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MÓDULO DE MATEMÁTICA – INGRESO 2023 
TRABAJO PRÁCTICO N° 4 
UNIDAD N° 4: CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 
 
 
1.- Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
a.- Dos rectas paralelas a una tercera tienen un punto en común. F 
b.- Una recta es un subconjunto propio del espacio que tiene al menos dos puntos. V 
c.- Dos rectas perpendiculares tienen al menos un punto en común. F. 
Tienen 1 
d.- La letra A se forma por rectas paralelas. F 
e.- La letra T se forma por rectas perpendiculares. V 
f.- La senda peatonal está conformada por rectas secantes. F 
 
2.- A partir de la siguiente imagen indicar si las afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
 
a.- INK̂ es un ángulo llano. F 
b.- INM̂ e JNÎ son ángulos suplementarios. V 
c.- KNL̂ es un ángulo convexo. V 
d.- LNK̂ y INM̂ son ángulos opuestos por el vértice. F 
e.- INM̂ y MNL̂ son ángulos adyacentes. V 
f.- KNĴ y JNÎ son ángulos consecutivos. V 
 
3.- A partir de los siguientes datos: 
 
a) b = 50 m; c = 64 m. Calcular los ángulos A, B, C y la hipotenusa a. 
𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 = √502 + 642 = 81,216 𝑚 
𝐴 = 90° 
𝐵 = arctan (
50
64
) = 37° 59′ 55′′ 
𝐶 = arc tan (
64
50
) = 52° 0′4′′ 
 
 
 
2 
 
b) a = 60 cm; c = 28 cm. Calcular los ángulos A, B, C y el cateto b. 
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √602−282 = 53,07𝑐𝑚 
𝐴 = 90° 
𝐵 = arccos (
28
60
) = 62°10′54′′ 
𝐶 = arcsen (
28
60
) = 27°49′5′′ 
c) b = 2 cm; c = 4 cm. Calcular las razones trigonométricas de B̂ y Ĉ 
𝑎 = 2√5 ≅ 4,47 cm 
sen C = cos 𝐵 =
2
√5
=
2√5
5
 
cos C = sin 𝐵 =
2
2√5
=
√5
5
=
1
√5
 
tan 𝐵 =
2
4
=
1
2
 
tan 𝐶 =
4
2
= 2 
 
4.- ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero? ¿Y los exteriores? 
Cada ángulo INTERIOR mide α = 60°. 
Cada ángulo EXTERIOR es igual a: 180° − 60° = 120°. 
 
5.- Calcular: 
 𝑏𝑎�̂� =_______ 
 𝑎𝑐�̂� =_______ 
 𝑎𝑏̅̅ ̅ =_______ 
 
El ángulo 𝑏𝑐�̂� es adyacente al ángulo 157°22′48′′, por lo tanto, 𝑏𝑐�̂� = 180° − 157°22′48′′ = 22°37′12′′ 
El ángulo 𝑎𝑐�̂� puede calcularse con la propiedad de los ángulos internos de un triangulo 
𝑏𝑐�̂� + 𝑎𝑐�̂� + 90° = 180° 
𝑎𝑐�̂� = 90° − 𝑏𝑐�̂� = 90° − 22°37′12′′ 
𝑎𝑐�̂� = 67°22′48′ 
El lado 𝑎𝑏̅̅ ̅ se calcula con teorema de Pitágoras. 
𝑎𝑏̅̅ ̅2 + (12cm)2 = (13cm)2 
𝑎𝑏̅̅ ̅ = √169𝑐𝑚2 − 144𝑐𝑚2 = 5𝑐𝑚 
 
 
 
3 
 
 
6.- Dado un triángulo con ángulos interiores α̂, β̂ y γ̂, cuyos ángulos exteriores son â, b̂ y ĉ 
respectivamente, completar el siguiente cuadro: 
ÁNGULOS INTERIORES ÁNGULOS EXTERIORES CLASIFICACIÓN DEL 
TRIÁNGULO SEGÚN SUS 
ÁNGULOS 
 α̂ β̂ γ̂ â b̂ ĉ 
a) 125°30’ 32°18’ 22°12’ 54°30’ 147°42’ 157°48’ Obtusángulo 
b) 24°19’30’’ 90°17’15’’ 65°23’15’’ 155°40’30’’ 89°42’45’’ 114°36’45’’ Obtusángulo 
 
7.- Dada la siguiente figura, responder: 
a) ¿Es cierto que �̂� + �̂� − �̂� = 90° 
Observemos que 
α + 𝑥 = 90° 
β + 𝑥 + 𝑦 = 90° 
γ + 𝑦 = 90° 
Por lo tanto, 𝑦 = 90° − γ, y 𝑥 = 90° − α 
Si reemplazamos en la segunda igualdad obtenemos 
β + 90° − α + 90° − γ = 90° 
90° = 90° − 90° + α + γ − β 
Así, es cierto que α + γ − β = 90°- 
 
b) Si 𝛾 = 70°15′ y �̂� = 43°27′10′′ ¿Cuál es el valor del ángulo �̂�? 63°12′10′′ 
 
8.- En la siguiente figura, el área sombreada es igual a 27 𝑚2 ¿Cuál es el 
valor del lado x? 𝑥 = 6𝑚 
 
 
 
9.- Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
a.- En todo triángulo, el valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos 
internos no adyacentes. 
V 
b.- Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 5 m, 30 dm y 1500 mm. F 
x 
y 
y 
 
4 
 
c.- En la siguiente figura, el valor del ángulo 𝑥 es igual a α̂ + β̂ + γ̂. 
 
V 
d.- Es posible construir un triángulo obtusángulo con dos ángulos internos obtusos. F 
e.- En todo triángulo, los ángulos exteriores son obtusos. F 
f.- Se puede construir un triángulo equilátero y rectángulo. F 
g.- Todo triángulo isósceles es también acutángulo. F 
h.- El área de un triángulo rectángulo es igual a 
𝑐1.𝑐2
2
, donde c1 y c2 son los catetos. V 
 
10.- En la siguiente figura, calcule el valor del ángulo �̂�. 
 
 
Por propiedad de triángulos, 70° + 40° + 2α = 180° 
Entonces, α = 35° 
Además, 𝑥 + α + 90° = 180°, entonces 𝑥 = 180° − 35° − 90° = 55° 
 
11.- Resolver: Un pintor está pintando un edificio de 9 metros de alto. Cuenta con una escalera de 
12 metros, pero para que la misma este estable debe apoyar la base como mínimo a una distancia 
de 6 metros del edificio. ¿Podrá pintar el edificio completo con esa escalera? 
Por teorema de Pitágoras 
(9𝑚)2 + 𝑥2 = (12𝑚)2 
𝑥 = √144𝑚2 − 81𝑚2 ≅ 7,94𝑚 
Si puede pintar el edificio completo, ya que para llegar a la parte superior debe colocar la escalera 
a 7,94m del edificio. 
 
12.- Observar la siguiente figura, resolver y completar la tabla: 
 a b c �̂� 𝛾 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑐𝑜𝑠 �̂� 𝑡𝑔 �̂� 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝑡𝑔 𝛾 
a) 8 6,93 4 60° 30° √𝟑
𝟐
 
𝟏
𝟐
 √𝟑 
𝟏
𝟐
 √𝟑
𝟐
 
√𝟑
𝟑
 
b) 7,07 5 5 45° 45° √𝟐
𝟐
 
√𝟐
𝟐
 
1 √𝟐
𝟐
 
√𝟐
𝟐
 
1 
c) 25 7 24 𝟏𝟔° 𝟏𝟓´ 𝟑𝟔, 𝟕𝟒´´ 𝟕𝟑° 𝟒𝟒´ 𝟐𝟑, 𝟐𝟔´´ 0,28 0,96 0,29 0,96 0,28 3,43 
d) 11,18 10 5 𝟔𝟑° 𝟐𝟔´ 𝟓, 𝟖𝟐´´ 𝟐𝟔° 𝟑𝟑´ 𝟓𝟒, 𝟏𝟖´´ 0,89 0,45 2 0,45 0,89 0,50 
 
 
5 
 
 
 
 
13.- Plantear y resolver: 
 
a) Se realiza un inventario de uno de los productos que vende la empresa para evaluar las unidades 
que aún quedan en stock. 
El encargado de realizar la tarea analiza los ficheros del depósito y encuentra que el producto que 
desea recontar solo se ubica en el último estante de la pared izquierda del depósito. 
Para llevar a cabo el trabajo, el responsable utiliza una escalera que se inclina a 62° del suelo. 
Teniendo en cuenta que dicho estante se encuentra a 5 metros sobre el suelo: 
 
a.1) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la pared y la escalera? 
El ángulo que se forma entre la pared y la escalera es de 28°. 
 
a.2) ¿Cuántos metros mide la escalera? 
La escalera mide 5,66 metros. 
 
a.3) ¿A qué distancia de la pared se ubica el inicio de la escalera? 
La pared se ubica a 2,66 metros de distancia del inicio de la escalera. 
 
 
b) Al mes siguiente, el mismo encargado del ejercicio anterior, debe realizar el inventario, pero de 
otro producto que esta vez se encuentra ubicado en el primer estante de la pared derecha del 
depósito. Entre los elementos disponibles con los que cuenta en ese momento para acceder a dicho 
estante solo hay una escalera de 7 metros que fija a 4 metros de distancia respecto a la pared. 
En este caso: 
b.1) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la escalera y la pared? 
El ángulo que se forma entre la escalera y la pared es de 34° 50´ 59,66´´. 
 
b.2) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la escalera y el suelo? 
El ángulo que se forma entre la escalera y el suelo es de 55° 9´ 0,34´´. 
 
b.3) ¿A cuántos metros sobre el suelo está ubicado el estante? 
El estante está ubicado a 5,74 metros sobre el suelo.6 
 
 
c) Una empresa quiere realizar una ampliación para reorganizar sus departamentos (compras, 
producción, ventas) de manera que resulte más eficiente la interrelación entre ellos. 
Luego de analizar los presupuestos otorgados por distintas compañías de la construcción, contrató 
con una de ellas para comenzar con la obra. 
Los obreros cuentan con una madera de 17 metros que ubican desde el suelo hasta el techo de la 
empresa de 8 metros de altura, a los fines de ser utilizada como una rampa que permita trasladar 
los materiales necesarios hasta la zona de la construcción. ¿Qué pendiente tendrá la rampa? 
La rampa tendrá una pendiente de 𝟐𝟖° 𝟒´ 𝟐𝟎, 𝟗𝟓´´. 
 
 
 
 
 
d) La planta de producción de una empresa tiene forma rectangular. Uno de los lados de la planta 
mide 284 metros y si se traza una diagonal formaría con este un ángulo de 30°. 
d.1) ¿Cuál es la longitud de la diagonal? 
 
La longitud de la diagonal es 327,93 metros. 
 
d.2) ¿Cuál es el área de la planta de producción? 
 
El área de la planta de producción es 46566,76 metros cuadrados. 
 
 
e) Con el objetivo de separar dos especies de legumbres, un productor desea cercar con tres piezas 
de madera un terreno de la siguiente manera: 
e.1) ¿Cuántos metros debería comprar de madera? 
El productor deberá comprar 65 metros de madera. 
 
e.2) ¿Qué ángulo debería considerar para alinear la pieza de madera que 
se ubica en la diagonal? 
El productor debería considerar un ángulo de 36° 52´ 11,63´´ para alinear la pieza de 
madera que se ubica en la diagonal. 
 
f) Un camión recorre durante el proceso de producción un camino establecido que une tres 
estaciones dentro de la empresa, primero traslada las materias primas de la estación A hacia la 
estación B, luego transporta los productos en proceso de la estación B hasta la estación C y 
finalmente traslada los productos terminados desde la estación C a la estación A donde se cargan 
a los camiones que salen de la empresa y recorren el país repartiendo la mercadería. 
 
 
7 
 
 
La distancia que realiza desde la estación A hasta la estación B y desde la estación B a la estación 
C es exactamente igual y el ángulo que se forma entre ambos recorridos es de 40°, sin embargo, 
desde la estación C hasta la estación A recorre 64 metros. ¿Cuál es el perímetro del recorrido? 
 
 
 
El perímetro del recorrido es de 251,12 metros. 
 
g) Cerca del centro está ubicado un edificio de cinco pisos perteneciente a una empresa, en los 
primeros cuatro se encuentran las oficinas del departamento de finanzas y del departamento de 
marketing, y en el último piso se encuentran las oficinas de la dirección general. 
Un ingeniero es contratado para evaluar el daño estructural del edificio debido a que se trata de una 
construcción bastante antigua. 
El profesional se ubica a 20 metros de la base del edificio para obtener una visión global, a partir de 
su línea de visión que está a 1,90 metros sobre el suelo al mirar hacia el cuarto piso eleva su mirada 
38° y al mirar hacia la cúspide del edificio la eleva 5° más. 
 
 
g.1) ¿Cuál es la altura del edificio? 
 
La altura del edificio es 20, 55 metros. 
 
g.2) ¿Qué parte de la altura del edificio corresponde a las oficinas de la dirección general? 
La parte de la altura del edificio que corresponde a las oficinas de la dirección general es 3,02 metros. 
 
 
8 
 
 
g.3) ¿Qué parte de la altura del edificio corresponde a las oficinas del departamento de finanzas y 
del departamento de marketing? 
La parte de la altura del edificio que corresponde a las oficinas del departamento de finanzas y del 
departamento de marketing es 17,53 metros. 
 
h) A un barco se lo ve desde un faro de 25 m ubicado en la costa con un ángulo de depresión de 
12°, ¿Cuál es la distancia entre la costa y el barco? 
 
 
i) Una columna sostiene una estatua. Con un teodolito (aparato para medir ángulos) ubicado a 8 m 
del pie de la columna se ve el extremo superior de la estatua bajo un ángulo de elevación de 55° y 
el extremo inferior de la misma bajo un ángulo de 35°, ¿Cuál es la altura de la estatua? 
 
j) Una antena de comunicaciones está sujeta desde su extremo al piso por un cable de acero de 16 
m de longitud, que forma un ángulo de 25° con dicha antena. ¿Cuál es la altura de la antena y a 
que distancia de la misma está amarrado el cable al suelo? 
 
 
 
9 
 
 
Repaso teórico: Teorema del seno y del coseno 
Teorema del seno: 
En trigonometría, el teorema de los senos o también llamado Ley de los senos, es una 
relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus 
respectivos ángulos opuestos. Usualmente se presenta de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
Teorema del coseno: 
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos 
lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman: 
 
a2 = b2 + c2 − 2bc ∙ cos α 
b2 = a2 + c2 − 2ac ∙ cos β 
c2 = a2 + b2 − 2ab ∙ cos γ 
 
 
 
14.- Observar la siguiente figura, resolver y completar la tabla: 
 
 a b c �̂� �̂� 𝛾 
a) a) 1,51 1,73 2 47° 57° 76° 
b) b) 5 6,36 6 𝟒𝟕° 𝟑𝟔´ 𝟗, 𝟐𝟕´´ 70° 𝟔𝟐° 𝟐𝟑´ 𝟓𝟎, 𝟕𝟑´´ 
 
 
15.- En una empresa, el encargado de la logística y distribución de las mercaderías quiere elegir el 
recorrido más eficiente para el camión que las transporta. Para ello analiza diferentes recorridos 
entre diversas cadenas de supermercados. 
Al trazar uno de los caminos en un plano arma la siguiente 
gráfica: 
En este caso ¿Cuál es la distancia total que debe recorrer el 
camión? 
En este caso, la distancia que debe recorrer el camión es de 72,94 kilómetros. 
 
 
10 
 
 
16.- Al evaluar las diferentes alternativas para reforzar la seguridad del depósito de una empresa, 
se decide instalar tres cámaras cerca de su perímetro. Dichas cámaras tienen diferentes rangos de 
visión, aunque todas se mantienen fijas. 
Se instala la cámara A a 75 metros de distancia de la B y a 55 metros de la C, y esta última a 30 
metros de la cámara B. ¿Cuál es la cámara que tiene mayor ángulo de visión sobre el depósito? 
 
 
La camara C es la que tiene mayor ángulo de visión sobre el deposito, tiene una 
amplitud de 121 grados y 27,3 segundos mayor a la camara A y a la camara B. 
 
 
 
17.- Dos veces por semana, el gerente de producción de una empresa observa y evalúa el 
funcionamiento de las distintas maquinarias necesarias para convertir las materias primas en 
producto terminado. 
En total hay cinco maquinarias que forman parte del proceso de producción, distribuidas en la planta 
como indica la siguiente figura: 
El recorrido que realiza el gerente empieza en la maquinaria 1, continúa por la maquinaria 2, sigue 
por la maquinaria 3, luego analiza la maquinaria 4 y finalmente la maquinaria 5. Al volver pasa por 
la maquinaria 3 para llegar directamente a la maquinaria 1 donde arma un informe y posteriormente 
se retira. 
De la maquinaria 1 a la 2 hay unadistancia de 175 metros y los ángulos �̂� y �̂� miden 105° y 15° 
respectivamente. 
Luego, de la maquinaria 3 a la 4 hay 150 metros de distancia y de la 4 a la 5 hay 100 metros, 
además el ángulo �̂� mide 38° 57´ 48,92´´. ¿Cuántos kilómetros recorre el gerente de producción 
por semana para visualizar el desempeño de la planta? 
 
El gerente de producción recorre 3,52 kilómetros por semana para 
visualizar el desempeño de la planta. 
 
 
 
 
18.- Un observador que se encuentra sobre el tejado de una casa, halla que el ángulo de elevación 
desde su punto de vista hasta la punta de una torre de alta tensión es de 18° y el ángulo de depresión 
hasta el pie de esta es de 7°. Hallar la distancia (medida horizontalmente) entre el observador y la 
torre, además encuentre la altura de dicha torre si la distancia en línea recta desde los ojos del 
observador hasta el pie de la torre es de 41 m. 
 
11 
 
 
 
 
19.- Un edificio tiene en su techo una antena de radio. Si desde unos 150 m en la vereda se ve que 
el ángulo que va desde la base de la antena y su extremo es de 10° y sabiendo que el edificio mide 
60 m. ¿Cuál es la altura de la torre? 
 
20.- Un globo aerostático asciende verticalmente a velocidad constante. Cuando se encuentra a 80 
m de altura, una persona desde la canastilla del globo ve un objeto a cierta distancia de su vertical. 
En ese instante la línea de visión del observador con el objeto forma un ángulo de 67° con la vertical. 
Después de un tiempo, en que continúa subiendo en dirección vertical, el ángulo cambia a 56°. 
Considerando despreciable la altura del objeto. ¿Qué altura alcanzo el globo durante el periodo de 
observación? 
 
 
21.- Una valla que rodea un terreno tiene forma triangular, con su lado mayor 
midiendo 20 m y otro de sus lados 6 m. Si el ángulo entre estos 2 lados es de 60°, 
calcular el perímetro de la valla. 
𝑥2 = 202 + 62 − 2 ∗ 20 ∗ 6 ∗ cos(60) 
𝑥2 = 400 + 36 − 2 ∗ 20 ∗ 6 ∗
1
2
 
𝑥 = √316 ≅ 17,78𝑚 
𝑃 = 20𝑚 + 6𝑚 + 17,78𝑚 = 43,78𝑚 
 
12 
 
 
 
22.- Para medir la altura de un edificio uno puede utilizar un teodolito, un instrumento de medición 
de ángulos. Si se sabe que la altura del edificio es de 15m, la distancia entre la base del edificio y 
el teodolito es de 9.25m y que el ángulo que barre el instrumento entre la base y techo del edificio 
es de 92°. Calcule la distancia entre el techo y el instrumento. 
 
15
𝑠𝑒𝑛(92)
=
9,25
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
𝑠𝑒𝑛 �̂� =
9,25 ∗ 𝑠𝑒𝑛(92°)
15
= 0,6163 → �̂� = 38,04° = 38°2′44′′ 
𝛽 = 180° − 92° − 38,04° = 49,96° = 
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
15
𝑠𝑒𝑛(92)
 
𝑥 =
15 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛(92)
= 11,49𝑚 
 
 
23.- Un proyector con un ángulo de apertura de 70° dista 5 m con respecto a la parte inferior de la 
pantalla y 6 m con la parte superior de la pantalla. Encuentre la dimensión de la pantalla y los 
ángulos internos del triángulo que se forma. 
𝑥2 = 62 + 52 − 2 ∗ 6 ∗ 5 ∗ cos(70°) 
𝑥 = 6,36𝑚 
5
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
6.36
𝑠𝑒𝑛(70)
→ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
5 ∗ 𝑠𝑒𝑛(70)
6,36
= 0,7387 → 𝛼 = 47,63°
= 47°37′30′′ 
𝛽 = 180° − 70° − 47,63° = 62,37° = 62°22′21′′ 
 
 
24.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: 
a) 3 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 
3 + 3 cos 𝑥 = 2(1 − cos2 𝑥) 
2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 1 = 0 
cos(𝑥1) =
−3 + √32 − 4 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 2
= −
1
2
↔ 𝑥1 = arccos (−
1
2
) = 120° 𝑦 240° 
cos(𝑥2) =
−3 − √32 − 4 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 2
= −1 ↔ 𝑥2 = arccos(−1) = 180° 
 
 
6m 
5m 
70° 
 
13 
 
 
 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = cos 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 
2(𝑠𝑒𝑛 𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1) = 0 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥1) = 0 ↔ 𝑥11 = 0° 𝑥12 = 180° 𝑥13 = 360° 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) + 1 = 0 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) = −1 ↔ 𝑥21 = 270° 
 
c) cos 𝑥 + 2 sen 𝑥 = 2 
1
2
cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 
1
2
cos 𝑥 + √1 − cos2 𝑥 = 1 
√1 − cos2 𝑥 = 1 −
1
2
cos 𝑥 
1 − cos2 𝑥 = (1 −
1
2
cos 𝑥)2 
1 − cos2 𝑥 = 1 − cos 𝑥 +
1
4
cos2 𝑥 
5
4
cos2 𝑥 − cos 𝑥 = 0 
5
4
cos 𝑥 (cos 𝑥 −
4
5
) = 0 
cos(𝑥1) = 0 =↔ 𝑥1 = arccos(0) = 90° 𝑦 270° 
cos(𝑥2) −
4
5
= 0 ↔ 𝑥2 = arccos (
4
5
) = 36°52′11′′ ó 323°7′48′′ 
 
d) tan 𝑥 = tan (
𝜋
2
− 2𝑥) 
𝑥 =
𝜋
2
− 2𝑥 
3𝑥 =
𝜋
2
 
𝑥 =
𝜋
6
= 30° 
 
 
 
 
 
14 
 
e) sen2x − cos2x =
1
2
 
 
f) Repasar las identidades de ángulos dobles: 
 
 
 
sen2x. cosx = 6sen3x 
Transformamos el seno del ángulo doble, y pasamos el 2 
dividiendo al lado derecho. 
2𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛3𝑥 
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛3𝑥 
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0 
Sacamos factor común sen x 
𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 0 
Como el producto da cero, o bien, el primer factor es cero ó el segundo factor debe ser cero. Entonces: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0º + 180º𝑘 
Y 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
1 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1
4
 → 𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±
1
2
 
 
15 
 
 Aplicando la inversa del seno: 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 
1
2
 → 𝑥2 = 30º + 360º𝑘 
 → 𝑥3 = 120º + 360º𝑘 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −
1
2
 → 𝑥4 = 210º + 360º𝑘 
 → 𝑥5 = 330º + 360º𝑘 
 
Sólo se piden las soluciones entre 0° y 360°. 
g) 2cosx = 3tgx 
2𝑐𝑜𝑠𝑥 =
3𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 
2(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 
2 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 
Resolvemos como una ecuación de segundo grado en la incógnita es sen x. 
Obtenemos dos soluciones: 
Solución 1: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
 → 𝑥1 = 30º + 360º𝑘 
 → 𝑥2 = 150º + 360º𝑘 
Solución 2: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −2 → 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑖𝑛𝑔ú𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑜 𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑟 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 1 ó − 1 
 
25.- Pruebe las siguientes identidades trigonométricas: 
a) 
𝑠𝑒𝑐 𝑦
tan y+cot y
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑐 𝑦
tan y +
1
tan y
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑐 𝑦
sen2y + cos2 𝑦
cos y ∗ sen y
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑐 𝑦
1
cos y ∗ sen y
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
1
cos 𝑦
∗ cos 𝑦 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
 
16 
 
 
b) 
csc 𝑥
tan 𝑥 + cot 𝑥
= cos 𝑥 
𝑐𝑠𝑐 𝑥
tan x +
1
tan x
= cos 𝑥 
csc 𝑥
sen2x + cos2 𝑥
cos x ∗ sen x
= cos 𝑥 
csc 𝑥
1
cos x ∗ sen x
= cos 𝑥 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
∗ cos 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥 
cos 𝑥 = cos 𝑥 
 
c) 1 + tan2 𝑥 = sec3 x ∙ cos x 
1 +
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos3 𝑥
∗ cos 𝑥 
cos2 x + sen2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
 
1
cos2 x
=
1
cos2 x
 
 
d) tan 𝑥 + tan 𝑦 = tan 𝑥 ∙ tan 𝑦 ∙ (cot 𝑥 + cot 𝑦) 
tan 𝑥 + tan 𝑦 = tan 𝑥 ∙ tan 𝑦 ∙ (
1
tan 𝑥
+
1
tan 𝑦
) 
tan 𝑥 + tan 𝑦 = tan 𝑥 ∙tan 𝑦 ∙ (
tan 𝑦 + tan 𝑥 
tan 𝑥 ∗ tan 𝑦
) 
tan 𝑥 + tan 𝑦 = tan 𝑥 + tan 𝑦 
 
 
26.- Dos estudiantes resolvieron el siguiente problema con dos métodos distintos, llegando a dos 
conclusiones distintas. 
A continuación, se detallan los dos métodos y sus respectivas justificaciones. 
Responder: 
a) Alguno de ellos, ¿resolvió correctamente el problema? 
b) ¿Cuál es el error en la(s) conclusión(es) equivocada(s)? 
 
 
17 
 
 
Ambos estudiantes aplicaron técnicas equivocadas para verificar identidades trigonométricas. Lo 
que se debe hacer es empezar desde un miembro, y mediante identidades u operaciones 
algebraicas (sin “pasar términos de un lado al otro”) tratar de llegar al otro miembro. El estudiante B 
pudo llegar a esa conclusión porque la ecuación original no era una identidad, y su método es válido 
para la resolución de ecuaciones. Notamos que el primer paso que hizo el estudiante A no es 
“reversible”, o en términos más rigurosos, la función que aplicó 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no es inyectiva. Entonces 
aparecieron soluciones que cumplen la ecuación resultante [𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2 = [−𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2 pero no la 
original 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
27.- Un campo de cultivo de 2 ha tiene la forma de un triángulo isósceles. Se 
sabe que cada uno de los lados iguales mide el doble que el lado distinto, si 
se quiere cercar el campo completo con malla ¿cuántos metros de malla se 
necesita para hacerlo? Redondee a la centésima. 
 
Se necesitan 718,61m de malla. 
 
 
28.- En el diagrama se muestra dos círculos idénticos y un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Los puntos 𝐴 y 𝐵 
están sobre la circunferencia de los dos círculos; y los puntos 𝐶 y 𝐷 son los centros de los dos 
círculos respectivamente. El radio de los círculos es 20 𝑐𝑚 y el área del rectángulo es 200𝜋 𝑐𝑚2. 
Verificar que las dos áreas sombreadas tienen igual magnitud. 
 
Llamamos la región sombreada arriba 𝑃, la región sombreada abajo 𝑄, la región en verde 𝑅 y la 
región en azul 𝑆. Notamos que 𝑅 y 𝑆 son 
1
4
 de un círculo, ya que al ser 
𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectángulo, los ángulos 𝐴𝐷𝐶 y 𝐵𝐶𝐷 (en naranja) son de 90°. 
Procedemos de la siguiente manera: Calculamos el área de la región 
𝑅 y la región 𝑆. Luego, notamos que la suma de 𝑅 + 𝑆 es parte del 
área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, sin contar 𝑃 pero contado 𝑄 dos veces. 
Entonces, el área 𝑅 + 𝑆 − 𝑄 + 𝑃 debe ser el área del rectángulo total. 
(Se puede verificar este hecho cortando y pegando papeles.) 
Pero sabemos el área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, y el área de las dos regiones 𝑅 y 𝑆. Con eso, 
podemos plantear una ecuación que relacionen estos datos y obtenemos que 𝑃 = 𝑄, que es lo 
que queríamos verificar. 
 
18 
 
 
29.- 
a) 𝐶𝐴 = 56 𝑐𝑚. 
𝐴𝐵 = 70 𝑐𝑚. 
b) 208 𝑐𝑚 
 
30.- 𝑛 = 9 
 
31.- 
a) Notamos que, en un polígono regular, todos sus ángulos interiores son iguales. Empezamos 
con encontrar el ángulo central, que en un polígono regular de 10 lados es igual a 360° ∶ 10 = 36°. 
Luego, usando la relación entre ángulo interior y ángulo central obtenemos que un ángulo interior 
mide 180° − 36° = 144°. Entonces la suma de los 10 ángulos interiores es 144° × 10 = 1440°. 
b) Usamos la relación entre ángulo interior y ángulo exterior para plantear la siguiente ecuación. 
Sea 𝑥 el ángulo exterior. Luego 𝑥 + 7𝑥 = 180° y obtenemos que 𝑥 = 22,5°. 
32.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
33.-. 
a) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = 38,88 𝑚2 ∶ 0,09 𝑚2 = 432 
b1) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = 432 ∶ 15 = 28,8 
Como no llegó a 50 cajas, no se podría aprovechar del descuento. 
b2) 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎𝑠 = $1250 × 29 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 = $36250. 
 
34.- 
 
Notamos que, si hacemos una copia del trapecio y le damos vuelta a ésa, podemos unir los dos 
trapecios y el resultado es un romboide de base 19 𝑐𝑚, y su área es 𝑏 × ℎ = 19 × 12 = 228 𝑐𝑚2. 
Pero recordamos que esta área es del romboide, que mide doble el área del trapecio original. Es 
decir, el área de trapecio es 228 ∶ 2 = 114 𝑐𝑚2. 
 
35.- 
a) La suma de los ángulos interiores de un octágono es (8 − 2) × 180° = 1080°, entonces un 
ángulo interior mide 1080° ∶ 8 = 135°. Notamos que la suma de los ángulos 𝐶𝐷𝐴 y 𝐸𝐷𝐴 forman un 
ángulo interior, por lo que el ángulo 𝐸𝐷𝐴 mide 135° − 45° = 90°. 
b) Para resolver esta parte dibujamos una apotema que corte el triángulo 𝐴𝐵𝑂 por la mitad. 
 
Luego, usamos relaciones de ángulos en un polígono regular y la razón trigonométrica seno para 
calcular la longitud de 𝐴𝐸. 
 
c) El perímetro del triángulo 𝐴𝐷𝐸 es 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐴 = 22,38 + 8 + 20,9 = 51,28 𝑐𝑚. 
 
20 
 
 
 
36.- 
 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
× 𝑏 × ℎ 
=
1
3
× (6 × 6) × 10 
= 120 𝑐𝑚3 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
= (6 × 6) + 4 × (
1
2
× 6 × 10,4) 
= 160,8 𝑐𝑚2 
 
Por Teorema de Pitágoras, 
ℎ2 + 42 = 102 
ℎ = √84 𝑐𝑚 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
× 𝑏 × ℎ 
=
1
3
× (8 × 8) × √84 
= 195,5 𝑐𝑚3 
Á𝑟𝑒𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
= (8 × 8) + 4 × (
1
2
× 8 × 10) 
= 224 𝑐𝑚2 
 
 
 
37.- Calcular los volúmenes y áreas superficiales de los siguientes conos. 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
× 𝑏 × ℎ 
=
1
3
× 𝜋 × 𝑟2 × ℎ 
=
1
3
× 𝜋 × 72 × 24 
= 392𝜋 𝑐𝑚3 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
= 𝜋 × 𝑟2 + 𝜋 × 𝑟 × 𝑔 
= 𝜋 × 72 + 𝜋 × 7 × 25 
= 𝜋(72 + 7 × 25) 
= 224𝜋 𝑐𝑚2 
 
Por Teorema de Pitágoras, 
𝑔2 = 282 + 212 
𝑔 = 35 𝑚 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
× 𝑏 × ℎ 
=
1
3
× (𝜋 × 212) × 28 
= 4116𝜋 𝑚3 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
= 𝜋 × 212 + 𝜋 × 21 × 35 
= 𝜋(212 + 21 × 35) 
= 1176𝜋 𝑚2 
 
 
 
21 
 
38.- Calcular los volúmenes y áreas superficiales de las siguientes esferas. 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
4
3
× 𝜋 × 𝑟3 
=
4
3
× 𝜋 × 103 
=
4000𝜋
3
 𝑐𝑚3 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 4 × 𝜋 × 𝑟2 
= 4 × 𝜋 × 102 
= 400𝜋 𝑐𝑚2 
 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
4
3
× 𝜋 × (
16
2
)
3
 
=
4
3
× 𝜋 × 83 
=
2048𝜋
3
 𝑚𝑚3 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 4 × 𝜋 × 𝑟2 
= 4 × 𝜋 × 82 
= 256𝜋 𝑚𝑚2 
 
39.- Responder 
a) El área de la base de una pirámide es de 21 𝑐𝑚2 y su volumen 112 𝑐𝑚3. Calcular su altura. 
ℎ = 16 𝑐𝑚 
b) La altura de una pirámide con base cuadrada es de 15 m y su volumen 405 𝑚3. Calcular la longitud de un 
lado de la base. 
𝑙𝑎𝑑𝑜 = √81 𝑚2 = 9 𝑚 
c) La base de una pirámide tiene forma de pentágono regular con área 64 𝑚2 y altura 6 m. Calcular su 
volumen. 
𝑉 = 128 𝑚3 
d) El diámetro de un cono es 24 m y su volumen 3768 𝑚3. Calcular su altura. 
ℎ =
78,5
𝜋
 𝑚 ≈ 25,0 𝑚 
e) La circunferencia de la base de un cono es de 88 cm y su altura 18 cm. Calcular su área superficial total. 
Á𝑟𝑒𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋 × (
44
𝜋
)
2
+ 𝜋 ×
44𝜋
× 22,807 = 1619,8 𝑐𝑚2 
 
f) El área superficial total de un cono de radio 28 cm es 5500 𝑐𝑚2. Calcular la longitud de su 
generatriz. 
𝑔 =
5500
𝜋 − 28
2
28
= 34,5 𝑐𝑚 
 
22 
 
 
 
g) Una esfera metálica sólida de radio 6 cm es fundida y vertida en un molde con forma de cono de 
radio 8 cm. Calcular la altura del cono formado. 
ℎ = 13,5 𝑐𝑚 
 
h) La razón entre el volumen de un hemisferio (mitad de una esfera) y el volumen de un cilindro es 3:4. Si el 
radio de la base del cilindro es 8 cm y su altura 24 cm, calcular el área superficial total del hemisferio. 
 
Primero calculamos el volumen del cilindro con los datos: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑏 × ℎ = (𝜋 × 𝑟2) × ℎ = (𝜋 × 82) × 24 = 1536𝜋 𝑐𝑚3 
Con eso y la razón entre los dos volúmenes podemos calcular el volumen del hemisferio: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
3
4
=
𝑉
1536𝜋
⇒ 𝑉 = 1152𝜋 𝑐𝑚3 
Usando la relación entre el volumen y su radio, podemos encontrar el radio del hemisferio: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜 =
1
2
×
4
3
× 𝜋 × 𝑟3 
1152𝜋 =
1
2
×
4
3
× 𝜋 × 𝑟3 
𝑟 = √1728
3
= 12 𝑐𝑚 
De allí podemos calcular el área superficial total. Tener en cuenta que hay dos partes al área: 
la curvatura (la mitad de una esfera) y la parte plana (un disco). Es decir, 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎 
=
4 × 𝜋 × 𝑟2
2
+ 𝜋 × 𝑟2 = 3(𝜋 × 𝑟2) = 3(𝜋 × 122) = 432𝜋 𝑐𝑚2. 
 
 
40.- Para obtener esta cantidad de dinero, debe vender las velas a $100.000 ∶ 497 = $202 por 
paquete. 
 
41.-. 
a) 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = (100 − 12,5)% × 2352𝜋 𝑐𝑚3 = 2058𝜋 𝑐𝑚3 
b) 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 = 12 × (2 × 𝜋 × 14) × 87,5% = 294𝜋 𝑐𝑚2 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 171,5𝜋 + 171,5𝜋 + 336 + 294𝜋 = 2337,2 𝑐𝑚2 
 
 
23 
 
 
 
42.- Sea 𝜃 un ángulo obtuso que cumple la igualdad 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
8
17
. Indicar el valor para: 
Dibujando el ángulo 𝜃 (obtuso, en el cuadrante II) sobre los ejes cartesianos y marcando los 
valores 8 y 17 (que corresponden al seno, es decir cateto opuesto = 8 e hipotenusa = 17), 
podemos obtener el cateto faltante mediante el Teorema de Pitágoras. 
Con eso, se concluye que 
(i) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
−15
17
. 
(ii) 𝑡𝑔(𝜃) =
8
−15
. 
(iii) 𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
17
−15
. 
(iv) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
17
8
. 
(v) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) =
−15
8
. 
 
43.- ¿Verdadero o Falso? 
 
¿V o F? 
(a) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑠𝑒𝑛(�̂�) = 0 tiene 3 soluciones. V 
(b) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑐𝑜𝑠(�̂�) = 0 tiene 3 soluciones. F, tiene 
2 
(c) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑠𝑒𝑛(�̂�) = 1 tiene 2 soluciones. F, tiene 
1 
(d) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑐𝑜𝑠(�̂�) = 1 tiene 2 soluciones. V 
(e) 𝑠𝑒𝑛−1[𝑠𝑒𝑛(�̂�)] = �̂� en el intervalo [0°, 90°] V 
(f) 𝑠𝑒𝑛−1[𝑠𝑒𝑛(�̂�)] = �̂� en el intervalo [0°, 360°] 
(f) es falso porque 𝑠𝑒𝑛−1[𝑠𝑒𝑛(120°)] = 60° y otros contraejemplos, en 
especial ángulos en el II y III cuadrante. 
F 
(g) Si una ecuación trigonométrica tiene 2 soluciones en grados, entonces 
también tiene 2 soluciones en radianes. 
V 
 
44.- 
a) Podemos ver que hay dos maneras de dibujar el esquema. Una con la línea sólida y otra con la 
línea punteada. En ambos casos el triángulo cumple con todos los datos dados sobre él. 
 
 
 
 
24 
 
 
b) Usando el Teorema del Seno, obtenemos que 
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝐶�̂�)
12
=
𝑠𝑒𝑛(42°)
9
 
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝐶�̂�) =
𝑠𝑒𝑛(42°)
9
× 12 
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝐶�̂�) = 0,8922 
𝐴𝐶�̂� = 63,1° (ángulo agudo, I cuadrante) ó 𝐴𝐶�̂� = 116,9° (ángulo obtuso, II cuadrante) 
otamos que las dos soluciones son válidas ya que el problema original no puso ninguna condición 
(salvo los datos existentes) que requiera rechazar alguna. 
 
 
45.- 
 
a) Usamos el Teorema de Coseno 
𝐵𝐶2 = 92 + 72 − 2(9)(7) cos(95°) 
𝐵𝐶2 = 140,982 
𝐵𝐶 = 11,9 𝑐𝑚 
b) Usamos el Teorema de Seno 
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝐵�̂�)
9
=
𝑠𝑒𝑛(93°)
√140,982
 
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝐵�̂�) =
𝑠𝑒𝑛(93°)
√140,982
× 9 = 0,7551 
𝐴𝐵�̂� = 𝑠𝑒𝑛−1(0,7551) = 49,0° 
 
 
 
47.- 
a) La función en letras blancas cos recibe como argumento un lado. 
b) La función en letras amarillas sin−1 se activa apretando shift sin y es equivalente a calcular 
1
𝑠𝑒𝑛
 
pero como se usa tanto directamente queda como función de la calculadora para sacar cuentas 
más rápidamente. 
c) La función en letras amarillas tan−1 se activa apretando shift tan y me sirve para despejar el 
ángulo si teníamos como dato el valor de la tangente. X 
d) La función hyp calcula la hipotenusa de un triángulo. 
e) Todas las anteriores son correctas 
f) Ninguna de las anteriores son correctas 
 
 
25 
 
48.- Con la siguiente regla presentada en la tabla para el cálculo de ángulos notables sin 
calculadora, calcule: 
a) sen 30° = 1/2 
b) cos 60° = √3/2 
c) sen 0° = 0 
d) cos 0° = √4/2 = 2/2 = 1 
e) sen 90°= √4/2 = 2/2 = 1 
f) cos 90° = √0/2 = 0 
g) sen 60° = √3/2 
h) cos 30° = √1/2 = 1/2 
i) sen 45° = √2/2 
j) cos 45° = √2/2 
 
 
49.- Calcule el valor de la tangente de 60° usando la tabla de ángulos notables brindada 
anteriormente y la definición de tangente. Calcule el valor de la relación recíproca. Racionalice si 
corresponde. 
tan 60° = 
sen 60°
cos 60°
=
√3
2
1
2
= √3 
 
cotan 60° =
1
tan 60°
=
1
√3
∙
√3
√3
=
√3
3
 
50.- Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas comprendidas en el intervalo 
[0,2𝜋]. 
a) 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥 = 0 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
cos2 𝑥
= 0 
(cos2 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
cos2 𝑥
= 0 
cos2 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 . (cos2 𝑥 + 1) = 0 
 
Entonces: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0 → 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 → 𝑥 = 0°; 180° (𝜋 𝑟𝑎𝑑); 360°(2𝜋 𝑟𝑎𝑑) 
(cos2 𝑥 + 1) = 0 → cos2 𝑥 = −1 → cos 𝑥 = √−1 → 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
 
26 
 
b) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + √3 𝑡𝑔𝑥 = 0 
 
 
 
c) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
51.- Si 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
) . 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
4
) =
1
2
. 𝑠𝑒𝑛𝑥, encuentre un valor de x que pertenezca al tercer 
cuadrante. 
sen (x +
π
4
) ∗ sen (x −
π
4
) =
1
2
∗ senx 
(senx ∗ cos
π
4
+ sen
π
4
∗ cosx) ∗ (senx ∗ cos
π
4
 − sen
π
4
∗ cosx) =
1
2
∗ senx 
(senx ∗
√2
2
+
√2
2
∗ cosx) ∗ (senx ∗
√2
2
 − 
√2
2
∗ cosx) =
1
2
∗ senx 
Observamos que se trata de una diferencia de cuadrados, entonces: 
(sen2x ∗ (
√2
2
)2) − (cos2x ∗ (
√2
2
)2) =
1
2
∗ senx 
1
2
(sen2x − cos2x ) =
1
2
∗senx 
Sabemos que: cos2x = 1 − sen2x, entonces 
1
2
(sen2x − (1 − sen2x) ) =
1
2
∗ senx 
1
2
(sen2x − 1 + sen2x) ) =
1
2
∗ senx 
Reordenando, 
2sen2x − senx − 1 = 0 
Vemos que se trata de una ecuación de segundo grado cuya incógnita es senx, 
entonces: 
 
Solución 1: 
senx = 1 → x1 =
π
2
 No pertenece al tercer cuadrante 
Solución 2: 
senx = −
1
2
 → x2 = −30º 
Esta última solución pertenece al tercer y cuarto cuadrante ya que el seno es negativo 
en ambos, haciendo las reducciones correspondientes nos queda: 
-30º+180º= 210º 
Finalmente, la solución correcta expresada en radianes es: 𝑥2 = 
7𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
28 
 
52.- Dada (
𝑠𝑒𝑛𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥), encuentre una expresión equivalente. 
 
(
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) = 
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥
=
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 
 
 
53.- Un avión vuela a una altura de 920 metros y puede observar una pista de aterrizaje con un 
ángulo de depresión de 20°, si el avión se dirige en línea recta: 
 
 
a) ¿Cuánto tiene que recorrer para estar exactamente arriba de la pista? 
Aplicando fórmula de la tangente encontramos la distancia horizontal para estar arriba de la pista. 
tg(27°) =
920m
x
 
x =
920m
tg(27°)
 
x =
920m
tg(27°)
 
𝐱 = 𝟏𝟖𝟎𝟓, 𝟔𝟎 𝐦 
 
b) ¿Cuál es la distancia desde avión hasta la pista? 
 
Nota: Si un objeto está por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea 
horizontal y la línea visual hacia el objeto. 
Si un objeto está por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea 
horizontal y la línea visual hacia el objeto 
 
Aplicando propiedades de triángulos rectángulos, hallamos la hipotenusa. 
c2 = a2 + b2 
c = √1805,602 + 9202 
𝐜 = 𝟐𝟎𝟐𝟔, 𝟒𝟕 𝐦 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
54.- En un depósito con dimensiones de 8 m de largo, 3 m de alto y 4 m de ancho se quiere 
almacenar cajas de dimensiones de 80 cm largo, 60 cm alto y 50 cm ancho ¿Cuántas cajas se 
puede almacenar? 
 
 
 
 
Calculamos el volumen del deposito en cm 
 Vd = 800 cm .400 cm .300 cm = 
Vd = 96.000.000 cm3 
 
Calculamos el volumen de las cajas 
Vc = 80 cm .60 cm . 50 cm = 
Vd = 240.000 cm3 
 
Y podemos obtener la cantidad a cajas a almacenar con dividiendo el volumen del 
depósito con el de la caja 
cajas a almacenar =
96.000.000
240.000
 
cajas a almacenar =
9600
24
 
𝐜𝐚𝐣𝐚𝐬 𝐚 𝐚𝐥𝐦𝐚𝐜𝐞𝐧𝐚𝐫 = 𝟒𝟎𝟎 
 
 
 
30 
 
 
55.- En el juego de Pac-Man, los fantasmas pueden ser dibujados mediante 
figuras geométricas como muestra la figura, siendo 𝑟 = 3𝑐𝑚. ¿De cuánto es 
el área del color del fantasma? (sin contar los ojos) 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
56.- Si se quiere medir la altura de una estatua que se encuentra en el centro 
de una plaza, sabiendo que de una distancia x, el ángulo hasta su punto más 
alto es de 45°. Mientras que, si se acerca unos 5 m a la estatua, el ángulo se 
incrementa en unos 15°. ¿Cuál es la altura de la estatua?