Copia de Pre 46-60 Geometría del Espacio Semana 11b Resolución - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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Material de Estudio
Problemas del 46 al 60
2021
11b
ELEMENTOS DE 
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
PROBLEMA 46
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Tres puntos determinan un plano.
II. Una línea recta y un punto exterior a la recta determinan un plano.
III. Dos rectas cualesquiera, determinan un plano.
IV. Dos rectas que no se intersecan son paralelas.
A) VVV B) VVFV C) FVFF
D) FVVF E) FVFV
RESOLUCIÓN 46
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Tres puntos determinan un plano.
II. Una línea recta y un punto exterior a la recta determinan un plano.
III. Dos rectas cualesquiera, determinan un plano.
IV. Dos rectas que no se intersecan son paralelas.
I. Falso.
Los puntos deben
ser no colineales.
II. Verdadero. III. Falso.
Dos rectas cruzadas
no determinan un
plano.
IV. Falso.
Dos rectas cruzadas
no se intersecan y
no son paralelas.
Clave: C 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Tres puntos siempre están en un plano.
II. Si una recta es paralela a un plano, entonces la recta es paralela a
infinitas rectas del plano.
III. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces la recta es
perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.
A) VVV B) FVF C) VFV
D) FFV E) FFF
PROBLEMA 47
RESOLUCIÓN 47
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Tres puntos siempre están en un plano.
II. Si una recta es paralela a un plano, entonces la recta es paralela a
infinitas rectas del plano.
III. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces la recta es
perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.
I. Verdadero.
Tres puntos siempre
pertenecen a un plano
sean o no colineales.
II. Verdadero. III. Verdadero.
Clave: A 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Por un punto exterior a un plano se trazan infinitas paralelas a dicho
plano.
II. Las intersecciones de dos planos paralelos con un tercer plano son
rectas paralelas.
III. Si una recta es perpendicular a infinitas rectas paralelas de un plano,
entonces la recta es perpendicular al plano que contiene a las rectas
paralelas.
A) VVV B) VVF C)FFV 
D) FVF E) VFF
PROBLEMA 48
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Por un punto exterior a un plano se trazan infinitas paralelas a dicho
plano.
II. Las intersecciones de dos planos paralelos con un tercer plano son
rectas paralelas.
III. Si una recta es perpendicular a infinitas rectas paralelas de un plano,
entonces la recta es perpendicular al plano que contiene a las rectas
paralelas.
RESOLUCIÓN 48
I. Verdadero. II. Verdadero. III. Falso.
Clave: B 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si existen tres rectas cruzadas dos a dos, entonces existen infinitas
rectas que intersecan a las rectas cruzadas.
II. Dadas dos rectas cruzadas, existen infinitos planos paralelos a dichas
rectas cruzadas.
III. Todos los planos contenidos en un semiespacio son paralelos
A) VVV B) FVF C) FFF 
D) VFV E) VVF
PROBLEMA 49
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si existen tres rectas cruzadas dos a dos, entonces existen infinitas
rectas que intersecan a las rectas cruzadas.
II. Dadas dos rectas cruzadas, existen infinitos planos paralelos a dichas
rectas cruzadas.
III. Todos los planos contenidos en un semiespacio son paralelos.
RESOLUCIÓN 49
II. Verdadero III. Verdadero 
Clave: A
I. Verdadero.
PROBLEMA 50
En el plano H, está contenido el triángulo equilátero ABC. Por el vértice A
se traza AP perpendicular al plano H. Si AP = AB = 𝓁, entonces la medida
del ángulo que determinan las rectas que contienen a AB y PC es
A) arc cos
2
4
B) arc cos
1
3
C) arc cos
2
3
D) arc cos
2
2
E)
π
4
RESOLUCIÓN 50
En el plano H, está contenido el triángulo equilátero ABC. Por el vértice
A se traza AP perpendicular al plano H. Si AP = AB = 𝓁, entonces la
medida del ángulo que determinan las rectas que contienen a AB y PC
es
H
A
B
C
P
𝓁
𝓁
𝓁
𝓁
Q
R
Trazar BQ ⊥ H, CR ⊥ H, donde BQ = CR = AP = 𝓁
Se obs. APRC, CRQB y APQB son cuadrados
Luego el PQR es equilátero
𝓁
𝓁
𝓁
𝓁
𝓁Se obs. PQ // AB , Luego se determina QPC
a
Luego: PC = CQ = 𝓁 2
𝓁 2
𝓁 2
En el PQC, teorema de los cosenos
(𝓁 2)2=(𝓁 2)2 + (𝓁)² −2(𝓁 2) 𝓁 Cos a
∴ a = arc cos 
2
4
Clave: A
En un pentágono regular ABCDE, QC es perpendicular al plano que
contiene al pentágono y QH es perpendicular a AB. Si QH = CD,
entonces la medida del ángulo HQC es
A) 30 B) 45 C) 60
D) 36 E) 72
PROBLEMA 51
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En un pentágono regular ABCDE, QC es perpendicular al plano que
contiene al pentágono y QH es perpendicular a AB. Si QH = CD,
entonces la medida del ángulo HQC es
RESOLUCIÓN 51
Clave: E 
E D
C
B
A
Q
xH
• T.T.P.: QH ⊥ BH
• ABCDE: Pentágono regular
→m∠HBC = 72
• Dato: HQ = CD = BC
• ∆BHC ≅ ∆QCH (LLA)
→ x = 72
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En un rombo ABCD, M es punto medio de AD y MQ es perpendicular
al plano que contiene al rombo. Si m∠AQC = 90, entonces la medida
del ángulo QCA es
PROBLEMA 52
A) 30 B) 45 C) 60
D) 90 E) 75
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En un rombo ABCD, M es punto medio de AD y MQ es perpendicular al
plano que contiene al rombo. Si m∠AQC = 90, entonces la medida del
ángulo QCA es
RESOLUCIÓN 52
Clave: A 
2a
Q
M
B
D
C
A
a
a
a 3
T
• T.T.P.: QT ⊥ AC
• ∆AQC: QT2 = a(3a)
→ QT = a 3
• ∆QTC: Notable de 30
x = 30
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Un cuadrado APQB y un triángulo ABC están contenidos en planos
diferentes, tal que AP es perpendicular al plano que contiene al
triángulo equilátero. Si AB = 4 m, entonces la distancia (en m) del
punto medio de AP a QC es
PROBLEMA 53
A) 60 B) 45 C) 60
D) 90 E) 75
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
Un cuadrado APQB y un triángulo ABC están contenidos en planos
diferentes, tal que AP es perpendicular al plano que contiene al triángulo
equilátero. Si AB = 4 m, entonces la distancia (en m) del punto medio de
AP a QC es
RESOLUCIÓN 53
Clave: B 
H
P
M
Q
C
B
A
• ∆QBC: Notable de 45
2
2
4
4
2 5
2 5
2 2
2 2
x
• AP ⊥ plano ABC → AP ⊥ AC
• BQ ⊥ plano ABC → BQ ⊥ BC
4
QC = 4 2
• ∆QMC: Isósceles QH = HC = 2 2
• ∆QHC: Teorema de Pitágoras
x = 2 3
PROBLEMA 54
En un triángulo equilátero ABC, M es punto medio de AC y P es un
punto de AB , tal que AP = 3(PB) y PQ es perpendicular al plano que
contiene al triángulo ABC. Si QM = AC, entonces la medida del ángulo
entre QM y AB es
A) 30 B) 45 C) 60
D) 53 E) 75
RESOLUCIÓN 54
Clave: C 
C
B
A 2a
4a N
Q
P
M
a
3a
x
x = 60
MN // AB y MN = 2a
• TTP: QN ⊥ MN
• ∆MNQ: Notable de 30 y 60
• ∆ABC: MN base media
• MN // AB → m∠QMN = x
En un triángulo equilátero ABC, M es punto medio de AC y P es un punto
de AB , tal que AP = 3(PB) y PQ es perpendicular al plano que contiene al
triángulo ABC. Si QM = AC, entonces la medida del ángulo entre QM y AB
es
PROBLEMA 55
Dadas las rectas cruzadas L1 y L2, A y B en L1, C y D en L2, tal que
AB > 0 y CD > 0. Indique el valor de verdad de cada una de las
proposiciones:
I. Las rectas AC y BD pueden ser secantes.
II. Las rectas AC y BD pueden ser paralelas.
III. Las rectas AC y BD siempre son cruzadas.
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVF E) VVV
RESOLUCIÓN 55
Clave: C 
I. Falso:
Dos rectas secantes determinan un plano , en este caso las rectas L1 y 
L2 estarían contenidas en dicho plano lo cual es absurdo.
II. Falso:
Dos rectas paralelas determinan un plano , en este caso las rectas L1 y 
L2 estarían contenidasen dicho plano lo cual es absurdo.
III. Verdadero:
Se deduce de los respuestas anteriores.
Dadas las rectas cruzadas L1 y L2, A y B en L1, C y D en L2, tal que AB > 0
y CD > 0. Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Las rectas AC y BD pueden ser secantes.
II. Las rectas AC y BD pueden ser paralelas.
III. Las rectas AC y BD siempre son cruzadas.
Indique el valor de verdad de cada de una de las siguientes
proposiciones:
I. Si tres rectas son paralelas, entonces cualquier recta secante a
una de ellas, interseca a las otras dos.
II. Dos planos paralelos a una misma recta, son paralelos entre sí.
III. Dos rectas paralelas a un mismo plano, son paralelas entre sí.
A) VVV B) VFF C) FFV
D) FFF E) FVF
PROBLEMA 56
L4
I.
L1 L2
L3
L1 // L2 // L3
L4 secante a L2
II. Pueden ser secantes
III. Pueden ser secantes o cruzadas
RESOLUCIÓN 56
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Si tres rectas son paralelas, entonces cualquier recta secante a
una de ellas, interseca a las otras dos.
II. Dos planos paralelos a una misma recta, son paralelos entre sí.
III. Dos rectas paralelas a un mismo plano, son paralelas entre sí.
Clave: D
FALSO
P
T
FALSO
L1
H
L2 FALSO
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Si las intersecciones de dos planos con un tercero son
rectas paralelas, entonces dichos planos son paralelos.
II. Si dos rectas no se intersecan, entonces son cruzadas.
III. Si una recta es paralela al plano determinado por dos
rectas, entonces la recta es paralela a una de las rectas que
determinan el plano.
A) VVV B) FFF C) FFV
D) VFF E) FVF
PROBLEMA 57
RESOLUCIÓN 57
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si las intersecciones de dos planos con un tercero son rectas
paralelas, entonces dichos planos son paralelos.
II. Si dos rectas no se intersecan, entonces son cruzadas.
III. Si una recta es paralela al plano determinado por dos rectas,
entonces la recta es paralela a una de las rectas que determinan el
plano.
I.- Los planos pueden ser secantes
FALSO
II. Son rectas cruzadas o paralelas
A
L1
L2
FALSO
II. Pueden ser rectas cruzadas
L1
L
H L2
FALSO
Clave: B
PROBLEMA 58
Por el vértice C de un cuadrado ABCD, se traza CT perpendicular
al plano que lo contiene, M y N son puntos medios de AD y CD
respectivamente. Si AB = 8 u y CT = 2 2 u, entonces el área (en
u2) de la región triangular MNT es
A) 10 B) 8 2 C) 8 D) 6 2 E) 6 
Clave: B
RESOLUCIÓN 58
Por el vértice C de un cuadrado ABCD, se traza CT perpendicular al
plano que lo contiene, M y N son puntos medios de AD y CD
respectivamente. Si AB = 8 u y CT = 2 2 u, entonces el área (en u2) de
la región triangular MNT es
A
B C
D
N
M
T
8
4 4
4
4
2 2
S
2 2
h
8
Calcule: A∆MNT = S
AM = MD = DN = NC = 4
∆MDN: MN = 4 2
L
Teorema: m∠MLT = 90
45
∆NLC: notable de 45 y 45
CL = 2 2
∆TCL: h = 4
S =
(4 2)(h)
2
=
(4 2)(4)
2
∴ S = 8 2
PROBLEMA 59
Por el centro O de un rombo ABCD, se traza una recta
perpendicular al plano que lo contiene, que interseca a las semi
circunferencias de diámetros AC y BD en los puntos P y Q
respectivamente, tal que O – Q – P . Calcule la medida del ángulo
determinado por AP y QD.
A) 90 B) 75 C) 60 D) 45 E) 30 
RESOLUCIÓN 59
Por el centro O de un rombo ABCD, se traza una recta perpendicular al
plano que lo contiene, que interseca a las semi circunferencias de
diámetros AC y BD en los puntos P y Q respectivamente, tal que O – Q – P
Calcule la medida del ángulo determinado por AP y QD.
D
CB
A
Q
P
T
O
x
rr
r
r
r
45
45 r 2
r 2
r 2
Se traza QT // AP
Sea x la medida ángulo determinado
por AP y QD: m∠TQD = x
OB = OD = OQ = r
m∠PAO = m∠QTO = 45
∆TOQ es notable de 45 y 45
TO = OQ = r
TQ = DQ = TD = r 2
∆TQD es equilátero
∴ x = 60
Clave: C
PROBLEMA 60
En un cuadrado ABCD, se traza BP perpendicular al plano que lo
contiene, M es punto medio de PD. Si MC = 4 u y MC determina
con el plano ABC un ángulo que mide 30, entonces el área (en u2)
de la region triangular BPC es
A) 6 B) 9 C) 4 6 D) 6 6 E) 8 6
RESOLUCIÓN 60
En un cuadrado ABCD, se traza BP perpendicular al plano que lo
contiene, M es punto medio de PD. Si MC = 4 u y MC determina con el
plano ABC un ángulo que mide 30, entonces el área (en u2) de la region
triangular BPC es
D
CB
A
O
S
P
M
30
4
4
2
2 6
2 6
2 6
Calcule: A∆BPC = S
∆MOC, notable de 30 y 60
MO = 2 y OC = 2 3
∆PBD: BP = 4
ABCD: BC = CD = AD = 2 6
Teorema: S =
(BP)(BC)
2
S =
(4)(2 6)
2
∴ S = 4 6
Clave: C