Apunte-Trigonometria

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Trigonometrí a 
 
Resolución de triángulos rectángulos 
Recuerda que: 
Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es 
recto, esto es, mide 90°. El lado mayor de un triángulo 
rectángulo se llama hipotenusa, mientras que los otros dos 
lados se llaman catetos. 
 
En cualquier triángulo, la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es 180°. Entonces, la suma de los dos 
ángulos agudos del triángulo rectángulo es 90°, es decir . 
 Teorema de Pitágoras 
 
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los 
cuadrados de las medidas de las longitudes de los catetos. En símbolos: a2 = b2 + c2 
 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo 
 
Definición: Dado el triángulo ABC, rectángulo en A (Figura 1), se definen las razones trigonométricas del ángulo 
agudo β de la siguiente manera: 
 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑏
𝑎
= 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
cos 𝛽 =
𝑐
𝑎
= 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑐
= 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Nota: De la misma manera se pueden definir las razones trigonométricas para el ángulo agudo 𝛾. 
El seno y el coseno son relaciones entre un cateto y la hipotenusa, en tanto que la tangente es una relación entre 
catetos. Estas razones trigonométricas son las que usaremos habitualmente en la resolución de los problemas. 
Para determinar los valores de las razones trigonométricas utilizaremos las calculadoras científicas. Por ejemplo, 
cuando se oprime la tecla , la calculadora nos da una aproximación al valor del seno del ángulo dado. 
El problema inverso. 
Algunos problemas se necesitan determinar la amplitud de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo cuyos lados 
se conoce. Por ejemplo sen α = ½. Para hallar el ángulo α utilizaremos las teclas de la calculadora. 
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Estas etiquetas de las teclas significan “seno inverso”. En el ejemplo α=30°. 
De la misma manera podemos utilizar las teclas de las calculadoras 
A modo de ejemplo calculemos el valor del ángulo x en cada una de las siguientes expresiones: 
 
Ejemplos 
1) Calcular los lados y ángulos que faltan de los siguientes triángulos rectángulos. 
a) b) c) 
 
 
 
 d) e) 
 
 
Resolución de problemas 
Problema 1 
 
 
 
En muchos de los ejemplos y ejercicios pueden aparecer ángulos de depresión y de elevación para un observador 
hipotético ubicado al nivel del piso. Si la línea de visión se refiere a un objeto físico, como un plano inclinado o la 
ladera de una colina, utilizaremos el término ángulo de inclinación. 
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Solución: 
Primero hallaremos la distancia entre los edicios: 
En el triángulo rectángulo inferior conocemos el ángulo agudo 52°, el cateto 
opuesto a él de 80m y debemos hallar el cateto adyacente x, utilizamos para ello 
la tangente: 
 
En el triángulo rectángulo superior conocemos el ángulo agudo de 43°, su cateto adyacente de 62,50 m y 
necesitamos hallar el cateto opuesto a dicho ángulo, nuevamente usamos la tangente: 
 
Problema 2 
Un ingeniero agrónomo está asesorando a un productor en la siembra de soja y busca definir las diferentes parcelas. 
En el sector sur del campo hay un río y necesitan conocer su ancho. ¿Será posible? 
Para realizar este trabajo contratan a un topógrado que con la ayuda de un teodolito (instrumento para medir 
ángulos) puede realizar la tarea. Para comenzar el trabajo coloca el teodolito en un punto A de un lado del río 
apuntándolo hacia un punto B en la otra margen. Después gira en A un ángulo de 90° y camina una cierta distancia 
hasta llegar al punto C. Coloca el teodolito en C y mide el ángulo con el que ve el punto B, como se muestra en la 
siguiente figura. 
 
 
 
 
Si el ángulo con que se ve el punto B desde el punto C resultó de 25° y la distancia que el topógrafo caminó desde A 
hasta C fue de 300 metros. ¿Cuál es el ancho del río? 
Solución: 
 En este caso se conoce un ángulo agudo, el cateto adyacente a dicho ángulo y se quiere saber la longitud del cateto 
opuestro al ángulo. Utilizamos la tangente: 
 
 
Nota: Este método tiene el siguiente inconveniente: 
situarse enfrente de algo no es una operación nada 
precisa. Si el río es ancho, el error que se comete 
puede ser muy grande. La forma de reducir el error 
es hacer que la distancia recorrida sea 
considerablemente grande en comparación con el 
ancho del río. 
Respuesta: La altura del edificio del frente 
es 58,28 m + 80 m = 138,28 m aprox. 
 
Respuesta: los edificios estarán separados 
62,50 m. aprox. 
 
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Resolución de triángulos cualesquiera 
Teorema del seno 
 
En todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos 
de los ángulos respectivamente opuestos. Esta propiedad se conoce como 
teorema del seno. 
 
Ejemplo 
 
Teorema del coseno 
 
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma d los 
cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de éstos por el coseno del 
ángulo comprendido. Esta propiedad se conoce como teorema del coseno. 
 
 
Ejemplo 
 
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Actividades 
1) El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un ángulo de 48° con la horizontal. Encuentra la altura del 
barrilete con respecto al suelo, si el hilo mide 87 m y su extremo se sostiene a 1,3 m del suelo. Realiza 
previamente una figura de análisis. 
2) Un faro ubicado sobre la playa tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y en un ángulo de 
depresión de 76° se divisa una embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra la embarcación? 
 
3) Una persona observa en un ángulo de 54° lo alto de un edificio; si la persona mide 1,72 metros y está ubicada a 
18 metros de la base del edificio. ¿Cuál es la altura en metros del edificio? 
 
4) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es de 6 km y la de B a C es de 842m. El 
ángulo que forman estas carreteras es de 90°. Calcular la distancia entre A y B. 
5) Un árbol de 22 metros de altura está sostenido por un alambre sujeto a una estaca en el suelo. Dicho alambre 
mide 24 metros y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿A qué distancia del pie del árbol se encuentra sujeto el 
alambre? 
6) Una pelota se deja caer desde la parte más alta de una rampa de 4 m de altura y que forma un ángulo de 30° 
con el piso. 
a) ¿Qué distancia recorrerá hasta llegar al piso? 
b) ¿Y hasta llegar a 2 metros de altura? 
c) ¿Cuánto mide la base de la rampa? 
7) El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto de la horizontal es de 22°. Avanzando 
12m hacia la torre, se vuelve a medir el ángulo de elevación, que ahora es de 45°. 
Calcular la altura de la torre. 
8) Un pentágono rectangular está inscripto en una circunferencia de radio r=8cm (ver 
figura). Acotar y luego calcular la medida del segmento OC. (Acotar significa poder 
decir en menor que, inmediatamente antes de hacer cuentas) 
 
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9) La distancia entre dos hoteles de techo plano es de 40 m. desde la azotea del menor de los hoteles se observa la 
azotea del otro, y el ángulo de elevación resulta 55°. Calcular la altura del hotel más bajo si se sabe que la del 
más alto es de 97 m. 
10) Dos personas separadas 730 m ven un avión que vuela sobre ellos con ángulos de elevación de 28 y 42
respectivamente. ¿A qué altura vuela el avión? 
11) Se sabe que el aro de baloncesto está a 3,3 m del piso. Los ojos de un jugador están a 1,98m del piso. Si el 
jugador se encuentra en la línea de tiro a 5 m del centro del aro de la canasta. ¿Cuál es el ángulo de elevación 
de los ojos del jugador al centro del aro?12) Dado el triángulo graficado, hallar el lado x. 
 
13) Dos aviones viajan a la misma altura, la distancia entre ellos es de 8 km. 
Despreciar la curvatura de la tierra. Un observador desde tierra los ve con 2 
ángulos diferentes (42° y 28°). Calcular: 
 a) Las distancias del observador a cada uno de los aviones. 
 b) La altura a la que están volando los aviones (medida perpendicularmente 
a la tierra). 
14) Un terreno de forma triangular debe cercarse con alambrado. Se necesita conocer 
el perímetro para solicitar los materiales necesarios. Los datos se suministran junto 
a la gráfica. 
 
15) Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas que forman 
entre si un ángulo de 80º. Si las velocidades son 60 km/h y 100 km/h, ¿qué 
distancia los separa después de una hora y media de recorrido? 
16) Un árbol es observado desde dos puntos opuestos separados 250 metros con ángulos de elevación de 30º y 25º. 
¿A qué distancia está de la cúspide cada punto de observación? 
17) Se desea construir un túnel a través de una montaña. Un topógrafo realizó las 
mediciones que se muestran en el dibujo. Determinar la longitud del túnel.