GEOMETRIA_15_GEOMETRÍA DEL ESPACIO I - Gabriel Solís Flores

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GEOMETRIA 
 
SEMANA 15: GEOMETRÍA DEL ESPACIO I 
01. Indique la secuencia correcta si las 
siguientes proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F): 
I. Todo plano contiene al menos tres puntos no 
colineales 
II. Dos puntos cualesquiera de un plano deter-
minan una recta contenida en el plano. 
III. El espacio contiene al menos cuatro puntos 
no coplanarios. 
A) VFV B) VFF C) FVV 
D) VVV E) VVF 
 
02. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Tres puntos cualesquiera determinan un plano. 
II. Una recta y un punto determinan un plano. 
III. Dos rectas determinan un plano 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) VVF E) VVF 
 
03. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Dos rectas que no se intersecan determinan 
un plano. 
II. Dos rectas secantes determinan un plano. 
III. Dos rectas cruzadas determinan un plano. 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) FVF E) VVF 
 
04. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. El máximo número de planos que se deter-
minan con 5 puntos es 10. 
II. El máximo número de planos que se deter-
minan con 4 rectas es 6. 
III. El máximo número de plano que se deter-
minan con 4 rectas y 5 puntos es 36. 
A) VFV B) VFF C) FVV 
D) VVV E) VVF 
 
05. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Si dos rectas al prologarse no se cortan en-
tonces son paralelas. 
II. Si una recta es paralela a uno de dos planos 
secantes entonces sera paralela al otro plano 
III. dos rectas L y L1 son perpendiculares enton-
ces la recta L es perpendicular a cualquier pla-
no que contiene la recta L1. 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) FVF E) VVF 
06. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Si dos rectas son cruzadas por una de ellas se 
puede trazar un plano paralelo a la otra recta. 
II. La intersección de tres planos necesaria-
mente es una recta. 
III. Si dos rectas son paralelas a un plano 
entonces son siempre paralelas entre sí. 
A) VFV B) VFF C) FVV 
D) VVV E) VVF 
 
07. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Si una recta es paralela a uno de dos planos 
perpendiculares entonces es perpendicular al 
otro plano. 
II. Si una recta es perpendicular a un plano 
entonces todo plano que contiene a la recta es 
perpendicular a dicho plano. 
III. Si una recta de uno de dos plano secantes es 
perpendicular a una recta del otro plano 
entonces los dos planos son perpendiculares. 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) FVF E) VVF 
 
08. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Dos rectas perpendiculares a una misma recta 
siempre son paralelas. 
II. Por un punto de un recta solo se puede trazar un 
recta que sea perpendicular a dicha recta. 
III. Por un punto exterior a una recta solo se puede 
trazar una recta perpendicular a dicha recta. 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) FVF E) VVF 
 
09. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Pueden dos rectas cruzadas pertenecer a dos 
planos paralelos. 
II. Pueden dos rectas cruzadas pertenecer a dos 
planos perpendiculares. 
III. Pueden dos rectas cruzadas pertenecer a 
dos planos secantes. 
A) VFV B) FFF C) FVV 
D) VVV E) VVF 
 
10. Indique la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F) respecto a las siguientes 
proposiciones 
I. Por un punto se pueden trazar solo 3 rectas 
II. Por una recta pasan infinitos planos 
III. Dos puntos determinan una recta 
A) FVV B) FVF C) FFV 
D) VFV E) VVV 
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11. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Si dos planos no son secantes entonces son 
paralelos. 
II. Si dos rectas no son paralelas entonces son 
cruzadas. 
III. Dos rectas cruzadas estan contenidad en el 
mismo plano. 
A) FVV B) FVF C) VFV 
D) FFV E) VFF 
 
12. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. La interseccion de dos planos secantes es un 
segmento. 
II. la interseccion de tres planos puede ser un 
punto. 
III. El plano divide al espacio en dos semiespacios. 
A) VFV B) FVV C) FFV 
D) VVV E) VVF 
 
13. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Si una recta es paralela a un plano sera paralela a 
todas las rectas contenidas en dicho plano. 
II. Si tenemos una recta contenida en un plano 
y una recta secante al mismo plano entonces las 
rectas siempre son cruzadas. 
III. Si un plano es secante a dos planos paralelos 
entonces las intersecciones son paralelas. 
A) VFV B) VFF C) FVV 
D) FFV E) FVF 
 
14. Indique la secuencia correcta después de 
determinar si la proposición es verdadera (V) o 
falsa (F): 
I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas 
diferentes que se intersectan, entonces dichos 
planos también se intersectan. 
II. El lugar geométrico que determinan los pies 
de los segmentos oblicuos de longitudes iguales 
trazadas desde un punto exterior a un plano es 
una circunferencia. 
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es 
ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas 
contenidas en dicho plano. 
A) VVF B) VFV C) FFV 
D) VVV E) FFF 
 
15. Indique la secuencia correcta si las siguientes 
proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F) 
I. Tres rectas paralelas entre si pueden deter-
minar tres planos. 
II. Si la recta L es secante a un plano entonces 
toda recta contenida en dicho plano será 
cruzada con la recta L. 
III. Si dos planos contienen a dos rectas 
cruzadas entonces siempre son secantes. 
A) VVF B) VFV C) FVV 
D) VFF E) FFF 
 
ÁNGULO ENTRE RECTAS CRUZADAS 
16. En la figura mostrada, las rectas L1 y L2 se 
cruzan y determinan un ángulo que mide 
26°30’. Calcular la medida del ángulo deter-
minado por MN y PQ . 
A) 15° 
B) 30° 
C) 37° 
D) 45° 
E) 53° 
 
17. La distancia entre dos rectas MN y PQ que 
se cruzan, está dada por el segmento EF de 10 
m de longitud (E ∈ MN y F ∈ PQ ). Si un punto 
A de MN dista de F y PQ 26 m y 2 61 m 
respectivamente, calcular la medida del ángulo 
que forman las rectas MN y PQ . 
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 53° E) 60° 
 
18. Dos rectas AB y CD se cruzan determi-
nando un ángulo que mide 60°. Si AC es la 
mínima distancia, y la m∠ABC = 45°, m∠ADC = 
30° y BD = 6 5 3− . Calcular AC , (en m) 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
19. AB y PR se cruzan en el espacio, AP = 9 cm 
y BR = 6 cm respectivamente. Calcular la 
longitud del segmento que une los puntos 
medios de AB y PR , sabiendo que es el mayor 
entero posible (en cm) 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
20. Se tienen los segmentos ortogonales AB = 10 
cm y CD = 24 cm. Calcular la longitud del 
segmento que une los puntos medios de AC y BD 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 
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21.En un cubo la diagonal de un cubo y la dia-
gonal de una cara, se cruzan, calcule la medida 
del ángulo formado. 
A) 30° B) 45° C) 60° 
D) 75° E) 90° 
 
22.En un hexaedro regular KLMN-PQRS. Si A, B, 
C y D son puntos medios de KP,PQ,QR y RM , 
calcular la suma de las medidas del ángulo que 
forman al cruzarse AB con CD ; CD con NM y 
AB con NM 
A) 165° B) 175° C) 180° 
D) 190° E) 195° 
 
23.La figura muestra un cubo M, N, R y Q, son 
puntos medios de las aristas AB,AF,EF y DE , 
respectivamente. Calcular la medida del ángulo 
de cruce entre las rectas MN y RQ 
A) 15° 
B) 30° 
C) 45° 
D) 53° 
E) 60° 
 
24. Los cuadrados ABCD y CDEF están ubicados en 
planos perpendiculares. Calcule la medida del 
ánguloque determinan los segmentos BD y AF. 
A) 30° B) 45° C) 60° 
D) 75° E) 90° 
 
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Y 
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES 
25. Se tienen los segmentos AB y CD contenidos en 
2 rectas que se cruzan y son ortogonales entre sí. 
Si AB = CD = 𝓁, entonces la longitud del segmento 
que une los puntos medios de BD y AC es: 
A) 
2
4
 B) 
2
3
 C) 
2
2
 
D) 
3 2
4
 E) 2𝓁 2 
 
26. Una placa cuadrada ABCD, esta doblada por la 
diagonal AC tal que el plano ABC es perpendicular 
al plano ACD y P ∈ AC . Si 3CP = PA, entonces la 
medida del ángulo formado por las rectas PB y CD 
es: 
A) arc cos
5
2
 B) arc cos 
5
3
 
C) arc cos 
5
10
 D) arc cos 
10
10
 
E) arc cos 
10
5
 
 
27. En un triángulo equilátero ABC, cuyo peri-
metro es 12u. Por el vértice A se traza AE per-
pendicular al plano que contiene al triángulo tal 
que AE = 13 u. Si R es punto medio de BC , 
entonces la medida del ángulo formado por los 
segmentos AB y ER que se cruzan es: 
A) 30 B) 45 C) 37 
D) 53 E) 60 
 
28. ABC es un triángulo equilátero de lado 4 cm. 
Por A, se traza AE perpendicular al plano ABC, 
tal que AE = 13 cm. Si R es punto medio de BC
, calcular la medida del ángulo con que se 
cruzan los segmentos AB y ER. 
A) 15° B) 30° C) 45° 
D) 53° E) 60° 
 
29. Se tiene una circunferencia de centro O y diá-
metro 12 cm. Por O, pasa una recta L perpen-
dicular al plano de la circunferencia. F es un punto 
L, tal que OF = 8 cm. Calcule la distancia de F a 
cualquier recta tangente a la circunferencia. 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 13 
 
30. En una circunferencia de centro O, se inscribe 
un triángulo ABC, recto en B. Se eleva BF , per-
pendicular al plano ABC, de modo que BF = AC. 
Si AB = 6 y BC = 8, calcular OF 
A) 5√5 B) 6√5 C) 7√5 
D) 8√5 E) 9√5 
 
31. ABC es un triángulo equilátero de lado L, por 
B se eleva BR perpendicular al plano ABC, de 
modo que: BR = L/2. Se trazan luego RA y RC
. Calcular el área de la región triangular ARC 
A) L2 B) L2/2 C) L2/3 
D) L2/4 E) 2L2 
 
32. ABCD, es un cuadrado de lado a. Por B, se 
eleva BE perpendicular al plano ABCD, tal que 
BE = a. Si O es centro del cuadrado y H punto 
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medio de CD , calcular el área de la región 
triangular EOH. 
A) a2√3/5 B) a2√3/8 C) a2√5/3 
D) a2√5/5 E) a2√5/8 
 
33. BAC es un triángulo recto en A, AB = 6 y AC 
= 8. Por su incentro I, se eleva IH perpendi-
cular al plano ABC, siendo IH = 3. Calcular HC 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
34. El cuadrado KLMN y el triángulo equilátero 
KLP, se encuentran en planos perpendiculares. 
Si G es el baricentro de la región triangular KLP 
y Q es punto medio KN y MN = L, calcular la 
longitud de GQ 
A) L√17/3 B) L√21/3 C) L√17/6 
D) L√21/6 E) L√19/6 
 
35. En un triángulo ABC en el espacio, la altura 
relativa a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C es-
tán en un plano horizontal P y el vértice B es 
exterior a P de modo que el diedro B-AC-B’ (B’ es 
la proyección de B sobre P) mide 37°. Si AB’ = 10 
cm, entonces la longitud de AB (en cm) es: 
A) 10 B) 10,6 C) 127 
D) 5 6 E) 6 5 UNI_2011-II 
 
36. Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de 
BC,PM perpendicular al plano ABC, O centro 
del rectángulo, si BC = 2(AB) = 8 y PM = AB, 
entonces el área de la región triangular APO es: 
A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 
D) 7 6 E) 8 6 
 
37. El triángulo equilátero ABC, está inscrito en 
una circunferencia de radio r. Por B se traza BP 
perpendicular al plano de la circunferencia, tal 
que BP = 2r. Entonces el área de la región 
triangular APC es: 
A) 
23 5r
2
 B) 
25 3r
4
 C) 
25 2r
2
 
D) 
25 3r
2
 E) 
23 5r
4
 
 
38. En un triángulo isósceles ABC recto en B. 
Por el vértice B, se traza BD perpendicular al 
plano del triángulo. Si BD = 
2
2
 y BA = BC = 𝓁, 
entonces el área de la región triangular ADC es: 
A) 
2 2
6
 B) 𝓁2 2 C) 
2 2
4
 
D) 
2 2
2
 E) 
2 2
3
 
 
39. En un triángulo ABC, por B se traza BD 
perpendicular al plano del triángulo. Si AB = 10 
u, BC = 14 u, AC = 12 u y BD = 2 u, entonces el 
área (en u2) de la región triangular ACD es: 
A) 40 B) 48 C) 56 
D) 60 E) 64 
 
40. Por el vértice A de un hexágono regular 
ABCDEF, se traza AP perpendicular al plano del 
polígono. Si el área de la región triangular PFD 
es igual al área de la región hexagonal regular, 
entonces AP/AB es: 
A) 5 B) 2 2 C) 2 3 
D) 3 2 E) 3 
 
41. Por el incentro I de un triángulo rectángulo 
se traza una perpendicular al plano del 
triángulo, en la cual se toma un punto P, tal que 
PI = 2. Calcule la distancia desde el punto P a la 
hipotenusa, si los catetos miden 3 y 4. 
A) 3 B) 2 C) 5 
D) 6 E) 8 
 
42. En un cuadrado ABCD, M y N son puntos 
medios de CD y AD, respectivamente. Por M se 
traza MP perpendicular al plano del cuadrado. 
Si la distancia de P a BN es igual BM, calcule 
MP. Considere que la distancia de A a BN es 2. 
A) 3 B) 2 2 C) 4 
D) 5 E) 3 2 
 
43. Por el circuncentro O del triángulo 
equilátero ABC, se traza OP perpendicular a su 
respectivo plano, mientras que H es el 
ortocentro del triángulo APB. Calcule la medida 
del ángulo entre AP y HC. 
A) 60º B) 75º C) 120º 
D) 90º E) 45º 
 
 
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PROYECCIÓN ORTOGONAL Y ÁNGULO ENTRE 
UNA RECTA Y UN PLANO 
44. La proyección de un segmento de longitud 
17, sobre un plano, es 15. Determinar las 
distancias de sus extremos al plano, sabiendo 
que la suma de tales distancias es 28 
A) 11 y 17 B) 15 y 13 C) 23 y 5 
D) 12 y 16 E) 12 y 18 
 
45. Las proyecciones de un segmento de recta AB 
sobre un plano y sobre una recta perpendicular al 
plano miden, respectivamente 12 cm, 5 cm. 
Calcular la medida del segmento AB 
A) 17 cm B) 15 cm C) 14 cm 
D) 13 cm E) 7 cm 
 
46. Dos planos P y Q se intersecan en la recta L. Si 
un segmento AB de longitud √14 se encuentra en 
el plano P e interseca a la recta L formando un 
ángulo, cuya medida es 45°. Hallar la longitud de la 
proyeccion del segmento sobre el plano Q 
A) 3.0 
B) 3.5 
C) 4.5 
D) 5.0 
E) 7.0 
 
47. La recta oblicua AB con un plano P forma 
un ángulo que mide 45 y es igual a la medida del 
ángulo entre la proyección de dicha oblicua y la 
recta AC contenida en el plano P, calcule la 
medida del ángulo BAC. 
A) 15 B) 30 C) 45 
D) 60 E) 90 
 
48. Un rectángulo ABCD y un cuadrado ABEF 
están contenidos en dos planos perpendicula-
res. Si AE AD , entonces la medida del ángulo 
que forman la recta CD y el plano ABCD es 
A) 30 B) 36 C) 45 
D) 53 E) 60 
 
49. Se tiene un cuadrante AB de centro O 
(AO=OB). En el arco AB se ubica P y se traza 
CP perpendicular al plano que contiene al 
cuadrante. Si AO= 4, la distancia de P hacia OB 
es 3 y la medida del ángulo entre OC y el plano 
del cuadrante es 45º, calcule la medida del 
diedro OB. 
A) 37º B) 45º C) 53º 
D) 127º/2 E) 60º 
 
50. Según el gráfico, la región cuadrangular 
AF’P’H es la proyección ortogonal de la región 
cuadrangular AFPH sobre el plano N. Si PF = PH 
y el ángulo entre FP y el plano N mide α, calcule 
P'F'
P'H'
 
A) 1 
B) 2 
C) 2 
D) 1/2 
E) 1/3