GEOMETRIA_16_ÁNGULO DIEDRO - Gabriel Solis

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GEOMETRIA 
 
SEMANA 16: ÁNGULO DIEDRO 
1. Indique la secuencia correcta después de 
determinar si la proposición es verdadera (𝑉) o 
falsa (𝐹). 
I. Si dos planos son perpendiculares a dos 
rectas diferentes que se interceptan, entonces 
dichos planos también se intersectan. 
II. El lugar geométrico que determinan los 
pies de los segmentos oblicuos de longitudes 
iguales trazadas desde un punto exterior a un 
plano es una circunferencia. 
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si 
es ortogonal a dos rectas diferentes no 
paralelas contenidas en dicho plano. 
A) 𝑉𝑉𝐹 B) 𝑉𝐹𝑉 C) 𝐹𝐹𝑉 
D) 𝑉𝑉𝑉 E) 𝐹𝐹𝐹 (𝑈𝑁𝐼 2009 − 𝐼) 
 
2. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Dos rectas ubicadas en planos paralelos 
pueden ser perpendiculares. 
II. Si un plano es perpendicular a cada uno de 
dos planos secantes, entonces es perpendicular 
a su intersección. 
III. Por una recta pasa un plano perpendicular 
a otro plano y sólo uno. 
IV. Si dos rectas son ortogonales, entonces por 
una de ellas pasa un plano perpendicular a la otra. 
A) 𝑉𝑉𝑉𝑉 B) 𝐹𝑉𝑉𝑉 C) 𝑉𝐹𝑉𝑉 
D) 𝑉𝑉𝐹𝑉 E) 𝑉𝑉𝑉𝐹 
 
3. Se tienen los triángulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 y 
𝐴𝐷𝐶 ubicamos en planos diferentes, tal que 
𝐴𝐵 = 2m y 𝐵𝐷 = √3m, calcule la medida del 
diedro entre dichas regiones. 
A) 45° B) 37° C) 75° 
D) 53° E) 60° 
 
4. Se tienen los triángulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 y 
𝐴𝐷𝐶 ubicados en planos diferentes, tal que 
𝐴𝐵 = 2m y 𝐵𝐷 = √6m. Calcule la medida del 
diedro entre dichas regiones. 
A) 90° B) 120° C) 75° 
D) 45° E) 60° 
 
5. En una región cuadrada 𝐴𝐵𝐶𝐷, se traza 𝐷𝑄̅̅ ̅̅ 
perpendicular a su plano, tal que 𝐴𝐵 = 2u y 
𝑄𝐷 = √2u. Calcule la medida del diedro entre la 
región 𝐴𝑄𝐶 y la región cuadrada. 
A) 15° B) 30° C) 37° 
D) 45° E) 60° 
6. Por el vértice 𝐵 de un triángulo rectángulo 
𝐴𝐵𝐶 (recto en 𝐵). Se traza 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ perpendicular al 
plano 𝐴𝐵𝐶, el punto 𝐷 se une con los vértices 𝐴 
y 𝐶. Si 𝐴𝐵 = 9u, 𝐵𝐶 = 12u y 𝐵𝐷 =
36√3
5
u, 
entonces la medida del diedro 𝐴𝐶 (en grados 
sexagesimales) es: 
A) 37° B) 45° C) 53° 
D) 54° E) 60° (𝑈𝑁𝐼 2011 − 𝐼) 
 
7. Se tienen los cuadrados 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐴𝐵𝐸𝐹 
ubicados en planos perpendiculares, donde 𝑂 
es centro de 𝐴𝐵𝐸𝐹, calcule la medida del ángulo 
diedro 𝑂 − 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ − 𝐴. 
A) 30° B) 53° 2⁄ C) 37° 2⁄ 
D) 45° E) 37° 
 
8. Un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 y un triángulo 
equilátero 𝐴𝐸𝐷 ubicados en planos 
perpendiculares, calcule 𝑚∢𝐷𝐸𝐶 + 𝑚∢𝐴𝐷𝐸. 
A) 105° B) 135° C) 145° 
D) 125° E) 115° 
 
9. Dado un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶, recto en 
𝐵, donde 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 37°, además se traza 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ 
perpendicular al plano del triángulo, tal que 
𝐵𝑀 = 𝐴𝐵. Calcule la medida del diedro entre 
las regiones 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝑀𝐶. 
A) 30° B) 53° C) 60° 
D) 45° E) 37° 
 
10. Sobre un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, desde un punto 
exterior 𝑃, se traza el segmento 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ 
perpendicular al plano 𝐴𝐵𝐶, 𝑀 y 𝑁 son los 
puntos medios de los segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ 
respectivamente. Si 𝐴𝐵 = 𝑃𝐵, 𝐵𝐶 = 4u y 𝐴𝐵 =
2u, entonces la medida del diedro 𝑃 − 𝑀𝑁 − 𝐵 
es: 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√5) B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√5
2
) 
C) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√5
3
) D) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√5
4
) 
E) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√5
5
) (𝑈𝑁𝐼 2010 − 𝐼) 
 
11. Se tiene el triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 cuyo 
lado mide 12m. Por el vértice 𝐶 se traza 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
perpendicular al plano que contiene dicho 
triángulo. Si el ángulo entre los planos 
determinados por 𝐴𝐵𝐷 y 𝐴𝐵𝐶 es 60°, entonces 
la distancia de 𝐶 al plano 𝐴𝐵𝐷, en metros, es: 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 (𝑈𝑁𝐼 2014 − 𝐼𝐼) 
 
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12. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 en el espacio, la altura 
relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es 5√3cm. Sus vértices 𝐴 y 𝐶 están 
en un plano horizontal ℙ y el vértice 𝐵 es exterior 
a ℙ de modo que el diedro 𝐵 − 𝐴𝐶 − 𝐵´ (𝐵´ es la 
proyección de 𝐵 sobre ℙ) mide 37°. Si 𝐴𝐵´ =
10cm, entonces la longitud de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (en cm) es: 
A) 10 B) 10,6 C) √127 
D) 5√6 E) 6√5 (𝑈𝑁𝐼 2011 − 𝐼𝐼) 
 
13. En la figura, los planos son perpendiculares. El 
segmento 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ mide 2,5cm y es la proyección 
ortogonal del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre el segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
Determine el coseno del ángulo 𝐴𝐵𝐶. 
 
 
 
A) 0,41 B) 0,47 C) 0,50 
D) 0,67 E) 0,71 (𝑈𝑁𝐼 2009 − 𝐼𝐼) 
 
14. Si la medida del ángulo diedro determinado 
por los rectángulos congruentes 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐶𝐷𝐸𝐹 
es 120° y 𝐵𝐶 = 4m, calcule (en m) 𝐴𝐸. 
A) 8 B) 12 C) 4√3 
D) 6√3 E) 8√3 
 
15. Se tienen las regiones rectangulares 𝐴𝐵𝐶𝐷 
y 𝐴𝐵𝐸𝐹 que determinan un diedro de medida 
120°. Si 𝐴𝐵 = 6 𝑢 y 𝐴𝐷 = 𝐴𝐹 = 3 𝑢, calcule 𝐷𝐸. 
A) 3√6 B) 3√7 C) 8 
D) 6 E) 6√3 
 
16. Un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 y un triángulo 
rectángulo 𝐴𝑄𝐵 (recto en 𝑄) determinan un 
ángulo diedro que mide 45°. Siendo 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚 
y 𝐴𝑄 = 3 𝑐𝑚, calcule (en 𝑐𝑚) la distancia de 𝑄 
hacia 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
A) 
7
5
√78 B) 
4
5
√80 C) 
3
5
√81 
D) 
12
5
√2 E) 
1
5
√81 
 
17. Por el vértice 𝐴 de un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷, se traza 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ perpendicular al plano del rombo, de modo 
que el diedro formado por los planos 𝑃𝐵𝐷 y 
𝐴𝐵𝐶𝐷 mide 45° además, 𝑃𝐶 = 15𝑚. ¿A qué 
distancia (en 𝑚) de la recta 𝑃𝐶 ⃡ , está el punto 𝐴? 
A) 2√3 B) 6 C) 5√2 
D) 5 E) 3 
 
18. En una semicircunferencia de diámetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
y radio 5 𝑚, se traza la cuerda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ de longitud 
8 𝑚, luego se traza la perpendicular 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ al plano 
que contiene a la semicircunferencia. Si 𝐵𝑃 =
8 𝑚, entonces la medida del ángulo diedro que 
determinan las regiones 𝐴𝐶𝑃 y la 
semicircunferencia es: 
A) 30° B) 37° C) 45° 
D) 60° E) 53° 
 
19. Se tiene un hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 y un 
cuadrado 𝐵𝐶𝑃𝑄 ubicados en planos 
perpendiculares, sea 𝑁 el punto medio de 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ , 
calcule la medida del ángulo entre 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑄𝑁̅̅ ̅̅ . 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
√13
13
) B) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
2√7
7
) 
C) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
3√13
13
) D) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
√13
3
) 
E) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
2√7
7
) 
 
20. Por el vértice 𝐶 de un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 se 
traza 𝐶𝐸̅̅̅̅ , perpendicular al plano 𝒫 que contiene 
al cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, de manera que 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸. 
Por 𝐵 se traza 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ perpendicular al plano 𝒫 (𝐸 
y 𝐹 en el mismo semiespacio). Si 𝐴𝐵 = 2(𝐵𝐹), 
calcule la medida del ángulo diedro que forman 
el plano determinado por 𝐹𝐷𝐸 con 𝒫. 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√2
3
) B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√5
2
) 
C) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√3
3
) D) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
√7
2
) 
E) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
1
3
) 
 
21. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. La proyección de un ángulo agudo sobre un 
plano es también un ángulo agudo. 
II. En un ángulo diedro una región ubica en 
una de sus caras puede ser equivalente a su 
proyección sobre la otra cara. 
III. Si una región es congruente a su 
proyección, entonces los planos donde se 
ubican la región y su proyección son paralelos. 
A) 𝐹𝐹𝑉 B) 𝐹𝐹𝐹 C) 𝐹𝑉𝑉 
D) 𝑉𝐹𝑉 E) 𝑉𝑉𝑉 
 
22. Se tiene un triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶, donde 
𝐴𝐵 = 4m, desde 𝐵 y 𝐶, hacia un mismo 
semiespacio, se trazan rectas perpendiculares 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ 
y 𝐶𝑄̅̅ ̅̅ al plano 𝐴𝐵𝐶, si 𝐵𝑃 = 𝐶𝑄 = 2√3m, calcule 
la medida del ángulo diedro entre 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝑃𝑄. 
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A) 30° B) 37° C) 45° 
D) 60° E) 53° 
 
23. En una de las caras de un ángulo diedro, de 
medida 60°, se tiene una región hexagonal de 
área 48√3u2, calcule (en u) la longitud del lado 
del hexágono regular el cual es su proyección 
sobre la otra cara. 
A) 4 B) 2 C) √5 
D) √2 E) 6 
 
DISTANCIA ENTRE RECTAS CRUZADAS 
24. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Dadas dos rectas cruzadas la distancia 
entre ellas es el segmento de menor longitud 
cuyos extremos se ubican sobre las rectas.II. Si un segmento es perpendicular a dos 
rectas cruzadas es su distancia. 
III. Dada dos rectas cruzadas, por un punto del 
segmento que es su distancia se puede trazar 
una recta secante a ambas rectas cruzadas 
excepto a la recta que contiene a la distancia. 
A) 𝐹𝐹𝑉 B) 𝐹𝐹𝐹 C) 𝐹𝑉𝑉 
D) 𝑉𝐹𝐹 E) 𝑉𝑉𝐹 
 
25. Se tienen las rectas cruzadas 𝐿1 y 𝐿2, en el cual la 
medida del ángulo entre ellas es 108°. En 𝐿1 se ubican 
los puntos 𝐴 y 𝐵, y en 𝐿2, los puntos 𝐶 y 𝐷, de modo 
que 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es la distancia entre las rectas. Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =
𝐶𝐷 = 4u, calcule (en u) el mayor valor de 𝐴𝐷. 
A) 2(√5 − 1) B) 2√10 + 2√5 
C) √3 D) √2 E) √5 − 1 
 
26. Se tienen las rectas cruzadas y 
perpendiculares 𝐿1 y 𝐿2, En 𝐿1 se ubican los 
puntos 𝐴 y 𝐵, y en 𝐿2, los puntos 𝐶 y 𝐷, de modo 
que 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es la distancia entre las rectas. Si 𝐴𝐵 =
𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 4u, calcule (en u) 𝐴𝐷. 
A) 4√3 B) 2 C) √5 
D) √2 E) 6 
 
27. Sean los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ubicados en 
planos diferentes, que forman un ángulo que mide 
30°. Si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶 = 2m, 𝐴𝐵 = 4m y 
𝐶𝐷 = √3m, entonces la longitud (en m) de 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ es: 
A) √10 B) √11 C) √12 
D) √13 E) √14 (𝑈𝑁𝐼 2020 − 𝐼) 
 
28. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, se traza la ceviana 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ 
tal que 𝑚∢𝐴𝑃𝐶 = 30°, luego se traza 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ , 
perpendicular al plano del triángulo si 𝐴𝑄 =
2m, 𝐵𝑃 = 4m, calcule (en u) la distancia entre 
𝑄𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ . 
A) √3 B) 2 C) √5 
D) √2 E) 𝑁. 𝐴. 
 
29. Un cuadrante AOB y una 
semicircunferencia de diámetro AO, se 
encuentra ubicados en planos perpendiculares 
y en dicha semi circunferencia se ubica el punto 
P de modo que 𝑚𝑂�̂� = 120° y 𝐴𝐵 = 8√2m, 
calcule (en m) la distancia entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑃𝑂̅̅ ̅̅ . 
A) 
4√5
5
 B) 
3√5
5
 C) 
8√5
5
 
D) √5 E) 𝑁. 𝐴. 
 
30. Se tiene un triángulo isósceles 𝐴𝑂𝐵 recto en 𝑂 
y 𝑁𝑄̅̅ ̅̅ perpendicular al plano del triángulo, siendo 
𝑄 punto medio de 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ , si 𝐴𝑂 = 2(𝑁𝑄) = 2√2𝑚, 
calcule (en 𝑚) la distancia entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑂𝑁̅̅ ̅̅ . 
A) 2 6
3
 B) 4 2
3
 C) 4 3
3
 
D) 3 2 E) 3 3
2
 
 
ÁNGULO TRIEDRO 
31. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. En un ángulo poliedro una de sus caras 
puede ser igual a la suma de las medidas de 
otras dos caras. 
II. La medida de una de las caras de un ángulo 
triedro equilátero puede ser 124°. 
III. En un ángulo triedro isósceles, todo punto 
de la arista común a las caras de igual medida 
equidista de las otras aristas. 
A) 𝐹𝐹𝑉 B) 𝐹𝐹𝐹 C) 𝐹𝑉𝑉 
D) 𝑉𝐹𝐹 E) 𝑉𝐹𝑉 
 
32. En un ángulo triedro, dos caras miden 45° 
y el ángulo diedro entre ellas miden 90°. 
Entonces la otra cara mide: 
A) 45° B) 60° C) 75° 
D) 90° E) 120° (𝑈𝑁𝐼 2009 − 𝐼𝐼) 
 
33. En un triedro, las medidas de dos caras son 
100° y 120°, calcule el máximo valor entero de 
la tercera cara. 
A) 100° B) 101° C) 119° 
D) 129° E) 139° 
 
34. Las caras de un ángulo triedro 𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝑂𝐶 y 
𝐴𝑂𝐶 miden 60°, 90° y 60° respectivamente. Si 
𝐴𝑂 = 8𝑢, calcule la distancia de 𝐴 al plano que 
contiene a la cara 𝐵𝑂𝐶. 
A) 4 B) 8 C) 4√3 
D) 4√2 E) 2√3 (𝐶𝑒𝑝𝑟𝑒 2003 − 𝐼) 
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35. En un triedro, dos de sus caras miden 120° 
y 140°, entonces, el mayor valor entero de la 
medida de la tercera cara es: 
A) 54° B) 60° C) 72° 
D) 90° E) 99° 
 
36. En un triedro 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, las caras 𝑎 y 𝑐 
miden 128° y 68°, respectivamente. ¿Entre qué 
limites varía la medida de la cara 𝐴𝑂𝐶? 
A) 〈60°; 196°〉 B) 〈40°; 100°〉 
C) 〈60°; 164°〉 D) 〈40°; 120°〉 E) 〈60°; 120°〉 
 
37. En un triedro isósceles, dos de sus caras 
miden 90° y la tercera mide 60°. Calcule la suma 
de sus diedros. 
A) 230° B) 240° C) 220° 
D) 280° E) 235° 
 
38. Un plano interseca a las aristas de un triedro con 
vértice 𝑂 en los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de modo que: 
𝑚∢𝐴𝑂𝐵 = 𝑚∢𝐶𝑂𝐵 = 60° y m∢AOC =m∢ABC 
=90°. Calcule 𝑂𝐵 (en m) si 𝑂𝐴 + 𝑂𝐶 = 10m. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 (𝑈𝑁𝐼 2010 − 𝐼𝐼) 
 
39. ¿Cuál es el mayor valor entero que puede 
asumir la tercera cara de un ángulo pentaedro 
si las medidas de sus cinco caras forman una 
progresión aritmética? 
A) 53° B) 86° C) 81° 
D) 62° E) 71° 
 
40. Si las medidas de dos caras de un ángulo 
triedro son 40° y 70°, calcule el mayor valor 
entero de la medida de la tercera cara. 
A) 90° B) 110° C) 119° 
D) 109° E) 120° 
 
41. Si las tres caras de un triedro equilátero 
suman 180°, calcule el coseno de uno de los 
diedros de dicho triedro. 
A) 1 3⁄ B) 2 3⁄ C) 1 5⁄ 
D) 3 5⁄ E) 2 5⁄ 
 
42. Si la suma de las medidas de los ángulos 
diedros de un ángulo triedro es 200°, calcule la 
suma de las caras de su ángulo triedro polar. 
A) 200° B) 240° C) 340° 
D) 400° E) 420° 
 
43. En un ángulo triedro birrectángulo 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, 
donde la cara 𝐴𝑂𝐵 mide 60°, si 𝐴𝑂 = 𝑂𝐵 = 2 𝑚 y 
𝑂𝐶 = 1 𝑚, calcule el área de la región triangular 𝐴𝐵𝐶. 
A) 1 𝑢2 B) 2 𝑢2 C) 3 𝑢2 
D) 4 𝑢2 E) 5 𝑢2 
44. En un triedro 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, los diedros 𝑂𝐵 y 𝑂𝐶 
miden 135° y la cara 𝑎 mide 90°. Calcule la 
medida del diedro 𝑂𝐴 . 
A) 150° B) 100° C) 80° 
D) 60° E) 120° 
 
45. En un triedro 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, las caras, 𝐵𝑂𝐶, 𝐴𝑂𝐵 
y 𝐴𝑂𝐶 miden 90°, 60° y 60° respectivamente. 
Entonces la tangente del ángulo que determina 
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ con el plano 𝑂𝐵𝐶 es: 
A) 1 3⁄ B) 1 2⁄ C) 1 
D) 2 E) 3 (𝑈𝑁𝐼 2012 − 𝐼) 
 
46. En un triedro las medidas de sus caras se 
encuentran en progresión aritmética. Si las medidas 
de la cara mayor y la cara menor se diferencian en 
30°, y las medidas de las menores caras suman 75°, 
calcule la medida del mayor diedro. 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√2 − √3) B) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√2 − 1) 
C) 90° D) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√3 − 1) 
E) 45° 
 
47. En un triedro 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, las caras 𝐴𝑂𝐵 y 𝐵𝑂𝐶 
miden 30° y 45°, respectivamente. Si el diedro 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ 
mide 90°, calcule la medida de la tercera cara. 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√6 4⁄ ) B) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√6 3⁄ ) 
C) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√6 5⁄ ) D) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√6 6⁄ ) 
E) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(√6 8⁄ ) 
 
48. Si las medidas de las caras de un triedro son 
60°, 45° y 45°, calcule la medida de uno de los 
diedros congruentes. 
A) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√2) B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√3) 
C) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√5) D) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√2 2⁄ ) 
E) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√7) 
 
49. En un triedro 𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, los diedros 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ 
miden 150°, respectivamente. Si la medida del 
diedro 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ es menor que 122°, calcule el valor 
entero de la medida de dicho diedro. 
A) 112° B) 103° C) 114° 
D) 121° E) 106° 
 
50. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo 
𝑂 − 𝐴𝐵𝐶, donde 𝐴𝑂 = 2m, 𝑂𝐵 = 4m y 𝐶𝑂 =
6m. Calcule (en m2) el área de la región 
triangular 𝐴𝐵𝐶. 
A) 
18√5
5
 B) 
11√5
5
 C) 13 
D) 
14√5
5
 E) 14