Ángulos-Diedros-y-Triedros-para-Cuarto-de-Secundaria

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ÁNGULOS DIEDROS – TRIEDROS 
POLIEDROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁNGULOS DIEDROS 
Es la figura geométrica formada por la unión de 
sus semiplanos que tienen una recta en común a la 
cual se le denomina arista del ángulo diedro. 
 
 
Notación: 
Ángulo Diedro AB ó 
Ángulo Diedro 
P - AB - Q 
 
: Medida del ángulo 
 Diedro 
 
 
 PLANOS PERPENDICULARES 
 
Dos planos son perpendiculares, cuando 
determinan diedros que miden 90º. 
 
 
: Medida del 
ángulo diedro. 
 
Si  = 90º 
 
 P Q 
 
 
 
Observación.- Dos diedros adyacentes son 
suplementarios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UN PLANO 
Por definición la proyección ortogonal de un punto 
sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada de 
este punto al plano. De esto se concluye que la 
proyección ortogonal de cualquier figura geométrica 
sobre un plano es la reunión de las proyecciones 
ortogonales de todos sus puntos sobredicho plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea 'PP Q  P’ es la proyección del punto 
 P sobre el plano Q 
 
Además M es la proyección ortogonal de L sobre 
el plano Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁNGULO TRIEDRO 
Es aquel ángulo poliedro de tres caras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P Q 
cara cara 
x y 
 
B 
A 
Arista 
 
P 
Q
 
 P 
  
 Q 
 +  = 180º 
P’ 
 m 
P L 
Q 
Ángulos poliedros son 
figuras formadas por tres ó 
más regiones angulares que 
tienen el mismo vértice. 
O
 
A 
B 
C 
 
c a 
b 
 
 
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Notación.- 
 
Ángulo triedro O – ABC 
Triedro O – ABC 
 Medidas de las caras : a, b, c 
 Medidas de los diedros : , ,  
 
 
 
 
 
Observación.- 
 
A. Triedro Rectángulo.- Es aquel que tiene una 
cara que mide 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Triedro Bi-Rectángulo.- Es aquel que tiene 
dos caras que miden 90º. A los cuales se 
oponen diedros que miden 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Triedro Tri-rectángulo.- Es aquel que tiene 
sus tres caras que miden 90º entonces sus 
tres diedros miden 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indicar verdadero ó falso. 
I. Dos planos son perpendiculares cuando 
determinan diedros que mide 90º. 
II. El lugar Geométrico de los puntos 
equidistantes de las caras de un diedro es 
el plano bisector del diedro. 
III. Dos planos que se cortan forman diedros 
adyacentes suplementarios. 
a) VFF b) VVF c) VVV 
d) FFV e) FVF 
 
2. Indicar verdadero ó falso 
I. En todo triedro la suma de las medidas de 
las caras es mayor de 0º y menor de 360º. 
II. Un triedro Bi-rectángulo es aquel que 
tiene dos caras que miden 45º. 
III. Un ángulo triedro es aquel ángulo poliedro 
de tres caras. 
a) FFF b) VVV c) VFV 
d) VVF e) FFV 
 
3. En un rectángulo ABCD: AB = 2 y BC = 4. Se 
dobla el rectángulo por los puntos medios de BC 
y AD formándose un ángulo diedro de 60º. 
Hallar la distancia entre los vértices A y C en la 
posición final. 
a) 2 b) 3 3 c) 3 
d) 2 2 e) 6 
 
4. Dado el triedro tri-rectángulo O-ABC sobre sus 
aristas se toman longitudes OA = OB = OC = 10. 
Calcular el área de la región triangular ABC. 
a) 25 6 b) 75 6 c) 50 3 
d) 50 6 e) 25 3 
 
5. Dado un triedro tri-rectángulo O-ABC cuyas 
aristas OA, OB, OC miden 4 2 . Calcular el área 
de la región triangular ABC. 
a) 16 b) 16 3 c) 18 
d) 18 2 e) 17 3 
 
6. Se tiene un triángulo isósceles AOB; AO = OB = 2a, 
se levanta la perpendicular OM al plano del 
triángulo, tal que OM = a 6 se une “M” con 
“A” y “B”. Hallar el diedro AB . 
Si: m ∡ AOB = 90º. 
a) 30º b) 60º c) 37º 
d) 53º e) 45º 
 
7. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB 
( º90O 

) AO = OB = 2m por “O”. Se levanta la 
perpendicular OM al plano del triángulo tal que 
OM= 2 , se une M con A y B. Hallar la medida 
del diedro AB . 
O 
B 
C 
A 
O 
B 
C 
A 
O 
B 
C 
A 
 
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a) 30º b) 37º c) 45º 
d) 53º e) 60º 
 
8. En la figura AB = 15, BC = 20, AC = 25; BP es 
perpendicular al plano del triángulo ABC. 
Calcular el ángulo diedro que forman los planos 
de los triángulos ABC y APC. Además BP = 12. 
 
a) 37º 
b) 15º 
c) 60º 
d) 30º 
e) 45º 
 
9. En el gráfico “BF” perpendicular al plano del 
cuadrado ABCD. Si : AB = BF = a y M es punto 
medio de CD . Calcular el área del triángulo FDM. 
a) 
2
a2
 
b) 
2
2a2
 
c) 2a2 
d) 
4
2a2
 
e) 
4
a38 2
 
 
10. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6cm , del 
lado AB se toma el punto “P” y exterior al plano 
del cuadrado se toma “Q” de modo que PQ sea 
perpendicular al plano. Calcular el ángulo diedro 
que forman los planos del triángulo CDP y el 
cuadrado ABCD sabiendo que PQ = 3cm. 
 a) 53º b) 53/2 c) 37º 
 d) 37º/2 e) 30º 
 
11. Se tiene una plano “P” y un segmento AB exterior. 
Calcular la medida del ángulo que forman AB y el 
plano “P” sabiendo que A y B distan del plano 13cm y 
7cm respectivamente además la proyección de AB 
sobre el plano mide 12cm. 
a) 45º b) 30º c) 22º33’ 
d) 15º e) 18º 
 
12. Los planos “P” , “Q” forman un ángulo diedro 
37º, AB = 12cm, AB es perpendicular; 

L es la 
intersección de los planos “P” y “Q” . calcular la 
distancia de “B” a la recta L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) 19 
 
13. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y 
ADFG se encuentran en planos que forman un 
diedro de 120º. Hallar BF , si : CD = AG = 2m y 
FG = 6m. 
 
a) 4 
b) 3 
c) 4 3 
d) 3 3 
e) 2 6 
 
14. Una hoja de papel de forma rectangular ABCD, 
tiene como dimensiones AB = 8( 5 - 1)m y 
BC = 3 m. Por los puntos medio de AB y CD se 
dobla la hoja de papel de manera que el ángulo 
diedro formado es de 72º. Hallar la distancia 
mínima que existe entre la arista del diedro y el 
segmento que une el centro de sus caras. 
a) 2 m b) 3 m c) 5 m 
d) ( 5 + 1)m e) 5210 m 
 
15. El coseno del ángulo diedro que forma la base 
del cubo con el plano que contiene a los puntos 
medios de las aristas EF , FG , AB y BC es : 
 
a) 3/ 41 
b) 1/ 3 
c) 1/2 
d) 2/3 
e) 3/4 
 
 
1. Indicar verdadero o falso. 
I. En todo ángulo triedro la suma de las 
medidas de los ángulos diedros es mayor 
de 180º y menor de 540º. 
II. Un triedro tri-rectángulo es aquel que 
tiene sus tres caras que miden 90º. 
III. Un triedro rectángulo es aquel que tiene 
una cara que mide 90º. 
a) VFV b) FFV c) VVF 
d) VVV e) FFF 
 
2. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y 
ADFG se encuentran en planos que forman un 
diedro de 120º. Hallar BF, si: CD = AG = 2m y 
FG = 6m. 
 
a) 4 
b) 3 
c) 4 3 
d) 3 3 
e) 2 6 
A 
B C 
D 
F G 
A 
B 
P 
C 
A D 
B C 
F 
M 
B 
A P 
Q
 
A 
B C 
D 
F G 
A 
E 
F G 
H 
D 
C 
B 
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3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB 
en el cual AO = OB = 6 m por el punto O se 
levanta la perpendicular OM al plano del 
triángulo. Hallar OM si el diedro AB formado 
mide 60º. 
a) 1m b) 2m c) 3m 
d) 3,5m e) 3,8m 
 
4. Se tiene un plano Q y un segmento AB = 12m en 
el espacio. Hallar la medida del ángulo  formado 
por AB con el plano, si las proyectantes de A y B 
miden 13m y 7m respectivamente. 
a) 30º b) 37º c) 45º 
d) 53º e) 60º 
 
5. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y 
BC miden 15 y 20m. Por B se levanta la 
perpendicular m312BP  al plano del triángulo, 
luego se une P con A y C. Calcular la medida del 
diedro AC . 
a) 30º b) 37º c) 45º 
d) 53º e) 60º 
 
6. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre el 
plano. ¿A qué distancia del plano Q se debe 
trazar otro plano paralelo que corta a P1 tal que 
sus intersecciones distan 42cm?. 
 a) 21cm b) 31,5cm c) 21 2 
 d) 21 2 e) 21 2 
 
7. Se traza PQ perpendicular a un plano “Q” esta 
en el plano haciendo centro en Q. Se traza una 
circunferencia de radio
24cm, por un punto B de 
esta se traza la tangente BC de 30 m. 
Hallar: “PC”. Si: PQ = 32. 
 a) 40 b) 30 c) 50 
 d) 60 e) 20 
 
8. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano 
determina un triángulo cuya área es la mitad del 
área del primero. El diedro que forman los 
planos de los dos triángulos mide: 
 a) 15º b) 45º c) 30º 
 d) 50º e) 75º 
 
9. El plano P que contiene un trapecio isósceles, 
cuyas bases miden 6m y 112m y su altura 6m, 
forma el plano H que pasa por la mediana del 
trapecio , un ángulo de 60º. Hallar el área de la 
proyección del trapecio sobre el plano H. 
 a) 27 3 b) 27 c) 54 
 d) 36 e) 28 
 
10. Se tiene un punto A y un plano P, en el plano P se 
encuentra una circunferencia de su diámetro. Si 
la distancia más corta de “A” a la circunferencia 
es de 5u. Calcular la distancia más larga de “A” 
es la circunferencia sabiendo que A dista de 
plano 3u. 
 a) 3 u15 b) 2 u15 c) 2 u17 
 d) 36 e) 28 
 
11. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, los 
lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B 
se traza BF perpendicular al plano ABC, tal que 
BF = 4,8. Hallar la medida del ángulo diedro que 
forman los planos ABC y AFC. 
a) 15º b) 30º c) 45º 
d) 75º e) 90º 
 
12. Deducir el valor de verdad de las afirmaciones 
siguientes : 
I. El lugar geométrico de los puntos 
equidistantes de las caras de un diedro es 
el plano bisector del diedro. 
II. La magnitud del ángulo de un diedro 
depende de la posición del vértice. 
III. La intersección de un plano y una esfera 
nos da un círculo. 
IV. Dos planos que se cortan forman diedros 
adyacentes suplementarios. 
a) VFVV b) VVVV c) FFVV 
d) FVVV e) FFFV 
 
13. La suma de todos los ángulos diedros de un 
tetraedro cualquiera está comprendido entre : 
a) 4 rectos y 12 rectos 
b) 4 rectos y 24 rectos 
c) 6 rectos y 16 rectos 
d) 8 rectos y 24 rectos 
e) 2 rectos y 6 rectos 
 
14. Una hoja rectangular ABCD con AB = 3 m, BC = 
4 m es doblada por su diagonal AC hasta que se 
forme un ángulo diedro en AC de medida igual a 
60º. La distancia en metros de B a la cara ACD 
es : 
a) 
5
4
3 b) 
5
3
3 c) 
3
2
3 
d) 
5
6
3 e) 
3
4
3 
 
15. Sea  = ángulo diedro inferior (ABC, BCD). 
Entonces, tan  es igual a : 
 
a) 2 
b) 2 2 
c) 3 2 
d) 4 2 
e)  
 
 
A 
B 
C 
D