Propiedades-mecanicas-y-electronicas-de-nanoalambres-de-carburo-de-silicio

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
PROPIEDADES MECÁNICAS Y ELECTRÓNICAS DE 
NANOALAMBRES DE CARBURO DE SILICIO 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 FÍSICA 
 P R E S E N T A : 
 
ANGELA MISCLI RANGEL GARCÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DR. LUIS ANTONIO PÉREZ LÓPEZ 
 
 
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2018 
 
 
 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
A mi madre: 
Con todo mi amor para quien me dio el ser, 
que con su esfuerzo y dedicación hizo de mi una 
persona de bien. Gracias por los consejos y ayuda. 
 
 
A mi hermana: 
Por el apoyo y confianza que siempre nos ha unido. 
 
 
Al Dr. Luis Antonio Pérez López 
Hago presente mí profundo agradecimiento por sus enseñanzas 
como profesionista y amigo, su valiosa orientación y 
atenciones que tuvo conmigo durante la elaboración del presente trabajo. 
 
 
A la institución a la que pertenecer es un orgullo: LA UNAM 
 
A la que tanto nos ha enseñado: LA FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
A mis profesores 
Que con sus enseñanzas y sabios consejos ayudaron 
 a mi formación academica. 
 
 
A Alberto 
Por todo su amor, apoyo y confianza. 
 
 
A Concepción Castro y Julio Gutierrez 
Por sus consejos, pláticas y apoyo, sin ellos 
éste gran paso no hubiera sido posible. 
 
 
A todas aquellas personas que de 
alguna forma contribuyeron al logro 
de una de mis más anheladas metas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
Esta investigación fue realizada gracias al Programa de Apoyo a Proyectos de 
Investigación e Innovación Tecnológica (PAPIIT) de la UNAM IN107717 “Propiedades 
físicas de sistemas de baja dimensionalidad”. 
Asimismo, agradezco al Instituto de Física de la UNAM que, como estudiante asociado, 
me permitió disponer de sus servicios e instalaciones durante la elaboración de esta tesis. 
Al Departamento de Supercómputo de la Dirección General de Cómputo y de 
Tecnologías de Información y Comunicación (DGTIC-UNAM) por permitir el uso de la 
supercomputadora Miztli, donde fueron realizados los cálculos presentados en esta tesis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
 
Los nanomateriales cuasiunidimensionales han sido objeto de una intensa investigación 
durante los últimos años debido a que permiten entender cómo la dimensionalidad y el 
tamaño reducido modifican las propiedades electrónicas y mecánicas de la materia, y 
también debido a sus aplicaciones potenciales en nanodispositivos. En particular, el 
carburo de silicio (SiC) es un importante semiconductor con una alta conductividad 
térmica, un elevado voltaje de ruptura, y una excelente estabilidad química, sin embargo, 
debido a que tiene una brecha de energía indirecta, el SiC en bulto no es un buen candidato 
para aplicaciones optoelectrónicas. Sin embargo, los nanoalambres de SiC pueden tener una 
brecha directa y muchos resultados experimentales indican que poseen una elasticidad y 
resistencia mecánica mayor que en su forma macroscópica. Más aún, las propiedades 
físicas de los nanoalambres no solamente pueden modularse con el diámetro y la forma de 
la sección transversal, sino también por medio de impurezas y modificando la pasivación 
superficial. 
En este contexto, el objetivo de la presente tesis consistió en investigar teóricamente las 
propiedades electrónicas y mecánicas de nanoalambres semiconductores de SiC pasivados 
con hidrógeno y con flúor, por medio de la teoría del funcional de la densidad (DFT) en la 
aproximación de gradiente generalizado. 
En particular, estudiamos nanoalambres de SiC cúbico con sección transversal cuadrada y 
crecidos a lo largo de la dirección cristalográfica [001], considerando cinco diferentes 
diámetros, así como dos diferentes saturadores superficiales (hidrógeno y flúor). Las 
coordenadas para formar estos nanoalambres se tomaron de una red cristalina de SiC 
cúbico (3C-SiC), y su superficie se saturó completamente, tanto con hidrógeno como con 
flúor. Se calcularon las estructuras de bandas electrónicas y las densidades de estados 
electrónicos de los diferentes nanoalambres considerados, así como sus módulos de Young 
y cocientes de Poisson. 
Se encontró la dependencia de las propiedades mecánicas y electrónicas de los 
nanoalambres de SiC con el diámetro y el tipo de recubrimiento. En particular se encontró 
que los nanoalambres recubiertos con flúor tienen módulos de Young mayores que sus 
contrapartes con recubrimiento de hidrógeno. Por otra parte, los nanoalambres recubiertos 
con hidrógeno siempre tienen una brecha de energía directa, mientras que los recubiertos 
con flúor pueden presentar brechas directas o indirectas. Finalmente, para un diámetro 
dado, los nanoalambres recubiertos con flúor tienen una brecha de energía menor que los 
hidrogenados. 
 
 
 
 1 
ÍNDICE 
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . 2 
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES 
1.1 Nanoalambres . . . . . . . . . . 3 
1.2 Nanoalambres de carburo de silicio . . . . . . . . . . 3 
1.3 Estudios previos y aplicaciones de nanoalambres 
carburo de silicio . . . . . . . . . . 5 
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 
2.1. Teoría del Funcional de la Densidad . . . . . . . . . .8 
2.1.1. Ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . .8 
2.1.2. Los teoremas de Hohenberg y Kohn . . . . . . . . . .10 
2.1.3. Ecuaciones de Kohn y Sham . . . . . . . . . .13 
2.1.4. Aproximación del funcional de intercambio 
 y correlación . . . . . . . . . .18 
2.1.5. Bases . . . . . . . . . .19 
2.1.6. Pseudopotenciales . . . . . . . . . .21 
2.1.7. Fuerzas interatómicas . . . . . . . . . .22 
 
 2.2 El código SIESTA . . . . . . . . . .23 
 
CAPÍTULO 3. RESULTADOS 
3.1 Estructura de nanoalambres de carburo de silicio 
 pasivados con hidrógeno y flúor . . . . . . . . . . . 24 
3.1.1 Estabilidad energética . . . . . . . . . . . 25 
3.2 Propiedades mecánicas . . . . . . . . . . . 28 
3.2 Propiedades electrónicas . . . . . . . . . . . 34 
 
CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . 46 
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . 47 
 
 
 2 
INTRODUCCIÓN 
En las últimas décadas se ha desarrollado un nuevo campo de la ciencia conocido 
como nanociencia, que estudia el comportamiento de la materia a una escala del orden de 
nanómetros. La nanociencia reúne múltiples disciplinas como la física, química, ingeniería 
y la biología; y utiliza métodos teóricos y experimentales para determinar las propiedades 
físicas de materiales manométricos. La importancia de estos materiales radica en que, dado 
su tamaño, sus propiedades cambian con respecto a sus contrapartes macroscópicas, debido 
a que presentan efectos cuánticos. Por ejemplo, durante siglos se ha pensado al oro como 
un “metal noble”, es decir, que noreacciona químicamente, sin embargo, nanopartículas de 
oro resultan ser catalizadores extremadamente eficaces para la oxidación de CO y otras 
reacciones químicas. 
En este trabajo se estudiará cómo pueden modificarse las propiedades mecánicas y 
electrónicas de nanoalambres de SiC. Para ello se partirá de la hipótesis de que dichas 
propiedades no solamente dependen del diámetro y de la dirección de crecimiento, sino 
también del recubrimiento o pasivación superficial. En particular se realizará un estudio 
teórico, usando el formalismo de la Teoría del Funcional de la Densidad, de la estructura de 
bandas electrónicas, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson de nanoalambres de 
carburo de silicio (SiC) pasivados con hidrógeno y flúor, con sección transversal cuadrada 
y crecidos a lo largo de la dirección cristalográfica [001] para cinco diferentes diámetros 
Cabe mencionar que los nanoalambres semiconductores han sido estudiados en los 
últimos años debido a su posible uso en aplicaciones tecnológicas tales como paneles 
solares, transistores de efecto de campo, detectores de moléculas, diodos emisores de luz, 
diodos Schottky de elevada eficiencia, varistores, y sensores de luz y temperatura. 
Este trabajo está organizado de la manera siguiente: 
En el primer capítulo se hace una breve revisión de las principales características de 
los nanoalambres, tanto desde el punto de vista teórico como experimental. 
El segundo capítulo se avoca a la metodología utilizada en este trabajo, por lo que se 
aborda la Teoría del Funcional de la Densidad, desarrollando cada uno de los temas 
necesarios para comprender el funcionamiento de la misma. 
En el tercer capítulo se presentan y discuten los resultados sobre las propiedades 
estructurales y electrónicas obtenidas para los diferentes nanoalambres estudiados. 
Finalmente, en la última sección, se resumen las principales conclusiones de la 
presente investigación, así como sus posibles extensiones y áreas de aplicación. 
 
 
 
 3 
CAPÍTULO 1: ANTECEDENTES 
1.1 Nanoalambres 
Los nanoalambres son estructuras unidimensionales con diámetro del tamaño de 
pocos átomos. Al hacer un corte transversal, sólo se componen radialmente de un número 
muy pequeño de átomos, pero su longitud puede alcanzar varias micras. Debido al 
confinamiento cuántico, estos nanoalambres poseen propiedades muy distintas a las de los 
sistemas cristalinos o de bulto [Guisbiers, 2012]. 
Cuando los electrones en un material se encuentran restringidos a moverse en una 
región pequeña del espacio, se dice que están confinados, y si esta región es tan pequeña 
que es comparable con la longitud de onda asociada con el electrón (para un electrón con 
energía cinética de 1 eV, y una energía de masa en reposo de 0.511 MeV, la longitud de 
onda de de Broglie asociada es de 1.23 nm), se observa el comportamiento cuántico debido 
a su confinamiento. En este tipo de sistemas, la física clásica no puede explicar su 
comportamiento, entonces se recurre a la mecánica cuántica. 
Una manera de describir las propiedades de estos nanoalambres es por medio de un 
modelo computacional, llevando a cabo una simulación de nanoalambres con física 
cuántica dentro del marco de la Teoría del Funcional de la Densidad, donde la variable o 
función fundamental es la densidad electrónica en contraste con el problema multivariable 
de muchos cuerpos de mecánica cuántica u otras aproximaciones. Por lo general es posible 
llegar a hacer simulaciones con unos pocos miles de átomos. El principal problema es que, 
si bien es en principio una teoría exacta, solamente se puede aplicar de forma aproximada, 
lo que hace que sus resultados sean menos precisos que otros métodos. 
 
1.2 Nanoalambres de carburo de silicio 
 
Materiales unidimensionales han atraído una atención considerable debido a sus 
posibles aplicaciones tecnológicas. El carburo de silicio (SiC) en nanoescala es un material 
de gran interés debido a que es un material prometedor para la siguiente generación de 
dispositivos electrónicos, como IGBT’S (Insulated Gate Bipolar Transistor) el cual es un 
dispositivo semiconductor que se utiliza como interruptor controlado en circuitos de 
electrónicos de alta potencia, opera a frecuencias y temperaturas elevadas. Otros son los 
diodos Schottky de SiC que ahorran energía y los diodos fabricados por 
STMicroelectronics que también ahorran la energía que se pierde durante la conmutación, 
estos son especialmente útiles en convertidores de energía solar; así como en fuentes de 
alimentación para sistemas de telecomunicación que operan continuamente [18]. Se espera 
que el SiC tenga algunas ventajas sobre el silicio en nanoestructuras a causa de sus 
extraordinarias propiedades físicas, como ancho de banda grande, elevada rigidez y dureza, 
alta conductividad térmica y su elevado punto de fusión [M.Durandurdu, 2006]. 
En la Figura 1(a) se muestra la forma tetraédrica que adopta el carburo de silicio 
cúbico en bulto, la misma estructura del diamante, por lo que es casi tan duro como éste. 
 
 4 
La base de su celda unitaria está compuesta por dos tipos de átomos: silicio y carbono, cada 
átomo de Si está rodeado de cuatro átomos de carbono y viceversa. 
El carburo de silicio puede cristalizarse en diferentes estructuras llamadas politipos. 
Los diferentes politipos pueden ser vistos como una bicapa apilada que contiene átomos de 
silicio y carbono en posiciones alternadas, en la cual cada elemento es localizado 
exclusivamente en una de las dos subcapas. 
Cada átomo de C (o de Si) esta enlazado a tres átomos de Si (o de C) dentro de la 
misma bicapa y a un átomo de Si (o de C) en la bicapa adyacente. Al considerar la 
localización de los átomos de C (o de Si) dentro de la bicapa, estos forman una estructura 
hexagonal y el apilamiento se realiza a lo largo de la dirección normal, preservando los 
enlaces tetraédricos. La forma de apilar N bicapas sucesivas no es única, y las distintas 
secuencias de apilamiento dan un politipo NX-SiC, donde X se refiere a la red de Bravais 
resultante, la cual puede ser cúbica (C), hexagonal (H) o romboédrica (R), dando un total de 
más de 200 politipos distintos [Jepps, 1983]. Entre los politipos más comunes están 3C-
SiC, 4H-SiC y 6H-SiC. El politipo 4H-SiC (6H-SiC) se forma apilando bloques de dos 
(tres) bicapas de orientación idéntica, pero los bloques subsecuentes rotados 60° respecto a 
los demás. 3C-SiC es formado apilando bicapas con orientación idéntica (la única 
diferencia entre dos bicapas consecutivas es el desplazamiento lateral de la red) y la 
geometría atómica se repite cada tres bicapas (también es conocido como β-SiC). Es el 
único politipo posible con simetría cúbica y su estructura corresponde a un zincblenda. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1. a) Estructura tetraédrica del carburo de silicio cúbico. Izquierda: Átomo de 
C rodeado de cuatro átomos de Si. Derecha: Átomo de Si rodeado de cuatro átomos de C. b) 
Estructuras de los principales politipos de carburo de silicio [Ramsdell, 1945]. 
 
 
 5 
En el caso de los nanoalambres de carburo de silicio, cada átomo debe estar 
enlazado con cuatro vecinos cercanos, debido a la tetravalencia del carbono y del silicio. Y 
ya que los átomos de la superficie no completan los cuatro enlaces; dependiendo de la 
dirección de crecimiento pueden quedar con uno, dos o tres electrones no enlazados, cada 
electrón representa un enlace no saturado y provoca que esos sitios del nanoalambre sean 
muy reactivos. A esto se le conoce como enlaces sueltos y son un problema para lograr 
nanoalambres estables que no pierdan sus propiedades al interactuar con el ambiente. Para 
controlar esto, es necesario la presencia de átomos que “pasiven” la superficie. 
 
1.3 Estudios previos y aplicaciones de nanoalambres de SiC 
 
En trabajos previos ya se han calculado las propiedades de los nanoalambres de SiC 
usandola teoría del funcional de la densidad como en el trabajo de R. Rurali [Rurali, 
2005], donde muestra que los nanoalambres pasivados con hidrógeno actúan como 
semiconductores, ya que se evita la formación de estados de enlaces sueltos en la 
superficie. En ausencia de tal pasivación las facetas se reconstruyen fuertemente en busca 
de una configuración estable. Esta reordenación de los átomos de las facetas dan lugar a 
una metalización del alambre. Los estados metálicos son estados superficiales, por lo que la 
conducción es sostenida casi en su totalidad por las capas externas del alambre. Se espera 
que el ensanchamiento de la brecha de energética de los alambres pasivados con H dependa 
del diámetro. 
Zhenhai Wang [Wang, 2009] y sus colaboradores usando DFT y el código SIESTA 
en nanoalambres de SiC mostraron que la relajación superficial juega un papel importante 
en las propiedades energéticas y electrónicas de estas nanoestructuras. Para explicar la 
evolución energética de estas nanoestructuras, ellos definieron la energía de formación 
 como la diferencia de energía entre (por cada par de SiC) nanoalambres (nanotubos) 
de SiC con configuraciones configuradas y el SiC en bulto (2H-SiC). Esta energía de 
formación de nanoalambres disminuye con el aumento del radio del alambre. Los 
nanoalambres de SiC son semiconductores de banda indirecta con intervalos de banda más 
estrechos que los de los cristales de 2H-SiC, debido a los estados superficiales. Encontraron 
además que la hidrogenación superficial pasiva los estados superficiales de los 
nanoalambres, convirtiéndolos en semiconductores con una brecha de banda energética 
directa. La brecha de la banda energética de H-NWs (nanaoalambres pasivados 
superficialmente con hidrógeno) es más ancha que el del cristal de 2H-SiC y disminuyen 
con el aumento del radio del alambre. 
En 2006, Maxim A. Markeev, Deepak Srivastava y Madhu Menon investigaron de 
forma teórica las propiedades elásticas de nanoalambres de 3C-SiC con diferentes 
diámetros y cambios de estructuras causados por cargas externas. Encontraron que bajo el 
eje compresivo y la carga de tensión, el módulo elástico y los límites estructurales son 
independientes del diámetro. Aunque para la torsión no axial y la presión elástica tanto el 
módulo elástico como la deformación mecánica estructural se acercan al límite elástico que 
depende fuertemente del diámetro del nanoalambre [Markeev, 2006]. 
 
 6 
En otro estudio mediante dinámica molecular [Wang, 2008] del comportamiento 
nanomecánico de nanoalambres de β-SiC bajo tensión, compresión, tensión-torsión y 
compresión-torsión, obtuvieron como resultado que los nanoalambres a 300K incrementan 
el valor del módulo de Young con el diámetro y decrece con la temperatura, de forma 
teórica 
Se ha demostrado [Miranda, 2009a] que las propiedades electrónicas de los 
nanoalambres de SiC son sensibles a su morfología, así como al elemento o compuesto con 
el cual se pasiva su superficie. En particular, la estabilidad energética de los nanoalambres 
de SiC aumenta con la cantidad de átomos de flúor en su superficie y, por lo tanto, el 
nanoalambre de SiC totalmente hidrogenado es menos estable que su contraparte fluorada 
[Miranda, 2015]. Del mismo modo, la brecha de energía en los nanoalambres de SiC 
pasivados se puede modular variando la cobertura de superficie de flúor. Además, el tipo de 
brecha de energía electrónica cambia de directo a indirecto para revestimientos de flúor que 
superan el 16,66%, sin embargo esto podría deberse a efectos de confinamiento cuántico. 
Estos resultados sugieren que los nanoalambres de carburo de silicio con una mezcla de 
átomos de flúor e hidrogeno en su superficie podrían tener aplicaciones en nanoelectrónica. 
La geometría de los nanoalambres semiconductores los hace ideales para la 
detección de luz. Esto posibilita nuevas arquitecturas de detectores de luz para aplicaciones 
tales como: sensores, creación de imágenes, almacenamiento de memoria y otras 
aplicaciones a nanoescala [Clark, 2005]. 
Asimismo, los nanotubos de carburo de silicio podrían utilizarse como sensores de 
CO y HCN [Wu, 2008]. Cálculos de DFT sugieren que el CO y el HCN pueden ser 
absorbidos por nanotubos de carburo de silicio en sitios de la red correspondientes al 
átomo de Si, con energías de adsorción significativas y elevadas transferencias de carga, lo 
que podría inducir cambios medibles en la conductividad eléctrica de los nanotubos. 
Por otra parte, han sido desarrolladas dos técnicas para la fabricación de 
nanoalambres, una es la técnica de bottom-up (de abajo a arriba) y la top-down (de arriba a 
abajo). Dentro de las técnicas bottom-up se encuentra la síntesis de nanoalambres por 
medio de la técnica vapor-líquido-sólido (VLS), el crecimiento asistido por óxido (OAG) y 
el grabado químico asistido por metal. En general, el método bottom-up es una técnica de 
crecimiento o síntesis de materiales nanométricos que se consigue ensamblando átomos y 
moléculas utilizando, generalmente, procedimientos químicos, hasta llegar al conglomerado 
de moléculas de tamaño nanométrico deseado. Por otra parte, el enfoque top-down 
comienza a partir del material en bulto y se reduce al tamaño y forma deseados (por 
ejemplo, nanoalambres) usando un proceso de molienda o abrasión con un grado de 
intensidad variable, según sea el grado de disminución deseado. 
A continuación se describe uno de los procesos más usados para la síntesis de 
nanoalambres semiconductores, el método VLS. 
A mediados de los años sesentas se reportó por primera vez la síntesis de un 
nanoalambre de silicio a partir de compuestos de silicio en forma de vapor y usando un 
substrato de silicio recubierto con nanopartículas metálicas en estado líquido [Wagner, 
1964]. Por ejemplo, cuando se depositan átomos de Au sobre un sustrato de silicio, y este 
 
 7 
sustrato se calienta a temperaturas por encima de 363ºC, se formarán pequeñas gotas 
líquidas de aleación Au-Si sobre la superficie del sustrato. Al exponer dicho sustrato a un 
precursor de silicio gaseoso, tal como tetracloruro de silicona, , o silano, , este 
gas se descompone en vapor de silicio y se difunde a través de la gota de oro formando 
gotas de aleación oro-silicio. El suministro de silicio desde la fase gaseosa hace que la gota 
se sobresaturure con Si hasta que el éste se solidifica en la interfaz silicio/gota. La 
continuación de este proceso conduce al crecimiento de un alambre con la gotita de la 
aleación permaneciendo en la parte superior del alambre. En el método VLS, el oro puede 
ser depositado en el substrato de silicio primero y entonces el crecimiento de SiNWs es 
mejorado por deposición química de vapor (CVD) o por métodos de ablación láser (Figura 
2). 
El nombre del mecanismo VLS hace referencia, por supuesto, al hecho de que el 
silicio en forma de vapor pasa a través de una gota líquida y finalmente termina como un 
sólido. 
La característica más notable del mecanismo VLS es que funciona bien en una 
amplia gama de tamaños, desde cables de varios cientos de micrómetros de espesor hasta 
nanoalambres de sólo unos pocos nanómetros de diámetro [Dasgupta, 2014]. 
 
Figura 2. Síntesis de nanoalambres de silicio usando el método VLS [Jahwarhar, 
2013]. 
 
 
 8 
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO 
2.1 Teoría del Funcional de la Densidad 
 
La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT, por sus siglas en inglés) fue 
desarrollada como una m las dificultades matemáticas para resolver la ecuación de 
Schrödinger para muchos cuerpos. La base teórica de la DFT fue formulada por Hohenberg 
y Kohn en 1964, en la que mostraron que la energía es funcional de la densidad electrónica 
y proporcionaron una nueva manera de solucionar el hamiltoniano para varios cuerpos. 
En las siguientes páginas se planteará la problemática de desarrollar la ecuación de 
Schrödinger para varioscuerpos y así fundamentar la teoría de la densidad que se utilizará 
para el cálculo de las propiedades mecánicas y electrónicas de los nanoalambres 
semiconductores de carburo de silicio. 
 
2.1.1 Ecuación de Schrödinger 
 
Debido a la sugerencia hecha por Louis de De Broglie de que la luz manifestaba 
aspectos tanto de partícula como de onda electromagnética se podía esperar que la materia 
también manifestase ambos aspectos, es decir, una dualidad onda-partícula. Esto daba 
razones para suponer que si la luz tenía una ecuación de onda electromagnética y una 
ecuación diferencial de segundo orden, debía existir también una ecuación diferencial que 
representase esa dualidad de la materia. 
Fue el físico vienés Erwin Schrödinger quien la descubrió (1926) y en esta ecuación 
utilizaba diferenciales como operadores, actuando sobre una función de onda . Dicha 
función de onda es una manera de representar y determinar el estado físico cuántico de un 
sistema de partículas. 
 (2-1) 
dónde es el operador Hamiltoniano que describe el comportamiento del sistema. 
Para un sistema molecular de M núcleos y N electrones en la ausencia de campos 
eléctrico y magnético la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, 
no relativista, se escribe de la siguiente manera: 
 (2-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-3) 
Donde, A y B son los índices de los M núcleos mientras que i y j denotan los N 
electrones del sistema. 
 
 9 
Los primeros dos términos del Hamiltoniano de la ecuación (2-3) describen la 
energía cinética de los electrones y los núcleos respectivamente, siendo la masa de los 
núcleos en múltiplos de la masa de un electrón. 
Los siguientes tres términos describen la parte potencial del Hamiltoniano y 
representan la interacción electrostática atractiva entre el núcleo y los electrones y el 
potencial repulsivo debido a interacción electrón-electrón y núcleo-núcleo, 
respectivamente. 
La función de onda del i-ésimo estado del sistema 
depende de 3N coordenadas espaciales , N coordenadas tomando en cuenta el espín del 
electrón , de forma colectiva las coordenadas espaciales y las coordenadas de espín 
son llamados y de 3M coordenadas espaciales debido a los núcleos . La función 
de onda contiene toda la información que es posible conocer acerca del sistema 
cuántico. Finalmente, es el valor numérico de la energía del estado descrito por . 
La ecuación (2-2) es imposible de resolver analíticamente. Pero puede ser 
simplificada radicalmente si se considera las diferencias entre las masas del núcleo y los 
electrones. Debido a su gran masa (el núcleo es aproximadamente 1800 veces más 
pesado que un electrón) el núcleo se mueve mucho más lento que los electrones. 
De esto se deriva, que si se considera que el núcleo esta fijo en el espacio, su 
energía cinética es cero y la energía potencial debida a la repulsión de los núcleos es 
solamente una constante. Esta es la llamada aproximación Born-Oppenheimer [Born, 
1927]. 
En consecuencia, el Hamiltoniano dado en la ecuación (2-3) se reduce al llamado 
Hamiltoniano electrónico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-4) 
Al resolver la ecuación de Schrödinger con el Hamiltoniano electrónico se obtiene 
como solución la función de onda y la energía electrónica . depende de las 
coordenadas de los electrones, mientras que las coordenadas nucleares son solo un 
parámetro que no aparece de forma explícita. Por otro lado la energía total es la suma 
de y el término constante de la repulsión 
 
 
 
 
 
 
 (2-5) 
 
 (2-6) 
 
y 
 (2-7) 
En la ecuación (2-4) el término es el potencial atractivo ejercido sobre los 
electrones debido a los núcleos, también llamado el potencial externo, . En la teoría del 
 
 10 
funcional de la densidad, el potencial externo no está necesariamente limitado al campo 
nuclear y puede incluir campos magnéticos o eléctricos. 
 
2.1.2 Los teoremas de Hohenberg y Kohn 
 
Como hemos visto hasta ahora, si se conoce la función de onda del sistema cuántico 
es posible, en teoría, resolver la ecuación de Schrödinger y por lo tanto conocer toda la 
información del sistema. En 1927 Thomas y Fermi propusieron el primer modelo que usó 
a la densidad electrónica como cantidad central de estudio en lugar de la función de onda. 
Pero fueron Hohenberg y Kohn, en 1964, quienes dieron la base teórica que sustenta a la 
DFT a través dos teoremas [Hohenberg, 1964]. 
2.1.2.1 Primer teorema de Hohenberg y Kohn 
 
Citando directamente el artículo de Hohenberg y Kohn [Hohenberg, 1964], el 
primer teorema establece que: 
“El potencial externo es (salvo de una constante) un único funcional de 
 ; ya que, a su vez, fija a vemos que el estado base completo de muchas 
partículas es un funcional único de .” 
Esto implica que para una densidad electrónica dada, el potencial y la función de 
onda correspondiente están unívocamente determinados. La consecuencia directa de este 
teorema es que un solo un potencial y una función de onda están asociados a una densidad 
dada [ ], o en otras palabras, que la función de onda es funcional de la densidad electrónica 
y del potencial. 
La demostración de este teorema es por reducción al absurdo y consiste en suponer 
dos potenciales externos y diferentes por más que una constante los cuales se 
originan de una misma densidad electrónica asociada a estados no degenerados. 
De la ecuación (2-4) cada potencial corresponde a los Hamiltonianos 
 y . Estos dos Hamiltonianos dan lugar a 
dos diferentes funciones de ondas del estado base ´, cuyas energías correspondientes 
son E y E´. Debido a que la fórmula de la densidad electrónica está construida para 
funciones de onda cuadráticas, es decir, 
 
 , 
es posible que ambas funciones de onda den lugar a una misma densidad electrónica. 
Expresado de manera esquemática 
 ´ (2-8) 
 
 11 
Al hacer uso del principio variacional, donde es una función de onda de prueba 
de 
 
 (2-9) 
 
Si se expresa en cada uno de sus términos los Hamiltonianos 
 
 (2-10) 
 
Por otra parte, ahora es función de onda de prueba para ´, se tiene 
 
 (2-11) 
 
 (2-12) 
 
y de sumar las ecuaciones (2-10) y (2-12) se llega a que 
 
 (2-13) 
 
Esta última ecuación nos dice que no puede haber dos potenciales externos distintos 
por más de una constante que provengan de la misma densidad electrónica. De aquí, se 
concluye que la densidad del estado base unívocamente especifica al potencial externo y 
ésta contiene toda la información del sistema, resumiendo 
 
 (2-14) 
 
Como la energía del estado base es un funcional de la densidad, también lo son cada 
una de sus componentes 
 
 (2-15) 
 
La energía cinética de los electrones y el potencial repulsivo debido a la 
interacción electrón-electrón no dependen del sistema, a diferencia de la interacción 
atractiva núcleo-electrón que determina al sistema y el cual es un funcional universal y 
es conveniente renombrarlo como el funcional de Hohenberg-Kohn(2-16) 
 
 
 (2-17) 
 
 
 12 
Si se conoce este funcional se puede resolver de forma exacta la 
ecuación de Schrödinger, ahí radica su importancia, además de que dada su independencia 
del sistema se puede usar para cualquier sistema de cualquier tamaño. 
Como ya se mencionó anteriormente, el funcional contiene la energía 
cinética y la interacción electrón-electrón, pero la forma explícita de es 
completamente desconocida, mientras que puede ser descrita por la parte clásica 
de Coulomb y la contribución no-clásica, con todos los efectos de corrección de 
autointeracción, intercambio y correlación de Coulomb de la interacción electrón-electrón. 
 
 (2-18) 
 
Hasta aquí se ha visto que la densidad del estado base únicamente determinan al 
Hamiltoniano, con lo cual se tienen todas las propiedades del sistema de estudio. 
 
2.1.2.2 Segundo teorema de Hohenberg y Kohn 
 
Del teorema anterior, es suficiente conocer la densidad electrónica del estado base 
para conocer las propiedades de interés del sistema. Con este segundo teorema de 
Hohenberg-Kohn es posible saber si la densidad dada es realmente la densidad del estado 
base. 
El teorema dice que el funcional que proporciona la energía del estado base del 
sistema, entrega la menor energía si y solo si la densidad de entrada es la densidad del 
estado base [Hohenberg, 1964]. En otras palabras, éste funcional cumple el principio 
variacional, 
 
 (2-19) 
 
Con una densidad electrónica de prueba. Es decir, si se conoce de manera exacta 
el potencial con la cual la densidad electrónica, sea la densidad electrónica del estado base, 
se puede conocer la energía del estado base y de igual forma las funciones de onda del 
estado base. 
Como ya se mencionó anteriormente, la forma del funcional de Hohenberg y Kohn 
es desconocida de forma exacta, se da una aproximación de este y al ser el método 
variacional un método exacto, existe una falla en la que aparecen energías menores que la 
energía basal del sistema, por ello Kohn y Sham propusieron una forma de aproximar la 
energía cinética del sistema de estudio. 
 
 13 
2.1.3 Ecuaciones de Kohn y Sham 
 
Con los teoremas de Hohenberg y Kohn es posible hasta ahora dar una expresión 
para obtener las cantidades de interés del sistema de estudio en función de la densidad 
electrónica, pero no todo está dado hasta aquí, aun falta dar la forma del desconocido 
funcional universal. Fueron Kohn y Sham en 1965 [Kohn, 1965] quienes sugirieron una 
forma de solucionar esto. 
Ellos introdujeron el concepto de sistema de referencia no interactuante construido 
desde un conjunto de funciones de onda de un electrón, de forma tal que la parte más 
importante de la energía cinética sea computarizada con una buena precisión. 
Para entender como Kohn y Sham atacaron este problema se discutirá brevemente el 
esquema de Hartree-Fock. En este esquema la función de onda es un simple determinante 
de Slater construido para N orbitales de espín. Este determinante entra en el método 
Hartree-Fock como la aproximación de la función de onda verdadera de N electrones, o en 
otras palabras, puede ser visto como la función de onda exacta de un sistema ficticio de N 
electrones no interactuantes, es decir, ¨electrones¨ que se comportan como fermiones sin 
carga y por lo tanto no interactúan unos con otros vía repulsión Coulombiana, moviéndose 
en un potencial efectivo . 
La energía cinética para este tipo de función de onda se expresa de forma exacta 
como 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-20) 
 
Los orbitales de espín son elegidos tales que el valor esperado de la alcance su 
valor mínimo 
 
 
 (2-21) 
 
La conexión más importante con la teoría de la funcional de la densidad es que se 
puede explorar la expresión dada anteriormente para la energía cinética, la cual es válida 
para fermiones no interactuantes para computar la más importante fracción de la energía 
cinética del sistema de interés. 
Dado que la función de onda exacta para fermiones no interactuantes son 
determinates de Slater, es posible preparar un sistema de referencia no interactuante con un 
Hamiltoniano en el que se introduce un potencial efectivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-22) 
 
 
 14 
Este Hamiltoniano no contiene interacciones de electrón-electrón, describe un 
sistema no interactuante, por consecuencia la función de onda del estado base puede ser 
representada por un determinante de Slater también, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-23) 
 
donde los orbitales de espín son determinados por 
 
 (2-24) 
 
con el operador de un electrón de Kohn-Sham definido como 
 
 
 
 
 (2-25) 
 
Estas N ecuaciones determinan los mejores orbitales de espín para obtener el valor 
mínimo de . Además, tienen la apariencia de ecuaciones de eigenvalores, donde los 
multiplicadores de Langrange son los eigenvalores del operador 
 . Los tienen la 
interpretación física de las energías de orbital. 
La conexión de este sistema artificial con uno real de nuestro interés, es la relación 
del potencial efectivo , tal que la densidad resultante de la suma del módulo al cuadrado 
de los orbitales sea exactamente igual a la densidad basal del sistema real de 
electrones interactuantes 
 
 
 
 
 
 (2-26) 
 
En general, la energía cinética no interactuante no es igual a la energía cinética real 
del sistema interactuante, inclusive si tienen la misma densidad electrónica. Aunque no es 
posible determinar con precisión la energía cinética por medio de un funcional explícito, 
Kohn y Sham se dieron cuenta de que si se puede obtener una excelente aproximación a su 
valor real. 
Ellos propusieron también separar el funcional 
 
 , (2 -27) 
donde es la energía de intercambio y correlación, representa al funcional de energía 
cinética de electrones libres y es el funcional de Hartree. A continuación se abordará más 
a fondo este funcional. Y se define a través de la siguiente ecuación 
 
 
 15 
 (2-28) 
 
Esta energía de intercambio y correlación es el funcional que contiene todo lo que 
no se conoce, es decir, los efectos no clásicos de corrección de autointeracción, intercambio 
y correlación, las cuales son contribuciones de la energía potencial del sistema y una 
porción de la energía cinética. O visto de otra forma, este funcional contiene la diferencia 
entre la energía cinética del sistema real y la energía cinética del sistema ficticio de 
electrones no interactuantes, como también la diferencia de las energías potenciales de la 
interacción electrónica. es un funcional de por la relación entre los orbitales y la 
densidad, pero nótese que no se tiene una expresión simple donde entre explícitamente la 
densidad. 
Para usar este concepto primero se debe encontrar la forma de determinar 
únicamente los orbitales en el sistema de referencia no interactuante, es decir, como definir 
 tal que éste realmente provea un determinante de Slater, el cual esté caracterizado 
exactamente por la misma densidad del sistema real. 
Escribiendo la expresión de la energía del sistema real e interactuante en términos 
de la ecuación 2-20 y suponiendo que la densidad de carga del sistema de partículas 
independientes coincide con la del problema real (esto es, 
 
 , con la 
función de onda de cada electrón), tenemos la siguiente expresión, al desarrollar todos los 
términos, para la energía 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-29) 
 
Una vez que setiene la expresión para la energía en términos de al aplicar el 
segundo teorema de Hohenberg – Kohn, para este caso 
 
 
 , se tiene el siguiente 
sistema de ecuaciones de Schrödinger para N partículas independientes 
 , donde HKS es el hamiltoniano de Kohn y Sham [Kohn,, 1965] 
dado por 
 
 
 
 
 (2-30) 
 
con 
 
 
 y 
 
 
 
 
De esta manera, las que minimizan la energía satisfacen una ecuación de 
Schrödinger para una partícula en un potencial efectivo Veff dado por Veff=Vext+VHartree+VXC. 
El problema se ha reducido a resolver N ecuaciones de Schrödinger independientes. No 
obstante, aún queda el término 
 
 
 como desconocido. Nótese que si el funcional 
universal EXC fuera conocido, entonces la energía y la densidad del estado base del 
 
 16 
problema original podrían encontrarse resolviendo las ecuaciones de Kohn y Sham para 
partículas independientes. En la práctica solamente es posible utilizar aproximaciones de 
dicho funcional. 
Entonces el problema de la teoría del funcional de la densidad es un problema de 
autoconsistencia, en otras palabras, se propone una densidad de carga inicial en términos de 
funciones de onda de una sola partícula, la cual determina un potencial efectivo Veff. 
Después se resuelven las N ecuaciones de Kohn y Sham, para un solo electrón (en vez de 
resolver la ecuación para los N electrones) se obtiene un conjunto de N funciones de onda, 
las cuales a su vez proporcionan una nueva densidad de carga para realizar nuevamente el 
ciclo hasta que la densidad de carga de salida sea semejante a la de entrada, de acuerdo con 
un criterio de tolerancia y la forma esquemática de la solución es la siguiente [Sutton, 
1994]: 
 
 
 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3. Forma esquemática del algoritmo autoconsistente efectuado con la DFT. 
 
Proponer una ρ( r )[p. ej, 
superposición de densidades de carga 
atómica] 
Construir 
 
 
 
 
 
Construir 
 
 
 
Resolver las ecuaciones de Kohn y 
Sham 
 
 
 
 
 
Construir 
 
¿Difiere ρ( r) de salida de ρ( r) de 
entrada en menos del criterio de 
tolerancia? 
Sí 
FIN 
No 
 
 18 
2.1.4 Aproximación del funcional de intercambio y correlación 
 
Dentro del formalismo de Kohn-Sham es posible obtener la mayor parte de la 
energía cinética del sistema. La parte restante (desconocida) es agrupada dentro del 
funcional de intercambio y correlación . Este incluye la porción no clásica de la 
interacción electrón-electrón junto con la corrección de la autointeracción y los 
componentes de la energía cinética no cubierta por el sistema de referencia no 
interactuante. La forma explícita de este funcional exacto es un misterio, la calidad de la 
aproximación del funcional de la densidad depende solamente de la precisión de la 
aproximación elegida para . Entonces, la búsqueda del mejor o los mejores funcionales 
es el corazón de la teoría del funcional de la densidad [Koch, 2001]. 
Este funcional usualmente se descompone en dos partes 
 (2-31) 
donde es la energía de intercambio debida al principio de exclusión de Pauli y es la 
energía de correlación. 
La aproximación más simple para el funcional de intercambio y correlación es la 
aproximación de la densidad local LDA (Local Density Approximation, por sus siglas en 
inglés) en el cual se simula el sistema de un gas de electrones homogéneo. Con esta 
aproximación se requiere conocer la densidad electrónica en cada punto, sin embargo, los 
sistemas reales cuentan con una gran inhomogeneidad y con ello variaciones de . Por 
esta razón se extendió la LDA y una de las más conocidas es la aproximación de gradiente 
generalizado GGA (Generalized Gradient Approximation) la cual se basa en calcular 
considerando una variación continua de la densidad de carga entre distintas densidades. En 
este aspecto es superior a LDA, dado que no considera a la densidad de carga como 
constante en las diversas regiones del espacio. Así pues, se tiene que 
 
 
 
 
 (2-32) 
 
Esto es, el potencial de intercambio y correlación depende no sólo de la densidad 
electrónica, sino también de la variación de dicha densidad. 
 
 (2-33) 
El potencial efectivo de Kohn-Sham Veff no contiene ninguna referencia al espín de 
los electrones. Para un número par de electrones, los orbitales de KS están degenerados 
donde la parte espacial es compartida por la función de espín α y β (↑,↓), aún si se trata de 
un sistema en donde el número de electrones con espín α difiere al número de electrones 
con β, la variable relevante es 
 (2-34) 
 
 19 
La energía es funcional de las densidades de espín individuales sólo si el potencial 
efectivo Veff contiene partes que dependen del espín. Aquí es en donde, aproximaciones 
para que dependen sólo de no son aptos para casos en que no hay un 
apareamiento completo de espines (hay capas abiertas). Para ello se emplean funcionales 
que dependen de las densidades de espín 
 
 (2-35) 
Asimismo, en la práctica, 
 usualmente se divide en dos contribuciones 
 
 
 
 y se hacen aproximaciones para los dos términos de forma 
separada. Diferentes expresiones para GGA surgen de la forma que se utilice para la 
función f de la ecuación (2-35). Las aproximaciones que se usan típicamente en química 
cuántica provienen de ajustar ciertos parámetros a un conjunto de moléculas de prueba. 
Mientras que en física se hace énfasis en constricciones tales como el escalamiento 
obtenido por Levy y Perdew [Levy, 1985]. 
El que se utilizó para este trabajo fue el de Perdew-Burke-Ernzerhof (abreviado 
PBE). Se escogió GGA para este trabajo debido a que se ha observado que la aproximación 
que brinda es especialmente útil para metales de transición [Perdew, 1996]. 
 
2.1.5 Bases 
Una vez que ya se ha escogido una aproximación para el funcional de intercambio y 
correlación, ahora tenemos que resolver numéricamente las ecuaciones de Kohn-Sham para 
N electrones independientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2-26) 
 
Estas ecuaciones representan un sistema de ecuaciones acopladas 
integrodiferenciales (el operador de la energía cinética es un operador diferencial, mientras 
que la contribución de Coulomb está expresada a través de un operador integral) y se 
necesita encontrar una forma computacionalmente eficiente para resolver estás ecuaciones. 
La forma eficiente de resolver dichas ecuaciones computacionalmente es mediante el uso 
de una base. 
Los orbitales Kohn-Sham (KS) {ψi} expandidos en una base de L funciones se 
expresan como: 
 
 
 (2-27) 
 
 
 20 
Para que la expresión anterior sea exacta se debe usar una base completa en donde 
L =∞. En la práctica el número de funciones que se utiliza es finito por lo que es importante 
que el conjunto escogido sea tal que proporcione una buena aproximación a los orbitales 
KS. 
El método de Combinación Lineal de Orbitales Atómicos (LCAO, por sus siglas en 
inglés) es la aproximación que más se utiliza para la expansión de las funciones de onda en 
la búsqueda de la solución a las ecuaciones de Kohn y Sham. En particular, para este 
trabajo el programa SIESTA utiliza la forma de expansión propuesta por Sankey y 
Niklewski [Sankey, 1989]. En este método se sugiere la expansión de la función de onda en 
pseudorbitales atómicos (PAO’s). Utilizando el pseudopotencial (esta aproximación se 
tratará en la sección siguiente),se obtienen los pseudorbitales atómicos de los electrones de 
valencia para un átomo en el estado base. El método de Sankey y Niklewski impone, 
además, que estos pseudo-orbitales atómicos sean de corto alcance, es decir, que se anulen 
fuera de cierto radio de corte, lo que se traduce en una reducción considerable de los 
cálculos involucrados. Así pues, la aproximación consiste en que los elementos de matriz 
correspondientes a orbitales alejados entre sí serán nulos. 
Cabe mencionar que otros programas utilizan orbitales gaussianos (GTO) los cuales 
tienen la forma 
 
 
 (2-28) 
donde N es un el factor de normalización, α determina el grado de decaimiento de la 
función y L = l + m + n se utiliza para clasificar los orbitales como tipo-s (L = 0), tipo-p (L 
= 1), tipo-d (L = 2),etc. El uso de esta base está motivado por la existencia de algoritmos 
muy eficientes para calcular analíticamente las integrales para el término de Coulomb y el 
de Hartree Fock lo cual proporciona una ventaja computacional. 
Otro tipo de bases son los orbitales de Slater (STO), que simulan las eigenfunciones 
exactas del átomo de hidrógeno. A diferencia de GTO, éstas tienen derivadas discontinuas 
cuando r → 0 y decaen exponencialmente cuando r →∞. Estas funciónes se expresan 
como: 
 (2-29) 
donde n corresponde al número cuántico principal, el exponente del orbital está en términos 
de ζ y Ylm son los armónicos esféricos que describen la parte angular. 
La elección más sencilla de una base consiste en utilizar sólo una función para cada 
orbital atómico, el siguiente nivel es tomar dos funciones para cada orbital (doble-zeta). En 
la mayoría de las aplicaciones estas bases se aumentan con funciones de polarización, las 
cuales son funciones de mayor momento angular que las ocupadas por los electrones del 
átomo (por ejemplo, funciones tipo-p para el átomo de hidrógeno). Éstas, por definición, 
tienen más nodos angulares que los ocupados y con ello se asegura que los orbitales puedan 
distorsionarse de la simetría atómica original y puedan adaptarse mejor al entorno 
molecular. 
 
 21 
A la hora de formar enlaces, los cambios en la función electrónica de los átomos 
ocurren en los electrones de valencia que son los más externos, así que para no hacer tan 
extensas las bases, se suelen tomar un conjunto mínimo de funciones como base para los 
electrones internos o de coraza (bases single-ζ) y funciones doble-ζ para los orbitales de 
valencia, a estos conjuntos se les denomina Split Valence. 
 
2.1.6 Pseudopotenciales 
Se acostumbra hacer una aproximación más, dentro del formalismo de la teoría del 
funcional de la densidad para facilitar la solución, la cual está basada en la observación de 
que el potencial externo o iónico se escribe como la suma del potencial electrostático de 
interacción de los electrones con los núcleos y un potencial modelo que reemplaza la 
interacción con los electrones de coraza, llamado pseudopotencial. En otras palabras, los 
electrones centrales en general no son afectados por el entorno químico del átomo. Esto 
representa un ahorro considerable en el tiempo de cómputo con respecto a los cálculos “all 
electron”. 
El uso de los pseudopotenciales es justificado físicamente porque los electrones 
cercanos al núcleo no participan en los enlaces químicos (también se puede interpretar 
como que las funciones de onda de estos electrones no cambian el ambiente químico al que 
se expone el material). 
Para generar estos pseudopotenciales se hacen de cálculos “all electron” para el 
estado base y algunos estados excitados de un determinado átomo con una forma dada del 
potencial de intercambio y correlación. Se obtiene un conjunto de eigenfunciones y 
eigenvalores para los electrones de valencia del átomo. Por otra parte, los parámetros de 
este pseudopotencial son ajustados de tal forma que, en un cálculo en el que se utilice dicho 
pseudopotencial se conserve la norma, es decir, las pseudofunciones de onda de los 
electrones de valencia y sus magnitudes (densidad de carga) deben coincidir con las 
eigenfunciones de onda reales fuera de un radio de corte y los pseudoeigenvalores deberán 
coincidir con los eigenvalores reales. 
El programa SIESTA utiliza como método de generación de pseudopotenciales el 
propuesto por Troullier y Martins [Troullier, 1991]. 
 
 
 22 
 
2.1.7 Fuerzas interatómicas 
En cuanto a la minimización de la energía de una estructura (relajación de la geometría), es 
necesario cambiar la posición de los núcleos para encontrar la geometría donde las fuerzas 
que actúan sobre cada uno de los átomos sean menores a un cierto valor umbral. Para ello, 
se realiza una minimización de la energía probando las direcciones preferentes en la 
búsqueda del mínimo por medio de la técnica de Gradiente Conjugado (CG) [Payne, 2003]. 
Las fuerzas en cuestión se calculan a partir del teorema de Hellmann-Feynman [Martin, 
2004] 
 
 
 
 (2-30) 
donde ET es la energía total y Ri es la posición del i-ésimo núcleo. Las nuevas condiciones 
iniciales (en el siguiente movimiento CG) para las ecuaciones de Kohn y Sham estarán 
dadas por las coordenadas obtenidas tras la minimización. Así pues, se hará 
autoconsistencia para dichas nuevas coordenadas, y todo este ciclo ha de repetirse hasta que 
las fuerzas interatómicas estén debajo del valor propuesto (esto es, alrededor de un mínimo 
energético que corresponde a que la estructura se encuentre relajada). 
 
2.1.8 Gradiente Conjugado 
La técnica de gradiente conjugado proporciona un procedimiento sencillo y eficaz 
para la implementación de este enfoque de minimización. Dado que las minimizaciones a lo 
largo de las direcciones conjugadas son independientes, la dimensionalidad del espacio 
vectorial explorado en la técnica de gradiente conjugado se reduce en 1 en cada iteración. 
Cuando la dimensionalidad del espacio de funciones se ha reducido a cero, no hay 
direcciones a la izquierda en las que minimizar la función, por lo que el vector de prueba 
debe estar en las posiciones del mínimo. Por lo tanto, la localización exacta del mínimo de 
la función cuadrática se encontrará, es decir, en un número de iteraciones que es igual a la 
dimensionalidad del espacio vectorial. En la práctica, sin embargo, normalmente es posible 
realizar los cálculos si se requieren menos iteraciones para localizar el mínimo. 
En la técnica de gradiente conjugado se genera la dirección de búsqueda utilizando 
información sobre la función obtenida de todos los puntos de muestreo a lo largo de la 
trayectoria de los gradientes conjugados. 
La técnica de gradiente conjugado proporciona un método eficaz para localizar el 
mínimo de una función general. Esto sugiere que debería ser una buena técnica para 
localizar el mínimo de la energía del funcional de Kohn-Sham. Sin embargo, es importante 
implementar la técnica de los gradientes conjugados de tal manera que maximice la 
velocidad computacional, de modo que cada iteración del método no sea significativamente 
más costosa que la técnica alternativa y minimice el requisito de memoria para que los 
cálculos no sean limitados por la memoria disponible. 
 
 
 23 
 
2.2 Código SIESTA 
En la presente tesis, como ya se mencionó se hizo uso del programa computacional 
SIESTA (Spanish Iniciative for Electronic Simulations of Thousands of Atoms) [Soler, 
2002] la cual hace uso de la teoría del funcional de la densidad para realizar cálculos de 
propiedades estructurales, electrónicas y vibracionales de moléculas y sólidos. La principal 
característica del programa es que resuelve las ecuaciones de Kohn-Sham expandiendo las 
funciones de onda en una base de orbitales atómicos (LCAO) numéricos localizados. Para 
calcular los potenciales de Hartree, de intercambio y correlación y los elementos de matriz 
se proyectan estas funciones y la densidad electrónica en unamalla en el espacio real. 
Un cálculo con DFT conlleva básicamente tres tipos de aproximaciones. La primera 
es conceptual y se refiere a la interpretación física que se le da a los eigenvalores y a los 
orbitales de Kohn-Sham. El segundo tipo de aproximación involucra una expresión para el 
funcional , el cual contiene todos los aspectos del problema de muchos cuerpos, para 
lo cual se eligió la aproximación del gradiente generalizado (GGA) en la parametrización 
de Perdew, Burke y Ernzerhof (PBE). Finalmente la tercera aproximación es numérica y se 
refiere al método de resolver las ecuaciones diferenciales de KS, para lo cual, como vimos 
en el capítulo anterior se puede seleccionar un conjunto de funciones base. De manera 
general, el algoritmo autoconsistente para resolver un problema con DFT se esquematiza en 
la Figura 3. 
En este trabajo se modelaron nanoalambres de SiC crecidos a lo largo de la 
dirección [001] usando la estructura cristalina del 3C-SiC (ver Figura1). Estos 
nanoalambres fueron estructuralmente relajados con un procedimiento de gradiente 
conjugado, usando las fuerzas obtenidas a partir de cálculos de DFT dentro de la 
aproximación de gradiente generalizado (GGA). En particular, la parametrización de 
Perdew-Burke-Ernzerhof [Perdew, 1996] fue usada para calcular la energía de intercambio 
y correlación. Los cálculos de DFT fueron ejecutados con el código SIESTA [Soler, 2002] 
con pseudopotenciales que conservan la norma tipo Troullier-Martins [Troullier, 1991]. En 
los cálculos de DFT, una combinación lineal flexible de un conjunto de base de orbitales 
atómicos numéricos doble-ζ con funciones de polarización (DZP) fueron usados para la 
descripción de los electrones de valencia. Pseudopotenciales no locales fueron empleados 
para los núcleos atómicos. La primera zona de Brillouin fue mapeada usando una malla de 
1×1×24 puntos k, siguiendo el esquema de Monkhorst-Pack [Monkhorst, 1976]. 
Todas las estructuras fueron relajadas hasta que las fuerzas de Hellmann-Feynman 
en cada átomo fueran menores a 0.02 eV/Å. Las fuerzas se calculan a partir del teorema de 
Hellmann-Feyman [Hellmann, 1937], [Feyman, 1939]: 
 
 
 
 
 
 24 
CAPÍTULO 3: RESULTADOS 
 
3.1 Estructura de nanoalambres de carburo de silicio pasivados con 
hidrógeno y flúor 
 
Una vez exhibidas las bases teóricas que fundamentan este trabajo, en este capítulo 
se presentarán los resultados obtenidos del modelaje y simulación de las propiedades 
mecánicas y electrónicas de nanoalambres semiconductores de carburo de silicio. 
A partir de un cristal de carburo de silicio cúbico se construyeron nanoalambres con 
secciones transversales cuadradas perpendiculares a la dirección cristalográfica [001] y con 
cinco diferentes diámetros (ver Figura 4). Se consideró que el centro de la sección 
transversal del nanoalambre podría ser Si ó C, y también se consideraron dos tipos de 
saturadores superficiales, hidrogeno y flúor. De esta forma, para cada diámetro se tienen 
cuatro nanoalambres distintos, cuyas propiedades mecánicas y electrónicas serán estudiadas 
a continuación. En todos los casos se consideró que el nanoalambre es infinito en la 
dirección [001]. 
 
 
Estructura 
 
 
 
 
 
Radio (Å) 2.94 4.72 6.5050 8.28 10.05 
 4 12 24 40 60 
 5 13 25 41 61 
 12 20 28 36 44 
 
 Figura 4. Secciones transversales de los nanoalambres de SiC con centro de Si y 5 
diferentes diámetros pasivados superficialmente con H. Las esferas blancas, grises y verdes 
representan a los átomos de hidrógeno, carbón y silicio, respectivamente. 
 
 25 
 
 
 
 Figura 5. Secciones transversales de los nanoalambres de SiC con centro de C y 5 diferentes 
diámetros pasivados superficialmente con F. Las esferas azules, grises y verdes representan a los 
átomos de flúor, carbón y silicio, respectivamente. 
 
 
 
3.1.1 Estabilidad energética 
 
La energía de cohesión por átomo de cada nanoalambre de carburo de silicio 
( está dado por 
 
 
 
 
 (3-1) 
 
donde es la energía total de cada nanoalambre, es la energía total de un átomo 
aislado de la especie M y es el número de átomos de la especie M en la celda unitaria 
de nanoalambre. 
 
Por otra parte, la estabilidad energética relativa de los diferentes SiCNW puede 
obtenerse a partir de la energía libre de formación de Gibbs ( ), la cual puede ser 
calculada por [Dumitrica, 2004] 
 
 (3-2) 
 
Estructura 
 
 
 
 
Radio (Å) 2.85 4.66 6.45 8.24 10.03 
 5 13 25 41 61 
 4 12 24 40 60 
 12 20 28 36 44 
 
 26 
Como ya se definió previamente, es la energía de cohesión por átomo del 
nanoalambre pasivado, y son las energía de cohesión por átomo del diamante en 
bulto y el silicio en bulto, respectivamente, mientras que y son las energías de 
cohesión por átomo de las moléculas de y . Todas estas energías fueron calculadas 
con el mismo nivel de teoría de DFT. Aquí 
 
 
 denota la fracción molar de los 
átomos de especie M (M = C, Si, H, F) y siempre satisface . Está definición de 
 permite una comparación directa de la estabilidad energética entre los SiCNW con 
diferentes composiciones químicas. Un valor menor (más negativo) de indica que el 
sistema tiene una estabilidad relativa mayor que otro sistemas con un valor de mayor. 
Cabe mencionar que para nanoalambres con diferentes composiciones químicas, la energía 
de cohesión es menos adecuada que para comparar la estabilidad relativa [Miranda, 
2016]. 
 
1 2 3 4 5
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
 
 
 H-SiCNW (C)
 F-SiCNW (C)
 H-SiCNW (Si)
 F-SiCNW (Si)
E
S
iC
N
W
 (
e
V
)
Tipo de nanoalambre
 
Figura 6. Energías de cohesión por átomo ( ) de los nanoalambres de SiC 
pasivados estudiados como función del radio (R). 
 
 
 
 
 
 
 27 
1 2 3 4 5
-1.6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
 
 
 H-SiCNW (C)
 F-SiCNW (C)
 H-SiCNW (Si)
 F-SiCNW (Si)

G
 (
e
V
)
Tipo de nanoalambre
 
 Figura 7. Energía libre de formación de Gibbs (δG) de los nanoalambres de SiC 
pasivados estudiados como función del radio (R). 
 
Las Figuras 6 y 7 muestran respectivamente, la energía de cohesión por átomo ( y 
la energía de formación de Gibbs ( ) como función del tamaño (diámetro) de los 
nanoalambres considerados. Nótese en la Figura 6 que, como es de esperarse 
aumenta al crecer el tamaño del sistema. Asimismo, para un tamaño dado, es mayor 
para los nanoalambres pasivados con flúor que para los pasivados con hidrógeno. La 
energía libre de formación de Gibbs (δG) (Figura 7) también indica que, para un diámetro 
dado, los nanoalambres fluorinados son más estables que los hidrogenados. Más aún, δG es 
independiente del tamaño para los nanoalambres hidrogenados, mientras que para los 
fluorinados disminuye ligeramente con el tamaño. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
3.2 Propiedades mecánicas 
 
Una de las propiedades que hace al SiC una opción atractiva para una variedad de 
aplicaciones es su estabilidad mecánica y su dureza alcanza en la escala de Mohs de 9 a 9.5, 
casi tan duro como el diamante. Tales características podrían representar un factor 
importante si los alambres se van a usar como conmutadores o contactos. Para estudiar la 
rigidez mecánica de los nanoalambres de SiC y cómo influye la pasivación superficial, 
hemos calculado el módulo de Young y el coeficiente de Poisson. Estas cantidades físicas 
representan, respectivamente, la elasticidad longitudinal y la deformación transversal en 
respuesta a una tensión longitudinal dada. 
El módulo de Young (Y) es la relación entre la tensión ejercida sobre un área de la 
sección transversal del sistema y la deformación unitaria, entendida como la relación entre 
el cambio de longitud con respecto a la longitud inicial, en la dirección perpendiculara la 
sección transversal considerada. Físicamente, el módulo de Young representa la rigidez 
(resistencia a la deformación) de un material a una carga impuesta y tiene las mismas 
unidades que el esfuerzo (unidades de presión). Gráficamente se interpreta como la 
pendiente de una recta en un diagrama tensión-deformación en la región donde el esfuerzo 
no exceda de un valor máximo denominado límite elástico. Y puede calcularse como 
[Salazar, 2012]: 
 
 
 
 
 
 
 
 … (3-3) 
donde E es la energía total del sistema, V es el volumen en equilibrio y es la 
elongación axial, siendo el cambio en la longitud de equilibrio L del nanoalambre. En 
general, los cálculos de primeros principios se realizan tomando una celda unitaria del 
nanoalambre y usando las condiciones de frontera periódicas en la geometría de la 
supercelda con separación lateral suficiente de 16Å entre los alambres vecinos para simular 
un nanoalambre aislado, con longitud infinita. Entonces el nanoalambre es sometido a una 
tensión a lo largo de la dirección axial. Para cada tensión la posición de todos los átomos en 
la supercelda son relajados completamente sin restricción, usando la técnica de 
minimización de gradiente conjugado. De estos cálculos obtenemos la energía total (E) y el 
cambio en la longitud de la celda unitaria ( ) del nanoalambre como función de la tensión 
axial impuesta. Dentro del límite elástico podemos ajustar un polinomio de segundo grado 
 , como se muestra en la figura 5, a partir del cual se puede calcular el módulo de 
Young usando la Ec. 3-3. 
 
 29 
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-1519.32
-1519.30
-1519.28
-1519.26
-1519.24
-1519.22
-1519.20
 
 
 Ajuste polinomial de la energia 
 E = 45.18921
2
-0.00554-1519.31657
E
 (
e
V
)

 
Figura 8. Gráfica típica de energía (E) versus deformación (ɛ) para un nanoalambre de SiC 
recubierto con hidrógeno sometido a distintas presiones simuladas por medio del programa SIESTA 
(cuadrados negros) con un radio de 2.85Å (a un esfuerzo nulo). Se muestra el ajuste con un 
polinomio de segundo grado (línea continua) utilizado para calcular el módulo de Young. En todos 
los casos, la máxima deformación considerada, debido al esfuerzo aplicado, es menor a 5%, para 
garantizar que se está dentro de la región elástica. 
 
 
 
 
 30 
3 4 5 6 7 8 9 10 11
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
 
 
 H-SiCNW (C)
 F-SiCNW (C)
 H-SiCNW (Si)
 F-SiCNW (Si)
Y
 (
G
P
a
)
R (Angstrom)
 
Figura 9. Módulo de Young (Y) en función del radio (R) para nanoalambres de 3C-SiC 
pasivados con hidrógeno (círculos) y flúor (cuadrados); con centros de carbono (símbolos rellenos) 
y centros de silicio (símbolos abiertos), crecidos en la dirección cristalográfica [001]. Cabe 
mencionar que el valor experimental del módulo de Young del 3C-SiC en bulto se ha estimado en 
378 GPa [Gust, 1973]. 
Este procedimiento se llevó a cabo para cada uno de los 20 nanoalambres de 3C-SiC 
estudiados en este trabajo. 
La Figura 6 muestra el módulo de Young en función del radio para nanoalambres de 
3C-SiC pasivados con hidrógeno (círculos) y flúor (cuadrados), con centros de carbón 
(símbolos rellenos) y centros de silicio (símbolos abiertos) crecidos en la dirección 
cristalográfica [001]. Se observa que, en primer lugar, el módulo de Young crece conforme 
el diámetro del nanoalambre aumenta. Asimismo, para un diámetro dado los nanoalambres 
recubiertos con flúor tienen un módulo de Young mayor que el de los nanoalambres 
recubiertos con hidrógeno y esta diferencia se acentúa conforme el diámetro del 
nanoalambre aumenta. Finalmente, también se observa que, para un diámetro y pasivación 
superficial dadas, el módulo de Young depende muy poco del átomo que se encuentra en el 
centro de la sección transversal (Si ó C). 
 
 31 
Cabe mencionar que en estudios previos, se había demostrado que los nanoalambres 
pasivados con flúor son más estables que sus contrapartes recubiertas con hidrógeno 
[Miranda, 2015]. En consecuencia, la diferencia que presentó el valor del módulo de Young 
por el tipo de recubrimiento puede atribuirse a que el flúor hace al nanoalambre más estable 
que uno recubierto de hidrógeno ya que los enlaces Si-F y C-F son más fuertes que los Si-H 
y C-H, es decir, las energías de enlace son más grandes. En otras palabras, los 
nanoalambres recubiertos con flúor pueden ser sometidos a mayores tensiones que los 
recubiertos con hidrógeno sin que se rompan. 
Además de la deformación de los materiales en la dirección de la fuerza aplicada, se 
puede observar otra propiedad notable en todos los materiales sólidos, es decir, que 
perpendicularmente a la fuerza aplicada axial ocurre una expansión o contracción lateral. 
En otras palabras, si se somete un cuerpo sólido a una tensión axial, se contrae 
lateralmente; por otra parte, si se comprime, el cuerpo se ensanchará lateralmente. El 
coeficiente de Poisson () caracteriza este comportamiento y se define como el cociente 
entre la deformación de compresión (expansión) transversal y la de extensión (compresión) 
longitudinal en la dirección de la fuerza de estiramiento (compresión). De esta manera  
puede expresarse como: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 (3-4) 
 
donde R0 es el radio de equilibrio bajo tensión o compresión nula y R es el radio del 
nanoalambre cuando el esfuerzo axial es . El coeficiente de Poisson se calculó con las 
mismas configuraciones relajadas para diferentes tensiones axiales usadas para el cálculo 
del módulo de Young. Como ya mencionamos, todos los nanoalambres se relajaron para n 
diferentes tensiones longitudinales. Para cada deformación i se obtuvo un coeficiente de 
Poisson  
 y después promediamos estas n cantidades, es decir 
 
 
 
 
  
 
 (3-5) 
 
 
 
 
 
 
 32 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
 
 
 H-SiCNW (C)
 F-SiCNW (C)
 H-SiCNW (Si)
 F-SiCNW (Si)

R (Angstrom)
3C-SiC en bulto
 
Figura 10. Coeficiente de Poisson (ν) en función del radio (r) para los nanoalambres de 3C-
SiC pasivados con hidrógeno (círculos) y flúor (cuadrados), con centros de carbón (símbolos 
rellenos) y silicio (símbolos abiertos), crecidos en la dirección cristalográfica [001]. La línea 
punteada corresponde al valor teórico del coeficiente de Poisson del 3C-SiC en bulto [Gil, 2001]. 
 
 
Cabe señalar que el diámetro de los nanoalambres se obtuvo a partir de un promedio 
de las distancias de las coordenadas de los átomos del recubrimiento al centro axial. 
A diferencia del módulo de Young, el coeficiente de Poisson depende poco del 
radio del nanoalambre, aunque se observa un ligero crecimiento con el tamaño para radios 
mayores a 7Å. Sin embargo, otra vez observamos que, para un radio dado, los 
nanoalambres recubiertos de flúor tienen un coeficiente de Poisson mayor que el de los 
pasivados con hidrógeno. 
 
 33 
El hecho de que el coeficiente de Poisson sea mayor en los nanoalambres 
recubiertos con flúor significa que los nanoalambres se deforman más transversalmente sin 
romperse en comparación con los recubiertos con hidrógeno, debido que el recubrimiento 
de flúor hace a los nanoalambres más estables. 
En las Figuras 9 y 10 se observa una pequeña variación en los radios, en otras 
palabras, para los nanoalambres del primer tamaño con distinto recubrimiento, se observa 
una diferencia entre los radios de 0.1 Å aproximadamente. Esta diferencia se debe a que el 
tamaño del radio medio del hidrógeno es de 0.25Å, mientras que el radio medio del flúor es 
de 0.5Å. Esto hace que los nanoalambres recubiertos con flúor tengan un radio ligeramente 
mayor que los recubiertos con hidrógeno. Por otra parte, al tener diferente número de 
electrones de valencia los elementos pasivantes,el hidrógeno tiene 1 mientras que el flúor 
tiene 7 electrones de valencia, provoca que la interacción del elemento pasivante con el 
nanoalambre de 3-SiC sea distinta y conlleva al aumento o disminución del radio. 
En la Tabla 1 se muestran los datos obtenidos para las propiedades mecánicas de los 
diferentes nanoalambres considerados en esta tesis. 
 
Alambre Radio (Å) Recubrimiento Centro 
Módulo de 
Young (GPa) 
Coeficiente 
de Poisson 
1 2.85174 H C 120.39 0.15558 
 3.0295 F 168.892 0.21033 
 2.94318 H Si 102.62 0.12797 
 3.09882 F 171.844 0.17671 
2 4.6606 H C 182.64 0.1504 
 4.8456 F 206.774 0.2221 
 4.7242 H Si 174.5 0.1431 
 4.9407 F 208.328 0.2606 
3 6.4558 H C 219.23 0.15896 
 6.6444 F 244.423 0.21524 
 6.49518 H Si 213.77 0.15879 
 6.67398 F 251.403 0.22415 
4 8.23743 H C 241.31 0.16196 
 8.439403 F 255.394 0.21924 
 8.27514 H Si 238.47 0.17129 
 8.46195 F 265.758 0.2194 
5 10.03157 H C 258.21 0.17732 
 10.23382 F 294.112 0.22402 
 10.05207 H Si 256.52 0.17633 
 10.25316 F 283.686 0.23338 
 
Tabla 1. Propiedades mecánicas de los diferentes nanoalambres de 3C-SiC considerados en 
esta tesis. 
 
 
 34 
3.3 Propiedades electrónicas 
 
El comportamiento electrónico de los semiconductores está dominado por las 
bandas de valencia y de conducción así como por la brecha de energía prohibida. La banda 
de valencia se forma a partir de los estados de los electrones de valencia, los cuales 
contribuyen a los enlaces covalentes que mantienen a los átomos juntos en el cristal. A 
temperatura de 0K, esta banda de energía está llena de electrones, mientras que la banda 
conducción está completamente vacía. A temperaturas diferentes de cero, algunos 
electrones de la banda de valencia pueden ocupar estados en la banda de conducción, 
dejando estados vacíos o huecos en la banda de valencia. Bajo la acción de un campo 
eléctrico externo, tanto los electrones en la banda de conducción como los huecos en la 
banda de valencia pueden conducir corriente eléctrica. 
Cuando el momento cristalino (k) correspondiente a la energía más alta de la banda 
de valencia no coincide con el momento cristalino con la energía más baja de la banda de 
conducción, se dice que el sistema tiene una brecha de la banda de energía indirecta. Una 
de las consecuencias de este tipo de banda es que la energía que el electrón gana para 
acceder a la banda de conducción no será transformada de forma eficiente en energía 
radiactiva, sino que será absorbida por la red de átomos y se podrá observar en forma de 
calor en el material. Por otra parte, cuando se tiene una brecha de la banda de energía 
directa, los electrones con la energía adecuada se pueden mover hacia donde se desee, es 
decir, el proceso de transferencia de energía es muy eficiente, no habrá calentamiento y es 
eficiente la transformación de la energía absorbida en energía emitida. 
 
 
Figura 11. Esquema típico de una brecha de energía (Eg) (a) directa e (b) indirecta 
[Ramos, 2012]. 
 
Las bandas electrónicas de los nanoalambres de 3C-SiC pasivados bajo tensión 
nula, tanto con recubrimiento de hidrógeno como de flúor, se obtuvieron a partir de los 
cálculos de DFT. Los paneles izquierdos de las Figuras 9, 10, 11 y 12 muestran las 
estructuras de bandas electrónicas de los diferentes nanoalambres estudiados en este trabajo 
a lo largo de la trayectoria Γ – Z, donde Z=(0,0,/c) se encuentra en la dirección de 
crecimiento axial del nanoalambre y c es la longitud de la celda unitaria del nanoalambre. 
 
 35 
Los paneles derechos de estas figuras muestran las correspondientes densidades de estados 
electrónicos. 
Se observa que, en general, para los nanoalambres recubiertos de flúor, los átomos 
de flúor tienen una mayor contribución en la banda de valencia mientras que los estados de 
la banda de conducción están dominados por los estados electrónicos del silicio. Por otra 
parte, para los nanoalambres recubiertos de hidrógeno los estados electrónicos de la banda 
de valencia provienen tanto de los átomos de silicio como de carbono, mientras que los 
estados electrónicos del silicio dominan la banda de conducción. Este comportamiento no 
depende del tipo de átomo que ocupa el eje central del nanoalambre. 
Por otra parte, el tipo de brecha de energía (directa o indirecta) puede depender 
tanto del recubrimiento como del diámetro del nanoalambre. En particular, para todos los 
nanoalambres recubiertos de hidrógeno la brecha de energía siempre es directa mientras 
que para los recubiertos con flúor se presentan ambos tipos de brecha de energía. Los 
nanoalambres de SiC con brecha de energía directa son candidatos prometedores para 
aplicaciones de la optoelectrónica, tales como dispositivos emisores de luz y fotodetectores. 
La longitud de onda de la luz emitida o detectada se puede sintonizar a través de la elección 
del ancho del diámetro y/o composición del nanoalambre. 
 
 
 
 36 
 
Figura 12. Estructuras de bandas electrónicas (panel izquierdo) y densidades de estados 
electrónicos (parciales y totales) de nanoalambres de SiC con centro de C, recubrimiento de hidrógeno 
y radios (de arriba hacia abajo) r = 2.85Å, 4.66Å, 6.46Å, 8.24Å y 10.03Å. La letra D (I) indica que la 
brecha es de tipo directa (indirecta). 
4 
--Total 20 
2 --Si 
o D 
-- c 
-- H 
10 
o 
· 2 
·4 
~. ~ Oi ~,I 11 ~ 
4 
20 
2 
o D 
10 
·2 O ro 
::J 
·4 O U> 
4 c.. 
Q) 
2 
c.. 
c.. 
D ro 
ro 
~ 
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10 U> ...-
Q) 
W ·2 
c.. 
O 
U> -4 
~ 
e . 
Q) 
~ 
o D 
15 
-2 
-4 
-5 -4 -3 -2 -1 O 234 
E [e V] 
 
 37 
 
 
 
Figura 13. Estructuras de bandas electrónicas (panel izquierdo) y densidades de estados 
electrónicos (parciales y totales) de nanoalambres de SiC con centro de C, recubrimiento de flúor y 
radios (de arriba hacia abajo) r=3.03Å, 4.85Å, 6.64Å, 8.44Å y 10.23Å. La letra D (I) indica que la 
brecha es de tipo directa (indirecta). 
--Total 30 
-- S; 
-- c 
-- F 20 
10 
O 
4 
2 30 
1 
O 
O 
-2 ro 
:::J 
en 
-4 c.. 
4 ID 
60 c.. 
2 
:> 
~ O 
c.. 
40 
ro 
ro 
en ....... 
W 
-2 
20 ID c.. 
O 
-4 O 
en 
~ 
4 e 
ID 
2 60 ~ 
O 40 
-2 
75 
---
-2 ---~ 
-4 
= _ -C I 
r z 
E [e V] 
 
 38 
 
 
Figura 14. Estructuras de bandas electrónicas (panel izquierdo) y densidades de estados 
electrónicos (parciales y totales) de nanoalambres de SiC con centro de Si, recubrimiento de hidrógeno 
y radios (de arriba hacia abajo) r = 2.94Å, 4.72Å, 6.50Å, 8.28Å y 10.05Å. La letra D (I) indica que la 
brecha es de tipo directa (indirecta). 
 
4 
--Total 
15 
2 -- Si 
O D 
--c 
-- H 
10 
-2 
-4 
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5 
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4 
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O 
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2 Q) 
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-2 --==--===""" - -
- ====-----==- - - - - ---=-
- -
-4 - - - -
2 
O 
-2 
r z 
E [eV] 
 
 39 
 
Figura 15. Estructuras de bandas electrónicas (panel izquierdo) y densidades de estados 
electrónicos (parciales y totales) de nanoalambres de SiC con centro de Si, recubrimiento de flúor y 
radios (de arriba hacia abajo) r=3.10Å, 4.94Å, 6.67Å, 8.46Å y 10.25Å. La letra D (I) indica que la 
brecha es de tipo directa (indirecta). 
 
-Total 30 
- Si 
- c 20 
- F 
10 
-4 o 
4 
2 30 
O 20 
-2 10 
O 
-4 ro :::J 
4 en 
60 a.: 
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:> O 
Q) 
~ 
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30 ro 
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W -2 
-
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--- - =------= \l) a... 
75 O en 
~ 
60 e 
45 
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30 
--2 --- - 15 --
---
- --
-4 
80 
60 
o 
40 
-2 
L....,UW/'\ ~ 20 
-4 
r z 
-5 -4 -3 -2 -1 o 2 3 4 
E [eV] 
 
 40 
 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
 
 
 H-SiCNW (C)
 F-SiCNW (C)
 H-SiCNW (Si)
 F-SiCNW (Si)

(
e
V
)
R (Angstrom)
3C-SiC en bulto
 
Figura 16. Brecha de energía (∆) en función del radio (R) para los nanoalambres de 3C-SiC 
pasivados con hidrógeno (círculos) y flúor (cuadrados), con centros de carbón