Inhomogeneidades-de-temperatura-y-abundancias-de-oxgeno-en-nebulosas-planetarias-de-las-nubes-de-magallanes

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
Inhomogeneidades de
temperatura y abundancias de
ox́ıgeno en nebulosas
planetarias de las Nubes de
Magallanes.
TESIS
QUE PARA OBTENER EL T́ıTULO DE:
FÍSICO
PRESENTA:
JOSÉ EDUARDO MÉNDEZ DELGADO
DIRECTOR DE TESIS:
DR. MANUEL PEIMBERT SIERRA
Ciudad Universitaria, Ciudad de México,
México 2017
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
1. Datos del alumno
Méndez
Delgado
José Eduardo
5540113224
Universidad Nacional Autónoma de
México
Facultad de Ciencias
F́ısica
413009915
2. Datos del tutor
Doctor
Manuel
Peimbert
Sierra
3. Datos del sinodal 1
Doctora
Silvia Linda
Torres
Castilleja
4. Datos del sinodal 2
Doctor
Alejandro Cristian
Raga
Rasmussen
5. Datos del sinodal 3
Doctor
Pablo Fabián
Velázquez
Brito
6. Datos del sinodal 4
Doctora
Anabel
Arrieta
Ostos
7.Datos del trabajo escrito
INHOMOGENEIDADES DE TEM-
PERATURA Y ABUNDANCIAS DE
OXÍGENO EN NEBULOSAS PLA-
NETARIAS DE LAS NUBES DE MA-
GALLANES
100 p
2017
DEDICATORIA
A mis padres Ricardo y Margarita:
Respetad́ısimos y óptimos, con amor siempre me han inspirado a romper
las ataduras de la ignorancia; a ustedes les dedico éste esfuerzo.
Los amo con todo mi corazón.
i
Agradecimientos
Agradezco al Dr. Manuel Peimbert Sierra por sus invaluables enseñanzas y
apoyo; sin duda, durante estos años de trabajo he encontrado mi vocación
por la Astronomı́a y he aprendido que el compromiso cient́ıfico va acom-
pañado de un profundo compromiso social y ético. Gracias por todo.
Agradezco profundamente, la atención que la Dra. Silvia Torres siempre
ha tenido. Durante los seminarios me he nutrido de su basta experiencia y
consejo, cada corrección ha sido de gran ayuda.
A mis sinodales, Dr. Alejandro Raga, Dr. Pablo Velázquez y Dra. Anabel
Arrieta, por sus oportunas observaciones que me han permitido presentar
un trabajo de mayor calidad.
Al Instituto de Astronomı́a por facilitarme sus instalaciones y equipo para
el desarrollo de esta tesis.
Al Dr. William Lee Alard́ın, quien amablemente me ha aconsejado y me
ha presentado al Dr. Peimbert para trabajar con él.
Al Sistema Nacional de Investigadores (SNI) por otorgarme el nombra-
miento de ayudante de investigador del Dr. Manuel Peimbert y todos los
apoyos económicos consecuentes.
A la Facultad de Ciencias de la UNAM, por permitir el desarrollo humano
a través de sus aulas.
A la Dra. Magali Folch, quien me ha apoyado desde los primeros momentos
de la licenciatura, impulsando mi camino. La gratitud y admiración que le
tengo es enorme.
A la Dra. Catalina Stern quien siempre me ha considerado un buen alumno
en la licenciatura y me ha impulsado para asistir a congresos, escuelas y
olimpiadas, gran parte de mi experiencia se la debo a su amable disposición
de ayuda.
iii
A Julianne Gallardo Thurlow, quien ha sido un pilar fundamentar en mi
etapa de estudiante, siempre te he considerado una persona de gran co-
razón, muchas gracias.
A Juan Salvador Tafoya, con quien he hecho un gran equipo. Muchas de
las discusiones de ideas han nutrido el desarrollo de ambos.
A mis amigos, a los que he conocido en todo el mundo y que forman parte
de mi vida, les agradezco enteramente su fraternidad.
A mi familia, quien ha sacrificado mucho por mi desarrollo humano. Siem-
pre los tengo en la mente y son el fuego sempiterno que me impulsa a seguir
adelante.
A Yuri Andaya, quien me ha acompañado fielmente en todos estos años sin
importar lo dif́ıcil del camino. Siempre te llevo en mi corazón.
Índice general
1. Introducción 3
2. Origen de las nebulosas planetarias 7
2.1. Formación de las estrellas de mediana masa . . . . . . . . . 7
2.2. Evolución estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Fotoionización y recombinación 15
3.1. Nebulosa de hidrógeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Nebulosa con elementos pesados . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Equilibrio térmico 31
4.1. Procesos de calentamiento y enfriamiento . . . . . . . . . . 31
4.1.1. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2. Pérdida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.3. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Espectro de emisión 37
5.1. Intensidad de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1. Radiación ligado-ligado . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.2. Radiación libre-ligado . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.3. Radiación libre-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Determinación de parámetros f́ısicos 45
6.1. Determinación de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2. Determinación de la densidad electrónica . . . . . . . . . . 49
6.3. Determinación de abundancias qúımicas . . . . . . . . . . . 52
v
6.3.1. Determinación por ĺıneas de recombinación . . . . . 52
6.3.2. Determinación por ĺıneas colisionalmente excitadas . 53
6.3.3. Abundancias totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7. Inhomogeneidades de temperatura 55
7.1. Discrepancia de abundancias qúımicas . . . . . . . . . . . . 55
7.2. Inhomogeneidades de temperatura . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1. Inhomogeneidades de temperatura en ĺıneas de re-
combinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.2. Inhomogeneidades de temperatura en ĺıneas colisio-
nalmente excitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8. Aplicación del modelo 65
8.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9. Conclusiones 79
A. Datos adicionales 83
Bibliograf́ıa 89
Resumen
En las nebulosas planetarias, generalmente, las intensidades de las ĺıneas
colisionalmente excitadas han servido para la determinación de abundan-
cias qúımicas en la envolvente, para los elementos más pesados que el helio,
sin embargo, la observación de ĺıneas de recombinación de diversos iones ha
permitido calcular su abundancia mediante el cociente de éstas últimas y
comparar los resultados con aquellos valores obtenidos con ĺıneas colisional-
mente excitadas. Se ha encontrado una discrepancia entre las abundancias
qúımicas obtenidas mediante el uso de ĺıneas colisionalmente excitadas y
ĺıneas de recombinación, siendo más alta la abundancia obtenida usando
ĺıneas de recombinación. Una explicación para este fenómeno es la de supo-
ner inhomogeneidades de temperatura. Las ĺıneas colisionalmente excita-
das dependen en mayor medida de la temperatura, por lo cual, variaciones
espaciales de temperatura en las regiones nebulares tendŕıa como conse-
cuencia un cambio grande en las abundancias iónicas derivadas mediante
estas ĺıneas.
En esta tesis de licenciatura se explora la idea de inhomogeneidades de
temperatura para la obtención de ox́ıgeno en una muestra amplia de nebu-
losas planetarias de las Nubes de Magallanes. Se toma como base la idea
expuesta por M. Peimbert [1967] para su aplicación en las observaciones
de P. Leisy y M. Dennefeld [2006]. En los primeros caṕıtulos se descri-
ben procesos f́ısicos que ocurren dentro de las regiones nebulares, lo cuál
permite entender la relación entre la intensidad de radiación observada y
los diferentes parámetros obtenidos. Después del desarrollo de la teoŕıa del
parámetro de variación t2, se toman algunas ecuaciones publicadas por M.
Peimberty R. Costero [1969] para la obtención de las abundancias ióni-
cas de ox́ıgeno, suponiendo diversos parámetros t2, desde t2 = 0.01 hasta
1
2
t2 = 0.09 para una nebulosa en particular, exponiendo el aumento de las
abundancias iónicas conforme se suponen variaciones más grandes de tem-
peratura. Finalmente, se aplica este concepto para las nebulosas reportadas
por P. Leisy y M. Dennefeld lo que tiene como consecuencia, un aumento
en la abundancia de dicho elemento.
Son varios los estudios astronómicos y de diversas áreas del conocimiento
cient́ıfico que tienen como base la determinación correcta de abundancias
qúımicas en regiones nebulares. A manera de ejemplo, se menciona el art́ıcu-
lo de P. Ventura et. al. [2015] que tomó como referencia a las abundancias
qúımicas reportadas por Leisy y Dennefeld [2006] para desarrollar modelos
computacionales de evolución estelar; cambiar las abundancias qúımicas al
tomar en cuenta las inhomogeneidades en la temperatura, podŕıa suponer
un cambio en dichos modelos de evolución estelar.
Caṕıtulo 1
Introducción
En el medio interestelar (MI) existen nubes de gas, cúmulos de polvo, ra-
yos cósmicos, campos magnéticos y más componentes. Algunas nubes de
gas envuelven cuerpos que radiación, como estrellas o remanentes de es-
tas, generando aśı regiones ionizadas; ejemplos de esto son las regiones HII
y nebulosas planetarias (NP). Las primeras reciben su nombre debido a
la cantidad de hidrógeno ionizado que contienen (el hidrógeno ionizado se
denota como HII, mientras que el hidrógeno neutro como HI), éstas ge-
neralmente son difusas y rodean a varias estrellas jóvenes tipo O ó B, las
segundas, en cambio, son regiones más aisladas y tienen, generalmente, una
forma con mayor simetŕıa, éstas son generadas con capas de material este-
lar expulsadas durante su evolución.
Las nebulosas planetarias emiten luz, producida por los elementos que la
componen y que formaron parte de la estrella que les dio origen; dicha ra-
diación es producida a través de los saltos de nivel en los elementos neutros
y ionizados. En las nebulosas planetarias los elementos ionizados constante-
mente capturan electrones libres y emiten fotones. Históricamente, algunas
ĺıneas espectrales de elementos ionizados fueron confundidas con la pre-
sencia de un átomo desconocido: el nebulio. Sin embargo, posteriormente
se entendió que la radiación del ox́ıgeno doblemente ionizado produćıa las
ĺıneas atribúıdas al nebulio mediante un mecanismo prohibido1. Este me-
canismo es improbable en las condiciones de un laboratorio en la tierra, no
1Mecanismo distinto a la regla del dipolo eléctrico.
3
4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
obstante, en las condiciones de bajas densidades de las nebulosas planeta-
rias se observa. Las longitudes de onda de los fotones emitidos por cada
ión o átomo se conocen en la actualidad y permiten identificar la presencia
del elemento en cuestión.
La importancia de algunas ĺıneas de emisión es notoria, por ejemplo, las
ĺıneas producidas por los saltos al nivel dos del hidrógeno, las llamadas
ĺıneas de Balmer. Estas se emiten con una intensidad dependiente de un
coeficiente de emisión casi independiente de las condiciones del medio, ha-
ciendo a estas ĺıneas una herramienta útil para la corrección de la intensidad
de la radiación proveniente de la nebulosa, la cual es afectada por la extin-
ción que causa la presencia de polvo en el medio interestelar.
El cociente de las intensidades de las ĺıneas permite observar el compor-
tamiento relativo entre ellas; las intensidades de algunas ĺıneas dependen
fuertemente de la temperatura, con distintos potenciales de excitación, ha-
ciendo a estos cocientes ideales para la determinación de la temperatura
local. Las intensidades de otras ĺıneas, en cambio, presentan dependencias
similares en la temperatura, haciendo a su cociente idóneo para la deter-
minación de densidades electrónicas.
Los cálculos se realizan mediante el cociente de intensidades de ĺıneas ex-
citadas colisionalmente o mediante el cociente de intensidades de ĺıneas de
recombinación; las primeras se originan debido a la colisión de electrones
libres con iones, cuyos potenciales de excitación son lo suficientemente ba-
jos para subir de nivel con la enerǵıa cinética de la part́ıcula que colisiona
y las segundas son debidas a la captura de un electrón libre por parte de
un ión, emitiendo un fotón. Los primeros cocientes dependen más de la
temperatura que los segundos y se han encontrado discrepancias entre las
abundancias qúımicas obtenidas con unos y con otros2. Una de las posibles
causas de dicha discrepancia es una fluctuación en la estructura de tem-
peratura de la nebulosa; tomar en cuenta estas pequeñas fluctuaciones y
representarlas con el parámetro t2, como lo propuso Manuel Peimbert en
su art́ıculo de 1967, da una posible explicación a dicha diferencia.
Desde luego es notoria la importancia que supone un cambio en las abun-
dancias qúımicas de una nebulosa planetaria, ya que éstas ayudan a en-
2Ejemplos de ello pueden constantarse en multiples art́ıculos donde se plantean di-
versas soluciones. Véase por ejemplo ((The abundance discrepancy in HII regions)), de C.
Esteban et al. [2016].
5
tender los procesos f́ısicos que generan a los elementos en el interior de
la estrella progenitora, aśı como los procesos mediante los cuales han sido
liberados al medio interestelar.
Esta tesis considera la posibilidad de la existencia de fluctuaciones de tem-
peratura en las nebulosas planetarias estudiadas con anterioridad por P.
Leisy y M. Dennefeld en su art́ıculo publicado en 1996 y revisado en 2006,
cuyas abundancias qúımicas han servido de base para el estudio de los pro-
cesos f́ısicos presentes en la evolución estelar, planteados en el art́ıculo de
P. Ventura et al. de 2015. Aśı pues, se observan los cambios que pueden
tener las nebulosas planetarias al suponer distintos parámetros t2 en las
variaciones espaciales de temperatura.
Caṕıtulo 2
Origen de las nebulosas
planetarias
Las nebulosas planetarias son nubes de gas ionizado que envuelven a una
estrella central, estas son originadas en la penúltima fase de evolución de
las estrellas con una masa comprendida entre 0.8 y 8 masas solares (M�).
Esta idea fue sugerida por Shklovskii (1956), siendo aśı, que las nebulosas
planetarias son descendientes de las gigantes rojas y lugar de formación de
las enanas blancas.
2.1. Formación de las estrellas de mediana masa
La estrellas de mediana masa (0.8M� ≤M ≤ 8M�) son formadas en den-
sas nubes de gas, localizadas principalmente en los brazos de las galaxias
espirales y en su centro (Larson 2003); dichas nubes están formadas prin-
cipalmente por hidrógeno molecular H2.
Para que comience la contracción del gas y con ello la formación de la es-
trella, es necesario que una perturbación rompa el equilibrio hidrostático
que originalmente teńıa la nube y que la misma tenga masa suficiente.
A principios del siglo XX, James Jeans dedujo una primera aproximación
para esa ((masa ĺımite)); con lo que se entendeŕıa un poco más del proceso
f́ısico que da lugar a la formación estelar.
7
8 CAPÍTULO 2. ORIGEN DE LAS NEBULOSAS PLANETARIAS
Una nube de gas, si está en equilibrio, cumple con la ecuación del teorema
de virial:
2 〈K〉+ 〈U〉 = 0, (2.1)
donde 〈K〉 representa la enerǵıa cinética promedio y 〈U〉 la enerǵıa poten-
cial promedio.
Si:
2| 〈K〉 | > | 〈U〉 |,
entonces, la enerǵıa cinética comenzará a provocar una expansión del gas
en la nube, por el contrario, si:
| 〈U〉 | > 2| 〈K〉 |,
comenzará un colapso gravitacional.
La enerǵıa potencial promedio es proporcional a la masa de la nube sobre
el radio de la misma:
〈U〉 ∝ GM
2
R
, (2.2)
siendo G la constante de gravitación universal. Por su parte, la enerǵıa
cinética promedio vaŕıa de acuerdo a la siguiente relación:
〈K〉 ∝ KB
T
µmh
, (2.3)
donde
µ =
m̄
mh
, (2.4)
es el peso molecular promedio, definidocomo el cociente entre la masa
promedio de las part́ıculas m̄, y mh la masa del hidrógeno, T representa a
la temperatura de la nube y KB a la constante de Boltzmann.
M
µmh
representa al número promedio de part́ıculas en la nube, el cual es
igual a nV , siendo V el volumen de la nube y n el número de part́ıculas
sobre unidad de volumen; si se supone una simetŕıa esférica, obtenemos:
M
µmh
∝ nR3, (2.5)
2.1. FORMACIÓN DE LAS ESTRELLAS DE MEDIANA MASA 9
es decir:
R ∝
(
M
nµmh
) 1
3
. (2.6)
Sustituyendo la relación anterior en la condición de contracción gravitacio-
nal antes descrita, se obtiene:
|C1|
TM
µmh
< |C2|
M2
R
⇐⇒ |C1|
|C2|
T
µmh
< M
2
3 (nµmh)
1
3 (2.7)
⇐⇒ M > C
(µmh)
2
√
T 3
n
, (2.8)
donde
C =
|C1|
|C2|
∝
(
KB
G
) 3
2
. (2.9)
A dicha masa ĺımite se la conoce como masa de Jeans (MJ). Con base en
la ecuación (2.8) se puede tener un panorama general de la evolución del
gas molecular hasta la formación de la protoestrella.
Cuando la nube de gas comienza a colapsar por su propia gravedad, no
se calienta en un principio, ya que la densidad (variando de n ≈ 107 -1011
particulas
m3
para nubes moleculares de H2 [Larson 2003]) es lo suficientemente
pequeña para que la enerǵıa de la contracción escape en forma de radiación.
Inicialmente la nube de gas tiene un cierto momento angular, mientras es-
ta colapsa, aumenta la densidad del medio y la masa de Jeans disminuye,
por lo que la nube se fragmenta y parte del momento angular se conserva,
aumentando aśı la velocidad de rotación de sus partes, lo que colabora aún
más con su ruptura. Esto genera diversas regiones de formación estelar. Con
el aumento de la densidad la opacidad aumenta y gran parte de la enerǵıa
no puede seguir escapando en forma de radiación y crece la temperatura,
incrementando también la masa de Jeans, lo que cesa la fragmentación de
las regiones de formación estelar.
El núcleo de la nube se va comprimiendo poco a poco, con ello la tem-
peratura es cada vez más alta, esto genera una presión que se opone a la
gravedad y disminuye la tasa con la que la densidad del núcleo crece; sin
embargo, en las regiones externas, el gas sigue cayendo hacia el núcleo li-
bremente. Al llegar aproximandamente a los 1800K las moléculas de H2
10 CAPÍTULO 2. ORIGEN DE LAS NEBULOSAS PLANETARIAS
se disocian, este proceso absorbe enerǵıa, lo que genera una disminución
en el aumento de temperatura y con ello baja la presión que se opone a la
gravedad, incentivando la retracción gravitacional (Karttunen 2007).
La superficie del objeto estelar en formación, es menos caliente que su cen-
tro, debido a esto, existe una transmisión de calor del núcleo a la superficie
por convección, mientras la temperatura efectiva1 sea lo más pequeña po-
sible con respecto a la del núcleo, la zona de convección será más amplia,
llegando incluso a formar una protoestrella totalmente convectiva. En este
punto la protoestrella aún es muy fŕıa para iniciar reacciones nucleares y
la enerǵıa es provista por el colapso gravitacional. El material es difuso y
mientras se contrae se calienta y disminuye su luminosidad conforme el ra-
dio decrece. Al llegar a 104K todo el hidrógeno está ionizado y a los 105K
básicamente todo el material lo está (Karttunen 2007).
Mientras la temperatura aumenta, la opacidad disminuye y alrededor del
núcleo se forma una zona de transporte radiativo de enerǵıa; esta zona crece
mientras lo hace la temperatura, llegando a ser una protoestrella mayorita-
riamente radiativa con la temperatura suficiente. Al tener la temperatura
idónea, la estrella comienza a tener reacciones nucleares que generan una
presión adicional que contrarresta a la gravedad y termina el colapso.
2.2. Evolución estelar
A principios del siglo XX, se sab́ıa poco de la f́ısica involucrada en la evo-
lución estelar a pesar de tener muchos datos. Ejnor Hertzsprung y Henry
Norris Russell, de manera independiente, formaron un diagrama que rela-
ciona la magnitud absoluta de las estrellas (ligada a la luminosidad) con el
tipo espectral de las mismas (relacionado con la temperatura), notando que
no se obteńıa un patrón azaroso, la relación mostraba que las estrellas se
localizaban, en su mayoŕıa, en una banda, la cual más adelante fue llamada
secuencia principal (SP).
1La temperatura superficial.
2.2. EVOLUCIÓN ESTELAR 11
Figura 1: Diagrama H-R, magnitud absoluta-tipo espectral.
La luminosidad aumenta hacia arriba y la temperatura dis-
minuye hacia la derecha.
La figura 1 ejemplifica la distribución que generalmente tienen las estre-
llas al relacionar su luminosidad con la temperatura. Los diagramas de
Hertzsprung-Russel (H-R) han sido fundamentales para estudiar la evolu-
ción estelar.
Al alcanzar el equilibrio hidrostático, las estrellas se acomodan en la se-
cuencia principal, cuya posición en esta vaŕıa de acuerdo a su masa; las más
masivas se encuentran en la parte superior de la secuencia, mientras que
las estrellas de masa menor se encuentran en la parte inferior. Las estrellas
pasan la mayor parte de sus vidas generando enerǵıa a través de la fu-
sión de hidrógeno en helio, formándolo a partir de la cadena protón-protón
(P-P)2 y el ciclo carbón-nitrógeno-ox́ıgeno (CNO)3. El primer mecanismo
2Consiste en la fusión de núcleos de hidrógeno para formar 4He, produciendo un
excedente de enerǵıa. E. G. Adelberger et al. en texto ((Solar fusion cross sections II: the
pp chain and CNO cycles)) hace una descripción a detalle del proceso.
3Proceso nuclear para la formación de helio a partir del hidrógeno con el uso de
catalizadores como carbón, ox́ıgeno y nitrógeno.E. G. Adelberger et al. en texto ((Solar
fusion cross sections II: the pp chain and CNO cycles)) hace una descripción a detalle del
12 CAPÍTULO 2. ORIGEN DE LAS NEBULOSAS PLANETARIAS
es la principal fuente de enerǵıa de las estrellas de la parte baja de la se-
cuencia principal, correspondientes a masas menores de 1.5 masas solares
(≤ 1.5M�) (Karttunen 2007). Para las estrellas más masivas, el ciclo CNO
es la fuente principal de enerǵıa (Karttunen 2007). Esta reacción se carac-
teriza por llevarse a cabo fuertemente en el núcleo de la estrella, por lo
que una gran cantidad de enerǵıa debe ser transportada del núcleo a las
periferias, haciendo esto a través del transporte convectivo4; en las afueras
del núcleo es posible el transporte de enerǵıa a través de radiación. Por
su parte, la cadena P-P es llevada a cabo en zonas más extensas, debido
a esto, las estrellas de baja masa pueden distribuir la enerǵıa de su cen-
tro mediante transporte radiativo. Conforme se va alejando del núcleo, la
opacidad aumenta y la temperatura disminuye a tal grado que la enerǵıa
no puede ser transportada a través de radiación, formando entonces una
banda de convección.
La evolución estelar depende fuertemente de la masa; las estrellas más ma-
sivas rad́ıan una cantidad mucho mayor de enerǵıa que las menos masivas,
lo que genera que su evolución sea más rápida.
Las estrellas más masivas (≥ 1.5M�), al transformar hidrógeno en helio van
perdiendo masa en su núcleo convectivo, lo que genera una disminución en
su temperatura, moviéndose a la derecha del diagrama H-R. Cuando la can-
tidad de hidrógeno comienza a agotarse, el núcleo se contrae rápidamente
y la temperatura aumenta, además, al contraerse, las capas externas de la
estrella se expanden, lo que aumenta su luminosidad, moviendose luego a
la izquierda y hacia arriba en el diagrama H-R. Por su parte, las estre-
llas menos masivas al tener un núcleo radiativo, no tienen una mezcla tan
grande de los componentes estelares, por lo que la cantidad de hidrógeno
disminuye más rápidamente en el núcleo que en otras capas periféricas.
Conforme el material del núcleo se transforma en helio, éste se contrae,
lo que expande las capas externas de la estrella, aumentando su lumino-
sidad. La fusión de hidrógeno en helio en el núcleo comienzaa disminuir,
pero sigue llevándose a cabo en una cáscara alrededor del núcleo. Al tener
una menor temperatura, la estrella se mueve hacia la derecha del diagrama
H-R.
proceso.
4Se realiza mediante transporte convectivo, al ser este un mecanismo con mayor efi-
ciencia en el transporte de enerǵıa que el transporte radiativo.
2.2. EVOLUCIÓN ESTELAR 13
Figura 2: Evolución de las estrellas en el diagrama H-R de
acuerdo a su masa. Las ĺıneas punteadas son caminos esti-
mados (Iben 1967).
Cuando una estrella termina de transformar el hidrógeno en helio, termina
su fase en la secuencia principal; mientras el hidrógeno del núcleo comienza
a agotarse, la estrella se mueve casi horizontalmente a la derecha, asimis-
mo, la fusión de hidrógeno en helio continúa en una cáscara que rodea al
núcleo. Éste comienza a contraerse y la densidad aumenta, lo que promue-
ve la expansión de las capas más externas de la estrella, aumentando su
luminosidad. En estrellas menores de 2.3 masas solares (≤ 2.3M�) la den-
sidad aumenta tanto que núcleo se degenera (Karttunen 2007). Si la masa
es superior a 0.26M�, se alcanzará la temperatura suficiente para trans-
formar helio en elementos más pesados (Karttunen 2007). Rápidamente el
helio comenzará a fusionarse en el centro, sin embargo, ya que el núcleo
está degenerado, este no puede expandirse hasta alcanzar una temperatura
suficientemente alta, lo que genera una gran cantidad de enerǵıa almace-
nada. Cuando la temperatura para romper la degeneración es alcanzada,
se libera toda la enerǵıa de una manera estrepitosa. A esta explosión se le
conoce como ((flash de helio)).
14 CAPÍTULO 2. ORIGEN DE LAS NEBULOSAS PLANETARIAS
La enerǵıa liberada durante el flash de helio es absorbida por las capas más
externas de la estrella y al expandirse el núcleo, dichas capas se contraen,
disminuyendo su luminosidad. Una vez concluido el flash de helio, las es-
trellas se colocan en la rama de las estrellas gigantes en el diagrama H-R;
su posición depende de la cantidad de material de la periferia que perdió
durante la explosión: si pierde mucho material, las capas internas de la
estrella quedarán expuestas, teniendo una temperatura superficial mayor
que aquellas que pierden poco material (Karttunen 2007).
Las estrellas de masa intermedia (2.3M� ≤M ≤ 8M�) tienen mayor tem-
peratura y una densidad menor, lo que les favorece para alcanzar la tempe-
ratura de fusión de helio sin degenerar el núcleo, evitando aśı, que muestren
el fenómeno del flash de helio. Estas tienen una evolución hacia la rama de
las estrellas gigantes de un modo menos violento.
Cuando el helio del núcleo comienza a agotarse, la fusión de este elemento
continúa en un cascarón que rodea el centro de la estrella, la cual dismi-
nuye su temperatura y aumenta su luminosidad, colocándose en la rama
asintótica gigante. El cascarón que continúa las reacciones nucleares de la
estrella alternadamente fusiona remanentes de hidrógeno, lo que provoca
una inestabilidad en la presión que contrarresta a la gravedad, generando
una fase de pulsaciones, lo que provoca una expulsión de material estelar
que nutre al medio interestelar, formándose una nebulosa planetaria.
El remanente estelar no alcanza la temperatura suficiente para fusionar ele-
mentos más pesados que el helio, por lo que la estrella comienza a decaer
en la rama de las enanas blancas de modo paulatino.
Caṕıtulo 3
Fotoionización y
recombinación
En las nebulosas planetarias los procesos de fotoionización y recombinación
electrónica determinan la estructura de distribución de iones. Una buena
primera aproximación es suponer la existencia de una sola estrella en el
centro de la nebulosa; esto no es descabellado, debido a la simetŕıa que
acompaña generalmente a las nebulosas planetarias1 dadas las condiciones
de su formación, discutidas en la sección previa.
La radiación emanada de la estrella central interactúa de distinta forma
con los diversos elementos que componen a la nube, con distintos grados
de ionización. Debido a su grado de dificultad, el entendimiento f́ısico de
los procesos involucrados quedará más claro si se comienza con una nebu-
losa ideal compuesta únicamente de hidrógeno, aumentando en seguida la
calidad de las siguientes aproximaciones al tomar en cuenta a los demás
elementos.
1Existen diversas clasificaciones, por ejemplo: nebulosas planetarias redondas, eĺıpti-
cas, bipolares, cuadrupolares o con simetŕıa central.
15
16 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
3.1. Nebulosa de hidrógeno
El hidrógeno tiene una enerǵıa de ionización de 13.6 eV desde el nivel base;
si la estrella del centro emite fotones con una enerǵıa mayor o igual a ésta,
podŕıa ionizarlo.
Si Jν representa la intensidad media de la radiación por unidad de área,
por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido; emitida por la estrella,
con frecuencia ν; entonces, el número de fotones emitidos a esa frecuencia
por la estrella es 4πJνhν . Donde hν es la enerǵıa del fotón emitido con la
frecuencia ν, siendo h la constante de Planck.
La eficacia para ionizar el hidrógeno para todos los fotones con enerǵıa
≥ 13.6 eV no es la misma, esta depende del parámetro aν [cm2], denomi-
nado ((sección transversal)). Dicho parámetro describe la probabilidad de
que un electrón sea emitido desde su estado original; una mayor sección
transversal para una frecuencia indica una mayor probabilidad de ioniza-
ción del átomo, con un fotón de la ν espećıfica. Asimismo, la cantidad de
ionizaciones realizadas por un cierto número de fotones con una frecuencia
dada, dependerá de la disponibilidad del elemento a ionizar (en este caso
hidrógeno), es decir, dependerá de la densidad del elemento, representado
por n
(
H0
)
[part́ıculas cm−3].
Aśı, la cantidad de fotoionizaciones para el hidrógeno, causadas por fotones
de frecuencia ν, sobre unidad de volumen, sobre unidad de tiempo es:
n
(
H0
) 4πJνaν (H0)
hν
. (3.1)
Si se desea encontrar el número de todas las fotoionizaciones sobre unidad
de volumen, sobre unidad de tiempo; se deberá sumar la contribución para
cada ν ≥ 13.6eVh = ν0 = 3.29 × 10
15S−1. Esta suma tendrá un caracter
infinitesimal, transformandose en una integral:
[
No de fotoio cm−3S−1
]
=
∫ ∞
ν0
n
(
H0
) 4πJνaν (H0)
hν
dν[cm−3S−1]. (3.2)
3.1. NEBULOSA DE HIDRÓGENO 17
La sección transversal para átomos hidrogenoides2, según Osterbrock y
Ferland3, tiene la siguiente dependencia de frecuencia y número atómico:
aν (Z) =
A0
Z2
(ν1
ν
)4 e(4− 4ArcTan(ε)ε )
1− e(−
2π
ε )
 [cm2], (3.3)
esta ecuación es para la fotoionización del nivel 1S2. Z representa el número
atómico, A0 = 6.30 x 10
−18[cm2], ν1 representa la frecuencia de ionización
para el hidrogenoide a estudiar y ε =
√
ν
ν1
− 1.
Si se hace el cambio de variable ν = ν1
(
ε2 + 1
)
en la ecuación (3.3), se
obtiene la siguiente relación:
aε (Z) =
A0
Z2
1
(1 + ε2)4
e(4− 4ArcTan(ε)ε )
1− e(−
2π
ε )
 [cm2]. (3.4)
Analizar dicha función tiene un interés f́ısico importante; anaĺıcese, por
ejemplo, los extremos cuando ε→ 0 (ν → ν1) y cuando ε→∞ (ν →∞):
ĺım
ε→0
1
(1 + ε2)4
= 1
ĺım
ε→0
e
(
4− 4ArcTan(ε)
ε
)
= ĺım
ε→0
e(4)e
(
− 4ArcTan(ε)
ε
)
= e(4)e
(
ĺım
ε→0
− 4ArcTan(ε)
ε
)
=e(4)e
(
ĺım
ε→0
− 4
1+ε2
1
)
= e(4)e(−4) = 1
ĺım
ε→0
1− e(−
2π
ε ) = ĺım
x→−∞
1− ex = 1.
Con estos ĺımites aclarados, se obtiene el siguiente resultado:
ĺım
ε→0
aε(Z) =
A0
Z2
= ĺım
ν→ν1
aν(Z). (3.5)
Por otro lado:
2Un átomo hidrogenoide es aquel que tiene un único electrón orbitando al núcleo;
ejemplo de esto son los iones He+, Li++, etc.
3Tomada del libro ((Astrophysics of Gaseous Nebulae and Active Galactic Nuclei)),
segunda edición, página 20.
18 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
ĺım
ε→∞
1
(1 + ε2)4
e(4)e(− 4ArcTan(ε)ε )
1− e(−
2π
ε )
 = ĺım
ε→∞
1
(1 + ε2)4
[
e(4)e(−
2π
ε )
1− e(−
2π
ε )
]
= ĺım
ε→∞
1
(1 + ε2)4
[
e(4)
e(2π
ε ) − 1
]
= ĺım
ε→∞
e(4)
(1+ε2)4
e
2π
ε − 1
= ĺım
ε→∞
− 8e(4)ε
(1+ε2)5(
−2π
ε2
)
e(
2π
ε )
= ĺım
ε→∞
8e(4)ε3
2π (1 + ε2)5 e(
2π
ε )
= ĺım
ε→∞
8e(4)
2π
[
ε+ 2ε +
1
ε3
]
[1 + ε2]3 e(
2π
ε )
= 0,
obteniendo aśı:
ĺım
ε→∞
aε(Z) = 0 = ĺım
ν→∞
aν(Z). (3.6)
Al ser (3.3) una función continua y totalmente decreciente, se concluye que
la máxima sección transversal de ionización se obtiene cuando ν → ν1.
F́ısicamente, esto significa que los fotones con una frecuencia mayor a la de
ionización (ν1) y cercana a esta, tienen mayor probabilidad de ionizar al
elemento hidrogenoide que aquellos cuya frecuencia es mucho mayor; esto
causará que los fotones más energéticos recorran un mayor camino antes
de causar una ionización.
La pregunta natural seŕıa: ¿qué sucede con la sección transversal para los
niveles distintos de 1S2?; la respuesta es que, a primera aproximación,
se puede prescindir de tal información, pues puede pensarse que todo el
hidrógeno neutro se encuentra en el estado 1S2.
Las probabilidades de transición 4 A (nL, n′L′) [S−1], para pasar de un es-
tado de enerǵıa nL a otro n′L′ con n > n′, del hidrógeno, son del orden de
104 a 108S−1 para transiciones permitidas5, lo que implica que, el tiempo
promedio de vida para los niveles excitados es pequeño, al definirse este
como el inverso de la probabilidad de transición:
τnL =
1∑
n>n′
∑
∆L=1A (nL, n
′L′)
[s]. (3.7)
Un caso especial es el nivel 2S2, cuya probabilidad de transición al nivel
1S2, es de 8.23S−1 (Osterbrock y Ferland 2006), siendo su tiempo de vida
4También conocidos como coeficientes de Einstein. La definición es análoga para cual-
quier elemento.
5Con la regla de selección ∆L = 1. Datos obtenidos de Osterbrock y Ferland [2006].
3.1. NEBULOSA DE HIDRÓGENO 19
de 0.12s, más grande que la vida media de otros niveles excitados. Sin
embargo, si se resuelve la integral:∫ ∞
ν0
4πJνaν
(
H0
)
hν
dν,
para los valores t́ıpicos de una (NP), el tiempo medio antes de la ioniza-
ción es mucho mayor que el tiempo de vida medio de los niveles excitados
(Osterbrock y Ferland 2006).
Es conveniente definir el concepto de profundidad óptica, medida adimen-
sional que permite saber el grado de dificultad que tienen los fotones para
atravesar el medio de la nebulosa. Esta propiedad depende de la densi-
dad del material y la capacidad de éste para ser ionizado por los fotones;
esto último descrito por la sección transversal aν , siendo necesario sumar
infinitesimalmente cada punto alrededor de una simetŕıa esférica:
τν(r) =
∫ r
0
n
(
r′
)
aνdr
′. (3.8)
La intensidad espećıfica de radiación promedio Jν de la estrella en un punto
de la nebulosa dependerá de la profundidad óptica de ésta. Dicha intensidad
es proporcional al flujo de radiación de la estrella:
4πJν = πFν(r), (3.9)
donde r es la distancia a la estrella. Este flujo se verá disminuido en las ne-
bulosas ópticamente gruesas, es decir, aquellas con una profundidad óptica
grande y también será dependiente del radio de la estrella R; ya que una
estrella más grande radiará más por unidad de tiempo que una pequeña.
Asimismo, la radiación disminuirá con el inverso del cuadrado de la distan-
cia:
4πJν = πR
2Fν (R)
e(−τν)
r2
. (3.10)
Por otro lado, los electrones emanados de las fotoionizaciones presentan
una distribución energética de Maxwell-Boltzmann; continuamente están
colisionando en función de la temperatura local, teniendo aśı, una distri-
bución maxwelliana de velocidades.
Los iones tienden a recombinarse con los electrones libres del medio. Es-
tas recombinaciones dependerán de la densidad electrónica presente ne, de
20 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
la densidad de iones (en este caso, del hidrógeno, n
(
H+
)
= np) y de un
coeficiente de probabilidad de recombinación a un nivel nL determinado,
llamado ((coeficiente de recombinación)): αnL[cm
3S−1] 6. Este tiene un valor
distinto de acuerdo al nivel energético al que caiga el electrón recombinado,
aśı:[
No de recombinaciones
al nivel nL
cm−3S−1
]
= nenpαnL
(
H0, T
) [
cm−3S−1
]
.
(3.11)
El coeficiente αnL depende de las velocidad del electrón libre a recombinar,
ligada a su vez con la temperatura local T , por la distribución maxwelliana
de velocidades. Para una velocidad electrónica u, existe una sección trans-
versal de recombinación para que un electrón se recombine al nivel nL,
dada por σnL
[
cm2
]
. La distribución de probabilidad:
f(u) =
4√
π
( m
2kT
) 3
2
u2e−
mu2
2kT
[
cm−1s
]
, (3.12)
dice qué tan probable es que los electrones se encuentren con cierta veloci-
dad u; sugiriendo en principio que, f(u) nos da la cantidad probabilistica
de electrones con velocidad u. Entonces:
uσnL(u)f(u)[cm
2], (3.13)
da la probabilidad de recombinación para el estado nL de los electrones
con velocidad u. Si se desea obtener la probabilidad de recombinación para
todas las velocidades electrónicas posibles, es necesario sumar todas las
contribuciones infinitesimales, transformándose en una integral:
αnL =
∫ ∞
0
uσnL(u)f(u)du[cm
3S−1]. (3.14)
Si además se requiere saber el coeficiente de recombinación total, es decir,
el coeficiente de recombinación para cualquier nivel atómico nL, basta con
sumar sobre todos los niveles el coeficiente de recombinación αnL; siendo
6En esta definición se usa la configuración completa nlms, aunque para algunos ele-
mentos pueden hacerse varias simplificaciones.
3.1. NEBULOSA DE HIDRÓGENO 21
esta una suma discreta, dada la cuantización de los niveles de enerǵıa del
átomo:
α =
∑
n
n−1∑
L=0
αnL, (3.15)
obteniendo:[
No de recombinaciones cm−3S−1
]
= nenpα
(
H0, T
) [
cm−3S−1
]
(3.16)
Al llegar a un estado de equilibrio entre la fotoionización y la recombina-
ción, se igualan las ecuaciones (3.2) y (3.16):
n
(
H0
) ∫ ∞
ν0
4πJν
hν
aν
(
H0
)
dν = npneα
(
H0, T
) [
cm−3S−1
]
(3.17)
Se obtiene que, el número de fotoionizaciones será igual al número de recom-
binaciones electrónicas; a su vez, dichos electrones se recombinan y decaen
a niveles de enerǵıa más bajos, emitiendo radiación. Esta enerǵıa puede re-
presentarse con el coeficiente de emisión local jv
[
ergcm−2S−1Hz−1sr−1
]
.
Esto se vislumbrará mejor a través de la ecuación de transporte radiativo:
dIν
ds
= −n
(
H0
)
aνIν + jν , (3.18)
donde Iν es la suma de la intensidad espećıfica de radiación de la esfe-
ra y de los fotones originados por las recombinaciones electrónicas, para
una frecuencia ν. La parte izquierda representa la intensidad espećıfica de
radiación, emitida por ambas fuentes por unidad de superficie; una parte
será absorbida por átomos de hidrógeno y otra parte será reemitida por las
recombinaciones electrónicas.
Las recombinaciones al nivel 1S2 generan fotones con ν ≥ ν0, generalmente
con una diferencia pequeña, lo que los hace altamente aptos para fotoioni-
zar átomos de hidrógeno neutro, dada su elevada sección transversal, como
se mostró en la ecuación (3.5). Existen 2 casos importantes para analizar,
el primero es cuando la profundidad óptica es baja y el segundo es el caso
contrario; es decir, cuando se trata de una nebulosa ópticamente delgada
y una ópticamente gruesa, respectivamente.
Antes de discutir cada uno de los casos a desarrollar, nótese que, del desa-
rrollo anterior y la ecuación (3.15), se obtiene:
α1 < α, (3.19)
22 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
donde α1 = α10. En una nebulosa ópticamente delgada, las reemisiones son
altamente despreciables, pues como lo indica (3.19), la cantidad de fotones
ionizantes generados a través de recombinaciones será menor que aquellos
emanados por la estrella; a su vez, éstos pueden escapar de la nebulosa.
En el caso de una gran profundidad óptica, de igual modo se cumple la
condición (3.19), sin embargo, los fotones no escapan fácilmente de la nu-
be. Es preferible hacer la aproximación ((sobre el punto)), la cual consiste
en pensar que cada fotónionizante emitido inmediatamente fotoioniza un
átomo de material, recorriendo un camino pequeño. En este caso, los foto-
nes ionzantes emitidos por las recombinaciones son parte importante de la
condición de equilibrio:
n
(
H0
) ∫ ∞
ν0
4πJν
hν
aν
(
H0
)
dν + npneα1
(
H0, T
)
= npneα
(
H0, T
)
. (3.20)
La ecuación (3.20) se traduce f́ısicamente de la siguiente manera: en el
lado izquierdo está la cantidad de fotones ionizantes originados en la es-
trella sumada a la cantidad de ellos producidos en las las recombinaciones
electrónicas al nivel base, en los iones de hidrógeno. Dicha cantidad de
fotoionizaciones es igualada a la cantidad de recombinaciones a todos los
niveles del hidrógeno, representados en el lado derecho.
Utilizando la ecuación (3.10), y la condición de equilibrio (3.20), se obtiene
la siguiente relación:
n
(
H0
)
R2
r2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
aν
(
H0
)
e−τνdν+npneα1
(
H0, T
)
= npneα
(
H0, T
)
.
(3.21)
Ahora bien, nótese que n
(
H0
)
aν
(
H0
)
tiene dimensiones de inverso de
longitud y de acuerdo con la definición (3.8),
[
n
(
H0
)
aν
(
H0
)]−1
es la dis-
tancia media recorrida por un fotón, antes de ser absorbido. Dicha distancia
depende de τν , y se conoce como ((recorrido libre medio)).
Existen varios modelos que permiten resolver la ecuación (3.21), calculan-
do con ello
np
np+n(H0)
. Los resultados muestran que, para aproximaciones
al espectro de un cuerpo negro y para modelos de atmósfera estelar7, se
7Véase por ejemplo, la discusión presentada por Osterbrock y Ferland en la página 25
de la segunda edición de su libro ((Astrophysics of Gaseous Nebulae and Active Galactic
Nuclei)), de donde se toma esta información.
3.1. NEBULOSA DE HIDRÓGENO 23
obtienen resultados f́ısicos similares: la nebulosa uniforme está completa-
mente ionizada hasta una cierta distancia r de su estrella, distancia a la
cual, la densidad de iones cae abruptamente, encontrándose la mayoŕıa de
los átomos en estado neutro.
Por ejemplo, para una nebulosa con n
(
H0
)
= 10 cm−3, compuesta de
hidrógeno, de acuerdo con la ecuación (3.3), para fotones con ν = ν0,
aν
(
H0
)
= 6.30× 10−18cm2, siendo entonces:
d =
1
n (H0) aν (H0)
=
1
63
× 1018cm ≈ 0.01pc.
Si se toma un caso distinto: un fotón energético de 54.4eV . Siguiendo la
ecuación (3.3), se tiene que aν
(
H0
)
= 1.23× 10−19cm2, obteniéndose:
d =
1
n (H0) aν (H0)
=
1
12.3
x 1019cm ≈ 0.26pc.
Estas distancias corresponden a la longitud de la cáscara de las zonas de
transición para las frecuencias de muestra. Por otro lado, para calcular el
radio de la zona ionizada es necesario utilizar la ecuación (3.21), notando
que de la ecuación (3.8), se tiene:
dτν
dr
= n
(
H0
)
aν
(
H0
)
, (3.22)
de modo que sustituyendo en la ecuación (3.21), se tiene lo siguiente:
n(H0)R2
r2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
aν
(
H0
)
e−τνdν =
R2
r2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
dτν
dr
e−τνdν =
R2
r2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
(
d
[
−e(−τν)
]
dr
)
dν = npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
=⇒ R2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
(
d
[
−e(−τν)
]
dr
)
dν =
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2
=⇒ R2
∫ ∞
ν0
∫ ∞
0
πFν (R)
hν
(
d
[
−e(−τν)
]
dr
)
drdν =∫ ∞
0
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2dr
24 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
=⇒ R2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
(∫ ∞
0
d
[
−e(−τν)
])
dν =∫ rs
0
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2dr +∫ ∞
rs
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2dr
=⇒ R2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
dν =
∫ rs
0
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2dr +∫ ∞
rs
npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
))
r2dr.
El lado izquierdo en el paso final del desarrollo anterior, corresponde al
número de fotoionizaciones en la nebulosa por unidad de tiempo y el de-
recho al número de recombinaciones electrónicas también por unidad de
tiempo. Nótese, además, que las recombinaciones en rs ≤ r ≤ ∞ son nu-
las, ya que fuera de la esfera de fotoionización (conocida como esfera de
Strömgren) el material existente es neutro, por lo que la integral definida
en este intervalo tiene que ser cero.
R2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
dν = npne
(
α
(
H0, T
)
− α1
(
H0, T
)) r3s
3
, (3.23)
lo que finalmente brinda el radio de la zona ionizada:
rs =
(
3R2
∫∞
ν0
πFν(R)
hν dν
npne (α (H0, T )− α1 (H0, T ))
) 1
3
. (3.24)
Por ejemplo, para una estrella tipo O3, con temperatura aproximada de
51200K, se tiene que: log
[
4πR2
∫∞
ν0
πFν(R)
hν dν
]
≈ 49.87
[
S−1
]
, con una den-
sidad np ≈ 1
[
cm−3
]
; cantidad que representa el logaritmo base diez del
flujo total de fotones ionizantes emitidos por la estrella central cada se-
gundo segundo, para el hidrógeno. Una suposición válida, ya que se está
revisando una esfera Strömgren de hidrógeno, es: np ≈ ne, dado el equi-
librio de fotoionización-recombinación; con ello, según los parámetros de
Osterbrock y Ferland [2006], se tiene un radio de 122 pc.
Si se compara este resultado con la longitud de la cáscara de transición pa-
ra fotones con enerǵıa de umbral y aquellos cuya enerǵıa era 4 veces mayor
3.2. NEBULOSA CON ELEMENTOS PESADOS 25
a esta última, se observa que la cáscara es muy pequeña comparada con la
esfera.
3.2. Nebulosa con elementos pesados
Después del hidrógeno, el helio es el elemento más abundante en las re-
giones nebulosas. Dicho elemento tiene dos electrones alrededor del núcleo,
por ello existe una interacción entre los esṕınes electrónicos, generando es-
tados singlete y triplete, con S = 0 y S = 1 respectivamente.
La enerǵıa de ionización del estado base del segundo elemento en la tabla
periódica es de 24.6 eV . Una vez ionizado el helio, presenta las caracteŕısti-
cas de un átomo hidrogenoide, con dos unidades de carga en el núcleo,
siendo su enerǵıa de ionización igual al cuádruple de la necesaria para io-
nizar al hidrógeno, además, para dicho ión, la ecuación (3.3) es válida para
determinar la sección transversal.
La distribución de iones en una nebulosa con elementos más pesados que el
hidrógeno depende de la cantidad de fotones provenientes de la estrella, con
enerǵıa mayor o igual a la enerǵıa de ionización de dichos elementos. Por
ejemplo, para una nube de hidrógeno y helio, dependerá de la cantidad de
fotones con enerǵıa equivalente o superior a 24.6 eV que la estrella brinde.
Analizando el caso donde son pocos; debido al comportamiento decreciente
de la función (3.3), los fotones más energéticos tendrán poca efectividad
al ionizar el hidrógeno con respecto a su capacidad de ionizar el helio, por
lo que aquellos pocos con enerǵıa superior a 24.6 eV liberarán un electrón
del átomo de helio, mientras que aquellos que no alcancen este umbral y
tengan mayor enerǵıa que 13.6 eV preferentemente ionizarán al hidrógeno.
Esto brinda una esfera de hidrógeno ionizado, con otra interna, de menor
tamaño, de helio ionizado, a modo de capas de cebolla.
Algunas nebulosas planetarias tienen estrellas centrales muy calientes, ca-
paces de producir fotones con enerǵıa igual o incluso mayor a 54.4 eV ,
creando regiones de helio dos veces ionizado, cuyo tamaño dependerá tam-
bién de la abundancia de dichos fotones.
Las ecuaciones de equilibrio de fotoionización-recombinación deberán ser
más complejas. Por ejemplo, tomando en cuenta una estrella central que
emita una despreciable cantidad de fotones con enerǵıa mayor o igual a 54.4
26 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
eV , se tiene para el caso de la ecuación de equilibrio del hidrógeno, cuatro
fuentes de enerǵıa ionizante a tomar en cuenta: los fotones ionizantes de
la estrella, los fotones reemitidos por las recapturas electrónicas al estado
base del hidrógeno, los fotones producidos por las capturas de electrones
al nivel base del helio y los fotones generados a partir de las recapturas
electrónicas a ciertos niveles excitados del helio y su consecuente emisión
en cascada. Las primeras dos fuentes ya han sido analizadas con anterio-
ridad. Analizando la tercera fuente, se observa que hay un acoplamientoentre las ionizaciones de helio e hidrógeno para el caso, ya que fotones de
24.6 eV pueden ionizar a ambos elementos; tómese, la fracción de ioniza-
ciones producida en el hidrógeno con los fotones generados a través de la
recaptura de electrones al nivel base del helio:
ζh =
4πJν2
hν2
n
(
H0
)
aν2
(
H0
)
4πJν2
hν2
n (H0) aν2 (H
0) +
4πJν2
hν2
n (He0) aν2 (He
0)
=
n
(
H0
)
aν2
(
H0
)
n (H0) aν2 (H
0) + n (He0) aν2 (He
0)
, (3.25)
donde ν2 = 5.95×1015
[
S−1
]
es la frecuencia de umbral para el helio neutro.
Para la fracción correspondiente al helio, la idea es análoga:
ζhe =
n
(
He0
)
aν2
(
He0
)
n (H0) aν2 (H
0) + n (He0) aν2 (He
0)
. (3.26)
Notoriamente ζhe + ζh = 1.
La cantidad de fotoionizaciones sobre unidad de volumen, sobre unidad de
tiempo para el hidrógeno, será igual a la fracción ζh por la cantidad de
recombinaciones electrónicas al estado base del helio, definidas de manera
análoga en el desarrollo anterior del hidrógeno:
ζhn
(
He+
)
neα1
(
He0, T
)
. (3.27)
Al hablar de la fracción de fotoionizaciones producidas por la radiación
generada en las transiciones en cascada después de la recaptura electrónica
a los niveles excitados del helio, se tiene la complicación de los diversos
casos que ofrecen los niveles singulete y triplete antes mencionados. Si se
3.2. NEBULOSA CON ELEMENTOS PESADOS 27
plantea el caso donde %ex es la fracción de fotoionizaciones del hidrógeno
producidos de esta manera, se tendrá:
%exn
(
He+
)
ne
(
α
(
He0, T
)
− α1
(
He0, T
))
. (3.28)
Entonces, una nebulosa compuesta de hidrógeno y helio, con las condiciones
descritas anteriormente tendrá la siguiente ecuación de equilibrio para el
hidrógeno, al sumar las contribuciones de las cuatro fuentes previstas:
n
(
H0
)
R2
r2
∫ ∞
ν0
πFν (R)
hν
aν
(
H0
)
e−τνdν + npneα1
(
H0, T
)
+ζhn
(
He+
)
neα1
(
He0, T
)
+ %exn
(
He+
)
ne
(
α
(
He0, T
)
− α1
(
He0, T
))
= npneα
(
H0, T
)
. (3.29)
En el caso del helio, se tendrán que tomar en cuenta las fotoionizaciones
generadas por la estrella, además de la fracción ζhe de fotoionizaciones
generadas con la radiación emitida en las recombinaciones al estado base
del helio; estas igualarán al número de recombinaciones a todos los niveles
del helio:
n
(
He0
)
R2
r2
∫ ∞
ν2
πFν (R)
hν
aν
(
He0
)
e−τνdν+
ζhen
(
He+
)
neα1
(
He0, T
)
= n
(
He+
)
neα
(
He0, T
)
. (3.30)
Si se toma en cuenta que en el medio interestelar, pueden, en principio,
existir diversos isótopos de diferentes iones, pero que las ĺıneas emanadas
de cada uno de ellos son tan similares, que observacionalmente pueden pa-
recer indistinguibles; entonces es válido comenzar con la generalización de
las ecuaciones anteriores, hablando sólo de iones.
Para cualquier ión X+k, donde X representa el śımbolo de cualquier ele-
mento de la tabla periódica y +k el grado de ionización del mismo, presenta
la siguiente generalización de la ecuación de equilibrio de fotoionización-
recombinación, para un ión X+k en particular :
n
(
X+k
)∫ ∞
νXk
4πJν
hν
aν
(
X+k
)
dν
28 CAPÍTULO 3. FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN
+
∑
X′
∑
k′
∑
n
n−1∑
L=0
ζ
(
X+k
)
n
(
X ′+k
′
)
neαnL
(
X ′+k
′
, T
)
+
∑
X′
∑
k′
∑
n>n′
∑
L′
%
(
X+k
)
nnL
(
X ′+k
′
)
AnL,n′L′
(
X ′+k
′
)
= n
(
X+k+1
)
neα
(
X+k
)
, (3.31)
donde el término ζ
(
X+k
)
representa la fracción de fotones que fotoionizan
a X+k:
ζ
(
X+k
)
=
n
(
X+k
)
aν
(
X+k
)∑
X′
∑
k′
[
n
(
X ′+k
′
)
aν
(
X ′+k
′
)] . (3.32)
La ecuación (3.32) se define de manera análoga a la ecuación (3.25). Es
importante tener en mente que tras la recombinación de un electrón a un
nivel excitado de un ión X ′+k
′
, se generará radiación tras las transiciones
en cascada, que podŕıan ionizar a un ión X+k; esto se plasma en la tercera
parte de la izquierda en la ecuación (3.31), donde las sumas son sobre todos
los niveles con n > n′.
El significado f́ısico de la ecuación (3.31) es análoga a las analizadas an-
teriormente, del lado izquierdo se encuentra el número de fotoionizaciones
sobre unidad de volumen, sobre unidad de tiempo, causadas por las emisio-
nes de fotones de la estrella central, de frecuencia mayor o igual a νXk, la
frecuencia de umbral para X+k; sumada a esta, también del lado izquierdo,
se encuentran el número total de fotoionizaciones causadas por la radiación
emitida tras las recombinaciones a cualquier nivel de enerǵıa nL, de todos
los iones presentes, en cualquier grado de ionización; añadida a esta, está el
número de fotoionizaciones causadas por las transiciones en cascada; a la
derecha, igualando a lo mencionado anteriormente, se encuentran el núme-
ro de recombinaciones sobre unidad de volumen, sobre unidad de tiempo
de X+k.
Hay que resaltar que existen más fenomenos que pueden coadyuvar en le
ecuación (3.31), tales como procesos colisionales y de radiación libre-libre,
sin embargo, para densidades relativamente bajas, la ecuación (3.31) pue-
de ajustarse bastante bien. Lo anterior da pie a que se estudie el equilibrio
térmico de la nebulosa, usando como fundamento lo previsto y añadiendo
información de nuevos fenómenos.
3.2. NEBULOSA CON ELEMENTOS PESADOS 29
Tras la generalización a los elementos más pesados, es conveniente escribir
una expresión generalizada para la contribución de cada ión presente a la
profundidad óptica:
dτν
dr
=
∑
X′
∑
k′
n
(
X ′+k
′
)
aν
(
X ′+k
′
)
. (3.33)
Tal como lo mencionan Osterbrock y Ferland [2006], algunos elementos pe-
sados tienen una baja contribución a la profundidad óptica en la nebulosa,
dada su baja densidad, por lo que se pueden ignorar en la ecuación (3.33),
simplificando en cierto modo los cálculos a realizar.
La ecuación (3.31) también se puede simplificar despreciando varios ele-
mentos, que por su casi nula presencia, hacen aportaciones despreciables;
sin embargo, es una manera de tener una idea general de la f́ısica que
involucra el proceso de fotoionización.
Caṕıtulo 4
Equilibrio térmico
Dada la distribución maxwelliana de velocidades, un cambio en la enerǵıa
cinética de los electrones será, también, un cambio en la temperatura lo-
cal. Los procesos de fotoionización y recombinación, vistos en el caṕıtulo
anterior, contribuyen al aumento y disminución de la temperatura local.
Además de estos, existen fenómenos f́ısicos no discutidos que contribuyen
a los cambios en la temperatura, como lo son la radiación de frenado o
((bremsstrahlung))1, aśı como los procesos colisionales de excitación y desex-
citación.
4.1. Procesos de calentamiento y enfriamiento
4.1.1. Ganancia
Tras la fotoionización de los elementos, debido a la presencia de radiación
proveniente de la estrella central de la nebulosa planetaria, o de las recom-
binaciones, surgen electrones libres con una enerǵıa cinética 12mu
2; dicha
enerǵıa corresponderá a la diferencia entre la enerǵıa del fotón ionizante y
la enerǵıa de ionización del ión:
1
2
mu2 = h (ν − νXk) , (4.1)
1Del idioma alemán: bremsen ((frenar)) y Strahlung ((radiación)).
31
32 CAPÍTULO 4. EQUILIBRIO TÉRMICO
donde νXk es la frecuencia de umbral para el ión X
+k, siguiendo la notación
del caṕıtulo previo.
Aśı, siguiendo la idea de la ecuación (3.2), para un ión X+k en particular,
la enerǵıa de ((ganancia)), debida a la fotoionización por la radiación estelar
será:
GeXk = n
(
X+k
)∫ ∞
νXk
4πJν
hν
h (ν − νXk) aν
(
X+k
)
dν. (4.2)
La ecuación (4.2) es la suma de todas las contribuciones de enerǵıa cinética
que aporta cada electrón liberado tras fotoionizar un ión X+k.
Siguiendo la idea de la ecuación (3.31), se deben sumar las contribuciones a
la ganancia de enerǵıa debidas a las fotoionizaciones con radiación emitida
por las emisiones de recombinación; para ello, es necesario que se defina
un nuevo parámetro, denominado ((coeficiente de enerǵıa cinética media de
recombinación)). Se construirá paso a paso, como se hizo con el coeficiente
de recombinación,para mayor claridad.
La ecuación (3.13) brinda la fracción probabilistica de electrones con ve-
locidad u que se recombinarán al nivel nL; dichos electrones tienen una
enerǵıa cinética 12mu
2, entonces, siguiendo la misma idea:
uσnL
(
X ′+k
′
)(1
2
mu2
)
f (u) , (4.3)
brinda la fracción probabiĺıstica de enerǵıa que los electrones de velocidad
u cederán del total de enerǵıa que existe entre los electrones de dicha velo-
cidad, esto, para las recombinaciones al estado nL de X ′+k
′
.
Por otro lado: ∫ ∞
0
uσnL
(
X ′+k
′
)(1
2
mu2
)
f (u) du, (4.4)
representa, probabiĺısticamente, toda la enerǵıa que ceden los electrones,
resultado de sumar la aportación que los electrones de cada velocidad brin-
dan, al recombinarse con un ión X ′+k
′
.
Debido a la distribución maxwelliana de enerǵıa, la cantidad de enerǵıa
electrónica total, es proporcional a la temperatura: Eelec = kT , entonces:
βnL
(
X ′+k
′
, T
)
=
1
kT
∫ ∞
o
uσnL
(
X ′+k
′
)(1
2
mu2
)
f (u) du, (4.5)
4.1. PROCESOS DE CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO 33
otorga la fracción probabiĺıstica de enerǵıa cedida tras las recombinaciones
al nivel nL, del ión X ′+k
′
, con respecto del total de enerǵıa. Aśı, usando
lo descrito en la ecuación (3.31), se observa que la cantidad de ganancia
energética, debida a las fotoionizaciones con radiación proveniente de las
recombinaciones, para el elemento X ′+k será:
GrXk =∑
X′
∑
k′
∑
n
n−1∑
L=0
ζ
(
X+k
)
n
(
X ′+k
′
)
nekTβnL
(
X ′+k
′
, T
)
. (4.6)
Por último, hace falta tomar en cuenta la ganancia obtenida a partir de la
radiación ligado-ligado2, análogamente a la (3.31), la ganancia ligada-ligada
corresponde:
GlXk =∑
X′
∑
k′
∑
n>n′
∑
L′
ζ
(
X+k
)
nnL
(
X ′+k
′
)
AnL,n′L′
(
X ′+k
′
)
hνnL,n′L′ , (4.7)
donde νnL,n′L′ es la frecuencia del fotón emitido tras la transición del estado
nL al n′L′.
Para obtener la enerǵıa total de ganancia, habrá que sumar la ganancia
debido a las fotoionizaciones estelares y la debida a las fotoionizaciones
difusas de cada uno de los elementos y iones presentes:
G =
∑
X
∑
k
(GeXk +GrXk +GlXk) . (4.8)
4.1.2. Pérdida
El ((enfriamiento)), se refiere a aquella enerǵıa que deja de estar presente en
forma cinética en los electrones libres. Las fuentes de pérdida de enerǵıa,
son principalmente tres: las recombinaciones que liberan fotones que, debi-
do a su frecuencia, tienen baja probabilidad de ionizar a algún elemento;
las pérdidas por radiación de frenado o ((bremsstrahlung)) y las pérdidas
por colisiones excitaciones colisionales.
2Esta radiación corresponde a los fotones emitidos tras las transiciones en cascada de
un electrón.
34 CAPÍTULO 4. EQUILIBRIO TÉRMICO
Debido a que con anterioridad se tomaron en cuenta las recombinaciones
que producen fotones ionizantes como parte de la ganancia, es preciso to-
mar en cuenta el total de las recombinaciones como parte de la pérdida.
Análogamente a lo que se hizo en el caṕıtulo anterior, se tiene que:
PrXk = n
(
X+k+1
)
nekTβ
(
X+k
)
, (4.9)
donde:
β
(
X+k
)
=
∑
n
n−1∑
L=0
βnL
(
X+k, T
)
, (4.10)
para las pérdidas de enerǵıa por recombinaciones a un elemento X+k.
Un fenómeno importante en la pérdida de enerǵıa es la radiación de frenado,
o también conocida como ((bremsstrahlung)); esta se produce por el frenado
de una part́ıcula cargada debida a la presencia de otra part́ıcula con carga,
por ejemplo, un electrón con un núcleo atómico.
Figura 3: Radiación de frenado, tam-
bién conocida como radiación libre-
libre.
La figura 3 muestra un esquema de este fenómeno, u2 < u1. La pérdi-
da de enerǵıa producida por la radiación de frenado será dependiente del
tamaño del núcleo atómico del ión que frene al electrón, aśı como de la
4.1. PROCESOS DE CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO 35
temperatura local (que estará relacionada con la velocidad del electrón,
dada la distribución maxwelliana de velocidades.), de la densidad de di-
chos iones y electrones, y además, de un parámetro llamado factor de
Gaunt gll[erg cm
3K−
1
2 S−1], el cual es una corrección multiplicativa para
los cálculos obtenidos de manera clásica. Entonces, la manera de definir la
pérdida de enerǵıa por el proceso de frenado, causado por un ión X+k será:
PlXk = 1.42× 10−27Z2T
1
2 gllnen
(
X+k
) [
erg cm−3S−1
]
, (4.11)
donde Z es el número atómico.
Algo que debe tomarse en cuenta, es que los electrones tienen altas proba-
bilidades de colisionar con los iones del medio, algunos de ellos con enerǵıas
de excitación del mismo orden de magnitud que la enerǵıa cinética de los
electrones, siendo potencialmente susceptibles a excitaciones colisionales,
ya que la densidad en muchas nebulosas planetarias es lo suficientemente
alta. Las excitaciones y desexcitaciones colisionales deben tomarse en cuen-
ta en el fenómeno de ganancia y perdida de enerǵıa entre los electrones.
Para analizar lo anteriormente mencionado, deben tomarse en cuenta las
probabilidades de excitación colisionales desde un nivel a otro, entre todos
los electrones, desde la enerǵıa cinética de umbral (es decir, la mı́nima ne-
cesaria para excitar al ión desde el nivel en el que se encuentra). Para ello,
en analoǵıa a la definición del coeficiente de recombinación, se define el ((la
tasa de transición colisional)): qnL,n′L′
(
X+k, T
) [
cm3S−1
]
:
qnL,n′L′
(
X+k, T
)
=
∫ ∞
1
2
mu2
uσnL,n′L′
(
X+k, T
)
f (u) du, (4.12)
donde σnL,n′L′
(
X+k
)
representa la sección transversal de colisión para los
electrones con el ión X+k. La ecuación (4.12) suma todas las probabilidades
de cambio de nivel debido a procesos colisionales, tomando en cuenta to-
dos los electrones con enerǵıa cinética mayor o igual a 12mu
2, la enerǵıa de
umbral. Si se toman en cuenta las desexcitaciones colisionales en la nebulo-
sa, se tendrá, la siguiente relación de excitación-desexcitación por procesos
colisionales:∑
n′>n
nn′L′
(
X+k
)
An′L′,nL + ne
∑
n6=n′
nn′L′
(
X+k
)
qn′L′,nL
(
X+k, T
)
36 CAPÍTULO 4. EQUILIBRIO TÉRMICO
= ne
∑
n6=n′
nnL
(
X+k
)
qnL,n′L′
(
X+k, T
)
+
∑
n>n′
nnL
(
X+k
)
AnL,n′L′
(
X+k
)
. (4.13)
Notoriamente, la pérdida de enerǵıa por procesos colisionales, es aquella que
no regresa a través de dichos procesos, es decir, la que al final es reemitida
por procesos radiativos. La ecuación de equilibrio (4.13) puede resolverse
para la población relativa de cada nivel, aśı, para la tasa de pérdida por
excitaciones colisionales se tiene:
PcXk =
∑
n
n−1∑
L=0
nnL
∑
n>n′
(
X+k
) n′−1∑
L′=0
AnL,n′L′hνnL,n′L′ . (4.14)
Finalmente, las pérdidas sumadas para cada ión disponible es:
P =
∑
X
∑
k
(PrXk + PlXk + PcXk) . (4.15)
4.1.3. Equilibrio
Concluyendo, la ecuación de equilibrio entre la ganancia y pérdida de
enerǵıa entre los electrones, será:
G = P (4.16)
Si se está en equilibrio de estado estacionario.
Caṕıtulo 5
Espectro de emisión
En los caṕıtulos anteriores, se han considerado distintos procesos radiati-
vos, sin embargo, hasta el momento no se ha hecho una descripción f́ısica
para las intesidades de las emisiones de los distintos procesos mencionados
en los caṕıtulos anteriores.
En este caṕıtulo se hará una revisión de la f́ısica involucrada en las in-
tensidades de las ĺıneas espectrales, que son de gran importancia para la
obtención de parámetros f́ısicos requeridos para diversos estudios del medio
interestelar, como temperatura, densidad y abundancias qúımicas.
5.1. Intensidad de radiación
Siendo el hidrógeno un elemento fundamental en la composición de las
nebulosas planetarias, el desarrollo f́ısico comenzará con este elemento.
Tal como se observó en el final del caṕıtulo 3 y en el caṕıtulo 4, en ocasiones
la generalizaciones a los demás elementos no son complejas salvo por la
notación.
5.1.1. Radiación ligado-ligado
La radiación proveniente de las transiciones en cascada puede tener di-
versos oŕıgenes: la recombinación de un electrón a un nivel excitado,las
excitaciones colisionales, excitaciones por un fotón, etc.
37
38 CAPÍTULO 5. ESPECTRO DE EMISIÓN
Para esta radiación, tienen un papel importante los coeficientes de pro-
babilidad de Einstein, mencionados desde la ecuación (3.7); con dichos
coeficientes se definirá la matriz de probabilidad:
PnL,n′L′ =
AnL,n′L′∑n−1
n′′=1
∑
L′′ Anl,n′′L′′
, (5.1)
la cual brinda la probabilidad de transición de un nivel nL a uno n′L′ de
manera directa, definido de una manera muy similar a la ecuación (3.32).
A partir de la matriz de probabilidad PnL,n′L′ , se puede definir la matriz
de transición en cascada CnL,n′L′ ; la cual se construye para que brinde la
probabilidad de transición de un nivel nL a uno n′L′ mediante cualquier
transición, incluso a través de transiciones intermedias. Aśı, se puede ob-
servar que ésta debe cumplir con algunos requerimientos:
CnL,n−1L′ = PnL,n−1L′
CnL,n−2L′ = PnL,n−2L′ +
∑
L′′=L′±1
CnL,n−1L′′Pn−1L′′,n−2L′ ,
es decir, si hay un salto de un nivel nL a otro n− 1L′ la ruta de transición
será única, por ello se cumple la primer condición, en segundo lugar, se tiene
que CnL,n−2L′ es igual a la probabilidad de transición directa del nivel nL
al n − 2L′ mas un segundo término; este segundo término se detallará un
poco más:
CnL,n−1L′′Pn−1L′′,n−2L′ ,
representa el producto de la probabilidad de transición de nivel nl al nivel
n− 1L′′ a través de cualquier camino, multiplicado por la probabilidad de
transición del nivel n− 1L′′ al nivel n− 2L′ a través de un camino directo.
En consecuencia, el segundo término de la segunda ĺınea de las condiciones
que ha de cumplir la matriz de cascada, representa la probabilidad de
transición del nivel nl al nivel n−2L′ a través de cualquier camino permitido
(∆L = ±1). Esta idea se puede extender a mayores casos:
CnL,n′L′ =
PnL,n′L′ +
∑
L′′=L′±1
[
CnL,n−1L′′Pn−1L′′,n′L′ + .....+ CnL,n′+1L′′Pn′+1L′′,n′L′
]
.
5.1. INTENSIDAD DE RADIACIÓN 39
Si hacemos que CnL,nL′′ = δLL′′ se tiene:
CnL,n′L′ =∑
L′′=L′±1
[CnL,nL′′PnL′′,n′L′ +CnL,n−1L′′Pn−1L′′,n′L′ +CnL,n−2L′′Pn−2L′′,n′L′+
.....+ CnL,n′+1L′′Pn′+1L′′,n′L′ ],
se obtiene, finalmente:
CnL,n′L′ =
n∑
n′′=n′+1
∑
L′′=L′±1
CnL,n′′L′′Pn′′L′′,n′L′ . (5.2)
Si suponemos condiciones donde los procesos colisionales son despreciables
(un caso útil como primera aproximación), podemos plantear una ecuación
sencilla para el equilibrio de un cierto nivel nL del hidrógeno:
npneαnL (T ) +
∞∑
n′=n
∑
L′=L±1
nn′L′An′L′,nL = nnL
n−1∑
n′′=1
∑
L=L′′±1
AnL,n′′L′′ .
(5.3)
Del lado izquierdo se tienen las recombinaciones sobre unidad de volumen,
sobre unidad de tiempo, del hidrógeno al nivel nL, sumado a esto, las
transiciones en cascada de cualquier nivel n′L′ al nivel nL con n′ > n,
igualado a esto, en la derecha, está el número de átomos de hidrógeno en el
estado nL (representado con nnL), multiplicado por todas las transiciones
del nivel nL a cualquier nivel n′′L′′, con n′′ < n.
Aśı, usando (5.2) se expresa (5.3) de la siguiente manera:
npne
∞∑
n′=n
n′−1∑
L′=0
αn′L′ (T )Cn′L′,nL = nnL
n−1∑
n′′=1
∑
L=L′′±1
AnL,n′′L′′ . (5.4)
De este modo, con las consideraciones hechas previamente, se puede obtener
el coeficiente de emisión de las ĺıneas producidas tras la transición del nivel
n al nivel n′:
jnn′ =
hνnn′
4π
n−1∑
L=0
∑
L′=L±1
nnLAnL,n′L′ . (5.5)
40 CAPÍTULO 5. ESPECTRO DE EMISIÓN
Del lado derecho, en la ecuación (5.5), se encuentra la enerǵıa de la radia-
ción emanada del salto del nivel n al nivel n′ sobre estereorradián, multi-
plicado por las transiciones del nivel n al n′ con cualquier L permitido.
El coeficiente de recombinación efectiva se define de la siguiente manera:
npneα
efe
nn′ =
n−1∑
L=0
∑
L′=L±1
nnLAnL,n′L′ =
4πjnn′
hνnn′
. (5.6)
Hasta el momento se ha usado la hipótesis de un caso donde la profun-
didad óptica es baja para todas las transiciones, sin embargo, presentar
cualquiera de las dos hipótesis extremas sobre la profundidad óptica es
sólo una aproximación, ya que distintos grupos de fotones presentan dis-
tintas profundidades ópticas en una misma región; por ejemplo, las ĺıneas
de las trasiciones nL → 1S del hidrógeno, también conocidas como serie
de Lyman, generalmente presentan una gran profundidad óptica, si esto
se toma en cuenta, se puede hacer una aproximación de los coeficientes de
Einstein de la serie de Lyman a cero, es decir AnL,1S → 0.
Asimismo, no se han tomado en cuenta los procesos colisionales que pueden
generar transiciones en cascada. Como un refinamiento a la aproximación
que se está realizando, han de tomarse en cuenta dichos procesos en una
ecuación de equilibrio para el nivel nL del hidrógeno. Para las colisiones
con protones, es más probable originar un cambio en el número cuántico L,
es decir, que pasan de un nivel nL a uno nL ± 1. Cuando la temperatura
es lo suficientemente alta, mayores a 12000 K, los electrones tienen una
enerǵıa cinética lo suficientemente elevada para hacer cambios de nivel con
∆n 6= 0, aśı1, la ecuación (5.3) se enriquece:
nenpαnL (T ) +
∞∑
n′=n
nn′L′An′L′,nL
+
∑
L′=L±1
npnnL′qnL′,nL (T ) +
∑
n′ 6=n
nenn′L′qn′L′,nL (T ) (5.7)
=
nnL
 n−1∑
n′′=1
∑
L′′=L±1
AnL,n′′L′′ +
∑
L′′=L±1
npqnL,nL′′ (T ) +
∑
n′′ 6=n
∑
L′′=L±1
neqnL,n′′L′′ (T )
,
1A.C. Raga, J. Cantó ((The physics of the interestellar medium)).
5.1. INTENSIDAD DE RADIACIÓN 41
donde qnL,n′L′ (T ) se define en la ecuación (4.12), para el caso del hidrógeno:
qnL,n′L′
(
H0, T
)
=
∫ ∞
0
uσnL,n′L′
(
H0, T
)
f (u) du. (5.8)
Tomar la integral desde 0, no supone ningún problema, ya que la integral
seŕıa nula desde ese punto hasta la enerǵıa de umbral del nivel.
Por otro lado, la sección transversal de colisión σnL,n′L′ puede expresarse
en términos de la fuerza de colisión Ω (nL, n′L′), el momento lineal del
electrón mu y el peso estad́ıstico del nivel de menor enerǵıa2:
σnL,n′L′ (u) =
π~2
m2u2
Ω (nL, n′L′)
ωnL
. (5.9)
Si se sustituyen las ecuaciones (5.9), (3.12) y se toma en cuenta que E =
1
2mu
2, se obtiene una expresión:
qnL,n′L′
(
H0, T
)
=
∫ ∞
0
√
2π
m3kT
~2
ωnL
Ω
(
nL, n′L′
)
e−
E
kT
dE
kT
(5.10)
=
√
2π
m3kT
~2
ωnL
∫ ∞
0
Ω
(
nL, n′L′
)
e−
E
kT d
(
E
kT
)
=
√
2π
m3kT
~2
ωnL
Υ
(
nL, n′L′
)
,
donde, notoriamente:
Υ
(
nL, n′L′
)
=
∫ ∞
0
Ω
(
nL, n′L′
)
e−
E
kT d
(
E
kT
)
, (5.11)
se denomina ((fuerza de colisión promedio)). El peso estad́ısitico del nivel
es:
ω = 2J + 1, (5.12)
donde J representa el momento angular total. El peso estad́ıstico hace refe-
rencia al número de estados con prácticamente la misma enerǵıa. Aśı, por
ejemplo el He0, puede tener un arreglo de esṕın entre los electrones con
S = 0 o S = 1, siendo S el momento de esṕın total.
2L. H. Aller ((Physics of thermal gaseous nebulae))[1984].
42 CAPÍTULO 5. ESPECTRO DE EMISIÓN
Si L = 0, siendo L el número cuántico de momento angular total, entonces
J ≈ 1 ó J ≈ 3; de esta forma, ω = 1 para S = 0 y ω = 3 para S = 1, estado
singulete y triplete respectivamente. Existe una relación entre la fuerza de
colisión promedio entre dos niveles SLJ y S′L′J ′, y entre los multipletes
SL y S′L′, y es, según Aller [1986]:
Υ
(
SLJ, S′L′J ′
)
=
(2J ′ + 1)
(2S + 1) (2L′ + 1)
Υ
(
SL, S′L′
)
. (5.13)
Finalmente, hace falta considerar las llamadas ((lineas prohibidas)), que son
las originadas mediante mecanismos distintos a la regla de selección ∆L±1;
estas, generalmente, son originadas tras excitaciones colisionales. Varios
elementos pesados (como el ox́ıgeno), tienen potenciales de excitación re-
lativamente bajos entre el nivel base y sus primeros niveles (del orden de
la enerǵıa cinética de la mayoŕıa de los electrones en una nebulosa), lo que
hace a este mecanismo la principal manera de excitación hacia estos nive-
les, haciendo que, para las ĺıneas prohibidas, la ecuación para el equilibrio
de un cierto nivel se simplifique, obteniendo como ecuación de equilibrio a
la relación (4.13)
5.1.2. Radiación libre-ligadoContinuando con la descripción f́ısica para el hidrógeno, se tiene que un
electrón al recombinarse, generará un fotón de una enerǵıa conocida:
hν =
1
2
mu2 + EnL, (5.14)
donde EnL es la enerǵıa de ionización del nivel nL. Entonces, el coeficiente
de emisión para las recombinaciones de un electrón con velocidad u será
representado con la siguiente descripción:
jν =
1
4π
npne
∞∑
n=1
n−1∑
L=0
uσnL
(
H0, u
)
f (u)hν
du
dν
. (5.15)
La presentación de esta ecuación resulta sencilla, dada la descripción de
la relación (3.12) y (3.13), se suman todas las recombinaciones a cualquier
nivel del átomo, con electrones cuya velocidad sea tal, que, debido a la
relación (5.14) se tenga un fotón de enerǵıa hν; por ello la necesidad de
relacionar la velocidad con la frecuencia del fotón con dudν .
5.1. INTENSIDAD DE RADIACIÓN 43
5.1.3. Radiación libre-libre
La radiación libre-libre es una fuente primordial en la región de radio, el
coeficiente de emisión es, según Osterbrock y Ferland [2006]:
jν =
1
4π
n
(
X+k
)
ne
32Z2q4eh
3m2c3
(
πhν0
3kT
) 1
2
e(−
hν
kT )gll (T,Z, ν) , (5.16)
para frecuencias de radio:
gll (T,Z, ν) =
√
3
π
(
ln
(
8k3T 3
π2Z2q4emν
2
) 1
2
− 5γ
2
)
=
√
3
π
(
ln
(
T
3
2
Zν
)
+ 17.7
)
.
(5.17)
Siendo γ = 0.577 la constante de Euler. Para la región óptica gll ≈ 1.
Caṕıtulo 6
Determinación de
parámetros f́ısicos
La descripción f́ısica de los fenómenos involucrados en las nebulosas pla-
netarias ha sido planteada para explicar la obtención de algunos paráme-
tros útiles, como la temperatura, la densidad electrónica o las abundancias
qúımicas, tal como se planteó en la introducción.
Brevemente, debido a lo que se estudiará en este caṕıtulo, es necesario tener
en mente la notación espectroscópica para los niveles de enerǵıa de un ión.
Esta notación hace uso de J , S y L para describirlos, siendo de la forma:
2S+1LJ
6.1. Determinación de la temperatura
Algunos iones, tales como el ox́ıgeno dos veces ionizado (O++), aśı como
el nitrógeno una vez ionizado (N+), presentan caracteŕısticas importantes
a la hora de obtener la temperatura local de una región; estos elementos
presentan niveles con potenciales de excitación relativamente bajos, lo su-
ficiente para ser excitados colisionalmente y con enerǵıas distintas entre śı.
45
46 CAPÍTULO 6. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS FÍSICOS
Figura 4: Diagrama de emisión del ión O++, las ĺıneas co-
rresponden a transiciones prohibidas, estas generalmente se
ponen entre corchetes [OIII].
La figura 4 muestra un diagrama de los niveles de enerǵıa del O++, que emi-
te fotones con las longitudes de onda λ = 4363Å, λ = 5007Å y λ = 4959Å.
Tal como se desarrolló en el caṕıtulo anterior, se comenzará planteando
una ecuación de equilibrio en cada nivel, con la simplificación de tomar
tres niveles (se comenzará planteando el nivel 3P como uno solo), con n3
la densidad de iones en el nivel superior y n1 en el nivel inferior:
n1neq1,3 + n2neq2,3 = n3A3,2 + n3neq3,2 + n3A3,1 + n3neq3,1 (6.1)
n1neq1,2 + n3A3,2 + n3neq3,2 = n2A2,1 + n2neq2,1 + n2neq2,3, (6.2)
despejando n1 de la ecuación (6.1) y (6.2), se tiene:
n3A3,2 + n3neq3,2 + n3A3,1 + n3neq3,1 − n2neq2,3
neq1,3
=
n2A2,1 + n2neq2,1 + n2neq2,3 − n3A3,2 − n3neq3,2
neq1,2
6.1. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA 47
n3q1,2 (A3,2 + neq3,2 +A3,1 + neq3,1)− n2q1,2 (neq2,3)
= n2q1,3 (A2,1 + neq2,1 + neq2,3)− n3q1,3 (A3,2 + neq3,2)
n3
n2
=
q1,3 (A2,1 + neq2,1 + neq2,3) + q1,2 (neq2,3)
q1,2 (A3,2 + neq3,2 +A3,1 + neq3,1) + q1,3 (A3,2 + neq3,2)
. (6.3)
Generalmente, con bajas densidades electrónicas, los términos colisionales
que acompañan a dichas densidades pueden ignorarse como una aproxima-
ción:
n3
n2
≈ q1,3A2,1
q1,2 (A3,2 +A3,1) + q1,3A3,2
≈ q1,3
q1,2
(
A2,1
A3,2 +A3,1
)
, (6.4)
la cual es una buena aproximación si q1,3 << q1,2.
Según la ecuación (5.10), se tiene:
q1,3
q1,2
=
Υ1,3
Υ1,2
. (6.5)
En equilibrio termodinámico, se debe cumplir la siguiente condición:
nen1q1,2 = nen2q2,1, (6.6)
cumpliéndose, además, la ecuación de equilibrio de Boltzmann:
n2
n1
=
ω2
ω1
e
(
−E12
kT
)
. (6.7)
Utilizando (6.6) y (6.7), en el equilibrio termodinámico, se obtiene la si-
guiente relación:
q1,2 =
ω2
ω1
e
(
−E12
kT
)
q2,1. (6.8)
Ahora, si se usa la ecuación (5.10), junto a (6.8), se tiene:
Υ1,2 = Υ2,1e
(
−E12
kT
)
. (6.9)
Finalmente, de (6.4), (6.5) y (6.9), se llega a la aproximación:
n3
n2
≈ Υ1,3
Υ1,2
(
A2,1
A3,2 +A3,1
)
=
Υ3,1
Υ2,1
(
A2,1
A3,2 +A3,1
)
e
(
E12−E13
kT
)
. (6.10)
48 CAPÍTULO 6. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS FÍSICOS
Sabiendo que E13 = E12 + E23 :
n3
n2
≈ Υ3,1
Υ2,1
(
A2,1
A3,2 +A3,1
)
e
(
−E23
kT
)
, (6.11)
y siguiendo la idea de la ecuación (5.5), el cociente de ĺıneas de emisión
puede expresarse de la siguiente manera:
j32
j21
=
n3
n2
(
E23
E12
)
A3,2
A2,1
=
n3
n2
(
ν23
ν12
)
A3,2
A2,1
, (6.12)
entonces:
j32
j21
≈ Υ3,1
Υ2,1
(
A3,2
A3,2 +A3,1
)
ν23
ν12
e
(
−E23
kT
)
. (6.13)
Si se toma en cuenta que el nivel 1, se subdivide en un nivel 1’ y 1”, siendo
el 1’ de mayor enerǵıa que el 1”, es necesario hacer un promedio pesado
sobre la frecuencia ν12:
ν̄12 =
A2,1′ν1′2 +A2,1′′ν1′′2
A2,1′ +A2,1′′
, (6.14)
aśı, la ecuación (6.13) se transforma:
j32
j21
≈ Υ3,1
Υ2,1
(
A3,2
A3,2 +A3,1
)
ν23
ν̄12
e
(
−E23
kT
)
, (6.15)
donde los términos que involucran al nivel 1, suman la probabilidad de 1’
y 1”.
Aśı, para el ox́ıgeno dos veces ionizado:
jλ4959 + jλ5007
jλ4363
≈
Υ
(
1D,3 P
)
Υ (1S,3 P )
(
A
(
1S,1D
)
+A
(
1S,3 P
)
A (1S,1D)
)
ν̄
(
3P,1D
)
ν (1D,1 S)
e
(
E(1D,1S)
kT
)
.
(6.16)
Si se requiere una descripción para altas densidades, donde las desexci-
taciones colisionales no son despreciables, han de tomarse en cuenta las
ecuaciones (6.3) y (6.12). Si se introducen valores numéricos de las varia-
bles resultantes1 , se obtiene, según Osterbrock y Ferland [2006]:
jλ4959 + jλ5007
jλ4363
=
7.90T
1
2
T
1
2 + (4.5)10−4ne
e
(
(3.29)104
T
)
. (6.17)
1Dichos valores se pueden encontrar en el libro de Osterbrock y Ferland [2006] en las
tablas 3.3-3.14.
6.2. DETERMINACIÓN DE LA DENSIDAD ELECTRÓNICA 49
Análogamente a lo desarrollado en general, tomando valores númericos, se
pueden obtener cocientes similares para transiciones prohibidas de otros
elementos; aśı lo refiere Osterbrock y Ferland [2006]:
[NII]
jλ6548 + jλ6583
jλ5755
=
8.23T
1
2
T
1
2 + (4.4)10−3ne
e
(
(2.50)104
T
)
(6.18)
[Ne III]
jλ3869 + jλ3968
jλ3343
=
13.7T
1
2
T
1
2 + (3.8)10−5ne
e
(
(4.30)104
T
)
(6.19)
[S III]
jλ9532 + jλ9069
jλ6312
=
5.44T
1
2
T
1
2 + (3.5)10−4ne
e
(
(2.28)104
T
)
. (6.20)
Mejores determinaciones pueden hacerse tomando en cuenta diagramas de
mayor número de niveles, sin embargo, desde esta aproximación de tres
niveles resulta evidente la importancia de que los potenciales de excitación
de las distintas ĺıneas sea lo suficientemente grande para que la dependencia
con la temperatura no desaparezca y aśı pueda determinarse. Si desaparece
la dependencia de la temperatura, pueden resultar útiles para la obtención
de la densidad electrónica promedio, tal como se verá a continuación.
6.2. Determinación de la densidad electrónica
Los iones de ox́ıgeno una vez ionizado (O+), aśı como del azufre una vez
ionizado (S+), presentan ĺıneas de emisión con enerǵıas similares entre śı,
lo que las hace idóneas para la determinación de la densidad electrónica
promedio de la región; ya que las poblaciones de sus niveles serán depen-
dientes de las fuerzas de colision promedio Υ, y ya que estas son diferentes
para cada nivel, las poblaciones de dichos niveles dependerán de la densi-
dad electrónica.
50 CAPÍTULO 6. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS FÍSICOS
Figura 5: Diagrama de emisión del ión O+, las ĺıneas co-
rresponden a transiciones prohibidas, estas generalmente se
ponen entre corchetes [OII].
Tómese, por ejemplo, el ión del ox́ıgeno una vez ionizado; las