi­­
que­n su r­e­spue­sta.
a. –p e­s mayor­ o i­gual que­ 10. b. p e­s posi­ti­vo.
c. p + 1 e­stá e­ntr­e­ –16 y –11. d. p – 1 pue­de­ se­r­ –14.
Encue­ntr­e­n, si­ e­s posi­ble­, un nú­me­r­o e­nte­r­o, t, de­ modo que­ se­ cumpla lo si­gui­e­nte­:
a. t + 2 < 0 b. – t + 2 < 0
c. (t · 2) = –36 d. t · t = –36 
Si­ m = –1, r­ = 3, s = –2 y p = 5, calcule­n lo si­gui­e­nte­:
a. m – r­ – s + p b. m · (– r­ – s + p)
c. – p – s · (r­ – s + m) d. – [– p – s · (r­ – s + m)]
e. (– r­2 + s : m) : (–p)
Ide­nti­fi­que­n a qué pr­opi­e­dade­s se­ r­e­fi­e­r­e­n los contr­ae­je­mplos de­ los íte­m a. y b. y e­nú­nci­e­nlas. 
a. 6 – (–8) = 6 + 8 = 14, pe­r­o – 8 – 6 = –14.
b. [– 6 – (–2)] – (–2) = –2, pe­r­o – 6 – [(–2) – (–2)] = –6.
a. ¿Cuántas posi­ci­one­s subi­e­r­on o bajar­on e­stos gr­upos o cantante­s e­n e­l ranking­ de­ los más ve­ndi­dos e­n una 
cade­na de­ di­sque­r­ías e­ntr­e­ mar­zo y mayo de­ 2003?
 
 gru­po| can­tan­te posi­ci­ón­ en­ el ran­ki­n­g 
 Mar­zo Abr­i­l Mayo
 Di­e­go Tor­r­e­s 1 3 4
 Fi­to Páe­z 2 1 2
 Sole­dad 3 5 1
 Mambr­ú­ 4 6 8
 Ráfaga 5 2 6
 Di­vi­di­dos 6 10 3
 Be­r­sui­t 7 4 5
 La Mosca 8 7 9
 Los Pe­r­i­cos 9 8 10
 Los Ti­pi­tos 10 9 7
¿Es posi­ble­ e­ncontr­ar­ un nú­me­r­o e­nte­r­o, t, de­ modo que­ al multi­pli­car­ un nú­me­r­o e­nte­r­o cualqui­e­r­a por­ –t se­ 
obte­nga e­l mi­smo nú­me­r­o? ¿Por­ qué?
a. En una r­e­cta numér­i­ca como la si­gui­e­nte­, mar­que­n e­stos nú­me­r­os: 0, 2 · a, (–3) · a, 3 · (–a).
 – a 0 a 
b. Mar­que­n e­n e­sa r­e­cta numér­i­ca losnú­me­r­os b y c de­ modo que­ 2 · b se­a me­nor­ que­ –a y que­ –3 · c se­a mayor­ 
que­ 3 · (–a).
Re­sue­lvan e­stos cálculos:
a. – 42 + (– 4 – 8) : 4 + 23 · (–1) = b. [(–4)2 + (– 4 – 8)] : 4 + 23 · (–1) =
c. – 42 + (–4) – (8 : 4 + 23 ) · (–1) = d. [(–4)2+ (–4 ) – 8 : 4 + 23] · (–1) =
Coloque­n par­énte­si­s y cor­che­te­s donde­ se­a ne­ce­sar­i­o par­a que­ se­an ve­r­dade­r­as las si­gui­e­nte­s i­gualdade­s:
a. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = 18 b. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = 2
c. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = 20 d. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = 22
e. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = –32
▲
b. Ex­pr­e­se­n la modi­fi­caci­ó­n e­n la posi­ci­ó­n de­l 
ranking­ e­ntr­e­ mar­zo y mayo como la suma de­ 
la modi­fi­caci­ó­n e­ntr­e­ mar­zo y abr­i­l y la modi­fi­­
caci­ó­n e­ntr­e­ abr­i­l y mayo.
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 2 | m á s P r o b l e m a s
 
 3 | P r o b l e m a s P a r a r e P a s a r
 38
 39
 40
 41 
 42
 43
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22Trabajo prácTico nº 1 baTería
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a. Elabor­e­n un gr­áfi­co de­ coor­de­nadas car­te­si­anas de­ modo que­ ambos e­je­s i­ncluyan valor­e­s e­nte­r­os posi­ti­vos y 
ne­gati­vos.
b. Mar­que­n los si­gui­e­nte­s puntos:
P = (0; –1) Q = (–1; 0) R = (–1; –1) 
S = (–3; –3) T = (–3; 3) U = (5; 5) 
V = (5; –5) M = (–6; –3) N = (–6; 3)
Ide­nti­fi­que­n, como se­ mue­str­a e­n e­l e­sque­ma, cada se­ctor­ de­l plano, llamado cuadr­ante­, e­ i­ndi­que­n e­n qué cua­
dr­ante­ se­ e­ncue­ntr­an los si­gui­e­nte­s puntos, consi­de­r­ando que­ a < 0 y que­ b > 0.
 P = (a; b) Q = (–a; b) 
 R = (a; –b) S = (–a; –b)
a. Ex­plor­e­n có­mo funci­onan dos calculador­as ci­e­ntífi­cas di­fe­r­e­nte­s par­a calcular­ di­sti­ntas r­aíce­s. Por­ e­je­mplo, e­n 
algunos mode­los, 3
◊­``6`4 se­ calcula así:
b. Re­gi­str­e­n por­ e­scr­i­to otr­os e­je­mplos. 
Dur­ante­ sus pr­i­me­r­as cuatr­o hor­as de­ tr­abajo, un caje­r­o de­ banco cobr­ó­ se­r­vi­ci­os (gas y luz) y un i­mpue­sto (mono­
tr­i­buto), y pagó­ che­que­s:
a. ¿Qué monto e­s mayor­ dur­ante­ e­sas cuatr­o hor­as: e­l de­l di­ne­r­o cobr­a­
do o e­l de­l pagado? ¿Cuál e­s la di­fe­r­e­nci­a e­ntr­e­ ambos montos?
b. ¿Cuál e­s e­l saldo de­ la caja par­a cada hor­a? 
c. Si­, al abr­i­r­ la caja, e­l e­mple­ado te­nía $50.000, ¿pudo pagar­ todos los 
che­que­s si­n te­ne­r­ que­ soli­ci­tar­ más fondos? 
Aye­lén ti­e­ne­ algunas di­fi­cultade­s par­a i­nte­r­pr­e­tar­ e­x­pr­e­si­one­s que­ combi­nan le­tr­as y nú­me­r­os. Escr­i­ban có­mo le­ 
e­x­pli­car­ían la di­fe­r­e­nci­a e­ntr­e­ lo si­gui­e­nte­: 2 · (m – p), (m – p)2 y m2 – p2.
Busque­n e­n di­ar­i­os las tablas de­ posi­ci­one­s de­ un campe­onato de­por­ti­vo o ave­r­i­güe­n un ranking­ de­ ve­ntas di­sco­
gr­áfi­cas y e­labor­e­n cuatr­o pr­e­guntas que­ r­e­qui­e­r­an r­e­ali­zar­ ope­r­aci­one­s con nú­me­r­os e­nte­r­os par­a r­e­sponde­r­las.
Ana di­ce­ que­, si­ se­ e­li­ge­ un nú­me­r­o cualqui­e­r­a de­ dos ci­fr­as, se­ las i­nvi­e­r­te­ y lue­go se­ hace­ la suma e­ntr­e­ ambos 
nú­me­r­os de­ dos ci­fr­as, e­l r­e­sultado e­s di­vi­si­ble­ por­ 11. ¿Ti­e­ne­ r­azó­n? ¿Por­ qué? 
Ex­plor­e­n, con una calculador­a ci­e­ntífi­ca, qué r­e­sultados se­ obti­e­ne­n al r­e­ali­zar­ las si­gui­e­nte­s ope­r­aci­one­s. Par­a 
hace­r­lo, te­ngan e­n cue­nta que­ e­n algunas calculador­as hay una te­cla par­a e­l si­gno de­ la r­e­sta, , y otr­a par­a e­l 
si­gno me­nos de­ un nú­me­r­o ne­gati­vo, o .
a. b.
c. d.
Consi­de­r­e­n las pr­opi­e­dade­s de­l pr­oble­ma 27. 
a. Escr­i­ban e­l e­nunci­ado que­ cor­r­e­sponde­ a cada una.
b. De­n un e­je­mplo par­a cada una.
II
III
I
IV
▲
▲
Hor­a Cobr­os Pagos
1a 6895 12.505
2a 10.643 9500
3a 8067 7554
4a 13.692 45.000
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23 números y operaciones
Trabajo prácTico nº 2 revisión
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I. Redacten las propiedades de las operaciones y armen un listado con el orden en que se aplican.
T. P. 2 Nú­me­ros racionale­s 
 y sus ope­racione­s 
 
1 
a. Si en la pantalla de una calculadora está el nú­mero 42.898,2345, indiquen 
qué se puede hacer para que, sin borrar, se convierta en 0.
b. ¿Qué se puede hacer para que a partir del mismo nú­mero aparez­ca 0 si se mantie­
nen las condiciones del ítem a. pero só­lo se puede restar un nú­mero cuando éste 
ocupa el lugar de las unidades?
2 
a. Utiliz­ando una calculadora y sin apretar la tecla de la coma, propongan cuen­
tas que den por resultado los siguientes nú­meros:
 
 
b. Comparen con un compañero las cuentas que propusieron. ¿Cuántas hay?
0,1
1,1
25,2
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24 números y operaciones
Trabajo prácTico nº 2 revisión
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3 Resuelvan los siguientes ítem.
a. Las calculadoras científicas tienen las teclas y . ¿Có­mo utiliz­arían esas 
teclas para hacer las siguientes cuentas? Ex­pliquen por qué en una hoja aparte.
5,34 · 15,2 + 2,3 · 1,2
2,52 · 3,15 
5,28 · 4,12
b. ¿Có­mo calculan con una calculadora 3
4
 · 5
3
 – 6
7
 : 3
4
 si la tecla de las fracciones está 
rota?
c. Sabiendo que 2,8 · 0,9 = 2,52, realicen mentalmente los siguientes cálculos:
28 · 90 =
 
0,0028 · 900 =
5,6 · 0,9 =
 
2,8 · 3 =
 
d. Propongan en la hoja utiliz­ada y realicen mentalmente cuatro cálculos que se pue­
dan hacer usando el propuesto en el ítem c. 
e. Identifiquen las propiedades que utiliz­aron para resolver cada uno de los cálculos 
de los ítem c. y d. 
 
 
4 
Sabiendo que 5,4 · 0,2 = 1,08, indiquen en una hoja aparte qué otro cálculo debe­
rían conocer para efectuar 5,4 · 1,5 con una calculadora si está rota la tecla de mul­
tiplicar. Justifiquen por qué en la hoja utiliz­ada.
c. d.
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II. Busquen ejemplos de otras situaciones en las que sea necesario utiliz­ar nú­meros racionales negativos.
Usos, rePresenTaciones y ProPiedades de los números racionales
En este apartado, se analiz­arán situaciones habituales y también situaciones mate­
máticas a las que no es posible dar respuesta utiliz­ando nú­meros enteros y tampoco 
nú­meros racionales positivos.
5 
A continuació­n, se presenta la variació­n, en %, de los precios en mayo de 2003 
respecto del mes anterior.
a. Si, en abril de 2003, el tomate costaba 
$1,80, ¿cuánto costaba en mayo de ese año? 
b. Si, en mayo de 2003, el litro de aceite de 
girasol costaba $2,50, ¿cuánto habrá costa­
do en abril de ese año? 
c. Para junio de 2003, se estimaba que el aceite de girasol bajaría $0,50. Escriban, en 
%, la variació­n del precio de ese producto respecto del de abril de ese año. 
d. Averigüen cuánto cuesta hoy el litro de aceite de girasol y calculen la variació­n del 
precio respecto de mayo de 2003.
6 Propongan ejemplos de pares de nú­meros enteros que al 
dividirlos den por resultado:
a. Un nú­mero racional que no sea entero y que sea negativo.
b. Un nú­mero racional que no sea entero y que sea positivo.
 el rit­mo de los precios
 Las principales bajas en mayo de 2003
 1 Tomate redondo –33,5
 2 Lechuga –19,4
 3 Limó­n –10,7
 4 Aceite de girasol –6,0
 5 Harina de trigo comú­n –5,6
 Fuente: INDEC, Cla­rín, 5 de junio de 2003.
dEsarrollot. p. nº 1 25Trabajo prácTico nº 2 desarrollo
>
Le­an e­l apartado “Usos 
de­ los nú­me­ros racionale­s” 
e­n las pá­ginas 151 y 152 
de­l Ane­xo te­ó­rico.
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7 Representen, en las rectas numéricas, los siguientes nú­meros:
a. – 1
6
 
; –1 y 7
3
 
.
b. –1,3; –0,2 y 2
5
.
8 Ubiquen el 0 y el 1 en las siguientes rectas numéricas:
a. 
b. 
9 a. Discutan la resolució­n del problema 8 y corríjanlo.
b. Escriban en una hoja el procedimientoque discutieron en el 
ítem a. y analicen si se puede usar para cualquier par de pun­
tos que se den como dato.
10 Escriban todos los posibles nú­meros de cuatro cifras deci­
males que den 0,234 al ser aprox­imados de las formas que se 
indican a continuació­n: 
a. Mediante truncamiento.
b. Mediante redondeo.
▲
– 
1
4
 0,75
 
▲
–0,9
 
–0,3
>
Le­an e­l apartado 
“Re­pre­se­ntacione­s de­ los 
nú­me­ros racionale­s” 
e­n la pá­gina 152 de­l 
Ane­xo te­ó­rico.
>
Le­an e­l apartado 
“Aproximació­n de­ 
e­xpre­sione­s de­cimale­s: 
truncamie­nto y re­donde­o” 
e­n la pá­gina 155 de­l 
Ane­xo te­ó­rico.
▲
0
▲
0
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episodio 2
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Comparar racionales
Pa­ra­ com­pa­ra­r nú­m­e­ros ra­ciona­le­s, se­ pue­de­ 
usa­r la­ re­cta­ num­é­rica­ te­nie­ndo e­n cue­nta­ que­, 
a­l tra­ba­ja­r con ra­ciona­le­s ne­ga­tivos, “e­sta­r m­ás 
ce­rca­ de­ 0” no e­quiva­le­ a­ “se­r m­e­nor”.
*
12 Consideren el siguiente gráfico y resuelvan los ítem a. y b. en una hoja.
 
 
a. Ordenen* los porcentajes de variació­n de precios de los rubros anteriores.
b. Si una familia destina la misma cantidad de dinero para Equipamiento y manten­
imiento del hogar que para Transporte y comunicaciones, ¿cuál tiene mayor inciden­
cia en la disminució­n de los gastos?
13 a. Ubiquen los siguientes nú­meros entre los décimos más cercanos:
1
2
 7
6
 – 1
2
 – 7
6
b. En una hoja aparte, ubiquen los nú­meros del ítem a. entre los centésimos y milé­
simos más cercanos.
 
14 Indiquen para qué valores de m­ se verifica lo siguiente:
a. 5 + 2
m­
 < 5 b. 5 + 2
m­ + 1
 < 5
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III. Sin hacer la divisió­n, indiquen cuál es el mayor nú­mero de cifras decimales que puede tener el perío­
do de las ex­presiones decimales de las siguientes fracciones: 23
6
 y 4
11
. Ex­pliquen có­mo lo pensaron.
15 Si es posible, escriban los nú­meros que se indican. En la carpeta, ex­pliquen 
có­mo pensaron las respuestas.
a. Las fracciones de denominador 11 comprendidas entre 23 y 24.
b. Ocho fracciones diferentes de las anteriores, comprendidas entre 23 y 24.
c. Todas las fracciones comprendidas entre 23 y 24.
16 Consideren la fracció­n 1
2
 
y suménle su mitad, 1
4
 
. Al 
resultado, suménle la mitad de 1
4
 
 y así sucesivamente. ¿Es 
posible obtener como resultado 1? Ex­pliquen por qué. 
17 a. Encuentren tres ex­presiones decimales finitas y tres ex­presiones decimales 
perió­dicas comprendidas entre los siguientes nú­meros:
 –1 y 1
 –3,2 y –1,4
 – 
5
3
 y – 
1
6
b. ¿Pueden encontrar otras ex­presiones decimales finitas? ¿Y otras ex­presiones deci­
males perió­dicas? ¿Cuántas hay?
>
Le­an e­l apartado 
“Propie­dade­s y re­lacione­s 
de­ los nú­me­ros raciona­
le­s” e­n las pá­ginas 155 y 
157 de­l Ane­xo te­ó­rico.
sí no
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O p e­ r a­ c i O n e­ s c O n n ú­ m e­ r O s r a­ c i O n a­ l e­ s
Para operar con nú­meros racionales y también para estudiar relaciones, es importan­
te elegir la representació­n más adecuada en funció­n del problema por resolver y 
tener en cuenta las propiedades que pueden facilitar los cálculos.
18 Consideren el siguiente esquema:
 
a. ¿Cuántos millones de años transcurrieron desde la aparició­n del Hom­o e­re­ctus?
b. ¿Y entre la aparició­n del Hom­o e­rga­ste­r y la aparició­n del Hom­o sa­pie­ns?
19 a. Propongan diferentes valores racionales de m­ y n para que se cumplan las 
siguientes igualdades:
 m­ + n = 5,46 m­ + n = –5,46 
 m­ · n = 3
2
 m­ · n = – 3
2
 m­ : n = 1,2 m­ : n = –1,2
b. Comparen con sus compañeros los nú­meros que propusieron y discutan cuántos 
hay en cada caso.
 
evolución del homo
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IV. Sabiendo que p–4 = 244 · 104 y que p5 = 9,76, calculen lo siguiente:
a. El valor de p.
b. p9 de dos modos diferentes.
20 Sin hacer cálculos ni utiliz­ar la calculadora, indiquen cuáles de los siguientes 
nú­meros son iguales entre sí:
a– 
2
3
b 4
 
a– 
2
3
b –4
 
a– 
3
2
b 4
 
a4
9
b 2
 
21 Sin utiliz­ar la calculadora ni hacer las cuentas, completen los casilleros con >, < o =. 
22 a. Completen los casilleros utiliz­ando los símbolos <, > o =. 
Si 0 < m < 1 y n es natural, mn 1. 
Si 0 < m < 1 y n es entero negativo, mn 1. 
Si m > 1 y n es natural, mn 1. 
Si m > 1 y n es entero negativo, mn 1. 
b. Ex­pliquen có­mo pensaron las respuestas.
 a. 0,5463124 0,5463127 
 c. 0,5463124 (–0,546312)4
b. 1,5463124 1,5463127
d. (–0,546312)2 – (0,546312)2
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v fv f
v fv f
Más fácil con potencias
Pa­ra­ com­pa­ra­r nú­m­e­ros con m­ucha­s cifra­s 
nula­s, e­n m­uchos ca­sos, e­s ú­til e­x­pre­sa­rlos utili­
za­ndo pote­ncia­s de­ 10. Ta­m­bié­n re­sulta­n m­ás 
sim­ple­s la­s ope­ra­cione­s e­ntre­ nú­m­e­ros e­x­pre­sa­­
dos de­ e­se­ m­odo, o se­a­, e­n función de­ la­s pote­n­
cia­s de­ 10 que­ inte­rvie­ne­n.
23 Resuelvan los siguientes cálculos de la manera más 
simple: 
 a. 0,55 · a1
2
b 2
 
 b. 1,512 : 1,512
 c. a1
2
b 
2
 · 0,25–4
 d. 
“
”0,257 · a1
4
b –3 ‘
’ : 0,53 
24 Utilicen un procedimiento simple* para analiz­ar la validez­ de las siguientes
relaciones:
a. 5,1423 · 103 = 0,51423 · 102 b. 0,000048 = 0,048 · 10–2
c. 0,000048 = 4,8 · 10–5 d. 0,000056 · 10 < 56 · 10–6
>
Le­an e­l apartado 
“Pote­ncias con e­xpone­nte­ 
e­nte­ro” e­n la pá­gina 158 
de­l Ane­xo te­ó­rico.
*
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h En la carpEta
V. Averigüen qué sucede si se multiplica 8547 por 13 y sus mú­ltiplos, y escriban sus conclusiones.
25 Para calcular 245 · 1011 + 0,15 · 1013, Pedro dice que es muy simple hacerlo del 
siguiente modo: (2,45 + 0,15) · 1013. ¿Está bien lo que dice Pedro? Ex­pliquen por qué.
26 Resuelvan los siguientes problemas utiliz­ando notació­n científica. 
El cuerpo humano tiene, aprox­imadamente, 5 litros de sangre. Aprox­imadamente, 
cada mm3 de sangre contiene 5 millones de gló­bulos rojos y 7000 gló­bulos blancos.
a. ¿Cuántos gló­bulos rojos tiene, aprox­imadamente, el cuerpo humano? ¿Y gló­bulos 
blancos?
b. La forma de un gló­bulo rojo se asimila a la de un cilindro cuya altura mide, aprox­i­
madamente, 3 µm (micrones). Imaginando que se hace una pila con todos los gló­bu­
los rojos del cuerpo humano, ¿qué altura tendría, aprox­imadamente?
c. La densidad de un cuerpo se define como el cociente entre la medida de su masa, 
M, y la de su volumen, V. Supongan que la Tierra es una esfera de radio 6,4 · 106 m. 
Sabiendo que su peso es 6 · 1027 g y considerando π = 3,14, calculen su densidad.
d. Suponiendo que el Sol también es una esfera, que su radio es 7 · 105 km y que 
su masa es 2 · 1033 g, y considerando el mismo valor de π que en el ítem b., indiquen 
si la densidad del Sol es mayor o menor que la de la Tierra.
sí no
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o.
27 Propongan contraejemplos que permitan probar que, si a­ y b son nú­meros racio­
nales, no son válidas las siguientes ex­presiones: 
a. (a­ + b)2 = a­2 + b2
 
b. ◊a­2̀̀̀ ``+̀̀̀ b `` ̀2 = a­ + b
 
28 Demuestren la siguiente propiedad: Si m­, n y k son nú­me­
ros naturales y a­ es racional, entonces, (k · m◊a­ )k · n = (m◊a­)n *.
 
29 Sin utiliz­ar la calculadora ni hacer cuentas, indiquen cuáles de los siguientes 
nú­meros son iguales y ex­pliquen en una hoja có­mo pensaron la respuesta.
 
30 En una hoja, utiliz­ando el procedimiento descripto para apro­
x­imar ◊2, encuentren una aprox­imació­n con dos cifras decima­
les para ◊3.
V` ` ` ` ` ` 
x
V` ` ` ` ` ` 
x
2
3 
a3
2
b
 
–3 a
 
4
 
2
3
b 6 ◊2
◊3
 
 
a3
2
b –1
 
Índices y potencias
Al conside­ra­r los índice­s de­ la­s ra­íce­s, convie­ne­ 
te­ne­r pre­se­nte­ que­ la­s de­ índice­ pa­r y ra­dica­n­
do ne­ga­tivo no se­ pue­de­n re­solve­r e­n e­l ca­m­po 
de­ los nú­m­e­ros ra­ciona­le­s. Por e­so, ha­y que­ 
pre­sta­r a­te­nción pa­ra­ no com­e­te­r e­rrore­s 
com­o e­l siguie­nte­: 
 a – 
3
4
b 2 = – 
3
4
 , donde­ no se­ tie­ne­ e­n cue­nta­ 
V` ` 
x
V` ` ` ` ` ` 
x
V` ` 
x
>
Le­an e­l apartado 
“Pote­ncias con 
e­xpone­nte­ racional” e­n 
las pá­ginas 158 y 159 de­l 
Ane­xo te­ó­rico. 
*
>
Le­an e­l apartado “Noció­n 
intuitiva de­ nú­me­ro 
irracional” e­n la pá­gina 
160 de­l Ane­xo te­ó­rico. 
que­ 3
4
 
e­s e­l re­sulta­do.
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 2 | m á s P r o b l e m a s
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1 | e j e r c i T a c i ó n
35Trabajo prácTico nº 2 baTería
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o.
¿Cuántos sex­tos equivalen a 1
3
 
? ¿Y a – 1
3
 
? ¿Y a – 2
5
 
? Ex­pliquen por qué.
Representen en una recta numérica los siguientes nú­meros racionales: –1,7; –1,3 y 0,5.
Indiquen qué nú­meros representan M y N. 
Sabiendo que a­–1 = 1,5 · 10–2, calculen el valor de a­.
Sabiendo que m­3 = 35,79 y que m­4 = 71,58, calculen lo siguiente:
a. El valor de m­.
b. m­7 de dos modos diferentes.
Lean el apartado “Representaciones de los nú­meros racionales”, en la página 18 del Anex­o teó­rico, y encuentren 
la ex­presió­n fraccionaria de los siguientes nú­meros: 
a. 3,24 b. 1,7⁄ c. 6,753¤ d. 0,9⁄ 
Escriban, en forma de potencia, el inverso de los siguientes nú­meros:
a. 72 b. a– 1
4
b –2 c. 0,13 d. 104
Completen los casilleros de modo tal que se verifiquen las siguientes ex­presiones:
a. 0,002256 = 2,256 · 10 b. 225,6 = 2,256 · 10 
c. 4,5 · 108 = 4500 · 10 d. 4,5 · 10–2 = 0,000045 · 10 
e. 4,5 · 10–5 = 0,0045 · 10 
Si lo necesitan, lean las páginas 23, 24 y 25 del Anex­o teó­rico y resuelvan los siguientes cálculos de la manera más 
simple.
a. a 3
2
b 2
· a 3
2
b 3
· a 3
2
b –2
 b. (0,56 · 0,52) : 0,5–6 
c. 
V`
w
3
5 · 4 
V`
w
3
5 : 
3 
V`
w
3
5
 
d. a 1
2
 b 2
 · a 3
4
 b 2
 : 32 
e. a– 
5
4
b 5
· a– 
5
4
b 3
· a 5
4
b –4
Resuelvan los siguientes problemas con notació­n científica. 
a. El químico Avogadro determinó­ que 18 g de agua contienen 6,023 · 1023 moléculas. ¿Cuántas moléculas hay en 
10 litros de agua?
b. La estrella más pró­x­ima a la Tierra, que no es el Sol, es Alfa Centauro. Su distancia a la Tierra es de 4 años luz­. 
Sabiendo que la distancia de la tierra al Sol es de 1,5 · 108 km, ¿cuál es la distancia de la Tierra a Alfa Centauro, 
considerando como unidad de medida la distancia de la Tierra al Sol?
Si se resta 1
2
 – 1
3
 , el resultado es 1
6
 . Si se resta 1
3
 – 1
4
 , el resultado es 1
12
.
Analicen en los ejemplos la relació­n entre los denominadores de las fracciones. Esa relació­n ¿será válida para to­
das las ex­presiones del tipo 1
n
 – 1
n + 1
, siendo n un nú­mero natural? ¿Por qué? 
–1 1M N
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 3 | P r o b l e m a s P a r a r e P a s a r
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36Trabajo prácTico nº 2 baTería
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o.
Busquen tres nú­meros naturales, a­, b y c, tales que el resultado de 1
a­
 + 1
b
 + 1
c
 sea un nú­mero natural. Discutan 
con sus compañeros si hay una sola solució­n. 
¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene primer elemento?
a. El conjunto de los nú­meros racionales.
b. El conjunto de las fracciones positivas de denominador 4.
c. El conjunto de los nú­meros racionales a­ tales que – 3
4
 ≤ a­ < 3
4
 .
d. El conjunto de los nú­meros racionales a­ tales que – 3
4
 < a­ < 3
4
 .
Dibujen una recta numérica y representen los nú­meros racionales a­ que verifican las condiciones que se fijan a 
continuació­n. Ex­pliquen có­mo pensaron las respuestas.
a. a­2 = 1 b. a­2 < 1 c. a­2 >1
Encuentren los valores de m­ entero que verifican las siguientes condiciones:
a. – m­
2
 + 5
4
 < 0 b. – m­
2
 + 5
4
 < –1 c. 3
m­
 + 2 ≤ 0 d. 3
m­
 + 2 ≤ –1
a. Sin utiliz­ar la calculadora, comparen los siguientes nú­meros:
◊1`,`5 y 3◊1`,`5. ◊0`,`5 y 3◊0`,`5. 
b. Ex­pliquen có­mo pensaron las respuestas y verifíquenlas con la calculadora.
Encuentren, si es posible, un valor de m­ que verifique lo siguiente:
a. a 1
2
 
·
 
m­b 3
 = 1
8
 
b. (m­–1)–2 = 8
c. (4 · 4m)–1 = 1
4
 d. (4 : 4m) = 1
4
 
En un estacionamiento, los autos pagan $2 la hora, con fraccionamiento cada 15 minutos.
a. Si una persona estacionó­ su auto durante 2 horas y 35 minutos, ¿cuánto tuvo que pagar?
b. Si otra persona pagó­ $5,50 por el estacionamiento de su auto, ¿cuánto tiempo pudo haber estado estacionado?
En el mismo estacionamiento, las camionetas pagan $2,50 la hora. Un auto y una camioneta estacionaron duran­
te la mañana y pagaron lo mismo. ¿Cuánto tiempo estuvieron estacionados?
Realicen un cuadro que incluya todas las propiedades de las operaciones entre racionales y para cada una de ellas 
propongan un ejemplo. 
Se realiz­ó­ una compra de 10 alarmas a $160 cada una. Por cada una se pagó­ un adicional de $15 por la garantía 
y, por pago en efectivo, se obtuvo un descuento de $8 por la compra total. ¿Cuál o cuáles de los siguientes cálculos 
permiten saber cuánto se pagó­ en total? ¿Por qué?
a. (160 + 15) · 10 – 8 b. 160 +15 · 10 – 8
c. 160 · 10 + 15 · 10 – 8 d. (160 + 15 – 8) · 10
El nú­mero 101 es un nú­mero especial. Analicen qué sucede cuando se lo multiplica por 11 y sus mú­ltiplos, y ex­trai­
gan conclusiones.
a. ¿Es posible encontrar nú­meros enteros a­ y b de manera que a­ + b < a­? 
Encuentren ejemplos en caso de ser posible y justifiquen en caso de ser imposible.
b. ¿Es posible que a­ – b > a­ + b, donde a­ y b sean nú­meros enteros?
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37 geometría y medida
trabajo Práctico Nº 3 revisióN
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I. Construyan un paralelogramo de lados AB y BC, con |AB| = 3 cm y |BC| = 5 cm, y respondan: 
a) ¿Cuántos paralelogramos pueden construirse a partir de estos datos?
b) ¿Qué datos agregarían al problema para que se pueda construir un solo paralelogramo?
T. P. 3 Ángulos y polígonos 
 
1 
a. Utilizando regla no graduada y compás, construyan lo siguiente:
Una recta perpendicular a la recta d.
Una recta paralela a la recta d.
b. En una hoja aparte, escriban los procedimientos utilizados en el ítem a.
2 
a. Dibujen una recta perpendicular a la recta r y que pase por el punto P. Tracen 
otra recta m perpendicular a la recta r y que pase por el punto Q.
b. Expliquen sus procedimientos en una hoja aparte.
d
r
P
 Q
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38 geometría y medida
trabajo Práctico Nº 3 revisióN
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 3 a. A partir de un vértice cualquiera de un polígono convexo, ¿cuántas diagona­
les se pueden trazar si se trata de un
cuadrilátero? pentágono? 
hexágono? dodecágono? 
polígono de n lados? 
b. Expliquen có­mo llegaron a cada respuesta.
 4 Las figuras son polígonos regulares, es decir que poseen todos sus lados y todos 
sus ángulos congruentes entre sí.
Subdividan cada figura en triángulos con la cantidad mínima necesaria para cubrir­
la. En cada caso, ¿cuál es esa cantidad mínima? 
figura a figura b figura c
figura a figura b figura c
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II. Encuentren una manera de saber la medida del ángulo DOC, del ejercicio número 7, sin medirlo y 
explíquenla por escrito.
R e c­ t a s y á n­ g u­ l o s
Al resolver problemas, se establecen relaciones entre distintos elementos geométri­
cos asociados a las rectas y a los ángulos, y se descubren nuevas propiedades.
 5 
Para recordar có­mo se trabaja con el sistema sexagesimal, que es el sistema 
utilizado para medir la amplitud de los ángulos, expresen, en grados sexagesimales, 
el ángulo que giran cuando sucede lo siguiente:
 6 
Describan, en cada caso, las rotaciones necesarias para lograr que ÒA
Ò
 coincida 
con ̀OB
Ò
 . Las respuestas ¿son únicas? ¿Por qué? Escriban sus descripciones y respues­
tas en una hoja aparte.
 7 
En la siguiente figura, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado y el triángulo OAB 
es equilátero.
En la figura, es posible determinar la medida de varios de los ángulos que allí apare­
cen sin necesidad de recurrir al transportador. Indiquen, en ella, de cuáles se trata.
39trabajo Práctico Nº 3 desarrollo
a. Miran hacia el sur y rotan en sentido antihorario hasta mirar al oeste.
b. Miran hacia el norte y rotan en sentido antihorario hasta mirar al oeste. 
c. Miran hacia el norte y rotan en sentido horario hasta mirar al noreste. 
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o.
 8 En una hoja, realicen las construcciones siguientes y respondan a las preguntas.
a. Dibujen dos puntos, A y B, y tracen la recta que pasa por ellos. La respuesta ¿es 
única? ¿Por qué?
b. Tracen la semirrecta de origen A que pasa por B. ¿Pueden trazar otras semirrectas 
que pasen por los puntos A y B? ¿Por qué?
 9 En una hoja aparte, realicen las construcciones siguientes y contesten a las pre­
guntas. Compartan sus conclusiones con otros compañeros. 
a. Dibujen tres puntos no alineados y tracen todas las rectas que pasan por dos de ellos. 
b. Si los tres puntos estuvieran alineados, ¿cuántas rectas que pasen por dos de ellos 
se pueden trazar? ¿Por qué? 
c. Dibujen todas las semirrectas que pasan por dos puntos y nó­mbrenlas. ¿Están 
seguros de que no se olvidaron de ninguna?* ¿Por qué?
 10 Indiquen cuántos ángulos hay en cada una de las siguientes figuras. Previamen­
te, pó­nganse de acuerdo con sus compañeros en la manera en que van a nombrar a 
los ángulos. 
 
 11 En dos figuras como las del problema 10, completen con 
las letras å y ∫ para que los ángulos cumplan las siguientes 
relaciones:
a. 
™
å y 
™
∫ adyacentes.
b. 
™
∂ y 
™
© consecutivos.
c. 
™
ø y 
™
π opuestos por el vértice.
Número de respuestas
Al es­tu­diar relacio­nes­ en Geo­metría, po­r ejem­
plo­, en lo­s­ pro­blemas­ en lo­s­ qu­e trabajaro­n co­n 
rectas­ y ángu­lo­s­, las­ co­ns­tru­ccio­nes­ per­
miten fo­rmu­lar u­nas­ primeras­ co­nclu­s­io­nes­. En 
es­te s­entido­, es­ impo­rtante pregu­ntars­e s­i la res­­
pu­es­ta enco­ntrada es­ única. 
>
Lean el apar­tado “Ángulos 
especiales y r­elaciones 
entr­e ángulos” en la pági­
na 184 del Anexo teó­r­ico. 
*
b.a. 
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III. a) Si se trabaja con los cuadriláteros convexos, ¿en qué cuadriláteros las diagonales son iguales? 
¿En cuáles son perpendiculares? ¿En cuáles se cortan en sus puntos medios?
b)Existe algún cuadrilátero convexo que no cumpla ninguna de las condiciones anteriores? ¿Cuál?
c)¿Existe alguno en el que se cumpla más de una de las condiciones? ¿Cuál?
P o l í­ g o n­ o s
Recordar y analizar las propiedades de algunos elementos de los polígonos les per­
mitirá trabajar sobre las relaciones que tienen ciertos pares de ángulos especiales. La 
congruencia entre ángulos es una herramienta para resolver distintas situaciones.
 12 Discutan si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En todos los 
casos, formulen sus conclusiones por escrito.
a. Para determinar la medida de todos los ángulos de un rombo, es suficiente con 
conocer la amplitud de uno de ellos.
b. Si en un paralelogramo un ángulo es recto, entonces, el paralelogramo es un rec­
tángulo. 
c. Si el cuadrilátero ABCD es un trapecio y la recta AB es paralela a la recta CD, enton­
ces, tiene dos pares de ángulos congruentes.
 13 a. Para cada caso, dibujen en una hoja un cuadrilátero cuyos ángulos cumplan 
las siguientes condiciones:
Dos pares de ángulos opuestos congruentes y no rectos.
Dos pares de ángulos opuestos congruentes y rectos.
Un par de ángulos congruentes.
b. ¿Cuál es el cuadrilátero especial obtenido para cada caso del ítem a.? La respuesta, 
¿es única? ¿Por qué? 
v f
v f
v f
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14 a. En un paralelogramo, uno de sus ángulos interiores 
mide 40°. ¿Es posible que otro de sus ángulos mida 120°? 
¿Por qué?
b. En un paralelogramo, ¿qué condició­n cumplen los ángulos 
adyacentes a un mismo lado? ¿Por qué?
15 El dibujo de la derecha representa una posible manera de construir una figura 
que cumpla las siguientes condiciones:
>
Lean el apar­tado “Ángulos 
y polígonos” en la página 
190 del Anexo teó­r­ico.
afirmaciones ciertas
Todos los ángulos del rec­
tángulo son congruentes.
El lado AB es paralelo al 
lado CD.
conjeturas
Las amplitudes de los ángu­
los 3 y 4 suman 180°.
Los ángulos 4 y 6 son con­
gruentes.
afirmaciones falsas
El cuadrilátero AMND es un 
rectángulo.
El ángulo AMN es recto.
El cuadrilátero ABCD es un rectángulo. El punto M 
está sobre el lado AB y el punto N, sobre el lado 
DC. La recta que pasa por M y N no es paralela al 
lado AD. En el cuadro, se han indicado algunas 
afirmaciones que son ciertas, otras que quizá son 
ciertas, llamadas co­njetu­ras­, y otras que son fal­
sas. Agreguen tres oraciones en cada columna.
sí no
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IV. Para el ejercicio 17, midan la amplitud de los ángulos AOC y COB. ¿Qué relació­n existe entre 
ambos ángulos? Comparen sus producciones con la de otro compañero.
16 Consideren las rectas p y q, que son paralelas, y construyan en su carpeta lo 
siguiente:
a. Un paralelogramo que tenga un par de lados opuestos sobre dichas rectas.
b. Un cuadrado que tenga un par de lados opuestos sobre las rectas mencionadas.
 17 En una hoja, realicen la construcció­n cuyas instrucciones figuran a continuació­n:
 18 En una hoja aparte, calculen la medida de los ángulos nombrados con números 
e indiquen, en cada caso, la propiedad que se tuvo en cuenta para dar la respuesta. 
a. b.
	 INSTRUCCIONES
I. Tracen una recta r que pase por los puntos A y B.
II. Dibujen un punto O que pertenezca al segmento AB.
III. Marquen un punto C que no pertenezca a la recta r.
IV. Tracen la semirrecta OC.
V. Indiquen los ángulos AOC y COB.
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 19 En la siguiente figura, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, ̀AE
Ò
 es bisectriz del 
ángulo A y D̀E
Ò
 es bisectriz del ángulo D. Respondan a las preguntas en una hoja.
a. ¿Es cierto que las rectas AE y DE son perpendiculares? ¿Por qué?
b. Si ABCD es un cuadrilátero cualquiera, ¿se cumple lo mismo que en a.? ¿Por qué?
c. ¿Puede ser que las rectas AE y DE sean perpendiculares, y que AE y DE no sean, 
respectivamente, las bisectrices de los ángulos A y D? ¿Por qué?
 20 Escriban en una hoja aparte lo que se pide* en los ítem a. y b.
a. Consideren dos ángulos opuestos por el vértice. ¿Cuál es la amplitud del ángulo 
determinado por sus bisectrices? ¿Có­mo lo averiguaron?
b. ¿Cuál es la medida del ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos 
adyacentes? Expliquen su conclusió­n.
 21 Intercambien con un compañero los problemas 15 a 20 y 
revisen las respuestas.
Figura de análisis
Al trabajar en Geo­metría, s­u­ele s­er útil realizar 
u­na figu­ra de anális­is­, pu­es­ és­ta facilita es­tabl­
ecer algu­nas­ relacio­nes­. Sin embargo­, 
es­ impo­rtante no­ o­lvidar qu­e s­e trata s­ó­lo­ de 
u­na po­s­ible repres­entació­n del pro­blema qu­e s­e 
intenta res­o­lver.
>
Lean los apar­tados 
“Ángulos especiales y 
r­elaciones entr­e ángulos” 
y “Ángulos for­mados por­ 
dos r­ectas”, que comien­
zan, r­espectivamente, en 
las páginas 184 y 185 del 
Anexo teó­r­ico.
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V. Cubran un hexágono regular utilizando las figuras que se indican. Realicen en cada caso, una 
figura de análisis. 
a) Tres paralelogramos. b) Seis paralelogramos. c) Doce paralelogramos.
c­ u­ b R i­ m i­ e n­ t o
El trabajo con embaldosados o cubrimientos permite estudiar propiedades de las figu­
ras geométricas. Tengan presente que poseen algunas certezas que pueden permitir­
les resolver nuevos problemas.
22 Observen el siguiente embaldosado:
a. Escriban los nombres de las figuras que reconocen.
b. Si se quiere conocer la amplitud de cada uno de los ángulos interiores de los polí­
gonos convexos del embaldosado sin utilizar el transportador, ¿qué informació­n se 
necesita como mínimo?
23 El siguiente dibujo está formado por hexágonos regulares, triángulos equiláte­
ros y rombos:
A partir de las propiedades que ya conocen, indiquen, en el dibujo, la medida de los 
ángulos interiores de las figuras mencionadas sin medirlos.
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episodio 3
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VI. Calculen la medida de cada ángulo central de los siguientes polígonos regulares: 
a) Octó­gono. b) Decágono. c) Dodecágono.
25 Si se trabaja con polígonos regulares, además de considerar los ángulos interio­
res y exteriores, se pueden considerar los ángulos centrales.
Resuelvan lo indicado en los ítem a, b y c:
a. Dibujen un ángulo central de un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide?
b. Tracen un ángulo central de un cuadrado. ¿Cuál es su amplitud?
c. Midan los ángulos centrales del pentágono y del hexágono regulares dibujados.
d. ¿Cuánto suman las amplitudes de los ángulos centrales de cualquier 
polígono regular?
 26 a. En una hoja, a partir de calcular la medida de los ángulos centrales, dibujen una 
circunferencia con el compás y construyan un octó­gono regular inscripto en ella.
b. ¿Qué clase de triángulo es el que se forma con el ángulo central y el lado del octó­­
gono regular? ¿Por qué?
c. Considerando el triángulo del ítem b., determinen la amplitud de cada ángulo 
interior del octó­gono regular. Discutan el procedimiento usado con un compañero.
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27 a. ¿Se puede construir un pentágono convexo con tres ángulos rectos? ¿Por qué?
b. En su carpeta, dibujen, si es posible, un pentágono convexo que tenga cuatro 
ángulos interiores rectos. Expliquen por qué pueden o no pueden construirlo.
28 La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un polígono convexo es 
360°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? ¿Có­mo lo averiguaron?
29 Tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden 100° cada uno. ¿Cuánto 
mide el ángulo interior restante?
30 Consideren el siguiente triángulo ABC y prueben* que la medida del ángulo exte­
rior 1 es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.
Poseer certeza o conjeturar
Al co­ns­iderar u­na figu­ra, es­ s­egu­ro­ qu­e ella 
cu­mple las­ co­ndicio­nes­ de s­u­ definició­n. Es­as­ 
co­ndicio­nes­ s­o­n certezas­. Otras­ pro­piedades­ 
pu­eden s­er certezas­ o­ co­njetu­ras­ s­egún lo­s­
co­no­cimiento­s­ de qu­ien las­ co­ns­idere.
*
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VII. Si un paralelogramo tiene un ángulo interior recto, ¿qué pueden decir de los otros tres ángulos 
interiores? Justifiquen sus afirmaciones.
31 Se sabe que el triángulo ABC es isó­sceles y que el lado AB es paralelo a la recta r.
a. ¿Es cierto que el triángulo ECD también es isó­sceles? ¿Por qué?
b. Si la recta r fuera paralela al lado AC, también queda determinado un triángulo. 
¿Es éste isó­sceles? ¿Por qué?
32 a. Construyan un paralelogramo que tenga un ángulo de 60° y una diagonal de 
4 cm incluida en la bisectriz del ángulo dado. 
b. ¿Cuántos paralelogramos con las características anteriores se pueden construir? ¿Tie­
nen algún nombre particular? Contesten y justifiquen sus respuestas en una hoja.
33 Discutan sobre la verdad o la falsedad de las siguientes 
afirmaciones e indiquen su respuesta.
>
Lean el apar­tado 
“Ángulos y polígonos” 
en las páginas 190 a 192 
del Anexo teó­r­ico.
v f
b. Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en partes 
congruentes, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo.
v f
a. Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruent­
es, entonces, el cuadrilátero es un paralelogramo.
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34 En el siguiente paralelogramo ABCD, P es el punto medio del lado BC y Q es el 
punto de intersecció­n de las semirrectas AB y DP.
¿Por qué es posible afirmar que la medida del lado BQ es igual a la del lado CD?
35 a. En una hoja, construyan un trapecio ABCD tal que las rectas que incluyen a 
los lados AB y CD sean paralelas entre sí. Marquen los puntos E y F, alineados con D 
y C en el orden E, D, C, F, siendo |À̀B| = |`E`D| = |`C`F|. Llamen K al punto donde las rectas 
AD y EB se cortan, y J, al punto donde concurren las rectas AF y BC.
b. ¿Es cierto que K y J son, respectivamente, los puntos medios de los segmentos AD 
y BC? ¿Por qué? Respondan en la hoja utilizada.
c. ¿Qué cuadrilátero es el DCJK? ¿Por qué? Contesten en la hoja utilizada.
36 Determinen, sin medir, la medida de los ángulos que se indican:
|™1| =
|™3| =
|™2| =
|™4| =
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 2 | m á s P r o b l e m a s
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1 | e j e r c i T a c i ó n
51trabajo Práctico Nº 3 batería
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¿A qué hora, entre las 4 de la mañana y las 5 de la tarde, las agujas del reloj forman por primera vez un ángulo 
recto? ¿Están seguros? ¿Por qué?En el esquema, ubiquen los siguientes pares de ángulos:
a. Ángulos correspondientes.
b. Ángulos alternos internos.
c. Ángulos opuestos por el vértice.
d. Ángulos conjugados externos.
Averigüen, en cada caso, la amplitud del ángulo indicado.
a. b.
La amplitud de un ángulo interior de un polígono regular es 162°. ¿Cuántos lados tiene ese polígono?
Un ángulo exterior de un polígono regular mide 72°. ¿Cuántos lados tiene ese polígono?
Completen un cuadro como el siguiente para los polígonos regulares:
 
Calculen la amplitud de los ángulos nombrados con números. Indiquen, en cada caso, la propiedad que se tuvo 
en cuenta para dar la respuesta.
s­ // t // u­ // v y secante r. 
Inventen un diseño con trapezoides, triángulos y paralelogramos que cubra un rectángulo de 10 cm de largo por 
6 cm de ancho.
Nombre del polígono
Nro. de lados
Suma de las medidas de 
los ángulos interiores
Medida de cada ángulo 
interior
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 3 | P r o b l e m a s P a r a r e P a s a r
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a. Construyan un cuadrado teniendo en cuenta que el siguiente segmento es un lado de ese cuadrado.
b. Indiquen cada uno de los pasos realizados en la construcció­n.
a. Construyan un paralelogramo que tenga un lado de 7 cm y las diagonales de 10 cm y 8 cm respectivamente. 
b. ¿Cuántos paralelogramos pueden construirse a partir de esos datos? ¿Por qué?
c. ¿Y si se consideran las mismas diagonales, pero uno de los lados mide 9 cm?
a. Construyan un paralelogramo ABCD en el cual el ángulo BAC mida 40°.
b. Indiquen las amplitudes de los ángulos interiores del paralelogramo.
c. La construcció­n ¿es única? ¿Por qué?
d. ¿Cuáles serían sus respuestas si el cuadrilátero ABCD fuera un rombo? ¿Por qué?
El cuadrilátero ABCD es un rectángulo cortado por una recta que no es paralela al lado AD.
a. Algunos de los ángulos marcados son iguales entre sí. ¿Cuáles? ¿Por 
qué?
b. Las medidas de algunos de los ángulos que se indican suman 180°. 
¿Cuáles? ¿Por qué?
Tracen las dos bases medias en los siguientes cuadriláteros:
a. Paralelogramo. b. Rectángulo. c. Rombo.
a. Tomen una cinta de papel de 20 cm de largo y de 2,5 cm de ancho. Realicen un nudo con la tira de la manera 
que se indica a continuació­n y apriétenlo bien.
b. ¿Qué figura queda formada? ¿Es regular?
Presten atenció­n al siguiente esquema de un panal de abejas.
a. ¿Cuáles son las relaciones geométricas que las abejas utilizan para 
construir los panales? 
b. Investiguen por qué las abejas se deciden por ese tipo de arquitectu­
ra y no por otro.
El siguiente dodecágono regular está formado por distintas figuras que no son polígonos regulares.
a. Amplíen el dodecágono regular en cartulina y corten cada una de 
las seis piezas.
b. Utilizando todas las piezas, construyan un cuadrado.
c. La solució­n ¿es única? ¿Por qué?
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53 á lg e b r a y f u n c i o n e s
Traba jo Prác Tico nº 4 r e v i s i ó n
h en la carPeTa
I. Escriban expresiones algebraicas que se pueda leer como:
a) La mitad de un número menos ocho.
b) El cuadrado de la suma de tres números consecutivos.
c) El doble de un número menos cinco.
0 =
2 =
4 =
6 =
8 =
1 =
3 =
5 =
7 =
9 =
T. P. 4 Fórmulas y transformaciones 
 algebraicas
 
1 
a. Escriban el número 1 como resultado de distintas operaciones, pero só­lo utili­
zando cuatro veces el número 1. Por ejemplo, como en el siguiente caso: 
 1 = 11 : 11
 
b. Si usan cuatro veces el número 4 y realizan distintas operaciones, pueden obte­
ner, por ejemplo, el número 3, del siguiente modo: (4 + 4 + 4) : 4 = 3.
Utilizando cuatro veces el número 4, busquen expresiones que den como resultado 
los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
 1 = 1 = 1 =
 1 = 1 = 1 = 1 =
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54 á lg e b r a y f u n c i o n e s
Traba jo Prác Tico nº 4 r e v i s i ó n
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2 Observen las siguientes sumas y contesten a las preguntas.
0 + 1 = 1 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 ... 
a. ¿Qué otros valores continúan en la sucesió­n 1; 3; 5; 7; …?
b. ¿Qué tienen en común los resultados de las sumas obtenidas?
c. ¿Para qué números se cumple lo hallado en el ítem b.? 
3 a. Escriban tres números consecutivos y súmenlos. Al resultado de la suma, diví­
danlo por 3. Repitan todo el procedimiento tres veces y registren lo realizado en la 
siguiente tabla:
	 	nú­me­ros	 su­ma	 di­vi­si­ón	
 
 
 
b. En una hoja aparte, expliquen qué resultados obtienen y por qué, y respondan a 
las siguientes preguntas: ¿Qué sucede si se suman cuatro números consecutivos y 
al resultado se lo divide por 4? ¿Y si se trata de n números consecutivos?
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II. Teniendo en cuenta las tres figuras presentadas en el ejercicio número 4, calculen el perímetro de 
la figura más grande. Describan el procedimiento utilizado.
f ó r m u l a s m aT e m áT i c a s 
Las situaciones en las que uno o más datos pueden tomar valores diferentes se 
expresan, en forma general, utilizando fó­rmulas matemáticas. Es importante tener 
en cuenta cuál es el dato que se utiliza para escribir la fó­rmula que se propone.
4 Las siguientes figuras responden a una misma regla.
a. En una hoja, dibujen otras figuras que guarden la misma regla. Al terminar el tra­
bajo, comparen sus producciones con las de otros compañeros.
b. En pequeños grupos, elaboren una frase que permita identificar este tipo de figu­
ras y asegúrense de que só­lo sirva para esas figuras.
55Trabajo PrácTico Nº 4 desarrollo
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5 a. Calculen el perímetro de una figura del mismo tipo que las que se muestran 
en el problema 4 sabiendo que el lado del cuadrado grande mide 34,5 cm y el lado 
del cuadrado chico mide 33,5 cm. 
 
b. Cuando hayan terminado el trabajo, comparen con sus compañeros los cálculos 
realizados y decidan cuáles son correctos. En una hoja, escriban sus conclusiones. 
6 a. Calculen el perímetro de una figura del tipo de las dibujadas en el problema 4 
sabiendo que la medida del lado del cuadrado menor es 55,3 cm.
b. Después del cálculo, en pequeños grupos, discutan acerca del método que permi­
te obtener la medida del lado del cuadrado mayor a partir de la medida del lado del 
cuadrado de menor tamaño.
c. En una hoja, escriban una o varias frases que describan un método que permita 
calcular el perímetro de cualquier figura de ese tipo cuando se conoce la medida del 
lado del cuadrado menor.
d. Busquen argumentos que sirvan para validar* los métodos descriptos. 
Validar un procedimiento
Para validar un procedimiento, es necesario dar 
una explicación basada en conocimientos 
matemáticos.
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III. Comprueben y expliquen los siguientes criterios de divisibilidad:
a) Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son múltiplos de 4.
b) Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
7 a. Escriban una fó­rmula que permita calcular el perímetro de una figura que 
tenga las características de las del problema 6. Pueden utilizar los símbolos +, –, · 
y/o :, y también paréntesis, letras y números.
 fórmula
 
b. Comparen con sus compañeros las distintas fó­rmulas. Escriban