Integrales Dobles más allá del Volumen

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INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Integrales Dobles más allá del 
Volumen 
 
Las integrales dobles nos sirven para más que encontrar el 
volumen bajo gráficas tridimensionales. En este archivo 
estudiamos otros usos, establecemos una notación más 
general para éstas y explicamos la "sensación" de usar 
integrales dobles. 
Qué vamos a construir 
COMPESP N° 03 
Resuelve problemas de 
aplicación de las integrales 
dobles. 
ACTIVIDAD N° 03 
 
Estudie la siguiente información sobre 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
2 
➢ Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el deseo 
de cortar una región bidimensional en un número infinito 
de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada 
una por algún valor y luego sumarlas. 
➢ La notación más general para una integral doble es 
xyS
f dA 
donde: 
➢ xyS es la región de integración 
➢ dA significa un "fragmento pequeño de área", que 
típicamente significa dxdy o dydx , a menos que se 
utilice otro sistema de coordenadas. 
➢ ( ),f x y es una función de dos variables. 
Ejemplo 1 masa de una placa 
Imagina una placa de metal de 3 metros de base y 2 metros 
de altura. Nuestro objetivo es encontrar su masa, pero resulta 
que su densidad no es constante. 
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3 
Para poder describir con una función esta densidad variable, 
comienza por situar la placa en el plano xy : 
 
 
Donde su esquina inferior izquierda está en el origen y su base 
descansa a lo largo del eje x . 
Digamos que la densidad de esta placa, en 
2/kg m , está dada 
por la función ( ) ( ), [sin 1]x y x y = + 
La densidad es igual a la masa por unidad de área, así que 
puede parecer extraño definirla con una función que toma 
puntos individuales como valores de entrada. Después de 
todo, ¿qué significa que un punto como ( )1,2 tenga densidad 
( )1,2 ? Si lo prefieres, puedes interpretar esta función como 
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4 
la densidad dentro de una pequeña región alrededor de cada 
punto. 
Para determinar la masa de la placa, puedes imaginar que la 
cortas en muchos pedacitos, cada uno un rectángulo, y luego 
sumas sus masas. 
 
Piensa que la base de cada uno de estos pequeños rectángulos 
es dx y su altura es dy . 
 
 
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5 
Piensa en un rectángulo específico, tal vez el que contiene el 
punto ( )1,2 . Puesto que este rectángulo es muy pequeño, su 
densidad será básicamente igual a la constante ( )1,2 . 
Mientras más fino cortes la región, y más pequeños sean los 
rectángulos, más preciso es suponer que la densidad de cada 
rectángulo es constante. 
Esto significa que podemos calcular la masa de cada uno de 
estos rectángulos. Por ejemplo, 
( ) ( )1,2 2[sin 1] 2
área pequeñadensidad
dxdy dxdy dxdy = + = 
Para obtener la masa total de la placa, integramos todas estas 
pequeñas masas. Ya que estamos integrando sobre una región 
bidimensional, necesitamos una integral doble. Precaución: 
el orden de integración depende de si expresas el área de 
cada pequeño rectángulo como dxdy o como dydx . 
 
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes 
integrales dobles representa la masa de nuestra placa de 
metal, cuya base es 3 metros y altura es 2 metros? 
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6 
( )
( )
3 2
1
0 0
2 3
2
0 0
,
,
I x y dxdy
I x y dxdy


=
=
 
 
 
 [Explicación] 
La segunda opción es correcta. Ya que el término dx está 
escrito al principio, los límites y la variable de integración 
dentro de la integral interior deben estar en términos de x . 
( )
 
2 3
2
0
 
0
 
,
Esta integral es sólo con respecto a x
I x y dx dy=  
 
Verificación de conceptos: 
Si ( ) ( ), [sin 1]x y x y = + , evalúa esta integral doble (si no 
estás seguro de cómo hacerlo, considera revisar el archivo de 
introducción a las integrales dobles). 
[Explicación] 
 
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/g/a/double-integrals
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7 
( )
( )
( )
2 3
0 0
int int
2
3
0
0
2
0
2
0
2
0
2 2
0
[sin 1]
1
[ cos ]
1 1
[ cos 3 3 0 ]
2
( 3)
2
( 3)
1 2
( 3)[ ]
2
1 2
( 3)4
2
4
6
primero calcula la egral erior
x
x
x ydx dy
y x x dy
y dy
ydy
ydy
y




 





=
=
+
= − −
 
= − − − − 
 
= − − −
= +
= +
= +
= +
 




 
Por lo que evidentemente nuestra placa de metal con la 
función de densidad 
( ) ( ), [sin 1]x y x y = + 
tiene masa 
4
6

+ 
Pensar en áreas pequeñas 
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8 
[Video: Constantes y rebanadas del volumen bajo 
( )sin 1z x y= + + ] 
 
Cuando hablamos por primera vez de integrales dobles, fue en 
el contexto de calcular el volumen bajo una gráfica. El 
razonamiento fue más o menos así: 
➢ Primero corta el volumen en un número infinito de 
rebanadas. Cada rebanada representa un valor constante 
para alguna de las variables, por ejemplo, 0.78x = . 
➢ Calcula el área de cada una de las rebanadas (esto es lo 
que hace la integral interior). 
https://www.youtube.com/embed/nNXfaJEf2gM?feature=oembed
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9 
➢ Al darle un poco de profundidad, haz que el volumen de 
cada rebanada sea infinitesimal. Matemáticamente, esto 
significa multiplicar el área de cada rebanada ya sea por 
dx o por dy , cualquiera que represente un pequeño paso 
en la dirección perpendicular a la rebanada. 
➢ Integra todos esos volúmenes infinitesimales para obtener 
el volumen de todo el sólido (esto es lo que hace la 
integral exterior). 
Por el contrario, en el ejemplo anterior para encontrar la 
masa de la placa se ve y se siente distinto. Comenzamos por 
pensar en áreas pequeñas, luego multiplicamos cada una por 
una constante (la densidad) e intentamos sumarlas todas en 
una sola pasada. 
Por supuesto, ambas perspectivas son equivalentes. Y cuando 
llegamos a las cuentas, nada es diferente. Siempre acabas con 
una integral dentro de otra, calculas la integral interior y 
luego la exterior. 
Sin embargo, en términos de visualización y comprensión 
conceptual, construir una integral en términos de áreas 
pequeñas es distinto de construirla en términos de una 
integral dentro de otra. Por ejemplo, si piensas en calcular el 
volumen bajo una gráfica al partir primero tu región en el 
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10 
plano xy en áreas pequeñas, puedes imaginar que sumas 
todos los volúmenes de las pequeñas alturas sobre estas áreas. 
 
[Video: Pequeñas columnas de volumen] 
 
Notación general para las integrales dobles 
Cuando pensamos en una integral doble en términos de áreas 
pequeñas, es común escribirla de forma abstracta así: 
xyS
f dA 
https://www.youtube.com/embed/uRDSLctChJU?feature=oembed
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11 
xyS representa la región sobre la que integramos. La razón 
para escribirla de esta forma es que, mientras pones en orden 
los elementos de la integral o razonas sobre lasintegrales 
dobles en general, normalmente no quieres molestarte con la 
definición específica (y potencialmente complicada) de tu 
región. 
Cuando llega el momento de calcular la integral, 
reemplazamos 
xyS
f dA 
con un par de integrales ordinarias cuyos límites de 
integración definen la región. Si xyS es un rectángulo, estos 
límites son constantes: 
2 2
1 1
y x
y x
    
De forma más general, cuando xyS está definida en términos 
de algunas curvas en el plano xy , los límites de la integral 
interior se expresan como funciones de la variable exterior: 
2 2
1 1
( )
( )
y x y
y x y
    
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12 
(Revisa el archivo anterior para practicar esta idea). 
dA 
dA representa un área pequeña, de la misma forma en que, 
para una integral ordinaria, dx representa una pequeña 
longitud. 
Normalmente, imaginarás que cortas la región xyS en pequeñas 
piezas, y este término representa el área de una de esas 
piezas. Una vez que te pongas a calcular la integral doble, lo 
reemplazarás por dxdy o dydx . En otros sistemas 
coordenados, hay diferentes maneras de seccionar dA , como 
por ejemplo en coordenadas polares. 
 
( ),f x y 
( ),f x y es una función de dos variables. Cuando cortas tu 
región en muchas piezas pequeñas, cada una representa 
típicamente un valor que esperas sumar. Tal vez este valor es 
una pequeña masa, o el volumen pequeño de una columna 
delgada bajo una gráfica. 
Espero que puedas expresar esta cantidad pequeña como algo 
más que el área de tu pequeña pieza. Por ejemplo, la masa 
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/g/a/double-integrals-over-non-rectangular-regions
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de una pieza es su densidad por su área; y el volumen de una 
columna sobre una pieza es la altura de la columna por el 
área. 
En estos ejemplos, ( ),f x y representa la densidad o la altura. 
En general, es la cantidad que debe multiplicarse por el área 
dA de un pedacito, y habitualmente depende de la posición 
en el pedacito, expresada en términos de las coordenadas
( ),x y . 
"¿Qué pasa si no puedo expresar el pequeño valor que quiero 
sumar como algo multiplicado por dA ?" 
Bueno, en este caso, las integrales dobles no son la 
herramienta adecuada. Aunque por ahora no podamos pensar 
en ejemplos donde esto ocurra... 
La notación abstracta tiene dos beneficios: 
➢ Simplicidad: cuando comienzas a plantear un 
problema, o si quieres hacer una referencia rápida a la 
idea de cierta integral doble sin ahondar en los detalles, 
es bueno ser capaz de escribir algo. También, expresamos 
muchos de los teoremas y las herramientas que surgen en 
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14 
el cálculo multivariable de forma abstracta con esta 
notación. 
➢ Generalidad: escribir tu integral como 
xyS
f dA 
te da opciones para calcularla. Por ejemplo, en las integrales 
dobles en coordenadas polares, en donde la forma en que 
desarrollas dA y la forma en que escribes los límites de 
integración son distintas que en coordenadas cartesianas. 
Centro de masa 
Ejemplo 2 Centro de masa de un semidisco 
¿Cuál es el centro de masa de un semidisco? 
 
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15 
Por simplicidad, digamos que el radio del disco es 1, y 
orientémoslo de tal forma que su diámetro repose a lo largo 
del eje y . También, supongamos que la densidad del disco es 
uniforme. 
Este es un problema muy interesante, ¿no crees? Podrás 
adivinar que la respuesta es un punto un poco a la izquierda 
del ( )0.5,0 , pero no es obvio cuál es el punto exacto, ¿o sí? 
Por la simetría vertical de este semidisco, puedes saber que 
el centro de masa ( ),x y estará ubicado sobre el eje x . Pues 
0y = . En cierto sentido, lo que buscamos el valor promedio 
en la coordenada x de los puntos en el disco. 
 
Verificación de conceptos: si hacemos que H 
represente el semidisco, y denotamos su área por H , ¿cuál 
de las siguientes integrales, escritas en forma abstracta, 
representa x , el valor en x del centro de masa de H ? 
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16 
2
1
)
1
) 1
H
H
a x x dA
H
b x x dA
H
=
= −


 
[Explicación] 
La primera opción es correcta 
1
H
x x dA
H
=  
Ya que se ha supuesto densidad uniforme, podemos pensar 
que dA representa un pedacito de masa como antes pensamos 
que representaba un pedacito de área, esto pues la densidad 
del semidisco es igual a 1. 
Puedes interpretar que esta integral dice: 
"Corta el disco en muchos pedacitos; multiplica la 
masa (o área) de cada uno por su valor x , y suma lo 
que obtengas". 
Al dividir este resultado entre la masa total del semidisco, 
obtenemos el "valor promedio en x " de los puntos del 
semidisco, que es la coordenada x del centro de masa. 
 
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17 
Verificación de conceptos: ¿cuál es el área del 
semidisco H ? 
?H = 
[Explicación] 
Ya que el semidisco tiene radio 1, el área del disco completo 
es 
H = 
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes 
expresiones es la forma correcta de desarrollar 
H
x dA 
como una integral calculable? 
 
Elige todas las respuestas adecuadas 
 
2
2
2
1 1
1
1 0
1 1
2
0 1
y
H
x
x
H
I x dA xdxdy
I x dA xdydx
−
−
−
− −
= =
= =
  
  
 
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18 
[Explicación] 
Esta es una pregunta un poco capciosa. Ambas respuestas son 
correctas. 
La primera integral muestra cómo se ve la integral doble si 
piensas en dividir H en bandas horizontales: 
 
Encontramos el límite derecho de integración para estas 
bandas, como función de y , con el teorema de Pitágoras. 
Para integrar sobre H , primero integramos a lo largo de esta 
banda con respecto a x (la integral interior) y luego 
integramos el resultado entre 1− y 1 con respecto a y (la 
integral exterior), es decir, 
21 1
1 0
y
xdxdy
−
−  
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19 
La segunda integral muestra cómo se ve la integral doble si 
piensas en dividir H en bandas verticales: 
 
De nuevo, encontramos los límites de integración con el 
teorema de Pitágoras, pero esta vez los expresamos como 
funciones de x . Ahora la integral interior es con respecto a 
y y la integral exterior es con respecto a x , de 0 a 1 
2
2
1 1
0 1
x
x
xdydx
−
− −  
 
Termina el problema: resuelve esta integral y utilízala 
para encontrar el centro de masa de H . 
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20 
Coordenada x del centro de masa: 
[Explicación] 
Puedes escoger cualquiera de las integrales de la pregunta 
anterior, pero creo que la que corresponde a las bandas 
horizontales es un poco más sencilla. 
( )
2
2
1 1
1 0
int int
1
12
0
1
21
2
1
1
2
1
1
2
0
3 1
0
1
[ ]
2
1
1
2
1
(1 )
2
(1 )
1
[ ]
3
2
3
y
comienza por evaluar la egral erior
y
xdx dy
x dy
y dy
y dy
y dy
y y
−
−
−
−
−
−
=
= −
= −
= −
= −
=
 




 
¡No hemos terminado! Para encontrar el centro de masa 
necesitamos dividir este resultado entre el área total del 
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21 
semidisco, que es 
2
H

= . Por lo tanto, la coordenada x del 
centro de masa del semidisco H es 
2 3 4
0.4244
2 3
x
 
= =  
Tiene sentido que esta sea un poco menor que 0.5, pues la 
mayor parte de la masa está en la porción izquierda del 
semidisco. 
El centro de masa del semidisco unitario H es: 
( ) ( )
4
, ,0 0.4244,0
3
x y

 
=  
 
 
Ejemplo 3 Centro de masa de una región 
parabólica 
Halle el centro de masa de la lámina xyR que corresponde a 
una región parabólica 
2: 0 4 RexyR y x gión parabólica  −  
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22 
donde la densidad en el punto ( ),x y es proporcional a la 
distancia entre ( ),x y y el eje x . [ver imagen]. 
 
Como la lámina es simétrica con respecto al eje y 
( , ) ,x y ky k =  
 el centro de masa está en el eje y . Así, 0x = . Para hallar ,y 
primero calcula la masa de la lámina: 
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23 
( )
( )
2
2
2 4
2 0
2
2 4
0
2
2 2
2
2
2
2 4
2
3 5 2
2
[ ]
2
4
2
16 8
2
8 1
[16 ]
2 3 5
64 32
32
2 3 5
256
15
x
x
m kydydx
k
y dx
k
x dx
k
x x dx
k
x x x dx
k
k
−
−
−
−
−
−
−
=
=
= −
= − +
= − +
 
= − + 
 
=
 



 
Después se halla el momento con respecto al eje x 
( )
2
2
2 4
2 0
2
3 4
0
2
2 3
2
2
2
2 4 6
2
3 5 7 2
2
( )
[ ]
3
4
3
(64 48 12 )
3
12 1
[64 16 ]
3 5 7
4096
105
x
x
x
M y ky dydx
k
y dx
k
x dx
k
x x x dx
k
x x x x
k
−
−
−
−
−
−
−
=
=
= −
= − + −
= − + −
=
 



 
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24 
Así, 
4096 105 16
256 15 7
xM ky
m k
= = =
 
Y el centro de masa es ( )
16
, 0,
7
x y
 
=  
 
. [ver imagen] 
 
Aunque los momentos xM y yM se pueden interpretar como 
una medida de la tendencia a girar en torno a los ejes x y
el cálculo de los momentos normalmente es un paso 
intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los 
momentos xM y yM es encontrar el centro de masa. La 
determinación del centro de masa es útil en muchas 
aplicaciones, ya que permite tratar una lámina como si su 
masa se concentrara en un solo punto. Intuitivamente, se 
puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio 
de la lámina. Por ejemplo, la lámina del Ejemplo 3 se 
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25 
mantendrá en equilibrio sobre la punta de un lápiz colocado 
en 
16
0,
7
 
 
 
, como se muestra en la imagen. 
 
Momentos de Inercia 
Los momentos xM y yM utilizados en la determinación del 
centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros 
momentos con respecto a los ejes x y . En cada uno de los 
casos, el momento es el producto de una masa por una 
distancia 
( ) ( ) ( ) ( )
tan tan
, ,
xy xy
x y
S Sdis cia dis ciamasa masa
al eje x al eje y
M y x y dA M x x y dA = =  
Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo 
momento o momento de inercia de una lámina respecto a 
una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la 
tendencia de la materia a resistirse a cambios en el 
movimiento rectilíneo, el momento de inercia de una lámina 
respecto a una recta es una medida de la tendencia de la 
materia a resistirse a cambios en el movimiento de rotación. 
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26 
Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una distancia 
d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la 
recta se define como 
( )( )
22 tanI md masa dis cia= = 
Igual que ocurre con los momentos de una masa, se puede 
generalizar este concepto para obtener los momentos de 
inercia de una lámina de densidad variable respecto de los 
ejes x y . Estos momentos se denotan por x yI e I , y en cada 
caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado 
de la distancia 
( ) ( ) ( ) ( )2 2
tan tan
, ,
xy xy
x y
S S
masa masacuadrado de cuadrado de
la dis cia la dis cia
al eje x al eje y
I y x y dA I x x y dA = =  
A la suma de los momentos x yI e I se le llama momento polar 
de inercia y se denota por 0I . 
Nota: En el caso de una lámina en el plano xy , 0I representa 
el momento de inercia de la lámina con respecto al eje z . El 
término “momento polar de inercia” se debe a que en el 
cálculo se utiliza el cuadrado de la distancia polar r . 
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27 
( )
( )
2 2
0
2
( ) ,
,
xy
xy
S
S
I x y x y dA
r x y dA


= +
=


 
 
Ejemplo 4 Momento de inercia de una lámina 
Halle el momento de inercia respecto del eje x de la lámina 
del Problema 3. 
[Explicación] 
De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene 
2
2
2 4
2
2 0
2
4 4
0
2
2
2 4 6 8
2
3 5 7 9 2
2
( )
[ ]
4
(256 256 96 16 )
4
256 96 16 1
[256 ]
4 3 5 7 9
32768
315
x
x
x
I y ky dydx
k
y dx
k
x x x x dx
k
x x x x x
k
−
−
−
−
−
−
=
=
= − + − +
= − + − +
=
 


 
El momento de inercia I de una lámina en rotación puede 
utilizarse para medir su energía cinética. Por ejemplo, 
considera una lámina plana que gira en torno a una recta con 
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28 
una velocidad angular de  radianes por segundo [ver 
imagen]. La energía cinética E de la lámina en rotación es 
 
21
2
E I Energía cinética del movimiento giratorio=  
Por otro lado, la energía cinética E de una masa m que se 
mueve en línea recta a una velocidad v es 
21
2
E Iv Energía cinética del movimiento rectilíneo=  
Por tanto, la energía cinética de una masa que se mueve en 
línea recta es proporcional a su masa; pero la energía cinética 
de una masa que gira en torno a un eje es proporcional a su 
momento de inercia. 
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29 
El radio de giro r de una masa m en rotación con un 
momento de inercia I se define como 
de g
I
r Radio iro
m
=  
Si toda la masa se localizara a una distancia r de su eje de 
giro o eje de rotación, tendría el mismo momento de inercia 
y, por consiguiente, la misma energía cinética. Por ejemplo, 
el radio de giro de la lámina del Ejemplo 4 respecto al eje x
está dado por 
32768 315 128
2.469
256 15 21
xI ky
m k
= = =  
 
Ejemplo 5 radio de giro de una lámina 
Halle el radio de giro con respecto al eje y de la lámina que 
corresponde a la región 
 : 0 , 0,xyR y senx x    
donde la densidad en ( ),x y está dada por ( ),x y x = . 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
30 
[Explicación] 
La región xyR se muestra en la Imagen. 
 
Integrando ( ),x y x = sobre la región xyR , se puede 
determinar que la masa de la región es  . El momento de 
inercia con respecto al eje y es 
( ) ( )
3
0 0
3
0
0
3
0
3 3
0
3
[ ]
3 6 3 6 cos
6
sen x
y
sen x
I x dydx
x y dx
x sen xdx
x sen x x x




 
=
=
=
 = − − −
 
= −
 


 
Por tanto, el radio de giro con respecto al eje y es 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
31 
3
2
6
6
1.967
yI
x
m
 


=
−
=
= −

 
 
Área de una superficie 
Use una integral doble para hallar el área de una superficie. 
 
Definición de Área de una Superficie 
En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos 
acercade la región sólida que se encuentra entre una 
superficie y una región xyR cerrada y limitada o acotada, [ver 
imagen]. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los extremos de 
f en xyR , el área de la base xyR del sólido, el volumen del 
sólido y el centroide de la base xyR . 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
32 
 
Ahora se verá cómo hallar el área de la superficie superior del 
sólido. Más adelante se aprenderá a calcular el centroide del 
sólido y el área de la superficie lateral. 
Para empezar, considera una superficie S dada por 
( ): , xyS z f x y Superficie definida sobre una región R=  
definida sobre una región xyR . Suponer que xyR es cerrada y 
acotada y que f tiene primeras derivadas continuas. Para 
hallar el área de la superficie, se construye una partición 
interna de xyR que consiste en n rectángulos donde el área 
del rectángulo i-ésimo iR es i i iA x y =   [ver imagen] 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
33 
 
En cada iR sea ( ),i ix y el punto más próximo al origen. En el 
punto ( ) ( )( ), , , , ,i i i i i i ix y z x y f x y= de la superficie S , se 
construye un plano tangente iT . El área de la porción del 
plano tangente que se encuentra directamente sobre iR es 
aproximadamente igual al área de la superficie que se 
encuentra directamente sobre iR . Es decir, i iT S   . Por 
tanto, el área de la superficie de S está dada por 
1 1
n n
i i
i i
T S
= =
    
Para hallar el área del paralelogramo iT , notar que sus lados 
están dados por los vectores 
( ),i x i i iu x i f x y x k=  +  
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
34 
y 
( ),i y i i iv x j f x y y k=  +  
Luego, el área de iT está dada por u v , donde 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 ,
0 ,
, ,
( , , )
i x i i i
i y i i i
x i i i i y i i i i i i
x i i y i i i
i j k
u v x f x y x
y f x y y
f x y x y i f x y x y j x y k
f x y i f x y j k A
 =  
 
= −   −   +  
= − − + 
 
Por lo tanto, el área de iT es 
( ) ( )
22
, , 1x i i y i i iu v f x y f x y A  = + +      
El área de la superficie de 
( ) ( )
1
22
1
1 , , 1
n
i
i
n
x i i y i i i
i
S S
f x y f x y A
=
=
 
  + + +     


 
Esto sugiere la siguiente definición de área de una superficie 
 
Definición de Área de una Superficie 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
35 
Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la 
región cerrada xyR , entonces el área de la superficie S dada 
por ( ),z f x y= sobre xyR está dada por: 
Área de una Superficie = 
( ) ( )
22
, , 1
xy xy
x i i y i i
R R
dS f x y f x y dA = + +      
Para memorizar la integral doble para el área de una 
superficie, es útil notar su semejanza con la integral de la 
longitud de arco. 
Longitud de arco sobre el eje x 
b
a
dx 
Longitud de arco en el plano xy 
( )
2
1 '
b b
a a
ds f x dx= +     
Área en el plano xy 
xyR
dA 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
36 
Área de una Superficie en 3D 
( ) ( )
22
, , 1
xy xy
x i i y i i
R R
dS f x y f x y dA = + +      
Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales 
para el área de una superficie son a menudo muy difíciles de 
calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se muestra un 
tipo que se evalúa con facilidad. 
 
Ejemplo 6 Área de una superficie plana 
Halla el área de la superficie de la porción del plano 
( ), 2z f x y x y= = − − 
que se encuentra sobre el círculo 
2 2 1x y+  
en el primer cuadrante [ver imagen] 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
37 
 
[Explicación] 
Como ( ) ( ), 1 , 1x yf x y f x y= −  = − 
El área de la superficie está dada por 
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
, , 1
1 1 1
3
3
4
3
4
xy xy
xy
xy
xy
x i i y i i
R R
R
R
área de R
S dS f x y f x y dA
dA
dA


 = = + +    
= − + − +
=
 
=  
 
=
 


 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
38 
Ejemplo 7 Área de una superficie no plana 
Halla el área de la porción de la superficie 
( ) 2, 1z f x y x y= = − − 
que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son 
( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 0, 1,0 − [ver imagen] 
 
Como ( ) ( ), 2 , 1x yf x y x f x y= −  = − 
el área de la superficie está dada por 
 
( ) ( )
22
2
, , 1
1 4 1
xy xy
xy
x i i y i i
R R
R
S dS f x y f x y dA
x dA
 = = + +    
= + +
 

 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
39 
Los límites sobre la región triangular 
   : 0,1 , 1,1xyR x y x x  − − 
[ver imagen] 
 
Luego 
( ) ( )
( )
1 1
2
0 1
1
2 1
1
0
1
2 2
0
1
2 2
0
3 2
2
2 2 1
0
2 4
2 4 [ ]
[ 1 2 4 1 2 4 ]
(2 2 4 2 2 4 )
2 4
[ 2 4 ln(2 2 4 ) ]
6
1
6 ln(2 6 ) 6 ln 2 2
3
1.618
x
x
x
x
S x dydx
x y dx
x x x x dx
x x x dx
x
x x x x
−
−
−
−
= +
= +
= − + − − +
= + − +
+
= + + + + −
= + + − − +

 



 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
40 
Ejemplo 8 Área de una porción hemisférica 
Halle el área de la superficie hemisférica 
( ) 2 2, 25z f x y x y= = − − 
que se encuentra sobre el círculo: 
2 2 9x y+  
[ver imagen] 
 
Las primeras derivadas parciales son 
( ) ( )
2 2 2 2
, ,
25 25
x y
x y
f x y f x y
x y x y
− −
=  =
− − − −
 
y de acuerdo con la fórmula para el área de una superficie, se 
tiene 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
41 
( ) ( )
22
2 2
2 2 2 2
2 2
, , 1
1
25 25
5
25
x ydS f x y f x y dA
x y
dA
x y x y
dA
x y
 = + +    
   − −
   = + +
   − − − −   
=
− −
 
Así, el área de la superficie es 
2 2
5
25
xyR
dA
x y− −
 
En coordenadas polares 
2 3
20 0
2
2 3
0
0
2
0
5
25
5 [ 25 ]
5
10
S rdrd
r
r d
d







=
−
= − −
=
=
 


 
Resumen 
 Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el deseo 
de cortar una región bidimensional en un número infinito 
de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada 
una por algún valor y luego sumarlas. 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
42 
 La notación más general para una integral doble es 
xyS
f dA 
donde: 
▪ xyS es la región de integración 
▪ dA significa un "fragmento pequeño de área", que 
típicamente significa dxdy o dydx , a menos que se 
utilice otro sistema de coordenadas. 
▪ ( ),f x y es una función de dos variables. 
 Los momentos xM y yM utilizados en la determinación del 
centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros 
momentos con respecto a los ejes x y . En cada uno de 
los casos, el momento es el producto de una masa por una 
distancia 
( ) ( ) ( ) ( )
tan tan
, ,
xy xy
x y
S Sdis cia dis ciamasa masa
al eje x al eje y
M y x y dA M x x y dA = =  
 Los segundos momentos o momentos de inercia de una 
lámina respecto a una recta, se denotan por x yI e I , y en 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
43 
cada caso el momento es el producto de una masa por el 
cuadrado de la distancia 
( ) ( ) ( ) ( )2 2
tan tan
, ,
xy xy
x y
S S
masa masacuadradode cuadrado de
la dis cia la dis cia
al eje x al eje y
I y x y dA I x x y dA = =  
A la suma de los momentos x yI e I se le llama momento 
polar de inercia y se denota por 0I . 
 El radio de giro r de una masa m en rotación con un 
momento de inercia I se define como 
de g
I
r Radio iro
m
=  
 Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en 
la región cerrada xyR , entonces el área de la superficie 
S dada por ( ),z f x y= sobre xyR está dada por: 
Área de la superficie = 
( ) ( )
22
, , 1
xy xy
x i i y i i
R R
dS f x y f x y dA = + +      
De aquí en adelante, las integrales dobles estarán 
inexorablemente atadas a la mayoría de los temas del cálculo 
multivariable.