AVANCE DE GEOMETRIA

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1. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Dos rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2 son paralelas a un plano P, entonces las rectas 
𝐿1 𝑦 𝐿2 son rectas paralelas.
II. Una recta es paralela a un plano P y también a otro plano Q luego P 
y Q son planos paralelos.
III. Dos rectas paralelas 𝐿1 𝑦 𝐿2 son paralelas a un plano P, luego el 
plano Q determinado por 𝐿1 𝑦 𝐿2 será paralelo al plano P
CLAVES
A. VFV
B. VFF
C. FFF
D. FVF
E. FFF
2. Decir si es verdadero (V) o falso (F).
I. Dos rectas pertenecientes a dos planos paralelos, son paralelas 
entre si.
II. Si dos rectas forman el mismo ángulo con un plano, entonces son 
paralelas entre si. 
III. Si una recta es perpendicular a un plano, toda recta perpendicular 
a la primera es paralela al plano.
IV. Si dos planos son perpendiculares, entonces las rectas que 
pertenecen a dichos planos son perpendiculares entre si.
CLAVES
A. VVFF
B. FFVV
C. FFFV
D. VVVV
E. VFVV
3. Desde el centro M de un cuadrado 
ABCD cuyo lado mide 2 m, se levanta la 
perpendicular 𝑀𝑃 al cuadrado. Calcula 
MP, si la distancia de
P a uno de los vértices del cuadrado es 
3 2 𝑚.
A. 1 m B. 2 m C. 3 m
D. 4 m E. 5 m
4. Una recta L es oblicua a un plano P, 
el segmento 𝐴𝐵 ⊂ 𝐿, 𝐴 ∉ 𝑃, 𝐵𝐵′ ⊥ 𝑃, 
la distancia del punto A al segmento 𝐵𝐵′
es igual a la distancia de B’ a 𝐴𝐵 .
Si AB=a, entonces BB’ es igual a: 
A.
𝑎
4
B.
𝑎
3
C.
𝑎
2
D. 𝑎 E.
3𝑎
2
5. Del gráfico mostrado calcular el valor 
de x, si PH=9, HB=7 y PC=20.
CLAVES:
A. 30
B. 37
C. 45
D. 53
E. 60
6. En el gráfico 𝐴𝑃 es perpendicular al 
plano del triángulo ABC. Si PH=4 y 
HB=5, calcular PC.
CLAVES:
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13
7. Se tiene el triángulo ABC, por el vértice 
B se levanta la perpendicular 𝐵𝑃 a su 
plano de modo que BP=6. Si AB=BC=8 y 
AC=12, calcular el área de la región 
triangular APC.
A. 36 B. 48 C. 54
D. 60 E. 72
8. Por el vértice B de un triángulo 
rectángulo ABC, recto en B, se traza 𝐵𝐿
perpendicular a su plano. 
Si AB=BC=BL=2, calcula el área de la 
región triangular LAC. 
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2
D. 6 E. 2 3
9. Se tienen los puntos A y B situados a 
distinto lado de un plano P, de modo que 
las distancias de A y B al plano son 9 y 6 
respectivamente. Si la proyección de 
𝐴𝐵 sobre el plano P mide 8, calcular 𝐴𝐵.
A. 12 B. 13 C. 15
D. 17 E. 20
10. En el gráfico 𝐴𝑃 y 𝐵𝑄 son 
perpendiculares al plano H. Si AP=14, 
QB=6 y PQ=21, calcular AB.
CLAVES:
A. 15 2
B. 25
C. 29
D. 30
E. 20 3
11. El segmento 𝐵𝐹 es perpendicular al 
plano que contiene al rectángulo ABCD, y 
en la prolongación de 𝐶𝐷 se ubica el 
punto E. Si AB=6 cm, DE=3 cm, 
AD=6 3 cm y la medida del ángulo entre
𝐴𝐹 y el plano que contiene a ABCD es 
45°, halle FE.
A. 20 𝑐𝑚 B. 18 𝑐𝑚 C. 15 𝑐𝑚
D. 16 𝑐𝑚 E. 17 𝑐𝑚
12. En la figura, 𝐴𝐹 es perpendicular al 
plano que contiene al triángulo ABC. Si 
DE = 5 cm, AF=15 cm y AB = 4BE, 
halle FC.
CLAVES:
A. 20 𝑐𝑚
B. 32 𝑐𝑚
C. 25 𝑐𝑚
D. 24 𝑐𝑚
E. 30 𝑐𝑚
13. En un triángulo ABC, m∠𝐵 = 90,
AB=5u, BC=12u. Por el incentro I se 
traza IF=4 2𝑢 perpendicular al plano 
del triángulo. Calcule el área de la región 
triangular AFC (en 𝑢2).
A. 39 B. 48 C. 54
D. 60 E. 65
14. En la figura, 𝐴𝐷 es diámetro, 𝐴𝐵 y 𝐷𝐸
son perpendiculares al plano “𝛼” y 
AD= 30𝑢. Si AB=AC, CD=DE y BC=2CE. 
Calcula BE.
CLAVES:
A. 2 𝑚
B. 4 𝑚
C. 6 𝑚
D. 8 𝑚
E. 10 𝑚
15. En la figura calcular la medida del diedro 
formado por los semicírculos de radio R, si el 
área de la región triangular PCD es 
𝑅2
2
además
𝐶𝐷 ∕∕ 𝐴𝐵 y 𝑚 ෢𝐶𝐷 = 90º (“P” → punto
màximo del semicírculo)
CLAVES:
A. 40
B. 30
C. 37
D. 53
E. 45
16. Una semicircunferencia de diámetro 𝐴𝐵
está contenida en un plano H. 
𝐴𝑃 es un segmento perpendicular al plano H. 
Si C es un punto de la circunferencia y su 
proyección sobre 𝐴𝐵 es Q. Si 3(AQ)=2(BQ), 
PA=a y PC=b. Halle la longitud de 𝑃𝐵, 
5𝑏2 − 3𝑎2 = 8𝑘2.
A. 2𝑘 B. 3𝑘 C. 4𝑘
D. 5𝑘 E. 8𝑘
17. En la figura, 𝐴𝑃 es perpendicular al plano
que contiene al círculo de diámetro 𝐴𝐵.
Si 𝑚 ෢𝑄𝐵 = 74° 𝑦 𝑚∡𝑄𝑃𝐵 = 𝑚∡𝐴𝐵𝑃, calcule 
𝑚∡𝐴𝑃𝑄,
CLAVES:
A. 37
B. 53
C. 45
D. 30
E. 60
18. Los segmentos 𝑀𝑁 𝑦 𝑃𝑄 se cruzan 
ortogonalmente. Si MN=PQ=ℓ, entonces la 
longitud del segmento que une los puntos 
medios de 𝑀𝑃 𝑦𝑁𝑄, es:
A. 
2ℓ
2
B.
3ℓ
2
C.
3 2ℓ
2
D. 3ℓ E. 2 2ℓ
19. En la figura adjunta, el triángulo APB es
equilátero y ABCD es un cuadrado, ambos no
coplanares. Si M punto medio de PB y AB=4 
cm, halle la distancia de M a AC.
CLAVES:
A. 4 𝑐𝑚
B. 3
C. 2
D. 2 2
E. 3 3
20. En la figura, 𝐴𝑀 es perpendicular al plano 
que contiene al triángulo rectángulo ABC.
Si PQ=3(MP) y AB=6 cm. Calcula AM. 
CLAVES:
A. 2 2𝑐𝑚
B. 2 5 𝑐𝑚
C. 2 7 𝑐𝑚
D. 2 3 𝑐𝑚
E. 2 6 𝑐𝑚
21. En la figura se muestran los trapecios ABCD 
y BCEF (recto en B y C en ambos trapecios), 
que representan el terreno y la pared de una 
obra de construcción contenidos en planos
perpendiculares, y para llevar los materiales de
construcción los obreros tienen que caminar 
por la tabla representada por 𝐴𝐸. Si BC=4 m, 
BF=3 m, FE=5 m, CD= 3 m y AD= 43 m.
Calcule AE.
CLAVES:
A. 6 𝑚
B. 8 𝑚
C. 10 𝑚
D. 26 𝑚
E. 17 𝑚
22. Calcular la medida de un ángulo diedro, si 
las distancias de un punto interior a las caras 
y a la arista miden: 4 2, 4 y 8.
A. 60 B. 78 C. 85
D. 90 E. 75
23. En el interior de un ángulo diedro se 
ubica un punto P que dista 2 3 y 2 2 de las 
caras y 4 de la arista. Calcular la medida de 
dicho ángulo diedro.
A. 75 B. 90 C. 105
D. 120 E. 135
24. Un cuadrado ABCD y un triángulo 
equilátero ABE están contenidos en planos
perpendiculares. Si AB=6, calcular la 
distancia entre el centro del cuadrado y el 
baricentro del triángulo.
A. 3 B. 3 2 C. 2 3
D. 2 2 E. 3 3
25. Se tiene los rectángulos ABCD y ABPQ;
ubicados en planos perpendiculares. Si BC=4 
y BP=3, calcular la distancia entre sus 
centros.
A. 3 B. 6 C. 2 3
D. 2 E. 2,5
26. Por el incentro O de un triángulo ABC 
recto en B de lados AB=6 y BC=8, se traza OP
perpendicular al plano del triángulo ABC. Si: 
OP=2 3. La medida del ángulo diedro entre 
el plano APC y ABC es:
A. 30 B.45 C. 60
D. 90 E. 37
27. Sea ABC un triángulo equilátero cuyo
ortocentro es M, AB=18. Desde M se levanta 
una perpendicular 𝑀𝐷 al plano del triángulo 
ABC, tal que MD=3 3. Calcular la medida del 
diedro formado por ABC y ABD.
A. 18,5 B.45 C. 30
D. 60 E. 22,5
28. En un triángulo isósceles ABC 
(AB=BC=13m), AC=10 m, se traza la altura 
𝐵𝐻 y luego se construye el cuadrado BHEF 
perpendicular al plano del triángulo. Calcula 
el área de la región triangular FHA.
A. 20 2 𝑚2 B. 25 2 𝑚2 C. 30 2 𝑚2
D. 35 2 𝑚2 E. 40 2 𝑚2
29. En la figura, 𝐵𝑃 es perpendicular al plano
que contiene al pentágono regular ABCDE. 
Si CE = (CP) 2 , halle la medida del ángulo 
entre 𝑃𝐶 y 𝐷𝐸.
CLAVES:
A. 53
B. 37
C. 30
D. 45
E. 60
30. En el triángulo ABC: AB=13, BC=15 y 
AC=14. Por B se traza la perpendicular 𝐵𝐹 al 
plano del triángulo ABC y se une F con A y C. 
Calcular BF para que la medida del diedro 
F-AC-B sea 53.
A. 12 B. 9 C. 6
D. 16 E. 20
31. En un triángulo rectángulo isósceles ABC,
AC=BC=2. Por C se levanta 𝐶𝑃 perpendicular 
al plano del triángulo, luego se traza 𝑃𝐴 y 𝑃𝐵. 
Calcular CP, si la medida del diedro P-AB-C es 
45.
A. 2 B. 2 C.
6
2
D. 
2
2
E. 3
32. Dados los rectángulos ABCD y ABEF,
ubicados en planos perpendiculares, BC= 3cm,
BE=4cm y EF=5 3cm. Halle el radio de la
circunferencia inscrita en el triángulo formado
por los puntos D, E y F (en cm)
A. 
5
2
3 − 1 B. 5 3 − 1 C.
5
4
3 − 1
D. 
5
6
3 − 1 E.
5
8
3 − 1
33. Dos rectángulos congruentes ABCD y 
ABMN forman un diedro que mide 120. 
Si los lados de los rectángulos miden 
AB=2a y AD=a, calcular la distancia de D 
al punto medio de 𝑀𝑁.
A. a B. 2a C. a 3
D. 3a E. 2a 3
34. Dos rectángulos ABCD y ABEF forman unángulo diedro que mide 120. Calcular FC, si
AF=BC=2 y CD=6.
A. 3 6 B.4 5 C. 2 6
D. 4 3 E. 3 5
35. En un triángulo equilátero ABC, se traza
𝑀𝐹 M punto medio de 𝐴𝐵 perpendicular al 
plano que contiene al triángulo ABC y 𝑁𝐹
perpendicular a 𝐶𝐴. Si AB = 4 cm y 
MF = 3 cm, halle la medida del ángulo entre
𝑁𝐹 y el plano que contiene al triángulo ABC.
A. 30 B. 60 C. 45
D. 37 E. 53
36. Las regiones cuadradas ABCD y ABEF son
perpendiculares y P es el centro del cuadrado
ABCD cuyos lados mide 6m y M y N son 
puntos medios de 𝐴𝐹 y 𝐸𝐹 , calcule el área de 
la región triangular PMN (en 𝑚2).
A. 3 7 B. 4 6 C. 
9 6
2
D. 5 6 E. 6 6
37. Las regiones cuadradas ABCD y CDEF 
forman un ángulo diedro de 60°. 
Halle la medida del ángulo entre BD y CE .
A. 𝐶𝑜𝑠−1
1
3
B. 𝐶𝑜𝑠−1
1
4
C. 𝐶𝑜𝑠−1
1
3 D. 𝐶𝑜𝑠
−1 1
6
E. 𝐶𝑜𝑠−1
1
8
38. En la figura, 𝐴𝐵 es perpendicular al plano
que contiene al triángulo rectángulo BCD.
Si BM= MD, AB = 3 cm, CD = 6 cm y 
BD = 8 cm, halle la medida del ángulo entre
𝐴𝑀 y 𝐷𝐶.
A. 30 B. 45 C. 37
D. 60 E. 53
39. En la figura, el rombo ABCD y el triángulo
equilátero ANC están contenidos en planos
perpendiculares. Si los ángulos NAC y ACD 
son complementarios y AP = 2(PC), halle la 
medida del diedro M – CD – A.
A. 30 B. 37 C. 60
D. 53 E. 45
40. En la figura se muestra una hoja cuadrada,
en la cual se ha hecho un doblez según 𝑀𝐷. 
Si BM = MC, AD = 2 5 cm y la distancia de C’
al punto medio de 𝐴𝐵 es igual a 19 cm, halle 
la medida del diedro C’ – MD – B.
A. 30 B. 150 C. 60
D. 120 E. 90