Aplicaciones de la integral doble en la mecanica - Cesar Garcia (1)

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE EN LA MECÁNICA 
 
EN DIVERSOS PROBLEMAS DE FÍSICA EXISTEN DISTRIBUCIONES PLANAS DE MASA QUE ESTÁN 
ASOCIADAS CON NUMEROSOS FENÓMENOS FÍSICOS TALES COMO TEMPERATURAS, 
CARGAS ELÉCTRICAS Y OTROS. Y PARA RESOLVER ESTOS PROBLEMAS, EN OCASIONES SE 
HACE NECESARIO CALCULAR CONCEPTOS COMO LA MASA EN UNA PLACA PLANA, LOS 
MOMENTOS ESTÁTICOS Y LOS MOMENTOS DE INERCIA. 
 
DENSIDAD Y MASA 
 
SEA UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE ÁREA DE UNA PLACA PLANA DE MATERIA, 
CUYA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA ESTÁ DADA POR 
" dA "
( ),x yρ ρ= , ENTONCES LA 
DIFERENCIAL DE MASA ES IGUAL A: 
 
( ),dM x y dAρ= 
 
Y SI SE APLICA LA INTEGRAL DOBLE, SE TENDRÁ QUE: 
 
( ),
R
M x yρ= ∫∫ dA 
 
DONDE ES LA REGIÓN LIMITADA POR LAS DIMENSIONES DE LA PLACA PLANA. " "R
 
PRIMEROS MOMENTOS O MOMENTOS ESTÁTICOS 
 
DEFINICIÓN. EL PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE 
MASA CON RESPECTO AL EJE " "dM " "x ES EL PRODUCTO DE LA MASA POR LA 
MÍNIMA DISTANCIA A DICHO EJE. ENTONCES, ESTE MOMENTO ESTÁTICO ES IGUAL A: 
 
( ),x
R
M y x y dAρ= ∫∫ 
 
Y DE MANERA SEMEJANTE, CON RESPECTO AL EJE " "y , 
 
( ),y
R
M x x y dAρ= ∫∫ 
 
1 
 
 
2 
 
 
CENTRO DE MASA 
 
DEFINICIÓN. EL CENTRO DE MASA DE LA PLACA PLANA DE REFERENCIA, CUYA ÁREA SE 
DENOTA CON ( )A R , SE DEFINE COMO EL ÚNICO PUNTO EN DONDE LA MASA 
TOTAL DE LA PLACA PODRÍA ESTAR CONCENTRADA, DE TAL FORMA QUE EL MOMENTO 
ESTÁTICO CON RESPECTO A CUALQUIER EJE QUE PASE POR DICHO PUNTO, ES IGUAL A 
CERO. 
R
 
 
 
SI LA MASA DE LA PLACA Y SU MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE " "y ESTÁN 
DADOS RESPECTIVAMENTE POR: 
 
( ) ( ), ,y
R R
M x y dA y M x x y dAρ ρ= =∫∫ ∫∫ 
 
ENTONCES LA ABSCISA DEL CENTRO DE MASA SE OBTIENE A PARTIR DE: 
 
 
( )
( )
,
,
y R
R
x x y dA
M
x
M x y dA
ρ
ρ
= =
∫∫
∫∫ 
 
Y DE MANERA ANÁLOGA, LA ORDENADA DEL CENTRO DE MASA SE OBTIENE A PARTIR DE: 
 
 
( ),x y 
Centro de Masa
y 
x 
 
3 
( )
( )
,
,
x R
R
y x y dA
My
M x y dA
ρ
ρ
= =
∫∫
∫∫ 
 
 
SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE, SE DICE QUE ÉSTA ES HOMOGÉNEA, YA QUE 
SU MASA ESTÁ UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA. ENTONCES LA DENSIDAD SALE DE LA INTEGRAL 
Y LAS EXPRESIONES ANTERIORES QUEDAN DE LA SIGUIENTE FORMA: 
 
 
( )y R
R
R
x dA
M
x x
M dA
= = ⇒ =
∫∫
∫∫∫∫
dA x A R
 
 
Y 
 
( )x R
R
R
y dA
My y dA y A R
M dA
= = ⇒ =
∫∫
∫∫∫∫ 
 
 
DEFINICIÓN. SE LLAMA CENTROIDE DE UNA REGIÓN AL CENTRO DE MASA DE " "R
DICHA REGIÓN CUANDO LA DISTRIBUCIÓN DE SU MASA ES UNIFORME Y EN ESTE CASO, 
EQUIVALE AL CENTRO GEOMÉTRICO DE LA REGIÓN. 
 
 
SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA 
 
DEFINICIÓN. EL MOMENTO DE INERCIA O SEGUNDO MOMENTO DE UNA PLACA PLANA CON 
RESPECTO AL EJE " "x , ENTENDIDO COMO SU CAPACIDAD PARA RESISTIR ACELERACIÓN 
ANGULAR CON RESPECTO A ESTE EJE, SE DEFINE COMO EL PRODUCTO DE LA MASA POR EL 
CUADRADO DE LA MÍNIMA DISTANCIA A DICHO EJE. ESTO ES: 
 
4 
( )2 ,x
R
I y x yρ= ∫∫ dA
 
 
Y DE MANERA SIMILAR, CON RESPECTO AL EJE " "y , 
 
( )2 ,y
y
I x x yρ= ∫∫ dA
 
 
DEFINICIÓN. EL MOMENTO POLAR DE INERCIA O SEGUNDO MOMENTO POLAR SE DEFINE 
COMO EL PRODUCTO DE LA MASA DE LA DISTRIBUCIÓN PLANA DE MATERIA POR EL 
CUADRADO DE SU DISTANCIA AL ORIGEN. ESTO ES: 
 
( ) ( )2 2 ,o
R
I x y x yρ= +∫∫ dA
 
 
Y RESULTA EVIDENTE QUE: 
 
o x yI I I= + 
 
EJEMPLO. UNA LÁMINA PLANA TIENE LA FORMA DE LA REGIÓN DEL PRIMER CUADRANTE 
LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE 
 
cos 0
4
y senx y y x entre x y x π= = = =
 
UBICAR SU CENTRO DE MASA SI LA DENSIDAD ES ( ),x y yρ = . 
 
SOLUCIÓN. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO. SE TIENE UNA PLACA PLANA CUYA FORMA ES LA DADA POR LA REGIÓN . SI R
SU DENSIDAD ES ( ), 2 3x y x yρ = + , DETERMINAR SU MASA ASÍ COMO EL 
VALOR DE SU DENSIDAD PROMEDIO Y DECIR DÓNDE SE PRESENTA ÉSTE. 
 
( ) 3 15, ; ; 0 ; ,
5
xR x y y x y y x y− +⎧ ⎫= ≤ ≤ ≥ ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭